高考数学模拟试题(带答案理科)-最新教育文档
高三数学(理科)模拟试题(含答案)
高三数学（理科）模拟试题（含答案）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（***） A ．=M N B ．M ⊂≠ N C ．N ⊂≠ M D ．M N =∅I 2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）A ．真，假，真B ．真，真，假C ．假，假，真D ．假，假，假3. 已知平面向量r a ，r b 是非零向量，2=r a ，()2⊥+r r r a a b ，则向量r b 在向量ra 方向上的投影为（***）A.1- B. 1 C. 2-D. 24. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin()2π=-f x x x 零点的个数是（***）A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12π=x 处取得最大值，则函数3π⎛⎫=+⎪⎝⎭y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0B ．2019C ．4038D ．40408．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（***） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 函数()2112---=x x x f 的值域是（***）A. 44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=o BAC ，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（***）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x D. 221144⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x 11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率（***）A ．3 B ．3C D. 2 12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=r a m n ，()1,1=rb ，则满足1-≤r r a b 的概率是***．14. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311+=+n n A n B n ，则25837++=+a a a b b ***．15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (0<Y<2)=p ，则P (Y>4)=***． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222=+b a c ，当()tan -B A 取最大值时，角A 的值为***．三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n nb b b b )12(73321-++++Λ=n a ，求数列{}n b 的通项公式.18. （本小题满分12分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1+=x y C a b（0a b >>）的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(1,3)P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，分别与曲线C 交于,,A B C 三点(不包括极点O )，其中(,)44ππϕ∈-． （Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若,B C 两点在直线l 上，求m 与α的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4π 14. 215 15. 0.1 16. 6π三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由241-=+-n a a n n （2≥n ）可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ，则10-+=n n c c ，即1-=-n n c c . 因为12=a ，所以1120=-=c a ， 所以0=n c ，即20-=n a n ，故2.=n a n ……6分 （若用不完全归纳，没有证明，可给4分） （Ⅱ）由()1233721++++-=L n n n b b b b a ，可知()()11231137212---++++-=≥L n n n b b b b a n ， 两式作差得()()12122--=-=≥n n n n b a a n ， 即()2221=≥-n nb n . ……10分 又当1=n 时，也112==b a 满足上式， ……11分 故221=-n nb . ……12分18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设日销售量为x ，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4Px ≤=⨯+⨯=，……1分()1500.005500.25P x ≥=⨯=，……2分()22240.40.250.06.P A C ∴=⨯⨯=……4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBACBCDAA（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P ，则()~4,0.6B ξ.……6分于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k Pk C k ξ-==⨯⨯=……8分则分布列为ξ1234P16625 96625 216625 216625 81625……10分()16962162168101234 2.4.625625625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）//平面l PAC . ……………1分证明如下：//Q EF AC ，AC ABC ⊂平面，EF ABC ⊄平面，//平面∴EF ABC . ……………2分又EF BEF ⊂平面，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，//∴EF l ． ……………3分而,l PAC EF PAC ⊄⊂平面平面，//平面∴l PAC ． ……………………4分（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结D E ，FB ．由（Ⅰ）知，//BD AC ，而,AC BC BD BC ⊥∴⊥．Q PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥．而PC BC C =I ，,BD PBC ∴⊥平面 又FB PBC ⊂Q 平面，BD BF ∴⊥，FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角． ………………8分1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠．注意到0,0cos 12ABC ABC π<∠<∴<∠<，tan 1FBC ∴∠>．02FBC π<∠<Q ，(,)42FBC ππ∴∠∈，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． ………………12分解法二：由题意，AC ⊥BC ，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB =2，BC =t (02)t <<，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -，2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-u u u r u u u r. …………6分设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r 得22040ty z t x -+=⎧⎪-=，取2y =得(0,2,)m t =u r ． 易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =r， …………8分设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角．22||2cos (0,)2||||441m n m n tt θ⋅===⋅++u u r u u r u r r ， …………11分42ππθ∴<<，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． …………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知(,0)-F c ，直线AB 的斜率存在.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221+=x y a b ①，2222221+=x y a b②①—②，化简得2221222212--=-y y b a x x ③ 又因为离心率为2，所以2212=b a . …………2分又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以1243+=-x x ，1223+=y y ，12121323-=--+y y x x c ，代入③式，得1213324233⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c ，解得1=c . …………5分 再结合222-=a b c ，解得22=a ，21=b ，故所求椭圆的方程为2212+=x y . …………6分（Ⅱ）证明：设00(,)M x y ，由对称性，设00>y ，由2212+=x y ，得椭圆上半部分的方程为=y'()=-=y x ，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以12==-l x k y ， 所以01000:()2-=--x l y y x x y ， ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以0201:(1)+=-+x l y x y ， ⑤………10分 联立④⑤，消去y ，得220000122+=----x x x y x x ，又220012+=x y ，所以002202+⋅++=x x x ，从而可得2=-x ，所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上． …………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x af x x x+'=+=．…………………1分（1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．…………………2分 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,+)-∞a ．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；………………4分（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得>-a e ，所以21a -<<-．………………5分 （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a ．依题意有min ()2ln 20=+>f x a ，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． …………6分 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………7分（Ⅱ）另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分当(1,2]x ∈时，ln 0+>x a x 恒成立ln ⇔>-x a x 恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln =-x m x x ，则21ln '()0ln -=>x m x x ，易知()ln =-xm x x在(1,2]上单调递增， 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-，此时应有2ln 2>-a . …………6分综上，a 的取值范围是2(,)ln 2-+∞. …………7分（Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01ak x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=．………………① ………………8分 令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >，则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0． ………………9分（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取211+=>ax ee ，则221112()(11)20----=++--=>a a g x a e ae a． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2121--=<ax ee，则221122()(11)224++=--+--=--aag x a e ae a a212[2(1)]+=-+a a e a ．设21(1)t t a=+>，()2=-t u t e t ，则()2'=-t u t e ． 当1t >时，()220'=->->tu t e e 恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)20>=->u t u e 恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线． ………………11分（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (1,3)的切线．综上所述，当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (1,3)的切线．………………………………12分（Ⅲ）另解：设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-， 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………8分 当0a =时，020-=无解. ………………9分 当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-， 令1()ln 1g x x x =+-，则21'()-=x g x x， 易知当01<<x 时，21'()0-=<x g x x ；当1>x 时，21'()0-=>x g x x，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =，且0lim ()lim ()x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. ………………11分 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程证明：（Ⅰ）依题意，4cos ϕ=OA ，………………………………………………1分4cos 4πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭OB ，4cos 4πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭OC ，……………3分 则4cos 4cos 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OB OC 8cos cos 4πϕ=ϕ=.=OA…………5分解：（Ⅱ）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，6π⎛⎫-⎪⎝⎭，…………6分化成直角坐标为(B ，(3,C . ……………………………7分经过点,B C 的直线方程为)2=-y x ，……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ，倾斜角为α，且0απ≤<， 故2=m ，23πα=. ………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵()13<f ，∴123+-<a a . …………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，即23>-a ，∴203-<≤a ；…………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，即2>-a ，∴102<<a ； …………3分③ 当12≥a 时，得()123--<a a ，即43<a ，∴1423≤<a . …………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……………………………………5分（Ⅱ）∵()222f x x a x a =+-+-2122=+-+-ax x a11+222=+-++--a ax x x a51122≥+-+-a a x512≥-a ， 当12=-ax 时，等号成立，∴()f x 的值最小为512-a. …………8分 ∴5122-≥a，解得25≤-a或65≥a．……………………………………9分∴实数a的取值范围是26,,55⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U. …………10分。
高考数学模拟试卷(理科)【附答案】
高考数学模拟试卷(理科)【附答案】本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数ii4332-+-（是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=xx N ，则N C M R ⋂等于A ．[]1,1-B ．)0,1(-C ．[)3,1D ．)1,0(3.61(2)x x-的展开式中2x 的系数为A.240-B. 240C. 60-D. 60 4．“2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 设m 、n 为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④6．数列{}n a 满足11=a ， 11++=+n a a n n (*N n ∈)，则201321111a a a +++ 等于 A. 20132012 B. 20134024 C. 10072013 D. 100710067. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是A . 403k ≤≤B . <0k 或4>3kC . 3443k ≤≤D . 0k ≤或4>3k8.对数函数x y a log =（10≠>a a 且）与二次函数()x x a y --=21在同一坐标系内的图象可能是9. 已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，则实数a 的取值范围是A ．(]2,8B ．(]2,9C ．()9,8D ．(]8,910. 记集合{}8,6,4,2,0=P ,{}P a a a a a a m m Q ∈++==321321,,,10100，将集合Q 中的所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 A ．68 B ．464 C ．468 D ．666第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ 12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲13.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{n a }的公比为___▲ __14．若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02，且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为__▲15.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲16．已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为▲17. 如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y轴正半轴上移动，则OB OC ⋅的最大值是 ▲ (第17题图)三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. （本题满分14分）已知函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω（0>ω）的周期为π2.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=，求)(B f 的值．19. 某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为21，答对每道选择题的概率为31，且每位参与者答题互不影响.(Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得3分的概率；(Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20.如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC （点D 与点P 重合），使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求二面角C AB P --的大小.21.（本题满分15分） 已知点M 到定点()0,1F 的距离和它到定直线4:=x l 的距离的比是常数21,设点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）已知曲线C 与x 轴的两交点为A 、B ,P 是曲线C 上异于A ，B 的动点,直线AP 与曲线C 在点B 处的切线交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．22. 已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(Ⅰ)当0=a 时，求函数的单调区间；(Ⅱ) 当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.证明：ex x 231>+.数学试卷(理科)参考答案二、填空题(4×7=28分) 11.16 12.3 13.31 14. 4915. 3 16. 1- 17. 2 三、解答题(共72分) 18．解：（Ⅰ）()2122cos 12sin 2321cos cos sin 32++-=+-=x x x x x x f ωωωωω x x ωω2cos 212sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62s i n πωx 21=∴ω ——7分（Ⅱ）解法（一）a c A b 32cos 2-=a c bca cb b 3222222-=-+⋅⇒ 整理得ac b c a 3222=-+，故232cos 222=-+=ac b c a B 6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分解法（二）a c A b 32cos 2-=A C A B sin 3sin 2cos sin 2-=⇒A B A A B sin 3)sin(2cos sin 2-+=⇒0sin 3cos sin 2=-⇒A B A 0)3cos 2(sin =-⇒B A0sin ,0≠∴<<A A π 23c o s =∴B 又6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分19解：(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为9231)32(21223=⨯⨯⨯C ， 答错填空题且答对三道选择题的概率为541)31(213=⨯（对一个4分）∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为541354192=+； ………………… 7分 (Ⅱ)由题意知随机变量ξ的取值有0，1,2，3，4.又某位参与竞猜活动者得4分的概率为9132)31(21223=⨯⨯⨯C 某位参与竞猜活动者得5分的概率为541)31(213=⨯ ∴参与者获得纪念品的概率为547……………………… 11分 ∴)547,4(~B ξ，分布列为kk k C k P -==44)5447()547()(ξ，4,3,2,1,0=k∴随机变量ξ的数学期望ξE =27145474=⨯. ……………………… 14分 20解：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中，∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠, ∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ……… 6分(Ⅱ)如图，以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴，平面PAC 内过O 且垂直于直线AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，可设点),0,(z x P 又)0,0,32(A ，)0,2,0(B ，)0,0,3(-C ，)0,1,3(-E ，且由2=PE ，7=PC 有⎩⎨⎧=++=++-7)3(41)3(2222z x z x ，解得332==z x ，∴)332,0,332(P ………… 9分 则有)332,0,334(-=AP ，设平面PAB 的法向量为),,(c b a n =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==x y x z 32，故可取)2,3,1(= ……… 12分又易取得平面ABC 的法向量为)1,0,0(，并设二面角C AB P --的大小为θ，∴2281)2,3,1()1,0,0(cos =⋅⋅=θ，∴4πθ=∴二面角C AB P --的大小为4π. …………………14分 21．解：（Ⅰ）设点M ()y x ,，则据题意有()214122=-+-x y x ∴化简得22143x y += 故曲线C 的方程为22143x y +=，…………5分 （Ⅱ）如图由曲线C 方程知()()0,2,0,2B A -,在点B 处的切线方程为2=x .以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………7分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切．当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF 的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………15分 22解：(Ⅰ) xx x x f 2ln )1ln 2()('-= 令0)('=x f 可得e x =.列表如下:单调减区间为()1,0,e ,1;增区间为(+∞,e .------------5分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x ax x h -= ∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<， 从而012ln2)2()(min <+==a a h x h ，所以ea 2<， 当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，————9分即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+01ln 201ln 23311x ax x ax ，消去a 有333111ln 2ln 2x x x x x x -=-令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点ex 1=，且311x ex <<∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e上递减，在),1(+∞e上递增要证明 ex x 231>+⇔132x e x ->⇔)2()(13x e g x g ->()()31x g x g = ∴即证0)2()()2()(1111>--⇔->x eg x g x eg x g构造函数())2()(x e g x g x F --=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛e F 1 =0 只需要证明]1,0(ex ∈单调递减即可.而()2)2ln(2ln 2+-+='x ex x F ，()0)2()22(2''>--=x ex x ex F ()x F '∴在]1,0(e 上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+.————————15分。
高三数学理及答案模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 在区间 \([1,2]\) 上存在极值，则\( f'(x) \) 在区间 \([1,2]\) 上的零点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 下列函数中，其定义域为实数集 \( \mathbb{R} \) 的是：A. \( y = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( y = \frac{1}{x} \)C. \( y = \log_2(x-1) \)D. \( y = x^2 + 1 \)3. 已知 \( \sin A + \sin B = \sin C \)，则 \( \triangle ABC \) 为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形4. 设 \( \alpha \) 是锐角，若 \( \tan \alpha = 2 \)，则 \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 \( \overrightarrow{a} \) 和 \( \overrightarrow{b} \) 是两个非零向量，且 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \)，则\( \overrightarrow{a} \) 和 \( \overrightarrow{b} \) 的夹角为：A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 已知 \( a > 0 \)，函数 \( f(x) = ax^2 + 2x + 1 \) 在 \( x = -1 \) 处取得极小值，则 \( a \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列不等式中，正确的是：A. \( 2x + 1 > x - 1 \)B. \( 2x + 1 < x - 1 \)C. \( 2x + 1 = x - 1 \)D. \( 2x + 1 \leq x - 1 \)8. 已知 \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \)，则 \( x \) 的值为：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若 \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \sin(\alpha + \beta) \) 的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \)10. 已知 \( \triangle ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B + C = 180° \)，则 \( \sin A + \sin B + \sin C \) 的值为：A. 0B. 1C. \( \sqrt{3} \)D. \( 2\sqrt{3} \)11. 若 \( \log_3 (2x - 1) = \log_3 (3x + 1) \)，则 \( x \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 412. 设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，若 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，则 \( f'(1) \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
高考数学(理科)模拟考试卷(附参考答案与解析)
高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)． 其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。
高三理科数学模拟试卷答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(x)的值域为（）A. [-1, 5]B. [2, 7]C. [5, 9]D. [1, 7]答案：D解析：由于f(x) = 2x - 3是一次函数，其斜率为正，因此在整个定义域上单调递增。
在区间[1, 4]上，f(1) = -1，f(4) = 5，所以值域为[1, 5]。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10为（）A. 110B. 120C. 130D. 140答案：B解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (2a1 + (n - 1)d)。
代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 10/2 (23 + (10 - 1)2) = 120。
3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 双曲线的一支答案：A解析：|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点(1, 0)和点(-1, 0)的距离相等，因此z在复平面上位于这两点连线的垂直平分线上，即直线x = 0。
4. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递减，则f(x)的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. 无极值点答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3。
令f'(x) = 0，得x = 1。
由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，所以x = 1是f(x)的极小值点。
5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 3/4答案：A解析：向量a与向量b的夹角余弦值为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。
高考数学(理科)模拟试题(含答案)
高考数学（理科）模拟试题（含答案）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 2. 已知集合12x X x e ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，2}6{|0Y x x x =+-≤，则()R C X Y ⋂=（ ） A ．[)3,2ln -- B ．[]2,2ln -- C ．[]3,2ln -- D ．[]2,2ln - 3. 已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S ，且314,,3S a a 成公比为q 的等比数列，则q 等于（ ） A.1或2 B ．2 C ．1 D ．2或4 4. 若365sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则26sin πθ+⎛⎫⎪⎝⎭=（ ） A ．2425-B ．2425 C.725- D ．7255. 已知0,0x y >>，且191x y+=，则x y +的最小值为（ ） A ．12 B ．16 C.20 D ．246. 若函数()x sinx f =在区间[],a b 上是减函数，且()()22a f f b ==-，则函数()g x cosx =在区间[],a b 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数 C. 可以取得最大值2 D ．可以取得最小值-2 7. 已知0.320.20.3,3,0.2a log b log c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B.b a c >> C.c a b >> D ．a c b >>8. 已知曲线()3:3C f x x x =-，直线:l y ax =-，则6a =是直线l 与曲线C 相切的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9. 鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的機卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下、左右、前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一.根正四棱柱状的木条挖-些凹槽而成若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个圆柱形容器内，使鲁班锁最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内，则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．1354π B ．652π C.135π D ．1254π 10. 已知()f x 是定义在R 上的函数()'f x 是函数()f x 的导函数，且(),'1x R f x ∀∈>，且()10f =，则（ ） A ．()1f e e <- B ．()01f >- C.() 01f <- D ．()()0f e f e <+11. 如图， ,M N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC CD 、的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论错误的是（ ）A ．//MN 平面ABDB ．异面直线AC 与BD 所成的角为定值C. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．三棱锥M ACN -体积的最大值为24812. 已知函数()x sinx n f si x =⋅，给出下列结论: ①()f x 是周期函数；②()f x 是奇函数:③,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间；④若()()12f x f x =-，则()12x x k k Z π+=∈；⑤不等式22cos2cos2sin x sin x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88k x k k Z x ⎧⎫⎨+<+∈⎩<⎬⎭，则正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③④ C.②③ D ．①②③⑤ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若向量,a b r r 满足()2,a b a a b =⊥+r r r r r ，则向量,a b r r的夹角为．14. 已知实数,x y 满足2302501x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围为 ．15. 已知函数()1,0,0x x mx x xex e mx x xf ⎧-<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若函数()f x 有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．16. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且*n N ∀∈，33332123...2n n n a a a S S ++++=+a ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，设32nn n S b n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭g ，则2n b 的最大值为_ ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC V 中，角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，且cos cos sin A B Ca b c+=(1)求sinCsinA sinBg 的值；(2)若ABC V 的面积14S =，ABC V 的外接圆的直径为1，求ABC V 的周长L .18. 已知数列{}n a 和2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列112a =， (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足()()4111n nn a b n n =+-+g，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，M N 、分别是棱AB PD 、的中点，,PA PB AD PB =⊥，直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为23(1) 证明://MN 平面PBC ；(2) 求二面角C MN D --的余弦值.20. “双十一”期，某电商店铺A 的活动为:全场商品每满60元返5元的优惠券(例如:买130元的商品，可用两张优惠券，只需付13013051305212060⎡⎤⎢-⨯=⨯⎥=⎣⎦-(元).其中[]x 表示不大于x 的最大整数).此外，在店铺优惠后，电商平台全场还提供每满400元减40元的优惠(例如:店铺A 原价880元的一单，最终价格是880514402730-⨯-⨯=(元)，店铺优惠后不满400元则不能享受全场每满400元减40元的优惠活动(1)小明打算在店铺A 买一款250元的耳机和一款650元的音箱，是下两单(即耳机、音箱分两次购买) 划算?还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算?(2)小明打算趁“双十一”囤积某生活日用品若干，预算不超过700元，该生活日用品在店铺A 的售价为30元/件试计算购买多少件该生活日用品平均价格最低？最低平均价格是多少? 21. 已知函数()()20()f x ln ax ax x a =-+≠.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若函数()f x 有且只有一个极值点o x ，且()00f x ≤，求实数a 的取值集合. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为，415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(24)sin πρθ=-.(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()20f x x a x a a =-++>. (1)当2a =时，求函数()f x 的最小值； (2)若关于x 的不等式()1f x a x <+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1. C解析:)()())1111111222i i izi i i i---=====-+++-2. C解析:集合{}2,X x x ln=>-，2,3{}{|2}RC X x x ln Y x x=≤-=-≤≤所以()3{}2RC X Y x x ln⋂=-≤≤-3. A解析:314,,3Sa aQ,成公比为q的等比数列，23143Sa a⎛⎫∴=⋅⎪⎝⎭，又{}n aQ为等差数列，()()1112.3a d a a d∴+=+即()1d d a-=，即0d=或1d a=.公比2111a aqa a∴==或1121aa=或24. D解析: 2226266sin sin cosππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝+=--=⎭⎣⎦-=2187122162525sinπθ⎛⎫=-⎪⎭=⎝--【命题意图】基本量的简单运算.5. B解法一:由题得()199191916y xx y x yx y x y⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，取等条件为1919xyx yy xx y>⎧⎪>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，即412xy=⎧⎨=⎩，故选B解法二:由191x y+=得90x y xy+-=即()()199x y--=，又1,9x y>>Q.()()1190x y x y∴+=-++-1016≥=，取等条件为191193xyx yx y>⎧⎪>⎪⎪⎨+=⎪⎪-=-=⎪⎩，即412xy=⎧⎨=⎩，故选B6. D 解析:()23f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，()22323g x cos x sin x πππ=+=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ⎝+⎪⎭，()g x 的图像由()f x 的图像向左平移2π所得.()f x 在区间[],a b 上是减函数，且()()2, 2f a f b ==-.令3x t π+=，则可取3,22t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向左平移2π，即14个周期，可得在3,22t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 可以取得最小值2-. 7. A 解析:220.30.51a log log =<=-，0.20.2351b log log =>=-且00b c <>，，所以, , a b c 的大小关系为c b a >>.【命题意图】利用对数函数的单调性进行估算.8. A 解析:()2 '33f x x =-，直线:3l y ax a =-过定点()3,0，且曲线C 也过点()3,0.若直线l 与曲线C 相切，设切点横坐标为o x ，则切线为()2300332y x x x =--，则20303323x a x a⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解之036x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩或03234x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以6a =是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件.9. B c 解析:设圆柱的底面半径为r ，用平行于圆柱的底面的平面截圆柱和中间横向最长，木条的截面图如图所示，则2221513222r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴圆柱体积为2652V r h ππ==g10. C 解析:令()() g x f x x =-，则()()''10g x f x =->，所以()g x 在R 上单调递增.由()()1g e g >可得()()111f e e f ->-=-，得()1f e e >-，故选项A 不正确.由()()0 1g g <可得()()0111f f <-=-，故选项B不正确选项C 正确，同理可判断选项D 不正确.11. C 解析:选项A ，因为// MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故选项A 正确；选项B ，取AC 中点O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，且AC OD ⊥，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为90︒，为定值，故选项B 正确；选项,C 若直线AD 与直线BC 垂直，因为直线AB 与直线BC 也垂直，则直线BC ⊥平面ABD ，所以直线BC ⊥直线BD ，又因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥而OBD V 为等腰三角形，这显然不可能，故选项C 不正确；选项D ，M ACN N ACM V V --=，当平面DAC ⊥平面ABC 时取最大值，()max 1134448N ACM V -=⋅⋅=，故选项D 正确. 12. D 解析:因为()()2f x f x π+=，所以2π是()f x 的一个周期，选项①正确:因为()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，选项②正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21cos 22x f x sin x -==单调递增，又因为()f x 是奇函数且过原点，所以,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间，选项③正确；由②③可画出函数()f x 在上的图像，又因为 22f x f x ππ+=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于2x π=对称，可画出函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，即得到函数()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，即一个周期的图像，在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的对称中心为()0,0和(),0π，所以在整个定义域上对称中心为()(,0)k k Z π∈，即若()()12f x f x =-，则12()2x x k k Z π+=∈，选项④不正确；先求不等式||2222sin x sin x cos x cos x ππππ>g g 在一个周期内的解集，取区间[]0,2π，因为2222sin x sin x cos x cos x ππππ>g g ()222f x f x πππ⎛⎫⇔>+ ⎪⎝⎭，则247224x x πππππ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，在整个定义域上则22472224x k x k πππππππ⎧>+⎪⎪⎨⎪+<+⎪⎩，解得15,88k x k k Z +<<+∈，故选项⑤正确，综上，①②③⑤正确.. 【命题意图】三角函数是高中阶段周期函数的代表，与其他函数研究的方法也不太一样.本题旨在考查学生的思想方法，如何运用研究正弦函数、余弦函数的哪种方法，去研究新的、没见过的周期函数，考查学生是否真的理解、能否学以致用，只靠刷题或者死记硬背不行.为了降低难度，①②③引导学生先画出一个周期的函数图像，进而得到整个函数图像，为④⑤服务.选项的设置实际上告诉了学生②的正确性，同时引导学生重点需要判断④⑤，④⑤只需要准确判断其中一个，就能选出正确答案，降低了难度. 二、填空题 13.o120解析：由()a a b ⊥+r r r 得()20a a b a a b ⋅+=+=r r r r r r g，所以2,a b a ⋅=r r r 1,22a b a cos a b a b a a-<>===-r r rr r g r r r r g g ，向量,a b r r 的夹角为o 120 14.70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:画出可行域，z =(),x y 到直线0x y -=的距离的最值，观察可最小值为0，最大值为230x y -+≥与250x y +-≤的交点(1,42)到直线的距离，为72，故取值范围为70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】目标函数加了一个绝对值，不同的学生就会有不同的做法，好学生转化成点到直线的距离，直接可以观察最小值是0，只用求最大值，算一个交点就可以了；一般的学生可以先求z x y =-的范围，再求绝对值的范围，那就要多算一个交点的坐标；当然，也可以分两类确定z x y =-的符号后再求具体范围， 工作量就要大一些了.15.24e m >解析:() f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数()1,0,0xx x g x e e x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2xe mx =有两个不等正根，即2xe m x=有两个不等正根.令()2xe h x x=，则()()32x e x h x x -'=，它在()0,2内为负，在(2,)+∞内为正，()h x ∴在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞24e m ∴>16.6332解析:由333321232n n n a a a a S S ++++=+g g g 得()3333212311122n n n a a a a S S n ---++++=+≥g g g两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S a S S a n S ---=+--=+≥+，()1222n n n S S a n -∴++=≥()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减有()12213n n n n a a a n a --+-=≥Q 数列{}n a 各项均为正数，13(1)n n a a n --=≥∴，而21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，()32n n n S +∴=2222232323n n n n S n b n ⎛⎛⎫+∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g，令2222251232n n b n b n +⎛⎫+=⋅> ⎪ ⎪+⎝⎭，解得32n < 24468,b b b b b ∴<>>>⋅⋅⋅，2n b ∴的最大值46332b ==【命题意图】本题常规题，考查知识点有:递推数列、等差数列通项、求和公式、数列单调性和最值，虽然都是常规知识点，但融合到一起要想顺利解决，需要对这些知识点深刻理解、熟练掌握. 三、解答题17.解：()1cos cos sin A B C a b c +=Q，由正弦定理可得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=即cos sin cos sin 1sin sin A B B A A B +=，即sin 1sin sin C A B=⋅(2)ABC QV 外接圆直径为1，,,a sinA b sinB c sinC ∴===，又由(1)得sinC sinA sinB c ab =∴=g ，∴ABC V 的面积211112224S absinC csinC c ====，sin 2c C ∴== 由余弦定理得2222222222a b abcosC c ccosC c sinCcosC c sin C c +=+=+=+=+2312c =±+=或12-（12-舍） ()()222212121a b c ab c c c +=++=++=+∴ABC V 的周长.211L a b c c =++=+=18.解：()1Q 数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，2223212213a a a ∴⋅=+ 又Q 数列{}n a 为等差数列，()()12121223a d a d a ++=+∴即()210a d -=即1a d =又112a =Q ，()111222n n a n ∴=+-⋅= ()2由(1)及题设得()()()()211111111111nn nn n n b n n n n +⎛⎫=+=-+=--+-⋅ ⎪++⎝⎭g g ()()11111111111112233411n n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++-++⋅⋅⋅+-+=-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注:第(2)问如果学生n 分为奇数还是偶数进行讨论，只要结果正确也给满分，如果学生归纳猜想，结果正确，但没有证明，只得3分.【命题意图】本题重点考查裂项相消求和，但又不是学生通常几乎都会背的那种裂项相消，考查学生对裂项相消求和方法的理解.19. 解法一(非向量法): (1)方法一:在平面ABCD 内延长DM 交CB 的延长线于FM Q 是正方形ABCD 中AB 边的中点，M ∴是DF 的中点又N Q 是PD 的中点，// MN PF ∴又MN ⊄Q 平面, PBC PF ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC . 方法二:取PC 的中点G,N G Q 分别是PD PC 、的中点，//12NG CD ∴=又M Q 是正方形ABCD 中边AB 的中点，//12BM CD ∴=，//12GN BM ∴=BMNG ∴是平行四边形，// MN BG ∴又MN ⊄Q 平面PBC ，BG ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC .方法三:取PA 中点,E E N Q ，分别是PA PD 、的中点，// EN AD ∴ 同理// EM PB底面是正方形，//AD BC ∴，又// EN AD Q ，// EN BC ∴ 又EN ⊄Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，//EN ∴平面PBC .同理//EM 平面PBC ，又,EN EM E EN ⋂=⊂Q 平面,EMN EM ⊂平面EMN∴平面//EMN 平面PBC .又MN ⊂Q 平面EMN .∴//MN 平面PBC(2),,AD PB AD AB PB AB B ⊥⊥⋂=Q ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AD ∴⊥平面PAB又//EN AD Q ，EN ∴⊥平面PAB ，EMN ∴∠为直线MN 与平面PAB 所成的角.23EN sin EMN MN ∴∠==，又E M N Q 、、分别为PA AB PD 、、的中点，底面边长为2，PA PB =3,2MN ME PM AB ∴==⊥.且2PM === AD ⊥Q 平面PAB ，AD ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB又PM AB ⊥Q ，且PM ⊂平面PAB ，PM ∴⊥平面ABCD在平面ABCD 内作CH MD ⊥于点H ，则CH PM ⊥又MD PM M ⋂=Q ，MD ⊂平面MND ，PM ⊂平面MND ，CH ∴⊥平面MND再作HI MN ⊥于点I ，则CIH ∠是二面角D MN C --的一个平面角在正方形ABCD中可求得CH MH ==，23HI MHsin DMN MHsin MDN =∠=∠== ∴二面角的余弦值5IH IC ===. 解法三(向量法):AD PB ⊥Q ， AD AB ⊥，PB AB B ⋂=，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB .AD ∴⊥平面PAB ，又PM ⊂Q 平面PAB ，AD PM ∴⊥ ①,PA PB M =Q 是AB 的中点，PM AB ∴⊥，设J 为BD 的中点，则同①得PM MJ ⊥则MJ MA MP 、、两两垂直，∴可分别以MJ MA MP 、、为轴,,x y z 建立空间直角坐标系设()0,0,P p()1()()112,1,00,0,1,,222p MN p ⎛⎫=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭u u u u r Q ()()()0,0,0,1,00,1,BP p p =--=u u u r()()()2,1,00,1,02,0,0BC =---=u u u r1122MN BP BC ∴=+u u u u r u u u r u u u r 在平面PBC 内作1122BK BP BC =+u u u r u u u r u u u r ，则BK MN =u u u r u u u u r // , BK MN MN ∴⊄平面PBC ，BK ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC()211,,22p MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r Q ，()2,0,0MJ =u u u r 是平面PAB 的一个法向量 22221120022,)51122(2p MN MJ cos MN MJ MN MJ p p ⨯+⨯+⨯⋅∴===⋅+⎛⎫⎛⎫++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 又Q 直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为23，2235p =+2p =±即(负舍) 11,,12MN ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,1,0MD =u u u u r ，()2,1,0MC =-u u u u r 设(), , a x y z =⊥r 平面DMN ，则10220a MN x y z a MD x y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩r u u u u r r u u u u r 即20y x z =-⎧⎨=⎩，令1x =得()1,2,0a =-r 设(), , b r s t =⊥r 平面CMN ，则10220b MN r s t b MC r s ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=-=⎩r u u u u r r u u u u r 即22s r t r =⎧⎨=-⎩，令1r =得()1,2,2b =-r ()()2222221122025,)5120122(a b cos a b a b ⨯+-⨯+⨯-⋅∴===-⋅+-+⋅++-r r r r r r又a r Q 指向二面角，b r 指向二面角，∴20. 解: (1)若下两单，耳机优惠后实际付款为25054230-⨯= (元)音响优惠后实际付款为650510401560-⨯-⨯=(元)耳机和音响优惠后一共实际付款230560790+=元若下一单，耳机和音响优惠后一共实际付款()250650515402745+-⨯-⨯= (元)∴下一单划算（2）方法一:假设购买*()x x N ∈件，平均价格为y 元/件由于不能超过700元预算，最多只能购买26件，且当114x ≤≤时不能享受满400元减40元的优惠，当1526x ≤≤时能享受一次每满400元减40元的优惠 1︒当114x ≤≤时不能享受每满400元减40元的优惠， 则130530530602x x y x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭530,22,530,2121n x n n n N n x n n ⎧-⨯=⎪⎪∈⎨⎪-⨯=+⎪+⎩当2x n =时，1272y =. 当21x n =+时，()551302722212y k =-+>+ ∴当114x ≤≤时购买偶数件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为27.5元/件.2°当1526x ≤≤时能享受一次每满400元减40元的优惠， 则1305403054030602x x y x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯-=-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭54030,222,54030,212121n x n n n k N n x n n n ⎧-⨯-=⎪⎪∈⎨⎪-⨯-=+⎪++⎩当2x n =时，120272y n=-.当8,16n x ==时，25min y = 当21x n =+时，()()5405753030212221n y n n +=-=--++，当7,15n x ==时，25min y = 综上，购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.方法二:设购买*()x x N ∈件应付款为y 元，平均价格为z 元/件则30305,0400603030540,36070060x x y y x x y ⎧⎡⎤-<<⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-⨯-≤≤⎢⎥⎪⎣⎦⎩552,04005530,21,0400=5540,2,3607005510,21360700n x n y n x n y n x n y n x n y =<<⎧⎪+=+<<⎪⎨-=≤≤⎪⎪-=+≤≤⎩，，，552,1,2,,75530,21,1,2,,65540,2,8,9,,135510,217,8,,12n x n n n x n n n N n x n n n x n n ==⋅⋅⋅⎧⎪+=+=⋅⋅⋅⎪∈=⎨-==⋅⋅⋅⎪⎪-=+=⋅⋅⋅⎩，，()()27.5,2,1,2,,7527.5,21,1,2,,62212027.5,2,8,9,,137527.5,217,8,,12221x n n x n n n y z x x n n n x n n n ==⋅⋅⋅⎧⎪⎪+=+=⋅⋅⋅+⎪⎪∴=⎨-==⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=+=⋅⋅⋅⎪+⎩， 第一段: 27.5；第二段:大于 27.5第三段:当8n =时，取最小值25=；第四段:当7n =时，取最小值25=综上，购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.说明:对用列举法的评分，若列举完整、计算正确，则不扣分.21. 解: (1)由题得()()2121210ax x f x a ax ax ax x-++'=⋅-+=> 1︒若0a <，则函数定义域为(0),-∞① 810a =+≤V 即18a ≤-时则在(0),-∞内()'0f x ≤且不连续取0，()f x 在(0),-∞单调递减此时()f x 在定义域(0),-∞内没有极值点..② 810a =+>V 即108a -<< 则2210ax x ++=-在(0),-∞内有两个根()1212,0x x x x <<当1),(x x ∈-∞时，()()'0,f x f x <∴单调递减，当()12,x x x ∈时，()'0f x >，() f x ∴单调递增当()2,0x x ∈时，()'0f x <，() f x ∴单调递减∴当108a -<<时()f x 在(0),-∞内有且只有2个极值点.2︒若0a >，则函数定义域为(0),-∞二次函数()221g x ax x =-++的开口向下，对称轴104x a=>，()010g =>，判别式810a =+>V ()0g x ∴=在(0),-∞只有一个根0x 当0(0),x x ∈时，()()'0,f x f x <∴单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，() f x ∴单调递减 综上，当18a ≤-时()f x 在(0),-∞内没有极值点，当108a -<<时()f x 在(0),-∞内有且只有2个极值点. 当0a >时()f x 在(0,)+∞内有且只有1个极值点.(2)方法一:若函数()f x 有且只有一个极值点o x则由(1)知0a >，且00(),x ∈+∞且200210ax x -++=即02012x a x += 由()00f x ≤得()()200000002011ln 22x x f x ln ax ax x x x ++=-+=-+002011ln 022x x x +-=-≤① 令()()211ln 022x x h x x x +-=->，则()()()()12'21x x h x x x -+=+ ∴当()0,1x ∈时，()()'0,h x h x <∴单调递减，当,()1x ∈+∞时，()() '0,h x h x >∴单调递增∴()()010h x h ≥=.又由知()00,1h x x ≤∴=，020112x a x +∴== ∴实数a 的取值集合为{}1.方法二: 若函数()f x 有且只有一个极值点o x则由(1)知0a >，且00(),x ∈+∞且200210ax x -++=即()0104x a a=> 由()00f x ≤得()()20000f x ln ax ax x =-+0000011ln ln 22x x ax x ax +-=-+=-141048a a a=-≤ ①令t =， ()()22111132ln ln 141421(t)t t t t t i t t t ---++-=-=->--则()()()()()()()2211313411142111t t t t i t t t t ⋅---⋅-=⋅-=+-+-在(1)3，内为负，在(3)+∞，内为正 ()i t ∴在(1)3，内单调递减，在(3)+∞，内单调递增，()min [(3]0t)i i ==∴()00f x i ∴=≥又Q 由①得()00f x i =≤3=，即1a =，∴实数a 的取值集合为{}1.【命题意图】本题主要考查分类讨论、导数的应用，中偏难，与21题一起双压轴.第一问的亮点是0a >和0a <时定义城不一样，确定定义城是研究函数的第一步，这对不喜欢考虑定义城的学生是一个教训.第一问题讨论的侧重点放在了对二次函数正负的讨论，需要从开口、对称轴、判别式、端点函数值符号四个方面控制，是二次函数研究的重点，同时也是学生比较熟悉的函数类型，所有学生都能上手，但不一定都能做对.第二问也不难，解二元的不等式，先消元，利用单调性解不等式，再代回两个元之间的关系式求出a 的取值集合.22. 解: (1)直线11:4355x y l +-=-，即3410x y +-=即3410cos sin ρθρθ+-= 曲线:C sin cos ρθθ=-即2sin cos ρρθρθ=- (原式中ρ可以为θ，故两边乘以ρ不扩大范围)即22x y y x +=-即2211()2212y x ⎛⎫+-= +⎪⎝⎭ 直线l 的极坐标方程为3410cos sin ρθρθ+-=，曲线C 的普通方程为220x y x y ++-= 说明:后者写成22 0x y x y ++-=和2211()2212y x ⎛⎫+-= +⎪⎝⎭中的任何一个都给全分. （2）方法一:将直线l 的参数方程415315x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程22 0x y x y ++-=得2705t t += 即0t =或75- A B ∴、两点间的距离1275AB t t =-=方法二:由(1) 知曲线C 是一个圆，其圆心到直线l的距离110d == A B ∴、两点间的距离75AB ===23. 解: (1)当2a =时，()3,1 2224,213,2x x f x x x x x x x ≥⎧⎪=-++=--≤<⎨⎪-<-⎩[]()min 1()3f x f =-∴（2）方法一:当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0a >时，原不等式可化为12x a x a a x -++<+. 即12x a x x -<-即112x x a x x x ⎛⎫--<-<- ⎪⎝⎭即113x a x x x -<<+. ∴题设等价于1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，113x a x x x -<<+且0a > 令132113x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩得112x ≤<∴题设等价于1,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，113x a x x x -<<+且0a > 即min max 113x a x x x ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0a > 即a 的取值范围50,2⎛=⎫ ⎪⎝⎭. 方法二: 6分处同方法一如图，画出函数()13g x x x =-和()1h x x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象.可知a 的取值范围50,2⎛=⎫ ⎪⎝⎭方法三:当1,32x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0a>时，原不等式可化为12x a x a ax-++<+即12x a xx-<-令132113xx xx x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩得112x≤<∴题设等价于1,12x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，113x a xx x-<<+且0a>即a的取值范围50,2⎛=⎫ ⎪⎝⎭.说明: (1)三种方法中的“6分”档处的“2分”做到了的一定要给到.(2)答案为15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭扣1分；答案为(100,3)扣2分；答案为110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭扣3分。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一时间：120分钟 分值：150分―、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A.3655i + B. 3655i - C. 1255i - D. 1255i +2．（错题再现）下列命题正确的是( )A ．123x x +--≥B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．2213x x ++-≤3.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 3B.2C. 4D. 54.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ） A.25B.15C. 103D. 355.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 36.若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则232z x y =-+的最小值为（ ）A. -5B. -4C. -3D. -27.已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <≤B. 2a ≥C. 23a ≤≤D. 02a <≤或3a ≥8.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A. 52B. 246+C. 27+D. 269.已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞ 10.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 11.已知正数,a b 满足221a b ab +=+，则()312a b -+的最大值为（）A. 22B. 2C. 2D. 112.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
高考数学(理科)模拟试卷及答案3套
高考数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}P =，{1,2,4}Q =，则()U P Q =U ð（ ） A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,5}2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知变量x ，y 满足约束条件236133x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．9-B ．7-C ．5-D ．3-5．将函数2sin(2)6πy x =+的图像向左平移π6个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的周期是π2C ．()f x 的图像关于直线12πx =对称 D ．()f x 的图像关于点π(),04-对称 6．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如右图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．22π3B ．42π3C ．22πD ．42π8．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100++++L 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数2()(0)36057xf x m m =>+，则(1)(2)(3)(2018)f f f f m +++++L 等于（ ）A ．20183m + B ．240363m + C ．40366m + D ．240376m +9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积138cos S C =-，且2a =，3b =，则c =（ ）A ．2B ．5C ．6D ．710．函数2()22xxf x x -=--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．33D ．112．已知11,10(1)(),01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(,)3+∞B ．2[,)3+∞C ．2{8}[,)3-+∞UD ．2{8}(,)3-+∞U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,)x =b ，若∥a b ，则x =________． 14．5(3)(2)x y x y -+的展开式中，含24x y 项的系数为_______．（用数字作答）15．若圆22:480C x y x +-+=，直线1l 过点(1,0)-且与直线2:20l x y -=垂直，则直线1l 截圆C 所得的弦长为_______．16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC △的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形如图，111A B C △是ABC △的欧拉三角形（H 为ABC △的垂心）．已知3AC =，2BC =，tan 22ACB ∠=，若在ABC △内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_______．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n S a n =-，记1n n b a =+． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的通项公式．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 和AB 的中点．（1）证明：EF ∥平面11BCC B ；（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．19．（12分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于A ，B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（1）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （2）求证：直线l 与椭圆C 相切；（3）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．20．（12分）已知函数321()ln 2f x x x ax ax =+-，a ∈R ． （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()()f x g x x=存在两个极值点1x ，2x ，求12()()g x g x +的取值范围．21．（12分）有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表．若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0．2．若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率；（2）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望； （3）求该学生被该校录取的概率．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos()13ρθ+=． （1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； （2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11MP MQ+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 函数21()(1)4f x x =+．（1）证明：()|()2|2f x f x +-≥； （2）若存在x ∈R ，1x ≠-，使得21[()]|1|4()f x m m f x +≤--成立，求m 的取值范围．答案第Ⅰ卷一、选择题：1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B 7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】12-14．【答案】110-15．【答案】．【答案】764三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）12b =，24b =，38b =；（2）是等比数列，见解析；（3）21nn a =-．【解答】（1）令1n =，则1121S a =-，故11a =， ∵2n n S a n =-，∴112(1)(2)n n S a n n --=--?，∴[]11122(1)221(2)n n n n n n n S S a a n a n a a n ----==----=--?， ∴121(2)n n a a n -=+?． ∴21213a a =+=，∴1112b a =+=，2214b a =+=，3318b a =+=． （2）数列{}n b 是等比数列．证明如下： ∵1n n b a =+，121n n a a +=+，∴1111(21)2(1)2n n n n n b a a a b ++=+=++=+=，又120b =?，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．（3）由（2）知1222n nnb-=?，又1n nb a=+，∴121nn na b=-=-．18．【答案】（1）证明见解析；（2）130．【解答】（1）证明：∵直三棱柱111ABC A B C-中，AC AB⊥，∴可以以1A为顶点建立空间坐标系如图，∵4AC AB==，16AA=，点E，F分别为1CA和AB的中点，取11B C中点D，∴1(0,0,0)A，(2,2,0)D，(2,0,3)E，(0,2,6)F，在111A B CRt△中，111A DB C⊥，∴1A D⊥平面11BCC B，∴1A Du u u u r为平面11BCC B的一个法向量，而(2,2,3)EF=-u u u r，1(2,2,0)A D=u u u u r，∴1440EF A D⋅=-+=u u u r u u u u r，∴1EF A D⊥u u u r u u u u r，又EF⊄平面11BCC B，∴EF∥平面11BCC B．（2）易知(0,0,6)A，1(0,4,0)B，∴(0,2,0)AF=u u u r，1(0,2,6)B F=-u u u u r，设(,,)x y z=n是平面AEF的一个法向量，则20AF y⋅==u u u rn，2230EF x y z⋅=-++=u u u rn，取1x=，则0y=，23z=，即2(1,0,)3=n，设1B F与平面AEF所成角为θ，则111130sin|cos,|||||||13403B FB FB Fθ⋅=<>===⨯u u u u ru u u u ru u u u rnnn，故1B F 与平面AEF所成角的正弦值为65． 19．【答案】（1）2e =，(1,0)F -；（2）证明见解析；（3）是为定值，见解析． 【解答】（1）由题意a =1b =，1c ==，所以离心率2c e a ==，左焦点(1,0)F -． （2）由题知，220012x y +=，即220022x y +=， 当00y =时，直线l方程为x =x =l 与椭圆C 相切，当00y ≠时，由2201222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得22220000(2)4440y x x x x y +-+-=，即22002220x x x y -+-=，所以22220000(2)4(22)4880Δx y x y =---=+-=，故直线l 与椭圆C 相切． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2222211111(1)(1)6(1)240FA FB x y x x x ⋅=+-=+-+-=-=u u u r u u u r，所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=︒，当00y ≠时，由2200(1)622x y x x y y ⎧-+=⎨+=⎩，得22220000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=，则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+， 220000121212222200005441()4222x x x x y y x x x x y y y y --+=-++=+， 因为1122121212(1,)(1,)1FA FB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++u u u r u u u r2222220000000022200042084225445(2)100222222y y x y x x x y y y y -++++--+-++=+==+++．所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=︒，故AFB ∠为定值90︒．20．【答案】（1）函数()f x 在1(0,)e 递减，在1(,)e+∞递增；（2）(,3ln 4)-∞--． 【解答】（1）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '<，解得10x e <<；令()0f x '>，解得1x e>， 故函数()f x 在1(0,)e递减，在1(,)e+∞递增．（2）2()1()ln 2f xg x x ax ax x ==+-(0)x >，21()ax ax g x x -+'=，由题意知：1x ，2x 是方程()0g x '=的两个不相等的正实根， 即1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不相等的正实根，故21212401010Δa a x x x x a ⎧⎪=->⎪+->⎨⎪⎪=>⎩，解得4a >， ∵221211122211()()()ln ln 22t a g x g x ax ax x ax ax x =+=-++-+ 21212121211[2]()ln(())ln 122a x x x x a x x x x a a =+--++=---， 是关于a 的减函数，故()(4)3ln 4t a t <=--，故12()()g x g x +的范围是(,3ln 4)-∞--． 21．【答案】（1）0．9．（2）分布列见解析；数学期望3．3；（3）0．838．【解答】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A ，B ， 则()0.5P A =，()0.2P B =，1()()P P A P AB =+10.50.5(10.2)0.9=-+⨯-=． 即该学生参加自主招生考试的概率为0．9．（2）该该学生参加考试的次数X 的可能取值为2，3，4，(2)()()0.50.20.1P X P A P B ===⨯=；(3)()10.50.5P X P A ===-=； (4)()()0.50.80.4P X P A P B ===⨯=．所以X 的分布列为()20.130.540.4 3.3E X =⨯+⨯+⨯=．（3）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C ，D ．()0.1P AB =，()0.90.60.90.486P C =⨯⨯=，()0.90.40.70.252P D =⨯⨯=，所以该学生被该校录取的概率为2()()()0.838P P AB P C P D =++=．22．【答案】（1）2233144x y -=，20x --=；（2．【解答】（1）将126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相加，可得4x y m +=，两式相减，可得13x y m -=，整理可得2233144x y -=， 故曲线C 的普通方程为2233144x y -=， 依题意，得直线l：1(cos )122ρθθ-=，即cos sin 2ρθθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x --=．（2）设直线2:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233144x y -=中，得23160t ++=，(243162400Δ=-⨯⨯=>，设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-12163t t =，所以121211MP MQ t t MP MQ MP MQ t t +++===⋅． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）1m ≤02m ≤≤或1m ≥+ 【解答】（1）∵21()(1)04f x x =+≥， ∴()|()2||()||2()||()[2()]||2|2f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-==． （2）当1x ≠-时，21()(1)04f x x =+>，所以1[()]14()y f x f x =+≥=，当且仅当1()4()f x f x =，1x =±因为存在x R ∈，1x ≠-，使得21[()]|1|4()f x m m f x +≤--成立，所以2|1|1m m --≥，所以1m ≤-02m ≤≤或1m ≥模拟试卷二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{|B x y ==，A B =I （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5 D ．[]3,52．34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i3．如图1为某省2019年14~月快递业务量统计图，图2是该省2019年14~月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年14~月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从14~月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ）A ．2π3B ．3π4C ．π3D ．π45．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，11A D 的中点，O 为正方形1111A B C D 的中心，则（ ）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30︒D ．直线EF ，1BB 所成角的余弦值为3 8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．2-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10．已知点2F 是双曲线22:193x yC -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．53D ．6311．如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=uu r uu u r，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ） A ．ππ()3sin()24g x x =+ B ．ππ()3sin()24g x x =- C ．ππ()2sin()24g x x =+ D ．ππ()2sin()24g x x =-12．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC △中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86πC ．112πD ．128π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足711S S =，且10a >，则n S 最大时n 的值是 ． 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．16．点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是拋物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()23sin a c b ab C +=+． （1）求B 的大小；（2）若8b =，a c >，且ABC △的面积为33，求a ．18．（12分）如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED FB ∥，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD ．（1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值．19．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，3O 是坐标原点，且1||||6OB F B ⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程．20．（12分）已知函数1π()4cos()23xf x x e =--，()f x '为()f x 的导数，证明：（1）()f x '在区间[π,0]-上存在唯一极大值点； （2）()f x 在区间[π,0]-上有且仅有一个零点．21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中1p ，2p ，3p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=，2C的参数方程为1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，23a b +=．证明：（1）2295a b +≥； （2）3381416a b ab +≤．答 案一、选择题：1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C 7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】214．【答案】915．【答案】31416．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3；（2）5+【解析】（1）由()22sin a c b C +=+，得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即()2cos 1sin ac B C +=，所以有()sin cos 1sin C B B C +=，因为(0,π)C ∈，所以sin 0C >，所以cos 1B B +=，cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以6ππ6B -=，即π3B =．（2）因为11sin 22ac B ac ==12ac =， 又22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=，所以10a c +=，把10c a =-代入到12()ac a c =>中，得5a =．18．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥平面ABCD ，从而EDA EDC ≅Rt Rt △△， ∴EA EC =，又O 为AC 中点，∴DE AC ⊥，在EOF △中，3OE OF EF ===，∴222OE OF EF +=，∴OE OF ⊥，又AC OF O =I ，∴OE ⊥平面ACF ． （2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,2)F ，(1,1,0)O ，由（1）可知(1,1,1)EO =-uu u r是面AFC 的一个法向量，设(,,)x y z =n 为面AEF 的一个法向量，由22020AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uu u r ，令1x =，得(1,2,2)=-n ， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则||3|cos ||cos ,|||||EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n uu u ruu u r uu u r 6sin θ∴=，∴二面角E AF C --619．【答案】（1）22132x y +=；（2）210x y ±+=． 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则33c a =，∴3a c =， ∵222a b c =+，∴2b c =，又16OB F B ⋅OB b =，1F B a =，∴6ab =266c =1c =，∴3a =2b =22132x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设直线l 方程为1x ty =-，由221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)440t y ty +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+， ∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=uuuu r uuu r，∴1212(1)(1)0x x y y --+=，∴1212(11)(11)0ty ty y y ----+=，∴21212(1)2()40t y y t y y +-++=，∴22224(1)8402323t t t t -+-+=++，∴22t =，∴t =．∴l 的方程为10x ±+=．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为(,)-∞+∞，且1π()2sin()23x f x x e '=---．令1π()2sin()23xg x x e =---，[π,0]x ∈-，1π()cos()23xg x x e '=---，[π,0]x ∈-．∵xy e =-在[π,0]-上单调递减，1πcos()23y x =--在[π,0]-上单调递减，()g x '在[π,0]-上单调递减．又π(0)cos()103g '=---<，ππππ1(π)cos()023g e e-'-=----=->， ∴0(π,0)x ∃∈-，使得0()0g x '=，∴当0[π,)x x ∈-时，()0g x '>；当0(,0]x x ∈时，()0g x '<， 即()g x 在区间0[π,)x -上单调递增；在0(,0]x 上单调递减，则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在区间[π,0]-上存在唯一的极大值点0x ．（2）由（1）知1π()2sin()23xf x x e '=---，且()f x '在区间[π,0]-存在唯一极大值点，()f x '在0[π,)x -上单调递增，在0(,0]x 上单调递减，而ππππ1(π)2sin()1023f e e-'-=----=->， π(0)2sin()1103f '=---=>，故()f x '在[π,0]-上恒有()0f x '>，∴()f x 在[π,0]-上单调递增，又ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<，π(0)4cos()1103f =--=>， 因此，()f x 在[π,0]-上有且仅有一个零点．21．【答案】（1）见解析；（2）①116P =，2736P =，343216P =；②6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，11(1)56n n P =-． 【解析】（1）X 的可能取值为1-，0，1．121(1)(1)233P x =-=-⨯=，12121(0)(1)(1)23232P x ==⨯+-⨯-=，121(1)(1)236P x ==⨯-=．∴X 的分布列为（2）①由（1）知，116P =， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分； 二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分， ∴12211117C ()()662636P =⨯+=， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得1-分，∴322122233331111111()C ()()C ()()C ()()6626263P =+++．②由11i i i i P aP bP cP +-=++，知1111i i i a cP P P b b+-=+--， 将00P =，116P =，2736P =，343216P =代人，求得617a b =-，117c b =-， ∴6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，∴116177i i i P P P +-=+，∴117166i i i P P P +-=-．∴111()6i i i i P P P P +--=-， ∵1016P P -=，∴1{}n n P P --是等比数列，首项和公比都是16． 116n n n P P --=，∴01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n n P P P P P P P P --=+-+-++-==--L ． 22．【答案】（1）()2121:1x y C +-=，20C y -=；（2）[． 【解析】（1）1C 的直角坐标方程()2211x y +-=，2C 0y -+=． （2）由（1）知，1C 为以(0,1)为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心(0,1)到2C 的距离为13311231d -+-==<+，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为312d r ++=， 则点P 到曲线2C 距离的取值范围为[310,]2+． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<， ∴222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95， ∴2295a b +≥．（2）∵0a >，0b >，23a b +=， ∴322ab ≥，908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号，∴334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116，∴3381416a b ab +≤． 模拟试卷二一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. i 2020=（ ）A. 1B. -1C. iD. -i 2. 已知集合A ={x |0＜log 2x ＜2}，B ={y |y =3x +2，x ∈R }，则A ∩B =（ ）A. （1，4）B. （2，4）C. （1，2）D. （1，+∞） 3. 若a =ln2，，的大小关系为（ ）A. b ＜c ＜aB. b ＜a ＜cC. a ＜b ＜cD. c ＜b ＜a 4. 当0＜x ＜1时，则下列大小关系正确的是（ ）A. x 3＜3x ＜log 3xB. 3x ＜x 3＜log 3 xC. log 3 x ＜x 3＜3xD. log 3 x ＜3x ＜x 3 5. 已知cos （-α）=2cos （π+α），且tan （α+β）=，则tanβ的值为（ ）A. -7B. 7C. 1D. -16.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.7.设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 98.若数列{a n}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A. 10B. 20C. 30D. 409.设函数f（x）=x2+2cos x，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f（2x）的解集为（）A. （-1，）B. [0，）C. （]D. [0，]10.设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A. B. C. D.11.已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.12.已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A. eB.C.D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足a1=1，前n项和未s n，且s n=2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n=______．14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．16.如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．18.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：;（3）求P99，P100的值．19.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1-AE-O的余弦值．20.椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数f（x）=e x cos x-x sinx，g（x）=sin x-e x，其中e为自然对数的底数．（1）∀x1∈[-，0]，∃x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，求实数a的取值范围．答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】A12.【答案】A13.【答案】14.【答案】16π15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1），由正弦定理可得：，∴，∴，且A∈（0，π），∴，（2），∴bc=12，又a2=b2+c2-2b cos A，∴9=（b+c）2-3bc，∴，即△ABC的周长为．18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，P(X=3)=()3=，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)=()3=．∴的分布列如下：X 3 4 5 6 P∴．（2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，∴，即，∴.．（3）解：由（2）知数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}(n≥1)，，公比为的等比数列．∴，由此得到，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故．19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分）•=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，∴⊥，∴B1O⊥EO，=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分）∵AO∩EO=O，AO，EO⊂平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分）设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），，则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分）∴cos＜＞===，∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分）20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2=a2-c2=1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ=|x1|•|y1|=1，又，解得，||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4=2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22）===-3+8=5，综上可得||2+||2为定值5．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx；∵；∴cos x≥0，sin x≤0，e x＞0；∴e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx＞0；即f′（x）＞0；∴f（x）在上单调递增；∴f（x）的最大值为f（0）=1；，设h（x）=g′（x），则：；∵；∴；∴h′（x）＜0；∴h（x）在[0，]上单调递减；∴h（x）的最大值为h（0）=；∴h（x）＜0，即g′（x）＜0；∴g（x）在[0，]上单调递减；∴g（x）的最大值为g（0）=；根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；∴；∴；∴实数m的取值范围为；（2）；设F（x）=e x-（x+1），则F′（x）=e x-1；∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0；∴F（x）≥0；∴e x≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立；；∴①，x=0时取“=”；∴；==；；∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到；∴；∴f（x）-g（x）＞0．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），由得，∴l的普通方程为：，∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得：，∴，∴，∴t1，t2同号，∴．23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6，解得x≥-1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9，即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9；所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．。
高三模拟试卷理科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$的定义域为$\{x | -1 \leq x \leq 1\}$，则函数的值域为（）A. $[0,1]$B. $[0,+\infty)$C. $[-1,1]$D. $[-1,+\infty)$答案：B解析：由函数的定义域可知，$x^2 \leq 1$，即$-1 \leq x \leq 1$，则$1-x^2 \geq 0$，所以函数的值域为$[0,+\infty)$。
2. 若$a, b$是方程$x^2 - (a+b)x + ab = 0$的两根，则$a^2 + b^2$的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B解析：由韦达定理可知，$a+b=a+b$，$ab=ab$，则$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab = 4ab$，所以$a^2 + b^2 = 4$。
3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - n$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 31答案：C解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，代入$S_n = 3n^2 - n$得$3n^2 - n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，解得$a_1 + a_n = 6n - 1$。
又因为$a_{10} = a_1 + 9d$，其中$d$为公差，由等差数列的性质得$a_{10} = a_1 + 9d = 6 \times 10 - 1 = 59$，所以$a_{10} = 30$。
4. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为（）A. $x^2 + y^2 = 2$B. $x^2 + y^2 = 1$C. $x^2 - y^2 =2$ D. $x^2 - y^2 = 1$答案：D解析：由复数的模长公式$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，代入$|z-1| = |z+1|$得$\sqrt{(a-1)^2 + b^2} = \sqrt{(a+1)^2 + b^2}$，化简得$a^2 - 2a + 1 + b^2 = a^2 + 2a + 1 + b^2$，解得$a = 0$。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷3套模拟试卷一第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ．C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象 8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________. 14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2． （1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t x (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
年高考数学模拟试题(带答案理科)
年高考数学模拟试题（带答案理科)度高考模拟试题数学〔理〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，1．若集A＝x｜－1≤2x＋1≤3，B＝x｜≤0，则A∪B＝ ( ) A．x｜－1≤x＜2 B．x｜－1≤x≤2C．x｜0≤x≤2 D．x｜0≤x≤12．函数的零点是〔〕A． B．和 C．1 D．1和3．复数与复数在复平面上的对应点分别是、，则等于 ( )A、 B、 C、 D、4．已知函数的定义域为，集合，若：是Q：”充分不必要条件，则实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．5．已知等差数列中，，记，S13=( )A．78 B．68 C．56 D．526．要得到一个奇函数，只需将的图象( )A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位7．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2＜m＜4 D．－4＜m ＜28．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为〔〕A． B． C． D．9．设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,.且.则不等式的解集是〔〕A．〔－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)C．(－∞ ,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－3)∪(0, 3)10．已知函数，若有四个不同的正数满意〔为常数〕，且，，则的值为( )A、10B、14C、12D、12或2011．已知定义在R上的函数对任意的都满意，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是〔〕A. B. C. D.12．在平面直角坐标系xOy中，点A〔5，0〕，对于某个正实数k，存在函数f〔x〕＝a〔a＞0〕．使得＝λ·〔＋〕〔λ为常数〕，这里点P、Q的坐标分别为P〔1，f〔1〕〕，Q〔k，f〔k〕〕，则k的取值范围为( )A．〔2，＋∞〕 B．〔3，＋∞〕 C．[4，＋∞〕 D．[8，＋∞〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上〕13. 过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为。
高三数学(理科)模拟试卷及答案
高三数学（理科）模拟试卷及答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合}3,2,1,0,1{},2|||{-=<=B x x A ，则=⋂B A ( ) A.{}1,0 B.{}2,1,0 C.{}1,0,1- D.{}2,1,0,1-2. 若复数z 满足为虚数单位）其中i i z i (3)1(+=-，则=||z ( ) A.1 B.2 C.2 D.53. 已知2log ,3.0,212123==⎪⎭⎫⎝⎛=-c b a ，则c b a ,,的大小关系( )A.c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.c a b >> 4. 已知b a ,均为单位向量，若3|b 2-|=a ，则a 与b 的夹角为( ) A.6π B.3π C.2π D.32π 5. 若等差数列}{n a 和等比数列}{n b 满足8,14411==-==b a b a ，则22b a 为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-26. 已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆422=+y x 上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A.23B.23±C.2±D.2±7. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C.2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳8. 6)1)(1(x ax +-的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ）A.32B.2C.2-D.32- 9. 函数x x x x f sin 21)(2-=的大致图像可能是（ ）A. B. C. D.10. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A.2021B.2019C.5052D.15052-11. 如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF=∠BCE=90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB=DE=2BC=2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ） ①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直A.0B.1C.2D.312. 已知点21,F F 分别是双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足||2||21OP F F =，3tan 12≥∠F PF ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A.(]2101，B.),210[+∞C.()2101，D.]2,210( 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
高考数学(理科)模拟试卷及答案3套
高考数学（理科）模拟试卷及答案模拟试卷一一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}2|0N x x x =-<，则下列结论正确的是 ( )A ．φ=)(N C M U IB ．N N M =IC ．U N M =ID ．)(N C M U ⊆ 2．下面关于复数Z =i--12的四个命题: ( );2:1=z p z p :2的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为)1,1(--z p :3的虚部为-1; i z p 2:24-=,其中的真命题是A ．32,p pB ．21,p pC ．42,p pD ．43,p p3．下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．若""q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题 B ．"1"-=x 是"065"2=--x x 的必要不充分条件 C ．命题"11,1"<>xx 则若的逆否命题为真命题 D ．命题,"0R x ∈∃使得"01020<++x x 的否定是：,"R x ∈∃均有"012≥++x x4．设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则 （ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >> 5．空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的有（ ）1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则βγ∥； 2p ：若a b ⊥且a c ⊥，则b c ∥；3p ：若a α⊥且b α⊥，则a b ∥； 4p ：若a α⊥，b β⊥且αβ⊥，则a b ⊥.A.1p ，2p B. 2p ，3p C. 1p ，3p D. 3p ，4p6．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为77,n s b a =， 则13s = （ ） A. 26B. 52C. 78D. 1047．已知四棱锥S ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．33D ．238．已知函数2,(),x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞9．如图所示的图象对应的函数解析式可能是 ( )A. 221xy x =-- B. 2sin 41x xy x ⋅=+C. ln x y x=D. ()22e xy x x =- 10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是 ( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增 11． “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在,当正视图和侧视图完全相同时,它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a , C. b c , D ．d b , 12．已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有'()(23)()x f x e x f x =++（e 是自然对数的底数），(0)1f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是 （ ） A. 21[,0)e-B. 21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 21(,0]e-D. 21(,0)e-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则2cos d 2xa x π⎰=__． 14．已知向量(cos(),1),(1,4),3a b πα=+=如果∥a b ，那么cos(2)3πα-的值为_______． 15．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是_____ 16．已知⊿ABC 为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=u u u r u u u r__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅u u u r u u u r的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角ABC ∆中， a ， b ， c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足()2cos 0c a cosB b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，边AC 边上的高321BD =，求ABC ∆的面积S 的值． 18．已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．19．在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA//BE ，4AB PA ==，2BE =． （1）求证：CE//平面PAD ；（2）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.(3)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.21．(本小题12分) 已知函数321()212f x ax x x =-++-在1x =处的切线斜率为2. (1)求()f x 的单调区间和极值;(2)若()ln 20f x k x '-->在[1,)+∞上无解,求k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为510cos ()10sin x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． (1) 求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程； (2) 若直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值.答案1-12：BCCDDBCDDDAC13．3π．14．15．316． (1). (2).17.解：（1）∵()2cos 0c a cosB b A --=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=， ∴()2sin sin sin cos C A cosB B A -=，()2sin cos sin 0C B A B -+=， ∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2B =，∵()0,πB ∈，π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入c ，321BD =3sin B =7b a =， 由余弦定理得：22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入73b a =，得29180a a -+=， 解得37a b =⎧⎪⎨=⎪⎩67a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，又∵锐角三角形，∴222a c b <+，∴3a =，∴11333sin 2322ABC S ac B V ==⨯⨯=18.解：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++L ()112222n n n -=++. 存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立,以存在*N n ∈，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.又()21114416222424nn n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）. 所以116λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.解：（1）设中点为，连结， 因为//，且，所以//且， 所以四边形为平行四边形，所以//，且． 因为正方形，所以//，所以//，且，所以四边形为平行四边形，所以//． 因为平面，平面，所以//平面．（2）如图如图，建立空间坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，所以．令，则，所以．假设存在点满足题意，则，．设平面的一个法向量为，则，令，则，所以．因为平面平面，所以，即， 所以， 故存在点满足题意，且．20.证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB.因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知，OP ⊥OB.由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB∩AC＝O ，知PO ⊥平面ABC.(2)解 作CH ⊥OM ，垂足为H.又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC·MC·sin∠ACB OM ＝455. 所以点C 到平面POM 的距离为455.(3)解 如图，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，＝(0，2，23).取平面PAC 的一个法向量＝(2，0，0).设M(a ，2－a ，0)(0<a≤2)，则＝(0，4－a ，0). 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z).由·n＝0，·n＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a)，所以cos 〈，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a2＋a2.由已知可得|cos 〈，n 〉|＝32，所以23|a －4|23（a －4）2＋3a2＋a2＝32，解得a ＝－4(舍去)，a ＝43， 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又＝(0，2，－23)，所以cos 〈，n 〉＝34. 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 21.解(1)∵，∴， ∴，令，解得或..当变化时，的变化情况如下表:∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.∴函数的极小值为，极大值为.(2)令，∵在上无解,∴在上恒成立,∵，记，∵在上恒成立,∴在上单调递减,∴， 若，则，∴，∴单调递减,∴恒成立,若，则，存在，使得， ∴当时，，即，∴在上单调递增,∵，∴在上成立,与已知矛盾,故舍去综上可知，.22．解(1) 曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+= 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=由两圆心的距离3(10102)d =∈,以两圆相交,以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l 的参数方程为22242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得292310t t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t 所以1292t t +=-，1231t t =，所以1t ，2t 同号. 所以121292MA MB t t t t +=+=+=模拟试卷二第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x │x 2-4x>0}，N={x │m<x<8}，若M ∩N={x │6<x<n},则m+n=（ ） A.10B. 12C.14D.162.“01x <<”是“1x x >”的( ). A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3．在△ABC 中，,AB a AC b ==u u u r r u u u rr， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =u u u r( )A ．1233a b +r r ,B ．1132a b +r rC ．1124a b +r rD ．1142a b +r r4.设a>0，b>0且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2 5.下列结论正确的个数是( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；(2)函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件； (3)x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； (4)“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（ ）A. 2019B. 1010C. 4038D. 3030 7．函数的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．.8.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ） A.43π B.4π C.0 D.4-π 9.函数f (x )=A sin(2x+φ)(|φ|≤π,A>0)的部分图象如图所示,则f (x )( ). A.在上是减函数 B.在上是增函数 C.在上是减函数 D.在上是增函数10.已知定义在R 上 的函数()22xf x a -=-与函数()222x g x x -=+-的图像有唯一公共点，则实数a 的值为（ ）A.-1B. 0C. 1D.2 11.已知在等比数列{}n a 中，21a =，524a =，若12231n n a a a a a a m +++⋅⋅⋅+<对任意n *∈N 都成立，则m 的最小值为( ).A.12B. 2C. 2D. 22 12.函数f(x)是定义在R 上的函数，且满足3(2)()2f x f x +=，当x ∈[-1,1)时，2()1f x x =-+，则方程29()log 08f x x -=在（0,5］的根的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ,y 满足约束条件则z=3x-2y 的最小值为 .14．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝________．15.已知数列{a n },{b n }，满足a 1=b 1=1，a n+1-a n =nn b 1b +=2，，则数列{n a b }的前10项的和为________．16.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则·(+)的最小值是________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.(本小题满分10分)设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足25a =，45313a a a +=+.设正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2481b b =，3S 13=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .19.(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos ∠CAD 的值; (2)若cos ∠BAD=-,sin ∠CBA=,求BC 的长.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值．21. (本小题满分12分) 已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S（2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问使得n T >10002015成立的最小正整数n 是多少? .22.(本小题满分12分)已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，R a ∈． (1)若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>答案一、选择题（每题5分，满分60分）1. C2.B3.D4.C5.B6.B7.A8.B9.B 10.D 11.D 12.B 二、填空题（每题5分，满分20分） 16.23- 13.-5 14.2 15. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………………………………5分（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A 为锐角，所以3cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：22132bc b c bc +=+≥ 即：23,bc ≤+当且仅当b c =时等号成立.因此123sin 24bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为234+…………………5分 18.（1）设公差为d ，因为25a =，45313a a a +=+， 所以5+2d +5+3d =5+d +13，解得2d =.又因为25a =，所以2(2)21n a a n d n =+-⋅=+.因为2481b b =，所以2381b =，b =9，即219b q =，①又313S =，所以()311131b q q-=-，即()21113b q q++=，②由①除以②，得()21219131b q b q q =++，化简得24990q q --=，因为0q >，所以3q =，所以3313933n n n n b b q ---==⨯=.…………………………………………………6分 （2）因为1(21)3n n n n c a b n -==+⋅，所以0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅L ，③1233335373(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅L ，④由③减④，得()121232333(21)3n nn T n --=++++-+⋅L ，所以()1331232(21)32331n n n nT n n ---=+⨯-+⋅=-⋅-.所以3nn T n =⋅.……………………………………………………………………12分19.解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD===.………4分(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos ∠CAD=,cos ∠BAD=-,所以sin ∠CAD===,sin ∠BAD===.于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)=sin ∠BADcos ∠CAD-cos ∠BADsin ∠CAD =×-×=.………………………………………………………………8分在△ABC 中,由正弦定理,得=,故BC===3.………………………12分20.(1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．……………2分②当a >0时，令f (x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.……………4分(2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1，2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .………………………………………………………………………………5分②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1，2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .………………6分③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ， 所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .…………………………………………10分 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .……………………………………12分21. 解:（1）()113f a ==Q ,()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-,()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=-- ，所以 1c =；公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *n N ∈ ；……………4分 1111n n n n n n n n S S S S S S S S -----==Q ()2n ≥又0n b >0n S >, 11n n S S -∴=； 数列{}nS 构成一个首相为1公差为1()111n S n n +-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)；……8分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； 由1000212015n n T n =>+得100015n >，满足10002015n T >的最小正整数为67. ……12分22. (1).()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立， 即ln 24x a x x≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln x g x x --'=，∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭…………………………………………………………………4分(2).若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I ），知e04a <<． 由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<， ∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数2(1)()ln ,011x h x x x x -=-<≤+．∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减．∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a +>．………………12分模拟试卷三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数ii215+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知集合A = {x| x 2- x - 2 < 0} ， B = {x| | x |> 1}，则 A ∩B = （ ）A ． (-2, -1)B ． (-1,1)C ． (0,1)D ． (1, 2)3.已知 x , y ∈ R ，且 x > y > 0 ，则（）A. cos x - cos y > 0B. cos x + cos y > 0 C ． l n x - ln y > 0 D ． l n x + ln y > 0 4.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于y 轴对称，则 f (x ) = （ ）A.1+-x eB.1--x eC.1-x eD.1+x e5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A.53 B.169 C.167 D.526.已知等比数列}{n a 满足24,363121=-=-a a a a ，则使得n a a a Λ21取得最大值的n 为（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 67.已知α为锐角，53cos =α则=-)4tan(απ（ ）8.已知双曲线C:12222=-by a x ，O 为坐标原点，直线a x =与双曲线C 的两条渐近线交于A, B 两点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（）9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GWD ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过31 10.已知函数12121)(+++=x x f x，且3)2()(2>+a f a f ，则a 的取值范围是（ ）11.已知函数 f (x ) = sin x + sin(πx )，现给出如下结论： ① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数 ③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 412.已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 ,BB 1 ,CC 1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（）第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP ⋅ BC =。
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2019高考数学模拟试题（带答案理科)
为了帮助学生们更好地学习高中语文，查字典数学网精心为大家搜集整理了2019高考数学模拟试题，希望对大家的语文学习有所帮助!
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
1.若集A={x|-13}，B={x|0}，则AB= ( )
A.{x|-12}
B.{x|-12}
C.{x|02}
D.{x|01}
2.函数的零点是( )
A. B.和 C.1 D.1和
3.复数与复数在复平面上的对应点分别是、，则等于 ( )
A、 B、 C、 D、
4.已知函数的定义域为，集合，若：是
Q：充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列中，，记，S13=( )
A.78
B.68
C.56
D.52
6.要得到一个奇函数，只需将的图象( )
A、向右平移个单位
B、向右平移个单位
C、向左平移个单位
D、向左平移个单位
7.已知x0，y0，若恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.m4或m
B.m2或m
C.-2
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,
.且.则不等式的解集是 ( )
A.(-3,0)(3,+)
B.(-3,0)(0, 3)
C.(- ,- 3)(3,+)
D.(-,- 3)(0, 3)
10.已知函数，若有四个不同的正数满足(为常数)，且，，则的值为( )
A、10
B、14
C、12
D、12或20
11.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是( )
A. B. C. D.
12.在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0)，对于某个正实数k，存在函数f(x)=a(a0).使得=(+)(为常数)，这里点P、Q 的坐标分别为P(1，f(1))，Q(k，f(k))，则k的取值范围为( )
A.(2，+)
B.(3，+)
C.[4，+)
D.[8，+)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13. 过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为。
14. 计算：
15. 设z=2x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z
的最小值为_________.
16. 已知函数定义在上，对任意的，已知，则
17.(本小题满分12分)
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若、，求.
18. (满分12分)已知函数，若数列(nN*)满足：，
(Ⅰ) 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足：，求数列的前n项的和.
19. (本小题满分12分)已知函数
(Ⅰ)求函数的最小值;
(Ⅱ)已知，命题p：关于x的不等式对任意恒成立;命题q：函数是增函数.若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.
20.已知椭圆：的左、右焦点和短轴的
两个端点构成边长为2的正方形.(Ⅰ)求椭圆的方程;m] (Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于，两点.
点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.
21.(本小题共12分)已知函数.
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)当时，曲线上总存在相异两点，，，使得曲线在、处的切
线互相平行，求证：.
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数).在极坐标系(与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴)中，曲线的方程为.
(Ⅰ)求曲线直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线、交于A、B两点，定点，求的值
23.已知函数。
(1)若的解集为，求实数的值。
(2)当且时，解关于的不等式
2019-2019学年度高考模拟试题
数学(理)答案
一、选择题：BDBCD CDCDD AA
11. 由得，因此，函数周期为2.因函数至少6个零点，可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数进行分类讨论.当时：得，即.当时：得，即.所以取值范围是.
二、填空题
13 . 14.
15. -2 16. 1
三、解答题
17、
18.解：(1)
是等差数列， 5分
(2)
12分
19，解：(Ⅰ) 、
20.解：(Ⅰ)由已知得(2分)又，椭圆方程为(4分)
(Ⅱ)①当直线的斜率为0时，则; 6分
②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，
将代入，整理得.
则，. 8分
又，，
所以， =
. 10分
令，则所以当且仅当，即时，取等号，当t=0时=由①②得，直线的方程为.12分
21.【答案】(1)函数的定义域为.
求导数，得，
令，解得或.∵，，
当时，;当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.6分
(2)由题意得，当时，且，
即
整理得
令所以在上单调递减，所以在上的最大值为 12分
22.
23.解：(Ⅰ)由|x﹣a|m得a﹣ma+m，
所以解之得为所求. 4分
(Ⅱ)当a=2时，f(x)=|x﹣2|，
所以
当t=0时，不等式①恒成立，即x
当t0时，不等式
解得x2﹣2t或或x，即;
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t0时，原不等式的解集为. 10分
经过精心的整理，有关2019高考数学模拟试题的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快!。