安徽省合肥市2021届新高考数学三模考试卷含解析

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2023-2024学年安徽省区域高考数学5月联考模拟试题(三模)含解析

2023-2024学年安徽省区域高考数学5月联考模拟试题（三模）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},R M x x x x ==∈，则M =R ð（）A.(),0∞- B.(],0-∞ C.()0,∞+ D.[)0,∞+【正确答案】A【分析】解方程得到[)0,M =+∞，从而得到补集.【详解】{}[),R 0,M x x x x ∞==∈=+，故(),0M =-∞R ð.故选：A2.若复数1i z =-，实数a ，b 满足0bz a z+-=，则a b +=（）A.2B.4C.1- D.2-【正确答案】B【分析】法一：化简得到102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，得到2a =，2b =，4a b +=；法二：化简得到20z az b -+=，由韦达定理进行求解.【详解】法一：∵1i z =-，∴()1i 1i 1i 11i 01i 222b b b b a a a +⎛⎫-+-=-+-=-++-+= ⎪-⎝⎭，∴102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得2a =，2b =，4a b +=.法二：∵0bz a z+-=，∴20z az b -+=，因为1i z =-，故1i z =+也满足20z az b -+=，由韦达定理可得1i+1+i 2a =-=，()()1i 1+i 2b =-=，故4a b +=.故选：B3.已知非零向量a ，b ，c 满足1a = ，()()1a b a b -⋅+=- ，1a b ⋅= ，2c b =-.则向量a 与c的夹角（）A.45°B.60°C.135°D.150°【正确答案】C【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.【详解】∵()()1a b a b -⋅+=- ，221a b -=- ，∴b ∵1a b ⋅= ，∴2cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，[]0,πθ∈，则π,4a b = ，设向量a 与c 的夹角为θ，2,c b c =- 与b反向,则π3ππ44θ=-=.故选：C.4.图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C 的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy 内，已知该抛物线上点P 到底部水平线（x 轴）距离为125m ，则点到该抛物线焦点F 的距离为（）A.225mB.275mC.330mD.380m【正确答案】A【分析】设抛物线为22x py =且0p >，根据(250,156.25)在抛物线上求p ，利用抛物线定义求P 到该抛物线焦点F 的距离.【详解】令抛物线方程为22x py =且0p >，由题设(250,156.25)在抛物线上，则2312.5250p =，得2250200312.5p ==，又(),P P P x y 且125P y =，则P 到该抛物线焦点F 的距离为1251002252P py +=+=米.故选：A5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A.()()()()23ff f f > B.()()()()23fg f g <C.()()()()23g g g g > D.()()()()23g f g f <【正确答案】D【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【详解】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A ，()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，故A 不正确；对于B ，()()23g g >，但无法判断()()2,3g g 的正负，故B 不正确；对于C ，()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，故C 不正确；对于D ，()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，故D 正确.故选：D.6.若两条直线1l ：y x m =+，2l ：y x n =+与圆22220x y x y t +--+=的四个交点能构成矩形，则m n +=（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】A【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线12,l l 平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆22220x y x y t +--+=的圆心为：()1,1，圆心到1:l y x m =+的距离为：1d ==，圆心到2:l y x n =+的距离为：2d ==，m n =⇒=，由题意m n ≠，所以0m n m n =-⇒+=，故选：A.7.已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则()()P A P C =的充要条件是（）A.()()()P A C P A P C =+B.()()P AB P BC =C.()()P A B P B C =D.()()P AC P AC=【正确答案】D【分析】根据和事件的概率公式判断A 、C ，根据积事件的概率公式判断D ，根据相互独立事件的概率公式判断B.【详解】对于A ，因为()()()()P A C P A P C P A C =+- ，由()()()P A C P A P C =+ ，只能得到()0PA C ⋂=，并不能得到()()P A P C =，故A 错误；对于B ，由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，若A ，B ，C 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，则由()()P AB P BC =可得()()P A P C =，故由()()P AC P BC =无法确定()()P A P C =，故B 错误；对于C ，因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ，()()()()P B C P B P C P B C =+- ，由()()P A B P B C = ，只能得到()()()()P A P A B P B P B C -⋂=-⋂，由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，故无法确定()()P A P C =，故C 错误；对于D ，因为()()()P AC P A P AC =-，()()()P AC P C P AC =-，又()()P AC P AC =，所以()()P A P C =，故D 正确；故选：D.8.若m ∃∈R ，对于[],x a b ∀∈恒有2π2sin204m x m x ⎛⎫-+⋅+≤ ⎪⎝⎭，则b a -的最大值是（）A.3π4B.πC.4π3D.2π【正确答案】B【分析】把不等式化简可得m 的范围，求出b-a 最大值即可.【详解】由2π2sin204m x m x ⎛⎫-+⋅+≤ ⎪⎝⎭，得()2sin cos sin cos 0m x x m x x -+⋅+⋅≤，即()()sin cos 0m x m x --≤,由几何意义可知，函数y m =的图像在函数sin y x =，cos y x =的图像之间，如下图所示，22m -≤≤，要使b a -达到最大，仅需要2m =-或22m =，此时π3ππ44b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()01111122nn n x a a x a x ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭，3n ≥，*n ∈N ，若3ia a ≥（0,1,2,,i n =L ），则n 的可能值为（）A.6B.8C.11D.13【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案.【详解】依题意，()11122121n nx x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎫+ ⎝⎭⎦⎛⎪，所以()()()111C 1C 122iiii iii nn a x x x ⎡⎤⎛⎫-=⋅-=⋅⋅- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，依题意，111111C C 2211C C 22y y y y n n y y y y n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，其中1,2,3,,1y n =- ，化简得111C C 21C C 2y y n n y y n n-+⎧⨯≥⎪⎪⎨⎪≥⨯⎪⎩，继续化简得()()()()()()1!!2!!1!1!!1!!!21!1!n n y n y y n y n n y n y y n y ⎧⨯≥⎪⋅--⋅-+⎪⎨⎪≥⨯⎪⋅-+⋅--⎩，即1123,2223n yn y y y n y n y +⎧≥⎪-+≥⎧⎪⎨⎨+≥--⎩⎪≥⎪⎩，依题意，3i a a ≥，所以133233n n +⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得811n ≤≤.故选：BC10.如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列{}n a 的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（）A.24620222023a a a a a ++++=B.135********a a a a a ++++=C.2222123202320232024a a a a a a ++++= D.132435202120231220222023111111a a a a a a a a a a a a ++++=- 【正确答案】BCD【分析】由已知11n n n a a a -++=且2n ≥，利用22121n n n a a a +-=-及累加法判断A ；利用21222n n n a a a ++=-及累加法判断B ；利用21121nn n n n a a a a a ++++=-及累加法判断C ；利用2112111n n n n n n a a a a a a ++++=-及累加法判断D.【详解】由题设11n n n a a a -++=且2n ≥，由21a a =，453a a a =-，675a a a =-，...，22121n n n a a a +-=-，所以2462132121...1n n n a a a a a a a a ++++++=-+=-，则246202220231a a a a a ++++=- ，A 错误；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，...，21222n n n a a a ++=-，所以1352122n n a a a a a ++++++= ，则135********a a a a a ++++= ，B 正确；由12n n n a a a ++=-，则21121n n n n n a a a a a ++++=-，所以222221232023123123423()()a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++202320242022202320232024()a a a a a a -=，C 正确；由1221212112111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-===-，所以132435202120231111a a a a a a a a ++++122323342021202220222023111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122022202311a a a a =-，D 正确.故选：BCD.11.如图，正三棱锥E PBD -和正三棱锥C PBD -，2BD =.若将正三棱锥E PBD -绕BD 旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，1A 处，且A ，B ，C ，D 四点共面，点A ，C 分别位于BD 两侧，则（）A.PA BD⊥ B.1PA BD∥C.多面体1PA ABCDD.点P 与点E 旋转运动的轨迹长之比【正确答案】AD【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理结合正三棱锥的性质可判断A ，B ；由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积可判断C ；由题意E 转动的半径长为1EM =，P转动的半径长为PM =可判断D .【详解】取BD 的中点为M ，连接,EM PM ，由,EB ED CB CD ==，所以,PM BD EM BD ⊥⊥，又= EM PM M ，,EM PM ⊂平面EMP ，所以BD ⊥平面EMP ，将正三棱锥E PBD -绕BD 旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，1A 处，所以PA ⊂平面EMP ，所以BD PA ⊥，故A 正确；因为1PA ⊂平面EMP ，所以1BD PA ⊥，故B 不正确；因为A ，B ，C ，D 四点共面，1112,2AD AA AB A D A B =====，可得：22211AA AB BA +=，22211AA AD DA +=，所以11,,,,AA AB AA AD AB AD A AB AD ⊥⊥⋂=⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ，同理PC ⊥平面ABCD ，由已知ABCD 为正方形，所以可将多面体1PA ABCD 2的正方体，则多面体1PA ABCD 2的正方体的外接球，外接球的半径为62，表面积为6π，选项C 不正确；由题意E 转动的半径长为1EM =，P 转动的半径长为3PM =，所以点P 与点E 3D 正确.故选：AD.12.已知11ln e e 10βαγαβγ-+-==>，则（）A.αγB.βγC.2βαγ-D.2βαγ+ 【正确答案】AB【分析】分别绘制函数()()()11ln e e 1,,x x x f x g x h x x x x-+-===，通过三个函数的图像彼此之间的位置关系逐项分析.【详解】设()()()11ln e e 1,,x x x f x g x h x x x x-+-===，则()'2ln x fx x-=，当1x ＞时，()()'0,f x f x ＜单调递减，当01x ＜＜时，()()'0,f x f x ＞单调递增，∴()()()1max 11,e0f x f f -===，()()1'21e x x g x x -+=-，当x ＞0时，()()'0,g x g x ＜单调递减，()11g =；()()'210,h x h x x=单调递增，并且()1e 0h -=，()1e 11h =-＞；()()(),,f xg xh x 的大致图像如下：又11ln e e 10t βαγαβγ-+-===＞，并且1ln 1αα+≤，()g x 是减函数，()11,1g β=∴≥，()h x 是增函数，11e 1h ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，∴11e e 1γ-≤-＜，()f x 不是单调的函数，对于01t ＜≤，对应1α和2α，并且1201,1αα≤≥＜，又设()()()11ln ln 2e e x x k x h xf x x x x++=-=--=-，()'21ln x k x x+=，当1e x -＞时，()()'0,k x k x ＞单调递增，10e x -＜＜时，()()'0,k x k x ＜单调递减，()()1min e0k x k -==，即当1e x -＞时，()()h x f x ＞，1γαβ∴＜＜，AB 正确；对于选项CD ，由于不能确定()f x t =对应的自变量是1α还是2α，所以不能确定其正确性.故选：AB.画出函数图像，大致确定三条曲线彼此之间的位置是解题的关键三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在某地A 、B 、C 三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A 、B 、C 三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______.【正确答案】0.03【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.【详解】设事件D 为此人患流感，1A ，2A ，3A 分别代表此人来自A 、B 、C 三个地区，根据题意可知：()1410P A =，()2310P A =，()3310P A =，()13100P D A =，()22100P D A =，()34100P D A =，()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++4332343030.031010010100101001000100=⨯+⨯+⨯===.故0.0314.如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值：______.【正确答案】37（答案不唯一）【分析】如图，在正方体ABCD EFGH -中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ,据此计算即可得解.【详解】如图，在正方体ABCD EFGH -中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ,若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设正方体内水的体积为V ，而G EHD B AFC V V V V --<<-正方体，而26=1166332G EHD B AFC V V --=⨯⨯⨯=（升），3636180B AFC V V --=-=正方体（升）所以V 的取值范围是()36,180.故()36,18015.已知()1,0F c ，()2,0F c -分别是双曲线τ：22221x ya b-=0a >0b >的左、右焦点，点P 在双曲线上，12PF PF ⊥，圆O ：2223x y c +=，直线1PF 与圆O 相交于A ，C 两点，直线2PF 与圆O 相交于B ，D 两点.若四边形ABCD 2151b ，则τ的离心率为______.【正确答案】153【分析】由弦长公式可得222211223AB r d c d =-=-，222222223CD r d c d =-=-ABCD 的面积为12AB CD ⋅，再由勾股定理结合双曲线的定义解得44425c b =，可求双曲线的离心率.【详解】因为四边形ABCD 2151b ，因为12PF PF ⊥，所以AC BD ⊥，设12,d d 分别为O 到直线,AB CD 的距离，所以222211223AB r d c d =-=-，222222223CD r d c d =-=-，所以()()222221212331512ABCD S AB CD cd c d b =⋅=--=，∴()422222121293c c d d d d -++⋅41514b=①，∵122PF d =，212PF d =，且12PF PF ⊥，∴22212d d c +=，由双曲线的定义可得：1221222PF PF d d a -=-=，平方可得：22212214484d d d d a +-⋅=，所以2122b d d =代入①，可得：44425c b =，即2225c b =，令22b =，则25c =，23a =，223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，双曲线的离心率为21513c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为.15316.完美数（Perfectnumber ）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数()*:n n σ∈N ，()n σ为n 的所有真因数之和，如()2812471428σ=++++=，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为______；()2160σ=______.【正确答案】①.6（或496，8128，等）②.5280【分析】根据()n σ为n 的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析()n σ的正因素的特点，求解即可.【详解】()61236σ=++=，432160235=⨯⨯，2160的所有真因数的个数为542139⨯⨯-=，()()()()012340123012160222223333552160744021605280σ=++++++++-=-=，故6；5280四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC ，若2DF =，sin 14BAD ∠=.（1）求sin CAF ∠；（2）求ABC 的面积.【正确答案】（1）5314（2）4934【分析】（1）在ACF △中，由sin ACF ∠及AFC ∠求得sin CAF ∠；（2）在ABD △中，设AF DB t ==（0t >），则2AD t =+，由正弦定理求得73AB t =，然后利用余弦定理即可求解.【小问1详解】由ACF ABD BCE △≌△≌△知，ACF BAD ∠=∠，DEF 为正三角形，120120AFC ADB ∠=∠= ，，∵sin 14BAD ∠=.∴33sin 14ACF ∠=，13cos 14ACF ∠=，()131sin sin 6021421414CAF ACF ∠=-∠=⨯-⨯=.【小问2详解】设AF DB t ==（0t >），则2AD t =+，由正弦定理：sin sin BD AB BAD ADB =∠∠333142=73AB t =，ABD △中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，即()222491(2)2292t t t t t ⎛⎫=++-+⨯- ⎪⎝⎭，则3t =，7AB =，所以177sin 6024ABCS =⨯⨯=.18.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点.（1）求多面体1CEFADD 的体积；（2）求直线1BD 和平面1AEFD 所成角的正弦值.【正确答案】（1）73（2）39【分析】（1）运用棱台体积公式计算；（2）建立空间直角坐标系，运用数量积计算.【小问1详解】∴1//EF BC ，11//BC AD ，∴1//EF AD ，∴A ，E ，F ，1D 四点共面，易知多面体1CEFADD 是一个三棱台，(11-13CEF DAD CEF DAD V S S CD =++⋅△△11722323⎛=++⨯= ⎝；【小问2详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系如上图，则()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B C E D ，()()()111,2,0,2,0,2,2,2,2AE D A D B =-=-=-，设平面1AEFD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有1·0·0m D A m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则()2,2,2,1,2x z m ==∴=，设直线1BD 与平面1AEFD 的夹角为θ，则11sin 9mD B mD Bθ==；综上，多面体1CEFADD 的体积为73，直线1BD 与平面1AEFD的夹角的正弦值为9.19.甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第n （*N n ∈）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为n a ，在丙手中的方法数为n b .（1）求证：数列{}1n n a a ++为等比数列，并求出{}n a 的通项；（2）求证：当n 为偶数时，n n a b >.【正确答案】（1）证明见解析，22(1)3n nn a +-=（2）证明见解析【分析】（1）首先确定第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为2n ，再结合条件列出关于数列{}n a 的递推公式，即可证明数列{}1n n a a ++是等比数列，并且变形()()()111112n n n n n a a ------=-后，利用累加求和，即可求解数列的通项公式；（2）首先由条件确定22nn n a b +=，再根据（1）的结果，确定数列{}n b 的通项公式，再比较大小.【小问1详解】由题意知：第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为2n ，第1n +次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为1n a +，若第n 次抛沙包后沙包在甲手中，则第1n +次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n 次抛沙包后沙包在乙或丙手中，故()10212nnn n n n a a a a +=⨯+-⨯=-，且10a =故12n n n a a ++=，()1122n n n na a n a a +-+=≥+，所以数列{}1n n a a ++为等比数列，由112n n n a a --+=，得()()()111112n n n n n a a ------=-，()()()12112112a a ---=-，()()()23223112a a ---=-，()()()34334112a a ---=-，……………，()()()111112n nn n n a a ------=-以上各式相加，()()()1112121112n n na a -⎡⎤---⎣⎦---=+可得22(1)3n nn a +-=；【小问2详解】由题意知：第n 次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为n b ，则22nn n a b +=，∵当n 为偶数时，22(1)222333n n n nn a +-+==>，2223n n n n a b -=<∴n n a b >.20.为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据(),i i x y （1,2,,40i = ），部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2 3.9…y…50.663.752.154.3…经计算得：401160==∑ii x，4012400==∑i i y ，()4021160=-=∑i i x x ，()()4011280=--=∑i i i x x y y .（1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为1k ，2k ，比较1k ，2k 的大小关系，并证明.附：y 关于x 的回归方程 y abx =+ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-$$，ni ix y nx yr -=∑【正确答案】（1） 828y x =+（2）12k k <，证明见解析【分析】（1）根据最小二乘法计算公式求解；（2）根据相关系数1r ≤证明.【小问1详解】160440x ==，24006040y ==，12808160b == ， 603228a =-=，故回归方程为 828y x =+；【小问2详解】x 关于y 的线性回归方程为 11x a b y =+ ，()()()1121ˆniii ni i x x y y b y y ==--=-∑∑()()()40114021iii ii x x y y k bx x ==--==-∑∑ ，()()()2401240111ii iii y y k b x x y y ==-==--∑∑ ，则()()()()240121402221i i i i ii x x y y k r k x x y y ==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==--∑∑，r 为y 与x 的相关系数，又1r ≤，1k ，20k >，故121k k ≤，即12k k ≤，下证：12k k ≠，若12k k =，则1r =，即()8281,2,,40i i y x i =+= 恒成立，代入表格中的一组数据得：50.68 2.728≠⨯+，矛盾，故12k k <.综上，y 关于x 的回归方程为 828y x =+.21.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点1F与圆220x y ++=的圆心重合，过右焦点2F 的直线与C 交于A ，B 两点，1ABF 的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）若C 上存在M ，N 两点关于直线l ：2230kx y -+=对称，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求k 的值.【正确答案】（1）2214x y +=（2）2k =±【分析】（1）根据圆心求出焦点坐标再根据定义求出a ，可得标准方程；（2）先由M ，N 两点关于直线l ：2230kx y -+=对称设出直线方程，再由垂直得出12120,0,OM ON x x y y ⋅=+=最后结合点差法求值即可.【小问1详解】由220x y ++=，得()1F，∴c =根据椭圆定义，又因1ABF 的周长为8，∴48a =，2a =，∴2221b a c =-=，椭圆C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设线段MN 的中点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y，由直线3:02l kx y -+=，且l MN ⊥，设MN :l x ky m =-+，则联立22,44,x ky m x y =-+⎧⎨+=⎩得()2224240k y kmy m +-+-=()()()()22222Δ2444164km k m k m =-+-=+-12224km y y k +=+，212244m y y k -=+()22121212x x m km y y k y y =-++∵OM ON⊥∴12120,0,OM ON x x y y ⋅=+= ，即()()22121210m km y y k y y -+++=∴()22541m k =+①221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222121204x x y y -+-=，即12121212104y y y y x x x x -++⋅=-+，∴1212114y y k x x +⋅=+，∵00132x k y =-，012120y y y x x x +=+，∴001342y y =-，得021y =-，∴2214kmk =-+②联立①②，消去m 得，421124800k k --=，∴24k =，2k =±，∴2,2,k m =⎧⎨=-⎩或2,2,k m =-⎧⎨=⎩经验证，满足Δ0>，∴2k =±.22.已知正实数1012a b <≤≤<，函数()1x x f x a b -=+，[]0,1x ∈，()g x 为()f x 的导函数.（1）若1a b +=，求证：()0g b ≤；（2）求证；对任意正实数m ，n ，1m n +=，有n m m n m n m n +≤+≤+.【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）化简要证明的不等式后构造()()()ln 1ln 1h x x x x x =---结合函数的单调性求出最值证明即可；（2）由（1）知，应用单调性证明可得.【小问1详解】()1ln (1)ln e e x x x a x b f x a b --=+=+，()()ln (1)ln e ln e ln x a x b f x g x a b--'==()ln 2(1)ln 2e ln e ln 0x a x b g x a b -=+>'∴()g x 在[]0,1上单调递增，得()()1ln ln b b g x g b a a b b -≤=-要证：()0g b ≤只需证.1ln ln b b a a b b -≤即11ln ln a b a a b b--≤即证：ln ln a ba b a b a b≤令()ln x x x ϕ=，()0,1x ∈，()21ln 0x x x ϕ'-=>∴()x ϕ在()0,1上单调递增故证a b a b ≤，即()()ln ln 1ln 1a a b b a a ≤=--令()()()ln 1ln 1h x x x x x =---，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()22ln e h x x x '⎡⎤=-⎣⎦21e ln 024h ⎛⎫=> ⎪'⎝⎭，219e ln 010100h ⎛⎫='< ⎪⎝⎭，()h x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增∴存在唯一010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使，()00h x '=()h x 在()00,x 上单调递减，在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增∴()()(){}max 0,10h x h h ≤=∴a b a b ≤，故原不等式成立，即()0g b ≤；【小问2详解】由（1）知，()f x 在[]0,1上单调递减∴()()12f b f f a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即b a a b a b a b +≤≤+由于1m n +=，且m ，n 为正实数，不妨令1012m n <≤≤<∴n m m n m n m n +≤≤+.。

安徽省合肥市2021届高三第三次教学质量检测数学理试题 Word版含答案

合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺当！第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 A.2 B.2 C.1 D.1或22.命题“对于任意x R ∈,都有0x e >”的否定是A.对于任意x R ∈,都有0x e ≤B.不存在x R ∈,使得0x e ≤C.存在0x R ∈,使得00x e >D.存在0x R ∈,都有00x e ≤ 3.若函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,则 A.A B = B.A B ⊂ C.B A ⊂ D.A B =∅ 4.在等差数列{}n a 中,已知1823(4)a a =-,则该数列的前11项和11S 等于 A.33 B.44 C.55 D.66 5.执行如图所示的程序框图,若将推断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变,则正整数0n的取值A.是4B.是5C.是6D.不唯一 6.在极坐标系中,已知点(4,1),(3,1)2A B π+,则线段AB 的长度是 A.1 B.214π+ C.7 D.5 7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是 A.62 B.1C.22 D.648.某校方案组织高一班级四个班开展研学旅行活动,初选了,,,A B C D 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,则不同的选择方案有A.240种B.204种C.188种D.96种 9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A +=,则A ∠的大小是A.2πB.3πC.4πD.6π10.定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为A.(0,)+∞B.(,0)(3,)-∞+∞C.(,0)(0,)-∞+∞D.(,0)-∞ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上. 11.某校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),由此得到频率分布直方图如图,则这80名老师中年龄小于45岁的老师有人12.设 6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则1350246a a a a a a a ++=+++ 13.在平面直角坐标系中,不等式组02y x x y ≤≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为1Ω,直线:(1)0(0)l kx y k k ---=<将区域1Ω分为左右两部分,记直线l 的右边区域为2Ω,在区域1Ω内随机投掷一点,其落在区域2Ω内的概率13P =,则实数k 的取值为14.设点F 是抛物线22y x =的焦点,过抛物线上一点P ,沿x 轴正方向作射线//PQ x 轴,若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-,则点P 的坐标为 15.已知向量,OA OB 满足1||||1,2OA OB OA OB ==⋅=,动点C 满足OC xOA yOB =+,给出以下命题: ①若1x y +=,则点C 的轨迹是直线; ②若||||1x y +=,则点C 的轨迹是矩形; ③若1xy =,则点C 的轨迹是抛物线; ④若1x y =,则点C 的轨迹是直线;⑤若221x y xy ++=,则点C 的轨迹是圆. 以上命题正确的是 (写出你认为正确的全部命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分) 已知函数5()sin()cos()(0)412f x x x ππωωω=+++>的最小正周期为4π. (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)设12,[,]22x x ππ∈-,求12|()()|f x f x -的最大值.17(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足*()2n n n S a n N =∈,(其中n S 是数列{}n a 的前n 项和,且22a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2((n n n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18(本小题满分12分) 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b .(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)已知点A 的坐标为(0,)b ,椭圆上存在点,P Q ,使得圆224x y +=内切于APQ ∆,求该椭圆的方程.19(本小题满分13分)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为1的正方形,BF ⊥平面,//.ABCD DE BF (Ⅰ)求证:AC EF ⊥;(Ⅱ)若2,1,BF DE ==在EF 上取点G ,使//BG 平面ACE ,求直线AG 与平面ACE 所成角θ的正弦值.20(本小题满分13分) 某校高三班级争辩性学习小组共6人,方案同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观挨次,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,全部展厅参观结束后集合返回,设大事A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;大事B 为:在参观的其次个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人. (Ⅰ)求()P A 及(|)P B A ; (Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,则在大事A 发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望. 21(本小题满分13分) 已知函数()ln 2 3.f x x x =-+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)设函数2()1t g x x x =-+,若()()g x f x >对0x >恒成立,求整数t 的最小值.。

2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析

产党成立 100 周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛
主席派人来》4 首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2 首合唱歌曲
中共选出 4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（
A．14
B．48
C．72
）
D．120
【答案】D．
【解析】根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选 1 首，安排在最后，有 2 种安排方法，
专题 13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理 T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、
下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安
令 x＝﹣1，则 f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得 a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理 T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、
排方案的种数为（
A．126
）
B．360
C．600
D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排 4 个活动（上午 2 个，下午 2 个）分配给甲，乙，故有 A62A42
＝360 种，
第二类，上下午共安排 3 个活动，（上午 2 个下午 1 个，或上午 1 个下午 2 个）分配给甲，

安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷含答案

安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来一位同学。

若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡上的相应位置。

2021届安徽省合肥市高考三模理数试题及答案

4 ．保持卷面清洁，不折叠、不破损。
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冗
D把C 上各点横坐标缩短到原来2－倍（纵坐标不变）后，再向左平移－6个单位长度得到曲线E
6若函数f(x)＝｛24x, -0X,<xX <2: 22'满足J( a)＝心），则f(2 a)的值等千
A.2
BO.
C—. 2
D—. 4
7右图上半部分为一个油桃园每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采
摘，然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销
D.8
二7 4在平面直角坐标系中，已知点P (cos , t ,A (2,0),
冗
2冗
尸当t由－3 变化到—3 [时，线段PA 扫过形成图形的面积等
／千
正视图俯视图
\ 』-
泌扯
A2.
B
冗
3＿
c冗 6一
D
冗
－12
f] 5已知曲线C: y=cos2x , 曲线E : y= sin(x + ，则下面结论正确的是
A.6兀＋ 12
B2－. 2—冗 +6 3
C2— . 30冗＋12
D-.2==2:.兀 .:_ 1+ 2 3

【高三】2021年高三数学三模理科试题(合肥市含答案)

【高三】2021年高三数学三模理科试题(合肥市含答案)合肥市2021年高三第三次质量检测数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分后）第i卷（满分50分）―、选择题（本大题共10小题，每小题5分后，共50分后，在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的）1.设集合m={x2<4},n={-1,1,2},则mn＝()a{-1，1，2}b.{-1，2}c.{1，2}d{-1，1}2.已知（1+i)(a-2i)=b-ai(其中a,b均为实数，i为虚数单位），则a+b=()a.-2b.4c.2d.03.等比数列{an}中，a2=2，a5=，则a7=()a.b.c.d.4.“m<1”是“函数f(x)=x2-x+m存在零点”的（)a.充份不必要条件b.充要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件5.右边程序框图，输入a的结果为（）a.初始值ab.三个数中的最大值c.二个数中的最小值d.初始值c6.已知，且z=x2+y+，则z的最小值是（）a.4b.1c.18d.y7.p是正六边形abcdef某一边上一点，，则x+y的最大值为（)a.4b.5c.6d.78.右图为一个直观组合体的三视图，其中正视图由一个半圆和一个正方形共同组成，则该组合体的表面积为（）a.20+17b.20+16c.16+17d.16+l69.五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（)a.b.c.d.10.定义域为r的函数f(x)的图像关于直线x=1对称，当a∈[0,l]时，f(x)=x,且对任意只都有f(x+2)=-f(x),g(x)=，则方程g(x)-g(-x)=0实数根的个数为（）a.1006b.1007c.2021d.2021第ii卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分后，共25分后，把答案填上在答题卡的适当边线）11.已知抛物线的准线方程是x=，则其标准方程是______12.关于x的不等式log21-x>1的边值问题为_______13.曲线c的极坐标方程为:，曲线t的参数方程为(t为参数），则曲线c与t的公共点有______个.14.例如图，一栋建筑物ab低（30-10)m，在该建筑物的正东方向存有一个通信塔cd.在它们之间的地面m点（b、m、d三点共线）测出对楼顶a、塔顶c的仰角分别就是15°和60°，在楼顶a处测得对塔顶c的仰角为30°，则通信塔cd的低为______m.15.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2,p,q,r分别是棱bc,cd,dd1的中点.下列命题：①过a1c1且与cd1平行的平面存有且只有一个；②平面pqr截正方体所得截面图形是等腰梯形；③ac1与平面pqr阿芒塔的角为60°;④线段ef与gh分别在棱a1b1和cc1上运动，且ef+gh=1，则三棱锥e-fgh体积的最大值是⑤线段mn就是该正方体内切球的一条直径，点o在正方体表面上运动，则的值域范围就是[0，2].其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）.三、答疑题（本大题共6小题，共75分后.求解应允写下必要的文字说明、证明过程或编程语言步骤）16.(本小题满分12分）未知函数f(x)=asin(部分图像如图所示.(i)求函数f(x)的解析式;(ii)未知），且，谋f(a).17.(本小题满分13分）例如图bb1,cc1，dd1均旋转轴正方形ab1c1d1所在平面a、b、c、d四点共面.(i)求证：四边形abcd为平行四边形；(ii)若e,f分别为ab1,d1c1上的点，ab1=cc1=2bb1=4,ae=d1f=1.(i)求证:cd?平面def;(ii)谋二面角d-ec1-d1的余弦值.18.(本小题满分12分）未知f(x)=logax-x+1(a>0，且a≠1).(i)若a=e,求f(x)的单调区间；(ii)若f(x)>0在区间（1，2)上恒设立，谋实数a的值域范围.19.(本小题满分13分）根据上级部门关于积极开展中小学生研学旅行试点工作的建议，某校同意在高一年级积极开展中小学生研学旅行试点工作.巳言该校高一年级10个班级,确认甲、乙、丙三条研学旅行路线.为并使每条路线班级数大致相当，先制作分别写下存有甲、乙、丙字样的签下各三张，由高一（1)?高一（9)班班长分组,再由高一（10)班班长在分别写下存有甲、乙、丙字样的三张gecko提取一张.(i)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件a，求事件a的概率p(a);(ii)设立高一（l)、高一(2)两班同路线为事件b,高一（1)、高一（10)两班同路线为事件c，先行比较事件b的概率p(b)与事件c的概率p(c)的大小；(iii)记（ii)中事件b、c发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望eξ20.(本小题满分12分后）平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,p为平面内动点,作pq?l，垂足为q，且.(i)求动点p的轨迹方程；(ii)过点m与坐标轴不垂直的直线，交动点p的轨迹于点a、b，线段ab的垂直平分线交x轴于点h，试判断-是否为定值.21.(本小题满分13分后）设数列{an}的前n项和为sn，且对任意的，都有an>0,sn=(i)谋a1，a2的值；(ii)求数列{an}的通项公式an。

2021合肥三模理科数学试卷(含答案)

合肥市2021年高三第三次教学质量检测理科综合试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案C BD A C B B D A B D 题号12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 C C C A B B AB CD AB AD第Ⅱ卷（共174分）22. (9分) （1）10.0（2分）（2）2.96 8.75（各1分）（3）8.5~10（答案2分，作图2分）（4）能（1分）23. (6分) （1）最大（1分）（2）148.0 (2分) 偶然（1分）（3）1.45~1.55 7.50~10.5（各1分）24. （14分）（1）由题意可知运动员下滑的距离cos 8.00m x H l θ=-=（1分）由v t -图像可知运动员下滑的距离 2v x t = （2分）把4s t =代入上式可得 4m/s v =（1分）（2）由动能定理可得0f mgh W +=（2分）代入数据解得 4800J f W =-（1分）运动员下滑过程克服摩擦力做的功4800J W =克（1分）（3）由v t -图像可知运动员加速下滑时间1 2.5s t =，减速下滑时间2 1.5s t =，则运动员加速下滑阶段加速度大小2111.6m/s v a t == （1分）减速下滑阶段加速度大小 2228m/s 3v a t == （1分）设运动员加速下滑和减速下滑过程的摩擦力大小分别为1f 、2f ，由牛顿第二定律可得 11mg f ma -= （1分）22f mg ma -=（1分）代入数据解得 1504N f =，2760N f =则 1263:95f f =：（2分）注：其他方法合理也给分25.（18分）（1）根据法拉第电磁感应定律可得，存在磁场的每段时间内线圈中产生的感应电动势（2）在0~t 1时间内，油滴做自由落体运动，设t 1时刻，油滴的速度为v 1，此时两板间加有电压，油滴在重力与电场力作用下做匀减速运动，再经过时间τ1，油滴正好到达下板且速度为零，故有：11v gt =（1分） 110v g τ=-（1分） 221111111222d gt v t g τ=+- （1分）由以上各式得11t τ== （1分）则油滴释放后第一次下降至最低点的过程中电场力的冲量大小61210N s I F τ-=⋅=⨯⋅ （2分）（3）接着，油滴由下板处向上做匀加速运动，经过时间τ2，速度变为ν2，方向向上，这时撤去电压使油滴做匀减速运动，经过时间τ3，油滴到达上板且速度为零，故有：22v g τ=230v g τ=-22223311-22d g v g τττ=+ （2分）由以上各式得32ττ= （1分）故21121t t ττ=++= （1分）此后液滴每次在上下两板间先做初速度为0的匀加速直线运动，后做末速度为0匀加速直线运动，且加速度大小均为g ，依照上面分析可知33t = （1分）45t =…分析可得()n 2323=23,4...21s 0n n n t -=-）, （1分）注：其他方法合理也给分26.（14分）（1）①紫红色接近褪去（2分）； ②--+2223I +5Cl +6H O=2IO +10Cl +12H （2分）（2）分液漏斗（2分）（3）降低碘酸钙的溶解度使其析出，便于后续分离（2分）（4）AC （2分）（5）溶液蓝色褪去且30s 内不恢复蓝色（2分） 39.0% （2分）27.（15分）（1）SiO 2（1分）。

2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

安徽省高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣20164．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50] [50，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100] 频数 3101215622（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣2016【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==﹣2016．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．【分析】（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，进而得出．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t= ±2 ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+= （3n﹣1）﹣2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50][50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数 3 10 12 15 6 2 2（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r ＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），当MN与坐标轴垂直时，S△PMN=2，∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．。

2021-2022学年安徽合肥包河区四十八中学中考三模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．若实数m 满足22210⎛⎫++= ⎪⎝⎭m m ，则下列对m 值的估计正确的是（） A ．﹣2＜m ＜﹣1 B ．﹣1＜m ＜0 C ．0＜m ＜1 D ．1＜m ＜22．2017上半年，四川货物贸易进出口总值为2 098.7亿元，较去年同期增长59.5%，远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅．在“一带一路”倡议下，四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长．将2098.7亿元用科学记数法表示是（）A ．2.098 7×103B ．2.098 7×1010C ．2.098 7×1011D ．2.098 7×10123．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一(160个)，周二(160个)，周三(180个)，周四(200个)，周五(170个).则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是( ) A ．180个，160个B ．170个，160个C ．170个，180个D ．160个，200个4．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（）A ．a e a =B ．e b b =C ．1a e a =D ．11a b a b= 6．点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)都在反比例函数3y=x -的图象上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 37．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）A．150°B．140°C．130°D．120°9．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C 的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°10．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y (m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；；③图1中线段EF应表示为5005x④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1．其中所有的正确结论是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是_________________.12．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．13．已知一次函数y＝ax+b，且2a+b＝1，则该一次函数图象必经过点_____．14．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为_____．15．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．16．平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是_____．17．分解因式：m2n﹣2mn+n= ．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．19．（5分）观察下列等式：①1×5+4=32；②2×6+4=42；③3×7+4=52；…（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式：_____；（2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边：_____=502；（3）按照上面的规律，写出第n个等式，并证明其成立．20．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°.求证：EM是⊙O的切线；若∠A=∠E,BC=3，求阴影部分的面积.（结果保留和根号）.21．（10分）问题探究(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为；(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，2，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．22．（10分）计算：2sin30°﹣（π﹣2）0+|3﹣1|+（12）﹣123．（12分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．24．（14分）如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。

安徽省部分高中(皖南八校)2021届高三第三次联考数学(文)试题 Word版含答案

安徽省部分高中（皖南八校）2021届高三第三次联考数学（文）试题一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．64．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±49．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．810．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为（填写全部真命题的序号）．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．安徽省皖南八校联考2021届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z+2=（z﹣2）•i，∴z+2=zi﹣2i，化为z（1﹣i）=﹣2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=﹣2（1+i）2，化为2z=﹣2（2i），∴z=﹣2i．则复数z 的共轭复数=2i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|0＜x＜3}，则B⊆A，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，比较基础．3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．6考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即可．解答：解：（log32﹣log318）÷81﹣=log 3÷=﹣2÷=﹣6，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质和幂的运算性质，属于基础题．4．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=6时，不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=2满足条件i＜6，s=，i=2满足条件i＜6，s=﹣1，i=3满足条件i＜6，s=2，i=4满足条件i＜6，s=，i=5满足条件i＜6，s=﹣1，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先依据三视图把平面图复原成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：解：依据三视图得知：该几何体是有一个棱长为2的正方体，在每个角上的三条棱的中点处截去一个三棱锥体，共截去8个小三棱锥．则：该几何体的体积为：V==故选：A点评：本题考查的学问要点：三视图与立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用．主要考查同学的空间想象力量和应用力量．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：先推断命题p，q的真假，再依据真值表进行推断即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＞x2；当x=﹣1时，2﹣1＜（﹣1）2，故命题p为假命题，则￢p为真命题，命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，当x=﹣1时，0＜1，故命题q为真命题，则￢q为假命题，故p∧q为假命题，p∨￢q为假命题，￢p∧q为真命题，￢p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题借助考查复合命题的真假推断，解题的关键是娴熟把握复合命题的真假规律．7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得三角形的面积和扇形的面积，由几何概型的概率公式可儿的．解答：解：由题意该几何概型的总的基本大事的区域为边长为1的正三角形的面积S==，而满足AM ＜的区域为扇形的面积S′==，∴所求概率P==故选：D点评：本题考查几何概型，涉及正三角形的面积和扇形的面积，属中档题．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．解答：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=，∴=q12==，∴q3=±；∴a6=a3•q3=16×（±）=±4．故答案为：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了同学机敏的计算力量，是基础题目．9．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．8考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题可得a=2，且a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，从而得出结论．解答：解：依据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，可得a=2，而函数的相邻的2条对称轴之间的距离为=，故由y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，可得a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，是偶数，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最值，属于中档题．10．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C化成标准方程，得圆心为C（0，2），半径r=1，依据题意可得点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于t的不等式，解之得t的范围．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，∴整理得：x2+（y﹣2）2=1，可得圆心为C（0，2），半径r=1．又∵直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，∴点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，可得≥2，解之得t≤0．故选：B．点评：本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等学问，属于中档题．二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：依据已知条件简洁求出2，从而可以求出，从而求得||．解答：解：=；∴；∴；∴．故答案为：．点评：考查向量数量积的运算，把握这种要求先求的方法，也可写成．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y 的最小值为3．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x﹣4y ，得y=2x﹣表示，平移直线y=2x﹣，当直线y=2x﹣经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即A（，），此时z min=8×﹣4×=3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，留意利用数形结合来解决．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，问题转化为∴a≤（2x2）min，求出函数y=2x2的最小值即可．解答：解：若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）=2﹣≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤（2x2）min=2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的应用，考查了转化思想，考查函数的最值问题，是一道基础题．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．解答：解：抛物线x2=2py的焦点F（0，）准线方程y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3p解得y1+y2=2p，∴线段AB的中点纵坐标为p∴线段AB的中点到x轴的距离为p．故答案为：p．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为①②④（填写全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：①利用已知可得f（﹣2）=22=4，f（4）=22=4，即可推断出正误；②利用向量共线定理即可推断出正误；③由面面垂直的判定与性质定理即可推断出正误；④若△ABC 是锐角三角形，则，可得，即可推断出正误；⑤f（x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，可得cosφ﹣sinφ=，cos（φ+）=，且φ∈（0，），解得φ=或．可得f（x）=±，分类争辩利用正弦函数的单调性即可推断出正误．解答：解：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=f（4）=22=4，因此正确；②由O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；③由平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；④若△ABC 是锐角三角形，则，∴，∴cosA＜sinB，因此正确；⑤f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）=（cosφ﹣sinφ）（sin2x﹣cos2x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，∴cosφ﹣sinφ=，∴cos（φ+）=，且φ∈（0，），∴φ=或．∴f（x）=±，由或≤，解得kπ﹣≤x≤kπ+，或≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）或（k∈Z），因此不正确．综上可得：真命题为①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了简易规律的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础学问，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC﹣cosC=0，即可求得C的值．解答：解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，故：sinBcosC=0，而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）得﹣cos（B+C）=sinBcosC﹣cosBsinC，即有：sinBsinC﹣cosBcosC=sinBcosC﹣cosBsinC，从而：（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，又由于b＜c，所以B＜C，所以（sinB+cosB）≠0，既有sinC﹣cosC=0，故解得：C=45°．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本学问的考查．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2，利用PB2+BM2=PM2，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；（ii）利用V N﹣ABD =••S△ABD即可得出．解答：（I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．∴AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，∴AE⊂平面PAB．∴MN∥平面PAB．（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，∴PM⊥AD，∴PM==2．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2=PM2+BM2﹣2PM•BMcos45°=2，∴PB2+BM2=PM2，∴PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，∴PB⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD；（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，∴点N到平面ABCD的距离h=PB．∴V N﹣ABD =••S△ABD =×=．点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得各组的频率，可得要求的人数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，列举由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知前四组的频率分别为，，，，∴分数在[80，90），[90，100]两组的频率是和，∴分数在[80，90）内的人数是×1200=240，分数在[90，100）内的人数是×1200=60；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，从中抽取2人的情形为（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3）共15种，其中两人平均分不超过60分的有（a，b），（a，c），（b，c）共3种，∴所求概率为P==．点评：本题考查列举法计算基本大事数及大事发生的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）先求导，再依据函数的单调区间，即可求出a的值；（2）依据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2，∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣3a）（x﹣a），∵函数f（x）的单调递减区间为（﹣3，﹣1），∴，即a=﹣1；（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，∴a＞0，且，解得故a3的取值范围为（，3）点评：本题考查了应用导数争辩函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的力量以及分类争辩的数学思想．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a11=1，a23=14，a32=16，可得，解得d，q．即可得出a n1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n ﹣1）=3n﹣2．可得b n ==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n．由T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，可得m2﹣7m＞（T n）max，解出即可．解答：解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．∵a11=1，a23=14，a32=16，∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n﹣1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n=8﹣．∵T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，∴m2﹣7m＞（T n）max，∴m2﹣7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点M （c ，ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；（Ⅱ）利用|FN|等于C 的长轴长的，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．解答：解：（Ⅰ）∵点M （c ，ce）在椭圆C上，∴，∴b2=2c2，∴a2=3c2，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）C 的方程可化为，设N（x1，y1），则∵|FN|等于C 的长轴长的，∴|FN|2=（x1+c）2+y12=，∴4x12+24cx1﹣45c2=0，∴x1=c，∴y1=±c，∴直线ON的方程为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查同学的计算力量，属于中档题．。

2021年安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷(文科)(解析版)

2021年安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{﹣2，0，1，2}之间关系的Venn图如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣2，0}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，0，2，1} 3．设正项等比数列{a n}满足a4﹣a3＝36，a2＝6，则a1＝（）A．3B．C．2D．4．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．以下结论正确的是（）A．乙成绩的极差比甲成绩的极差小B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C．乙成绩的方差比甲成绩的方差小D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小5．在平面直角坐标系中，已知点A（cos15°，sin15°），B（cos75°，sin75°），则|AB|＝（）A．1B．C．D．26．已知f（x）＝a﹣（a为常数）为奇函数，则满足f（ax）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．8D．8．如图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远．已知AC＝3km，BC＝4km，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线9．若函数f（x）＝满足f（a）＝f（2a），则f（2a）＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣410．某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24h．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（）A．25辆B．24辆C．23辆D．22辆11．在三棱锥S﹣ABC中，∠SAC＝∠SBC＝，∠ACB＝，AC＝BC＝1．若三棱锥S ﹣ABC的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．13πB．C．49πD．52π12．若函数f（x）＝a x﹣x a（a＞0，a≠1，x＞0）只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）∪（1，e]B．（0，1）∪{e}C．D．（1，e]∪{e2}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13．命题：“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是．14．在△ABC中，＝，＝m+n，则＝．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|，则抛物线C的方程为．16．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）是奇函数，且存在正数α使得函数f（x）在[0，α]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣，]上取得最小值时的x值有且仅有一个，则ω的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b（sin C+cos C）．（1）求B；（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值．18．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，BC⊥平面ABE，DE∥BC，DE＝3BC＝6，∠BAC＝45°，∠DAE＝∠ABE＝60°．（1）求证：平面ABC⊥平面ADE；（2）若点F满足，且AB∥平面CEF，求λ的值．20．已知函数f（x）＝（x+1）lnx，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝g（x）．（1）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；（2）求证：．21．在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q（4，1）．过点P的直线l与椭圆分别交于点M，N．（1）若直线l与x轴垂直，求△MNQ的面积；（2）记直线QM，QP，QN的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy，直线l过点M（1，2）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ．（1）设直线l的倾斜角为α，写出其参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求直线l的方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≤4；（2）若存在x∈[1，2]，使得不等式f（x）＞x2成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．解：由，得|z|＝＝＝．故选：B．2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{﹣2，0，1，2}之间关系的Venn图如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣2，0}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，0，2，1}解：∵全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{﹣2，0，1，2}，结合韦恩图可知阴影部分所表示集合中的元素为B∩（∁U A），则阴影部分所表示集合中的元素为B∩（∁U A）＝{0，﹣2}．故选：A．3．设正项等比数列{a n}满足a4﹣a3＝36，a2＝6，则a1＝（）A．3B．C．2D．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）若a4﹣a3＝36，a2＝6，则有q2﹣q＝6，解可得：q＝3，又由a2＝6，则a1＝2；故选：C．4．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．以下结论正确的是（）A．乙成绩的极差比甲成绩的极差小B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C．乙成绩的方差比甲成绩的方差小D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小解：对于选项A：由茎叶图中的数据，可知甲的极差为92﹣78＝14，乙的极差为94﹣72＝22，所以乙成绩的极差比甲成绩的极差大，故选项A错误，对于选项B：由茎叶图中的数据，可知甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，所以甲成绩的众数比乙成绩的中位数小，故选项B错误，对于选项C：根据茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更离散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故选项C错误，对于选项D：由平均数的计算公式，可得甲成绩的平均数为≈85.4分，乙成绩的平均数为≈86.4分，所以甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小，故选项D正确，故选：D．5．在平面直角坐标系中，已知点A（cos15°，sin15°），B（cos75°，sin75°），则|AB|＝（）A．1B．C．D．2解：∵|AB|2＝（cos15°﹣cos75°）2+（sin15°﹣sin75°）2＝2﹣2（cos15°cos75°+sin15°sin75°）＝2﹣2cos（﹣60°）＝2﹣2×＝1，∴|AB|＝1，故选：A．6．已知f（x）＝a﹣（a为常数）为奇函数，则满足f（ax）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）解：根据题意，f（x）＝a﹣（a为常数）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，即（a﹣）+（a﹣）＝2a﹣（+）＝2a﹣2＝0，解可得a＝1，则f（x）＝1﹣，在R上为增函数，若f（ax）＞f（1），即f（x）＞f（1），必有x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故选：A．7．如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．8D．解：根据三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为四棱锥体A﹣BCDE；如图所示：所以BC＝4＝DE＝AE，所以CD＝AD＝AC＝，BE＝．故选：B．8．如图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远．已知AC＝3km，BC＝4km，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解：设曲线E上的点为P，由题意可知，|PA|+|AC|＝|PB|+|BC|，可得|PA|﹣|PB|＝|BC|﹣|AC|＝1，P的轨迹满足双曲线的定义，所以则曲线E为双曲线．故选：D．9．若函数f（x）＝满足f（a）＝f（2a），则f（2a）＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4解：∵函数f（x）＝，显然，f（x）在（0，2）上单调递增，再[2，+∞）上单调递减．∵f（x）满足f（a）＝f（2a），①当a∈（0，2）时，f（a）＝2a，f（2a）＝4﹣2a，∴2a＝4﹣2a，∴2a＝2，∴a＝1．则f（2a）＝f（2）＝4﹣2＝2．②当a≥2时，2a≥4，f（a）＝4﹣a，f（2a）＝4﹣2a，∴4﹣a＝4﹣2a，即a＝2a，a无解．综上可得，f（2）＝2，故选：A．10．某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24h．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（）A．25辆B．24辆C．23辆D．22辆解：总工程量为20×24＝480小时；第一辆车做的工程量为24小时；第二辆车做的工程量为24﹣小时；.....．第n辆车做的工程量为24﹣小时（n＜73）；∴n辆车做的工程量和为24n﹣（1+2+...+n﹣1）；∴24n﹣≥480，解得n≥24，故还需要抽调23辆．故选：C．11．在三棱锥S﹣ABC中，∠SAC＝∠SBC＝，∠ACB＝，AC＝BC＝1．若三棱锥S ﹣ABC的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．13πB．C．49πD．52π解：如图，在△ACB中，AC＝BC＝1，∠ACB＝，取AB中点D，可得CD＝，AD＝．取SC的中点O，∵∠SAC＝∠SBC＝，∴OS＝OA＝OC＝OB，则O为三棱锥S﹣ABC 的外接球的球心，在Rt△SAC与Rt△SBC中，由AC＝BC，SC＝SC，得Rt△SAC≌Rt△SBC，∴∠SCA＝∠SCB，过O作OO1⊥平面ABC，过S作SS1⊥平面ABC，则O1，S1都在∠ACB的角分线的延长线上．设△ABC外接圆的半径为r，则，解得r＝1．则CS1＝2r＝2．由，解得，在Rt△SS1C中，求得，即三棱锥S﹣ABC的外接圆的半径为．∴该三棱锥外接球的表面积为．故选：D．12．若函数f（x）＝a x﹣x a（a＞0，a≠1，x＞0）只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）∪（1，e]B．（0，1）∪{e}C．D．（1，e]∪{e2}解：令f（x）＝0，则a x＝x a，两边同时取自然对数得xlna＝alnx，∴，依题意，函数的图象与直线有且仅有一个交点，由得，易知函数g（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，且，作出函数g（x）的大致图象如下，由图象可知，要使函数的图象与直线有且仅有一个交点，则或，∴0＜a＜1或a＝e，即实数a的取值范围为（0，1）∪{e}．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13．命题：“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是∃x∈（0，+∞），2x≤1．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈（0，+∞），2x≤1，故答案为：∃x∈（0，+∞），2x≤1．14．在△ABC中，＝，＝m+n，则＝．解：，＝．∴m＝，n＝，＝．故答案为：15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|，则抛物线C的方程为y2＝8x．解：设Q（x0，4），由抛物线的定义知，|QF|＝x0+，∵|QF|＝2|PQ|．∴x0+＝2x0，得x0＝，将Q（，4），代入抛物线y2＝2px得p＝4，即抛物线方程为y2＝8x．故答案为：y2＝8x．16．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）是奇函数，且存在正数α使得函数f（x）在[0，α]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣，]上取得最小值时的x值有且仅有一个，则ω的取值范围是（0，）．．解：∵函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）是奇函数，且存在正数α使得函数f（x）在[0，α]上单调递增，故φ＝+2kπ，k∈Z，故f（x）＝sinωx．若函数f（x）在区间[﹣，]上取得最小值时的x值有且仅有一个，ωx∈[﹣，]，则﹣＜ω（﹣）＜0，且×ω＜，求得0＜ω＜，则ω的范围为（0，），故答案为：（0，）．．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b（sin C+cos C）．（1）求B；（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值．解：（1）因为a＝b（sin C+cos C），由正弦定理得sin A＝sin（B+C）＝sin B sin C+sin B cos C，整理得，sin C cos B＝sin B sin C，因为sin C＞0，所以sin B＝cos B，即tan B＝1，由B为三角形内角得B＝；（2）由余弦定理得，≥（2﹣）ac，当且仅当a＝c时取等号，解得，ac≤，△ABC面积S＝＝≤，所以△ABC面积的最大值，18．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，BC⊥平面ABE，DE∥BC，DE＝3BC＝6，∠BAC＝45°，∠DAE＝∠ABE＝60°．（1）求证：平面ABC⊥平面ADE；（2）若点F满足，且AB∥平面CEF，求λ的值．解：（1）证明：由BC⊥平面ABE，可得BC⊥AB，又BC＝2，∠BAC＝45°，可得AB＝2，由BC⊥平面ABE，DE∥BC，可得DE⊥平面ABE，DE⊥AE，又DE＝6，∠DAE＝60°，可得AE＝6tan30°＝2，在△ABE中，∠ABE＝60°，AB＝2，AE＝2，可得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos60°，即为12＝4+BE2﹣2BE，解得BE＝4，由AB2+AE2＝BE2，可得AE⊥AB，又AE⊥BC，而AB，BC为平面ABC内的两条相交直线，所以AE⊥平面ABC，又AE⊂平面ADE，所以平面ABC⊥平面ADE；（2）连接BD与CE交于H，连接FH，由AB∥平面CEF，AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面CEF＝FH，可得AB∥FH，所以＝，在四边形BCDE中，BC∥DE，可得＝＝，所以λ＝＝．20．已知函数f（x）＝（x+1）lnx，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝g（x）．（1）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；（2）求证：．【解答】证明：（1）函数f（x）＝（x+1）lnx，f（1）＝0．f′（x）＝lnx+，f′（1）＝2，∴曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣0＝2（x﹣1），∴y＝g（x）＝2（x﹣1）．（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x+1）lnx﹣2（x﹣1），x∈（0，+∞）．则h′（x）＝lnx+﹣2＝lnx+﹣1＝u（x），u′（x）＝﹣＝＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，∴h′（x）＝u（x）＞u（1）＝0，∴函数h（x）在x∈（1，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（1）＝0．∴当x＞1时，f（x）＞g（x）．（2）由（1）可得：（x+1）lnx＞2（x﹣1），令x＝n2﹣2，则化为：＞＝﹣，∴＞1﹣，＞﹣，＞﹣，……，＞﹣，∴+++…+＞1+﹣﹣＞﹣，n≥2，n∈N*．21．在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q（4，1）．过点P的直线l与椭圆分别交于点M，N．（1）若直线l与x轴垂直，求△MNQ的面积；（2）记直线QM，QP，QN的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．解：（1）直线l的方程为x＝1，代入椭圆方程可得y＝±，则△MNQ的面积为×（4﹣1）×＝；（2）证明：当直线l的斜率不存在时，可设M（1，），N（1，﹣），由P（1，0），Q（4，1），可得k1＝，k2＝，k3＝，所以k1+k3＝＝2k2，即k1，k2，k3成等差数列；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与椭圆方程x2+2y2＝4联立，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝，x1x2＝，而k1＝，k3＝，k2＝，y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），则k1+k3＝+＝2k+（3k﹣1）（+）＝2k+（3k﹣1）•＝2k+（3k﹣1）•＝2k+（3k﹣1）（﹣）＝＝2k2，所以k1，k2，k3成等差数列．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy，直线l过点M（1，2）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ．（1）设直线l的倾斜角为α，写出其参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求直线l的方程．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），由ρcos2θ＝4sinθ得，ρ2cos2θ＝4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y．（2）将直线l的参数方程代入x2＝4y，并整理得t2⋅cos2α+（2cosα﹣4sinα）t﹣7＝0．设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，由线段PQ的中点为M得t1+t2＝0，即，∴直线l的斜率．∴直线l的方程为，即x﹣2y+3＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≤4；（2）若存在x∈[1，2]，使得不等式f（x）＞x2成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|，当x≤﹣2时，f（x）＝﹣（x+2）﹣2（x﹣1），不等式f（x）≤4化为﹣3x≤4，解得，结合x≤﹣2，得不等式的解集为∅；当﹣2＜x≤1时，f（x）＝（x+2）﹣2（x﹣1），不等式f（x）≤4化为﹣x+4≤4，解得x≥0，结合﹣2＜x≤1，得0≤x≤1；当x＞1时，f（x）＝（x+2）+2（x﹣1），不等式f（x）≤4化为3x≤4，解得，结合x＞1，得；综上知，不等式f（x）≤4的解集为[0，]．（2）当1≤x≤2时，f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|＝|x+a|+2x﹣2，不等式f（x）＞x2可化为|x+a|＞x2﹣2x+2，由绝对值的定义知，x+a＞x2﹣2x+2或x+a＜﹣x2+2x﹣2，即存在x∈[1，2]，使得a＞x2﹣3x+2，或a＜﹣x2+x﹣2．即a＞﹣，或a＜﹣﹣，由x＝时﹣取得最小值﹣；由x＝1时﹣﹣取得最大值为﹣2；所以，或a＜﹣2，所以实数a的取值范围是．。

【高三】2021高三数学三模文科试题(合肥市含答案)

【高三】2021高三数学三模文科试题(合肥市含答案)安徽省合肥市2021届高三第三次质量检测数学试题（文）(考试时间：120分钟满分：150分）第I卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若U={-2,-1,0,1,2},M={-1，0,1}，N={-2,-1,2}，则＝( )A. B.{0，1}C.{-2，0,1，2}D. {-1}2.已知（1+i)(a+bi)=3-i(i为虚数单位，a，b均为实数），则a的值为（）A.0B. 1C.2D.33.直线l经过点（1，-2)，且与直线x+2y=O垂直，则直线l的方程是（）A. 2x + y - 4 = OB. 2x + y - 4 = OC. 2x - y -4 =OD. 2x - y + 4 = O4.已知函数f(x)=Asin( 的部分图像如图所示,则实数ω的值为（ )A. B. 1 C.2 D.45.若l，m为空间两条不同的直线，a, 为空间两个不同的平面，则l ?a的一个充分条件是（）A,l// 且a? B. l 且a?C.l? 且a//D.l?m且m//a6.右图的程序框图中输出S的结果是25，则菱形判断框内应填入的条件是（）A. i <9B.i>9C.i≤9D.i≥97.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi)( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则实数a的值是（）A. B. C. D.B.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域面积为（ )A, B.2 C. D.310.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为4，且f(1)>1，f(2)=m2-2m,f(3)= ，则实数m的取值集合是（）A. B.{O，2} C. D. {0}第II卷（满分1OO分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11.函数f(x)= 的定义域为______12.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为y= ，焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的方程为______13.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____14.右图为一个简单组合体的三视图,其中正视图由一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的体积为______.15.下列关于数列{an}的命题：①数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn = an+ 1，则{an}不一定是等比数列；②数列{an}满足an+ 3 - an+ 2 = an + 1 - an对任意正整数n恒成立，则{an}一定是等差数列；③数列{an}为等比数列，则{an?an+1}为等比数列；④数列{an}为等差数列，则{an+an+1}为等差数列；⑤数列{an}为等比数列，且其前n项和为Sn则Sn,S2n-Sn,S3n-S2 ,…也成等比数列. 其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知向量a= (1，-2)，b=(2sin ,cos ),且a?b=1(I)求sinA的值；(II)若A为ΔABC的内角，,ΔABC的面积为，AB=4，求BC的长.17.(本小题满分12分）根据空气质量指数4PI(整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进行监测，获得的API数据如下图的茎叶图.(I)请你运用所学的统计知识,选择三个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；(II)某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率.18.(本小题满分12分）如图BB1 ,CC1 ，DD1均垂直于正方形AB1C1D1所在平面A、B、C、D四点共面.(I)求证：四边形ABCD为平行四边形；(II)若E,F分别为AB1 ,D1C1上的点，AB1 =CC1 =2BB1 =4,AE = D1F =1.求证:CD?平面DEF;19.(本小题满分13分）已知椭圆C: 的顶点到焦点的最大距离为，且离心率为(I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点A、B关于点M(1，1)对称，求AB20.(本小题满分I3分）已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数;(II)若f(x)≤ 0在区间[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围.21.(本小题满分13分）已知正项等差数列{an}中，其前n项和为Sn，满足2Sn=an?an+1(I )求数列{an}的通项公式；(II)设bn= ，Tn=b1+b2+…+bn,求证:Tn<3.感谢您的阅读，祝您生活愉快。