2019-2020年上海进才中学高三下数学周练四
2019-2020学年高三数学 高三数学周练试卷复习.doc
FED 1C 1B 1BCD A 1A2019-2020学年高三数学 高三数学周练试卷复习一．填空题1. 已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x ． 2．集合{}*523M x x N=--∈，则M 的非空真子集的个数是 ．3. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 ．4. 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根5. 不等式11112-≥-x x 的解集为 6. 直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则m=7. 已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅， 则tan x = ．8. 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= ．9.32121212()1,()[()()]0f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足（21x x ≠），则实数m 的取值范围是10. 已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点， (0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ______.12. 已知函数ln ,1()1(2)(),1x x f x x x a x e≥⎧⎪=⎨+-<⎪⎩（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点(,1)A e 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题13.已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（1）求角C 的大小；（2）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．15. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f （x ）=1﹣ax 2（a ＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P （t ，f （t ））．（1）将△OMN（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数S （t ）； （2）若在t=处，S （t ）取得最小值，求此时a 的值及S （t ）的最小值．16.椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．13. 解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， 所以c o s c o s 2C C -=，即22cos cos 10C C +-=故1cos 2C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=．（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ①由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② 由①②解得6,6AC BC ==． 14．证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形．所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 故EF ∥平面PAD ． （Ⅱ）设ACDE H =，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，1333AG AC ==．所以23AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． 又DE PA ⊥，PAAC A =，所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．15. 解：（1）∵曲线f （x ）=1﹣ax 2（a ＞0） 可得f′（x ）=﹣2ax ，P （t ，f （t ））．直线MN 的斜率为：k=f′（t ）=﹣2at ，可得 L MN ：y ﹣f （t ）=k （x ﹣t ）=﹣2at （x ﹣t ）， 令y=0，可得x M =t+，可得M （t+，0）；令x=0，可得y M =1+at 2，可得N （0，1+at 2）， ∴S（t ）=S △OMN =×（1+at 2）×=；（2）t=时，S （t ）取得最小值，S′（t ）==，∴S′（）=0，可得12a 2×﹣4a=0，可得a=，此时可得S （t ）的最小值为S （）===；16. (Ⅰ)由题：12c e a ==； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P(2，1)的距离为：22(2)1d c =++=10． (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．∴所求椭圆C 的方程为：22+143x y =．(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，R(x 0，y 0)．其中y 0＝12x 0．∵A ，B 在椭圆上， ∴220220+12333434422+143A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒==-⨯=-⨯=-⎨-+⎪=⎪⎩．设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32x m +(m ≠0)，代入椭圆：2222+143333032x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+⎪⎩＝-．显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->． ∴﹣12＜m ＜12且m ≠0．由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝233m -．∴|AB|＝1AB k +|A B x x -|＝1AB k +2()4A B A B x x x x +-＝1ABk +243m -．∵点P(2，1)到直线l 的距离表示为：31211ABABm m d k k -+-+==++．∴S ∆ABP ＝12d|AB|＝12|m ＋2|243m -，当|m ＋2|＝243m -，即m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝12．此时直线l 的方程y ＝﹣3122x +．17. 解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则123451,2,1,2,12a a a d a q a d ===+==+34,12(1)2,42S a d q d q =∴++=+=即又3542a a a +=+，(1)(12)22,32d d q d q ++=+=即，解得2,3d q == ∴对于k N *∈，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-⋅=-=⋅故12,21,23,2nn n n k a k N n k*-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩- （2）22(121)2(13)13213k k k k k S k +--=+=-+- （3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由 若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得123232(21)k k k -⋅+⋅=+化简得14321k k -⋅=+，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1(21)(21)223k k k --++=⋅⋅化简得13k k -=令1,()3k k k T k N *-=∈，则111120333k k k k kk k k T T +-+--=-=<因此，1231T T T =>>>，故只有11T =，此时1,2111k m ==⨯-=综上，在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1。
2019-2020学年进才中学高三数学周练4
2019年12月14日高三数学周练4一、单选题例1．若2tan 3α=，则2sin 3sin cos sin 2αααα+=（ ）A ．23B ．116C ．43D ．2【答案】B例2．在直角ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，点M 是ABC ∆外接圆上任意一点，则AB AM ⋅u u u r u u u u r的最大值为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12【答案】D例3．若不等式|x −t|<1成立的必要条件是1<x ≤4，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[2,3] B ．(2,3] C ．[2,3) D ．(2,3) 【答案】A例4．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-【答案】A例5．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D例6．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C例7．设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A例8．侧棱长为a 的正三棱锥P ABC -的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________． 【答案】23a π，例9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．【答案】π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
2019-2020年高三下学期阶段练习四数学试题含答案.doc
2019-2020年高三下学期阶段练习四数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．1. 已知集合{}2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，则R M N I （）ð= . 2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则||a bi += ． 3. 下图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ． 4. 函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,(0)f 的值为 .5. 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 .6. 在ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的__________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=． 当n S 取最大值时，n = ．8. 已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．9. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当[0,1)x ∈时， ()21xf x =-，则0.5(log 6)f 的值为_____．10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．11. 已知圆22(1)9x y ++=与直线3+=tx y 交于B A ,两点，点),(b a P 在直线x y 2=上，且0,1s n ←←第3题图PB PA =,则a 的取值范围为 .12. 在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，BA BC BABC+3BD BD=，则四边形ABCD 的面积是 ．13.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是 ． 14. 已知对于一切x ，y ∈R ，不等式0218281222≥--+-+a y x xy xx 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin sin tan cos cos A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求a b +的取值范围.16. 在正四棱锥S ABCD-中，底面边长为a ，P 为侧棱SD 上的一点.（1）当四面体ACPS 时，求SP PD 的值；（2）在（1）的条件下，若E 是SC 的中点，求证：//BE APC 平面17. 如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在D线段的面积为S 平方米.18，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线M 满足MA MB =． （1（2（319.（1（2（320. n a2n＋1＋a2n＋(n≥1，数学附加题（春第四次阶段练习）1. 若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.2. 已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上． (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．班 级_________ 姓 名_________ 考试号_________3. 如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 与侧面11C C BB 都是菱形，111CC CC 60∠A =∠B =，C 2A =．()I 求证：11CC AB ⊥；()II 若1AB 11C -AB -A 的平面角的余弦值．4.已知(1(*)n n a n N =∈（1）若,)n a a a b Z =+∈，求证a 是奇数；（2）在（1）的条件下，求证对于任意*n N ∈，都存在正整数k ，使得n a =高三数学阶段练习四参考答案1.(]0,12.4. 5.16.充分不必要 7.5 8. 9.12- 10.11.())2,0(0,1⋃- 12. 13. 14.(,6]a ∈-∞ 15.解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+,所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+, 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-,得 sin()sin()C A B C -=- ， …………………4分 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). …………………6分 即 2C A B =+, 得 3C π= ； …………………7分(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.因2sin sin ,2sin sin a R A A bR B B ====,故(sin sin )sin()sin()33a b A B ππαα+=+=++- α=，33ππα-<<，1cos 12α<≤a b <+≤…………………14分 法二：23sin sinsin sin()sin32a b A B A A A A π+=+=+-=)6A π=+ ， 250,66A A ππππ<<<+<，1sin()1,26Aa b π∴<+≤<+≤…………………14分 16.解：（1）设PD x =，设P 作PH BD ⊥于H ，SBD ABCD ⊥平面平面且BD 为交线，则PH ⊥平面ABCD ，又SO ABCD ⊥平面//PH SO ∴， ………………2分在Rt SOB ∆中，SOa ==，…………………4分x PH PD PD SO PH x SO SD SD ⋅=∴==，311()32SPAC S ACD P ACD V V V a a x --∴=-=⨯⨯⨯= ， ………6分解得3x a =221SP PD ∴==.…………………8分 （2）取SP 中点Q ，连结,QE BQ ，则//,,//EQ PC EQ PAC PC PAC EQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面 ， 则//,,//BQ PO BQ PAC PO PAC BQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面， 而EQ BQ 与为平面BEQ 内的两条相交直线，//BEQ PAC ∴平面平面， 而BE BEQ ⊂平面，//BE APC ∴平面．…………14分 17.解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设曲线段BC 所在抛物线的方程为22(0)y px p =>， 将点(1,1)C 代入，得21p =， 即曲线段BC的方程为1)y x =≤≤. …………2分又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程为21(12)y x x =-≤≤. 而2GA x =-，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩…………………6分（2）①当01x <≤时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S xx -'=-=，由0S '=，得23x =， 当2(0,)3x ∈时，0S '>，所以S 递增；当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =时，max S =；……10分 ②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+，所以当54x =时，max 98S =； …………………12分综上，因为989>54x =米时，max 98S =平方米. ………………14分 18．（1）由题设：22111,a b =⎪+=⎪⎩解得2233,2a b ==，∴椭圆C 的方程为2221;33x y += ………………4分 （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b ++=+=+=；…5分 ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，则MA MB =，∴直线OM 的方程为1y x k=-，由2223y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(12)3k x +=，222312A B x x k ∴==+，…………8分 同理22232M k x k ∴=+，222112O A O B O M ∴++= 2221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++⋅+⋅+⋅+++ 22222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++ 2=，10x <<因为()2u t -'=高三数学阶段练习四（附加）参考答案1.解：（1）设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12234A ==-，1213122A --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦， 21582131461122M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………5分 (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得 ()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=． ………………10分2．解：(Ⅰ)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为212cos ρρθ=-，曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； ………………5分(Ⅱ) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π．………… 10分 3．解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …5分 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为＝(3，0，－3)，＝(0，－1，－3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． …7分 设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，因为＝(3，0，－3)，＝ (0，2，0)， 所以取222222000200y x y z +=++=⎪⎩n ＝(1，0，1)． …8分则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1的平面角为钝角， 所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－ 105． …10分4．解：（1）由二项式定理得02233n n n n n n n a C C C C +C =+++…，所以022********n n n n n a C C C C C =+++=+++……，为奇数．……… 4分（2）由（1），设(1,)n n a a a b Z ==+∈(1,)n a a b Z =-∈所以222((1(1(12)(1)n n n n a b a a -=+-==-=-． 当n 为偶数时，2221a b =+，存在2k a =，使得n a a =+==；………8分当n 为奇数时，2221a b =-，存在22k b =，使得n a a =+==综上，对于任意*n N ∈，都存在正整数k ，使得n a 10分。
上海进才中学高三下学期月考数学试卷及答案(2024.03)
1上海进才中学2023学年第二学期高三年级数学月考2024.03一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.若集合}{}21A B x x <=≥，，则A B = ______.2. 数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是______.3. ()8x y −的展开式中26x y 的系数为______.4. 已知函数()()sin 04πf x x =ω+ω>的最小正周期为2π，则ω的值为______.5. 设,a b为单位向量，且||1a b += ，则||a b −= ______________. 6. 方程lg(2)lg(3)lg12x x −+−=的解是______.7. 等比数列{}n a 的前n 项和3n nS a =+，则a 的值为__________. 8. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________. 9. 已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则四棱锥的最大体积为______.10. 设函数21()ln 2f x x ax bx =−−，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为________.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，2413DE =，则ADE 的周长是______. 12. 关于x 的实系数方程2450x x −+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题,满分18分，第13、14题每题4分第15、16题每题5分）13. 已知αβγ，，是三个不同的平面，m n αγ=βγ= ，，则“//m n ”是“//αβ”的2（ ）条件.A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要 14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精进化管理､保障可持进进展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（ ）x2 3 45y 22.33.4mA. 变量x 、y 之间呈正相关关系B. 可以预测当8x =时，y 的值为6C. 3.9m =D. 由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.8515. 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=−，则点A 的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 316. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记′()()g x f x =．若3(2)2f x −，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 1()02g −= C. ()()21f f −= D. ()()12g g −=三、解答题 (本大题满分78分)17. 如图，直三棱柱111ABC A B C −中，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A3（1）证明1A BC 是直角三角形（2）若1A BC1AB =，求直线1A C 与平面11ABB A 所成角的大小18. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++．（1）若23C π=，求B ； （2）求222a b c +的最小值．19. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好 良好 病例组 40 60 对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险4程度的一项度量指标，记该指标为R ． （ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B RP A B P A B =⋅； （ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.82820. 已知点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a −=>−上 （1）求双曲线C 的方程（2）过点A 的互相垂直的两直线与x 轴分别交于点M N ，，求AMN 面积的最小值 （3）已知直线l 交双曲线C 于P Q ，两点，且直线AP AQ ，的斜率之和为0，求直线l 的斜率521. 已知函数()x f x e ax =−和()()ln g x ax x a R =−∈ （1）若函数()y g x =是定义域上的严格减函数，求a 的取值范围. （2）若函数()x f x e ax =−和()ln g x ax x =−有相同的最小值，求a 的值 （3）若1a =，是否存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列6上海进才2023学年第二学期高三年级数学月考2024.03一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.若集合}{}21A B x x <=≥，，则A B = ______.【答案】{}14x x ≤< 【解析】{}{}{}04114A x x Bx x A B x x =≤<=≥∴∩=≤< ，，, 故答案为：{}14x x ≤<.2. 数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是______. 【答案】3【解析】由770% 4.9×=，则数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是该数列从小到大排列后的第5个数3,故答案为：3. 3. ()8x y −的展开式中26x y 的系数为______. 【答案】28【解析】因为()8x y −的展开式的通项公式为()818r r r r T C x y −+=−，当6r =时，此项为6268C x y ，则26x y 的系数为6828C =，故答案为：28.4. 已知函数()()sin 04πf x x =ω+ω> 的最小正周期为2π，则ω的值为______.【答案】4【解析】因为()()sin 04πf x x =ω+ω> 的周期为2π，所以22ππω=，解得4ω=. 故答案为：4.5. 设,a b为单位向量，且||1a b += ，则||a b −= ______________.7【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==所以1a b +=== 解得：21a b ⋅=−所以a b −=6. 方程lg(2)lg(3)lg12x x −+−=的解是______. 【答案】x=1−【解析】由方程lg(2)lg(3)lg12x x −+−=，可得[]lg (2)(3)lg12x x −−=， ()()20302312x x x x −>∴−> −−=，解得x=1−.故答案为：x=1− 7. 等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则a 的值为__________. 【答案】1−【解析】根据题意，等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则1133a a a =+=+， ()()()()232221332336,3318a S S a a a S S a a =−=+−+==−=+−+=，则有()31836a +×=，解可得1a =−，故答案为：1−8. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________. 【答案】23【解析】从2至8的整数有2,3,4,5,6,7,8，互质的两个数有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14对， 所以随机取2个数，互质的概率为271423=C .故答案为：23. 9. 已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则8四棱锥的最大体积为______. 【答案】643【解析】画出图形，如图所示：设PE ⊥底面ABCD 于点E ，则E 为正方形ABCD 的中心，则AE =，因为该球的表面积为36π，则2436πr π=，所以该球的半径r 为3，则1OE =，则四棱锥的最大体积为21644433××=，故答案为：643. 10. 设函数21()ln 2f x x ax bx =−−，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为______. 【答案】【解析】()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=−−， 由()'00f =，得1b a =−，所以()()()11'ax x f x x+−=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增， 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点； ②若a <0，由()'0f x =，得1x =或1x a =−.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a−>，解得10a −<<， 综合①②：a 的取值范围是1a >−，故答案为()1,−+∞.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，2413DE =，则ADE 的周长是______.9【答案】4【解析】如图， 椭圆()222210x y C a b a : b +=>>的离心率为12，∴不妨可设椭圆2222143x yC c :c+=，2a c =，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，∴12AF F △为等边三角形，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E两点，tan 30°DE k ==， 由等腰三角形的性质可得，2||||AD DF =，2||||AE EF =， 设直线DE方程为)yx c +，1(D x ，)1y ，(2E x ，)2y ， 将其与椭圆C 联立化简可得，22138320x cx c +−=， 由韦达定理可得，12813c x x +=−，2123213c x x =−，248241313DE x c =−==, 解得12c =，ADE 的周长等价于22148842DE DF EF a c ++===×=.故答案为：412. 关于x 的实系数方程2450x x −+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______. 【答案】{}(01)1∪−，【解析】因为2450x x −+=的解为2x i=±， 设所对应的两点分别为,A B ，则(21)A ,，(21)B ,−，10设220x mx m ++=的解所对应的两点分别为C ，D ，记为(1C x ，12y )D(x ，，2)y ，当0∆<，即01m <<时，因为,A B 关于x 轴对称， 且C ，D ，关于x 轴对称，显然四点共圆；当0∆>，即1m >或0m <时，此时(1C x ，20),D(x ，0)，且122x x m +=−，故此圆的圆心为(,0)m −，半径12||2x x r −==，又圆心1O 到A 的距离1O A r =，解得1m =−，综上：{}1(01)m ∈∪−，, 故答案为：{}(01)1∪−，. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分）13. 已知αβγ，，是三个不同的平面，m n αγ=βγ= ，，则“//m n ”是“//αβ”的（ ）条件.A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要 【答案】B【解析】如图，将αβγ，，平面视为一个三棱柱的三个侧面， 设a α∩β=，a m n ，，为三棱柱三条侧棱所在的直线， 则由//m n 得不到//αβ若//αβ，且m n αγ=βγ= ，，由面面平行的性质定理可得//m n 所以是必要非充分条件故选：B14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精进化管理､保障可持进进展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到11y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（ ）x2 3 45y 22.33.4mA. 变量x 、y 之间呈正相关关系B. 可以预测当8x =时，y 的值为6C. 3.9m =D. 由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.85 【答案】C【解析】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+， 故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =×+=，B 对； 对于CD 选项，23453.54x+++== ，则0.7 3.50.4 2.85y =×+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85， 另一方面，2 2.3 3.4 2.854my +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.故选：C.15. 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=−，则点A 的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由已知(1,0)F ，设200,4A y y ， 则200,4y OA y = ，2001,4y AF y =−− ， 由222000014,244y y OA AF y y ⋅⋅−−==−∴=±，()1,2A ∴±故选：C16. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记′()()g x f x =．若3(2)2f x −，.12(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 1()02g −=C. ()()21f f −=D. ()()12g g −=【答案】B【解析】3(2)2f x − 为偶函数，∴可得33(2)(2)22f x f x −=+，()f x ∴关于32x =对称，()()25f f −=，故C 不正确；(2)g x + 为偶函数，(2)(2)g x g x ∴+=−，()g x 关于2x =对称，故D 不正确； ()f x 关于32x =对称，32x ∴=是函数()f x 一个极值点， ∴函数()f x 在3,2t处的导数为0，即33()()022g f =′=，又()g x ∴的图象关于2x =对称，53()()022g g ∴==，∴函数()f x 在5,2t的导数为0，52x ∴=是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，5,2t ∴ 关于32x =的对称点为1,2t，由52x =是函数()f x 的极值点可得12x =是函数()f x 的一个极值点，11()()022g f ∴=′=，进而可得17()()022g g ==，故72x =是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，7,2t ∴ 关于32x =的对称点为1,2t − ，11()()022g f ∴−=′−=，故B 正确；()f x 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A 错误．故选:B 三、解答题 (本大题满分78分)17. 如图，直三棱柱111ABC A B C −中，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A的.13（1）证明1A BC 是直角三角形（2）若1A BC1AB =，求直线1A C 与平面11ABB A 所成角的大小【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）连接1AB ，111ABC A B C − 是直三棱柱，111AA AB AB A B =∴⊥,， 因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，且平面1A BC ∩平面1111,ABB A A B AB =∴⊥平面1A BC ， 又BC ⊂平面1A BC ，所以1AB BC ⊥，又111,AA BC AA AB A BC ⊥=∴⊥ ，平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥，则1A BC 是直角三角形；（2）由题意知1AB =，11111,22A BC AA AB S BC BC ∴==∴= ，由（1）知BC ⊥平面11ABB A ，则直线1A C 与平面11ABB A 所成角的大小为1BA C ∠，11tan BC BA C A B ∠=，则直线1A C 与平面11ABB A所成角的大小为18. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++．（1）若23C π=，求B ； （2）求222a b c+的最小值．14【答案】（1）6π； （2）5−． 【解析】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 2cos 2cos A B B B BA B B B===++， 即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =−=+=−=，而02πB <<，所以6πB =； （2）由（1）知，sin cos 0B C =−>，所以,022ππC πB <<<<， 而sin cos sin 2πB C C =−=− ，所以2πC B =+，即有22πA B =−，所以3,424B 0,C ,πππ ∈∈所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++−== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B B B −+−==+−≥−=−．当且仅当2cos B =时取等号，所以222a b c +的最小值为5−． 19. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好 良好 病例组 40 60 对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险15程度的一项度量指标，记该指标为R ． （ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B RP A B P A B =⋅； （ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）答案见解析 （2）（i ）证明见解析； (ii)6R =； 【解析】（1）由已知222()200(40906010)24()()()()50150100100n ad bc K=a b c d a c b d −×−×=++++×××， 又2( 6.635)0.01P K =≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因(|)(|)()()()()(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R =P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅， 所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅，所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅， (ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =， 所以(|)(|)6(|)(|)P A B P A B R =P A B P A B =⋅20. 已知点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a −=>−上 （1）求双曲线C 的方程为16（2）过点A 的互相垂直的两直线与x 轴分别交于点M N ，，求AMN 面积的最小值 （3）已知直线l 交双曲线C 于P Q ，两点，且直线AP AQ ，的斜率之和为0，求直线l 的斜率【答案】（1）2212x y −= （2）1 （3）1−【解析】（1）将点()2,1A 代入曲线方程()2222:111x y C a a a −=>−，解得22a =, 则双曲线C 的方程为2212x y −= （2）设AM 的方程为()12y k x −=−，则AN 的方程为()112y x k−=−− 令0y =，得()12,0,2,0,M N k k −++ 则111121222ΔAMN M N S x x k k =−=+≥×= 当且仅当1k k =，即1k =±时，AMN 面积的最小值为1当斜率不存在时，不构成三角形，则AMN 面积的最小值为1 （3）已知直线l 的斜率存在，设()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+联立方程组2212x y y kx m −= =+ , 可得()222124220k x mkx m −−−−=，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−()()222216422210Δm k m k ∴=++−>即22120m k −+>由直线,AP AQ 的斜率之和为0可得212111011y y x x −−+=−− 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−= 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=17所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +−+−−−−=−− 化简得()()()28444101210k k m k k k m +−++=⇒+−+=，所以1k =−或12m k =− 当12m k =−时，:12l y kx m kx k =+=+−过点()2,1A 与题意不符，所以1k =− 21. 已知函数()x f x e ax =−和()()ln g x ax x a R =−∈ （1）若函数()y g x =是定义域上的严格减函数，求a 的取值范围. （2）若函数()x f x e ax =−和()ln g x ax x =−有相同的最小值，求a 的值 （3）若1a =，是否存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【答案】（1）(],0−∞ （2）1 （3）存在【解析】（1）()()()1ln 0,0g x ax x x g x a x=−′>∴=−≤ 恒成立，因为10x>，所以0a ≤，则a 的取值范围为(],0−∞； （2）()f x 定义域为R ，()x f x e ax =− ，()x f x e a ′∴=−， 若0a ≤，则()0f x ′>，()f x 单调递增，无最小值，故0a >， 当()0f x ′=时，ln x a =，当ln x a <时，()0f x ′<，函数()f x 在(,)lna −∞上单调递减， 当ln x a >时，()0f x ′>，函数()f x 在(,)lna +∞上单调递增， 故min ()()ln f x f lna a a a ==−，()g x 的定义域为(0,)+∞，()ln g x ax x =− ，1()g x a x ′∴=−，令()0g x ′=，解得1x a=， 当10x a <<时，()0g x ′<，函数()g x 在1(0,)a上单调递减，18当1x a >时，()0g x ′>，函数()g x 在1,a +∞上单调递增，故min ()1ln g x a =+， 函数()x f x e ax =−和()ln g x ax x =−有相同的最小值，ln 1ln a a a a ∴−=+， 0a > ，ln 1ln a a a a ∴−=+化为1ln 01a a a −−=+， 令1()ln 1x h x x x −=−+，0x >，则222211(1)121()(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x ′+−−+=−=−=+++， 0x > ，221()0(1)x h x x x +′∴=>+恒成立，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增， 又()()()10,1h h a h =∴= ，仅有此一解，1a ∴=；（3）由（2）知1a =，函数()x x f e x −=在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 函数()ln g x x x =−在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 设()()()2ln (0)x u x f x g x e x x x =−=−+>，则1()22x x u x e e x ′−+>−，当x 1≥时，()20u x e ′≥−>，所以函数()u x 在(1,)+∞上单调递增，因为()120u e =−>，所以当x 1≥时，()()10u x u ≥>恒成立，即()()0f x g x −>在x 1≥时恒成立， 所以x 1≥时，()()f x g x >，因为(0)1f =，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()11g =，函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以函数()f x 与函数()g x 的图象在(0,1)上存在唯一交点，19设该交点为(m ,())(01)f m m <<，此时可作出函数()y f x =和()y g x =的大致图象， 由图象知当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，直线y b =必经过点(M m ,())f m ，即()b f m =， 因为()()f m g m =，所以ln m m m m e −=−， 即2ln 0m e m m −+=， 令()()f x b f m ==得ln x m m e x e m m −=−=−，解得x m =或ln x m =，由01m <<，得ln 0m m <<， 令()()g x b f m ==得ln ln m x x e m m m −=−=−，解得x m =或m x e =，由01m <<，得1m m e <<，所以当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln m ，m ，m e ，因为2ln 0m e m m −+=，所以ln 2m m m e +=，所以ln m ，m ，m e 成等差数列．∴存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．的。
2019-2020年高三数学下学期周练试题
2019-2020年高三数学下学期周练试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A． B． C． D．3．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm34．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称5．在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数t的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤57.若实数满足10310x yx yy x-+≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则的最大值是（）A． -3 B． C. D．8.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（）A．4 B． -4 C.6 D．-69.已知函数：①，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图像均关于点成中心对称 B．两函数的图像均关于直线对称C.两个函数在区间上都是单调递增函数D．可以将函数②的图像向左平移个单位得到函数①的图像10. 已知是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A ． 3B ． C. 2 D ． 11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、 侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是 A ． B ． C. D ．12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是 由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是：（ ） A ．①③ B ．①③④ C. ②③ D ．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，若，则 ． 14.在中，，则 ．15. 在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 ．16.椭圆的上、下顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 ．三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.） 17.已知，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列 ．（1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前项和为，求证：．18.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁）100150300（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8，7、9.3、9.0、8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．19.如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点．将分别沿折起，使两点重合于点，连结．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．20. 如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点． （1）求抛物线的方程及准线的方程；（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线交于点，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21.设函数()()21xa x ax a f x e --+=．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，的最大值为，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，直线的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲设．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．江西省樟树中学xx 届文科数学答题卡姓名： 班级： 成绩：一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）13． 14．15． 16．三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答写在对应框内。
上海市进才中学高三数学测试题(4)
上海市进才中学高三数学测试题（4）一、填空题1． 将函数x a y +=3的图象C 向左平移一个单位后，得到)(x f y =的图象C 1，若曲线C 1关于原 点对称，那么实数a 的值为________.2．设函数)2(log ,2)9()1,0(log )(91-=≠>=f f a a x x f a 则满足的值是_________. 3．已知函数)(x f y =在定义域)0,(-∞内存在反函数，且=-=--)3(,2)1(12fx x x f 则_____. 4．已知43)1(+=+x x f ，则)1(1+-x f =________________.5．设函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，函数c bx x x g ++-=2)(且21)12()22(=+-+f f ， )(x g 的图象过点)5,4(-A 及)5,2(--B ，则a =_______；函数)]([x g f 的定义域为_________. 6．已知}2,1{},1,3{-=-=b a ，且)2(b a +∥R b a ∈+λλ),(，则λ的值为_________.7．在△ABC 中，2=AB ，3=BC ，7=AC ，则△ABC 的面积为_____，△ABC 的外接圆的 面积为___________.8．函数)( )]4cos()4[sin()4(cos 2)(22R x x x x x f ∈+++--=πππ的最小正周期是_________； 当函数)(x f 取得最大值时，自变量x 的集合是________________.9．在公差为)0(≠d d 的等差数列}{n a 及公比为q 的等比数列}{n b 中，已知111==b a ， ,22b a =38b a =，则d =__________；q =__________.10．定义运算：bc ad d c b a -= ，若复数),(R y x yi x z ∈+=满足111 z 的模等于x ，则复数 z 对应的点),(y x Z 的轨迹方程为__________________；其图形为_______________.11．若x 、y 满足约束条件y x y x y x 2,012,0,0+⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥则的最大值为 .12．正方体1111D C B A ABCD -中，21=AA ，E 为棱1CC 的中点.则：(1)二面角C AB E --的平面角的正切值是________;(2)二面角B AE C --的平面角的正切值是________;(3)点1D 到平面EAB 的距离是_________.二、选择题13．函数12)(+-=x x f ,对任意正数ε,使ε<-|)()(|21x f x f 成立的一个充分不必要条件是( )(A) ε<-||21x x (B) 2||21ε<-x x (C) 4||21ε<-x x (D) 4||21ε>-x x14．以下命题正确的是( )(A)βα,都是第一象限角，若,cos cos βα>则βαsin sin >(B)βα,都是第二象限角，若βαsin sin >，则βαtan tan >(C)βα,都是第三象限角，若,cos cos βα>则βαsin sin >(D)βα,都是第四象限角，若βαsin sin >，则βαtan tan >15．在ABC ∆中，A B 2cos 2cos >，是A >B 的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）即不充分也不必要条件16．如图，O 为直二面角βα--MN 的棱MN 上的一点，射线OE ，OF分别在βα,内，且∠EON =∠FON =45°，则∠EOF 的大小为( )（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°2004年上海市进才中学高三数学测试题（B ）一、填空题1．若=+=-+αααα2tan 2cos 1,2003tan 1tan 1则 . 2．等差数列}{n a 公差不为零，且5a ，8a ，13a 是等比数列}{n b 的相邻三项，若152=b ，则=n b ． 3．设等比数列)1}({1>-q q n 的前n 项和为n S ，前n +1项的和为1+n S ，则1lim+∞→n n n S S =_________. 4．从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中: (1)甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种 数为 ; (2)甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为 ;5．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则 确定不同椭圆的个数为 .6．若()()(),2log 1N n n a n n ∈+=+我们把使乘积n a a a 21为整数的数n 叫做“劣数”，则在区 间()2004,1内所有劣数的和为 .7．(1)设0,>b a ，且12=+b a ，设222b a ab T --=,则当a =_____且b =_____时，max T =_______.(2)设0,>b a ，且12=+b a ，设2242b a ab T --=,则当a =_____且b =_____时，max T =______. 8．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于________. 9．在一个棱长为cm 65的正四面体内有一点P ，它到三个面的距离分别是1cm ，2cm ，3cm ，则 它到第四个面的距离为_______________cm.10．在正三棱锥P —ABC 中，M 、N 分别是侧棱PB ，PC 的中点，若截面AMN ⊥侧面PBC ，则 此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是________.11．如图，矩形ABCD 中，3=DC ，1=AD ，在DC 上截取1=DE ，将△ADE 沿AE 翻折到D '点，当D '在平面ABC 上的射影落在AE 上时，四棱锥ABCE D -'的体积是________；当D '在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角B AE D --'的平面角的余弦值是_________.12．已知l m ,是异面直线，那么:①必存在平面α，过m 且与l 平行；②必存在平面β，过m 且与l 垂直；③必存在平面γ，与m ，l 都垂直；④必存在平面π，与m ，l 的距离都相等. 其中正确的结论是 .二、选择题13．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为( )(A) )(42Z k k ∈-ππ (B) )(42Z k k ∈+ππ (C) )(42Z k k ∈±ππ (D) )(42Z k k ∈+ππ 14．在下列四个函数中，当121>>x x 时，能使()()[])2(212121x x f x f x f +<+成立的函数是( ) (A) 211)(x x f = (B) 22)(x x f = (C) x x f 2)(3= (D) x x f 214log )(=15．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有 的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是 （ C ）(A)22≤≤-t (B)2121≤≤-t (C)022=-≤≥t t t 或或 (D)02121=-≤≥t t t 或或 16．在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )(A) 29 (B) 3 (C) 556 (D) 2上海市进才中学高三数学测试题（A ）参考答案一、填空题1．1-； 2．2； 3．2-； 4．x 31； 5．2;)3,1(-； 6．21； 7．233；37π； 8．π;},83|{z k k x x ∈+=ππ; 9．5; 6； 10．)21(22-=x y ;抛物线； 11．2； 12．552)3(;3)2(;21)1( 二、选择题13．C ； 14．D ； 15．C ； 16．C2004年上海市进才中学高三数学测试题（B ）参考答案一、填空题1．2003； 2．1)35(9-⨯=n n b ； 3．q 1； 4．(1)96041236=P C C (2) 132********=+P C C P ； 5．18; 6．2026； 7．(1)21；21；21.(2) 41；21；2122-； 8．2； 9．4； 10．5； 11．12262-；32-; 12．①④ 二、选择题13．B ； 14．A ； 15．C ； 16．D。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题四及答案
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题四及答案创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确） 1．设集合A=｛直线｝，B={双曲线}，则集合B A 的元素的个数为A ．0B ．0或1或2C ．0或1D ．1或2 2．复数1iz i=+的共轭复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“32b a >是“64b a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点(x ，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．06．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为为A ．3B ．6C ．9D ．127．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,若C a c b cos 21=-，则A ．c,a,b 成等差数列 B.A,B,C 成等比数列 C ．C,A,B 成等差数列 D.c,a,b 成等比数列8．市内某公共汽车站10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是A ．240B ．480C ．600D ．7209 9． 点P 是双曲线2222221222x y a bC :-=1(a>0,b>0)与圆C :x +y =a +b 的一个交点,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为A1BCD ．110． 如图，点p 是球O 的直径AB 上的动点，PA x =，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则()y f x =的图像是二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11．数列{}n a 中，6,321==a a ，2+n a 是1+⋅n n a a 的个位数，则=2013a . 12．在△ABC 中，若AC AB BC 2,2==,则BA BC ⋅的取值范围为. 13．如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间（－1，0）上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是. 14．已知是椭圆22+=11612x y 的右焦点，点M 在椭圆上，当||||MF MA +取得最小值时，点M 的坐标为. 15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若函数kx x f y -=)(有三个零点， BOB ．C ．D ．则k 的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=． 17．（本小题共12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率. 18．（本小题共12分） 已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题共12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （2）求二面角B AC M --的的余弦值; （3）求三棱锥MAC P -的体积.20．（本小题共13分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．21．（本小题共14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值； (3)求数列{S n }的通项公式．参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBACBCBAA11． 812．)8,38(13．4514．)3,2(-15．⎪⎭⎫⎝⎛1,21三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：(1))3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+=由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ. 所以f(x)的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ(2)因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A因为Bb A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . 因为a>b ，3π=A ，6π=B ，2π=C .所以B C 3=．17．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （2）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ=== 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=所以商家拒收这批产品的概率为2795 18．解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p .此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y xm y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……① 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k .……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k .……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .19．（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即2200032z z z π=+，解得01z =∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则111101022y z y z +=⎧-=⎩，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为721 （3）取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离113CA n h n ⋅== ∵1,1PC PM ==，∴11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯=20．（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（3）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，．21．解：(1)5)20(,3)6(==g g . …………2分(2)211)2()1(1=+=+=g g S ；61311)4()3()2()1(2=+++=+++=g g g g S ；)8()7()6()5()4()3()2()1(3g g g g g g g g S +++++++=.2217351311=+++++++=…………6分(3)由(1)(2)对*N m ∈，m 与2m 的奇数因数相同，则)()2(m g m g =． ………8分所以当2≥n 时，)4()3()2()1(g g g g S n +++=)2()12(n n g g +-++114--+=n n S ……11分于是114--=-n n n S S ，*,2N n n ∈≥.所以112211)()()(S S S S S S S S n n n n n +-++-+-=---3234241)41(41+=+--=-n n ，*,2N n n ∈≥. (13)分 又21=S ，满足上式，所以对*N n ∈，)24(31+=n n S . …………14分。
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3
3
众 图像，且 f x 的解析式型如 ax b (a , b R) ，则有序实数对 a , b x
。
12．已知 f x ax2 bx c 在 0，1 上满足 f x 1 ，则 a b c 的最大值是
公 二、选择题（本题满分 20 分，共有 4 题，每小题 5 分） 信 13．过点 (1，2) 且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的一般式方程是 （
微13．过点 (1，2) 且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的一般式方程是 5 3
（ A） x 1 y 2
（ B ） 5x 3y 11 0
（ D ）。
5 3
（ C ） 3(x 1) 5( y 2) 0
（ D ） 3x 5y 13 0
14．若函数 y x2 4x 2 的定义域为 0 ，m ，值域为 6 ， 2 ，则 m 的取值范围是（ B ）。
： 平面 PCD 所成的角为 45 ， PB 与平面 ABD 成 30 角，求：
号 （1）求 PB 与 CD 所成的角；
（2）求二面角 C PB D 的余弦值。
众
公
信
微
2
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 如图，已知 A , B , C 是长轴为 4 的椭圆上三点，点 A 是
SHXINGAOKAO 可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由。 ：
号 众 公 信 微
4
上海市进才中学 2019 学年第二学期高三数学周练四
命题教师、审题教师
20200314
一、填空题（本题满分 54 分，共有 14 题，1~6 每小题 4 分，7~12 每小题 5 分）
已知函数 y f x ， x R 满足 f x 1 af x ， a 是不为 0 的实常数。 （1）若 a 1，试问：函数 y f x ， x R 是否可能具有单调性？请说明理由； （2）若当 0 x 1时， f x x1 x ，且函数 y f x 在区间[0， ) 上的值域是 闭区间，求 y f x 在区间[0， ) 上的值域； （3）若当 0 x 1时， f x 3x 3x ，试研究函数 y f x 在区间 [0， ) 上是否
S 10 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 设 向 量 OA (1，2)，OB (2，1) ， 若
： OP x OA y O且B 1 x y 2 ，则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是
。
号 11.已知：将双曲线 x2 y2 1的图象绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 ，得到函数 f x 的
。 ）。
微（ A ） x 1 y 2
5 3
（ B ） 5x 3y 11 0
5 3
（ C ） 3(x 1) 5( y 2) 0
（ D ） 3x 5y 13 0
14．若函数 y x2 4x 2 的定义域为 0 ，m ，值域为6 ， 2，则 m 的取值范围是（ ）。
（ A ）（0，4]
x
，令 t
2sin2
x
0
，3 2
，
y
1 a t
，………10
分
t
G 当
a
0
，9 4
时，当
t
a 时，最大值为 1 ；当 a 9 时，当 t 3 时，最大值为 6 。…14 分
2a
4
2
4a 9
SHXIN 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满
f
x 的解析式型如 ax b (a
x
,
b R) ，则有序实数对 a
, b
3 3
,
3 2
。
公 12．已知 f x ax2 bx c 在0，1 上满足 f x 1 ，则 a b c 的最大值是17 。
信 二、选择题（本题满分 20 分，共有 4 题，每小题 5 分）
众 则 PB 与平面 PCD 所成的角为 BPC 45 ，则 BC CP 2 ，…2 分
因 PD⊥平面 ABCD ，故 PB 与平面 ABD 所成的角 PBD 30 ， 又 PB 2 ，则 PD 1，BD 3 ，则 CD 1。……………………4 分
P
由 CD∥ AB ， PB 与 CD 所成的角为 PBA ，显然 PBA 60 。7 分 （2）过 C 作 CE DB 于 E ，过 E 作 EF PB 于 F ，连 FC ，
已知函数
f
(x)
sin
x cos(
x)
cos
x sin(
x)
cos(2x
)，
2
2
（1）求函数 f (x) 的对称轴、单调递增区间；
AO （2）当常数
a
0
时，求函数
g(x)
a
f
(x) f 2 (x)
在
0
，π 3
上的最大值。
SHXINGAOK 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 如图，矩形 ABCD ，PD⊥平面 ABCD ，若 PB 2 ，PB 与
。
(0 an 1)
： （1）若 a3 4 ，求 m 的值；
（2）若 m 2 ，求数列{an} 的前 n 项的和 Sn ；
号 （3）当 n , k N* 时，判断“ m k2 1 ”是“ an an2k1 恒成立”的什么条件？请 众 说明理由。
公
信
微
3
21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。
上海市进才中学 2019 学年第二学期高三数学周练四
一、填空题（本题满分 54 分，共有 14 题，1~6 每小题 4 分，7~12 每小题 5 分）
1．
lim
n
(3)n (3)n
2n 2n
。
2．抛物线 x2 4y 的准线方程是
。
3．若 z 2m2 3m 2 m2 3m 2 i （ i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 m 的值是 。
IN 8．已知 A 、B 两点在半径为 R 的球面上，点 A 位于东经15 ，北纬 45 ，点 B 位于东经 75 ，
北纬 45 ，则 A 、 B 两点的球面距离
。
X 9．对于实数 x ，当且仅当 n x n 1n Z 时，规定x n ，则不等式 4x2 36x 45 0
H 的解集是
。
C
实数 ，使 PQ AB ？请给出证明。
图 15-16
XINGAOKAO 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2
小题满分 6 分。
SH 已知数列{an}满足 a1
m(m 0 ,
m
1)
，
an 1
an 1
1
an
(an 1)
每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S ，周长为 l ，则
（ B ）。
（ A ） S 为定值， l 不为定值
（ B ） S 不为定值， l 为定值
（ C ） S 与 l 均为定值
（ D ） S 与 l 均不为定值
三、解答题（本题满分 76 分，共有 5 小题）
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分
（ B ）[2，4]
（ C ）（0，2]
（ D ）（2，4）
15．4 位男生和 4 位女生围成一个圆圈进行舞蹈表演，男女相间的不同排法共有 （ ）。
（ A ） 576 种
（ B ） 288 种
（ C ）144 种
（ D ） 96 种
1
16．若 ABCD A′B′C′D′是正方体，任作平面 与对角线 AC′垂直，且使得 与正方体的
每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S ，周长为 l ，则
（ ）。
（ A ） S 为定值， l 不为定值
（ B ） S 不为定值， l 为定值
（ C ） S 与 l 均为定值
（ D ） S 与 l 均不为定值
三、解答题（本题满分 76 分，共有 5 小题）
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分
10 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 设 向 量 OA (1，2)，OB (2，1) ， 若
： OP x OA y O且B 1 x y 2 ，则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是 5 。 2
号 11.已知：将双曲线 x2 y2 1的图象绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 ，得到函数 f x 的
（ A ）（0，4]
（ B ）[2，4]
（ C ）（0，2]
（ D ）（2，4）
15．4 位男生和 4 位女生围成一个圆圈进行舞蹈表演，男女相间的不同排法共有 （ C ）。
（ A ） 576 种
（ B ） 288 种
（ C ）144 种
（ D ） 96 种
16．若 ABCD A′B′C′D′是正方体，任作平面 与对角线 AC′垂直，且使得 与正方体的
OK 5．
x2
1 x
10
的展开式中二项式系数最大的项的系数是
252
。
1 cos
A 6．若 0，π ，且 0 cos G 1 sin
sin sin 0 ，则 π 。
4
cos
IN 7．已知 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，S3 21，S6 24 ，则数列 an 的前10 项的和是 50 。