初中七年级数学精讲[第8讲]小试中考中圆的问题
中考数学常考的圆的六种题型
中考题中常考的圆的六种解题策略第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
初中数学难度“圆”的详解
初中数学难度“圆”的详解
现在，几何题在中考中越来越重要，在尖子生眼里，“几何题”都是送分题，但是对于成绩一般的学生，几何题就是大难题了。
“圆”是几何题的重要考点，在中考中几乎年年出现！！但是得分率却不高，因为复杂、难！
其实，圆的考点主要有求弧长、角度、面积以及各种证明，一般情况下求面积和证明是考的最多的，但是也正因此，很多同学才会丢分。
下面我们整理了初中几何——圆的所以常考知识点！这些有必要一一弄清楚！
中考是一场没有硝烟的硬仗，万千家长们为此操心劳力，孩子们为此挑灯夜战，所以我们经不起任何一点疏忽，不论如何都应该做好万全的准备。
来源：网络。
本文版权归原创作者所有。
中考数学复习考点知识与典型题专题讲解25 圆的问题
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题25圆的问题中考数学复习考一、与圆有关的概念与规律1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10. 点和圆的位置关系：① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
⇔⇔⇔12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
14．圆内接四边形的特征：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
15.直线与圆有3种位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及详细答案
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．【答案】发现： 90°，102；思考：（1）103π=；（2）25π−1002+100；（3）点O到折痕PQ的距离为30.【解析】分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102−10)2=（10-OP）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=12OO′=30．详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB+=102；思考：（1）如图，连接OQ，∵点P 是OB 的中点，∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，∴l BQ =6010101803ππ⨯=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102，在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2解得OP=102−10，S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602π⨯-⨯⨯⨯- ＝25π−1002+100；探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，∴O′C=OB=10，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，∴O′C ⊥AO ，∴O′C ∥OB ，∴四边形OCO′B 是矩形，在Rt △O′BP 中，226425-=在Rt △OBO′K ，2210(25)=230-，∴OM=12OO ′=12×23030 即O 到折痕PQ 30点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．3．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴935535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.4．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .（1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212 【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .∴BD CD BO EO= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，∴CF =FB .∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=5．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，CB ∥PO ．（1）判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC 的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）35 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．7．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 5311，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=3m，可得AN=11m，利用直角AGM,AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan∠BAC53，∴设NG=3，可得AN=11m，AG22-14m，AG AM∵∠ACG=60°，∴CN=5m，AM3，MG22-m=1，AG AM∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．9．问题发现．(1)如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM+MN 的最小值．(3)如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则ADCACGAGCD S SS=+四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB ∽求得GM 的值，再由ACDACGAGCD S SS=+四边形 求解即可.试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，22ABCCD AB AC BCS ⋅⋅==，∴341255AC BC CD AB ⋅⨯===，（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，则CM MN +的最小值为C N '的长， 设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥， ∴BMC BCD ∽，且125CH =， ∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=， ∴C NC BCD '∽，∴244965525CC BC C N BD ⨯⋅===''， 即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADCACGAGCD S SS=+四，321GB EB AB AE ==-=-=，∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧． 过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB ∽， ∴EM AEBC AC=， ∴24855AE BC EM AC ⋅⨯===， ∴83155GM EM EG =-=-=，∴ACDACGAGCD S SS=+四边形，113345225=⨯⨯+⨯⨯，152=． 【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．10．如图1，等边△ABC 的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作AC 、CB 、BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 ；（2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边△DEF 的顶点D 重合，且AB ⊥DE ，DE =2π，将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与⊙O 的圆心O 重合，⊙O 的半径为3，将它沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3． 【解析】试题分析：（1）先求出AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG=21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI并延长交AC于D．∵I是△ABC的重心也是内心，∴∠DAI=30°，AD=12AC=32，∴OI=AI=3230ADcos DAI cos∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n•2π•3=23nπ．故答案为23nπ．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．11．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．12．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；（1）求证：∠ADC+∠CBD＝12∠AOD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=， 90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =， ()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠，190902DFE AOD ∴-∠=-∠，12DEF AOD ∴∠=∠，DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠；()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=， OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠， PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=，90OAD DAP ∴∠+∠=，PFA DFE ∠=∠， 90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠， PA PF ∴=． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高． (2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析. 【解析】 【分析】（1）连接AC 交圆于一点F ，连接PF 交AB 于点E,连接CE 即为所求． （2）连接OF 交BC 于Q ，连接PQ 即为所求． 【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．15．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。
初中关于圆的解题技巧
初中关于圆的解题技巧
初中数学中，圆是一个重要的知识点，掌握一些解题技巧对于解决圆的题目非常有帮助。
以下是一些关于圆的解题技巧：
1. 熟练掌握圆的性质：包括圆的直径、半径、周长、面积等基本性质，以及圆心角、弦、弧等之间的关系。
2. 灵活运用垂径定理：垂径定理是解决圆问题的一个重要定理，掌握这个定理可以帮助我们快速找到解题思路。
3. 掌握切线的判定方法：切线的判定是解决圆问题的另一个重要知识点，通过切线的判定方法可以快速确定切线的位置。
4. 熟悉圆与圆的位置关系：包括相切、相交、相离等关系，掌握这些关系可以帮助我们解决一些综合性的题目。
5. 善于利用代数方法：对于一些较为复杂的圆问题，可以通过代数方法进行求解，例如设未知数、列方程等。
6. 学会总结归纳：对于一些常见的题目类型，可以总结归纳出一些通用的解题方法，这样可以提高解题效率。
总之，解决圆的题目需要熟练掌握圆的基本性质和定理，同时也要善于运用各种解题技巧，通过不断的练习和总结，提高自己的解题能力。
中考数学圆的重心和垂心难题讲解
在中考数学中，圆的重心和垂心是比较常见但难度较大的题目。
通过深入的讲解和解析，我们可以更好地理解这一主题的内涵和求解方法。
一、圆的重心1. 圆的重心概念圆的重心指的是圆内任意一点到圆上任意一点的距离的平方的和达到最小值时，这个点的位置。
通俗地讲，重心是圆内到圆上各点距离平方的和的最小值点。
2. 圆的重心求解当圆心坐标为(a, b)，半径为r时，圆的重心坐标可表示为(Gx, Gy)=(a, b)。
也就是说，圆的重心坐标与圆心重合。
3. 圆的重心难题示例例题：已知圆心为O(-3, 4)，半径为5，求圆的重心坐标。
解析：根据圆的特性可得，圆心坐标即为重心坐标，所以重心坐标为(-3, 4)。
这里是一个简单的例题，仅用于帮助理解圆的重心的概念。
二、圆的垂心1. 圆的垂心概念圆的垂心是指在直角三角形中，垂直于各边的三条高线的交点。
在圆内部，垂心是指三条垂直于圆上某点切线的交点。
2. 圆的垂心求解对于一个直角三角形，垂心是三条高的交点；对于一个圆，垂心是三条切线的交点。
垂心的求解需要根据具体的题目和情况来进行分析和计算。
3. 圆的垂心难题示例例题：已知圆心为A(2, 3)，半径为4，点P在圆上，求AP的垂直平分线方程。
解析：首先求出AP的中点坐标M，然后根据斜率的性质求出垂直平分线的方程。
这是一个典型的圆的垂心难题，需要利用多种数学知识和方法来求解。
总结回顾：通过以上的深入讲解和示例分析，我们对圆的重心和垂心有了更清晰的理解。
重心是圆内到圆上各点距离平方的和的最小值点，而垂心是直角三角形或圆内三条切线的交点。
在实际求解中，需要运用到圆的性质、坐标系和几何知识等多方面的内容。
对于学生来说，需要通过大量的练习和实际应用来加深理解和掌握这一主题。
个人观点和理解：在学习和教学圆的重心和垂心时，应该注重学生对基本原理和概念的理解，同时也要引导他们探索解题的方法和思路。
通过合理的示例讲解和练习，可以帮助学生更好地掌握这一知识点，并在解题中灵活运用。
中考专题八：圆专题讲座
中考专题讲座八 圆专题讲座【考点解读】【方法点拔】 例1、在平面直角坐标系中,B(-3,0),A 为y 轴正半轴上一动点,半径为52得⊙A 与y 轴于点G 、H(点G 在点H 得上方),连结BG 交⊙A 于点C.(1)如图1,当⊙A 与x 轴相切时,求直线BG 得解析式; (2)如图2,若CG=2BC,求OA 得长;(3)如图3,D 就是半径AH 上一点,且AD=1,过点D 作⊙A 得弦CE,连结GE 并延长交x 轴于点F.当⊙A 与x 轴相离时,给出下列两个结论:①2DG OF得值不变;②OG ·OF 得值不变,•其中有且只有一个结论就是正确得,请您判断哪一个结论正确,证明正确得结论,•并求出其值.图1 图2 图3 例2(2010山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1-)得抛物线交y 轴于A 点,交⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→正多边形图圆柱、圆锥的侧面展开弧长、扇形面积公式计算圆与圆相交切线判定切线性质相切相离直线和圆点与圆位置关系间的关系定理：圆心角，圆周角，弧之距关系定理：圆心角、弧、弦、弦心旋转对称中心对称垂径定理轴对称对称性圆的性质圆x 轴于B ,C 两点(点B 在点C 得左侧)、 已知A 点坐标为(0,3)、(1)求此抛物线得解析式;(2)过点B 作线段AB 得垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心得圆与直线BD 相切,请判断抛物线得对称轴l 与⊙C 有怎样得位置关系,并给出证明;(3)已知点P 就是抛物线上得一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到什么位置时,PAC ∆得面积最大？并求出此时P 点得坐标与PAC ∆得最大面积、【2010年中考真题】例1、 选择题、填空题:(1)(2010 咸宁)如图,两圆相交于A ,B 两点,小圆经过大圆得圆心O ,点C ,D 分别在两圆上,若100ADB ∠=︒,则ACB ∠得度数为( ) A.35︒ B.40︒C.50︒D.80︒(2)(2010 荆门)如图,坐标平面内一点A (2,－1),O 为原点,P 就是x 轴上得一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点得三角形就是等腰三角形,那么符合条件得动点P 得个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(3)(2010 宁德)如图,将圆沿AB 折叠后,圆弧恰好经过圆心,则圆弧AMB 得度数为( )A.60° B 。
中考数学综合题专题复习【圆】专题解析
中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一. 教学内容：1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。
2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。
（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。
（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。
（5）切线的性质及判定。
（6）切线长定理。
（7）相交弦、切割线、割线定理。
（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。
（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。
（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。
（11）正n边形的有关计算。
二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。
三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪【典型例题】【例1】. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域。
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆的基本概念和重要性
初三数学圆是数学中的一块重要内容，它不仅在各类考试中占据一定比例，而且对于培养学生的几何思维和空间想象力也具有重要意义。
因此，掌握好圆的相关知识和解题技巧至关重要。
二、解题技巧：步骤和方法
1.审题：仔细阅读题目，提取关键信息，判断题目类型。
2.画图：根据题目要求，作出相应的图形，便于理解问题。
3.列方程：根据题目所给条件，建立合适的数学模型，列出方程。
4.解方程：运用恰当的解方程方法，求解方程组。
5.检验：将求得的解代入原方程，检验是否符合题意。
6.总结：梳理解题过程，提炼方法技巧。
三、常见题型及解题策略
1.圆的性质和计算：熟练掌握圆的性质，如圆心、半径、角度等，运用公式进行计算。
2.圆与直线的关系：了解圆与直线的位置关系，如相交、相切、相离，根据题意求解。
3.圆与圆的关系：掌握两圆位置关系的判断方法，如内切、外切、相离。
4.三角形的几何问题：利用三角形面积公式、角度和周长公式等解决实际问题。
5.圆中的最值问题：利用二次函数在圆中的性质，求解最值问题。
四、应试技巧：时间分配和答题顺序
1.时间分配：合理安排时间，确保每道题都有足够的时间思考和解答。
2.答题顺序：先易后难，遇到不会的题目可以先跳过，等其他题目完成后再回来解决。
五、总结与建议
掌握初三数学圆的解题技巧，需要不断地练习和总结。
在学习过程中，要注重理论知识与实际应用的结合，培养自己的几何思维和空间想象力。
同时，参加各类模拟考试，了解考试题型和难度，增强自己的应试能力。
中考数学圆精讲及习题(附答案)
中考数学《圆》知识详解知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点A在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点B在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点C在圆内。
例如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 A，?4)．试判断点P(3，?1)与圆O 的位置练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1关系．答案：点P在圆O上．- 1 -。
初三数学圆的解题技巧 一般都采用待定系数法
初三数学圆的解题技巧
一、确定圆心位置
确定圆心的位置是解题的第一步，通常根据题目给出的条件，通过分析、推理和计算来确定圆心的位置。
二、确定半径长度
确定半径的长度也是解题的重要步骤之一。
通常可以通过题目给出的条件或者利用已知的圆心和圆上一点的距离来计算半径的长度。
三、使用待定系数法
在解题过程中，我们常常需要设立一些未知数来解决问题，这就是待定系数法。
在解决圆的题目时，我们可以通过设立未知数来表示一些未知的量，然后通过已知条件建立方程来求解这些未知数。
四、应用切线的性质
切线性质是解决圆的题目时的一个重要知识点。
在解题过程中，我们可以通过分析切线的性质，结合已知条件来解决问题。
例如，切线与半径垂直的性质可以用来证明某些几何关系或者求解某些未知量。
五、熟练掌握圆的基础性质
熟练掌握圆的基础性质是解决圆的题目的基础。
在解题过程中，我们需要根据圆的基础性质来分析问题、推导结论。
例如，圆的对称性、圆的周长和面积的
计算公式等都是解题时常用的知识点。
综上所述，初三数学圆的解题技巧包括确定圆心位置、确定半径长度、使用待定系数法、应用切线的性质和熟练掌握圆的基础性质等方面。
通过不断练习和总结，我们可以提高自己的解题能力，更好地掌握圆的解题技巧。
2020-2021学年数学初中七年级专题-解-8-中考中圆的问题
3，
求△ACF的面积。
幸遇•共勉：
思思
你见，或者不见我 我就在那里 不悲不喜
你念，或者不念我 课就在那里 不来不去
你爱，或者不爱我 有效期就在那里
不增不减
2
你跟，或者不跟我 我的手就在你手里
不舍不弃 来我的班里
或者 让我住进你的心里
大海，思思 寒假与你 再相聚
3
1
【例1】 已知：如图AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD。垂足为H，连接AC、BD。作OE⊥DB于E，求
1 证：O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO。
⑴求证：BD是⊙O的切线；
cosBFA 2
⑵若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点 F，△BEF的面积为8，且
2020-2021学年初中数学七年级专题讲解
第八讲 小试中考中圆的问题
辅助线秘诀一 已知直径或作直径，我们要想到2件事： ⑴直径上有个隐藏的中点(圆心) ⑵利用圆周角定理构造了直角三角形 辅助线秘诀二 作半径 ⑴连半径、造等腰 ⑵作过切点的半径 辅助线秘诀三 涉及弦长，弦心距。可构造垂径定理的模型，为利用勾股定理创造条件。 辅助线秘诀四 切线的证明： ⑴有交点：连半径，证垂直； ⑵无交点：作垂直，证半径. 辅助线秘诀五 已知圆心角度数，要想到同弧所对圆周角的度数，反之亦然。 辅助线秘诀六 出现等弧问题时，我们要想到： ⑴在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等 ⑵在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，圆周角也相等 辅助线秘诀七 已知三角函数值或求某个角的三角函数值时：要想到把角放在直角三角形中，没有的话要构造直 角三角形 注意：同角或等角的同名三角函数值相等。 辅助线秘诀八 圆中出现内接正多边形时： 作边心距，抓住一个直角三角形来解决问题 辅助线秘诀九 已知两圆相切，常用的辅助线是： ⑴作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系 ⑵作连心线。 辅助线秘诀十 已知两圆相交，常用的辅助线是： ⑴作两圆公共弦 ⑵作连心线
初中数学知识点精讲精析 圆知识讲解
24·1 圆24·1·1 圆一. 生活中的圆二. 圆的相关概念 1.圆的定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫做圆心.（确定圆的位置） 线段OA 叫做半径.（确定圆的大小）记法：以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”.是“铁环”，不是“烙饼”. （2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径. 圆的确定：（1）一个圆心、一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点 （3）直径2.圆的集合定义圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形.圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 3.与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.注意：直径是一种特殊的弦，直径是最长的弦，但弦不一定是直径.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.以A 、B 为端点的弧记作（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 注意：半圆是一种特殊的弧. （5）弧的分类：①优弧：大于半圆的弧 优弧②劣弧：小于半圆的弧注意：优弧、劣弧都是弧，但是优弧大于半圆，劣弧小于半圆. 例：如图：AB 、CB 为⊙O 的两条弦，试说出图中的所有弧.答：共有6条弧.（6）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（7）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.⋂AB ⋂CAB（8）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.（9）等弧：在同心圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.概念辨析：a)弦是直的，弧是曲的.b)弓形由弦及其所对的弧组成.扇形由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成.c) 同圆指同一个圆，等圆、同心圆指两个圆的关系.等圆是指半径相等而圆心不同的圆，同心圆指圆心相同，半径不同的圆.典型例题例1.判断对错1．长度相等的两条弧是等弧. 错（所在圆的半径不同）2．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧. 错（过圆心的弦）3．两个半圆是等弧. 错（半圆的半径不同）4．半径相等的弧是等弧. 错（弧长不同）5．半径相等的两个半圆是等弧. 对6．分别在两个等圆上的两条弧是等弧. 错（弧长不同）例2.下列说法错误的是（ C ）A．直径相等的两个圆是等圆. 对B．圆中最大的弦是通过圆心的弦. 对C．同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆. 错（两弧长的和不等于圆周长）D．直径是圆中最长的弦. 对例3.AB为圆O的直径，点C在圆O上，OD//BC.求证：OD是AC的垂直平分线证明：连接OC∵OC=OA=OB∴∠BAC=∠OCA∠OBC=∠OCB∴2∠BAC+2∠OBC=180° ∴∠BAC+∠OBC=90° ∴∠ACB=90° ∵OD//BC∴∠ADO=90° ∵OA=OC∴OD 是AC 的垂直平分线例4.圆O 的半径为5，弦AB//CD ，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积.解：图1：连接OA 、OC.做AB 、CD 的垂线OE 、OF ∵因为OA=OB ，O E⊥AB ∴AE=1/2AB=3 ∵OA=5由勾股定理得OE=4 同理可得OF=3 ∴EF=1图2：由图1，知OE=4，OF=3 ∴EF=771)86(21=⨯+⨯=S24·1·2 垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴. 1.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2. 垂径定理推论如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题.，， ，，常用推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 常用辅助线：弦心距、半径497)86(21=⨯+⨯=S ①直线经过圆心②直线垂直弦③直线平分弦④直线平分弧⑤直线平分弧CD O CD AB CD ABCD ACB CD ADB ⎫⎬⎭⇒⋂⋂⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪①直线经过圆心③直线平分弦②直线垂直弦④直线平分弧⑤直线平分弧CD O CD AB CD ABCD ACBCD ADB ⎫⎬⎭⇒⋂⋂⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪②直线垂直弦③直线平分弦①直线经过圆心④直线平分弧⑤直线平分弧CD AB CD AB CD OCD ACB CD ADB ⎫⎬⎭⇒⋂⋂⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪①直线经过圆心④直线平分弧②直线垂直弦③直线平分弦⑤直线平分弧CD O CD ACB CD AB CD ABCD ADB ⋂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⋂⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪④②③①⑤⎫⎬⎭⇒⎧⎨⎪⎩⎪⑤②③④①⎫⎬⎭⇒⎧⎨⎪⎩⎪①⑤③④②⎫⎬⎭⇒⎧⎨⎪⎩⎪③④①②⑤⎫⎬⎭⇒⎧⎨⎪⎩⎪③⑤①②④⎫⎬⎭⇒⎧⎨⎪⎩⎪④⑤①②③⎫⎬⎭⇒⎧⎨⎪⎩⎪典型例题例1.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径.解：作出OE ⊥AB ，垂足为E ，连接OA （或OB ） 由垂径定理，可知AE ＝4 由勾股定理可知AO ＝5思考：如图，若圆心到弦的距离用d 表示，半径用R 表示，弦长用a 表示，这三者之间有怎样的关系式?把垂径定理和勾股定理合并考虑，这样就把问题转化为解直角三角形的问题，于是得出：据此，在a 、R 、d 三个量中，知道任何两个量就可求出第三个量.变式1：如上图，若以O 为圆心再画一个圆交弦AB 于C ，D ，则AC 与BD 间可能存在什么关系?最后通过比较择优，突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性.变式2：如下图，若将AB 向下平移，当移到过圆心时，结论AC ＝BD 还成立吗?变式4：如图，设AO ＝BO ，求证AC ＝BD.变式5：如图，设OC ＝OD ，求证AC ＝BD.R ad 2222=+()（1）（2）B得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心O 引弦AB 的垂线. 例2. ⊙O 的直径AB ＝16，P 是OB 的中点，∠APC ＝30°，求CD 的长.解：作OE ⊥CD∵AB ＝16，∴OB ＝8∵P 是OB 中点，∴OP ＝4∵∠OED ＝90°，∴∠OPE ＝30°在Rt △COE 中，∵OE ⊥CD ，∴CD ＝2CE ＝例3. 在直径为40的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32，求油的深度为多少？ 解：①连结OA ，过点O 作OC ⊥AB 于点C 延长OC 交⊙O 于D在Rt △ACO 中，∵OD ＝20∴CD ＝DO －OC ＝8②连接OA ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，反向延长OC 交⊙O 于点DB∴==OE OP 122CE CO OE =-=22215415D∴==AC AB 1216OC AO AC =-=2212同理可得OC ＝12∴CD ＝OC+OD ＝12+20＝32 ∴油的深度为8或32.例4. AB 为⊙O 的弦，从圆上任意一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于P ，连结PA 、PB ，求证：证：连结OP ，则OP ＝OC∠OPC ＝∠OCP∵CP 是∠DCO 的平分线 ∴∠DCP ＝∠OCP ∴∠OPC ＝∠DCP ∴OP//CD又∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB例5. 已知，AD 为⊙O 的直径，两弦AB ＝AC ，求证：AD 平分∠BACPA PB ⋂=⋂P∴⋂=⋂PA PB解：过O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 于F则∵AB ＝AC ，∴AE ＝AF∵OA ＝OA∴Rt △AOE ≌Rt △AOF ∴∠OAE ＝∠OAF 即AD 平分∠BAC例6. ⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为70°，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，求∠MON 的度数.解：∵M 、N 分别为弦AB 、AC 中点 ∴ON ⊥AC ，OM ⊥AB ∵∠CAB ＝70°∴∠MON ＝360°－90°－90°－70°＝110°例7. 已知圆内的一条弦与直径相交成30°角，且分直径成1cm 和5cm 两部分，则这条弦的中点与圆心的距离是多少？解：已知AB 为⊙O 直径，弦CD 交AB 于P ，且PA ＝1cm ，PB ＝5cm ∠DPB ＝30°M 为CD 中点，求OM 的长.DDAE AB AF AC ==1212，∵M 为CD 的中点，AB 为⊙O 直径 ∴OM ⊥CD∵PA ＝1cm ，PB ＝5cm ∴OA ＝3cm ，∴OP ＝2cm在Rt △POM 中，∠DPB ＝30°例8. 求证：过圆内一定点的弦中垂直直径的弦（直径除外）最短. 解：已知AB 为直径，CD ⊥AB ，求证：EF>CD过点P 任作一条弦EF ，连弦OE 、OD ，作OQ ⊥EF 于Q∵AB ⊥CD ，AB 过圆心∴在Rt △EOQ 中，在Rt △POD 中，在Rt △PQO 中，OP>OQ ∴EF>CD例9. 已知⊙O 的直径为10，P 是⊙O 内一点，且OP ＝3，则过点P 且长度小于8的弦有几条？ 解：B∴==⨯=OM OP cm)121221(∴=EQ EF 12PD CD =12EQ R OQ =-22PD R OP =-22∴>EQ PD由前例可知过P点最短的弦长为8，则没有过P点且长度小于8的弦.24·1·3 弧、弦、圆心角1. 圆的旋转不变性圆是轴对称图形.也是中心对称图形.不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合.圆所特有的性质——圆的旋转不变性圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合.2. 圆心角，弦心距的概念顶点在圆心的角叫做圆心角.弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.圆心到弦的距离叫做弦心距.3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还有：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等.4. 1°的弧的概念.(投影出示图7－59)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等.即不能写成圆∠AOB=，这是错误的.典型例题例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以=.（2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=. 分析：（1）、（2）都是不对的.在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理.对于（2）也缺少了等圆的条件.例2. 已知：如图所示，AD=BC. 求证：AB=CD.证：∵AD=BC变式练习.已知：如图所示，=，求证：AB=CD.证：∵例3. 在圆O 中， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC⋂⋂=∴BC AD ⋂⋂⋂⋂⋂⋂+=+∴=BC AC AD AC ACAC DC AB ABDC =∴=∴⋂⋂⋂⋂⋂⋂==AC AC BCAD ∴⋂⋂⋂⋂+=+AC BC AC DA ⋂⋂=∴AB DC CD AB =∴︒=∠=⋂⋂60ACB ACAB法三：由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB∴∠AOC=∠BOD=60°∵CD 为直径∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴AB=AC=BC∴△ABC 为等边三角形⎧=ON OM∴∠BOC=∠C=70°∵∠BOD+∠BOC=180°法一：作OM ⊥PE ，ON ⊥PF 连接OC 、OA∵OP 为∠EPF 的平分线 OM ⊥PE ，ON ⊥PF ∴OM=ON ∵OA=OC∵OM 、ON 过圆心 OM ⊥AB ，ON ⊥CD ∴AB=2AM即在△ACD 和△CAB 中在△AED 和△CEB 中法二：连DB 、AD 、BC证CNAM NCO Rt MAO Rt =∴∆≅∆∴BC AD BC AD =∴=⋂⋂，⎪⎩⎪⎨⎧===AB DC BC AD AC AC BD CAB ACD ∠=∠∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AD 21B D BEDE CEB AED =∴∆≅∆∴CBD ADB ∆≅∆∴∠3=∠4∴CM=MD ，∴EC=DF （2）AE+BF=2OM ∵长是圆O 的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=524·1·4 圆周角1.圆周角的定义：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角. 从定义可知圆周角具备两个特征：⋂CD 325OM =∴35BF AE =+∴一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交.观察图中，哪些角是圆周角.图（1），（2）中的∠B1A1C1和∠B2A2C2不是圆周角，因为它们的顶点不在圆上（一个顶点在圆内，一个顶点在圆外）；图（3）中的∠B3A3C3、∠C3A3D3、∠B3A3D3都是圆周角，它们的顶点都在圆上，并且两边都和圆相交；图（4）中的∠B4A4D4、∠D4A4C4都不是圆周角，因为它们的顶点虽在圆上，但它们的两边中至少有一边不和圆相交.2. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理表明了圆心角和圆周角之间的倍半关系.因为“圆心角的度数和它所对弧的度数相等”，可以推知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.3. 推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧对的圆心角相等，由圆心角定理可知，弧的度数也相等.4．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.5．顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角（如图所示）.顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角（如图所示）.我们可以把圆内角和圆外角的问题转化成圆周角的问题考虑.对于圆内角∠APB，可以延长AP、BP交⊙O于C、D.连结AD，则∠APB=∠A+∠D，而∠A的度数等于度数的一半，∠D的度数等于度数的一半.因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数和的一半.对于圆外角∠APB，可以连结AD，则∠APB=∠ADB－∠A，而∠ADB的度数等于度数的一半，∠A的度数等于度数的一半.因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数差的一半.圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半.圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半.典型例题例1. 已知AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是的中点，CD ⊥AB 于D ，交AE 于F ，CB交AE 于G.求证：CF=FG.证明：连结AC ， ∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°－∠CAE. 又∵CD ⊥AB 于D ，∠FCG=90°－∠B ，∴∠FGC=∠FCG.因此，CF=FG.例2. ∠BCA 是⊙O 的圆周角，求证：∠A+∠OCB ＝90°解析：作OD ⊥BC∵OB ＝OC ，∴∠1＝∠2∵∠BAC 是圆周角 ∴∠A ＝∠2∵∠2+∠OCB ＝90° ∴∠A+∠OCB ＝90°例3. ⊙O 的直径为10，AC ＝6cm ，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，求BC 、AD 、BD 的长.解：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°AAB∵CD 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2＝45° ∴∠1＝∠3＝45° ∠2＝∠4＝45° ∴∠ADB ＝90°在Rt △ADB 中，由勾股定理可知在Rt △ABC 中，可知BC ＝8例4. 等边△ABC 中，以一边AB 作圆，交BC 、AC 于D 、E ，求证：（1）（2）D 、E 分别为BC 、AC 中点 解析：（1）法一：∵OA ＝OE ，∠A ＝60°∴△AOE 为等边三角形 同理△OBD 为等边三角形 ∴∠1＝∠2＝60° ∴∠3＝60°法二：连AD∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90° ∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°∴同理（2）∵等边三角形，BE ⊥AC ∴AE ＝EC 同理BD ＝DCBAD =5225BD =∴AE DE DB ⋂=⋂=⋂∴⋂=⋂=⋂AE DE DB AD BD ⋂=⋂=12060，AE ED ⋂=∴⋂=6060，∴⋂=⋂=⋂AE DE DB例5. 已知，四边形ABCD的四个顶点，都在⊙O上，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是多少？C解法：法一：连线OA，∠1+∠2＝2∠BCDC∵∠BCD＝120°，∴∠1+∠2＝240°∵∠1+∠2+∠3＝360°∴∠3＝360°－240°＝120°法二：连结OCC∵OB＝OC∴∠1＝∠2∵OD＝OC∴∠3＝∠4∴∠1+∠4+∠BCD＝2∠BCD∵∠BCD＝120°∴∠1+∠2+∠3+∠4＝240°∴∠BOD=360°－（∠1+∠2+∠3+∠4）=120°例6. 在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，求∠BAC＝？解：连OB 、OC 、OD∵∠1＝2∠2，∠3＝2∠4 ∠4＝30°，∠2＝20° ∴∠1＝40°，∠3＝60° ∴∠BOC ＝100°例7. 在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD ，则AD 和BC 间有什么位置关系？证：AD//BC∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90° ∴∠D ＝∠C ＝45°∵AC ⊥BD ，∴∠AED ＝90° ∴∠CAD ＝45° ∴∠CAD ＝∠C ∴AD//BC例8. 在⊙O 中，的中点分别为E 、F ，弦EF 交AB 于M ，交CA 于N.求证：△AMN 是等腰三角形.ADA∠=∠BAC BOC 12∴∠=BAC 50AB AC⋂⋂、解析：连接AE 、AF∵的中点分别为E 、F ∴∴△AMN 为等腰三角形例9. AB 为半圆O 的直径，弦AC ＝CD ，∠DAB ＝30°，，求CD 的长.解：连BD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB ＝90° ∵∠DAB ＝30° ∴在Rt △ADB 中，∴BD ＝1，AB ＝2AB AC ⋂⋂、AE BE AF CF ⋂=⋂⋂=⋂，∴∠=∠∠=∠12F E ，∴∠+∠=∠+∠12E F ∴∠=∠+∠AMN E 1∠=∠+∠ANM F 2∴∠=∠∴=AMN ANMAM AN AD =3A OB BD AB =12AD =3∵∠DAB 的度数的度数∵AC ＝CD ，，∴CD ＝BD ＝1例10. 求证：两弦AB 、CD 垂直相交于E ，作EF ⊥BD 交AC 于G ，则AG ＝GC解：∵EF ⊥BD ，∴∠5+∠B ＝90°∵AB ⊥CD ，∴∠D+∠B ＝90° ∴∠5＝∠D∵∠1＝∠D ，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2 ∴EG ＝AG∴GC ＝GE ∴AG ＝GC=⋂12BD∴⋂=BD 60 ∴⋂=⋂AC CDAC CD BD ⋂+⋂+⋂=180∴⋂=CD 60 ∴⋂=⋂CD BD CGA E BDF 5 2 13 4EF DB B ⊥∴∠+∠=，590∠+∠=3590∴∠=∠3B ∠=∠∠=∠34，B C ∴∠=∠C 4。
初中数学知识点精讲精析 圆
5.1 圆学习目标1.理解、掌握圆的定义.2.经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系.3.初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.知识详解1.如图所示把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
2.圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合，圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合，如下图：如果⊙O的半径为r，点p到圆心O的距离为d，那么：点P在圆心内⇔d<r点P在圆心上⇔ d=r点P在圆心外⇔ d>r3. 弦：圆上任意两点之间的线段，如图中的CD。
直径是圆中最长的弦，如图中的AB。
4. 弧：圆上任意两点之间的部分，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）5.顶点在圆心的角叫圆心角，如下图中的∠AOB圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够互相重合的两个圆叫等圆，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
【典型例题】例1. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=30°，则∠MON 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】D【解析】∵OM=ON ，∴∠M=∠N ，∵∠M=30°，∴∠N=30°，∴∠MON=180°-30°-30°=120°． 例2. 如图，甲顺着大半圆从A 地到B 地，乙顺着两个小半圆从A 地到B 地，设甲、乙走过的路程分别为a 、b ，则（ ）A ．a=bB ．a ＜bC ．a ＞bD ．不能确定【答案】A【解析】设甲走的半圆的半径是R ．则甲所走的路程是：πR ．设乙所走的两个半圆的半径分别是：1212r r r r R +=与，则．乙所走的路程是：1212r r r r R ππππ+=+=（）．因而a=b ． 例3. 如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O 为圆心，且OA=AB=BC=CD=5，那么周长是接近100的圆是（ ）A．OA为半径的圆B．OB为半径的圆C．OC为半径的圆D．OD为半径的圆【答案】C【解析】根据圆的周长公式，得若2πR=100，则R≈16根据题意中的数据，OC最接近．【误区警示】易错点1：圆周长公式1.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n 的大小关系是（）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．不能确定【答案】C【解析】因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长，根据圆周长公式，提取2π后，前后半径的差都是1米，所以m=n．易错点2：面积最值问题2.某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（）A．正三角形B．正方形C．圆D．不能确定【答案】C【解析】当设计成正三角形，则边长是4米，则面积是边长是3米，则面积是9平方米；当设计成圆时，半径是6π米，则面积是36π平方米。
中考数学考前知识辅导：圆
中考数学考前知识辅导：圆知识能添加自己的写作才干、提高自己的创新才干。
以下是查字典数学网小编帮大家搜集的中考数学考前知识，希望对大家有协助。
1.不在同不时线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的外部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，假设两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其他各组量都相等。
11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交 d②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d>r13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.假设两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离d>R+r ②两圆外切 d=R+r③.两圆相交 R-rr)④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)欢迎大家去阅读由小编为大家提供的中考数学考前知识大家好好去品味了吗?希望可以协助到大家，加油哦!。
中考数学考点：圆的知识点汇总考点精讲
中考数学考点：圆的知识点汇总考点精讲中考是初中升高中的一个重要阶段，查字典数学网精心为大家搜集整理了中考数学考点：圆的知识点汇总考点精讲，希望对大家的数学学习有所帮助！中考数学考点：圆的知识点汇总考点精讲1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)21定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22定理把圆分成n(n3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24正n边形的每个内角都等于（n-2）180／n25定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长27正三角形面积3a／4 a表示边长28如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180／n=360化为（n-2）(k-2)=4 29弧长计算公式：L=n兀R／18030扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／231内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)32定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
初中数学有关圆的分类讨论题型解题技巧
初中数学有关圆的分类讨论题型解题技巧
随着新课改推进，近几年中考也发生专门大变化，从过去侧重知识概念考核，逐步过渡到综合能力考查，专门是对数学思想的综合运用。
其中分类讨论确实是一种专门重要数学思想，能够说是全国专门多地点每年中考必考类型，而在不同知识点中，分类讨论的出题方式又不一样。
今天我们就讲讲分类讨论在圆当中的综合运用。
由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情形，经常会导致其答案的不唯独性。
如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外;两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧;圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。
因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
保证原创精品已受版权保护
第八讲小试中考中圆的问题
辅助线秘诀一
已知直径或作直径，我们要想到2件事：
⑴直径上有个隐藏的中点(圆心)
⑵利用圆周角定理构造了直角三角形
辅助线秘诀二
作半径
⑴连半径、造等腰
⑵作过切点的半径
辅助线秘诀三
涉及弦长，弦心距。
可构造垂径定理的模型，为利用勾股定理创造条件。
辅助线秘诀四
切线的证明：
⑴有交点：连半径，证垂直；
⑵无交点：作垂直，证半径.
辅助线秘诀五
已知圆心角度数，要想到同弧所对圆周角的度数，反之亦然。
辅助线秘诀六
出现等弧问题时，我们要想到：
⑴在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等
⑵在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，圆周角也相等
辅助线秘诀七
已知三角函数值或求某个角的三角函数值时：要想到把角放在直角三角形中，没有的话要构造直角三角形
注意：同角或等角的同名三角函数值相等。
辅助线秘诀八
圆中出现内接正多边形时：
作边心距，抓住一个直角三角形来解决问题
辅助线秘诀九
已知两圆相切，常用的辅助线是：
⑴作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系
⑵作连心线。
辅助线秘诀十
已知两圆相交，常用的辅助线是：
⑴作两圆公共弦
⑵作连心线
1。