用均值不等式求最值的类型及方法

高三理应培优

（用均值不等式求最值的类型及解题技巧）

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

22

22

2

R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)(333

3

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：b

a 112

+2a b

+≤≤

2

2

2b a +。 二、函数()(0)b

f x ax a b x =+

>、图象及性质 (1)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+

=b a x

b

ax x f 、性质：

①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；

②单调递增区间：(,-∞

，)+∞

；单调递减区间：(0,

，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2

1

(1)2(1)y x x x =+

>-的最小值。

（技巧1：凑项）解：21(1)2(1)y x x x =+

>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)

x x x x --=+++>-

3

2

111

31

222(1)x x x --≥⋅⋅+-312≥+52=， 当且仅当

211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5

2

。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添

加常数、拆项（常常是拆低次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①23

(32)(0)2

y x x x =-<<

②2sin cos (0)2

y x x x π

=<<

解析：①

30,3202

x x <<

->∴， ∴23(32)(0)(32)2

y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3

(32)[]13x x x ++-≤=，

当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 （技巧2、取平方）②0,sin 0,cos 02

x x x π

<<

>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最

大值。

2

4

2

sin cos y x x =⋅2

2

2

sin sin cos x x x =⋅⋅222

1(sin sin 2cos )2

x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,

当且仅当22

sin 2cos x x =(0)2

x π

<<

tan 2x ⇒=，即tan 2x arc =时，

不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是

23

9

。 技巧3： 分离 例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,4

21)591

y x x ≥+⨯

+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧4：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t

-+-++==++）

当,即t =时,4

259y t t

≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()

A

y mg x B A B g x =+

+>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

技巧5：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。

例4、若x 、y +

∈R ，求4

()f x x x =+

)10(≤

=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4

()f x x x =+是

减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，

则12121244

()()()(

)f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅121212

4()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴121212

4

0,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>， 即4

()f x x x

=+

在(0,1]上是减函数。 故当1x =时，4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x <≤，则有4

()f x x x =

+

24=+， 易知当01x <≤时，

0μ=

>

且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+

在(0,1]上是减函数，当1x =时，4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24

()10f x x '=-<，

则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。故当1x =时，4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法也是较为

简洁实用得方法。

类型Ⅳ：条件最值问题。

例5、已知正数x 、y 满足

81

1x y

+=，求2x y +的最小值。 技巧6：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

解法一：（利用均值不等式）2x y +8

116()(2)10x y x y x y y x =++=+

+1018≥+=,