北师大版2019年秋八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理学案
北师大版八年级上册探索勾股定理教案
说课教案课题：1.1勾股定理教材：义务教育数学课程标准实验教科书——八年级上册（北京师范大学出版社）第一章勾股定理第一节探索勾股定理授课教师：辽宁省营口市实验中学刘丽辉1、教学目标：（1）知识与技能：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
（2）过程与方法：经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法。
经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感。
2、教学重点：重点：勾股定理的发现及其简单应用难点：勾股定理的发现3、教学方法与教学手段本课运用“探究式”“启发式”“开放式”的教学方法，运用多媒体等手段充分调动学生参与课堂学习的积极性，鼓励学生积极思考并实现合作学习。
4、教学过程：创设情境，引发思考――自主探索，合作交流――追溯历史，激发情感――应用拓展，能力提升――回顾反思，提炼升华――布置作业，课堂延伸（一）、创设情境，引发思考探究活动1故事引入：相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。
在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。
原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。
主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。
原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。
（黑白相间的地砖）教师与学生行为：教师给出一个历史小故事，设置悬念，引发学生思考。
教学效果预估与对策：学生对故事中的问题很感兴趣，能够激发学生的探究欲望。
设计意图：由毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现入手，引入本节课的课题――勾股定理，学生接受起来更自然，贴切。
（二）、自主探索，合作交流探究活动1问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系？问题2：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？教师与学生行为：对于问题（2）、（3）教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论。
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)课件(24张PPT)
方法七：在印度、阿拉伯和欧洲出现的拼图证明
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角 边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色，将两 个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定 理的证明。
方法八：加菲尔德“总统证明法”
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股
定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，
式运算，从理论上验证了勾股定理．
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
图2
Q 1 ab 4 (b a)2 c2 2
a2 b2 c2
勾股定理
-----人类最伟大的十个科学发现之一
32
42
52
方法一：赵爽“弦图”
三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅 “勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证 明。
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a 2 b2 c2.
方法：观察—猜想—探究—验证—归纳—应用； 思想：1. 特殊—一般
2. 数形结合思想 3. 方程的思想
正式作业：
必做题：1．课本P6随堂练习 2、习题1.2.第1题
选 做题：3、习题1.2.第3题
家庭作业： 1、完成本课绩优学案的绩优闯关 2、预习下一课并完成学案自主预习和重点解读
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
方法三：欧几里得“公理化证明”
希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著 《几何原本》给出一个公理化的证明。
F
G
H
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的简单运用
10．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的13 ，斜边长为 10，它的面积 为( B )
A．10 B．15 C．20 D．30
11．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正
方形．如图，直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4，则中间小正方形的面积
占整个大正方形面积的( C )
解：100 m2
9．在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周 长为32.
(1)连接BD，求∠ADB的度数； (2)若BD＝8，求BC的长．
解：(1)如图，连接 BD，因为 AB＝AD＝8，∠A＝60°，所以∠ADB＝21 (180 °－∠A)＝60°
(2)因为∠BDC＝150°－60°＝90°，四边形的周长为 32，所以 DC＋BC＝32－ AB－AD＝16，设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BC2＝CD2＋BD2，即 x2＝(16－x)2＋82，解得 x＝10，所以 BC＝10
17 ． 在 △ ABC 中 ， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ， 若 ∠ C ＝ 90° ， 如 图 ① ， 则 直 角 △ABC的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角 形，如图②，图③，请你类比直角三角形三边的这一关系式，猜想a2＋b2与c2的大小 关系，并证明你的猜想．
16．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大 正方形面积为49，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)， 下列四个结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝3；③2xy＋9＝49；④x＋y＝10，其中正确 的是( B )
A.①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教案
利用拼图验证勾股定理（课前准备 8 个全等的直角三角形）： 活动：用四个全等的直角三角形拼出图 1，并思考： 1．拼成的图 1 中有_______个正方形， ___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2
四、达标测评： 1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则 CD=________；
2、如图，阴影部分的面积为
；
D
15
8
A
3
B
C
3、一个直角三角形的三边分别为 3，4， x ，则 x2 =
4、若等腰三角形的腰为 10cm，底边长为 16cm，则它的面积为
；
5、从电线杆离地面 6 米处向地面拉一条长 10 米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点
3 你能利用类似的方法由图 2 得到勾股定理吗？
9、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4000 m 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩子头顶 5000m，飞机每小时飞行多少千米？
◎备课留白：
1/1
◎教学反思： ◎安全提醒：
距离电线杆底部有
米。
6、一直角三角形的斜边比直角边大 2，另一直角边长为 6，则斜边长为
；
7、直角三角形一直角边为 5 厘米、斜边为 13 厘米，那么斜边上的高是
；
8、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
；
图22Leabharlann 三．合作探究：21. 如图 1，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法表示吗？
2. （a+b）2 与 c2+2ab 有什么关系？为什么？你能验证勾股定理了吗？
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勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
2019秋八年级数学上册北师大版同步学案全辑(精致WORD)
第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理1第2课时勾股定理的验证及其应用2 2一定是直角三角形吗33勾股定理的应用4第二章实数1认识无理数52平方根63立方根74估算85用计算器开方96实数107二次根式第1课时二次根式的概念及性质11 第2课时二次根式的运算12第三章位置与坐标1确定位置132平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系14第2课时点的坐标15第3课时建立直角坐标系16 3轴对称与坐标变化17第四章一次函数1函数182一次函数与正比例函数193一次函数的图象204一次函数的应用第1课时求一次函数的表达式21 第2课时单个一次函数的应用22 第3课时两个一次函数的应用23 第五章二元一次方程组1认识二元一次方程组242求解二元一次方程组第1课时代入消元法25第2课时加减消元法263应用二元一次方程组——鸡兔同笼274应用二元一次方程组——增收节支285应用二元一次方程组——里程碑上的数296二元一次方程与一次函数307用二元一次方程组确定一次函数表达式31*8三元一次方程组32第六章数据的分析1平均数332中位数与众数343从统计图分析数据的集中趋势354数据的离散程度第1课时极差、方差和标准差36第2课时极差、方差、标准差的应用37第七章平行线的证明1为什么要证明382定义与命题393平行线的判定404平行线的性质415三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理42 第2课时三角形的外角43第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点1、2认识勾股定理及其简单应用定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2．(总分30分)1．(知识点1)(3分)已知直角三角形两直角边的长分别为9，12，则其斜边长为(C)A．13 B．14C．15 D．162．(知识点1)(3分)在△ABC中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的是(C)A．∠B＋∠C＝90°B．AB2＋AC2＝BC2C．BC2＝AC2－AB2D．AC2＝BC2－AB23．(知识点2)(3分)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)第3题A．48 B．60C．76 D．804．(知识点2)(3分)如图所示，直角三角形ABC的两直角边BC＝12，AC＝16，则三角形ABC的斜边AB上的高CD的长是(C)第4题A．20 B．10C．9.6 D．85．(知识点1)(3分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ 4 ．6．(知识点2)(8分)如图，已知等腰三角形的底边长为6，底边上的高AD 长为4，且D 点为BC 的中点，求等腰三角形的腰长．解：因为D 是BC 的中点，所以BD ＝12BC ＝3，AD ⊥BC .在Rt △ABD中，由勾股定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25.所以AB ＝5，即腰长为5.7．(知识点2)(7分)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ∶b ＝3∶4，c ＝25，求a ，b .解：设a ＝3k ，b ＝4k .因为在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝25，所以由勾股定理，得(3k )2＋(4k )2＝252.因为k ＞0，所以k ＝5.所以a ＝3×5＝15，b ＝4×5＝20.第2课时 勾股定理的验证及其应用知识点1、2 勾股定理的验证及其应用验证勾股定理⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧思路：拼图面积法注意事项：拼图时要做到 不重不漏 .关键：运用不同方法表示图形的 面积 .等量关系：整个图形的面积＝每个小的图形的面积之 和 .(总分30分)1．(知识点1)(3分)如图，下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( C)2．(知识点2)(3分)已知x ，y 为正数，且|x 2－4|＋(y 2－3)2＝0，如果以x ，y 为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( C )A ．5B ．25C．7 D．153．(知识点2)(4分)如图，小明将升旗的绳子拉到底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12m B．13mC．16m D．17m4．(知识点1)(4分)如图，把长、宽、对角线的长分别是a，b，c的长方形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是a2＋b2＝c2．5．(知识点2)(4分)如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是S1＋S2＝S3．第5题6．(知识点2)(4分)如图，在海上观察所A处，我边防海警发现正北6km 的B处有一可疑船只正在向正东方向8km的C处行驶．我边防海警即刻派船只前往拦截．若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为50km/h 时，才能恰好在C处将可疑船只截住．第6题7．(知识点2)(8分)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为一边作正方形ABMN，且AC＝3.(1)求正方形ABMN的面积；(2)求对角线BN的长．解：(1)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC2＝32＋32＝18，又因为S 正方形AQMN ＝AB 2，所以S 正方形ABMN ＝18. (2)因为四边形ABMN 为正方形，所以BN 2＝AB 2＋AN 2，即BN 2＝18＋18＝36，所以BN ＝6.2 一定是直角三角形吗知识点1 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．知识点2 勾股数满足a 2＋b 2＝c 2的三个 正整数 ，称为勾股数．(总分30分)1．(知识点1)(3分)下列四组线段能组成直角三角形的是( C ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝2，b ＝3，c ＝4 C ．a ＝3，b ＝4，c ＝5D ．a ＝4，b ＝5，c ＝62．(知识点2)(3分)在下列各组数中，是勾股数的一组是( C )A．35，45，1 B．0.3，0.4，0.5C．6，8，10 D．4，5，63．(知识点1)(3分)如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)第3题A．10 B．11C．12 D．134．(知识点1)(3分)如图，在4×5的方格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为(D)第4题A．3个B．4个C．5个D．6个5．(知识点1)(3分)五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(C)6．(知识点1)(3分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2＋b2－c2)2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．7．(知识点1)(3分)一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，周长为90cm，则它的面积是270cm2．8．(知识点1)(9分)如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，已知每平方米蔬菜可售30元．爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一把卷尺，测得AD＝3m，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，且∠BAD＝90°，求四边形土地上的蔬菜全部售出可得多少钱？解：连接BD.在△ABD中，因为AD＝3m，AB＝4m，∠BAD＝90°，所以由勾股定理得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52.所以BD＝5m.在△BCD 中，因为BD＝5m，BC＝12m，CD＝13m，所以BD2＋BC2＝CD2.所以△BCD是直角三角形．所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△BCD＝12×3×4＋12×5×12＝36(m2)．则蔬菜全部售出后可得，36×30＝1080(元)．3勾股定理的应用知识点1确定几何体上的最短路线在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短．在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，应将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．知识点2利用勾股定理解决生活中的长度问题在实际生活中常用于判断两直线是否垂直，解决问题的一般方法：实际问题→数学问题→利用勾股定理的逆定理判定垂直．(总分30分)1．(知识点2)(3分)为迎接国庆的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开联欢晚会．小刘搬来一架长5米的木梯，准备把拉花挂到3米高的墙上，则梯子底端与墙脚之间的距离应为(A)A．4米B．3米C．5米D．6米2．(知识点2)(3分)一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大伸长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是(A)A．12米B．13米C．14米D．15米3．(知识点2)(3分)在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，请你帮张大爷分析一下，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？(A)A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对4．(知识点1)(4分)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(A)A．12≤a≤13 B．12≤a≤15C．5≤a≤12 D．5≤a≤135．(知识点1)(4分)如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，现用绳子从A开始缠绕，沿长方体表面经BD到达C处，则需要绳子的最短长度是(B)A．4cm B．5cmC．5.5cm D．6cm6．(知识点2)(4分)如图，一个游泳爱好者要横跨一条宽AC＝8m的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了BC＝6m，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为10 m.7．(知识点1)(9分)有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？解：画圆柱侧面展开图如图，依题意得AD＝12厘米，BD＝9厘米，在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AB＝15厘米，所以蚂蚁需要爬行的最短路程是15厘米．第二章实数1认识无理数知识点1非有理数的存在整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现，现实生活中还存在着大量的不是有理数的数．知识点2估计数值的大小用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．知识点3无理数的概念无限不循环小数称为无理数．(总分30分)1．(知识点3)(3分)下列各数中，是无理数的是(C)A．－1 B．0C．πD．1 32．(知识点1、3)(3分)在等式x2＝7中，下列说法中正确的是(D)A．x可能是整数B．x可能是分数C．x可能是有理数D．x是无理数3．(知识点1、3)(3分)下列说法正确的是(C) A．分数是无理数B．无限小数是无理数C．不能写成分数形式的数是无理数D．不能在数轴上表示的数是无理数4．(知识点1、3)(3分)在13，3.1415926，0.9090090009…(每两个9之间0的个数逐次加1)，0.8，3π中，无理数有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个5．(知识点3)(3分)半径为20的圆的面积是(D) A．整数B．分数C．有理数D．无理数6．(知识点1、3)(3分)在数227，0，3.6·6·，－13，π2，0.232332…(2个2之间依次多1个3)，32中，有理数有227，0，3.6·6·，－13，32，无理数有π2，0.232332…(2个2之间依次多1个3) ．7．(知识点2、3)(6分)已知半径为1的圆．(1)它的周长l是有理数还是无理数？说说你的理由；(2)估计l的值；(结果精确到十分位)(3)如果结果精确到百分位呢？解：(1)它的周长l＝2π是无理数，理由如下：2π是无限不循环小数．(2)结果精确到十分位，2π≈6.28≈6.3.(3)结果精确到百分位，2π≈6.283≈6.28.8．(综合题)(6分)如图所示，把16个边长为1cm的正方形拼在一起．(1)连接A和B，C，D的线段，哪几条是无理数？请说明理由；(2)判断△BCD是什么三角形？请说明理由．解：(1)AC，AD的长是无理数，理由如下：因为AC2＝10，AD2＝13，AC，AD的长既不是整数，也不是分数，所以AC，AD的长是无理数．(2)△BCD是等腰三角形，理由如下：因为BC2＝5，CD2＝5，BD＝2，所以BC＝CD≠BD，所以△BCD是等腰三角形．2平方根知识点1算术平方根的概念与性质一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为a，读作“根号a”．知识点2平方根的概念与性质(1)定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．(2)性质：一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．知识点3开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．知识点4a2与(a)2(a≥0)的性质(1)a2＝|a| ，即当a≥0时，a2＝a，当a＜0时，a2＝－a．(2)(a)2＝a(a≥0)．(总分30分)1．(知识点1)(3分)数7的算术平方根为(A) A．7 B．49 C．±49 D．±72．(知识点1)(3分)一个数的算术平方根是34，这个数是(C)A．32B．34C．916D．不能确定3．(知识点2)(3分)16的平方根是(A)A．±4 B．±1 4C．4 D．－44．(知识点4)(3分)下列各式中，正确的是(B) A．（－5）2＝－5 B．－52＝－5 C．（±5）2＝－5 D．52＝±55．(知识点2)(3分)关于平方根，下列说法正确的是(B) A．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数B．负数没有平方根C．任何一个数只有一个算术平方根D．以上都不对6．(知识点2)(3分)如果a，b分别是17的两个平方根，那么ab＝－17 ．7．(知识点2、3)(3分)若25x2＝9，则x的值为±35．8．(知识点2、3)(4分)求式子中x的值：x2－16＝25.解：±419．(综合题)(5分)已知2a－1的平方根是±3，4是3a＋b－1的算术平方根，求a＋2b的值．解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1＝9，解得a＝5.因为4是3a＋b－1的算术平方根，所以3a＋b－1＝16，所以14＋b＝16，解得b＝2，所以a＋2b＝5＋2×2＝9.3立方根知识点1立方根的概念与性质(1)立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根．(2)立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0 的立方根是0.知识点2开立方(1)定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．(2)重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.知识点3立方根与平方根的区别与联系(1)区别：①平方根的根指数是 2 ，能省略，立方根的根指数是 3 ，不能省略．②平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．(2)联系：都与相应的乘方运算互为逆运算．(总分30分)1．(知识点1)(2分)64的立方根是(A)A．4 B．±4C．8 D．±82．(知识点2)(2分)化简327的结果是(C)A．±3 B．－3C ．3D ．2 33．(知识点1、2)(3分)下列说法中正确的是( D ) A ．－5没有立方根B ．2的立方根是±32 C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是3－54．(知识点2)(3分)127的立方根是 13．5．(知识点3)(3分)一个数的平方等于164，则这个数的立方根是 ±12．6．(知识点2)(3分)若－3a ＝378，则a 的值是 －78． 7．(知识点2)(4分)求下列式子的立方根： (1)16164；(2)(－1)2021.解：(1)54(2)－18．(知识点1)(4分)求下列式子的值．(1)3－64；(2)(3－1)3.解：(1)－4(2)－19．(知识点2)(6分)已知第一个立方体纸盒的棱长是6厘米，第二个立方体纸盒的体积比第一个立方体纸盒的体积大127立方厘米，求第二个立方体纸盒的棱长．解：因为第一个立方体的体积是63＝216，所以第二个立方体的体积是216＋127＝343，所以第二个立方体的棱长是343的立方根，即棱长为7厘米．4估算知识点1估算法确定无理数的大小估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似数，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．知识点2比较两个无理数的大小的方法(1)估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．(2)求差法：若a－b＞0；若a－b＜(3)平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0a＞b(总分30分)1．(知识点1)(2分)估计13的值在(C)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．(知识点1、2)(2分)若k＜87＜k＋1(k是整数)，则k的值是(D) A．6 B．7C．8 D．93．(知识点2)(2分)比较下列各组数的大小，正确的是(C)A．1.7＞ 3 B．π＜3.14C．－5＞－ 6 D．5＜3 1004．(知识点1)(2分)17的整数部分是 4 ．5．(知识点2)(3分)如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示7的点是点P．6．(知识点1)(3分)若正方形ABCD的面积为57，则边AB的长介于连续整数7 和8 之间．7．(知识点1、2)(3分)试写出－2与3之间的所有整数：－1，0，1 ．8．(知识点1)(8分)估算下列各数的大小(结果精确到1)：(1)99；(2)26.3；(3)3 120；(4)－319.8.解：(1)10(2)5(3)5(4)－39．(知识点1)(5分)某商厦今年一月份的销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份销售额平均每月增长的百分率．(精确到0.1%)解：设三、四月份销售额平均每月增长的百分率是x .由题意，得60(1－10%)·(1＋x )2＝96，所以(1＋x )2≈1.7778，1＋x ≈± 1.7778.因为 1.3333＜ 1.7778＜1.3334，所以 1.7778≈1.333，所以x 1≈0.333＝33.3%，x 2≈－2.333(舍去)．即该商厦三、四月份销售额平均每月增长的百分率约是33.3%.5 用计算器开方知识点1、2 利用计算器开方及进行较复杂的计算用计算器开方⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧先按“□”键再输入 被开方数 再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后“＝”键利用计算器进行较复杂的计算时要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”的按键顺序．(总分30分)1．(知识点1)(2分)用计算器求2021的平方根时，下列四个键中，必须按的键是(C)2．(知识点2)(2分)在计算器上按键□16⊳－5＝S⇔D显示的结果是(C)A．3 B．－3C．－1 D．13．(知识点2)(3分)式子23＋2的结果精确到0.01为(可用计算器计算或笔算)(C)A．4.9 B．4.87C．4.88 D．4.894．(知识点1)(3分)用计算器计算：2028≈45.0 ．(结果精确到0.1)5．(知识点1)(3分)用计算器比较52，43，35(用“＜”符号连接)6．(知识点2)(3分)用计算器比较大小：3(填“＞”“＜”或“＝”)7．(知识点1)(4分)用计算器求下列各式的近似值(精确到0.01)： (1) 3.62； (2)－78； (3)3－0.81； (4)3327.8.解：(1)1.90 (2)－0.94 (3)－0.93 (4)6.908．(知识点2)(4分)利用计算器计算(结果精确到0.01)： (1)12＋3×6； (2)320×13－ 3.6÷2. 解：(1)4.74 (2)0.629．(知识点2)(6分)在某项工程中，需要一块面积为5平方米的正方形钢板，应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么请你算一算：(1)如果精确到十分位，正方形的边长是多少？ (2)如果精确到百分位呢？ 解：(1)2.2米 (2)2.24米6 实 数知识点1 实数的概念、分类(1)实数的概念：有理数和 无理数 统称为实数．(2)实数的分类⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧有理数⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎨⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎨⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎨⎧ 负整数 负分数负无理数 知识点2 实数的相关概念在实数范围内，一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样，即这些有理数中的概念在 实数范围 内仍适用．知识点3 实数的运算与比较有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然适用．正数大于负数；正数大于0 ；0大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小．知识点4实数与数轴上点的关系实数与数轴上的点是一一对应的关系．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(总分30分)1．(知识点2)(3分)3的相反数是(A)A．－ 3 B． 3C．13D．32．(知识点4)(3分)实数a，b在数轴上的对应的点的位置如图所示，计算|b－a|的结果为(B)A．a＋b B．a－bC．b－a D．－a－b3．(知识点3)(3分)比较大小：填“＞”“＜”或“＝”)．4．(知识点2)(3分)化简：|3－2|5．(知识点2)(6分)求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)－15；(2)3278； (3)3－π.解：(1)－15的相反数是15，倒数是－115，绝对值为|－15|＝15.(2)因为3278＝32，所以3278的相反数是－32，倒数为23，绝对值为32. (3)3－π的相反数为－(3－π)＝π－3，倒数为13－π，绝对值为|3－π|＝π－3.6．(知识点3)(6分)计算： (1)|6－3|－|3－6|； (2)|1－2|＋|2－3|＋|3－2|.解：(1)原式＝(6－3)－(6－3)＝0. (2)原式＝2－1＋3－2＋2－3＝1.7．(知识点1、3)(6分)已知下列7个实数：0，π，－2，23，－1.1，38，17，试解决下列问题：(1)将它们分成有理数和无理数两组；(2)将7个实数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接．解：(1)有理数：0，23，－1.1，38；无理数：π，－2，17. (2)大小关系为：－2＜－1.1＜0＜23＜38＜π＜17.7 二次根式第1课时 二次根式的概念及性质知识点1 二次根式的概念及性质(1)定义：一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做 二次根式 ，a 叫做被开方数．(2)性质：①a 2＝ |a | ＝⎩⎨⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.②aba ≥0，b ≥0)． ③a b ＝a b( a ≥0，b ＞0 )． 知识点2 最简二次根式的概念及其化简(1)定义：被开方数不含 分母 ，也不含能开得尽方的 因数或因式 ，这样的二次根式，叫做最简二次根式．(2)化简二次根式的方法：①被开方数是整数的，先分解因数，再利用积的算术平方根的性质化简；②被开方数是分数或小数的，利用商的算术平方根的性质化简．(总分30分)1．(知识点1)(2分)下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45 B．－3C．a2＋3 D．2 32．(知识点1)(2分)已知m和－m都有意义，则(C) A．m≥0 B．m≤0C．m＝0 D．m≠03．(知识点2)(3分)下列二次根式中的最简二次根式是(A) A．30 B．12C．8 D．1 24．(知识点2)(3分)下列各式正确的是(D) A．（－4）×（－9）＝－4×－9B．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×95．(知识点2)(3分)把2006．(知识点2)(3分)若x ＜0，y ＞0，化简x 2y 2＝ －xy ． 7．(知识点1)(6分)当a 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)2a 2＋1； (2)－a 2； (3)a －12－a.解：(1)a 为任意实数． (2)a ＝0. (3)a ≥1且a ≠2. 8．(知识点2)(8分)化简：(1)3×25×225； (2)（－12）×（－8）； (3)2514； (4)（45）2＋（25）2. 解：(1)原式＝75 3. (2)原式＝4 6. (3)原式＝1012. (4)原式＝255.第2课时 二次根式的运算知识点1二次根式的乘除(1)乘法法则：a·ba≥0，b≥0)；(2)除法法则：ab＝a≥0，b＞0)．知识点2二次根式的加减及混合运算(1)几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(2)一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．(3)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．(总分30分)1．(知识点2)(2分)下列各数中与2是同类二次根式的是(A)A．8 B．32C． 4 D．12 2．(知识点2)(2分)计算32－2的值是(D) A．2 B．3C． 2 D．2 23．(知识点1)(2分)计算3×5的结果是(B) A．8 B．15 C．3 5 D．5 34．(知识点2)(3分)计算(515－245)÷(－5)的结果为(A)A．5 B．－5C．7 D．－75．(知识点2)(3分)若最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，则a ＝ 5 ．6．(知识点1、2)(3分)把22＋2进行化简，得到的最简结果是(结果保留根号)7．(知识点1、2)(3分)计算：(27－13)×3＝8 ．8．(综合题)(12分)计算：(1)15 3；(2)6×15×10；(3)－212＋(613－348)；(4)－4318÷(218×1354)．解：(1)原式＝ 5.(2)原式＝900＝30.(3)原式＝－43＋23－123＝－14 3.(4)原式＝－42÷(62×6)＝－42÷123＝－6 9.第三章位置与坐标1确定位置知识点1、2位置的确定及有序数对定位法和方位角加距离定位法要确定平面内一个物体的位置，一般需要两个独立的数据，常见的表示方法有：行列定位法、经纬定位法、区域定位法、有序数对定位法、方位角加距离定位法．(总分30分)1．(知识点1)(3分)电影院的第4排第8座表示为(4，8)，如果某同学的座位号为(4，9)，那么该同学所坐的位置是(B)A．第2排第4座B．第4排第9座C．第4排第4座D．无法确定2．(知识点1)(3分)气象台为预测台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是(C)A．距台湾200海里B．位于台湾和海口之间C．位于东经120.8°，北纬32.8°D．位于太平洋3．(知识点1)(3分)下列数据中，不能确定物体位置的是(D)A．某市新华书店位于人民路18号B．吴刚家位于某小区6号楼308号C．某渔船位于东经116.2°，北纬31.5°D．电影票的座位号是15排4．(知识点2)(3分)安徽省蒙城县板桥中学办学特色好，“校园文化”建设，主体鲜明新颖：“国学引领，孝老敬亲，家校一体，爱满乡村．”如图所示，若用“C4”表示“孝”，则“A5—B4—C3—C5”表示(D)A．爱满乡村B．孝老敬亲C．国学引领D．板桥中学5．(知识点2)(3分)生态园位于县城东北方向6公里处，如图表示准确的是(B)6．(知识点2)(3分)如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说，“如果我用(1，3)表示左眼，用(3，3)表示右眼，那么嘴的位置可以表示成(2，1) ”．7．(知识点2)(12分)如图所示．(1)电影院在学校南偏东70°的方向上，距离是600 米；(2)书店在学校北偏西60°的方向上，距离是800 米；(3)图书馆在学校南偏西15°的方向上，距离是400 米；(4)王老师骑自行车从学校到邮局发邮件，每分钟骑250米，需要多长时间到达？解：200×5÷250＝1000÷250＝4(分钟)．答：需要4分钟到达．2平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系知识点1平面直角坐标系及相关概念(1)在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x轴或横轴．铅直的数轴叫做y轴或纵轴．它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．(2)两条坐标轴将平面分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其他按逆时针方向依次是第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不在任何一个象限．知识点2平面内点的坐标对于平面内任意一点，过这个点分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数字a，b分别叫做这个点的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b) 叫做这个点的坐标．知识点3平面直角坐标系与有序实数对之间的关系坐标平面内的点与一对有序实数对是一一对应关系．(总分30分)1．(知识点3)(3分)小明建立了如图的直角坐标系，则点“A”的坐标是(B)第1题A．(－1，1) B．(1，2)C．(－1，2) D．(1，－1)2．(知识点2)(3分)如图，点A(－2，1)到y轴的距离为(C)第2题A．－2 B．1C．2 D． 53．(知识点1)(3分)如图，小手盖住的点的坐标可能为(D)A．(4，3)B．(－5，4)C．(－3，－4)D．(4，－5)4．(知识点2)(3分)已知点P在第一象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则P点的坐标为(D)A．(2，－6) B．(－2，6)C．(6，－2) D．(6，2)5．(知识点2)(3分)点P(－4，－3)到x轴的距离为 3 ．6．(知识点2)(7分)如图，写出下列各点A，B，C，D，E，F，H的坐标．解：A(2，1)，B(－4，3)，C(－2，－3)，D(3，－3)，E(－3，0)，F(0，2)，H(0，0)．7．(综合题)(8分)如图，A点、B点的坐标分别是(－2，0)和(2，0)．(1)请你在图中描出下列各点：C(0，5)，D(3，5)，E(－4，－5)，F(0，－5)；(2)连接AC，CD，DB，BF，FE，EA，并写出图中的任意一组平行线．解：(1)略．(2)略，平行线有AB∥CD∥EF，AE∥BF.第2课时点的坐标知识点1平面直角坐标系中由点的坐标确定点的位置找点的方法：先分别找出该点的横坐标、纵坐标在两条数轴上的点，再分别作对应坐标轴的垂线，交点即为所要找的点的位置．知识点2点的坐标特征(1)坐标轴上点P(a，b)的坐标特征：点P在x轴上，a为一切实数，b＝0 ．点P在y轴上，b为一切实数，a ＝ 0 ．点P 在原点，a ＝ 0 ，b 0 ．(2)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：点的坐标特征⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧与x 轴平行⎩⎨⎧ 横坐标 不同纵坐标相同与y 轴平行⎩⎨⎧横坐标相同 纵坐标 不同 (3)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：坐标轴夹角平分线⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 第 一、三 象限⎩⎪⎨⎪⎧点的坐标特征：横、纵坐标相同表示法：（a ，a ）第二、四象限⎩⎨⎧点的坐标特征：横、纵坐标 互为相反数 表示法：（a ，－a ） (总分30分)1．(知识点2)(3分)坐标平面内的下列各点中，在x 轴上的是( B )A ．(0，2)B ．(－2，0)C ．(－2，2)D ．(－1，－3)2．(知识点2)(3分)如果点A 与点B 的横坐标相同，纵坐标不同，那么直线AB 与y 轴的关系为( A )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上均不对。
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
北师大版八年级上册数学探索勾股定理(第2课时)教学设计
第一章勾股定理1. 探索勾股定理（第2课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.三、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）延伸拓展，能力提升（四）例题讲解，初步应用；（五）追溯历史，激发情感；；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸. 第一环节：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证.内容：活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图1图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点. 第三环节 延伸拓展，能力提升1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 22.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
北师大版八年级数学上册课件1.1探索勾股定理(第2课时)(19张PPT)
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
探索勾股定理(第2课时)教学课件北师大版八年级数学上册
探索勾股定理 第2课时
学习目标
1 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2 在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.
复习回顾
1．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ；
（3）直角三角形中 30°的角所对的直角边等
典型例题
分析：根据题意，可以画出图形，其中点A表示小王所在的位置， 点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置．由于小王距离公路400 m， 因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了．
典型例题
C
B 公路
400 m
500 m
A
解：由勾股定理，可以得到 AB2 BC2 AC2，也就是 5002 BC2 4002 ，所以BC=300．
M
30 km N 40 km O
50 km
P
120 km
Q
随堂练习
解：MO MN 2 NO2 302 402 50， OQ OP2 PQ2 502 1202 130， MO OQ 50 130 180． 因为沿江高速公路的建设成本是5 000万元 / km， 所以5 000 180 900 000(万元)．
再见
2
探究新知
图2中,如何表示大正方形的面积
方法一：大正方形的面积
c2
方法二：小正方形的面积+四个直角三角形的面积
4 1 ab (b a)2 2
图2
你能由此得到勾股定理吗？为什么？
由 c2 4 1 ab (b a)2 得 a2 b2 c2
2
探究新知
验证勾股定理
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,利用下图验 证勾股定理.
八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点
第一章 勾股定理 1.探索勾股定理课时1名师导航·预习指南知识要点勾股定理如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的作用勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。
其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。
有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。
经典例析 例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.∴.512=CD点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，•则b=_____． 2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__．4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ．5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．126．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是（）A．36 B．18 C．6 D．以上都不对8．如图，求下列阴影部分的面积与周长．9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，•问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？课时2名师导航·预习指南知识要点勾股定理的验证（1）通过测量进行验证；（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案 新版北师大版
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第一章“探索勾股定理”的目的是让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵，并能够运用勾股定理解决实际问题。
本节课是该章节的第一课时，主要让学生验证勾股定理。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形、直角三角形等概念有一定的理解。
但他们对勾股定理的发现过程和证明方法可能还不够深入了解，因此需要通过本节课的教学，让学生从实践中感受勾股定理的真理，提高他们的数学思维能力。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵。
2.培养学生运用几何图形进行推理和验证的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和探索精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实际操作，验证勾股定理。
2.教学难点：引导学生理解并证明勾股定理。
五. 教学方法1.实践教学法：让学生通过实际操作，发现并验证勾股定理。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成验证勾股定理的任务。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。
2.制作课件，展示勾股定理的发现过程和证明方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
然后提出问题：如何验证这个定理呢？3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用教具和直尺，尝试构造直角三角形，并测量两条直角边和斜边的长度。
每组学生将自己的测量结果填入表格中。
4.巩固（5分钟）教师邀请几组学生汇报自己的测量结果，引导学生发现：不论直角三角形的直角边和斜边的长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。
5.拓展（5分钟）教师提出挑战性问题：如何证明这个结论对所有的直角三角形都成立呢？引导学生进一步思考和探索。
最新北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 教案教学设计(含教学反思)
第一章勾股定理1.1探索勾股定理 (1)第1课时勾股定理（1） (1)第2课时勾股定理（2） (4)1.2 一定是直角三角形吗 (6)1.3勾股定理的应用 (10)第一章归纳总结 (13)1.1探索勾股定理第1课时勾股定理（1）【知识与技能】1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.2.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.2.观察教材图1—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：SA +SB=SC.3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c= .2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是 .【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.完成练习册中本课时相应练习.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.第2课时勾股定理（2）【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.1.2 一定是直角三角形吗【知识与技能】掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.【过程与方法】通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.【情感态度】敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.一、创设情境，导入新课展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作.甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.乙：握住第四个结.丙：握住第八个结.拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.二、思考探究，获取新知直角三角形的判别做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.5、12、137、24、258、15、171.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.三、运用新知，深化理解1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）9,12,15;（2）15,36,39;（3）12,35,36;（4）12,18,22.2.已知△ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.3.四边形ABCD中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面积.【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.【答案】1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长.∵92+122=152，152+362=392.∴这两个三角形都是直角三角形.2.直角，∠A3.解：连结BD ，在△ABD 中，∠DBA=90°，BD 2=AB 2+AD 2=32+42，BD=5.在△DBC 中，∵52+122=132，即DB 2+BC 2=DC 2，∴△DBC 为直角三角形，∠DBC=90°，∴S 四边形ABCD =S △DAB +S △DBC =12×3×4+12×5×12=36. 四、师生互动，课堂小结 1.判断一个三角形是直角三角形的条件.2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的好习惯.1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然勾股定理的理解是关键.1.3勾股定理的应用【知识与技能】1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.【过程与方法】在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.【情感态度】通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.【教学重点】探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.一、创设情境，导入新课勾股定理的应用前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.二、思考探究，获取新知蚂蚁怎么走最近？出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的取值3）.（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）.我们不难发现，刚才几位同学的走法：哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.（1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.1.教材P14~15第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.第一章归纳总结【知识与技能】掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.【情感态度】让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.【教学重点】用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.【教学难点】能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理的证明勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.2.勾股定理中的分类讨论在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.3.曲面两点间的距离问题在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.三、典例精析，复习新知例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD 的长为1.75cm.例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A′）在同一平面内，然后连接AC′，根据“两点间线段最短”知线段AC′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得AC′2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）.所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.四、复习训练，巩固提高1.已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c 满足c2= .2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b= ，c= .3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD的长；（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.【答案】1.b2-a2；2.5，13；3.解：（1）S△ABC =12AC×BC=12×2.1×2.8=2.94.（2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.（3）由三角形的面积公式得12AC×BC=12AB×CD，所以12×2.1×2.8=12×3.5×CD，解得CD=1.68.（4）在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.214×0.21.∴AD=2×3×0.21=1.26.∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.五、师生互动，课堂小结本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.1.复习题4.5第11、12题.2.完成练习册中本课时相应练习.勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.。
数学北师大版八年级上册探索勾股定理(第二课时)教学设计
第一章勾股定理探索勾股定理（第2课时）深圳市光明新区实验学校孔晓康一、学情分析学生的知识技能基础：学生在上节课的学习中已经用数格子的办法发现了勾股定理，会用勾股定理解决较为简单的计算题。
但是数格子的办法只是验证了直角边为整数的直角三角形的情况，并没有对一般的直角三角形进行验证。
学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在活动中学会合作，愿意合作，能够在合作中体验到成功的喜悦。
二、教学目标知识与技能目标：1．掌握勾股定理以及利用拼图验证勾股定理的方法。
2．能应用勾股定理解决一些简单的实际问题.过程与方法目标：1．在拼图的过程中，学习切割拼补的方法，在寻找等量关系的过程中体会同一面积法。
2．经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想。
情感、态度与价值观目标：1．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：1．利用拼图验证勾股定理的思路和方法2．理解并掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的实际问题。
教学难点： 勾股定理的验证四、教学过程本节课设计了五个教学环节：（一）问题情境；（二）合作探究；（三）拓展练习（四） 课堂小结（五）布置作业第一环节： 问题情境内容：教师提出问题：上节课，我们利用方格纸探究了几个简单的直角三角形，发现这几个直角三角形的三边都存在一种相同的数量关系，大家还记得吗？（请一名学生回答）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+课件展示：（勾股定理：222c b a =+）前面，我们利用方格纸只是解决了几个直角边是整数的特殊情况，如果给你一个任意的直角三角形，比如直角边分别等于a 和b ，（这里不妨假设a ＜b ）斜边为c ，我们还能利用上节课中的这个图说明勾股定理的正确性吗？第二环节：合作探究活动1：现在没有方格纸可用，但是上节课中探究勾股 定理的方法也许仍然有效，同学们可以先试一试。
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理的图形验证
小组展示
越展越优点)
(1)勾股定理的验证方法有很多种，教材是采用拼图的方法验证 的．图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会 变．
(2)验证勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图 形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理 得到勾股定理．
②摆放时，都可以用“面积法”来验证．下面是小聪利用图①验证勾股定理
的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，连接DC，其中 ∠DAB＝90°，试说明：a2＋b2＝c2.
解：连接 DB，过点 D 作 DF⊥BC，交 BC 的延长线于点
F，则易得 DF＝EC＝b－a. 因为 S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝12b2＋12ab， S 四边形 ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝12c2＋12a(b－a)， 所以12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)，所以 a2＋b2＝c2.
表示为c_2＋__2_a_b___，由此可得a_2＋__b_2_＝__c_2)_____． (2)图3②中，大正方形的面积可以表示为____c_2_____，又可
以表示为(a_－__b_)_2＋__2_a_b___，由此可a得2＋_b_2_＝__c_2____．
作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，再作3个边长分别为a，b，c的正方形，将它们按 如图①②所示的方式拼成两个正方形． 试说明：a2＋b2＝c2. 解：由图可知这两个正方形的边长都为 a＋b，所以它 们的面积相等，图①正方形的面积可表示为 a2＋b2＋ 4×12ab，图②正方形的面积可表示为 c2＋4×21ab， 所以 a2＋b2＋4×12ab＝c2＋4×21ab，即 a2＋b2＝c2
1 探索勾股定理
秋八年数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第2课时教学课件
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车 与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速 度吗？
解：由勾股定理可得 AB2 BC 2 AC 2 即5002 BC 2 4002 所以BC 300 300×6×60=108000(m) 答：汽车速度为108千米每小时.
D
13
C
12 3
A4 B
四、强化训练
3、观察下图，判断图中三角形的三边长是否满 足a²+b²=c².
四、强化训练
4、如图，已知：∠C＝90°，a∶b＝ 3∶4，c＝10，求a和b a=6,b=8
c
a
b
四、强化训练 5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝15，S△ABC＝120
角三角形的面积.
二、新课讲解
观察上边两图并填写下表(每个小正方形的面积为单位
1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 16
9
25
右图
1
9
10
二、新课讲解
A
c b ba
D
Ba
C
正方形ABCD的面积为 c2
还可以认为是四个三角形与 一个小正方形的和，即
( 1 ab) 4 (b a)2 2
∴ c2 (1 ab) 4 (b a)2 2
三、归纳小结
本节课你学到了什么知识？
1、勾股定理的验证.
2、勾股定理的应用.
四、强化训练
1、如图，马路边一根高为的电线杆，被一 辆卡车从离地面
B
A
C`
四、强化训练
2、一个零件的形状如图， 已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD
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1.1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理
学习目标
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯
2、掌握勾股定理和它的简单应用。
重点难点
重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．
难点：用面积证勾股定理．
学习过程
一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。
在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7图1—7）接着提问：大正方形的
面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）(a +b )2（2）2
421c ab +⋅
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
2
2421)(c ab b a +⋅=+
请同学们对上式进行化简，得到：
22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲解例题
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
)(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米
飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：
5403203600=⨯（千米／时）
答：飞机每小时飞行 540千米。
三、议一议：展示投影 2（书中图1—9)观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否
满足222c b a =+
同学在议论交流形成共识后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
四、作业 1、课文 P1 习题1.2 1、2。