黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(文)试题 Word版含解析

大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.集合{}13A x x =-<<，{}260,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（ ）A. ()1,2-B. ()3,3-C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解B 中的不等式，结合x Z ∈，得到{}2,1,0,1B =--，进而根据交集的定义求解. 【详解】{}{}{}260,=32,2,1,0,1B x x x x Z x x x Z =+-<∈-<<∈=--,又{}13A x x =-<<, 所以{}0,1A B =,故选C.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及二次不等式求解，属基础题. 2.已知i 是虚数单位，复数61iz i=-，则z 的虚部为（ ） A. 3- B. 3C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法和乘法算出z ，再计算z ，从而可得z 的虚部. 【详解】()()()()6163133111i i i z i i i i i i ⨯+===+=-+--+， 所以33z i =--，其虚部为3-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法和除法以及共轭复数、复数的虚部等概念，注意复数(),a bi a b R +∈ 的虚部为b ，不是bi .3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 1y x =+B. 3y x =C. 21y x =-+D.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】依次判断函数的奇偶性和单调性得到答案.【详解】A. 1y x =+，偶函数，在(0,)+∞上单调递增，满足条件； B. 3y x =，奇函数，在(0,)+∞上单调递增，排除； C. 21y x =-+，偶函数，在(0,)+∞上单调递减，排除；D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减，排除； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 4.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为( )A. 331 B.3324π-C. 332π-D.324π-【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的.求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率.【详解】连接A B O 、、，得等边三角形OAB ，边长为1，如图所示则阴影部分的面积为S 阴影2221112sin 60(233)62R R R ππ︒⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭，故所求概率为22(233)332(2)S R R ππ-=阴.故选：B.【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若m α，m β，n α，n β，则αβ∥ B. 若m n ，m α⊥，n β⊥，则αβ∥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若m α，m β，n α，n β，则αβ∥或α与β相交；故A 错； B 选项，若m n ，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n ⊂α或n α或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m α，则n ⊂α或n α或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥或α与β相交；故D 错； 故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.6.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为1，1，则输出的S 是（ ）A. 41B. 17C. 12D. 3【答案】B 【解析】 分析】执行程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，执行程序框图，可知1a =，1b =，4n =； 第1次循环：3S =，1a =，3b =，3n =，不满足判断条件；第2次循环：7=S ，3a =，7b =，2n =，不满足判断条件； 第3次循环：17S =，7a =，17b =，1n =，满足判断条件， 跳出循环体，输出17S =. 故选：B .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力.7.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.8.已知向量()1,2AB =，(),4BC x =-，若A ，B ，C 三点共线，则AC BC ⋅=（ ） A. 10 B. 80 C. －10 D. －80【答案】A 【解析】 【分析】根据A ,B ,C 三点共线,得到AB BC ,根据平面向量基本定理即可求得2x =-,得到向量AC ,即可求得AC BC ⋅.【详解】解：因为A ,B ,C 三点共线, 所以ABBC ,则24x =-,2x =-,所以()1,2AC AB BC =+=--, 故2810AC BC ⋅=+=. 故选：A【点睛】本题考查共线向量与平面向量的数量积,考查运算求解能力.9.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x ≤≤时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为（ ） A. 1.5 B. 8.5C. －0.5D. 0.5【答案】D 【解析】 【分析】由已知中函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，可得()g x 是以8为周期的周期函数，逐步转化，进而求得(10.5)g 的值. 【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，又函数()y g x =是R 上的偶函数，()()g x g x ∴-=，又()(2)f x g x =+，(4)(2)(2)()()g x f x f x g x g x ∴+=+=---=--=-，故(8)(4)()g x g x g x +=-+=， 即()g x 是以8为周期的周期函数，(10.5)(2.5)(1.5)(1.52)0.5g g g ∴==-=--=.故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用. 10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知()()120f x f x +=，且212x x π-<，则()12f x x +=（ ）3 B. 1C. 3-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的解析式，再根据()()120f x f x +=得到12,6x x k k Z ππ+=-+∈，从而得到()12f x x +的值.【详解】由函数的部分图象可得2A =，311341264T πππ=-=， 所以T π=，所以2ω=.故()()2sin 2f x x ϕ=+，因为2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故232k ππϕπ+=+即26k πϕπ=+，而0ϕπ<<，故6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()()120f x f x +=，12sin 2+sin 2066x x ππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到12sin 2sin 266x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12sin 2sin 266x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12222,66x x k k Z πππππ++++=+∈或12222,66x x k k Z ππππ+=+++∈，即12,6x x k k Z ππ+=-+∈或12,2x x k k Z ππ=++∈（舍）.()122sin 22166k f x x πππ⎛⎫-⨯++=- ⎪⎝⎭+=，【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，依据图象求解析式时，要遵循“两看一算”即看周期与振幅，利用对称轴算初相位，另外，已知三角函数值的关系要求自变量的关系时，要利用诱导公式化成同名的三角函数的相等关系，再依据终边的位置关系得到自变量的关系. 11.已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（ ） A.163B. 83C.3D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线:2BC x y =+，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解.【详解】由题意可得直线:2BC x y =+，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组2823y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得2160y y -=，易得>0∆，∴1102y y y +==，∴001023x y =+=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫-=-⎪⎝⎭， 令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为( ) A. 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【解析】 【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()302004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若283652,62a a a a S ==-，则1a 的值是 ． 【答案】-2 【解析】 试题分析：22836554542222a a a a a a a a a q =∴=∴=∴=，()5151126262212a S a-=-∴=-∴=--考点：等比数列性质及求和公式15.如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．【答案】150 【解析】 试题分析：在ABC中，45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,1001002sin 45AC ∴==︒，在AMC 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即1002,sin 60AM =︒解得1003AM =,在Rt AMN 中，sin MN AM MAN =⋅∠1003sin 60=⨯︒150()m =．故答案为150．考点：正弦定理的应用．16.如图所示，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的体积为________，其外接球的表面积为________.【答案】 (1). 3(2). 8π 【解析】 【分析】证BC ⊥平面PAB ．利用等体积转化求三棱锥P ABC -的体积；将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．13P ABC C ABP PAB V S B V C --∆==⨯∴⨯11333sin 602322=⨯⨯⨯⨯⨯=因为BC ⊥平面PAB ，将三棱锥P ABC -补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同．由直三棱柱性质易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，即ABD △为等边三角形，3AB =，可得1BE =．又12BCOE ==，故在Rt OBE 中， 222OB OE EB =+=此即为外接球半径，从而外接球表面积为248S OB ππ=⨯=． 38π 【点睛】本题考查了三棱锥体积及外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.下表是六安市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：（1）根据表中所给的5个月的数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）求“不礼让斑马线”的驾驶员人数y关于月份x之间的线性回归方程；（3）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；参考公式：线性回归方程y bx a=+，其中()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-，()()ni ix x y yr--=∑【答案】（1）详见解析（2）8124y x=-+（3）815【解析】【分析】（1）按照题中公式计算，结合||r越接近1，线性相关关系就越强；（2）按照题中的公式计算即可；（3）采用列举法及古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）依题意3x=，100y=，511420i iix y==∑，52155iix==∑，()()5180i iix x y y=--=-∑，()()5522117500i i i i x xy y==--=∑∑，计算()()0.921niix x y y r --==≈-∑， 具有很强的线性相关关系.（2）122114205310085559ni ii ni i x y nx yb x nx==-⨯⨯==----⨯=∑∑，()10083124a y bx =-=--⨯=，所以y 关于月份x 之间的线性回归方程为8124y x =-+.（3）从4月份选取的4人分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，从5月份选取的2人分别记为1B ，2B .从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有{}12,a a ，{}13,a a ，{}14,a a ，{}11,a B ，{}12,a B ，{}23,a a ，{}24,a a ，{}21,a B ，{}22,a B ，{}34,a a ，{}31,a B ，{}32,a B ，{}41,a B ，{}42,a B ，{}12,B B ，共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的基本事件为{}11,a B ，{}12,a B ，{}21,a B ，{}22,a B ，{}31,a B ，{}32,a B ，{}41,a B ，{}42,a B ，共8个，故所求概率为815. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用以及古典概型的概率计算，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.18.已知()2cos 214f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭，将()f x图像向右平移8π个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域及单调递增区间；（2）若2B g ⎛⎫=⎪⎝⎭b =1sin 2C =，求ABC 的面积. 【答案】（1）值域为⎡-⎣，单调递增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（21. 【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得()44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图象变换可得()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质可求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域及单调递增区间. （2）先求出B ，C ，从而可求A ，再根据正弦定理求出2c =，最后根据面积公式可求ABC 的面积.【详解】解：（1）()()2cos2sin 2cos21f x x x x =+-2sin 42cos 21sin 4cos 444x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的图象向右平移8π个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 故可得()24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 则()g x的值域为⎡-⎣.令222242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，则388k x k ππππ-+≤≤+，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则单调递增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）因为2B g ⎛⎫=⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,B π∈，故可得34B π=. 由1sin 2C =，0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得6C π=， 故可得12A B C ππ=--=.由正弦定理得sin sin b cB C=122c=，解得2c =.又()sin cos cos sin 232162sin sin 22224A B C B C B C -=+=+=⨯-⨯=， 故ABC 的面积11622223122sin 4b A Sc -==⨯⨯⨯=-. 【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等，另外三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值.19.如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点.（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离. 【答案】（1）证明见详解；（2）233【解析】 【分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 为平行四边形，进而证得//AM 平面SCD ；（2）先证明AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离. 【详解】证明：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M 为SB 的中点，//MN BC ∴且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒，1AD =，2BC =， //AD BC ∴且12AD BC =， //AD MN ∴且AD MN =，∴四边形AMND 为平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊄平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ；（2）1AB SA ==，M 为SB 的中点，AM SB ∴⊥，SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， SA BC ∴⊥，90ABC BAD ∠=∠=︒，BC AB ∴⊥，又SA AB A ⋂=， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ⊥∴，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ⊥∴平面SBC ，DN ⊂平面SCD ， ∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ， 在直角三角形SBC 中，有1122SB BC SC BE ⋅=⋅，SB BC BE SC ⋅∴===，即点B 到平面SCD .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为22.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左焦点为F ，点B 是椭圆与y 轴负半轴的交点，经过F 的直线l 与椭圆交于点,M N ，经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A ，若2MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）3333y x =+或3333y x =--. 【解析】 【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,A x y ,联立直线l 的方程与椭圆方程，消去y 后利用韦达定理可求MN 的长度（用k 表示），同理可求AB 的长度（用k 表示），结合2MN =可得关于k 的方程，解方程后可得所求的直线方程.【详解】（1）因为长轴长为222a =又离心率为22，故1c =，所以1b =，故椭圆方程为：2212x y +=.（2）因为2MN AB AB =>，所以MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，则2122421kx xk+=-+，21222221kx xk-=+，()()22121212814kx x x x x x+∴-=+-=，依题意，直线AB的方程为1y kx=-，代入2212xy+=中，得()222140k x kx+-=，设()33,A x y，又()0,1B-，可得32421kxk=+，则2232410121kAB k x kk=+-=++，由2MN AB=，所以()()222228141212121k kk kk k++=+++，从而()28124k k+=，则33k=±，直线l的方程为()31y x=±+即33y x=+或33y x=--.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把线段的长度等化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为关于参数的方程，从而可求参数的值.21.已知函数()2sinf x x x=-.（1）当[]0,2xπ∈时，求()f x的最小值；（2）若[]0,xπ∈时，()()1cosf x a x x x≤--⋅，求实数a的取值范围.【答案】（1）3π（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()f x 在0,2π上的单调性即可（2）由()(1)cos f x a x x x ≤--⋅得2sin cos 0x x x ax --≥，令()2sin cos h x x x x ax =--，然后分2a π≥、12a π<<、11a -<≤、1a ≤-四种情况求出()h x 的单调性即可.【详解】（1）()12cos f x x '=-，[0,2]x π 令()10cos 2f x x '>⇒<，得5,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 0f x，得0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,33上单调递增，在5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减因为33f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭(2)2f ππ=，(2)3f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以[0,2]x π时，min ()33f x f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭（2）()(1)cos f x a x x x ≤--⋅，即2sin cos 0x x x ax --≥.. 设()2sin cos h x x x x ax =--，[0,]x π∈()2cos cos sin cos sin h x x x x x a x x x a '=-+-=+-()cos h x x x ''=，∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''>，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h x ''<.∴()22h x h a ππ⎛⎫''≤=- ⎪⎝⎭，又(0)1h a '=-，()1h a π'=--.①02a π-≤即2a π≥时，()0h x '≤，()h x 在[]0,π上递减，则()0≤h x ，不满足. ②02a π->即2a π<时，当10a --<，10a -<即12a π<<时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '= 且00x x <<，()00h x '<，()h x 在()00,x 内递减，()(0)0h x h ≤=，不满足当10a --<，10a -≥即11a -<≤时，0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且00x x ≤<，()00h x '≥，0x x π<≤，()00h x '<，∴()h x 在()00,x 上递增，在()0,x π上递减，又(0)0h =，()(1)0h a ππ=->，所以()0h x ≥成立.当10a --≥，10a -≥即1a ≤-时，()0h x '>，()h x 在[]0,π上递增，则()(0)0h x h ≥=.满足题意.综上，1a ≤【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C ：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 【答案】（1）28sin 120ρρθ-+=；点A的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）16 【解析】【分析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解.【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<）， 可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=， 又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由2C的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ， 设1,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=， 得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 26S OC πρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.[选修4-5；不等式选讲]23.已知函数()12()f x x x m m R =-++∈.（1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时，22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x 在--≤≤-∈上有解，故只需（()min max 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论．试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-； 若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤；若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ． 综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤． （2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得，又由题意知（()min max 2)23x m x --≤≤-，所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-．。