第四章 多项式
第四章 多项式
第四章 多项式基础训练1. 判断下列结论的正误：(1) f (x )＝3＋x ＋x －2是复数域上的多项式； (2) f (x )＝4＋1-x ＋x 3是实数域R 上的多项式；(3) f (x )＝51－x 3是有理数域Q 上的多项式； (4) f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋1是复数域C 上的多项式. 解 （1）错；（2） 错；（3）对； （4）对 2. 求用g (x )去除f (x )所得的商和余式. (1) f (x )=x 4－2 x 3＋x －1, g (x )=3x 2＋x ＋1; (2) f (x )=x 3－2 x 2＋6x ＋7, g (x )=x 2－x ＋2;(3) f (x )= x 4＋3x 3－x 2－4x －3, g (x )= 3x 3＋10x 2＋2x －3. 解 （1）商为27497312+-x x ；余式为27312744-x(2) 商为1-x ；余式为93+x (3) 商为9131-x ；余式为31091952---x x3. 数域F 中的数m , p , q 适合什么条件时, 多项式x 2＋mx ＋1整除x 4＋ px 2＋q ?解：以12++mx x 除q px x ++4所得的商式为)1(22m p mx x +-+-，余式为)1()2()(22m p q x m p m x r -+-+--=.而多项式12++mx x 整除q px x ++24的充要条件是0)(=x r ，即10)2(22=-+-=--mp q m p m 且. 所以当{10+==q p m 或{212=+=mp q 时qpxx mx x ++++2421整除4. 设a ∈F . 证明, 对任意的正整数n , 有x －a 整除x n －a n . 证明：由于))((123221-----++⋅⋅⋅+++-=-n n n n n nn ax axa axxa x ax因此a x -在n n a x F -上整除．5. 设f (x )∈F [x ], k 是正整数. 证明, x 整除f k (x )当且仅当x 整除f (x ). 证明：充分性：当).()(x f x x f x k 整除时，显然有整除 必要性：作带余除法得rx xq x f +=)()(，.F r ∈ ki k i i ki i k i ki kk r x r x x q i k rx xq i k r x xq x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=--=-=∑∑))(())(())(()(110由于)(x f x k整除，因此krx |. 这说明0=r ，即有)()(x xq x f =， 因此).(x f x 整除6. 设k ,n 是正整数. 证明, x k －1整除x n －1当且仅当k 整除n . 证明：充分性：若n k |，令1kn n =，k x y =. 因为)1(|)1(1--n y y所以.1|1--n k x x必要性：设rkq n +=，这里.0k r <≤ 显然有.1)1(111-+-=-+-=-=-+rkqrrrrkqrkq nx x x x x x x x x 因为1|1--n k x x 且1|1--kqk x x （这一点利用了必要性），结合上式知.1|1--rkx x 这时必然有.0=r7. 用辗转相除法求f (x )=x 4＋3x 3-x 2-4x -3与 g (x )=3x 3＋10x 2＋2x -3的最大公因式(f (x ),g (x )), 并求u (x ), v (x ),使得(f (x ),g (x ))=u (x )f (x )＋v (x )g (x ).),279)(8110815(31092595,279)31092595)(9527()(),31092595()()9131()(222+--=---++---+-=---+-=x x x x x x x x x g x x x g x x f 解：由于因此3)()(+x x g x f 的最大公因式为与. 取259518)(,9527)(xx x v x x u -=-=即可符合要求。
高等代数 第4章多项式 4.7 特殊域上的多项式
假设对结论次数<n的多项式结论成立， 现考虑 ( f ( x)) n ，由代数基本定理，f ( x) 有一复根 。 若 为实数 则 f ( x) ( x ) f1 ( x) ，其中 若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
高等代数
f ( x) ( x )( x ) f2 ( x) ( x ( ) x ) f2 ( x)
2018/10/5 高等代数
f x 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 f x 在C上至少有一个根， f1 x ，
多项式。由归纳假设知 f1 x 在C上有n-1个根， 它们也是 f x 在C上的根，所以 f x 在C上有 n个根。
2018/10/5 高等代数
f x a0 xn a1xn1
n a1 n1 a0 x x a0
an1x an
an1 an x a0 a0
a0 x 1
a1 a0 1
x n
n
x n
n2
x n 1
n x n 1
1i j n
i j x
1 1 2
n
n
—（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
2018/10/5 高等代数
得根与系数的关系为：
a1 1 n
n1n a2 12 13
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
七年级上数学第四章多项式和整式优质课教学设计
第2课时单项式教学目标课题 4.1第2课时多项式和整式授课人素养目标1.理解多项式、整式的概念.2.能确定一个多项式的项数和次数.3.能用多项式表示实际问题中的数量关系，发展应用意识.教学重点多项式及整式的有关概念.教学难点确定多项式的项数和次数.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，引入新知【回顾导入】下面哪些式子是单项式？并指出单项式的系数与次数.3，π，a2b，，a2＋b2，2＋b.单项式有3，π，a2b，.它们的系数分别是：3，π，1，13.它们的次数分别是：0，0，3，1.上面还有一些式子不是单项式，它们是我们今天要学习的对象.【教学建议】对于非单项式的式子，让学生先观察它们的特征.设计意图回顾单项式的有关概念，同时引出多项式的学习.活动二：交流讨论，探究新知探究点多项式、整式的相关概念问题1 在上一章中，我们还遇到一些代数式2n－10，x2＋2x＋8，2a＋3b，12ab－πr2（1）你能说一说这些式子与单项式有什么区别?有加减运算.（2）下面的代数式中被圈住的部分是不是单项式？这些代数式与被圈住的部分有什么关系？【教学建议】（1）在教学多项式的概念时，要注意和单项式的概念进行比较，通过比较两者之间的相同点和不同点，掌握两个概念之间的联系与区别.（2）多项式的项是单项式，对每个单项式来说都有系数，因此，多项式的每一项都有系数，但对常数项不说系数，对多项式来说，没有系数的概念.（3）单项式、多项式、多项式的项都有次数，教学中，要注意使学生理解它们之间的联系与区别.设计意图3a 3a引入多项式及整式的有关概念，进一步强化符号意识.被圈住的部分均是单项式，这些代数式是被圈住的单项式的和.概念引入：1.多项式及其相关概念：像这样，几个单项式的和叫作多项式.其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项.多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数.2.整式：单项式与多项式统称整式.问题2 观察表格中的多项式，仿照已经给出的例子，完成剩余的填空：多项式2n－10x2＋2x＋82a＋3b12ab－πr2项（项数）2n，－10（2项）x2，2x，8（3项）2a，3b（2项）12ab，－πr2（2项）常数项－108无无次数121 2 几次几项式一次二项式二次三项式一次二项式二次二项式【对应训练】教材P93练习第1，2题.活动三：融会新知，巩固提升例（教材P92例2）用多项式填空，并指出它们的项和次数.（1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为.（2）m为一个有理数，m的立方与2的差为.（3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为.（4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为.解：（1）2a＋2b，它的项分别为2a，2b，次数是1.（2）m3－2，它的项分别为m3，－2，次数是3.（3）2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1.（4）18a2＋4ab，它的项分别为18a2，4ab，次数是2.【对应训练】教材P93练习第3题.【教学建议】给学生强调，列多项式时，注意找准数量关系.比如，在（3）中，前两年共投放2a辆，第三年每个月回收b辆，一年有12个月，共回收12b辆，故第三年年底还剩余（2a－12b）辆.在（4）中，印章的表面积等于18个正方形的面积与8个等边三角形面积的和.设计意图用多项式表示数量关系，强化应用意识.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么样的式子是多项式？2.什么叫多项式的项？其中什么叫常数项？3.怎样判断多项式的项数和次数？4.什么是整式？【知识结构】【作业布置】1.教材P94习题4.1第3，4，6，7，8，9题．2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时多项式和整式1.多项式2.多项式的项、多项式的次数3.整式教学反思要准确理解多项式的有关概念，必须先学好单项式，所以本节课既是新课程的学习，也是对前一课时学习的巩固.部分学生在初步接触多项式的次数的概念时，容易出错，但通过在练习中感悟理解，最终还是能理解清楚这一概念的含义，为后面的教学打下了良好的基础.解题大招一利用多项式的相关概念求值（1）一个多项式的次数是几，共有几项，这个多项式就是几次几项式.如3x2－2x＋1是二次三项式.（2）当多项式中某一项的系数为0时，该项为0，可视为没有此项.如，关于x，y的多项式3x2y＋ax＋y，若a＝0，则此多项式为三次二项式.（若a＝0，则ax＝0，原多项式化为3x2y＋y）例1如果多项式6x n＋2－x2＋2是关于x的三次三项式，那么n＝ 1 .解析：因为多项式的次数为3，则只能是6x n＋2为三次项，则n＋2＝3，所以n＝1.例2已知多项式5x3y m－2xy3＋（n－1）x3y2＋4是关于x，y的六次三项式，求m2＋n2的值.解：因为多项式的次数为6，则只能是5x3y m的次数为6.所以3＋m＝6，则m＝3.因为多项式只有三项，所以n－1＝0，则n＝1.所以m2＋n2＝32＋12＝10.解题大招二利用整体思想求多项式的值当多项式中单个字母的值未知时，可以根据某一部分整体的值进行计算.例3已知a2－a－1＝0，求2a2－2a＋2024的值.解：因为a2－a－1＝0，所以a2－a＝1.所以2a2－2a＋2024＝2（a2－a）＋2024＝2×1＋2024＝2026.培优点列整式表示实际问题中的数量关系例某种树的高度与生长的年数有关，测得一棵树的有关数据如下表（树苗原高100 cm）：年数a生长a年后这棵树的对应高度h/cm1115213031454160……（1）填出生长4年后这棵树的高度；（2）请用含a的代数式表示生长a年后这棵树的高度h：100＋15a ；（3）若这棵树一直按这个规律生长，用你得到的代数式求生长50年后这棵树的高度.分析：（1）观察不难发现，每一年这棵树的高度都比上一年增加15 cm；（2）根据增长规律解答即可；（3）把50代入关系式进行计算即可得解.解：当a＝50时，h＝100＋15×50＝100＋750＝850（cm）.因此，生长50年后这棵树的高度为850 cm.。
第四章-多项式环与有限域
式中， pi(x) 为首一既约多项式， αi是某一正整数， i=1， 2， …， s。
第4章 多项式环与有限域
推论4.2.1 d次多项式 f(x) 不可能有多于d个的一次因式。
定理4.2.4 α为多项式 f(x) 之根的充要条件是：
第4章 多项式环与有限域
三、 最大(高)公因式 定义4.2.3 若 (f(x)， g(x)， …， k(x))是同时除尽多 项式f(x)， g(x)， …， k(x)的次数最高的首一多项式， 则称(f(x)， g(x)， …， k(x))是f(x)， g(x)， …， k(x)的最 大公因式， 用(f(x)， g(x)， …， k(x))或 GCD {f(x)， g(x)， …， k(x)} 表示之。
-f(x)=-fnxn-f n-1 x n-1 -…-f1x-f0。
第4章 多项式环与有限域
4° 交换律和结合律显然成立。 (2) 乘法封闭性成立。 乘法单位元是 f(x)=1。 (3) 无零因子。 设 f(x)≠0， g(x)≠0， 令fα、 gβ分别是f(x)和g(x)的 最高次数的系数， 即fα≠0、 gβ≠0。 因此
1° f(x)， g(x)， k(x)多项式集合中， 若两两互素， 则［f(x)， g(x)， k(x)］=f(x)g(x)k(x)；
2° f(x)， g(x)的最小公倍式［f(x)， g(x)］能除尽 f(x)， g(x) 的一切公倍式；
第4章 多项式环与有限域
定理4.1.2 设R是可换环， I为R的一个理想， 于 是R模I构成一个可换环， 称它为环R以理想I为模的剩 余类环M。
(1) 对任意a,b∈M， 一定存在有元素a,b∈R， 且 a=a+I， b=b+I。 所以
第4章-多项式插值方法
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数
因此，(2 n )!(2 n )!!(2 n 1 )!!
2、勒让德多项式的微分表示
Pl(x)21ll!ddxll (x21)l
（4.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式 (4.1.10) 和（4.1.7）是相同的．
【证明】 用二项式定理把 (x2 1)l展开
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 4.1
计算 P l ( 0 ) ，这应当等于多项式 P l ( x ) 的常数项．
如 l 为 2n 1（即为奇数）时， 则 P2n1 ( x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1(0)0
（4.1.8）
l 2n （即为偶数）时．，则 P 2 n ( x ) 含有常数项，即 （4.1.7）中 k l 2 n 的那一项，所以
P2n(0)(1)n2(22 nn n!)n !!(1)n(2 (n 2n )1 !)!!! （4.1.9）
式中记号 ( 2 n ) ! ! ( 2 n ) ( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) L 6 4 2
而 ( 2 n 1 ) ! ! ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 ) ( 2 n 5 ) L 5 3 1
(4.1.2) 式的解 Y ( , ) 与半径 r 无关，称为球谐函数
பைடு நூலகம்
，或简称为球函数．
球谐函数方程进一步分离变量，令 Y(,) () ()
得到关于 的常微分方程
sin 1 d d sind d l(l 1 )sim n2 2 0 （4.1.3）
称为 l 阶连带勒让德l 方程或缔合勒让德方程
.
令 xcos和 y(x)(x)
七年级数学下册 第四章《多项式》复习教案 湘教版
第4章 多项式 复习教案教学目标：1.能较熟练地理解本章所学的公式及运算法则2.能熟练地进行多项式的计算.教学重点：正确选择运算法则和乘法公式进行运算. 教学难点：综合运用所学计算法则及计算公式.教学方法：范例分析、归纳总结. 教学过程：一、 各知识点复习1.整式包括单项式和多项式.2. 求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将它们放在一起；四是合并同类项.3.多项式的排列(按某一个字母降幂、升幂排列).4.同底数幂相乘：a m ·a n =a m+n（m 、n 都是正整数） 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘.5.幂的乘方：（a m ）n ＝=a mn (m 、n 为正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.6.积的乘方：n n n b a ab ⋅=)( (n 为正整数) 文字叙述：积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.7.单项式的乘法法则： 两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不变指数相加.（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式） 8.单项式与多项式相乘的法则：即利用乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac9.多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= a(m+n)+b(m+n)=(am+an+bm+bn) 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 10.二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab ax bx x +++2=ab x b a x +++)(2 11.平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+ 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.12.完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍. 13*.立方和差公式：3322)2)((b a b ab a b a ±=+±14*.完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±15*.三个数的和的平方公式：2)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 222222+++++一、 范例分析：例1、 计算：(1) 求454232++-ab b b a 与3223232a ab b a +-+的和与差.(2) 432)()()(a a a a -•-•-•-(3) )4)(1()3)(3(+---+a a a a(4) )4)(12(3)32(2+--+a a a(5) 22)1()1(--+xy xy(6) 22)32()32)(32()32(b a b a b a b a -++--+(7) )3)(3(+---b a b a(8) 22)()(c b a c b a +---+例2、先化简，再求值：(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 21,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中 例3、解方程：3)4)(1()3)(3(+=+---+x x x x x例4、已知甲数是a ，乙数是甲数的2倍多1，丙数比乙数少2，试求甲、乙、丙三数的和与积，并计算a=-5 时的各与积分别是多少.讲解上述例题时注意：1.解题时说明所使用的公式.2.能用多种方法解题的要用多种方法解答.3.要求学生熟练地运用公式进行计算.二、布置作业P109 复习题四 A组第1题双数题、第2题、第3题、第4题后记：。
《多项式教案》
《多项式教案》word版第一章：多项式的概念与基本性质1.1 多项式的定义解释多项式的概念，引导学生理解多项式是由常数、变量及它们的运算符组成的代数表达式。
举例说明多项式的不同形式，如ax^2 + bx + c。
1.2 多项式的项解释多项式中的项是指由常数与变量的乘积组成的代数表达式。
强调项中的系数、变量和指数的概念，并提供相关例题进行讲解。
1.3 多项式的度数介绍多项式的度数是指多项式中最高次项的次数。
举例说明如何确定一个多项式的度数，并强调度数与多项式长度之间的关系。
1.4 多项式的系数解释多项式中各项的系数是指变量的系数，即变量前的常数。
提供例题讲解如何计算和理解多项式中各项的系数。
第二章：多项式的运算2.1 多项式的加法解释多项式加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的加法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.2 多项式的减法解释多项式减法是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的减法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.3 多项式的乘法解释多项式乘法是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的乘法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.4 多项式的除法解释多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的除法运算，并提供练习题让学生进行实践。
第三章：多项式的因式分解3.1 因式分解的概念解释因式分解是指将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积的形式。
强调因式分解的重要性，并展示因式分解的应用示例。
3.2 提取公因式解释提取公因式是指从多项式中提取出一个共同的因式，简化多项式的形式。
演示如何提取公因式，并提供练习题让学生进行实践。
3.3 因式分解的常用方法介绍因式分解的常用方法，如分组分解法、交叉相乘法等。
演示如何应用这些方法进行因式分解，并提供练习题让学生进行实践。
3.4 因式分解的应用解释因式分解在解决代数方程、不等式等问题中的应用。
第四章-多项式与插值
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1 xn an xnn yn
方程组系数矩阵取行列式
1 x0 x0n
| A | 1 x1 x1n ( xi x j ) 0
ni j0
1 xn xnn
故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一旳.
yi = interp1(x,y,xi,’ linear’ )
线性插值（缺省）
yi = interp1(x,y,xi,’ spline’ )
三次样条
yi = interp1(x,y,xi,’ cubic’ )
三次插值
例3 已知数据表如下，分别求 y＝0.9，0.7，0.6，0.5
处 x 旳值。
x
y
注：多项式求值还有一种函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要
求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式旳值。
3. 多项式旳四则运算 (1)多项式旳加减法
function p3 = poly_add(p1,p2)
n1=length(p1); n2 = length(p2);
yp=zeros(size(xp));
a(:,j)=a(:,j+1).*x;
for k=1:n+1
end
பைடு நூலகம்
yp=yp + coeff(k)*xp.^(n+1-k);
coeff=a\y;
end
plot(xp,yp, x,y, ' ro')
三、Lagrange插值多项式
1.插值基函数
定义:若n 1个n次多项式 l k (x) (k 1, 2,..., n 1)
多项式ppt课件
【答案】C
2
x
yz
a 2b
y
2
2
4 下列式子：①－2x；② 3 ; ③ 2 x ；④a －b ；⑤ 4
x
；⑥ -3y. 其中属于单项式的有_____，
①⑤
2
①②④⑤⑥
②④⑥
属于多项式的有________，属于整式的有_____________．(填
序号)
2
2
(3)100c+10b+a，它的项是 100c，10b 和 a，次数是 1.
小 结
(1)找多项式中的项时，应把项前的符号看成该系数
的性质符号；
(2)多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，
与其他项无关，所以要确定多项式的次数要有一
个分析比较的过程．
1
填表：
多项式 3x 2 x2 4
前3天交货．请用整式表示实际每天应多生产的台
数，并求出当m＝1 000时，实际每天应多生产的
台数．
28m
28m
m
－m＝
(台)；
解：实际每天应多生产
28 3
25
当m＝1 000时，实际每天应多生产
28 1000
25 －1 000＝120(台)．
谢谢观赏！
多多指导!
拓展提高题
2
.
对于多项式6x－
－1，下列说法中，不正确的是( D )
5xy
1
A．一次项系数是6
B．最高次项是－ 5xy
C．常数项是－1
D．是四次三项式
2
2 【中考·重庆】若a＝2，b＝－1，则a＋2b＋3的值为( B )
第四章 代数式 考点5 多项式(解析版)
第四章代数式（解析板）5、多项式知识点梳理1、多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．2、整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．同步练习一．选择题（共11小题）1．下列说法中正确的个数是（）（1）﹣a表示负数；（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+1的次数是3；（3）单项式﹣的系数为﹣2；（4）若|x|＝﹣x，则x＜0．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】相反数；绝对值；单项式；多项式．【分析】根据小于0的数是负数，可判断（1），根据多项式的次数，可判断（2），根据单项式的系数，可判断（3），根据绝对值，可判断（4）．【解答】解：（1）﹣a不是负数，负数表示小于0的数，故（1）说法错误；（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+1的次数是4，故（2）说法错误；（3）单项式﹣的系数为﹣，故（3）说法错误；（4）若|x|＝﹣x，x≤0，故（4）说法错误，故选：A．【点评】本题考查了多项式，根据定义求解是解题关键．2．在多项式﹣3x3﹣5x2y2+xy中，次数最高的项的系数为（）A．3B．5C．﹣5D．1【考点】多项式．【分析】直接利用多项式的次数的确定方法得出答案．【解答】解：在多项式﹣3x3﹣5x2y2+xy中，次数最高的项的系数为：﹣5．故选：C．【点评】此题主要考查了多项式，正确找出最高次项是解题关键．3．对于式子：，，，3x2+5x﹣2，abc，0，，m，下列说法正确的是（）A．有5个单项式，1个多项式B．有3个单项式，2个多项式C．有4个单项式，2个多项式D．有7个整式【考点】单项式；多项式．【分析】分别利用多项式以及单项式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，3x2+5x﹣2，abc，0，，m中：有4个单项式，，abc，0，m；2个多项式为：，3x2+5x﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了多项式以及单项式，正确把握相关定义是解题关键．4．下列结论中正确的是（）A．单项式的系数是，次数是4B．单项式m的次数是1，没有系数C．多项式2x2+xy2+3是二次三项式D．在，2x+y，，，，0中整式有4个【考点】单项式；多项式．【分析】根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念判断即可．【解答】解：A、单项式的系数是的系数是π，次数是3，不符合题意；B、单项式m的次数是1，系数是1，不符合题意；C、多项式2x2+xy2+3是三次三项式，不符合题意；D、在，2x+y，，，，0中整式有2x+y，，，0，一共4个，符合题意．故选：D．【点评】此题考查多项式与单项式，关键是根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念解答．5．若﹣x m+（n﹣3）x+4是关于x的二次三项式，则m、n的值是（）A．m＝2，n＝3B．m＝2，n≠3C．m≠2，n＝3D．m＝2，n为任意数【考点】多项式．【分析】让最高次项的次数为2，保证第二项的系数不为0即可．【解答】解：由题意得：m＝2；n﹣3≠0，∴m＝2，n≠3．故选：B．【点评】本题考查了多项式次数和项数．解题的关键是能够从次数和项数两方面同时进行考虑．6．下列说法正确的是（）A．﹣的系数是﹣2B．x2+x﹣1的常数项为1C．22ab3的次数是6次D．2x﹣5x2+7是二次三项式【考点】单项式；多项式．【分析】根据单项式和多项式的有关概念逐一求解可得．【解答】解：A．﹣的系数是﹣，此选项错误；B．x2+x﹣1的常数项为﹣1，此选项错误；C．22ab3的次数是4次，此选项错误；D．2x﹣5x2+7是二次三项式，此选项正确；故选：D．【点评】本题考查多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．7．若多项式3x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，则m的值（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．﹣4【考点】多项式．【分析】根据多项式的定义即可求解．【解答】解：因为多项式3x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝±2，且m≠2，则m的值为﹣2．故选：C．【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是掌握二次三项式的定义．8．在式子，2πx2y，，y2﹣5，π+6，中，多项式的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】多项式．【分析】根据由几个单项式的和组成的式子叫多项式解答即可．【解答】解：在式子，2πx2y，，y2﹣5，π+6，中，多项式有：，y2﹣5，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的定义是解题关键．9．在代数式x﹣y，3a，x2﹣y+，，xyz，0，π，中有（）A．3个多项式，4个单项式B．2个多项式，5个单项式C．8个整式D．3个多项式，5个单项式【考点】单项式；多项式．【分析】根据单项式和多项式的定义逐一判断可得答案．【解答】解：在所列代数式中，单项式有3a，xyz，0，π这4个，多项式有x﹣y，x2﹣y+，这3个，共7个整式，故选：A．【点评】本题主要考查多项式与单项式，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，几个单项式的和是多项式．10．下列关于多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的说法中，正确的是（）A．它是三次三项式B．它是四次两项式C．它的最高次项是﹣2a2bc D．它的常数项是1【考点】多项式．【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．据此作答即可．【解答】解：多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的次数是4，有3项，是四次三项式，故A、B错误；它的最高次项是﹣2a2bc，故C正确；它常数项是﹣1，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了多项式，解题的关键是掌握多项式的有关概念，并注意符号的处理．11．多项式3x2+xy﹣xy2的次数是（）A．2B．1C．3D．4【考点】多项式．【分析】根据多项式的概念即可求出答案．【解答】解：多项式3x2+xy﹣xy2的次数为3，故选：C．【点评】本题考查多项式，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．二．填空题（共18小题）12．当k＝3时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项．【考点】多项式．【分析】不含有xy项，说明整理后其xy项的系数为0．【解答】解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy，∴k﹣3＝0，k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0．13．多项式x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8不含xy项，则k＝2．【考点】多项式．【分析】先将原多项式合并同类项，再令xy项的系数为0，然后解关于k的方程即可求出k．【解答】解：原式＝x2+（﹣3k+6）xy﹣3y2﹣8，因为不含xy项，故﹣3k+6＝0，解得：k＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力．14．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为﹣2．【考点】多项式．【分析】根据已知二次三项式得出m﹣2≠0，|m|＝2，求出即可．【解答】解：因为多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，可得：m﹣2≠0，|m|＝2，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题考查了二次三项式的定义，关键是求出二次三项式．15．多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+28是六次四项式，最高次项的系数是﹣7．【考点】多项式．【分析】根据多项式的定义即可得结论．【解答】解：多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy3+28是六次四项式，最高次项的系数是﹣7．故答案为六、四、﹣7【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是掌握多项式定义．16．把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是+3﹣5m﹣m2n2+2m3．【考点】多项式．【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列．【解答】解：把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是+3﹣5m﹣m2n2+2m3．故答案为：+3﹣5m﹣m2n2+2m3．【点评】本题考查多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．17．已知5x2y|m|﹣（m﹣2）y+3是四次三项式，则m＝﹣2．【考点】绝对值；多项式．【分析】根据多项式次数及项数的定义即可得出答案．【解答】解：∵5x2y|m|﹣（m﹣2）y+3是四次三项式，∴2+|m|＝4，且m﹣2≠0，则m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题考查了多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．18．当m＝3时，多项式3x2+2xy+y2﹣mx2中不含x2项．【考点】多项式．【分析】先将已知多项式合并同类项，得（3﹣m）x2+2xy+y2，由于不含x2项，由此可以得到关于m方程，解方程即可求出m．【解答】解：将多项式合并同类项得（3﹣m）x2+2xy+y2，∵不含x2项，∴3﹣m＝0，∴m＝3．故填空答案：3．【点评】此题注意解答时必须先合并同类项，否则可误解为m＝0．19．写出一个只含有字母x的二次三项式x2+2x+1（答案不唯一）．【考点】多项式．【分析】二次三项式即多项式中次数最高的项的次数为2，并且含有三项的多项式．答案不唯一．【解答】解：由多项式的定义可得只含有字母x的二次三项式，例如x2+2x+1，答案不唯一．【点评】本题考查了多项式的定义，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．20．单项式﹣的系数是m，多项式2a2b3+3b2c2﹣1的次数是n，则m+n＝．【考点】单项式；多项式．【分析】利用单项式系数以及多项式次数的定义判断求出m与n的值，即可求出m+n的值．【解答】解：∵单项式﹣的系数是m，多项式2a2b3+3b2c2﹣1的次数是n，∴m＝﹣，n＝5，则m+n＝，故答案为：【点评】此题考查了多项式，以及单项式，熟练掌握多项式的性质是解本题的关键．21．﹣3x2y﹣2x2y2+xy﹣4的最高次项为﹣2x2y2．【考点】多项式．【分析】直接利用多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．【解答】解：﹣3x2y﹣2x2y2+xy﹣4的最高次项为：﹣2x2y2．故答案为：﹣2x2y2．【点评】此题主要考查了多项式，熟练掌握相关定义是解题关键．22．把多项式2m2﹣4m4+2m﹣1按m的升幂排列﹣1+2m+2m2﹣4m4．【考点】多项式．【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列．【解答】解：多项式2m2﹣4m4+2m﹣1按m的升幂排列为﹣1+2m+2m2﹣4m4，故答案为：﹣1+2m+2m2﹣4m4．【点评】本题考查多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．23．多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．【考点】多项式．【分析】根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．【解答】解：由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．故答案为：二，三．【点评】本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．24．将多项式5x2y+y3﹣3xy2﹣x3按x的升幂排列为y3﹣3xy2+5x2y﹣x3．【考点】多项式．【分析】按照字母x的指数从小到大排列即可．【解答】解：按x的升幂排列为y3﹣3xy2+5x2y﹣x3，故答案为：y3﹣3xy2+5x2y﹣x3．【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握升幂排列的方法．25．多项式5x2y﹣xy5+7是一个6次三项式．【考点】多项式．【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【解答】解：多项式5x2y﹣xy5+7是一个6次三项式．故答案为：6．【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．26．多项式﹣5ab3+a3b2的次数是5．【考点】多项式．【分析】直接利用多项式的次数得出答案．【解答】解：多项式﹣5ab3+a3b2的次数是：5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．27．若x2y3﹣0.1x4y n+xy5是关于x，y的六次多项式，则正整数n的值为2或1．【考点】多项式．【分析】根据多项式的次数定义和n是正整数得出4+n＝6或4+n＝5，求出n的值即可．【解答】解：∵x2y3﹣0.1x4y n+xy5是关于x，y的六次多项式，又∵n是正整数，∴4+n＝6或4+n＝5，∴n＝2或n＝1；故答案为：2或1．【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．28．代数式ab﹣πxy﹣x3的次数是3，其中﹣πxy项的系数是π．【考点】单项式；多项式．【分析】根据多项式项的定义及单项式系数的定义解答．多项式的项数为组成多项式的单项式的个数，注意单项式的系数为其数字因数．【解答】解：代数式ab﹣πxy﹣x3的次数是3，﹣πxy项的系数是π，故答案为：3，﹣π．【点评】本题考查了多项式项和单项式的系数，关键是注意项的系数是包括系数前的符号，π不是字母，是数字．29．若关于x，y的多项式（﹣2x2）（ax2﹣2bx﹣4）﹣x3（3+2x）中不含x的三次、四次项，则b a＝．【考点】多项式．【分析】根据题意列出关系式，合并后根据结果不含x3和x4，求出a与b的值，即可确定出b a的值．【解答】解：（﹣2x2）（ax2﹣2bx﹣4）﹣x3（3+2x）＝﹣2ax4+4bx3+8x2﹣3x3﹣2x4＝（﹣2a﹣2）x4+（4b﹣3）x3+8x2．∵关于a，b的多项式（﹣2x2）（ax2﹣2bx﹣4）﹣x3（3+2x）中不含x的三次、四次项，∴﹣2a﹣2＝0，4b﹣3＝0．∴a＝﹣1，b＝．∴b a＝．故答案是：．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三．解答题（共6小题）30．若多项式4x n+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．【考点】多项式．【分析】首先利用多项式的次数得出n的值，进而代入求出答案．【解答】解：由题意可知：该多项式最高次数项为3次，当n+2＝3时，此时n＝1，∴n3﹣2n+3＝1﹣2+3＝2，当2﹣n＝3时，即n＝﹣1，∴n3﹣2n+3＝﹣1+2+3＝4，综上所述，代数式n3﹣2n+3的值为2或4．【点评】此题主要考查了多项式，正确得出n的值是解题关键．31．若多项式mx3﹣2x2+3x﹣2x3+5x2﹣nx+1不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出m n+（m﹣n）2016的值．【考点】多项式．【分析】先将关于x的多项式合并同类项．由于其不含三次项及一次项，即系数为0，可以先求得m，n，再求出m n+（m﹣n）2016的值．【解答】解：mx3﹣2x2+3x﹣2x3+5x2﹣nx+1＝（m﹣2）x3+3x2+（3﹣n）x+1，因为不含三次项及一次项的多项式，依题意有（1）m﹣2＝0，m＝2；（2）3﹣n＝0，n＝3．代入m n+（m﹣n）2016，原式＝23+（﹣1）2016＝9．【点评】此题考查了多项式的定义，解答本题必须先合并同类项，否则容易误解为m＝0，n＝0．32．已知多项式y2+xy﹣4x3+1是六次多项式，单项式x2n y5﹣m与该多项式的次数相同，求（﹣m）3+2n的值．【考点】多项式．【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出m的值，进而得出n的值，即可得出答案．【解答】解：∵多项式y2+xy﹣4x3+1是六次多项式，单项式x2n y5﹣m与该多项式的次数相同，∴m+1+2＝6，2n+5﹣m＝6，解得：m＝3，n＝2，则（﹣m）3+2n＝﹣27+4＝﹣23．【点评】此题主要考查了多项式以及单项式，正确把握多项式次数确定方法是解题关键．33．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）（1）x﹣7，（2），（3）4ab，（4），（5）5﹣，（6）y，（7），（8）x+，（9），（10）x2++1，（11），（12）8a3x，（13）﹣1单项式集合{（2）（3）（6）（12）（13）…}；多项式集合{（1）（8）（9）（10）…}；整式集合{（1）（2）（3）（6）（8）（9）（10）（12）（13）…}．【考点】整式；单项式；多项式．【分析】根据单项式、多项式、整式的概念，逐个分辨并作答即可．【解答】解：单项式有：，4ab，y，8a3x，﹣1；多项式有：x﹣7，x+，，x2++1；整式有：x﹣7，，4ab，y，x+，，x2++1，8a3x，﹣1．故答案为：（2）（3）（6）（12）（13）；（1）（8）（9）（10）；（1）（2）（3）（6）（8）（9）（10）（12）（13）．【点评】本题考查了多项式、单项式、整式的概念．理解和掌握整式的概念，是解决本题的关键．34．若关于x，y的多项式3x2﹣nx m+1y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是2，求m ﹣n的值．【考点】多项式．【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵关于x，y的多项式3x2﹣nx m+1y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是2，∴m+1＝2，﹣n＝2，解得：m＝1，n＝﹣2，∴m﹣n＝1﹣（﹣2）＝3．【点评】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．35．已知A、B、C是数轴上3点，O为原点，A在O右侧，C在B右侧，线段OA＝2BC＝m，点D在线段BC上，关于x的多项式P的一次项系数为n，BD＝nCD，且l6x4+mx＝P•（2x﹣1）+7．（1）求m，n的值：（2）若OA、BC中点连线的长度也为m，求线段OB的长；（3）若A、C重合，E是直线OA上一动点，F是线段OA延长线上任意一点，求OE+ +AE的最小值．【考点】数轴；多项式．【分析】（1）设P＝8x3+ax2+nx+b，代入对比系数即可；（2）根据条件确定B点表示的数是15或﹣9，即可求解；（3）设E点表示的数是a，F点表示的数是b，OE++AE|＝|a|+|12﹣a|+，当a＜0时，OE++AE＝17﹣＞17；当0≤a≤10时，OE++AE＝17﹣，12≤OE++AE≤17；当10＜a ＜12时，OE++AE＝7+，12＜OE++AE＜13；当a≥12时，OE+ +AE＝﹣17≥13；12≤OE++AE即可求最小值；【解答】解：（1）∵l6x4+mx＝P•（2x﹣1）+7，设P＝8x3+ax2+nx+b，∴16x4+2ax3+2nx2+2bx﹣8x3﹣ax2﹣nx﹣b+7＝l6x4+mx，∴a＝4，n＝2，2b﹣n＝m，b＝7，∴m＝12，n＝2；（2）∵m＝12，∴OA＝12，BC＝6，∵O为原点，A在O右侧，∴A表示的数是12，∴OA的中点表示的是6，∵OA、BC中点连线的长度也为m，∴BC中点在数轴上表示的数是18或﹣6，∴B点表示的数是15或﹣9，∴BO＝15或BO＝9；（3）∵BC＝6，n＝2，BD＝nCD，A、C重合，∴B点表示的数是6，D点表示的数是10，设E点表示的数是a，F点表示的数是b，OE++AE＝|a|++|12﹣a|＝|a|+|12﹣a|+，当a＜0时，OE++AE＝17﹣＞17；当0≤a≤10时，OE++AE＝17﹣，∴12≤OE++AE≤17；当10＜a＜12时，OE++AE＝7+，∴12＜OE++AE＜13；当a≥12时，OE++AE＝﹣17≥13；∴12≤OE++AE，∴OE++AE的最小值是12；【点评】本题考查数轴上点的特点，绝对值的意义；掌握数轴上点与绝对值距离之间的联系是解题的关键。
第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数
2ll!dxl
k0
2lk!(lk)!
[2 l]
(1)k
k0
(2l2k)! xl2k 2lk!(lk)!(l2k)!
Pl(x).
3.勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
i f(l)(z) l!
f() d
2πi C(z)l1
容易证明微分表示（4.1.10）也可表示为环路积分形式
4.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） P n ( x ) 的 n个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn 1 ( x ) 的零点与 P n ( x ) 的零点互相分离．
2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
P2n(0)(1)n2(22 nn n!)n !!(1)n(2 (n 2n )1 !)!!! （4.1.9）
式中记号 ( 2 n ) ! ! ( 2 n ) ( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) L 6 4 2
而 ( 2 n 1 ) ! ! ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 ) ( 2 n 5 ) L 5 3 1
的项，即 k l
2
的项，应取 k m ax
[l] 2
，并且注意到
d l x 2 l 2 k ( 2 l 2 k ) ( 2 l 2 k 1 )[ 2 l 2 k ( l 1 ) ] x l 2 k d x l
因此有
1
dl
(x21)l
[2 l]
(1)k
(2l2k)(2l2k1)L(l2k1)xl2k
本章主要内容：勒让德多项式的来源、定 义、性质、生成与递推公式，球谐函数。
人教七年级数学上册第四章 多项式
教材习题：完成课本94页习题3，
4，7，9题．
作业本作业：完成
C
x(x>2 )km，则司机应收费(
)
A．(8－1.8x)元
B．(8＋1.8x)元
C．[8＋1.8(x－2)]元
D．[8＋1.8(x＋2)]元
本节课我们学习了哪些知识？
多项式的概念、多项式的项和次数的概念、整式的概念、
根据实际问题列整式
同学们，这节课我们学习了整式及有关概念，要注意
多加理解和练习，为我们之后学习整式的运算奠定基
请同学们思考：
（1）两个半圆的面积和是_______；
+
（2）整个操场的面积是_________.
观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢？
问题导入
1.列代数式:
(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是________；
2(a+b)
(2)深班有男生x人，女生 21人，则这个班共有学生________人；
常数项是－1.
(2)在确定多项式的次数时，要先计算出多项式的每一项
的次数，再确定多项式的次数，即取次数最高的项的
次数作为该多项式的次数．如多项式x2＋2x－1中，
x2的次数是2，2x的次数是1，－1的次数是0，所以
多项式x2＋2x－1的次数是2.
知识点2：整式
单项式与多项式统称整式．
注：(1)已知一个式子，无论是单项式还是多项式，都一
4.1 整式
第2课时
多项式
1. 通过学生自主探究，理解多项式的相关概念、整式的相
关概念，培养学生自主学习的能力．
2．通过与单项式的对比学习，掌握多项式的项及其次数、
第四章多项式
第四章多項式§4-1 多項式的四則運算在代數中，我們通常會引進一些符號x,y,z等，用以表示一給定問題的未知數，有了這一些符號，可將問題中量與量之間的關係列成算式，而將給定的問題轉成方程式的問題，而在解方程式的過程中，跟數一樣，會牽涉到數與式之間的運算。
將數及具有數的性質的符號x,y,z等，經過加、減、乘的運算所形成的式子，叫做多項式。
多項式中，只含有一個符號x，叫做單元多項式，含有多於一個的符號，叫做多元多項式。
若a n,a n-1,…a1,a0均為實數，n為非負整數，形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 稱x 的單元多項式，也可簡稱為x的多項式。
設f(x)= a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(2)相關的名詞說明：設f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0為x的多項式①項：a n x n,a n-1x n-1，…,a1x,a0分別稱為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項,常數項。
②係數：a n,a n-1,…,a1,a0分別為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項,常數項的係數。
③領導係數：多項式中最高次項之係數(不為0)稱為此多項式之領導係數。
④次數：當a n≠0時，稱此多項式為n次多項式，記為：deg f(x)=n。
⑤單項式：只有一項的多項式稱為單項式。
⑥常數多項式：若一多項式僅含常數項a0，則稱此多項式為常數多項式。
當a0≠0，又稱為零次多項式。
當a0=0，又稱為零多項式。
⑦升羃與降羃式：若一多項式一變數x的次方由大而小排列者稱為降羃式，由小而大排列者稱為升羃式。
(3) 由多項式的係數決定多項式全體所成的集合：Z[x]表由整係數多項式全體所成的集合Q[x]表由有理係數多項式全體所成的集合R[x]表由實係數多項式全體所成的集合(主要討論實係數多項式)C[x ]表由複係數多項式全體所成的集合例如：f (x )=-4x 3+6x 2-5x +9 ⇒f (x )∈ Z[x ]。
高等代数 (78)
r s 既约 sx r 本原
存 h x x 使得 f x sx r h x
设 h x bn1 xn1 b0 , bi an xn a1 x a0 sx r bn1 xn1 b0
比较同次项系数 an sbn1 ,, a0 rb0
s
a n
r
a0
n
定 理 2. (1) 既约分数 r/s 是 f x ai xi x 的有理根 s an , r a0 . i0
(2) 首1整系数多项式的有理根必为整数根, 且为常数项的因子.
证2: 1 f r s 0 an r sn an1 r sn1 a0 r s 0
直接计算知: f 1 3, f 1 5 f x不存在有理根
反证.
若 f x 在有理数域上可约
f
x
存在一次有理因式
deg f x 3
f x 有一个有理根 矛盾!
注记: 设 f x F x 的次数 2 deg f 3, 则
f x 在 F 上可约 f x 在 F 上有根
22
直接计算:
f 1 0, f 1 2
f 3 138, f 3 180
f
1 2
2,
f
1 2
15 4
f
3 2
27 , 4
f
3 2
15 2
因此该方程具有唯一的有理根: x 1
例2. 证明 f x x3 5 x 1 在有理数域上不可约. 解: 设 x0 是 f x 的有理根, 定理 2 x0 1
两端同乘 sn : anr n an1r n1s a0rsn1 0
*
左端第1项外均为 s 的倍数, 右端是 s 的倍数, 因此 s anr n
高等代数 (66)
" " 由定理 1.
"" 记 d f , g
d首1 d 1 f 与 g 互素
d 1
uf vg 1
2 设 f h, g h, 则 f , g 1 fg h
互素因式的乘积仍为因式
f , g 1 u, v F x 使得 uf vg 1 ufh vgh h
第四章 多项式 4.3 最大公因式
4.3.4 互素多项式
四、互素多项式
互素: 如果两个多项式的最大公因式为 1, 就称二者互素.
例1. x a 与 f x 互素 f a 0 x a f x
证明. " " x a 与 f x互素 x a f x f a 0
""
反证.
设 x a,
f , h 1 a, b F x 使得 af bh 1 两式相乘
g, h 1 c, d F x 使得 cg dh 1
1 af bh cg dh ac fg afd bcg bdhh fg, h 1
例3. 确定数 m, p 使得 x2 3 x 2 x4 mx2 px 2 .
fg h g h fg ufh f h fg vgh
互素的性质: 设 f , g, h F x, 则
3 f gh, f , g 1 f h
f , g 1 u, v F x 使得 uf vg 1 ufh vgh h
f h f gh, f ufh
4 f , h 1, g, h 1 fg, h 1
p3 m 6
解: 利用互素.
x2 3x 2 x 1 x 2
x 1, x 2 1
x2 3x 2 x4 mx2 px 2 f x
f 2 0
人教版(2024新版)七年级数学上册第四章习题练课件：4.1 课时2 多项式及整式
项数是3，多项式的次数为多项式中次数最高的项的次数，故次数为
3 + 5 = 8.
4.教材P94T3变式多项式4 4
− 2 3 2
+
3 3
− 5 −
1
中，它的项分别为
2
−
−
五
五
_____，________，_____，_______，____，这个多项式为____次____项式.
4.1 整式
课时2 多项式及整式
习题练
知识点1 多项式的概念
1.[2024廊坊期末]下列各式中是多项式的是( D )
1
A.
2
B.2
1
C.
2
D. 2 − 2
知识点2 多项式的项与次数
2.[2024深圳龙华区期末]多项式− 2 + 3 − 5的二次项系数是( B
A.− 2
B.−1
C.3
项的系数互为相反数,所以 = −3.故 + = −3 + 4 = 1.
素养提升
11.抽象能力教材P94T9变式[2024咸阳实验中学期中]在某次综合与实践活
动中，小聪同学了解到鞋号（码）与脚长 mm 的对应关系如表：
鞋号/码
…
33
34
35
36
37
…
脚长/mm
…
215
220
225
230
235
2 + + ，共2个；整式有6，，1，3， − ，
2 + + ，共6个.故D项的说法正确.
9.如果一个多项式的各项次数都相同，那么这个多项式叫作齐次多项
式．如 3 + 3 2 + 4 + 2 3 是3次齐次多项式.若 +3 2 − 6 3 2 是齐
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ai x
称为
a i 次项， i 称为 i 次项的系数。用
f ( x), g ( x), 或 f , g , 等来表示多项式。
定义4.1.2
若多项式 f (x)与 g (x) 同次项的系数全相等， 那么就 称多项式 f (x) 与 g (x) 相等，记为 f ( x) g ( x) 。 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。
3、乘法交换律：
f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
( f ( x) g ( x))h( x) f ( x)(g ( x)h( x))
4. 乘法结合律：
。 5.乘法对加法的分配律：
f ( x)(g ( x) h( x)) f ( x) g ( x) f ( x)h( x)
P
P[x]
称为数域上 的一元多项式环 ，记
§4.2多项式的整除性
教学目标
掌握多项式整除的性质及证明。 重点 整除及其判定方法 。 难点 带余除法及其应用
§4.2多项式的整除性
一、概念和性质
若 f ( x) x 3 2x 2 2x 1, g ( x) x 2 x 1 ，用 g (x) 除 f (x) 例：
定理4.1.1 设 f ( x), g ( x)是数域 F上的多项式， 且： f ( x) 0, g ( x) 0.
则（1）
（2）
( f ( x) g ( x)) max(( f ( x)),( g ( x)))
( f ( x) g ( x)) ( f ( x)) ( g ( x)).
由多项式的加法、乘法和减法的定义可知，数 域 P 中的多项式经过加、减、乘之后，仍是 P 中的的多项式 。 运算法则： 1. 加法交换律：f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
2.加法结合律：
( f ( x) g ( x)) h( x) f ( x) ( g ( x) h( x))
上面的结果都可以推广到多个多项式的情形。
推论4.1.2
f ( x) g ( x) 0 f (x)与 g (x) 中至少
( x) 0，则
有一个为零。 推论4.1.3 若 f ( x) g ( x) f ( x)h( x)且 f
g ( x) h( x) 。
定义：所有系数在数域
P
中的一元多项式
难 点：
1、多项式互素的概念及其应用； 2、最大公因式的求法； 3、有理根的求法及应用。
§4.1 一元多项式的定义 和运算
教学目标 掌握一元多项式的定义并会进行简单运算。 重点 一元多项式的概念。 难点 一元多项式的概念。
§4.1 一元多项式的定义和运算
大家来看以下的式子：
x 1
2
1 ；x 1 ；
( 推论3 如果 ( f1 ( x), g ( x)) 1 ， f 2 ( x), g ( x)) 1 ， 那么 ( f1 ( x) f 2 ( x), g ( x)) 1 。 f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x) F[ x](s 2)，如果 d (x) 使得:
f ( x) g ( x) (a0 b0 ) (a1 b1 ) x (am bm ) x m (an bn ) x n (ai bi ) x i (x) 与 g (x) 的乘积为
f ( x) g( x) anbm x nm (anbm1 an1bm ) x nm1 (a1b0 a0b1 ) x a0b0
f 得： ( x) g ( x)( x 1)。
定义4.2.1 数域F上的多项式 g (x) 称为整除 f (x) ， 如果存在 h( x) F[ x] 使得 f ( x) g ( x)h( x) 成立。 “ g ( x) | f ( x) ” 用
表示 g (x) 整除
f (x) ， " g ( x) | 用
这里 f ( x) cg ( x)， c是数域 F 中某一不等于零的数。 证明略（板书） 定理4.2.1
f (x) 、g ( x) F[ x]，且 g ( x)
0 ，则一定
f ( x) q( x) g ( x) r ( x) -------(1) 成立，其中 (r ( x)) ( g ( x))或者 r ( x) 0，并且这样的
是数域
F 上两个多项式，那么可以写成 m j f ( x) a x ； g ( x) b j x
n i i 0 i
在表示多项式 f (x) 与 g (x) 的和时， 如果 n m ， 为了方便起见，在 g (x) 中令 bn bn1 bm1 0 ， 那么 f (x)与 g ( x) 的和为
q( x), r ( x) F[ x] ， 使
q( x), r ( x) 是唯一决定的。 r （1）中的 q(x) 称为g (x) 除 f (x) 的商， (x) 称为 g (x) 除
f (x)的余式。
多项式的整除性不会因数域的扩大而改变。 例1 例2
2 f ( x) x 4 4x 3 2x 2 1 被 g ( x) x 1 除所得 求
二、例题 的商式和余式。
xd 1 xn 1 计算:
§4.3 多项式的最大公因式
教学目标
掌握多项式最大公因式的定义、运算及 其性质。
重点
多项式最大公因式的定义、运算及其性质。
难点
运用展转相除法求最大公因式，最大公因 式性质的运用。
§4.3 多项式的最大公因式
定义4.3.1（多项式的公因式）设 f ( x)，g ( x) F[ x] 。 若F [x] 中的一个多项式h(x) 满足 h( x) f ( x)且h( x) g( x) ，那么h(x) 就称为f (x)与g (x) 的一个公因式。 定义4.3.2 （多项式的最大公因式）设 d (x) 是多项 式f (x)与 g (x)的一个公因式。若 d (x)能整除 f (x)与 g (x) 的每一个公因式，则称 d (x) 是 f (x)与 g (x) 的最大公 因式 。 f 例如，对于任意多项式 f (x)， (x)就是 f (x)与0的一个 最大公因式。特别地，根据定义，两个零多项式的
第四章 多项式
教学要求：
1、了解多项式的基本概念； 2、掌握多项式的整除概念及其判定方法； 3、掌握多项式的因式分解定理及最大公因式 的求解方法； 4、了解多项式函数及其根等概念；
5、有理多项式解的理论(了解)。
教学重点：
1、除概念及其判定方法； 2、转相除法、综合除法； 3、因式分解定理； 4、有理数域上的多项式。
其中 s次项的系数是
f ( x) g ( x)
nm s 0
(
i j s
ai b j ) x s
。
所以 f ( x) g ( x) 可表成
f ( x) g ( x)
nm s 0
(
i j s
ai b j ) x s
。
利用多项式的加法可以定义多项式的减法：
f ( x) g ( x) f ( x) ( g ( x))
i （4）如果 h( x) f i ( x)， 1,2,, t ，则 g i ( x) F[ x] 有
h( x) ( f1 ( x) g1 ( x) f 2 ( x) g 2 ( x) f t ( x) gt ( x)) ；
a cf （5） ( x) f ( x)， f (x) 。 f ( x) F[ x] ， , c F 且 a （ ac 0 ）； 那么有 g 如果 f ( x) g ( x) ， ( x) f ( x) ， 设 （6） f (x) 和 g (x) F[ x]，
x y
2
； sin x cos x
由此引出： 大家能告诉我它们是一些什么式子吗？
定义4.1.1
设
a0 , a1 ,, an F
n 是一非负整数， x
是一个文字， 是一个数域， F
。
则形式表达式
a0 a1 x a2 x ...... an x
2
n
（1）
称为系数在数域 F 中的一元多项式，或者简称为 数域 F 上的一元多项式。 （与初中所学的多项式进行 比较）。这里
g 定义4.3.3 F [x]中两个多项式 f (x) ， (x) 称为互素 （也称为互质）的，如果( f ( x), g ( x)) 1。显然，两 个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其 他的公因式，反之亦然。 g 定理4.3.3 F [x]中两个多项式 f (x) ， (x) 互素的充要 条件是有F [x] u( x), v( x) 中 多项式使 u( x) f ( x) v( x) g ( x) 1 . f 推论1 如果 ( f ( x), g ( x)) 1， ( x) | g ( x)h( x)且，那 么 f 1 ( x) f 2 ( x ) | g ( x ) 。 推论2 如果 f1 ( x) | g ( x), f 2 ( x) | g ( x)，且( f1 ( x), f 2 ( x)) 1 那么 f1 ( x) f 2 ( x) | g ( x) 。
定理4.3.2 若 d (x) 是 f (x)与 g (x) 的最大公因式，那 么在F [x]中存在多项式 u ( x), v( x)使得一下等式成 立: d ( x) u( x) f ( x) v( x) g ( x)。 证明:利用定理4.3.1证明中的辗转相除法的式子直 接推得。(此定理的逆定理不一定成立。） 由最大公因式的定义不难看出，如果 d1 ( x), d 2 ( x) 是 g f (x)， (x) 的两个最大公因式，那么一定有d1 ( x) | d 2 ( x) 与d 2 ( x) | d1 ( x) ，也就是说 d1 ( x) cd2 ( x), c 0。这就 是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非 g 零常数倍的意义下是唯一确定的。用（f (x)，(x)） 来表示首项系数是1的那个最大公因式。