中考数学第一编 教材知识梳理篇 第二章 方程(组)与不等式(组)第一节 一次方程与方程组及应用习题
中考数学总复习 基础知识梳理 第2单元 方程(组)与不等式(组)2.1 一次方程(组)及其应用课件
根据题意得：82×60％+40％x=86×60％.
解得，x=6. 【答案】6
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经典 考题 (jīngdiǎn)
【例3】利用加减消元法解方程组
2 x 5 x
5y 3y
6下②1列0①做，
中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来说，有几个 未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方程两边表示的是同类 量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．
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学法 指导 (xué fǎ)
1.有关路程、速度的问题 （1）行程问题：路程=速度×时间(shíjiān). （2）相遇问题：两者路程之和=全程. （3）追及问题：快者路程=慢者先走路程（或相距路程）+慢者后走路程. （4）水中航行问题：
4.增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后
的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，则有a(1－m)n＝b.
5.利润问题： 利润＝售价－进价＝进价×利润率；售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利 润率)； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销售量． 6.利息问题： 利息＝本金×利率×期数(qī shù)本息和＝本金×利息.
法正确的是
A.要消去(xiāo qù)y，可以将①×5+②×2. B.要消去x，可以将①×3+②×(-5). C.要消去y，可以将①×5+②×3. D.要消去x，可以将①×(-5)+②×2.
（D ）
【解析】此题考查了加减消元法的应用. 【答案】D
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
中考数学总复习 第一篇 教材知识梳理篇 第2章 方程(组
第一节 一次方程(组)及应用,遵义五年中考命题规律)填空题，解答的解法，还牵涉到列,遵义五年中考真题及模拟)一元一次方程及其解法1．(2017遵义中考)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有__46__两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)2．(2016遵义中考)六一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，设去了x 个成人，则根据图中的信息，下面所列方程中正确的是( A )A ．40x ＋20(12－x)＝400B ．40(12－x)＋20x ＝400C ．24(12－x)＋20x ＝400D ．24x ＋12(12－x)＝4003．(2016遵义十一中一模)希望中学九年级(1)班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x 人，则下列方程中，正确的是( A )A ．2(x －1)＋x ＝49B ．2(x ＋1)＋x ＝49C ．x －1＋2x ＝49D ．x ＋1＋2x ＝49二元一次方程组及其解法4．(2016遵义二中二模)小明在解关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝△， 2x －3y ＝5时，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝⊗，则△和⊗代表的数分别是( B )A ．△＝1，⊗＝5B ．△＝5，⊗＝1C ．△＝－1，⊗＝3D ．△＝3，⊗＝－15．(2013遵义中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，① 2x ＋y －3＝0.②解：由①得x ＝2y ＋4.将x ＝2y ＋4代入②，得2(2y ＋4)＋y －3＝0.解得y ＝－1.∴x＝2y ＋4＝2×(－1)＋4＝2.∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.6．(2016遵义二中三模)某地为了打造风光带，将一段长为360 m 的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m ，乙工程队每天整治16 m ．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．解：设甲工程队整治河道x m ，则乙工程队整治河道(360－x)m .由题意，得x 24＋360－x16＝20，解得x ＝120.当x ＝120时，360－x ＝240.答：甲工程队整治河道 120 m ，乙工程队整治河道240 m .7．(2017改编)已知关于x ，y 的二元一次方程ax ＋by ＝10(ab≠0)的两个解分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1， y ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，求1－a 2＋4b 2的值．解：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1， y ＝2代入方程ax ＋by ＝10中，得－a ＋2b ＝10，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4代入方程ax ＋by ＝10中，得－a －2b ＝5，∴(－a ＋2b)(－a －2b)＝a 2－4b 2＝50，∴1－a 2＋4b 2＝1－50＝－49.一元一次方程组的应用8．(2017遵义中考)为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A ，B 两种不同款型，请回答下列问题：问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A ，B 两型自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B 型车的成本单价比A 型车高10元，A ，B 两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a 辆“小黄车”，乙街区每1 000人投放8a ＋240a 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a 的值．解：问题1：设A 型车的成本单价为x 元，则B 型车的成本单价为(x ＋10)元．依题意，得 50x ＋50(x ＋10)＝7 500， 解得x ＝70，∴x ＋10＝80，答：A 、B 两型自行车的单价分别是70元和80元； 问题2：由题意可得1 500a ×1 000＋1 2008a ＋24a×1 000＝150 000，解得a ＝15.经检验，a ＝15是所列方程的解．故a 的值为15.9．(2016遵义中考)上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体．日前，某通信公司推出消费优惠新招——“定制套餐”．消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．0.[小提示：阶梯定价收费计算方法，如600 min 语音通话费＝0.15×500＋0.12×(600－500)＝87元] (1)甲定制了600 MB 的月流量，花费48元；乙定制了2 GB 的月流量，花费120.4元．求a ，b 的值；(注：1GB ＝1 024 MB )(2)甲的套餐费用为199元，其中含600 MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含 1 GB 的月流量．二人均定制了超过1 000 min 的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300 min ，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋（500－100）×0.07＋（600－500）b ＝48，100a ＋（500－100）×0.07＋（1 024×2－500）b ＝120.4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.15， b ＝0.05；(2)设甲每月定制x(x ＞100)min 通话时间，则丙定制(x ＋300)min 通话时间，丙定制了1 GB 月流量套餐需花费100×0.15＋(500－100)×0.07＋(1 024－500)×0.05＝69.2(元)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧48＋500×0.15＋（1 000－500）×0.12＋（x －1 000）m ＝199，69.2＋500×0.15＋（1 000－500）×0.12＋（x ＋300－1 000）m ＝244.2. ∴m ＝0.08.,中考考点清单)方程、方程的解与解方程1．含有未知数的__等式__叫方程．2．使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解． 3．求方程__解__的过程叫解方程．等式的基本性质4．性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍__相等__．如果a ＝b ，那么a±c __＝__b±c.性质2：等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍__相等__，如果a ＝b ，那么ac ＝bc(c≠0)，a c ＝bc(c≠0)．一次方程(组)5．概念与解法 (1)一元一次方程概念：含有__一个__未知数且未知数的次数是__1__，这样的方程叫做一元一次方程．解法：解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. (2)二元一次方程概念：含有两个__未知数__，并且含有未知数的项的__次数__都是1的方程叫做二元一次方程． 解法：一般需找出满足方程的整数解即可． (3)二元一次方程组概念：两个__二元一次方程__所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．解法：解二元一次方程组的基本思路是__消元__．基本解法有：__代入__消元法和__加减__消元法． (4)三元一次方程组概念：三个一次方程组成的含有三个未知数的一组方程叫三元一次方程组． 解法：解三元一次方程组的基本思想是：三元――→转化二元――→转化一元一次方程． 【温馨提示】(1)解一元一次方程去分母时，常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组的解应写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 的形式.列方程(组)解应用题的一般步骤6．(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设：设__未知数__，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数； (3)列：弄清题意，找出__相等关系__；根据__相等关系__，列方程(组)； (4)解：解方程(组)；(5)验：检验结果是否符合题意； (6)答：答题(包括单位)．【方法点拨】一次方程(组)用到的思想方法：(1)消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程；(2)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；(3)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax ＝b ；解二元一次方程组先转化成一元一次方程； (4)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题； (5)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．,中考重难点突破)一元一次方程及解法【例1】(1)(2017瑞安中考模拟)关于x 的方程2x －m3＝1的解为2，则m 的值是( )A ．2.5B ．1C ．－1D ．3 (2)(河池中考)解方程：2x ＋13－5x －16＝1.【解析】(1)把x ＝2代入方程，得4－m3＝1，解得m ＝1.(2)按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1来解．【答案】(1)B ；(2)x ＝－3.1．(2017滨州中考)解方程：2－2x ＋13＝1＋x2.解：去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)， 去括号，得12－4x －2＝3＋3x ， 移项、合并同类项，得7x ＝7， 系数化为1，得x ＝1.二元一次方程组及解法【例2】(2017宝安中考)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4， n ＝2 B .⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2， n ＝4 C .⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2， n ＝－4 D .⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2 【解析】此题考查二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【答案】A2．(2017天门中考)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2， y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根是( B )A ．4B ．2C . 2D ．±23．(2017乐山中考)二元一次方程组x ＋y 2＝2x －y3＝x ＋2的解是__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5， y ＝－1__．一次方程(组)的应用【例3】(2017宁阳中考)某服装店用6 000元购进A ，B 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3 800元(毛利润＝售价－进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的八折出售，B 种服装按标价的七折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？【解析】(1)设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由总价＝单价×数量，利润＝售价－进价建立方程组求出其解即可；(2)分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润＝总利润－打折后A 种服装的利润－打折后B 种服装的利润，求出其解即可．【答案】解：(1)设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋100y ＝6 000， （100－60）x ＋（160－100）y ＝3 800， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝30.答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件； (2)由题意，得3 800－50(100×0.8－60)－30(160×0.7－100) ＝3 800－1 000－360 ＝2 440(元)．答：服装店比按标价售出少收入2 440元．4．(2017新泰中考模拟)某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是__17__%.(注：利润率＝销售价－进价进价×100%)5．(安顺中考)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满，求该校的大小寝室每间各住多少人．解：设该校大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧55x ＋50y ＝740， 50x ＋55y ＝730，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝6.答：该校大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第二章 方程(组)与不等式(组)一元一次不等式(组)及其应用
(2)不等式②的解集为________;
(3)把不等式组的解集在如图的数轴上表示出来;
解:在数轴上表示不等式组的解集如解图.
1≤x＜3
(4)不等式组的解集为____________;
1,2
(5)不等式组的整数解为________.
解图
解
答
变式2－1
是(
C
－＋3＜5,
(2023·娄底)不等式组ቊ
的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多
可购买这种型号的水基灭火器多少个?
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型
号的干粉灭火器(50－x)个.
根据题意,得540x＋380(50－x)≤21 000,解得x≤12.5.
∵x为整数,∴x的最大值为12.
∴最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
解
1.若a>b,则下列四个选项一定成立的是( A )
A.a＋2>b＋2
B.－3a>－3b
C. ＜
4
4
D.a－1＜b－1
2.(2022·益阳)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,则这个不
等式组是( D )
＜1,
A.ቊ
＜－1
＜1,
B.ቊ
> －1
> 1,
C.ቊ
＜－1
> 1,
不等式的解集 不等式的解的全体称为不等式的解集
2.不等式的性质
性质
性质1
内容
应用
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号
b±c
的方向不变,即如果a>b,那么a±c>_______
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
5．(数学文化)《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一 个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问： 每只雀、燕的质量各为多少？设一只雀的质量为 x 斤，一只燕的质量为 y
5x＋6y＝1， 斤，则可列方程组为__4x＋y＝5y＋__x.
【考情分析】广西近 6 年主要考查解一元一次方程或二元一次方程组， 应用一元一次方程或二元一次方程组解决简单的实际问题，难度小，分 值 3－10 分，常在解答题中与不等式、一次函数的实际应用结合考查．
x＝1， 则方程组的解为y＝－1.
x－3y＝－2， 5．(2020·玉林第 20 题 6 分)解方程组：2x＋y＝3.
x－3y＝－2①， 解：2x＋y＝3②. ①＋②×3 得 x＋6x＝－2＋3×3， 解得 x＝1， 将 x＝1 代入②得 2＋y＝3， 解得 y＝1.
x＝1， 则方程组的解为y＝1.
根据题意可列方程组为
y＝3x－2， A.y＝2x＋9
y＝3x－2， C.y＝2x－9
y＝3（x－2）， B.y＝2x＋9
y＝3（x－2）， D.y＝2x－9
( B)
7．(2021·桂林第 24 题 8 分)为了美化环境，建设生态桂林，某社区需 要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天 能完成的绿化改造面积比乙队多 200 m2，甲队与乙队合作一天能完成 800 m2 的绿化改造面积． (1)甲、乙两工程队每天各能完成多少 m2的绿化改造面积？ (2)该社区需要进行绿化改造的区域共有 12 000 m2，甲队每天的施工费 用为 600 元，乙队每天的施工费用为 400 元，比较以下三种方案： ①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成． 哪一种方案的施工费用最少？
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
x＋y＝40， x＋y＝12， C.3x＋4y＝12 D.3x＋4y＝40
6．(2019·岳阳第 15 题 4 分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下 列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其意思 为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布335115 尺．
8. (2019·娄底第 23 题 9 分)某商场用 14 500 元购进甲、乙两种矿泉水
共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，依题意，得
x＋y＝500， 25x＋35y＝14 500，
2 次，2020 年考查 2 次)
2x－y＝5， 1．(2021·郴州第 6 题 3 分)已知二元一次方程组x－2y＝1，则 x－y 的
值为
（ A）
A．2
B．6
C．－2
D．－6
2．(2021·株洲第 2 题 4 分)方程x2－1＝2 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
（ D）
3．(2019·湘潭第 6 题 4 分)若关于 x 的方程 3x－kx＋2＝0 的解为 2，则 k 的值为 44 .
m＝8，m＝5， m＝2， ∴n＝2，n＝6，或n＝10， ∴共有 3 种运输方案，
方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆， 所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆， 所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆， 所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元)． ∵4 800＜4 900＜5 000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4 800 元．
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
13．(2021·毕节适应性考试)如图，点 A 在数轴上表示的数是－16.点 B 在数轴上表示的数是 8.若点 A 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动， 同时点 B 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，问：当 AB＝8 时，运 动时间为__2或4 __秒．
14．(2021·贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每 户每月用水量不超过 12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过 12 m3 时，超过部分按二级单价收费. 已知李阿姨家五月份用水量为 10 m3， 缴纳水费 32 元，七月份因孩子放假在家，用水量为 14 m3，缴纳水费 51.4 元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为 64.4 元时，用水量为多少？
1 y＝4 的一个解，则 a 的值为 2 .
7．(2020·南京)已知
x，y
x＋3y＝－1， 满足方程组2x＋y＝3， 则
x＋y
的值为__11__.
8．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了
拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为 20%，则商店应打__88__折．
解：(1)－1；5. (2)设铅笔的单价为 m 元，橡皮的单价为 n 元，日记本的单价为 p 元，依 题意，得 20m＋3n＋2p＝32，① 39m＋5n＋3p＝58，② 由 2×①－②可得 m＋n＋p＝6， ∴5m＋5n＋5p＝5×6＝30. 答：购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元．
15．(2020·扬州)阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于 未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数 x，y 满足 3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求 x－4y 和 7x＋5y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x，y 的值再代入欲求 值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方 程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式 的值，如由①－②可得 x－4y＝－2，由①＋②×2 可得 7x＋5y＝19.这样 的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章
第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及应用及应用在河北五年中考真题及模拟)一次方程(组)的应用1．(2015河北中考)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y＝－10，①5x－3y＝6，②下列做法正确的是( D) A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×22．(2017张家口中考模拟)小明在解关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝△，2x－3y＝5时，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4y＝则△和代表的数分别是( B)A．△＝1，＝5 B．△＝5，＝1C．△＝－1，＝3 D．△＝3，＝－13．(2016石家庄二模)希望中学九年级(1)班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是( A)A．2(x－1)＋x＝49 B．2(x＋1)＋x＝49C．x－1＋2x＝49 D．x＋1＋2x＝494．(2017原创)已知⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝－2是关于⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝3，bx＋ay＝－7的解，则(a＋b)(a－b)的值为__－8__．5．(2016河北中考)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；(2)若n 边形变为(n ＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)甲对，乙不对．∵θ＝360°，∴(n －2)×180°＝360°.解得n ＝4.∵θ＝630°，∴(n －2)×180°＝630°，解得n ＝112.∵n 为整数，∴θ不能取630°；(2)依题意，得(n －2)×180°＋360°＝(n ＋x －2)×180°.解得x ＝2.,中考考点清单方程、方程的解与解方程1．含有未知数的__等式__叫方程．2．使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解． 3．求方程__解__的过程叫解方程．等式的基本性质4.一次方程(组)5.次方程【易错警示】(1)解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组的解应写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b的形式．列方程(组)解应用题的一般步骤6.； (1)消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程；(2)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；(3)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax ＝b ；解二元一次方程组先转化成一元一次方程； (4)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题； (5)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．,中考重难点突破一元一次方程及解法【例1】(1)(2017成都中考)已知|a ＋2|＝1，则a ＝________.(2)解方程：0.5x ＋20.03－x ＝0.3（0.5x ＋2）0.2－13112.【解析】(1)注意绝对值等于1的数有两个；(2)先根据分式的基本性质把各分母变成整数，再由等式的性质去分母，小心不要把两者混为一谈．【答案】(1)－1或－3；(2)解：原方程可化为：50x ＋2003－x ＝3（x ＋4）4－13112，解得x ＝－5.1．若代数式x ＋3值是2，则x ＝__－1__． 2．(滨州中考)解方程：2－2x ＋13＝1＋x2.解：去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)， 去括号，得12－4x －2＝3＋3x ， 移项，得－4x －3x ＝3＋2－12， 合并同类项，得－7x ＝－7， 系数化为1，得x ＝1.二元一次方程组及解法【例2】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝m ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则m ＝________.【解析】由解互为相反数可得x ＝－y ，而后把x ＝－y 代入方程组从而得到关于m ，y 的二元一次方程组，解之即可得m 的值．【答案】－13．(2017济南中考)如果13x a ＋2y 3与－3x 3y 2b －1是同类项，那么a ，b 的值分别是( A )A .⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2C .⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1D .⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10＝10y ， ①15x ＝20y ＋10. ②解：由①，得x －2y ＝－2.③由②，得3x －4y ＝2.④ ③×2－④，得x ＝6.把x ＝6代入③，得y ＝4，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.一元一次方程的应用【例3】(2017资阳中考)电器商城某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( A )A ．562.5元B ．875元C ．550元D ．750元【解析】本例涉及标价、打折后的新售价、进价、利润、利润率及它们之间的关系．进价为500÷20%＝2 500(元)．设标价为x 元，根据题意，得80%x －2 500＝500，解得x ＝3 750.∴3 750×90%－2 500＝875(元)．【答案】B5．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．求篮球和足球的单价．解：设一个篮球x 元，则一个足球(x －30)元． 由题意，得2x ＋3(x －30)＝510. 解得x ＝120.x －30＝90.答：一个篮球120元，一个足球90元.二元一次方程的应用【例4】(2017金华中考)某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4∶3，二楼售出与未售出的座位数比为3∶2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为( A )A ．2∶1B ．7∶5C ．17∶12D ．24∶17【解析】设一楼售出的座位数为4x ，未售出的座位数为3x ，二楼售出的座位数为3y ，未售出的座位数为2y.由题意，得3x ＝2y ，则x ＝2y 3.那么4x ＋3y3x ＋2y ＝4×23y ＋3y2y ＋2y＝17∶12.【答案】C6．(2017新疆中考)某班级为筹建运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有多少种购买方案？解：设买甲种运动服x 套，乙种y 套． 由题意，得20x ＋35y ＝365，则x ＝73－7y 4，∵x ，y 必须为正整数， ∴73－7y 4＞0，即0＜y ＜737，∴当x ＝3时，x ＝13， 当y ＝7时，x ＝6. 答：有2种方案．二元一次方程组的应用【例5】(2017徐州中考)某景点的门票价格如下表：某校七年级50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付 1 118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？【解析】条件中只说(1)班学生人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．那么，两班共有人数是不到100人，还是比100人多，都不清楚，因此，需分类讨论是100多人，还是在50至100中．【答案】解：(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人．当50＜x ＋y ＜100时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1 118，10（x ＋y ）＝816. ∴x ＋y ＝81.6，不是整数，不合题意． 当x ＋y ＞100时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1 118，8（x ＋y ）＝816.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝49，y ＝53. 答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人；(2)七年级(1)班节约了(12－8)×49＝196(元)，七年级(2)班节约了(10－8)×53＝106(元)．7．(江西中考)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．解：设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元． 根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8. 答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元．8．(孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．(1)求A 种、B 种树木每棵各多少元；(2)因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．解：(1)设A 种树木每棵x 元，B 种树木每棵y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝600，3x ＋y ＝380.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝80.答：A 种树木每棵100元，B 种树木每棵80元；(2)设购买A 种树木为a 棵，则购买B 种树木为(100－a)棵． 则a≥3(100－a)，∴a≥75. 设实际付款总金额为w 元．则w ＝0.9[100a ＋80(100－a)]＝18a ＋7 200， ∵18>0，w 随a 的增大而增大， ∴当a ＝75时，w 最小．即a ＝75，w 最小值＝18×75＋7 200＝8 550(元)．∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元.。
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第二章 第一节 一次方程(组)课件
拓展题2（’15 咸宁）如果实数x、y满足方程组
x
y＝
1 2
则 x2 2x－ y22的y 值5，为___ _54______．
【解析】方程组第二个方程变形得：2(x＋y)＝5，即x
＋y＝ 5 ， x y 1 , x 2 y 2 ＝ x y x y 5 .
2
2
4
类型二 一次方程（组）的应用
2. 一次方程（组）的应用常考类型及关系式
常考类型
重要的关系式
销售打 折问题
销售额＝售价×销量
利润＝售价－成本
利润率＝
利润 成本价
100%
售价＝标价×折扣
工程问题 工作量＝工作效率×工作时间
相遇问题：总路程＝速度和×相遇时间 追及问题：追及路程＝速度差×追及时间 行程问题 航行问题： 顺水（风）速度＝船速＋静水（风）速度 逆水（风）速度＝船速－静水（风）速度
考点五 一次方程（组）的应用
1. 列方程（组）解应用题的一般步骤： （1）审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； （2）设：即设关键的未知数； （3）列：即找出等量关系，列方程（组）； （4）解：即解方程（组）； （5）验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； （6）答：即规范作答，注意单位名称．
2. 解一元一次方程的一般步骤
步骤 去分母
具体做法
若方程中未知数的 系数为分数，方程 两边同乘以分母的
⑥__最__小__公__倍__数___
注意事项
不要漏乘不含分母 的项
去括号 移项
若方程中有括号，应先去 括号前是负号
括号．去括号顺序为先去 时，去括号后
小括号，再去中括号，最 括号内各项均
后去大括号
第一部分 教材知识梳理
人教版中考数学复习第一部分考点讲解 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程与一次方程组
问题 追及问题 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离＝
追者走的路程 3.工程问题：工作量＝工作效率×_工__作__时__间_
第一节 一次方程与一次方程组
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重难点突破
一次方程(组)的实际应用
例 《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行，某社区要投放A,B
两种垃圾桶，负责人小李调查发现：
种类
购买数量
A B
购买数量少于100个 购买数量不少于100个
原价销售 原价销售
以原价的7.5折销售 以原价的8折销售
若购买A种垃圾桶80个，B种垃圾桶120个，则共需付款6880元①；若购买A种垃圾 桶100个，B种垃圾桶100个，则共需付款6150元②．求A，B两种垃圾桶的单价各为 多少元？
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第一节 一次方程与一次方程组
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【课标要求】 掌握等式的基本性质； 能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组； *能解简单的三元一次方程组； 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系
的有效模型； 能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方
第一节 一次方程与一次方程组
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2. (数学文化)(2020内江)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：
“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意
为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后
再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，则符合题意的方程是( A )
中考数学总复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第一节 一次方程(组)课件
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命题角度❷ 一次方程(yī cìfānɡ chénɡ)(组)的实际应用
例3(2018·安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：
城中家几何？
大意为：
今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每三
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解：设行驶x千米时需付费24.8元，则依题意可列方程， 5＋1.8(x－2)＝24.8. 解得x＝13. ∵不足(bùzú)1千米按1千米计， ∴12＜x≤13. 答：该同学的家到学校的距离大于12千米且不大于13千米.
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内容(nèiróng)总结
代入①得：6＋2y＝0，
解得：y＝－3，
故方程组的解为： x 6 ,
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y
3.
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考点二 一次方程(组)的应用
命题角度❶ 根据实际问题列一次方程(组)
例2(2018·安徽)据省统计局发布，2017年我省有效发明(fāmíng)
专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的年增长率保持
家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？
请解答上述问题．
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【分析】 设城中有x户人家，根据相等关系“城中人家的户数＋城中人 家的户数÷3＝100”建立方程求解． 【自主(zìzhǔ)解答】 设城中有x户人家， 根据题意得x＋ x1＝100，解得x＝75. 答：城中有75户人3家．
②－①得x＝6，
将x＝6代入①的y＝4，
∴方程组的解为 x .6
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第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程与方程组及应用3,河北8年中考真题及模拟)一次方程(组)的应用(7次)1．(2015河北11题2分)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y＝－10 ①5x－3y＝6 ②，下列做法正确的是( D) A．要消去y，可以将①³5＋②³2B．要消去x，可以将①³3＋②³(－5)C．要消去y，可以将①³5＋②³3D．要消去x，可以将①³(－5)＋②³22．(2010河北8题2分)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是( A)A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝483．(2009河北18题3分)如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是__20__cm.4．(2016河北22题9分)已知n边形的内角和θ＝(n－2)³180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)甲对，乙不对．∵θ＝360°，∴(n－2)³180＝360.解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)³180＝630，解得n＝112.∵n 为整数，∴θ不能取630°；(2)依题意，得(n －2)³180＋360＝(n ＋x －2)³180.解得x ＝2.5．[2012河北20(2)题5分]如图，某市A ，B 两地之间有两条公路，一条是市区公路AB ，另一条是外环公路AD －DC －CB.这两条公路围成等腰梯形ABCD ，其中DC∥AB，AB ∶AD ∶DC ＝10∶5∶2.(1)求外环公路总长和市区公路长的比；(2)某人驾车从A 地出发，沿市区公路去B 地，平均速度是40 km /h .返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km /h ，结果比去时少用了110h ．求市区公路的长．解：(1)设AB ＝10x km ，则AD ＝5x km ，CD ＝2x km .∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴BC ＝AD ＝5x km .∴AD ＋CD ＋CB ＝12x(km )．∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x∶10x＝6∶5；(2)由(1)可知，市区公路的长为10xkm ，外环公路的总长为12x km ，由题意得10x 40＝12x 80＋110，解得x ＝1，∴10x ＝10.答：市区公路的长为10 km .6．(2016石家庄新华区模拟)若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是关于x 、y 的二元一次方程ax －3y ＝1的解，则a 的值为( A )A ．7B ．2C ．－1D ．－57．(2016唐山路南区三模)小明在解关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝△，2x －3y ＝5时，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝⊗，则△和⊗代表的数分别是( B )A ．△＝1，⊗＝5B ．△＝5，⊗＝1C ．△＝－1，⊗＝3D ．△＝3，⊗＝－18．(2016石家庄二模)希望中学九年级1班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x 人，则下列方程中，正确的是( A )A ．2(x －1)＋x ＝49B ．2(x ＋1)＋x ＝49C ．x －1＋2x ＝49D ．x ＋1＋2x ＝499．(2016原创)已知关于x ，y 的二元一次方程ax ＋by ＝10(ab≠0)的两个解分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，求1－a 2＋4b 2的值．解：将x ＝－1，y ＝2代入方程ax ＋by ＝10中得：－a ＋2b ＝10，将x ＝－2，y ＝－4同样代入方程得：－a －2b ＝5，∴(－a ＋2b)(－a －2b)＝50，∴－a 2＋4b 2＝－50，∴1－a 2＋4b 2＝1－50＝－49.,中考考点清单)方程、方程的解与解方程1．含有未知数的__等式__叫方程．2．使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解． 3．求方程__解__的过程叫解方程．等式的基本性质一次方程(组)合并同类项；一般需找出满足方程的整数解成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 的形式．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程．(2)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷．(3)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax ＝b ；解二元一次方程组先转化成一元一次方程． (4)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题． (5)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．,中考重难点突破)一元一次方程及解法【例1】(1)(2015娄底中考)已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为________；(2)解方程：0.5x ＋20.03－x ＝0.3（0.5x ＋2）0.2－13112.【学生解答】(1)1；(2)原方程可化为：50x ＋2003－x ＝3（x ＋4）4－13112，解得x ＝－5.【点拨】(1)把x ＝2代入即可；(2)先“化零为整”，再按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1来解．1．(2016厦门中考)方程x ＋5＝12(x ＋3)的解是__x ＝－7__.2．(2016滨州中考)解方程2－2x ＋13＝1＋x2.解：去分母得：12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)，去括号得：12－4x －2＝3＋3x ，解得x ＝1.二元一次方程组及解法【例2】(2016无锡中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①x －1＝12（2y －1）.② 【学生解答】由②得2x －2y ＝1③.①－③，得y ＝4.把y ＝4代入①，得x ＝92.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝4.【点拨】解二元一次方程组的两种方法(代入法和加减法)用到的都是“消元”的思想，具体解题时两种方法可根据方程组中未知数系数的特点灵活运用．3．(2016杭州中考)设实数x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧13x －y ＝4，13x ＋y ＝2，则x ＋y ＝__8__．4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10＝10y ， ①15x ＝20y ＋10. ②解：由①，得x －2y ＝－2. 由②，得3x －4y ＝2.①³2－②，得x ＝6.把x ＝6代入①得y ＝4，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.一次方程(组)的应用【例3】某公园的门票价格如下表：购票人数 1～50 51～100 100以上 票价(元/人) 10 8 550多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【解析】由两班单独购票时甲班票价8元/人，乙班票价10元/人，两个班共付920元及购团体票时票价5元/人，共付款515元，可列方程组求解．【学生解答】设甲、乙两班分别有x 人和y 人，得 ⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋10y ＝920，5x ＋5y ＝515.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝48. 答：甲班55人，乙班48人．【方法归纳】综合表格中的信息与文字叙述，理解题意是解决本题的关键．5．(2016江西中考)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．解：设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8. 答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元．6．(2016资阳改编)学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．求篮球和足球的单价．解：设一个篮球x 元，则一个足球(x －30)元，由题意得2x ＋3(x －30)＝510.解得x ＝120. 答：一个篮球120元，一个足球90元．,中考备考方略)1．(2015重庆中考)已知关于x 的方程2x ＋m －8＝0的解是x ＝3，则m 的值为( A )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2016邯郸十一中模拟)若2a ＝3b ，则下列各式中不成立的是( D ) A ．4a ＝6b B ．2a ＋5＝3b ＋5 C .a 3＝b2D ．a ＝3b 3．(2016株洲中考)在解方程x －13＋x ＝3x ＋12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( B )A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)B ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)C ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)D ．(x －1)＋x ＝3(x ＋1)4．(2016广州中考)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝12，3a －b ＝4，则a ＋b 的值为(B )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．(2016廊坊二模)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m －n 的值是( D )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2016杭州中考)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为( C )A ．518＝2(106＋x)B ．518－x ＝2³106C ．518－x ＝2(106＋x)D ．518＋x ＝2(106－x)7．(2016聊城中考)在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( D )A .27B ．51C ．69D ．8．(2016台湾中考)若二元一次联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21的解为x ＝a ，y ＝b ，则a ＋b 的值为( D )A .192B .212C ．7D ．13 9．(2016温州中考)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( A )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，x ＝2yB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，y ＝2xC .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7，x ＝2yD .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，y ＝2x 10．(2016临沂中考)为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意，所列方程组正确的是( D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝78，3x ＋2y ＝30B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝78，2x ＋3y ＝30C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋3y ＝78D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，3x ＋2y ＝78 11．(2016深圳中考)某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为________元( B ) A ．140 B ．120 C ．160 D ．10012．(1)(2016永州中考)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝4的解是__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0__ ,；) (2)(2016温州中考)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，3x －2y ＝7的解是__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1__ ,.) 13．(2016扬州中考)以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝－x ＋1的解为坐标的点(x ，y)在第__二__象限．14．(2016原创)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，bx ＋ay ＝－7的解，则代数式(a ＋b)(a －b)的值为__－8__．15．(2016石家庄四十二中一模改编)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，求k 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k.代入2x ＋3y ＝6中得k ＝34.16．(2016福州中考)某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么甲、乙两种票各买了多少张？解：设甲种票买了x 张，则乙种票买了(35－x)张，由题意得24x ＋18(35－x)＝750，解得x ＝20，∴35－x ＝15.答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．17．(2016原创)按如图的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( D )A ．x ＝5，y ＝－2B ．x ＝3，y ＝－3C ．x ＝－4，y ＝2D ．x ＝－3，y ＝－918．(2016原创)小亮解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝●，3x －2y ＝19的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝★，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则●＋★＝__6__．19．(2016盐城中考)李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55 min ；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85 min ，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需__40__min .20．(2016石家庄41中一模)定义一种新运算“⊕”：a ⊕b ＝a －2b ，比如：2⊕(－3)＝2－2³(－3)＝2＋6＝8.(1)求(－3)⊕2的值；(2)若(x －3)⊕(x＋1)＝1，求x 的值．解：(1)(－3)⊕2＝(－3)－2³2＝－3－4＝－7；(2)∵(x－3)⊕(x＋1)＝1，∴(x －3)－2(x ＋1)＝1.∴x＝－6.21．(2016石家庄四十一中模拟)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用)．A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法．(1)用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？解：(1)裁剪出的侧面个数为6x ＋4(19－x)＝(2x ＋76)个，裁剪出的底面个数为5(19－x)＝(－5x ＋95)个；(2)由题意得2x ＋763＝－5x ＋952，解得x ＝7.当x ＝7时，2x ＋763＝30.答：能做30个盒子．22．(2016沧州八中模拟)P 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P 与n 的关系式是：P ＝n （n －1）24²(n 2－an ＋b)(其中a ，b 是常数，n ≥4)．(1)填空：通过画图可得：四边形时，P ＝__1__(填数字)，五边形时，P ＝__5__(填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．(注：本题的多边形均指凸多边形) 解：将上述值代入公式可得 ⎩⎪⎨⎪⎧4³（4－1）24²（16－4a ＋b ）＝1，①5³（5－1）24²（25－5a ＋b ）＝5.②化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝14，5a －b ＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.23．(2016连云港中考)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间？房客多少人？(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？解：(1)设该店有客房x 间，有房客y 人，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7＝y ，9（x －1）＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝63.答：该店有客房8间，房客63人；(2)若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20³16＝320钱；若一次性订客房18间，则需付费20³18³0.8＝288钱<320钱；答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．。