初中数学微专题讲义 专题5.1 平行四边形与面积的不解之缘

专题01平行四边形与面积的不解之缘【专题综述】平行四边形作为一类特殊的四边形在平面几何中占据着举足轻重的地位，人们烂熟、并善用其边、角、对角线的各种性质，殊不知平行四边形与面积也有着十分亲密的联系，下面就随笔者去欣赏一番.【方法解读】一、平行四边形的一条对角线把平行四边形分为两个面积相等的三角形例1 如图1，平行四边形ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF //BC, GH //AB .图中哪两个平行四边形面积相等?为什么?∴四边形AEPH 、四边形HPFD 、四边形EPGB 、四边形PFCG 、四边形AEFD 、四边形HGCD 是平行四边形，∴由结论一得，ABD BDC S S ∆∆=,PHD PFD S S ∆∆=, BEP BGP S S ∆∆=， ∴ABDPHDBEPBDCPFDBGPS SSSSS--=--，∴AHPEPFCG S S =，∴AHPE HPFDPFCGHPFDSSSS+=+，同理可得ABGHBCFESS=.即图中共有三对面积相等的平行四边形，它们分别为AHPE 与PFCG 、AEFD 与CDHG 、ABGH 与BCFE 面积相等. 【解读】本题首先利用平行四边形的判定定理判定出所有的平行四边形，再根据“平行四边形的一条对角线把平行四边形分为两个面积相等的三角形”可以得出对应的三角形的面积相等，最后根据面积的和差找出面积相等的平行四边形即可.【举一反三】1如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )．A．3; B．6; C．12; D．24【答案】C【解析】∴△OBE≌△ODH，同理可证：△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S阴影=S△BCD，∴S△BCD=12S平行四边形ABCD=12×6×4=12．故选C.二、平行四边形的两条对角线把平行四边形分为四个面积相等的三角形.例2 如图2，平行四边形ABCD的面积是4,K和L分别是AB和CD的中点.AL与KD交于点,N BL与KC交于点M.则四边形KNLM的面积是.解：【解读】本题首先借助辅助线构造出两个平行四边形分别为平行四边形DAKL和平行四边形LCBK，从而由结论二得出△KNL的面积为平行四边形DAKL面积的，同理可得△KML的面积为平行四边形LCBK面积的，综上得出S四边形KNLM=S平行四边形ABCD，即可求出四边形KNLM的面积.【举一反三】1 如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____.【答案】1 4【解析】解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AO=CO，∴∠EAO=∠FCO，∵在△AOE 和△COF 中，,∴△AOE ≌△COF ，∴S 阴影=S △BOF +S △AOE =S △BOF +S △COF =S △BOC =S 平行四边形ABCD . 故答案为14.学￥科&网 三、连接平行四边形边上一点与其对边的两顶点, 把平行四边形分为三个三角形.则两边的两个三角形面积之和等于中间的一个三角形的面积, 均等于平行四边形面积的一半.即如图3有：12ABE DCEBCESSSS ABCD +==. 证明非常简单，这里从略.例3 如图4,ABCD ，AEFG ，BIHE 都是平行四边形，且E 是DC 的中点，点D 在FG 上，点C 在HI 上.△GDA ，△DFE ，△EHC ，△BCI 的面积依次记为1234,,,S S S S ，则( ).A. 1234S S S S +>+B. 1234S S S S +<+C. 1234S S S S +=+D. 12S S +与34S S +大小关系不确定. 解：由结论三知S 1+S 2=S △ADE ，S 3+S 4=S △BEC ， ∵E 是DC 的中点， ∴CE =DE ，∴根据等底等高的三角形面积相等可知ADE BEC S S ∆∆=， 故选C.【解读】本题关键在于将S1+S2利用结论三转化为S△ADE，同理将S3+S4利用结论三转化为S△BCE，即找出S△ADE与S△BCE的关系，通过已知条件不难发现△ADE和△BCE等底等高，所以S△ADE=S△BCE，即S1=S2.【举一反三】1 如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF的位置如图所示，点D在EF上，则平行四边形ABCD和矩形ACEF 的面积S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【答案】B【解析】四、平行四边形内一点与四个顶点连接，把平行四边形分为四个三角形，相对的两个三角形的面积和相等且等于平行四边形面积的一半.即如图5中有:12ABE DCE ADE BCE ABCDS S S S S∆∆∆∆+=+=成立.证明比较简单.这里从略.例4 如图6，以ABC∆的三边为一边，在ABC∆的同侧分别作BCNM,ACGF,ABDE，且点,,D ME 共线，点,,G N F共线.求证:ABDE ACGF BCNMS S S+=.【解读】本题涉及结论三、结论四的应用，由结论三得出12AEM BDM BMA ABDES S S S ∆∆∆+==，12AFN CGN ACN ACGF S S S S ∆∆∆+==，由结论四得12AMB ANC BCNMS S S ∆∆+=,综上可得：111222ABDEACGFBCNMS S S +=,即ABDEACGFBCNMSSS+=.【举一反三】如图，P 为□ABCD 内任意一点，S △P AB =5，S △APD =2，则S △P AC = 。

【答案】3. 【解析】解：∵S △P AB + S △PCD =21S □ABCD = S △ADC , ∴S △P AC = S △ADC －S △PCD －S △APD =21S □ABCD －S △PCD －S △APD = S △P AB －S △APD =3.故答案为3.五、连接平行四边形一条对角线上所在的直线上一点与另一对角线的两端点，两条连线、对角线所在直线、两组临边所构成的两组三角形面积分别相等.即如图7中，点E 是ABCD 的对角线BD 所在的直线上一点，则,AED CED AEB CEB S S S S ∆∆∆∆==.结论根据同底等高的三角形面积相等可证，具体证明过程从略.例5 如图8，点E 是平行四边形ABCD 的对角线DB 的延长线上的一点，且2DB BE =,F 是DC 的中点，EF 交BC 于点G ，若平行四边形ABCD 的面积是20，则AEB ∆的面积是 ，BEG ∆的面积是 .如图8，连接EC ，过点F 作FH //DE 交BC 于点H ， 由结论五可得：S △ABD =S △CEB =5， ∵F 为CD 的中点， ∴FH 是BDC ∆的中位线， ∴2FH BD =，CH =BH ， 又∵2DB BE =， ∴BE FH =，不难证明△BEG ≌△FHG ， ∴BG =GH ， ∴BG ∶BC =1∶4， ∴S △BEG =S △BEG =. 【解读】由结论一可得ADB ∆的面积是平行四边形ABCD 的面积的一半为10，因为2DB BE =，再根据同高三角形的面积比等于底边的比，即可求出AEB ∆的面积是5.如图8连接EC ，由结论五可得CEB ∆的面积是5，此时只需求出线段BG 与BC 的比即可解决问题，如图8过点F 作FH //DE 交BC 于点H ，从而可知FH 是BDC ∆的中位线，所以2FH BD =，又已知2DB BE =，从而得BE FH =.再由FH //DE 得BG GH =，又CH BH =，所以:1:4BG BC =，所以S △BEG =S △BEG =.本题关键在于辅助线的做法，要根据题目已知条件和要求结论灵活选用辅助线的作法.学@科@网【举一反三】1 如图，□ABCD的面积为24cm2，P为对角线AC上一点，连PB、PD，若四边形PBCD的面积为16cm2，则S△APD= .【答案】4 cm2.【解析】以上笔者给出五个平行性四边形与面积有关的结论及试题，旨在抛砖引玉，事实上平行四边形与面积还有很多不解情缘，如平行四边形的面积等分线等等，请聪明的读者朋友呈现给大家!【强化训练】1.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔP AB的面积分别为S、S1、S2.若S=2，则S1+S2= 。

【答案】8.【解析】∵E、F分别为PB、PC的中点，∴EF 12 BC，∴ΔPEF∽ΔPBC，∴SΔPBC=4SΔPEF=8.∵SΔPBC=12S平行四边形ABCD，∴S1+S2=SΔPDC＋SΔP AB=12S平行四边形ABCD=5=8.故答案为8.2.如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为100cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形ABDC的面积是（）A．40 cm2B．60 cm2C．70 cm2D．80 cm2【答案】B【解析】故选B．3．如图，已知M是平行四边形ABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比是（）A．1:5 B．1:6 C．1:7 D．1:8【答案】B【解析】所以12BM BECD DE==,所以1,4BMEDCESS=12BCEBMEDME DCESSS S==,所以16BMEDCBSS=,所以112BMEADCBSS=四边形，因此21126DMEADCBSS==四边形.故选B．4. 如图，M是平行四边形ABCD的AB边中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积的比是（）A. 1：3B. 1：4C. 1：6D. 5：12【答案】A【解析】如图，过E作GH⊥CD，分别交AB、CD于H、G，设EH=h，BM=a，S△BEM=ah=x，∵M是AB中点，∴BM=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=CD=2a，∵AB∥CD，∴△BME∽△DCE，∴EH:GE=BM:CD=1:2，∴GH=3h，5．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（）A. 96B. 48C. 60D. 30【答案】B【解析】过点D作DF⊥AB于点F，∵DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD=BC=5，∠CDE=∠DEA，∠DCE=∠CEB，∴∠ADE=∠AED，∠CBE=∠BEC，∴DA=AE=5，BC=BE=5，故平行四边形ABCD的面积是：4.8×10=48．故选B．学#科5网6. 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，DC上的点，AF与DE相交于点P，FB与EC相交于点B，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．30cm2D．40cm2【答案】D【解析】连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ，同理：S△EFD=S△ADF，∴S△EFP=S△ADP，∵S △APD =15cm 2，S △BQC =25cm 2， ∴S 四边形EPFQ =40cm 2， 故选D ．7. 如图，已知平行四边形ABCD 的面积是32，点0是平行四边形ABCD 对角线的交点，OE ∥AD 交CD 于点E , OF ∥AB 于点F ，那么△EOF 的面积是______________．【答案】4． 【解析】同理CF =BF ,S △BOF =S △COF , ∴S △OEF 21S 四边形OFCE =41S △BCD , ∵平行四边形ABCD 的面积是32, ∴△BCD 的面积是16， ∴S △OEF 41S △BCD =41×16=4． 故答案为4.8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =6，BC =4，∠B =60°，点E 是边AB 上的一点，点F 是边CD 上一点，将平行四边形ABCD 沿EF 折叠，得到四边形EFGH ，点A 的对应点为点C ，点D 的对应点为点G ．则△CEF 的面积____________________．【答案】．【解析】在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA），∴CE=CF，过E点作EP⊥BC于P，如图所示：∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，∴S△CEF=××2=.故答案为：．9.如图，平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠A、∠B，并交于点G，若AE＝10，BG＝5，则平行四边形ABCD面积为．【答案】50【解析】连接BE，根据平行四边形的性质、角平分线的性质可得∠AGB=90°，再根据三角形的面积公式求解即可. ∵平行四边形ABCD,∴∠DAB+∠ABC=180°,∵AE、BF分别平分∠DAB、∠ABC,∴∠GAB+∠ABG=90°,∴∠AGB=90°,∵AE＝10，BG＝5,∴△ABE 的面积2551021=⨯⨯=. ∴平行四边形ABCD 面积为50. 故答案为50.学3科$网10.如图，某村有一个呈四边形的池塘，在它的四个角的顶点A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树，该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又不想移动核桃树，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请你说明理由。