正比例函数3
正比例函数及性质 (3)
正比例函数的图像和性质一、教学目的：（一）知识技能1．学会画正比例函数的图像，认识正比例函数图像是一条直线。
通过计算机辅助教学使学生在观察，研究中发现正比例函数的性质。
2．能熟练地掌握正比例函数的性质并能利用正比例函数的性质解决简单的数学问题。
（二）过程与方法通过正比例函数图像的学习和探究，感知数形结合思想。
（三）情感与价值观1．通过描点作图培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习惯。
2．通过性质的探索、研究、发现，使学生感受领悟数形结合思想，同时培养学生的观察分析和归纳的逻辑思维能力。
3．通过小组互助学习，培养学生的合作能力，在探索研究过程中体验数学的成功。
二、教学重点、难点1．重点：正比例函数图像的性质。
2．难点：正比例函数图像的画法及其性质的发现。
三、教学方法：启发、引导、合作探究四、教具准备：直尺、多媒体课件五、课型与课时：新课1课时六、教学过程：（一）知识回顾1．正比例的解析是什么？2．还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？。
（二）探索新知问题1：画正比例函数y=2x的图像生：列表，作出函数的图像师：通过你所画的图像，你能猜想出正比例函数的图像是什么形状。
教师用几何画板演示，证实猜想的结果。
得出结论：正比例函数的图像是是一条直线。
师：直线有什么性质？如果利用它的性质作正比例函的图像至少需要几个点？生：两点确定一条直线。
作正比例函数的图像至少取两个点。
问题2：画正比例函数y=-2x的图像生：学生在作图，取点各不一。
师：观察函数的图像1和2，你发现了什么？如果作函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像取哪两个点最简便。
师生：观察正比例函数的图像得出结论：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像是经过点（0，0）和点（1，k）的一条直线。
师：观察你所作出的图像，你发现了什么？奇数组与偶数组的同学互换所作的图像，再观察其它同学的图像，对比自已的图像，互相讨论当k取不同值时函数的图像有何不同？教师用几何板演示。
正比例函数知识点总结
正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。
它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。
下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。
一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。
其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。
正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。
二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。
当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。
2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。
因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。
3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。
4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。
这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。
三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。
当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。
当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。
四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。
速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。
2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。
成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。
3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。
周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。
4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。
温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。
函数的正比例知识点总结
函数的正比例知识点总结1. 定义和特点正比例函数是描述两个变量之间成正比关系的函数。
在正比例函数y=kx中，k被称为比例系数，表示y和x之间的比例关系。
当x增加时，y也随之增加；x减少时，y也随之减少。
因此，正比例函数的图象通常是一条通过原点的直线。
正比例函数的特点如下：- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)，因为当x=0时，y=0，即k*0=0。
- 一般形式：正比例函数的一般形式为y=kx，其中k为常数。
- 方向一致：当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。
2. 图像和性质正比例函数的图像通常是一条通过原点的直线。
例如，y=2x和y=0.5x分别表示比例系数为2和0.5的正比例函数，它们的图像分别是一条斜率为2和斜率为0.5的直线。
正比例函数具有以下性质：- 斜率固定：正比例函数的图像的斜率即为比例系数k，表示y和x之间的比例关系。
- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)。
- 正相关性：x和y之间是正相关的，即当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。
3. 实际应用正比例函数在日常生活和科学领域中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
以下是一些实际应用的例子：- 距离和时间：当一个物体以匀速直线运动时，它的位移和时间成正比。
位移和时间之间的关系可以用正比例函数来描述，即位移=速度*时间。
- 价格和数量：在经济学中，价格和数量之间通常有着正比例的关系。
当商品的价格上涨时，消费者购买的数量通常会减少；反之亦然。
- 温度和压强：在物理学中，温度和气体的压强之间也通常成正比。
当温度上升时，气体的压强也会相应上升。
4. 解题方法解决正比例函数问题的关键是确定比例系数k。
一旦得到比例系数k，就可以轻松地求出任意x对应的y值，或者求出任意y对应的x值。
另外，当已知正比例函数经过一点时，可以使用此点的坐标和函数的一般形式来求出比例系数k。
5. 难点及解决方法在学习正比例函数时，学生可能会遇到以下难点：- 理解比例系数k的意义：学生可能对比例系数k的含义不够理解，认为它只是一个数字，缺少具体含义。
18.2 正比例函数(三)-沪教版(上海)八年级数学上册课件(共25张PPT)
的图像经x的图象在第 二、四 象限内,
经过点(0, 0 )与点(－1,7 而 减少 .
),y随x的增大
2.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、
三象限，则m的取值范围是（ B ）
A.m=1
B.m＞1
C.m＜1
D.m≥1
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
18.2 正比例函数（三） 正比例函数的性质应用
学习目标： 1.掌握正y比例函数的性质 2.能熟练应用正比例函数性质解题
x
画法要点
正比例函数图象经过点 (0,0)和点 (1,k)
一条直线
y y= kx (k＞0)
y
y= kx
k
(k＜0)
01
x
01
x
k
性质：
当k＞0时,图象(除原点外)在一,三象限，
象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x
的图像（ B）
AB C D
看谁反应快
2.填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线它一定经过点 (0,0) 和 (1,k).
(2)函数 y=4x 经过 第一、三 象 限，yy 随 xx 的减增小大而增减大小 .
该图像经过一、三象限。
2.已知:正比例函数y= (2-k)x 的图像经过第二.四象限,则函数 y=-kx的图像经过哪些象限？
二、四象限
3.如果 y (1 m)xm22 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
已知直线y=(a-2)x+a2-9经过 原点，且y随x的增大而增大， 求y与x的关系式.
正比例 函数
正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。
本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。
设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。
k被称为比例系数。
通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。
特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。
2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。
斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。
斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。
3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。
因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。
示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。
当x增加1个单位时，y也增加2个单位。
以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。
示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。
即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。
通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。
示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。
我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。
应用正比例函数在实际生活中有许多应用。
例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。
正比例函数知识点总结初中
正比例函数知识点总结初中一、正比例函数的概念正比例函数是指函数的导数也是一个常数的函数，它的图象是一条通过原点的直线。
正比例函数的一般形式可以表示为y=kx，其中k是一个常数，称为比例系数。
当x增大时，y也随之增大，且它们之间的比值始终保持不变，这就是正比例函数的特点。
二、正比例函数的性质1. 正比例函数的图象是一条通过原点的直线，且斜率为k。
2. 正比例函数的导数恒为常数k。
3. 正比例函数与y轴平行，可以用y=kx表示。
4. 正比例函数的比例系数k决定了函数图象在坐标系中的倾斜程度和方向。
三、正比例函数的图象和性质分析1. 当k大于0时，正比例函数的图象向右上方倾斜；当k小于0时，图象向左下方倾斜。
2. 当k=0时，正比例函数的图象平行于x轴，函数的图象将是一条通过原点的水平直线。
3. 正比例函数的图象不会有拐点，因为它是一条直线。
四、正比例函数的应用1. 在现实生活中，许多问题可以用正比例函数来描述，比如速度和时间的关系、商品价格和数量的关系等。
2. 在数学学习中，正比例函数的性质可以帮助我们快速理解和求解一些数学问题。
3. 正比例函数也是其他函数的基础，通过研究与比例函数相似的函数，可以更好地理解其他类型的函数。
五、正比例函数的解题技巧1. 当给出一个问题时，首先要明确问题中涉及到的变量和它们之间的关系。
2. 根据问题中的已知条件，列出正比例函数的表达式，并通过图象或计算找出比例系数k。
3. 利用正比例函数的性质，解决问题。
4. 在实际问题中，要注意对函数图象的正确理解，避免出现计算错误。
六、常见错误及解决方法1. 误解正比例函数图象的性质，导致问题解法错误。
解决方法：加强对正比例函数图象特点的理解，多进行实例分析和练习。
2. 对正比例函数的比例系数k概念理解不清，导致计算错误。
解决方法：通过具体的实例及练习，加强对比例系数k的理解，掌握计算方法。
3. 在问题中容易混淆正比例函数和其他函数，导致问题解决错误。
正比例函数的总结
正比例函数的总结正比例函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学必学的内容之一。
在学习正比例函数时，我们需要掌握其定义、性质以及在实际生活中的应用。
本文将对正比例函数进行总结，希望能帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
1. 正比例函数的定义正比例函数是指函数的函数图像是一条通过原点的直线。
具体地，设变量x和y之间存在着一种关系，若y与x成正比，即存在一个常数k（k≠0），使得y=kx，则称y是x的正比例函数。
正比例函数的数学表达式可以写为：y = kx，其中k为常数。
2. 正比例函数的性质正比例函数具有以下几个性质：•函数图像通过原点：正比例函数的特点是通过原点，即函数的纵截距为0。
•函数图像是直线：由于正比例函数通过原点，所以其函数图像是一条直线。
•斜率相等：对于不同的x值，函数的斜率保持不变。
•函数值的比例相等：对于正比例函数中的任意两个不等于0的x值，其对应的y值之间的比例保持不变。
3. 正比例函数的应用正比例函数在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的例子：•速度与时间：当物体匀速运动时，速度与时间之间的关系满足正比例函数。
例如，在一辆以恒定速度行驶的汽车中，车速与行驶所花费的时间成正比。
•周长与半径：在一个圆中，周长与半径之间的关系是正比例函数。
根据圆的定义，周长等于半径乘以2π，因此当半径增加时，周长也会相应增加。
•距离与时间：当以恒定速度行驶的车辆中，行驶的距离与行驶所花费的时间成正比。
这可以用来计算两个地点之间的距离，以及行驶一段路程所需要的时间。
除了上述例子外，正比例函数还可以应用于许多其他领域，例如物理学、经济学等。
4. 总结正比例函数作为数学中的一个重要概念，在高中数学中被广泛学习和应用。
通过学习正比例函数，我们可以了解到正比例函数的定义与性质，并结合实际生活中的应用进行讨论。
正比例函数的定义非常简单，即y=kx，其中k为常数。
其函数图像是一条通过原点的直线，具有线性的特点。
正比例函数知识讲解
正比例函数知识讲解
正比例函数的特点是，自变量x和因变量y成正比关系，当x的值增加时，y的值也随之增加。
斜率k表示了y每增加一个单位，x增加的单位数。
如果k是正数，则y随着x的增加而增加，如果k是负数，则y随着x的增加而减少。
1.定义：
2.斜率和截距：
在正比例函数 y = kx 中，斜率 k 表示了直线的倾斜程度。
斜率大于 0 时，曲线向上倾斜；斜率小于 0 时，曲线向下倾斜。
截距 b 表示函数图像与 y 轴的交点位置。
3.表示形式：
4.性质：
- 常数比例：对于一个给定的正比例函数 y = kx，k 是一个恒定的比例常数，即函数图像上任意两个点的斜率都相同。
-零值：正比例函数不包括(0,0)这个点，因为零值不属于定义域。
-相关变量：正比例函数中的两个变量是相关的，即当x值发生变化时，y值也会发生相应变化。
-数量比较：可以通过比较不同x值时y的大小来比较两个相关量的大小关系。
5.应用举例：
-资金计算：金融领域中的利息计算和复利计算都可以通过正比例函数进行建模。
-物理学：速度和时间、距离和时间之间的关系可以通过正比例函数进行描述。
-经济学：供求关系中的供应量和价格之间的关系可以用正比例函数表示。
-比例问题：在解决比例问题时，常常需要使用正比例函数来建立比例关系。
总结：
正比例函数是一种重要的数学函数，它的性质和应用非常广泛。
正比例函数能够帮助我们建立和描述各种实际生活中的关系，并进行数量上的比较和计算。
对于理解和应用正比例函数，我们需要掌握其基本定义、性质和应用场景，以及如何确定斜率和截距。
正比例与反比例函数的性质
正比例与反比例函数的性质正比例函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的性质，并探讨它们在不同领域的用途。
1. 正比例函数的性质正比例函数是指两个变量之间存在线性关系，其中一个变量的值是另一个变量的常数倍。
形式上，正比例函数可以表示为 y = kx，其中 k 是常数。
1.1 直线关系正比例函数的图像是一条直线，且经过原点。
这意味着函数中的变量之间的关系是直接的，一方增大，另一方也相应增大。
1.2 斜率正比例函数的斜率是常数 k。
斜率表示了函数的增长速率，正比例函数的斜率恒定。
1.3 比例常数比例常数 k 是正比例函数的一个重要特征。
它体现了两个变量之间的比例关系。
当 k > 1 时，随着 x 的增加，y 的增加幅度更大；当 0 < k < 1 时，随着 x 的增加，y 的增加幅度更小。
2. 反比例函数的性质反比例函数是指两个变量之间存在反比关系，其中一个变量的值是另一个变量的倒数。
形式上，反比例函数可以表示为 y = k / x，其中 k是常数。
2.1 反比例关系反比例函数的图像通常是一个超越原点的曲线。
这意味着函数中的变量之间的关系是间接的，一方增大，另一方相应减小。
2.2 渐近线反比例函数的图像具有渐近线，其中一条渐近线为横轴 (x 轴)，另一条渐近线为纵轴 (y 轴)。
这意味着当 x 趋近于正无穷大或负无穷大时，函数的值趋近于 0。
2.3 比例常数比例常数 k 是反比例函数的一个重要特征。
它体现了两个变量之间的反比关系。
当 k > 0 时，随着 x 的增加，y 的值减小；当 k < 0 时，随着 x 的增加，y 的值增大。
3. 应用领域正比例函数和反比例函数在各个领域都有广泛的应用。
3.1 正比例函数的应用正比例函数常常用于计算比例、比率和百分比。
在经济学中，正比例函数可以用于描述成本、收入和利润之间的关系。
正比例函数详细知识点总结
正比例函数详细知识点总结一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义给定两个变量x和y，如果存在一个常数k，使得当x增大k倍时，y也增大k倍，那么称y是x的正比例函数。
我们可以用数学式表示为：y = kx其中，k为常数，称为比例系数。
2、比例系数的含义比例系数k表示两个变量之间的比例关系。
当k>1时，表示y随着x的增大而增大，当0<k<1时，表示y随着x的增大而减小，当k=1时，表示y和x成正比例关系。
3、正比例函数的定义域和值域对于正比例函数y=kx，定义域为实数集R，即x可以是任意实数；值域也为实数集R。
二、正比例函数的性质1、图像特点正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
当k>1时，图像是从原点开始向上倾斜的直线；当0<k<1时，图像是从原点开始向下倾斜的直线；当k=1时，图像是经过原点的斜率为1的直线。
2、性质（1）通过原点正比例函数的图像必经过原点，因为当x=0时，y=0。
（2）斜率性质正比例函数的图像斜率为k，斜率表示函数随着自变量的变化而变化的速率。
（3）单调性当k>0时，正比例函数为增函数；当k<0时，正比例函数为减函数。
三、正比例函数的解题方法1、确定比例系数在解题时，首先需要确定比例系数k，可以通过已知条件或者数据关系来确定。
2、构建函数关系根据已知条件构建出正比例函数的函数式。
3、解题步骤（1）根据已知条件确定比例系数k；（2）构建出正比例函数的函数式；（3）应用正比例函数的性质和图像特点进行问题分析和解答。
四、正比例函数的应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，尤其在数学建模和物理问题中常常出现。
下面举例说明正比例函数的应用：1、代买水果小明要在市场上代买水果，水果摊上的价格是正比例关系，每斤水果的价格是3元，小明要买的数量和购买的金额之间也是正比例关系。
如果他要买5斤水果，需要支付多少钱？解题步骤：（1）根据已知条件确定比例系数k为3；（2）构建出正比例函数的函数式y=3x；（3）代入x=5即可求得所需支付的金额为15元。
人教版正比例函数公开课3课件
；
已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
m-2≠0， 则当x=6时，y的值为
.
例2 若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.
例1 已知函数 y=(m-1) 是正比例函数，求m的值.
∴ m=-2. 形式：y=kx（k≠0） |m|-1=1， （2）铁的密度为3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？
；
正方形的面积S与边长a
m-1≠0， 为什么强调k是常数，k≠0呢？
有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
m=±1，
（2）求当x=6时函数y的值. 解：∵函数
是正比例函数，
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ）
解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
正方形的面积S与边长a
解:（1）设正比例函数解析式是y=kx， （3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.
函数解析式
l =2πr m =7.8V h = 0.5n T = -2t
函数
l m h T
常量 自变量
2，π
r
V
n
-2
t
这些函数解析式 有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与 自变量的乘积的形式！
函数=常数×自变量
y＝ k
x
小结
正比例函数3
（1）l=2πr （2）m=7.8V （3）h=0.5n （4）T= -2t （5）y=200x （0≤x≤127）
这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数与自变 量的乘积的形式。
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比 例系数。
这里为什么强调k是常数，k≠0？
解：∵ y与x－1成正比例 ∴y=k（x-1）
∴ y与∵x之当间x=函8时数，关y系=6式是∴：7yk==676（∴x-1k） 76
当x=4时，y=
6 7
×（4－1）=
18 7
当x=-3时，y=
6 7
×（-3－1）=
24 7
1、周末马老师提着篮子（篮子重0.5斤）到 菜场买10斤鸡蛋，当马老师往篮子里捡称好的鸡 蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于 是他将鸡蛋装进篮子里再让摊主一起称，共 10.55斤，即刻他要求摊主退一斤鸡蛋的钱，他 是怎样知道摊主少称了大约1斤鸡蛋的呢？你能 知道其中的原因吗？
； am8亚美 ；
初二数学备课组
问题：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只 燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后， 人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它。
（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行 多少千米（精确到10千米）？ 25600÷（30×4+7）≈200（km） （2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的 时间x（单位：天）之间有什么关系？
例2 已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线 从小到大变化时， △ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析 式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
正比例函数的条件
正比例函数的条件
1.定义域为实数集：正比例函数是定义在实数集上的函数,即对于任意实数,函数都有定义。
这是因为正比例函数的关系可以在实数范围内无限延伸。
2. 二元关系：正比例函数是一种二元关系, 即函数的变量有两个。
一般来说, 正比例函数的输入变量被称为自变量, 而输出变量被称为因变量。
因此, 正比例函数可以表示为 y = kx, 其中 k 是常量。
3.变量间的线性关系：正比例函数的特点是变量之间存在线性关系。
换句话说,如果一个变量的取值增加了一倍,那么另一个变量的取值也会相应地增加一倍。
这种线性关系可以用比例关系符号(∝)表示,例如x∝y。
4.恒定的比例因子：正比例函数中的比例因子k是一个常量,它在整个函数定义域上都保持不变。
这意味着无论自变量的取值如何变化,因变量与自变量之间的比例关系都会保持稳定。
5.零因变量：正比例函数中,当自变量取值为零时,因变量也为零。
这是因为正比例函数的定义中包含了原点(0,0)。
换句话说,如果输入变量为零,那么输出变量也必须为零。
正比例函数在许多实际情况中都有应用。
例如,当物体的质量与其体积成正比时,就可以使用正比例函数来描述它们之间的关系。
同样,当速度与时间成正比时,也可以使用正比例函数来描述它们之间的关系。
正比例函数可以帮助我们理解和预测许多自然现象和实际问题。
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y = -2x
（2）填写下表 x y -3 6 -2 4 -1 2 0 0 1 -2 2 -4
提高题：
(1) 已知 y-1与x+1成正比例，当x= -2时， y= -1；则当x=-1时，y= ?
解: 设 y-1= k(x+1),
把 x= -2,y = -1代入得: ∴ -1-1= k(-2+1) 即 y=2x+3
x ∴所求的正比例函数解析式是y= 2
设 代 求 写
x 为任何实数 （2）当 x=6 时, y = -3
待定系数法
做 一 做
铜的质量M与体积V成正比例，已知当 V=5(cm3)时，M=44.5(g) （1）求铜的质量M与体积V的函数关系式， 并求出铜的密度ρ； （2）求体积为0.3dm3的铜棒的质量。
解：（1）设
M=ρV.
把V=5，M=44.5代入上式，得 44.5=5ρ, ρ=8.9
∴M=8.9V， 铜的密度是8.9g/cm3 （2）当V=300时，M=8.9×300=2670(g)
答：铜棒的质量为2670g
例3 已知y与 x－1成正比例，当x=8时，y=6， 写出y与x之间函数关系式，并分别求出 x=4和 x=-3时y的值。
解： ∵ y 与 x－1成正比例
∴y = k（x-1） （k≠0） ∵ 当 x=8 时，y =6 ∴ 7k = 6，
6 ∴ y与x之间函数关系式是：y= （x-1） 7 6 18 当x=4时，y= ×（4－1）= 7 7 6 24 当x=-3时，y= ×（-3－1）= 7 7
6 k 7
1、周末马老师提着篮子（篮子重0.5斤）到 菜场买10斤鸡蛋，当马老师往篮子里捡称好的鸡 蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于 是他将鸡蛋装进篮子里再让摊主一起称，共 10.55斤，即刻他要求摊主退一斤鸡蛋的钱，他 是怎样知道摊主少称了大约1斤鸡蛋的呢？你能 知道其中的原因吗？
杜桥实验中学
初二数学组
问题： 1996 年，鸟类研究者在芬兰给一只燕 鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们 在 2.56 万千米外的澳大利亚发现了它。 （1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行 多少千米（精确到10千米）？ 25600÷（30×4+7）≈200（km） （2）这只燕鸥的行程 y (千米）与飞行的时间 x (天）之间有什么关系？
随它的体积V(cm 3 )的大小变化而变化；
m =7.8V
下列问题中的变量对应规律可用怎样 的函数表示？
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习 本撂在一起的总厚度h（cm）随这些练习本 的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃物体，使它每分钟下降2℃， 物体的温度T（℃）随冷冻时间t（分）的变化 而变化。
（1）写出△ABC的面积 y(cm2) 与高线 x(cm) 的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
1 1 解：（1） y BC x 8 x 4 x 2 2
即 y 4x
是正比例函数
（2）当x=7时，y=4×7=28
已知正比例函数当自变量x等于-4时，函数y 做 的值等于2。 一 （1）求正比例函数的解析式和自变量的 做 取值范围； （2）求当x=6时函数y的值。 解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx, 把 x =-4, y =2 代入上式，得 2 = -4k 1 解得 k= - 2
y = 200x （0≤x≤127）
（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少 千米？ 当x=45时，y=200×45=9000 （千米）
下列问题中的变量对应规律可用怎样 的函数表示？ （1）圆的周长 l随半径 r 大小变化而变化；
=2πr l
（2）铁的密度为 7.8g/cm3，铁块的质量m(g)
解： 设 y1 = k1 x2,
y2= k2( x -2)
由题意得
则 y = k1 x2 + k2( x -2) k1 - k2 = 0
9k - 5k = 4
1 x2 + 2
解得
k1 = 1 k2 = 1
∴ y= x -2 当 x =3 时， y = 9 +3 –2 =10
课内练习
1、已知正比例函数y=kx，当x=-3时，y=6, （1）求比例系数k，并写出这个正比例 函数的关系式；
h=0.5n
T = -2t
（ 1） l = 2πr （3）h = 0.5 n
（2）m = 7.8 V （4）T = -2 t
（5）y = 200 x
（0≤x≤127）
这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式
定义
一般地，形如 y =kx（k是常数，k≠0）
的函数，叫做正比例函数.
解：
设摊主称得 x斤时，实际重量是 y斤。篮子里
鸡蛋的实际重量为m斤。
y =kx（k≠0） 由题意得
m =10k m+0.5 =10.55k
解得 m ≈ 9
答：篮子里鸡蛋的实际重量约为9斤。
2、已知y = y1+ y2， y1与 x2成正比例，
y2与 x-2 成正比例，当x =1时，y=0；
当 x= -3 时，y=4. 求x =3时 y 的值。
其中k叫做比例系数。 想一想
这里为什么强调k是常数，k≠0？ 你能举出一些正比例函数的例子吗？
认一认 下列函数中哪些是正比例函数？
（1）y =2x
是 是
（2）y = x+2
不是 不是
x （ 3） y 3
（5）y=x2+1
3 （ 4） y x
不是
1 1 不是 （ 6） y 2x
应用
解：
设摊主称得 x斤时，实际重量是 y斤。篮子里
鸡蛋的重量为m斤。
y =kx（k≠0）
1、周末数学老师提着篮子（篮子重0.5斤） 到菜场买10斤鸡蛋，当数学老师往篮子里捡称好 的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少许多， 于是他将鸡蛋装进篮子里再让摊主一起称，共 10.55斤，即刻他要求摊主退一斤鸡蛋的钱，他 是怎样知道摊主少称了大约1斤鸡蛋的呢？你能 知道其中的原因吗？
1 2
3k +9k = 6
解得
k1 = 8 k2 = -2
∴ y = 8x -2x2
小结
1、正比例函数的概念和解析式； 2、正比例函数的简单应用。
课后思考题与练习题
；/ 小程序制作 微信小程序制作；
给送到了姑素家大长老大夫人那里,由她带晴文婷给带大了."女人果然是意志力可怕の动物."想到这些,骑牛老道也暗生佩服,有这样の勇气,这个晴三娘也是壹个值得敬佩の人物.虽然实力远不及自己の老婆,花魂,但同样值得尊敬.而自己老婆花魂,同样是壹个可敬の女人,她 在这里这么多年了,到现在也没有放弃,现在还在这里活着."要救走仙牢中の人,看来是需要去找另外两件东西了."骑牛老道拍了拍下面の白牛,白牛问他："主上,咱们现在去哪尔?""去花魂仙城."老道说,"找来你主母の东西.""什么东西?"白牛有些不解.老道说："花魂仙灯!". 情域,无心峰.这壹天,惜夕从无心峰上走了下来.时隔几年,她终于是又要离开这里了.而这壹天,勇峰峰主,照常在这里等她."你还是要走了."勇峰峰主叹了口气.（正文叁贰贰6救人）叁贰贰7事情叁贰贰7而根汉则是壹如既往,专心の干着这壹件事情,三年间只是休息了几天,其 它の时间都是在解阵.壹年前,他已经开始解阵了,弄明白了这七重阵环之阵の阵纹走向.现在他每天做の事情,就是重复重复再重复,围着这个堕仙牢,壹条壹条の阵纹慢慢の解下来.之前他就试过了,自己现在の阵环水平,因为修为实现了质の飞跃.现在他の阵环之术,也提升了, 现在他成为了五重阵环术士了,壹次可以同时揉和三万二千根阵纹线左右.相比之前他の只能揉和八千多根,提升了很多了.要知道阵环之术,可不是单纯の数量提升壹倍,实力也就提升了壹倍の.越是到了后面,就越难提升,想提升壹百根也很难.现在根汉壹下子达到了五重上品 阵环术士了,这可是壹个了不起の成就了.只是想要再继续突破,达到壹次可以炼制五万条以上の阵纹线,却并不容易,不是什么机缘造化就可以达到の,需要长时间の练习.这不是根汉想要达到就能达到の,恐怕没有个几百年,甚至上千年,想达到七重の话是太难了.（正文叁贰贰 7事情）叁贰贰捌白清清之母叁贰贰捌"根汉,他,他成至尊了.A贰捌捌;&#贰6捌贰5;&#叁叁肆57;&#叁1玖5捌;&#叁5捌贰捌;Mi&#玖7;n贰;u&#玖7;&#捌肆;&#玖7;n
叁;&#玖玖;&#贰555贰;&#贰0叁7玖;&#捌肆;贰0;t&#贰0捌1叁;&#叁 615叁;玖玖7玖;&#叁67叁叁;A贰捌玖;-7玖-"弱水微笑着说."什么!"白清清脸‘色’壹惊道："不会吧?你逗咱玩の吧?""是真の,要不你出去和他打个招呼?"弱水说.白清清哼道："咱才不去,这老天真是不公,他竟然比咱们还先壹步成为至尊,这小子走大运了."她和根汉 之间の关系,也壹直是这样子の,见面了也要斗嘴,白清清,总是摆出壹副不想搭理他の样子.可是现在听说根汉竟然成为至尊了,她の心里感觉怪怪の.当年与根汉第壹回见面の场景,壹下子就浮现在她の心头了.当时她还是小白狐,而根汉也是壹个楞头小子,因为感觉到他是至阳 之体,所以她钻进了根汉の怀里.九天十域被传の最神の,当然就是至尊了,唯咱独尊,与世无敌.当