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黑龙江省哈尔滨市第九中学2017-2018学年高三二模数学(文)试卷

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2017-2018学年(新课标)最新黑龙江省哈尔滨高二下学期期末考试数学(文)试题及解析-精品试题

2017-2018学年(新课标)最新黑龙江省哈尔滨高二下学期期末考试数学(文)试题及解析-精品试题

黑龙江省哈尔滨市高二数学下册期末检测题考试时间：7: 40~9:40 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.）1.设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．．的个数是（ ） A ．3 B ．7C ．8D ．152.复数311i z +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.i -1B.i +1C.i 2121+ D.i 2121- 3.在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ． 90° 4.以下有关命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则” B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题01,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得5. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且m b ⊥，则""βα⊥是""b a ⊥的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 设函数xxe x f =)(，则（ ） A.x=1为)(x f 的极大值点B. x=-1为)(x f 的极大值点C.x=1为)(x f 的极小值点D. x=-1为)(x f 的极小值点7.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的41，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ） A.28 B.32 C.64 D.1288. 下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )ABC D1A 1B 1C 1D MNA ．7≥k ?B ．k≤7?C ．k<7?D ．k>7?9. 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为（ ） A.12π B.10πC.6π D.24π 10. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出下列命题： ①若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ②若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ③若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；④若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ； 其中正确命题的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 212.定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有21)(<'x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集为（ ） A.(1，2) B.(0，1)C.),1(+∞D.(-1，1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.在平面直角坐标系xoy 中，若直线⎩⎨⎧-==a t y t x l :（t 为参数）过椭圆C:⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 3y x （ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为______.14. 已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得c b a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________ 15.已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点（-1,2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若)(x f 在区间[]1,+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是_____________16. 已知球的直径SC=4，A.,B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为_________三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17. （本题满分10分）.已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值.18. （本小题满分12分） 如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.19. （本小题满分12分）某学校准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位cm），跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175以下（不包括175cm）定义为“不合格”（1）求甲队队员跳高成绩的中位数（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？（3）从甲队178cm以上（包括178cm）选取2人，至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为多少？20. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM 平面PCD;(2)求三棱锥M-ABD的体积.21. （本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个开学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（I ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量X 的平均数和众数； （II ）将Y 表示为X 的函数；（III ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．22.（本小题满分12分）已知函数1ln )(-=xxx f (Ⅰ)试判断函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)设0>m ，求)(x f 在]2,[m m 上的最大值；(Ⅲ)试证明：对*∈∀N n ，不等式nnn n e +<+1)1ln(.数学（文）答案一、选择题：二、填空题：18.（1）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．…………………………3分所以四边形为平行四边形．所以∥．…………………………4分又因为平面，且平面，所以∥平面．………………………4分）知，所以 为平面又= (2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数共有12人，不合格人数为18人， 所以，抽取五人，合格人数为212305=⨯人 不合格人数为318305=⨯人 …………………………6分 （3）53=P …………………………12分 20.（1）ABCD AB ABCD PA 面面⊂⊥, AB PA ⊥∴又A AD PA AD AB =⋂⊥, PAD AB 面⊥∴ PD AB ⊥∴ 由题意得︒=∠90BMD ,BM PD ⊥∴ABM PD B BM AB 面又⊥∴=⋂,又PCD ABM PCD PD 面面面⊥∴⊂, …………………………6分 （2)设平面ABM 与PC 交于N∵PD ⊥平面ABM∴MN 是PN 在平面ABM 上的射影∴∠PNM 是PC 与平面ABM 所成的角， …………………………8分 且∠PNM=∠PCD …………………………9分 tan ∠PNM=tan ∠PCD=PD/DC=2√2 …………………………12分（Ⅲ）∵利润不少于4800元， ∴80x-4800≥4800，解得x ≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．……………………12分 22．解：（I ）函数)(x f 的定义域是：),0(+∞ 由已知2'ln 1)(xxx f -=………………………………1分 令0)('=x f 得，0ln 1=-x ，e x =∴ 当e x <<0时，0ln 1)(2'>-=x x x f ，当e x >时，0ln 1)(2'<-=x x x f∴函数)(x f 在],0(e 上单调递增，在),[+∞e 上单调递减…………………3分（III ）由（I ）知，当),0(+∞∈x 时，11)()(max -==e e f x f ………………10分∴ 在),0(+∞上恒有111ln )(-≤-=exx x f ，即exx 1ln ≤且当e x =时“=”成立∴ 对),0(+∞∈∀x 恒有x ex 1ln ≤e nnn n ≠+>+1,01n n n n n n e n n e +<+⇒+⋅<+∴1)1ln(111ln 即对*∈∀N n ，不等式nn n n e +<+1)1ln(恒成立；………………………………12分。

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案

D哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.B.C. D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==uu u r uu u r uuu r ，则AC AD ⋅=uuu r uuu r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++ C. 3223x x x +++ D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =uu u r uu u r，则||PQ =A.92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (,3)-∞ C. (1,2)- D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,DE 两点，且1AF 、12F F 、2AF构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ， 试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =uu u r uuu r(O为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）. （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案

哈尔滨市第六中学 2018 届高三第二次模拟考试 文科数学试卷考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．已知集合 A  {x | 2  x  3, x  Z}, B  {y | y  x2  3} , 则 A I B 的子集个数共有( A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个 ) B. D. 2 )2．若复数 z 满足 z(2－i)＝1＋7i，则 | z | ( A.510C. 2 2 3. 已知 cos( A.7 9 1 9 2  )  ，则 sin   （） 4 2 3B.1 9B7 9 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 4. 在 ABC 中， AD  AB, BC  3BD,| AD | 1 ，则 AC  AD  （）C. D. A.1 C.3B.2 D.4AD5．我国南宋数学家秦九韶给出了求 n 次多项式Can xn  an1xn1  L  a1x  a0 当 x  x0 时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”． 例如， 可将 3 次多项式改写为：a3 x3  a2 x2  a1x  a0    a3 x  a2  x  a1  x  a0 然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（） A. x4  x3  2x2  3x  4 C. x3  x2  2x  3 B. x4  2x3  3x2  4x  5 D. x3  2x2  3x  46. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（） A. 12 C. 36 B. 24 D. 487．已知函数 f  x   Asin  x    ( A  0,   0, 0   2)的部分图像如图所示，若将函数 f  x  的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的1  ，再向右平移 个单位，所得 4 6到的函数 g  x  的解析式为（） A. g  x   2sin1 x 4B. g  x   2sin2x D. g  x   2sin  2 x C. g  x   2sin  1 x  6 4  6)8. 圆 O： x2  y 2  4 上到直线 l： x  y  a  0 的距离等于 1 的点恰好有 4 个，则 a 的取值范围为( A. [ 2, 2] C. [1,1] B. ( 2, 2) D. ( 1,1)9. 已知 m, n 为异面直线， m  平面  ， n  平面  ，直线 l 满足 l  m, l  n, l   , l   ，则（） A.  / /  且 l / / C.  与  相交，且交线垂直于 l B.    且 l   D.  与  相交，且交线平行于 l10. 若新高考方案正式实施， 甲、 乙两名同学要从政治、 历史、 物理、 化学四门功课中分别选取两门功课学习， 则他们选择的两门功课都不相同的概率为（） A.1 6B.1 3C.1 2D.2 3uuu r uuu r 11. F 是抛物线 y 2  2 x 的焦点，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的准线上，若 PF  2FQ ，则 | PQ |A. C.9 2 7 2B. 4 D. 312. 已知函数 f ( x)  2 x5  x3  7 x  2 ，若 f (a2 )  f (a  2)  4 ，则实数 a 的取值范围是（） A. (,1) B. (,3) C. (1, 2) D. ( 2,1)第 II 卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、第 23 题 为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题,每题 5 分.）x  y  0  13．已知实数 x, y 满足约束条件  x  y  4  0 ，则 z  2 x  y 的最大值为 y 1 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应 负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中 需要负主要责任的人是 .15. 已 知 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD=2 ， BC=CD, BCD  90 ， 则 四 边 形 ABCD 面 积 的 最 大 值 为 . .16. 已知函数 f ( x)  ( x  1) | x  a | 4 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分 12 分) 已知 Sn 是等比数列 an  的前 n 项和， S4 , S2 , S3 成等差数列，且 a2  a3  a4  18 . （1）求数列 an  的通项公式； （2）若 bn an  Sn ，求 b1  b2  b3  L  bn ．18．(本小题满分 12 分) 某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯 5 元，售价每杯 8 元，未售出的冷 饮降价处理，以每杯 3 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如 果最高气温不低于 25℃，那么需求量为 600 杯；如果最高气温位于区间 [20, 25) ，那么需求量为 400 杯；如果 最高气温低于 20℃，那么需求量为 300 杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气 温数据数据，得到下面的频数分布表：[15, 20)[20, 25)[25,30)[35, 40)[35, 40)最高气温（℃） 天数 （1） 估 计[10,15)117322965 九月份这种冷饮一天的需求量不超过 400 杯的概率； （2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为 Y（单位：元） ．当九月份这种冷饮一天的进货量为 500 杯时， 写出 Y 的所有可能值并估计 Y 大于 500 的概率．19．(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 E-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M,N 分别为 BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面 AEM； （2）若 ABE 是等边三角形，平面 ABE  平面 BCE ， CE  BE , BE  EC  2 ， 求三棱锥 N  AEM 的体积．20. (本小题满分 12 分)x2 y 2 如图，已知椭圆 C ： 2  2  1(a  b  0) ，其左右焦点为 F 1  1,0 及 F2 1,0  ，过点 F 1 的直线交椭圆 a bC 于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点，且 AF1 、 F1F2 、AF2 构成等差数列.（1）求椭圆 C 的方程； （2）记 GFD 的面积为 S1 ， OED （ O 为原点）的面积为 S2 ， 1 试问：是否存在直线 AB ，使得 S1  12S2 ？说明理由．21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)  x ln x  a( x  1)2  x  1(a  R) （1） 当 a  0 时，求 f ( x) 的极值； （2） 当 x  (1, ) 时， f ( x)  0 恒成立，求 a 的取值范围．请从下面所给的 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分 10 分)uu u r uuur 在极坐标系中， 曲线 C1 的极坐标方程是  2 (1  3sin 2  )  16 ， 点 P 是曲线 C1 上的动点.点 M 满足 OP  2OM(O 为极点). 设点 M 的轨迹为曲线 C2 . 以极点 O 为原点， 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xoy ，已知x  1  t (t 为参数）. 直线 l 的参数方程是  y  t（1）求曲线 C2 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线 l 交两坐标轴于 A, B 两点，求 ABM 面积的最大值．23. (本小题满分 10 分) 已知 a  0 ， b  0 ，且 a 2  b2  2 . （1）若1 4  2  2 x  1  x  1 恒成立，求 x 的取值范围； 2 a b（2）证明： 1 1 5 5  a  b   4 ． a b二模文数答案一、 二、 三、 选择题：DBCC 填空题：13. 5 解答题： 的公比为 ,则 . DCDB DAAC 14. 甲 15. 16.17.解： （1）设等比数列由题意得 故数列 的通项公式为,即 .，解得.（2）由（1）有 则.18.解： （1） （2）当最高气温不低于 25℃，那么需求量为 600 杯； 当最高气温位于区间 ，那么需求量为 400 杯；当最高气温低于 20℃，那么需求量为 300 杯；故当最高气温不低于 20℃时，，19.（1）证明：取中点 ，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形， 所以 ，又 平面． 又 是 ，中点， 所以 平面 ，， 所以． 所以四边形为平行四边形，所以 所以 平面 ．（2）解：取中点 ，连结 平面 ，所以 平面，则 平面 ，所以，因为平面 ．平面，平面平面，又由（1）知．又因为 为 20． （1）因为中点，所以 、 、 构成等差数列，所以． ，所以 ，又因为，所以 ，使得，所以椭圆的方程为 不能与 ,． 轴垂直．（2）假设存在直线 设 方程为，显然直线 ，由 显然消去 y 整理得 ．，设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则 整理得 所以存在直线 21.解： （1） 时，，∴ ，解得 ，所以 的方程为 ，由 x （0,1） 1 解得 ， .，满足条件，且直线↘ 有极小值 ，无极大值.0极小值+↗（2）由的令 ①当 时， ，， 在 上单调增， 不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时， 不合题意；，当时，，在上单调递增，④当时， 不符合题意；，当时，，在上单调递减，综上所述， 的取值范围是 22 解： （1）在极坐标系中，设点 代入曲线 的方程 .由 ，得 并整理，得 ， ，再化为直角坐标方程，即曲线 直线的参数方程 （2）由直线的方程为 ，可知的直角坐标方程为. .(为参数)化为普通方程是 .因为点 在曲线上，所以设，，则点 到直线的距离 即为底边上的高，所以，所以，所以，。

2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，] 8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣612．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝1﹣i，∴在复平面内对应的点为（1，﹣1），故选：D．2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵集合＝[，]，集合B＝{x|y2＝4x}＝[0，+∞），∴A∩B═[，]∩[0，+∞）＝[0，]．故选：A．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢p：∀x∈R，x2+1≥2x，故选：C．4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，其底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积为V＝••1•1•1＝．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM【解答】解：根据程序框图：算法的作用是求{a n}中的最小项．故：S n＝a1+a2+…+a n≥M+M+…+M＝nM，故：S n≥nM，故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，函数的最小正周期为π，则：ω＝2，由于f（﹣x）＝f（x），且|φ|＜，解得φ＝．故：f（x）＝，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），解得（k∈Z），当k＝1时，f（x）在（，π）单调递增．当k＝0时，f（x）在（﹣）单调递增．所以f（x）在（）单调递减．所以A错误．故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设z＝＝1+，则z的几何意义是区域内的点到M（5，7）的斜率加上1，由，可得A（0，4），由，可得B（2，2）；由图象可知，当MA的斜率最小为k＝＝，MB的斜率最大为k′＝＝，所以的取值范围是：[，]．故选：C．8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，则△OAB为等边三角形且∠AOB＝60°，则||＝||＝1，•＝||×||×cos60°＝，M为线段AB的中点，则＝（+），则•＝（3﹣2）•（+）＝（3﹣2）•（+）＝（32﹣22+•）＝（3﹣2+）＝；故选：B．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：△ABC中，由cos A cos B cos C＞0知，△ABC是锐角三角形，由正弦定理可知sin B＝sin2A＝2sin A cos A，∴b＝2a cos A，∴＝＝tan A，∵A+B+C＝180°，B＝2A，∴3A+C＝180°，A＝60°﹣＞30°，∵2A＜90°，∴A∈（30°，45°），＜tan A＜1，则＜＜．故选：D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形，设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴CO1＝＝，∴OO1＝，∴高PD＝2OO1＝2，∵△ABC是边长为4正三角形，∴S△ABC＝＝4，∴V三棱锥P﹣ABC＝＝∴r2＝．则球O的表面积为4πr2＝．故选：D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣6【解答】解：在同一坐标系内作出函数y＝与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象，如图所示，则函数y＝的图象关于点（﹣1，0）对称，同时点（﹣1，0）也是函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤2）的对称点；由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上共有4个交点，且两两关于点（﹣1，0）对称；设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝2×（﹣1）＝﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×（﹣2）＝﹣4．故选：A．12．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【解答】解：设S（m，n）与渐近线y＝平行的直线方程为则M（m﹣，0），P（0，n﹣）．与渐近线y＝﹣平行的直线方程为则N（，0），Q（0，n+，|OM|＝||，|ON|＝||，|OP|＝||，|OQ|＝||，∴（+）•（|OP|+|OQ|）＝+（||），要使（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则．∴双曲线离心率e＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝±3．【解答】解：∵a3＝18，a5＝162，∴q2＝＝9，公比q＝±3．故答案为：±3．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）【解答】解：由题意a1＝∈[0，1]，a＝2（a1﹣0.5）＝2a1﹣1∈[﹣1，1]，又b∈[0，1]，由N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则＝，如图所示；∴所围成图形的面积可估计为S＝．故答案为：．15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为【解答】解：∵抛物线y2＝2px的焦点为F（，0）∴设弦AB所在直线的方程为y＝k（x﹣），（k≠0）与抛物线y2＝2px联解，得ky2﹣2py﹣kp2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝﹣p2．根据抛物线的定义，得|AB|＝x1+x2+p＝4p∴x1+x2＝y12+y22＝3p，得y12+y22＝6p2．由此可得|y1﹣y2|2＝（y12+y22）﹣2y1y2＝6p2﹣（﹣2p2）＝8p2．∴S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|OF|•|y1﹣y2|＝××，因此，三角形的面积为：．故答案为：．16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．【解答】解：不等式f（x）＞2017e x﹣1+1⇔＞2017．令g（x）＝，∵f′（x）＞f（x）﹣1，∴g′（x）＝＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，而g（1）＝＝2017，∴g（x）＞g（1），∴x＞1．∴不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由﹣＝2（+）（n∈N*），∴＝∴a n+12﹣2a n+1＝a n2+2a n，∴a n+12﹣a n2＝2（a n+1+a n），∴（a n+1﹣a n）（a n+1+a n）＝2（a n+1+a n），∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1﹣a n＝2，∵a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，（2）b n＝+（﹣1）n•a n＝22n+1+（﹣1）n•（2n+1）＝2×4n+（﹣1）n•（2n+1），设c n＝2×4n，则{c n}的前n项和为＝设d n＝（﹣1）n•（2n+1），当n为偶数时，{d n}的前n项和为（﹣3+5）+（﹣7+9）+…（﹣2n+1+2n+1）＝2×＝n，当n为奇数时，{d n}的前n项和为﹣3+（5﹣7）+（9﹣11）+…（2n﹣1﹣2n﹣1）＝﹣3﹣2×＝﹣3﹣（n﹣1）＝﹣n﹣2，故当n为偶数时，S n＝+n，当n为奇数时，S n＝﹣n﹣2＝﹣n﹣，综上所述S n＝．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．【解答】解：（1）∵频率直方图中，T∈[5，6）对应的小矩形最高，∴据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数为：＝5.5．由频率直方图估计早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：0.15×3.5+0.2×4.5+0.3×5.5+0.2×6.5+0.1×7.5+0.05×8.5＝5.55．（2）由题知严重拥堵中交通指数T∈[7，8）的有4个，记为a，b，c，d，交通指数T∈[8，9）的有2个，记为A，B，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，基本事件总数有15个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），（A，B），选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]包含的基本事件有8个，分别为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），∴恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率p＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°．又在△DAB中，有AD＝AB＝1，∴∠ADB＝45°．∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，则CD∥平面P AB，在Rt△PDA中，由AD＝PD＝1，可得D到P A的距离为，即D到平面P AB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面P AB的距离为．在Rt△P AB中，由AB＝1，P A＝，且F为P A的中点，可得．∴．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．【解答】（1）解：由题意可得：c＝＝b，a2＝b2+c2，解得c＝，b＝1，a＝2．∴椭圆C的方程为：＝1．（2）证明：设直线l1的方程为：y＝kx+1，（k＞0），则直线l1的方程为：y＝﹣x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝﹣，+1＝，可得A（﹣，）．联立，化为：（4+k2）x2﹣8kx＝0，解得x2＝，y2＝﹣×+1＝，可得B（，）．∴直线AB的方程为：y﹣＝（x﹣），化为：y﹣＝（x﹣），化为：y＝x﹣．∴直线AB过定点：．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．【解答】解：（1）证明：当a＝1，x＞0时，令g（x）＝，g′（x）＝e x﹣x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g″（x）＞0，g′（x）递增，g′（x）＞g′（0）＝0，∴g（x）递增，g（x）＞g（0）＝0，∴曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）由y＝ae x和y＝x+1，可得ae x＝x+1，即有a＝，设m（x）＝，可得m′（x）＝，当x＞0时，m′（x）＜0，m（x）递减；当x＜0时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）在x＝0处取得极大值，且为最大值1，图象如右上：由图象可得0＜a＜1时，a＝有两解，可得函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，则a的范围是（0，1）；（3）证明：由（2）可得ae x1＝x1+1，ae x2＝x2+1，作差可得a＝，要证a＞，即证＞，由x1＜x2时，即证x2﹣x1＞，即为x2﹣x1＞1﹣＝1﹣，可令t＝x2﹣x1，即为t＞1﹣，设n（t）＝t﹣1+，t＞0，n′（t）＝1﹣＝＞0，可得n（t）在t＞0上递增，可得n（t）＞n（0）＝0，可得t＞1﹣成立，则当x1＜x2时，a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ＝﹣4．∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2＝﹣4，即＝1．（2）将直线l：（t为参数），转换为：（t为参数），代入曲线，得到：7t2+40t﹣75＝0，所以，（t1和t2为M和N对应的参数），则＝＝．故+的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．【解答】解：（1）在等式x+y+z＝2两边平方得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，由基本不等式可得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz＝（x2+y2）+z2+2xy+2yz+2xz≥2xy+z2+2xy+2yz+2xz＝4xy+2yz+2xz+z2，当且仅当x＝y时，等号成立，因此，4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）由基本不等式可得++＝≥2（x+y+z）＝4，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．。

(优辅资源)黑龙江省哈尔滨市高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

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精品文档哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z满足z(2－i)＝1＋7i)A. B.C. D. 2精 品 文 档3.） A.B.C.D.4.）A.1B.2C.3D.45该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ）A.B.C.D. 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487）A. B.C. D.8. 圆O l1的点恰好有4个，则a的取值范围为()A.C. D.9.（）A. B.C. D.10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（）A. B. C. D.11. FP 在抛物线上，点QA.B. 4C.D. 3 12.（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15.AB=AD=2，BC=CD, ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)（1（218．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1）估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2）设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y（单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y的所有可能值并估计Y大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N分别为BC,DE中点．（1）证明：CN//平面AEM；（220. (本小题满分12分).（1（2）21. (本小题满分12分)（1）（2）请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)P.点M(O为极点). 设点M以极点O为原点，.（1（223. (本小题满分10分)（1（2）证明：二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15.三、解答题：17.解：（1（2）由（118.解：（1（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300故当最高气温不低于2019.（1中，，（2）解：又由（1又因为为中点，所以20．（1（2y设，，则，故点的横坐标为所以．设,因为，所以解得，．∵似，且21.解：（1.（2时，，，上单调增，合题意；单调递增，减，22解：（1为参数)（2则点到直线的距离即为底边上的高，所以。

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案

黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案

哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.B.C. D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++ C. 3223x x x +++ D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得 到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =u u u r u u u r，则||PQ =A.92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (,3)-∞ C. (1,2)- D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ， 试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =u u u r u u u r (O为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}32A x x =−<，2112x B x x ⎧⎫−=≤⎨⎬−⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2 C ．[]1,5− D ．[)1,5−2．命题“[1,2]x ∀∈，20x a −≤”是真命题的充要条件是（ ） A ．4a >B ．4a ≥C ．1a <D ．1a ≥3．已知方程()20,x ax b a b ++=∈R 在复数范围内有一根为23i +，其中i 为虚数单位，则复数i z a b =+在复平面上对应的点在（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机变量,X Y 分别满足(8,)X B p ~，()2,Y N μσ，且期望()()E X Y E =，又1(3)2P Y ≥=，则p =（ ） A ．18B ．14C ．38D ．585．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“007−”，578密位写成“578−”.若()2sin cos 2sin cos αααα−=，则角α可取的值用密位制表示正确的是（ ） A ．1150−B ．250−C ．1350−D ．3350−6．定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对于模m 同余，记作()mod a b m =，比如：()2616mod10=.已知0122101010101010888n C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，满足()mod 7n p =，则p 可以是（ ）A ．23B ．31C ．32D ．197．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左焦点为1F ，直线()0y kx k =>与双曲线C交于,P Q 两点，且12π3PFQ ∠=，114PF FQ ⋅=，则当22212b a a+取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 BC ．2D 8．已知a ，1b >，2b a ≠，22a ba ab +=，则（ ）A ．22(ln ln )b b a a −≤B ．22(ln ln )b b a a−≥ C ．2b a < D ．2b a >二、多选题9．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,0，则（ ） A ．4D =−，0E = B ．圆C 的半径为2C ．圆C 上的点到直线34y x =距离的最小值为15D ．圆C 上的点到直线34y x =距离的最小值为6510．下列说法正确的是（ ）A ．若事件,M N 互斥，()()11,23P M P N ==，则()56P M N ⋃=B ．若事件,M N 相互独立，()()11,23P M P N ==，则()23P M N ⋃=C ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()13P N = D ．若133(),(),()248P M P MN P M N ===∣∣，则()14P N M =∣ 11．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且()3π2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为T ，π2πT <<，则（ ）A ．56ω=B ．3π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）A ．勒洛四面体最大的截面是正三角形B ．若P ，Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为4C ．勒洛四面体ABCD的体积是 D ．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4三、填空题13．在等比数列{}n a 中，34a =，716a =，则5a =_________.14．设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b ==，则a 在b 上的投影向量是______. 15．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是________.16．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）.步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C .现有半径为4的圆形纸片，定点F 到圆心E 的距离为2，按上述方法折纸，在C 上任取一点M ，O 为线段EF 的中点，则OM 的最小值为________.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()22222(1tan )b b c a A =+−−.(1)求角C ；(2)若c =D 为BC中点，cos B =，求AD 的长. 18．已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n n a a a+=+．(1)求证：数列11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭为等比数列;(2)设数列{}n b 满足**11,2,N 22,21,N 2n n n t t ab n n n t t n n ⎧−=∈⎪⎪=⎨+⎪+−=−∈⎪+⎩，求最小的实数m ，使得122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．19．为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，部分数据如下：经计算得：20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，()202180i i x x =−=∑，()()201640i i i x x y y =−−=∑.(1)利用最小二乘法估计建立y 关于x 的线性回归方程1l ；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程2l ，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.（i ）求这两条直线的公共点坐标. （ii）比较1l 与2l 的斜率大小，并证明.附：y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆya bx =+中.()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑，ˆˆay bx =−，()()niix x y y r −−=∑20．已知函数sin ()e (1)x f x x =−+．(1)求函数()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； (2)证明：函数()y f x =在(1,0]−上有且仅有一个零点．21．在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC上，二面角111B AA C −−的大小为θ.(1)若120θ=?，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；(2)若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C −−的余弦值.22．已知椭圆C ：()2221024x y b b +=<<，设过点()1,0A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，交直线4x =于点P ，点E 为直线1x =上不同于点A 的任意一点.(1)若1AM ≥，求b 的取值范围；(2)若1b =，记直线EM ，EN ，EP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问是否存在1k ，2k ，3k 的某种排列1i k ，2i k ，3i k （其中{}{}123,,1,2,3i i i =，使得1i k ，2i k ，3i k 成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.。

黑龙江省哈尔滨九中2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷(文科) Word版含解析

黑龙江省哈尔滨九中2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷(文科) Word版含解析

黑龙江省哈尔滨九中2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x＜}，则A∩B=( )A．（0，）B．（0，]C．考点：交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点．专题：集合．分析：求出集合A，B，根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x|2x＜}={x|x＜}，则A∩B={x|0＜x＜}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，求出对应集合的元素是解决本题的关键．2．已知，则sinθ﹣cosθ的值为( )A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件求得2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，运算求得结果．解答：解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故选B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．3．角α的终边过点P（﹣8m，﹣6cos60°）且cosα=﹣，则m的值是( )A．B．﹣C．﹣D．考点：任意角的三角函数的定义．分析：从cosα=﹣，推出α在第二、三象限，﹣6cos60°可知α在第三象限，利用三角函数余弦的定义，可求m的值．解答：解：P（﹣8m，﹣3），cosα==﹣．∴m=或m=﹣（舍去）．故选A．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，象限角的判断，是中档题．4．已知p：∃x∈R，使；q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．下列结论：①“p∧q”是真②“￢p∨q”是真③“￢p∨￢q”是假④“p∧￢q”是假其中正确的是( )A．②③B．②④C．③④D．①②③考点：复合的真假；全称；特称．专题：综合题．分析：根据正弦函数的性质可知p：∃x∈R，使为假，￢p为真；由于x2+x+1=＞0恒成立，则可得q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0为真，￢q为假根据复合的真假关系即可判断解答：解：p：∃x∈R，使为假，￢p为真；由于x2+x+1=＞0恒成立，则可得q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0为真，￢q为假①“p∧q”是假，故①错误②“￢pⅤq”是真，故②正确③“￢pⅤ￢q”为真，故③错误④“p∧￢q”是假，故④正确其中正确的有②④故选B点评：本题主要考查了正弦函数的性质及二次函数的性质的应用，简单复合的真假关系的判断．5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为上的增函数”是“f（x）为上的减函数”的( )A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由题意，可由函数的性质得出f（x）为上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为上的减函数结合周期性即可得出f（x）为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为上的增函数，则f（x）为上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为上的减函数，故充分性成立．若f（x）为上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为上的增函数”是“f（x）为上的减函数”的充要条件．故选D．点评：本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误．6．若α是第四象限角，tan（+α）=﹣，则cos（﹣α）=( )A．B．﹣C．D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据α是第四象限角，tan（+α）=﹣=＜0，可得+α仍是第四象限角，故cos（﹣α）=sin（+α）．再由+=1，求得sin（+α）的值，即可求得cos（﹣α）的值．解答：解：∵α是第四象限角，tan（+α）=﹣=＜0，∴+α仍是第四象限角，∴cos（﹣α）=sin（+α）．再由+=1，求得sin（+α）=﹣，可得cos（﹣α）=﹣，故选D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．7．已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于（1，0）对称，则f（x）等于( ) A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：设（x，y）为y=f（x）图象上任意一点，由于函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于（1，0）对称，所以点（x，y）关于（1，0）对称的点（2﹣x，﹣y）应在函数y=的图象，将点的坐标代入即可．解答：解：设（x，y）为y=f（x）图象上任意一点，由于函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于（1，0）对称，所以，（x，y）关于（1，0）对称的点（2﹣x，﹣y）应在函数y=的图象，∴﹣y==，∴y=，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的变换，抓住点与点之间的关系是解题的关键．8．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是( )A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．已知f（x）=（x∈R），若关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为( )A．（，2）∪（2，e）B．（，1）C．（1，+1）D．（，e）考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．解答：解：化简可得f（x）==，当x≥0时，f′（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）＞0，当x≥1时，f′（x）≤0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，∴函数f（x）=在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0等价为m2﹣tm+t﹣1=0，要使关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2﹣tm+t﹣1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2﹣tm+t﹣1，则，即，解得1＜t＜1+，故选：C点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．二、填空题13．不等式|2x+1|+|x﹣1|＞3 的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：运用零点分区间的方法，讨论当x≤，当﹣，当x≥1，分别解不等式，再求并集即可．解答：解：当x≤，不等式即为﹣2x﹣1+1﹣x＞3，解得，x＜﹣1，则有x＜﹣1；当﹣，不等式即为2x+1+1﹣x＞3，解得，x＞1，则x∈∅；当x≥1，不等式即为2x+1+x﹣1＞3，解得，x＞1，则有x＞1．则原不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．14．设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及||=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标．解答：解：设=（x，y），∵与的方向相反，故=λ=（2λ，λ）（λ＜0）又∵||=2，∴5λ2=20解得λ=﹣2则=（﹣4，﹣2）．故答案为（﹣4，﹣2）．点评：本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据与的方向相反，给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键．15．f（x）=cos2x+sinx，x∈的值域为．考点：二倍角的余弦；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=﹣2+，再由sinx∈，利用二次函数的性质求得f（x）的值域．解答：解：∵f（x）=cos2x+sinx=1﹣2sin2x+sinx=﹣2+，x∈，∴sinx∈，故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为；当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为0，故函数的值域为，故答案为：．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式、二次函数的性质、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①③．考点：二倍角的正弦．专题：探究型；三角函数的图像与性质．分析：①f（）=|cos|•sin==﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，列举反例x1=0，x2=时也成立；③在区间上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增；④由f（x+π）≠f（x），可得函数f（x）的周期不是π；⑤由函数f（x）=|cosx|•sinx，可得函数是奇函数．解答：解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．三、解答题17．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A 作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC 平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．18．三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin （A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化简求得cosB的值．（Ⅱ）根据b=，求得ac=b2的值，求得sinB=的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+3是偶函数，且过点（﹣1，4），g（x）=x+4．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数F（x）=f（2x）+g（2x+1）的值域；（Ⅲ）若f（x）≥g（mx+m）对x∈恒成立，求实数m 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据偶函数的定义，即f（﹣x）=f（x），从而求得b=0，再根据f（x）过点（﹣1，4），代入即可求得a的值，从而得到f（x）的解析式；（Ⅱ）根据f（x）和g（x）的解析式，以及F（x）=f（2x）+g（2x+1），求出F（x）的解析式，利用换元法，令t=2x，则将函数F（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得F （x）的值域；（Ⅲ）f（x）≥g（mx+m）对x∈恒成立，即x2+3≥mx+m+4对x∈恒成立，利用参变量分离的方法，将不等式转化为m≤x﹣1对x∈恒成立，即求x﹣1的最小值，从而得到实数m 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2+bx+3是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）对x∈R恒成立，即ax2﹣bx+3=ax2+bx+3对x∈R恒成立，∴2bx=0对x∈R恒成立，∴b=0，∴f（x）=ax2+3，∵二次函数f（x）图象过点（﹣1，4），∴f（﹣1）=a+3=4，解得a=1，∴f（x）=x2+3；（Ⅱ）∵f（x）=x2+3，g（x）=x+4，∴F（x）=f（2x）+g（2x+1）=（2x）2+3+2x+1+4=（2x）2+2•2x+7，设2x=t，则t∈（0，+∞），∴y=t2+2t+7=（t+1）2+6＞7，∴函数F（x）=f（2x）+g（2x+1）的值域为（7，+∞）；（Ⅲ）∵f（x）=x2+3，g（x）=x+4，∴f（x）≥g（mx+m）对x∈恒成立，即x2+3≥mx+m+4对x∈恒成立，∴m（x+1）≤x2﹣1对x∈恒成立，∵2≤x≤6，则3≤x+1≤7，∴m≤x﹣1对x∈恒成立，即m≤（x﹣1）min，由∵x∈，∴1≤x﹣1≤5，∴m≤（x﹣1）min=1，∴m≤1，∴实数m 的取值范围为m≤1．点评：本题考查了求函数的解析式，函数的恒成立问题，函数的值域问题．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．对于不等式的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．20．（1）已知cos2α=﹣，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，求β；（2）已知sin（2α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（，π），β∈（﹣，0），求sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（1）由角的范围和二倍角的余弦公式可得cosα和sinα，再由同角三角函数的基本关系可得sin（α﹣β）的值，进而可得cosβ，可得β的值；（2）由角的范围和同角三角函数的基本关系可得cos（2α﹣β）和cosβ，进而可得cos2α的值，由1﹣2sin2α=cos2α结合α的范围，解关于sinα的方程可得．解答：解：（1）∵0＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，∵cos2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α=﹣，∴cosα=，sinα=，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，∴cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，又0＜β＜可得β=；（2）∵α∈（，π），β∈（﹣，0），∴2α﹣β∈（π，），又∵sin（2α﹣β）=，∴2α﹣β∈（2π，），∴cos（2α﹣β）==，∵sinβ=﹣，β∈（﹣，0），∴cosβ==，∴cos2α=cos=cos（2α﹣β）cosβ﹣sin（2α﹣β）sinβ==，又cos2α=1﹣2sin2α，∴1﹣2sin2α=，又α∈（，π），∴sinα＞0，∴sinα=点评：本题考查两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式，属中档题．21．已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值a2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．已知函数f（x）=x﹣1+，（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，f′（x）=1﹣=，由f′（x）=0得x=lna，分x∈（﹣∞，lna）与（﹣∞，lna）两种情况写出f（x）的单调递减区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx ﹣1无解，则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决．解答：解：（1）∵f（x）=x﹣1+，∴f′（x）=1﹣=，由f′（x）=0得x=lna∴当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，∴（﹣∞，lna）是f（x）的单调递减区间；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴（lna，+∞）是f（x）的单调递增区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，∴k max=1点评：本题考查导数的应用，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。

黑龙江省哈尔滨三中2017-2018学年高三二模数学试卷(文科) Word版含解析

黑龙江省哈尔滨三中2017-2018学年高三二模数学试卷(文科) Word版含解析

黑龙江省哈尔滨三中2017-2018学年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．cos240°=( )A．B．C．D．2．已知i是虚数单位，则=( )A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i3．已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（∁U B）∩A={9}，则A等于( )A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}4．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=( ) A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣26．如果执行下面的框图，运行结果为( )A．B．3 C．D．47．若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=( ) A．﹣B．C．﹣D．8．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）9．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=( )A．44B．45C．（46﹣1）D．10．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )A．B．C．3D．311．已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．512．若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：①f（x）=﹣x3；②f（x）=3x；③f（x）=sin；④f（x）=2ln3x﹣3．其中可以找到一个区间使其为保城函数的有( )A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是__________．14．某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元） 2 3 4 5利润y（单位：万元）26 ●49 54根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为__________．15．过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是__________．16．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于__________．三、解答题（共5小题，07分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=．（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值．18．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为，求实数a的取值范围．黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．cos240°=( )A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．2．已知i是虚数单位，则=( )A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．3．已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（∁U B）∩A={9}，则A等于( )A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}考点：Venn图表达集合的关系及运算．分析：由韦恩图可知，集合A=（A∩B）∪（C U B∩A），直接写出结果即可．解答：解：因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为C U B∩A={9}，所以9∈A，选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．故选D．点评：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．4．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由题意看“x＞0”与“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：对于“x＞0”⇒“x≠0”；反之不一定成立，因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件，故选A．点评：本小题主要考查了的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了的概念和对于概念的理解程度．5．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=( ) A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．解答：解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．6．如果执行下面的框图，运行结果为( )A．B．3 C．D．4考点：循环结构．专题：计算题．分析：先由流程图判断其作用，即求数列=的前9项和，再对数列进行裂项求和即可解答：解：本框图的作用即求s=1++++…+=1+（﹣1）+（﹣）+…+（）==3故选B点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的认识和意义，循环结构的流程规则7．若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．解答：解：∵⊥，∴•=0，即sin（α+）+cosα﹣=0，即sinα+cosα=，即sinα+cosα=，即sin（α+）=，∴sin（α+）=sin（α++π）=﹣sin（α+）=﹣，故选：C点评：本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键．8．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y 化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．9．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=( )A．44B．45C．（46﹣1）D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n+1=3S n（n∈N*），∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，S1=1，S2=3+1=4．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为4．∴S n=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )A．B．C．3D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体，其截面是一个梯形，上底长为=，下底边长为=2，高为：=，故截面的面积S=（+2）×=，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C 三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．解答：解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|=|MF|∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|∵A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|﹣r=5﹣1=4∴（|MA|+|MF|）min=4故选C．点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小．12．若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：①f（x）=﹣x3；②f（x）=3x；③f（x）=sin；④f（x）=2ln3x﹣3．其中可以找到一个区间使其为保城函数的有( )A．①②B．①③C．②③D．②④考点：函数的值．专题：新定义．分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：①对于函数f（x）=﹣x3存在“等值区间”，如x∈时，f（x）=﹣x3∈．②对于函数f（x）=3x，若存在“等值区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有3a=a，3b=b，即方程3x=x有两个解，即y=3x和y=x的图象有两个交点，这与y=3x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“等值区间”．③对于函数f（x）=sin，存在“等值区间”，如x∈时，f（x）=sin∈；④对于f（x）=2ln3x﹣3，由于函数是定义域内的增函数，故有2ln3x﹣3=x有两个解，不成立，所以不存在“等值区间”．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，考查了函数的值域，在说明一个函数没有“等值区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于创新题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，算出所有结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，列举出的结果，最后根据概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则有2×2×2×2=16，共有16种结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，即连续输出的4个数字中有两个1和两个2，表示为1，1，2，2；1，2，1，2；1，2，2，1；2，1，1，2；2，2，1，1；2，1，2，1．可知有6种结果，∴根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：．点评：本题考查古典概型，是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件，也可以列举出满足条件的事件，是一个基础题．14．某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元） 2 3 4 5利润y（单位：万元）26 ●49 54根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为49．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：设●为a，求出=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，即可求得a的值．解答：解：设●为a，则由题意，=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，∴a=49故答案为：49．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．15．过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（，）．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的渐近线斜率2＜＜3，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围．解答：解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，∵===，∴＜e＜，∴双曲线离心率的取值范围为（，）．故答案为：（，）．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题16．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．三、解答题（共5小题，07分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=．（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合同角的商数关系，化简整理，即可得到所求值．解答：解：（1）由正弦定理可得，sinAsinB+sinAcosB=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即有sinAsinB=cosAsinB，即tanA==，0＜A＜π，则A=；（2）由A=，则B+C=，由正弦定理，可得c=3b，即为sinC=3sinB，即sinC=3sin（﹣C）=3（cosC+sinC），即有﹣sinC=3cosC，则tanC==﹣3．点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键．18．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，求出不小于3的频率是多少即可；（2）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少．解答：解：（1）根据频率分布直方图，得；该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，记为1、2、3、4、甲、乙；现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；∴对应的概率为P==．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．解答：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞=．∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．20．已知F1（﹣2，0）、F2（2，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上的点，且•的最大值为2．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆于M、N两点，且||•||sinθ=cosθ，求l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得c=2，设P（m，n），则=（﹣2﹣m，﹣n），=（2﹣m，﹣n），运用向量的数量积的坐标表示和椭圆的性质，结合两点的距离公式，即可得到最大值a2﹣4，进而得到a，b，即可得到椭圆方程；（2）椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，结合向量的数量积的定义和三角形的面积公式，解方程可得k，由此能求出l的方程．解答：解：（1）由题意可得c=2，设P（m，n），则=（﹣2﹣m，﹣n），=（2﹣m，﹣n），则•=m2+n2﹣4，当P为长轴的端点时，P到原点的距离最大，且为a，即有a2﹣4=2，即a=，即有b==，则椭圆方程为+=1；（2）椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∵•==||•||cosθ≠0，∴||•||sinθ=，即S△OMN=，∵|MN|=•|x1﹣x2|=，原点O到m的距离d=，则S△OMN=|MN|•d=••=，解得k=±，∴l的方程为y=±（x+2）．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=时，求f（x）在定义域上的单调区间．（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过分析x的取值范围情况，讨论当a=时f′（x）的正负，即得单调区间；（2）通过求导，问题转化为a＜=g（x），即求g min（x），利用函数g（x）的单调性即可得答案．解答：解：（1）当a=时，f（x）=lnx+，令f′（x）====0，解得x1=2，x2=，由f（x）的定义可知x＞0，下面对x的取值范围进行讨论：①当时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，）上单调递增；②当时，f′（x）＜0，此时f（x）在上单调递减；③当x＞2时，f′（x）＞0，此时f（x）在（2，+∞）上单调递增；综上所述，f（x）在定义域上的单调递增区间为（0，）∪（2，+∞），单调递减区间为；（2）∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f′（x）=＞0，即，∴a==，记g（x）=，则a＜g min（x），令g′（x）=1==0，则x=1或﹣1（舍），所以当0＜x＜1时g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴g min（x）=g（1）=1+2+1=4，即实数a的取值范围为：a＜4．点评：本题考查函数的单调区间，最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半径．解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE•DB．（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（1）把曲线M的参数方程化为y=x2﹣1，把曲线N的极坐标方程化为x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．（2）当t=﹣2时，曲线N即x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．解答：解：（1）曲线M （θ为参数），即x2=1+y，即y=x2﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈．把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）化为直角坐标方程为x+y﹣t=0．由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以﹣+1＜t≤+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即x2+x﹣1﹣t=0 有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣．综上可得，要求的t的范围为（﹣+1，+1]∪{﹣}．（2）当t=﹣2时，曲线N即x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为=．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|2x+a|+x．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值的含义，对x讨论，分当x≥1时，当x＜1时，最后取各部分解集的并集即可；（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含，等价于f（x）≤|x+3|在内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤|x+3|的解集与区间的关系．解答：解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1即为|2x﹣2|≤x+1，当x≥1时，不等式即为2x﹣2≤x+1，解得1≤x≤3；当x＜1时，不等式即为2﹣2x≤2x+1，解得≤x＜1．即有原不等式的解集为；（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含，等价于f（x）≤|x+3|在内恒成立，从而原不等式可化为|2x+a|+x≤x+3，即|2x+a|≤3，∴当x∈时，﹣a﹣3≤2x≤﹣a+3恒成立，∴﹣a﹣3≤2且﹣a+3≥4，解得﹣5≤a≤﹣1，故a的取值范围是．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法，一般有根据绝对值的含义和零点分段法，函数图象法等．同时考查不等式恒成立问题，注意由条件去掉一个绝对值符号，是解题的关键．。

黑龙江省哈尔滨九中高考二模文科数学试卷有答案

黑龙江省哈尔滨九中高考二模文科数学试卷有答案

黑龙江省哈尔滨九中2017年高考二模文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位,复数z 满足(1i)1i z -=+,则z 的共轭复数是（ ） A.1B.﹣1C.iD.i -2．设非空集合P,Q 满足P Q P =,则（ ）A.x Q ∀∈，有x P ∈B.x Q ∀∉，有x P ∉C.x Q ∃∉，使得0x P ∈D.x Q ∃∈，使得0x P ∉3．若过点(0,1)A -的直线l 与圆22(3)4x y +-=的圆心的距离记为d,则d 的取值范围为（ ） A.[0,4]B.[0,3]C.[0,2]D.[0,1]4．从1,2,3, 4,5,6,7,8中随机取出一个数为x,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于40的概率为（ ）A.34B.58C.78D.125．以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.2或3C.3D.26．若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A. 16B.32C.48D.1447．已知实数a,b 满足23,32a b ==,则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2)8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且2AB BC CA ===,则球面面积是（ ） A.16π9B.8π3C.4πD.64π99．若实数x ，y 满足|3|1x y -≤≤，则2x yz x y+=+的最小值为（ ） A.53B.2C.35D.1210.函数ππ()24sin ,[,]22f x x x x =-∈-的图像大致是（ ）A B C D11．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则||QF =（ ）A.72B.3C.52D.212．已知数列{}n a 的通项公式为*π(1)(21)cos 1()2n n n a n n =--+∈N ,其前n 项和为n S ,则60S =（ ） A.30-B.60-C.90D.120二、填空题13．已知向量(1,2),(4,3)a b ==,且()a ta b ⊥+,则实数t =__________.14．为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-.由以上信息,得到下表中c 的值为__________.15．设等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,若11a d ==,则8n nS a +的最小值__________. 16．已知222()()(ln2)f x x a x a =-+-,其中0,x a ∈R ＞,存在0x 使04()5f x ≤,求a =__________.三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）设函数24π()cos(2)2cos 3f x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的最大值,并写出使()f x 取最大值是x 的集合；（Ⅱ）已知ABC △中,角A,B, C 的对边分别为a,b,C.若3(),22f b c b c +=+=.求a 的最小值.18．（12分）某批次的某种灯泡共200个,对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据,写出a,b,c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个,求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了*()n n ∈N 个,如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n 的最小值.19．（12分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,,60,PD AD DAB PD ABCD =∠=︒⊥面． （Ⅰ）求证AC PB ⊥；（Ⅱ）求PA 与平面PBC 所成角的正弦值.20．（12分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点,12F PF △内切圆面积的最大值为π3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ,过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A,B 两点,连结11,A A A B 并延长交直线4x =分别于P,Q 两点,以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由. 21．（12分）已知0a ＞,函数2()ln f x x ax =- （1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =时,证明：存在0(2,)x ∈+∞,使03()()2f x f =；（3）若存在属于区间[1,3]的,αβ,且1βα-≥,使()()f f αβ=,证明：ln3ln 2ln 253a -≤≤. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为x mty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ+=,直线l 过曲线C 的左焦点F.（1）直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求||AB ； （2）设曲线C 的内接矩形的周长为c,求c 的最大值. [选修4-5：不等式证明选讲] 23．已知函数2294π(),(0,)sin cos 2f x x x x =+∈,且()f x t ≥恒成立. （1）求实数t 的最大值；（2）当t 取最大时,求不等式|||21|65tx x ++-≤的解集.黑龙江省哈尔滨九中2017年高考二模文科数学试卷答 案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5.DBABB 6~10.CBDAD 11~12.BD 二、填空题 13．2- 14．615．92 16．15三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解：（Ⅰ）24π()cos(2)2cos 3f x x x =-+ 4π4π(cos2cossin 2sin )(1cos2)33x x x =+++1πcos221cos(2)123x x x =+=++，（3分） ∵π1cos(2)13x -+≤≤，即πcos(2)3x +最大值为1， ∴()f x 的最大值为2，（4分）要使()f x 取最大值，πcos(2)13x +=，即π22π()3x k k +=∈Z ，解得：ππ()6x k k =-∈Z ， 则x 的集合为π{|π()}6x x k k =-∈Z ；（6分）（Ⅱ）由题意，π3()cos[2()]132f B C B C +=+++=，即π1cos(2π2)32A -+=，化简得：π1cos(2)32A -=，（8分）∵(0,π)A ∈，∴ππ5π2(,)333A -∈-，则有ππ233A -=，即π3A =，（10分）在ABC △中，12,cos 2b c A +==，由余弦定理，2222π2cos ()33a b c bc b c bc =+-=+-，（12分）由2b c +=知：2)12b c bc +=≤(，当且仅当1b c ==时取等号， ∴2431a -=≥，则a 取最小值1．（14分）18．解：（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，得300.15200a ==， 10307200()36000b +++=-=， 600.3200c ==． （Ⅱ）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A ．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005P A +==． （Ⅲ）由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60：100：40=3：5：2．所以按分层抽样法，购买灯泡数*35210()n k k k k k =++=∈N ，所以n 的最小值为10.19．（1）证明∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∵PD ⊥⊥底面ABCD ，∴AC PD ⊥， ∵BDPD D =，∴AC PDB ⊥平面，∵PB PDB ⊂平面∴AC PB ⊥．（2）解：设1PD AD ==，设A 到平面PBC 的距离为h ，则由题意PA PB PC ==11224ABC S ==△在等腰PBC △中，可求112PBC S =⨯△∴11,34347A PBC P ABC V V h h --=⨯⨯=⨯1⨯=∴sinh PA θ===20．解：（1）∵椭圆的离心率为12，不妨设,2c t a t ==，即b =，其中0t ＞，又12F PF △内切圆面积取最大值π3时，半径取最大值为r =， ∵12122F PF F PF rS C =△△，12F PF C △为定值， ∴12F PF S △也取得最大值，即点P 为短轴端点，∴11132(22),23(42)2222r c b a c t t t t =+=+，解得1t =， ∴椭圆的方程为22143x y +=．（4分）（2）设直线AB 的方程为11221,(,),(,)x ty A x y B x y =+，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++， 直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----，直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----，则121266(4,),(4,)22y y P Q x x ++， 假设PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ， 则121266(4,),(4,)22y y MP m n MQ m n x x =--=--++， 2121266(4)()()022y y MP MQ m n n x x =-+--=++， 即2121266(4)()()033y y MP MQ m n n ty ty =-+--=++， 即22121221212(3612)18()(4)03()9nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++， 2222(3612)(9)18(6)(4)093(6)9(34)nt n t n m t t t t ---+++-=-+-++，即2269(4)0nt n m -++-=， 若PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ，即不论t 为何值时，0MP MQ =恒成立， ∴0,1n m ==或7m =．∴以PQ 为直径的圆恒过定点(1,0)和(7,0)．（12分）21．解：（1）由题意得函数2()ln f x x ax =-的定义域为2112(0,),()2ax f x ax x x-'+∞=-=，当0a ≤时，()0f x '＞，则函数2()ln f x x ax =-在(0,)+∞上单调递增；当0a ＞时，0x ＞，由()0f x '＞得0x ＜()0f x '＜得x ，∴()f x 在上单调递增；在)+∞上单调递减，综上所述，结论是0a ≤时，函数2()ln f x x ax =-的单调增区间为(0,)+∞；0a ＞时，函数2()ln f x x ax =-的单调增区间为，单调减区间为)+∞． （2）证明：当18a =时，函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 则3()(2)2f f ＜，又()f x 在(2,)+∞上的值域为(,(2))f -∞，∴存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =，综上所述，结论证明成立．（3）证明：()()f f αβ=，由（1）知αβ，又1,,[1,3]βααβ-∈≥，所以123αβ≤≤≤≤， 所以(2)()(1)(2)()(3)f f f f f f αβ⎧⎨⎩≥≥≥≥，即ln 24ln 24ln 39a a a a--⎧⎨--⎩≥≥，所以ln3ln 2ln 253a -≤≤． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．解：（1）曲线22:14x C y +=，∴(F ，曲线C 与直线联立得21310t --=，方程两根为12,t t ，则12162||13AB t t =-=．（2）设矩形的第一象限的顶点为π(2cos ,sin )(0)2θθθ＜＜，所以4(2cos sin ))c θθθφ=+=+，所以当sin()1θφ+=时，c 最大值为 [选修4-5：不等式证明选讲] 23．解：（1）因为2294π(),(0,)sin cos 2f x x x x =+∈，且()f x t ≥恒成立， 所以只需min ()t f x ≤，又因为222222222294949cos 4sin ()()(sin cos )13sin cos sin cos sin cos x x f x x x x x x x x x=+=++=++1325+=≥，所以25t ≤，即t 的最大值为25．（2）t 的最大值为25时原式变为|5||21|6x x ++-≤，当12x ≥时，可得346x +≤，解得1223x ≤≤；当5x -≤≤时，可得346x --≤，无解；当152x -≤≤时，可得66x -+≤，可得102x ≤≤；综上可得，原不等式的解集是1{|0}2x x ≤≤．黑龙江省哈尔滨九中2017年高考二模文科数学试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=1+i，得，则z的共轭复数是：﹣i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．【考点】2I：特称命题．【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【解答】解：∵P∩Q=P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系．3．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心与半径，结合已知条件推出d的范围即可．【解答】解：圆x2+（y﹣3）2=4的圆心（0，3），半径为2，过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2=4的圆心的距离记为d，最小值就是直线经过圆的圆心，最大值就是点与圆心的连线垂直时的距离．d的最小值为0，最大值为：=4．d∈[0，4]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．4．【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前2项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于40得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于40的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为9x+4，令9x+4≥40，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于40的概率为：．故选：B．【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基本知识的考查．5．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】由已知得，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：∵以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，∴或，当时，b=，c2=a2+3a2=4a2，c=2a，此时e==2，当时，b=a，，c=，此时e=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．6．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积V=××6×6=48．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．7．【考点】51：函数的零点；49：指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．【点评】本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．8．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键．9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（2，1），z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值为，故选A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.【考点】3O：函数的图象．【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．12．【考点】8E：数列的求和．【分析】由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得S60的值．【解答】解：由a n=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1，得，a2=3cosπ+1=﹣2，，a4=7cos2π+1=8，，a6=11cos3π+1=﹣10，，a8=15cos4π+1=16，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120.故选：D．【点评】本题考查了数列递推式，考查了三角函数的求值，关键是对数列规律的发现，是中档题．二、填空题13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，然后根据便可得出，进而得出关于t的方程，解出t即可．【解答】解：；∵；∴；即t+4+2（2t+3）=0；解得t=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量坐标的加法、数乘及数量积运算，以及向量垂直的充要条件．14．【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（3+4+5+6+7）=5，=（2．5+3+4+4．5+c）=∴这组数据的样本中心点是（5，）把样本中心点代入回归直线方程=0.85x﹣0.25∴=0.85×5﹣0.25，∴c=6故答案为：6【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．15．【考点】8K：数列与不等式的综合；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】求出等差数列的和与通项公式，然后化简表达式，利用基本不等式求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a1=d=1，S n=（n2+n），a n=n，∴．当且仅当n=4时取等号．故答案为：．【点评】本题考查数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．16．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】把f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2看作是动点P（x，lnx2）与动点Q（a，2a）之间距离的平方，然后把存在x0使f（x0）≤转化为直线y=2x与曲线y=2lnx上点的距离的最小值小于等于，再利用导数得答案．【解答】解：f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2可以看作是动点P（x，lnx2），与动点Q（a，2a）之间距离的平方，动点P在函数y=2lnx的图象上，Q在直线y=2x上，问题存在x0使f（x0）≤，转化为求直线y=2x上的动点到曲线的最小距离，对函数y=2lnx求导，得，由，解得x=1，此时直线y=2x与曲线y=2lnx的切点为（1，0），∴直线y=2x上的动点与曲线y=2lnx上点的最小距离为d=，∴，根据题意，要使f（x0）≤，则，此时Q恰好为垂足，即，解得a=．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【考点】HR：余弦定理；GI：三角函数的化简求值；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）由f（B+C）=，将B+C代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos（2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c2﹣2bccosC，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值．【点评】此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由频率分布表中的数据，求出a、b、c的值．（Ⅱ）根据频率分布表中的数据，求出此人购买的灯泡恰好不是次品的概率．（Ⅲ）由这批灯泡中优等品、正品和次品的比例数，再按分层抽样方法，求出购买灯泡数n的最小值．【点评】本题考查了分层抽样方法以及古典概型的概率及其应用问题，解题时应根据题目中的表格求出未知的量，利用概率的知识解答，是综合题．19．【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD证得．（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．【点评】本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．20.【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到，从而证明结论；（3）根据函数的单调性得到1≤α≤2≤β≤3，得到关于a的不等式组，解出即可．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C与直线联立，利用参数的几何意义，求|AB|；（2）设矩形的第一象限的顶点为，所以，即可求c的最大值．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式证明选讲]23．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）问题转化为t≤f（x）min，根据不等式的性质求出t的范围即可；（2）原式变为|x+5|+|2x﹣1|≤6，通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．。

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i2．（5分）已知集合A＝{0，2，4，6}，B＝{n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8B．7C．6D．43．（5分）对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z＝x﹣3y的最小值（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣85．（5分）在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣3）2+y2＝1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．27．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10B．20C．40D．608．（5分）已知sin（﹣α）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．D．9．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））＝1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）“关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x对称，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线y2＝2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是．14．（5分）以模型y＝ce kx（e为自然对数的底）去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程为z＝0.4x+2，则c＝．15．（5分）在△ABC中，已知c＝2，若sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，则a+b的取值范围．16．（5分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）＝x2②f（x）＝xe x ③④其中函数f（x）为“期望函数”的是．（写出所有正确选项的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝3，a n+1＝2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（10分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两车辆中恰好有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌的二手车，求一辆车盈利的平均值．19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点M为线段P A上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM＝DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若PD＝2，M为线段P A中点，求三棱锥P﹣MNB的体积．20．（10分）已知圆O：x2+y2＝4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC 交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx（m∈R），．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g（x1﹣x2）的最小值．22．（10分）圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）＝2．（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．23．（10分）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【解答】解：复数＝＝﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．2．（5分）已知集合A＝{0，2，4，6}，B＝{n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：∵集合A＝{0，2，4，6}，B＝{n∈N|2n＜8}＝{0，1，2}，∴集合A∩B＝{0，2}，∴集合A∩B的子集个数为n＝22＝4．故选：D．3．（5分）对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α【解答】解：A答案中：如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α故D答案错误；故选：A．4．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z＝x﹣3y的最小值（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．5．（5分）在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣3）2+y2＝1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为（3，0），半径为1．要使直线y＝kx与圆（x﹣3）2+y2＝1相交，则圆心到直线y＝kx的距离＜1，解得﹣＜k＜．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1相交”发生的概率为＝．故选：B．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10B．20C．40D．60【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，故几何体的体积V＝（1﹣）Sh＝××3×4×5＝20，故选：B．8．（5分）已知sin（﹣α）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（﹣α）＝cos[﹣（﹣α）]＝cos（+α）＝，∴sin（﹣2α）＝cos[﹣（﹣2α）]＝cos[2（+α）]＝2cos2（+α）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：A．9．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））＝1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，∴当x为有理数时，ff（（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．10．（5分）“关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根，则．方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，则．上述两个不等式组相互推不出．∴关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件．故选：D．11．（5分）已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x对称，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x对称可得：，解得：﹣2≤x≤2．根据反函数的性质，可得﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤kx≤2，∵0＜x≤e，∴≤k≤，解得：．故选：B．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线y2＝2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，A（﹣，c），代入双曲线方程，可得﹣＝1，整理可得e4﹣8e2+4＝0，∵e＞1，∴e＝+1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是144．【解答】解：由题意a＝12×12＝144．故答案为：144．14．（5分）以模型y＝ce kx（e为自然对数的底）去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程为z＝0.4x+2，则c＝e2．【解答】解：∵y＝ce kx，∴两边取对数，可得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.4x+2∴lnc＝2，∴c＝e2．故答案为：e215．（5分）在△ABC中，已知c＝2，若sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，则a+b的取值范围（2，4]．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab＝c2，可得cos C＝＝，C∈（0，π），∴C＝．由正弦定理可得：＝＝，∴a＝sin A，b＝sin B，B＝﹣A．则a+b＝sin A+sin B＝sin A+sin（﹣A）＝4sin，A∈，∴∈，∴sin∈，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．16．（5分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）＝x2②f（x）＝xe x③④其中函数f（x）为“期望函数”的是③④．（写出所有正确选项的序号）【解答】解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|＝x2≤|x|，当x＝0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“期望函数”；对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|＝，当x＝0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×＝，∴k≥．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴③是“期望函数”；对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|＝，当x＝0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×，k≥2017，．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴④是“期望函数”；故答案为：③④．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝3，a n+1＝2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵a n+1＝2S n+3，∴当n≥2时，a n＝2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝2a n，化为a n+1＝3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n＝3n．（II）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n＝3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n＝3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1＝（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n＝（n﹣1）•3n+1+3．18．（10分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两车辆中恰好有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌的二手车，求一辆车盈利的平均值．【解答】解：（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为P＝．（2）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为b1，b2，四辆非事故车设为a1，a2，a3，a4，从六辆车中随机挑选两辆车共有：（b1，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），总共15种情况，其中两辆车恰好有一辆事故车共有（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），共8种情况，所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为P＝．②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为[（﹣5000）×40+10000×80]＝5000元．19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点M为线段P A上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM＝DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若PD＝2，M为线段P A中点，求三棱锥P﹣MNB的体积．【解答】证明：（1）延长AN，交CD于点G，连结PG，由相似知，∴MN∥PG，∵MN⊄平面PCD，PG⊂平面PCD，∴直线MN∥平面PCD．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则M（1，0，1），N（1，1，0），P（0，0，2），B（2，2，0），＝（1，0，﹣1），＝（1，1，﹣2），＝（2，2，﹣2），设平面PNB的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），点M到平面PBN的距离d＝＝，S△PNB＝＝＝，∴三棱锥P﹣MNB的体积V P﹣MNB＝V M﹣PBN＝＝＝．20．（10分）已知圆O：x2+y2＝4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC 交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设M（x0，y0），则M处的切线为x0x+y0y＝4，则，，则P：，则E：＝1（y≠0），曲线E的方程＝1（y≠0）；（Ⅱ）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设l GH：y＝kx+1，则l KH：y＝﹣x+1，联立，整理得（1+4k2）x2+8kx＝0，由于△＞0恒成立，设两个根为x1，x2，则丨GH丨＝|，同理，丨HK丨＝，|由丨GH丨＝丨HK丨知：|k|（k2+4）＝4k2+1，得：①k＞0时，得（k﹣1）（k2﹣3k+1）＝0得：k＝1或k＝②k＜0时，得（k+1）（k2+3k+1）＝0得：k＝﹣1或k＝综上，共分三种情况两条直角边所在直线方程为：y＝±x+1；两条直角边所在直线方程为：y＝x+1；两条直角边所在直线方程为：y＝x+1．21．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx（m∈R），．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g（x1﹣x2）的最小值．【解答】解：（1）函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2+＝，令f′（x）＝0并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0，△＝4﹣8m，令△＝0，解得：m＝，由f′（x）＝0，解得：x＝或x＝，故①，单调递增，单调递减，单调递增；②m≤0，单调递减，单调递增；③，（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）f′（x）＝2x﹣2+＝（x＞0），令f′（x）＝0，得2x2﹣2x+m＝0①，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，（x1＜x2），∴方程①在（0，+∞）上有两个不等实根x1，x2，∴⇔0＜m＜，且x1+x2，＝1，0＜x1＜，x1﹣x2＝x1﹣（1﹣x1）＝2x1﹣1∈（﹣1，0），g′（x）＝（x+）e x，当x∈（﹣1，﹣）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣，0）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，﹣）上是减函数，g（x）在（﹣，0）上是增函数，∴g（x1﹣x2）的最小值为g（﹣）＝﹣．22．（10分）圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）＝2．（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．【解答】解：（1）∵圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）＝2，∴曲线C的直角坐标方程：x2+y2+y2＝2，化为，焦点直角坐标：F1（﹣1，0），F2（1，0）焦点极坐标：F1（1，π），F2（1，0）．（2）∵直线l的极坐标方程为β＝（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y＝，曲线C的参数方程为，（0≤θ＜2π），设M（），则M到直线的距离d＝＝，∴sin（θ+α）＝1时，曲线C上的点M到直线l的距离最大，此时解得sinθ＝，cosθ＝﹣；sinθ＝﹣，cosθ＝．或23．（10分）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）【解答】（Ⅰ）解：|3a+b|+|a﹣b|≥|3a+b+a﹣b|＝4|a|，当且仅当（3a+b）（a﹣b）≥0时取等号，只需：4|a|≥|a|（|x+1|+|x﹣1|），由于a≠0，只需|x+1|+|x﹣1|≤4，表示数轴上的点与﹣1，1的距离之和小于等于4，所以：x的取值范围为：[﹣2，2]；（Ⅱ）解得：M＝（0，1），a∈M，b∈M知：＞0，即．。

黑龙江省哈尔滨市高三数学二模考试试题 文(扫描版)

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黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学二模考试试题文（扫描版）
2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学答案（文史类）
1-------6：BDADBC 7---------12：BAADBC
13.144 14. 15. 16.③④
17. 解：（1）当时，由，得，（1分）
两式相减，得，，（3分）
当时，，，则.
数列是以3为首项，3 为公比的等比数列（5分）
（6分）
（2）由（1）得
错位相减得=
（12分）
18、解：（1） (4分)
(2)①（8分）
②5000 （12分）
19.（Ⅰ）延长，交于点，由相似知，
平面，平面，则直线平面；（6分）
（Ⅱ）（6分）
20. （Ⅰ）设，则处的切线为，则，，
则，则；（6分）
（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则
，得，由于恒成立，设两个根为，
则，同理，
由知：，得：
（1）时，得得：或
（2）时，得得：或
综上，共分三种情况
（1）两条直角边所在直线方程为：；
（2）两条直角边所在直线方程为：
（3）两条直角边所在直线方程为：
（12分）
21．（Ⅰ）（1），单调递增，单调递减，
单调递增；
（2），单调递减，单调递增；
（3），单调递增（6分）
(Ⅱ)(12分)
22.（Ⅰ）曲线直角坐标方程：，焦点直角坐标：
焦点极坐标：
（Ⅱ）或
23.（Ⅰ），当且仅当时取等号，
只需：，由于，只需，
故的取值范围为：；
（Ⅱ）解得：，知：
，即.。

(全优试卷)黑龙江省哈尔滨市高三二模数学(文)试题 Word版含答案

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哈尔滨市第九中学2017届高三第二次模拟数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足()11z i i -=+，则z 的共轭复数是 A. 1 B. -1 C. i D.i -2.设非空集合,P Q 满足PQ P =，则A. ,x Q x P ∀∈∈B. ,x Q x P ∀∉∉ . 00,x Q x P ∃∉∈ D.00,x P x P ∃∈∉ 3.若过点()0,1A -的直线与圆()2234x y +-=的圆心的距离为d ，则d 的取值范围是A. []0,4B. []0,3C. []0,2D. []0,14. 从12,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为 A.34 B. 58 C. 78 D. 125. 以坐标原点为对称中心，两条坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为3π，则双曲线的离心率为A. 2B. 2C.D.26. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16B. 32C. 48D. 1447.已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D.()1,28. 已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面的面积为 A. 169π B. 83π C. 619πD.4π9. 若实数,x y 满31x y -≤≤足，则2x yz x y+=+的最小值是A.53 B. 2 C. 35 D.1210.函数()24sin ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是11. 已知抛物线2:8C y x =的焦为F,准线l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF = A.72 B. 52C. 3D. 2 12.已知数列{}n a 的通项公式为()()()121cos12nn n a n n N π*=--+∈，其前n 项和为n S ，则60S =A. -30B. -60C. 90D. 120二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()()1,2,4,3a b ==，且()a tab ⊥+，则实数t = .14. 为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到如下实验数据计算得到回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-，由以上信息可知下表中的c 的值为.15.设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，若11a d ==，则8n nS a +的最小值为 .16. 设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0,x a R >∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分） 设函数()24cos 22cos .3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取得最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3,22f B C b c +=+=，求a 的最小值.18.（本题满分12分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡为优等品，寿命小于300天的灯泡为次品，其余灯泡为正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出,,a b c 的值； （2）某人从这200个灯泡中随机购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（3）某人从这批灯泡中随机购买了n （n N *∈）个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按等级分层抽样所得的结果相同，求n 的最小值.19.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，,60,PD AD DAB PD =∠=⊥底面ABCD .（1）求证：AC PB ⊥；（2）求PA 与平面PBC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，12PF F ∆内切圆的面积的最大值为3π. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ,过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A,B 两点，连接11,A A A B 并延长分别交直线4x =于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21.（本题满分12分）已知0a >，函数()2ln .f x x ax =-（1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =时，证明：存在()02,x ∈+∞，使得()032f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （3）若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使得()()f f αβ=，证明：l n 3l n 2l n 253a -≤≤.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为x m ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，直线l 过曲线C 的左焦点F.（1）直线与曲线C 交于A,B 两点，求AB ;（2）设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已函数()2294,0,sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭且()f x t ≥恒成立.（1）求实数t 的最大值；（2）当t 取最大值时，求不等式2165tx x ++-≤的解集.。

黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模数学(文)试题含答案

黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模数学(文)试题含答案

黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模数学（文)试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 1i z -=+，则z 的共轭复数是( ） A ．1 B ．1- C ．iD ．i -2. 设非空集合,P Q 满足P Q P =，则（）A ．x Q ∀∈,有x P ∈B ．x Q ∀∉,有x P ∉C ．0xQ ∃∉，使得0x P ∈D ．0xP ∃∈，使得0x Q ∉3. 若过点()0,1A -的直线l 与圆()2234x y +-=的圆心距离记为d ，则d 的取值范围为（ )A ．[]0,4B ．[]0,3C ．[]0,2D ．[]0,14。

从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于40的概率为 （ ）A ．34B ．58C 。

78D ．125. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或233C 。

233D ．26. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( ）A ．16B ．32C 。

48D ．1447。

已知实数,a b 满足23,32ab ==，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ )A ．()2,1--B ．()1,0-C 。

()0,1D ．()1,28。

已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球面积是（ ）A ．169π B ．83π C.649πD ．4π9。

若实数,x y 满足31x y -≤≤，则2x y z x y+=+的最小值为（ ）A ．53B ．2C 。

35D ．1210. 函数()24sin ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ）A ．B ． C.D ．11. 已知抛物线2:8C yx =的焦点为F，准线为l ,P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF =（ ）A ．72B ．52C 。

(全优试卷)黑龙江省哈尔滨市高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

(全优试卷)黑龙江省哈尔滨市高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

全优试卷哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z满足z(2－i)＝1＋7i)A. B.C. D. 2全优试卷3.） A.B.C.D.4.）A.1B.2C.3D.45该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ）A.B.C.D. 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487）A. B.C. D.8. 圆O l1的点恰好有4个，则a的取值范围为()A.C. D.9.（）A. B.C. D.10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（）A. B. C. D.11. FP 在抛物线上，点QA.B. 4C.D. 3 12.（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15.AB=AD=2，BC=CD, ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)（1（218．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1）估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2）设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y（单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y的所有可能值并估计Y大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N分别为BC,DE中点．（1）证明：CN//平面AEM；（220. (本小题满分12分).（1（2）21. (本小题满分12分)（1）（2）请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)P.点M(O为极点). 设点M以极点O为原点，.（1（223. (本小题满分10分)（1（2）证明：二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15.三、解答题：17.解：（1（2）由（118.解：（1（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300故当最高气温不低于2019.（1中，，（2）解：又由（1又因为为中点，所以20．（1（2y设，，则，故点的横坐标为所以．设,因为，所以解得，．∵似，且21.解：（1.（2时，，，上单调增，合题意；单调递增，减，22解：（1为参数)（2则点到直线的距离即为底边上的高，所以。

哈尔滨市第九中学2017届高三二模考试数学试题 含解析

哈尔滨市第九中学2017届高三二模考试数学试题 含解析

黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A. B。

C. D.【答案】D2. 设非空集合满足，则（）A。

,有B。

,有C。

，使得D。

，使得【答案】B【解析】试题分析：由于，因此不属于集合的元素一定不属于集合,故答案B是正确的，应选B.考点:集合的运算．3. 若过点的直线与圆的圆心距离记为,则的取值范围为( ）A。

B。

C。

D.【答案】A【解析】试题分析:由已知，点在圆外，当直线经过圆心时，圆心到直线的距离最小为0，圆心到点的距离,是圆心到直线的最大距离，此时，故选。

考点：1。

直线与圆的位置关系；2。

两点间的距离公式.4。

从中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】B考点：1.程序框图；2.古典概型．5。

以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为（）A。

或 B. 或 C. D。

【答案】B【解析】若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为，由题意可得，可得,即；若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得,即.综上可得或。

故选：B。

6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B。

C。

D。

【答案】C7。

已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A. B。

C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，，。

所以零点在区间。

考点：零点与二分法.8。

已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且，则球面积是（）A。

B。

C. D。

【答案】C9. 若实数满足，则的最小值为（）A。

B。

C. D.【答案】A【解析】试题分析:其图形如图所示，，由图形知,故选A.考点：线性规划.10. 函数的图象大致是（)A。

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黑龙江省哈尔滨市第九中学2017-2018学年高三二模数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，则的共轭复数是，故选D.2. 设非空集合满足，则（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】试题分析：由于,因此不属于集合的元素一定不属于集合,故答案B 是正确的，应选B.考点：集合的运算．3. 若过点的直线与圆的圆心距离记为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知，点在圆外，当直线经过圆心时，圆心到直线的距离最小为0，圆心到点的距离，是圆心到直线的最大距离，此时，故选.考点：1.直线与圆的位置关系；2.两点间的距离公式.4. 从中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）........................A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得输出的结果为，令，即，解得，即的值可能为4,5,6,7,8，所以输出的不小于40的概率为；故选B．考点：1.程序框图；2.古典概型．5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得，即；若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得,即.综上可得或.故选：B.6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积.故选：C.7. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，，.所以零点在区间. 考点：零点与二分法.8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵ D 是正△ABC 的中心，∴ AD 是△ABC 的外接圆半径. ∵ AD ＝ ，又OD ＝＝OA ，OA ＝OD ＋AD ，∴ R ＝，∴ R ＝ ，∴ 球的表面积S ＝4πR ＝.故选C 9. 若实数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：其图形如图所示,,由图形知,故选A.考点：线性规划. 10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11. 已知抛物线的焦点为,准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为.设，则，，根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，有，故.12. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由a n=（-1）n（2n-1）+1，得a1=−+1=1，a2=3cosπ+1=-2，a3=−5+1=1，a4=7cos2π+1=8，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为，由以上信息，得到下表中的值为__________．天数繁殖个数【答案】6【解析】试题分析：∵，，∴代入到回归直线方程中得：，∴.考点：线性回归方程.15. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．【答案】【解析】等差数列{an}的公差为d，前n项和为S n，若a1=d=1，∴ ,(当且仅当n=4时取等号)．故答案为：．点睛：本题考查数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．16. 设函数.其中，存在使得成立，则实数的值为__________．【答案】【解析】试题分析：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得.考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.【答案】(1) ，;(2).【解析】试题分析：（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将化为，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角A的范围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解．试题解析：（1）的最大值为2．要使取最大值，，故的集合为（2），即．化简得，只有．在中，由余弦定理，．由知，即，当时取最小值1．,考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理；4．基本不等式．18. 某批次的某种灯泡个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出的值；（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.【答案】(1) ;(2);（3）.【解析】试题分析: (1) 由频率分布表中的数据，求出的值；(2)根据频率分布表中的数据，求出此人购买的灯泡怡好不是次品的概率；(3)由这批灯泡中优等品、正品和次品的比例数，再按分层抽样方法，求出购买灯泡数的最小值.试题解析:（1）.（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件，由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为.（3）由表，得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为，所以按分层抽样法，购买的灯泡数，所以的最小值为10.【方法点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件抽样方法及古典概型概率公式，属于中档题题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和；在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面.（1）求证:；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2) .（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，【解析】试题分析：AC⊥PD证得；（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．试题解析：(1)底面为菱形，底面面面.(2)设，设到平面的距离为，则由题意，，在等腰中，可求，，.20. 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)或.【解析】试题分析：（1）首先设，然后根据离心率得到与的关系，再根据三角形面积取得最大值时点为短轴端点，由此求得的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标．试题解析：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，则椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立可得，则，，直线的方程为，直线的方程为，则，，假设为直径的圆是否恒过定点，则，，，即，即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．21. 已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明: 存在，使；（3）若存在属于区间的，且，使，证明:.【答案】(1)时，函数的单调增区间为；时，函数的单调增区间为，单调减区间为;(2).【解析】试题分析：（1）求的单调区间，由于函数含有对数函数，因此求的单调区间，可用导数法，因此对函数求导得，，令，解得，列表确定单调区间；（2）当时，证明：存在，使，可转化为在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到两个，是得即可，故本题把代入得，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，，故，取，则，即可证出；（3）若存在均属于区间的，且，使，由（1）知的单调递增区间是，单调递减区间是，故，且在上的最小值为，而，，只有，由单调性可知，，从而可证得结论.试题解析：（1）（1分）令，解得（2分）当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间是，单调递减区间是（5分）（2）证明：当时，，由（1）知在内单调递增，在内单调递减．令．（6分）由于在内单调递增，故，即（7分）取，则.所以存在，使，即存在，使．（9分）（说明：的取法不唯一，只要满足，且即可．）（3）证明：由及（1）的结论知，从而在上的最小值为，（10分）又由，，知（11分）故即（13分）从而（14分）考点：函数单调性，根的存在性定理.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点.（1）直线与曲线交于两点，求；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（2）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．试题解析：(1)曲线，曲线与直线联立得，方程两根为，则.(2)设矩形的第一象限的顶点为，所以，所以当时，最大值为.23. 选修4-5：不等式证明选讲已知函数，且恒成立.（1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论；（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．试题解析：（1）因为，且恒成立，所以只需，又因为，所以，即的最大值为.（2）的最大值为时原式变为，当时，可得，解得；当时，可得，无解；当时，可得，可得；综上可得，原不等式的解集是.。

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