第4章多层平板波导

联合式(4.5), 式(4.8)和式(4.9),可得下述方程: p p 1h1 2 h2 ( s) m arctan( 0 ) arctan( 3 ), m 0,1,2...
p
1
2
式中 ( s ) 2 arctan( 2 tan 2 )
UP DOWN BACK
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利用第 2 章中给出的 TE 模的场分布，代人式（ 4 . 56 ) ，并应用归一化变量，可得
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• 4 . 2 . 3 “W”型波导
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• 为区别主波与子波的相位关系，令:
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式中
式（ 4 . 34 ）是适用于任意多层平板波导的模式本征方 程．
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利用上述方法，完全可把以上结果推广到对称 2k + 1 ( k 为正整数）层平板波导，而且所得模式本征方程的形式与 三层平板波导完全一致，不同之处仅在于 p２的定义．
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• 五层平板波导约束电磁场的能力在一定条件下比 三层平板波导强，利用这个性质可以制成性能良 好的半导体激光器。 • 为了说明这一点，下面计算功率约束因子 r ，即 波导芯子功率占总功率的百分比。波导芯子是指 厚度为 2h1 的薄膜。定义
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化简式（ 4 . 23 ) ，容易得到
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• 式中
式（ 4 . 25 ）和式（ 4 . 26 ）两式完全确定了非对 称多层平板波导的色散性质。 式 ( 4 . 26 ）是一递推公式，在 Pi + 1 已知的情况下， 才可求得 pi，并以此类推，最终才可求得 p2。当 l = 2 时，多层平板波导退化为简单的四层平板波导， 而式 ( 4 . 26 ）也退化为四层平板波导相应的公式 （ 4 . 6 ）。
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为说明模式本征方程（ 4 . 5 ）的物理意义，做以下处 理，令:
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2 arctan (
2
p2
)
(4.7)
由(4.6),可得
2 h2 2 m' arctan( 3 ), m' 0,1,2,3...(4.8) 2 p 而 arctan( 2 ) arctan[ 2 tan( 2 )] (4.9) 1 1
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• 而方程（ 4 . 19 ）中左边第二、三项前的振幅 分别是主波从 n1 介质射向 n2介质和主波从n2介 质射向 nl 介质时的反射系数。可见这两项代表 波导传输的反射子波。主波与反射子波的相干 叠加构成了四层波导中的导波. • 式（ 4 . 19 ）可约化为如下形式：
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4 . 2 . 4 平板耦合波导
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• 4 . 1 . 2 非对称多层平板波导
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• 对于如图 4 . 3 所示的非对称 l 十 2 层平板波导，只 要推广 4 . 1 . 1 节的结果，便可得到 TE 波的矩阵形 式的模式本征方程:
• 式中，相应于第 i 层薄膜的转移矩阵 Mi由下式表示
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4 . 2 对称多层平板波导
• 4 . 2 . 1 对称三层平板波导 • 设衬底和覆盖层的折射率均为n０，折射率为n 1 的导波 层的厚度设为 2h 。于是三层对称平板波导矩阵形式的 模式本征方程为如下形式：
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• 2 场匹配理论 设横向电场分布为
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p.23
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• 4 . 2 . 2 对称五层平板波导
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• 对称五层平板波导矩阵形式的模式本征方程为：
式中
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借用 4 . 2 . 1 节的结果，得
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4 . 1 非对称多层平板波导
• 4 . 1 . 1 非对称四层平板波导
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• 1 ．转移矩阵理论 对图 4 . 1 所示的四层平板波导，传播常数β有两种选择：
对于这种情况，可知导波层位于（ 0 , h1 + h 2）的范围， 即在中间两层薄膜中电磁场都是振荡的，而在覆盖层和 衬底中，电磁场是指数衰减的。 根据第 3 章的理论，
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• 可立刻写出矩阵形式的模式本征方程：
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由式（ 4 ·2 ）和式（ 4 ·3 ）两式，非对称四层平 板波导的模式本征方程由（4.1）可写成较为熟悉的 形式
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第四章 多层平板波导
黄衍堂
2017年11月10日星期 五
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第４章 多层平板波导
由于多层平板波导在模场分布、模式截止和功率约
束等方面具有许多独特的性质，因此，这种结构在半
导体激光器、光波导定向藕合器、光波导偏振器等波
导器件中有着重要的应用。本章首先分析非对称平板 波导的色散性质，然后再讨论对称多层平板波导及其 重要特性，最后，利用传输型色散方程和微扰理论分 析平板藕合波导及其重要性质。
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• 考虑方程（ 4 . 10 ) ，发现该方程与简单三层平板波导的模式 本征方程（ 2 . 7 ）十分类似，除了一项中Φ (s)之外，其他各 项的意义是非常清楚的。
2017年11月10日星期五
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• 而上式右边一项表示光从 n1介质射向 n2介质时 的反射系数。因此，Φ (s)可理解为一阶反射 子波的相位贡献。 Φ (s)是由两种介质界面引 起的一个反射量，该量的大小由两种介质的折 射率差决定。折射率差大，则Φ (s)也大；折 射率差小，则Φ (s)也小。 • 综合上述分析，可得以下重要结论：对多层平 板波导，不仅要考虑主波的相位贡献，而且要 考虑层间反射子波的相位贡献。