2018届高三数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式夯基提能作业本 理

第一节绝对值不等式
A组基础题组
1.解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6.
2.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].
(1)求m+n的值;
(2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.
3.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.
(1)求实数a的值;
(2)解不等式f(x)≤5.
4.已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
5.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
6.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.
(1)证明:<;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.
B组提升题组7.(2016吉林长春质检)设函数f(x)=|x+2|+|x-a|(a∈R).
(1)若不等式f(x)+a≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)≥x恒成立,求实数a的取值范围.
8.已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
A组基础题组
1.解析解法一:当x>时,原不等式转化为4x≤6⇒<x≤;
当-≤x≤时,原不等式转化为2≤6,恒成立;
当x<-时,原不等式转化为-4x≤6⇒-≤x<-.
综上,原不等式的解集为.
解法二:原不等式可化为+≤3,
其几何意义为数轴上到,-两点的距离之和不超过3的点的集合,数形结合知,当x=或x=-时,到,-
两点的距离之和恰好为3,故当-≤x≤时,满足题意,则原不等式的解集为.
2.解析(1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,
解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,所以m+n=3.
(2)证明:由(1)知|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1,即|x|<|a|+1.
3.解析(1)∵|x-4|+|x-a|≥|(x-4)-(x-a)|=|a-4|,
又∵f(x)的最小值为a,
∴|a-4|=a,
解得a=2.
(2)由(1)知, f(x)=|x-4|+|x-2|=
当x≤2时,解不等式-2x+6≤5,得x≥.
当2<x≤4时,2≤5恒成立.
当x>4时,解不等式2x-6≤5,得x≤.
综上,≤x≤.
∴不等式的解集为.
4.解析(1)当a=1时, f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式可化为
或
即或
结合a>0,解得x≤-,即不等式f(x)≤0的解集为 .
∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},
∴-=-1,故a=2.
5.解析(1)当a=-3时,
f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<x<3时, f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
6.解析(1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,
则f(x)=
由题意,令-2<-2x-1<0,得-<x<,
则M=.
所以≤|a|+|b|<×+×=.
(2)由(1)得a2<,b2<.
因为|1-4ab|2-4|a-b|2
=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)
=(4a2-1)(4b2-1)>0,
所以|1-4ab|2>4|a-b|2,
故|1-4ab|>2|a-b|.
B组提升题组
7.解析(1)当a≥0时,f(x)+a≥0恒成立;当a<0时,要保证f(x)≥-a恒成立,即f(x)的最小值
|a+2|≥-a,解得-1≤a<0,故a≥-1.
(2)由题意可知,函数y=f(x)的图象恒在直线y=x的上方,画出两个函数图象(略)可知,当a≤-2时,符合
题意,当a>-2时,只需满足点(a,a+2)不在点的下方即可,所以a+2≥a,即-2<a≤4.
综上,实数a的取值范围是(-∞,4].
8.解析(1)不等式f(x)<4-|x-1|即|3x+2|+|x-1|<4.
当x<-时,不等式可化为-3x-2-x+1<4,
∴-<x<-;
当-≤x≤1时,不等式可化为3x+2-x+1<4,∴-≤x<;
当x>1时,不等式可化为3x+2+x-1<4,∴x∈⌀.
综上所述,原不等式的解集为.
(2)+=(m+n)=1+1++≥4当且仅当=时,等号成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=
∴当x=-时,g(x)取最大值,g(x)max=+a,
要使不等式|x-a|-f(x)≤+恒成立,
只需g(x)max=+a≤4,又a>0,则0<a≤.。