专题09 一元二次方程及其应用(解析版)

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专题09应用一元二次方程(2个知识点4种题型1种中考考法)(原卷版)-九年级数学上册学练(北师大版)

专题09应用一元二次方程（2个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤知识点2：几种常见的一元二次方程应用题类型（重点）【方法二】实例探索法题型1：列一元二次方程解“传播”问题题型2：列一元二次方程解“利润”问题题型3：列一元二次方程解“图形面积”问题题型4：列一元二次方程解“动点”问题【方法三】仿真实战法考法：一元二次方程的实际应用【方法四】成果评定法【学习目标】1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。

2.认识方程模型的重要性，掌握运用方程解决实际问题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力。

【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤1.审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；2.设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；3.列(根据题目中的等量关系，列出方程)；4.解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；5.验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）6.答(写出答案，切忌答非所问).知识点2：几种常见的一元二次方程应用题类型（重点）1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)n a x b +=(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -=(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)【例1】（2023·湖南湘西·统考三模）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为100min ，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min ，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x ，则可列方程为（）A ．()2701100x +=B ．()2701100x +=C ．()2100170x -=D ．()2100170x -=【变式】（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客194.98万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为14.4万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；(2)若第1天的营业额为4.6万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的10％，求该网红店第5天营业额．2．面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.【例2】（2023·新疆喀什·统考三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x 米，根据题意可列方程为（）A ．()301000x x +=B ．()301000x x -=C ．()2301000x x +=D ．()2301000x x -=【变式】（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m ，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．3．数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.【例3】（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（）A．25B．36C．25或36D．64【变式】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数.4．利润（利息）问题利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数【例4】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【变式】（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？5．比赛统计问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环．【例5】（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9【变式】（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（）A．80个B．120个C．15个D．16个6．传播问题传播问题：(1)n+=，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的a x A人数．【例6】（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意列出方程为（）A ．21121x x ++=B ．()11121x x ++=C ．()11121x x x +++=D ．()()111121++++=x x x 【变式】（2023·宁夏银川·校考一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A ．1281x +=B ．2181x +=C ．2181x x ++=D ．2(1)81x +=【方法二】实例探索法题型1：列一元二次方程解“传播”问题1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人．A ．8B ．9C ．10D ．112．（2023·宁夏银川·校考一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A ．1281x +=B ．2181x +=C ．2181x x ++=D ．2(1)81x +=3．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA ），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA 常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（）A ．80个B ．120个C ．15个D ．16个题型2：列一元二次方程解“利润”问题4．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件，若使商场每天盈利1200元，每件服装应降价多少元？5．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？6．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式；(2)如果前两天共获利525元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？题型3：列一元二次方程解“图形面积”问题7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，3600m，则小路的宽是（）若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是2A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m8．（2023·山东淄博·统考二模）如图，在一块长92m ，宽60m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为25310m ，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖x m 宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（）A ．()()922605310x x --=B ．292602609225310x x x ⨯-⨯--=C ．9260260925310x x ⨯-⨯-=D ．292602926025310x x x ⨯-⨯-+=9．（2023·全国·九年级假期作业）空地上有一段长为a 米的旧墙AB ，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S 平方米．若18a =，194S =，则（）A ．有一种围法B ．有两种围法C ．不能围成菜园D ．无法确定有几种围法10．如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为2551m ．则道路的宽为是______．11．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一块矩形菜地()(),m ,m ABCD AB a AD b ==，面积为()2m s ．现将边AB 增加1m ．（1）如图1，若5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是__________．（2）如图2，若边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为()22m s ，则s 的值是__________．12．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．13．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为32：．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？题型4：列一元二次方程解“动点”问题14．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，8AC cm =，6BC cm =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是1/s cm ，点Q 的速度是2/s cm ．P 、Q 两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t 秒．当t =__________s 时，PQ 平分ABC 的面积．15．如图，矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别是从A B ，同时出发，求经过几秒时，(1)PBQ 的面积等于8平方厘米？(2)五边形APQCD 的面积最小？最小值是多少？16．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16cm AB =，6cm AD =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动．问：(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为233cm？(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？(3)P，Q两点间距离何时最小？【方法三】仿真实战法一．选择题（共4小题）1．（2023•哈尔滨）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（）A．x（x﹣6）＝720B．x（x+6）＝720C．x（x﹣6）＝360D．x（x+6）＝360 2．（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58B．5.76（1+x2）＝6.58C．5.76（1+2x）＝6.58D．5.76x2＝6.583．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m4．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（）A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2二．填空题（共3小题）5．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程．6．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为．7．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．三．解答题（共2小题）8．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？9．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【方法四】成功评定法一．选择题（共10小题）1．（2023春•南岗区期末）某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（）A．800（1+2x）＝1200B．800（1+x2）＝1200C．800（1+x）2＝1200D．800（1+x）＝12002．（2023春•西和县期中）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（）A．B．5C．D．73．（2022秋•和平区校级月考）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66B．＝66C．x（1+x）＝66D．x（x﹣1）＝664．（2023•南通二模）有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则根据题意可列方程（）A．（1+x）2＝144B．（1+x2）＝144C．（1﹣x）2＝144D．（1﹣x2）＝144 5．（2023•阜新一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（）A．x（18﹣3x）＝40B．x（20﹣2x）＝40C．x（22﹣3x）＝40D．x（20﹣3x）＝406．（2023•兴庆区校级模拟）一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（）A．12元B．10元C．8元D．5元7．（2021•新民市开学）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，衬衫的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（）A．（20+x）（40﹣2x）＝1250B．（20+x）（40﹣x）＝1250C．（20+2x）（40﹣2x）＝1250D．（20+2x）（40﹣x）＝12508．（2023春•道里区期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．11B．12C．13D．149．（2021秋•滕州市校级月考）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（）A．25%B．37.5%C．50%D．75%10．（2022秋•昌图县期末）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1260张照片．设全班有x名同学，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝1260B．x（x+1）＝1260C．x（x﹣1）＝1260×2D．x（x+1）＝1260×2二．填空题（共8小题）11．（2022秋•兴隆台区校级月考）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，设每只病鸡传染健康鸡的只数为x只，则可列方程为．12．（2022秋•沙依巴克区校级期末）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．13．（2023春•栖霞市期末）某市实施精准扶贫的决策部署以来，贫困户甲2014年人均纯收入为2600元，经过帮扶到2016年人均纯收入为5096元，则该贫困户每年纯收入的平均增长率为．14．（2022秋•武清区校级月考）参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有个队参加比赛．15．（2022秋•中宁县期中）两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程．16．（2023春•东阳市月考）2022年东阳市初中男生篮球比赛在小组初赛之后，每个小组的第一名再进行决赛，决赛采用单循环比赛（单循环比赛是指所有参赛队伍可在比赛中相遇一次）方式，单循环比赛共进行了15场，参加比赛的队伍共有支．17．（2023春•九龙坡区月考）从正方形的铁片上，沿正方形边长截去3cm宽的一条长方形，余下面积为40cm2，则原来的正方形铁片的面积是cm2．18．（2022秋•仓山区校级月考）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．20．（2022秋•绿园区校级期末）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．21．（2022秋•昆明期末）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？22．（2021秋•莘县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？23．（2022秋•渝中区期末）渝中区正在进行旧城改造和旅游升级，即将改造完毕的大田湾体育场外广场正在打造体育生态公园，实现体育与环境的完美结合，为周边群众创造更加舒适的健身休闲环境．体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线A﹣B﹣C表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知AB⊥BC，AB＝10米，BC＝70米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网GH隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段BC上．（1）如图，设EF的长为x米，则DE＝米；（用含x的代数式表示）（2）若围成的篮球场BDEF的面积为1500平方米，求篮球场的宽EF的长；（围网及墙体所占面积忽略不计）（3）篮球场BDEF的面积能否达到2000平方米？请说明理由．24．（2023春•江州区期末）某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件．（1）若每件服装降价x元，求用含x的代数式表示商场平均每天可售的件数；（2）若使商场每天盈利1200元，每件服装应降价多少元？25．（2022秋•乐平市期中）有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮．（1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．26．（2022•盂县一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．。

初中数学几何模型与最值问题09专题-一元二次方程在实际应用中的最值问题(含答案)

初中数学几何模型与最值问题专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

2、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16二、配方法求最值1、设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +的最小值为．三、 “夹逼法”求最值1、不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80 259月份45 10根据上表的数据，求A的值．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m） 1 3 5 7矩形ABCD面积（m2）（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题答案【应用呈现】2、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【解析】（1）设每年平均增长的百分率为x ． 60002)1(x +=8640，2)1(x +=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x =1.2， x =20%．答：每年平均增长的百分率为20%；（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元．故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【解析】(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54．【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。

一元二次方程综合运用(含答案解析)

一元二次方程综合运用1.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若满足，求a 的值. 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-2（a-1）x+a 2-a-2=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（a-1）]2-4（a 2-a-2）＞0，解得：a ＜3，∵a 为正整数，∴a=1，2；（2）∵x 1+x 2=2（a-1），x 1x 2=a 2-a-2，∵x 12+x 22-x 1x 2=16，∴（x 1+x 2）2-x 1x 2=16，∴[-2（a-1）]2-3（a 2-a-2）=16，解得：a 1=-1，a 2=6，∵a ＜3，∴a=-1．2.已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值. 解：（1）证明：∵，∴，.∴无论取何值此方程总有两个实数根.（2）由（1）知：原方程可化为，∴，， 02)1(222=--+--a a x a x 21,x x 21,x x 16-212221=+x x x x x (3)(2)(1)x x p p --=+p 1x 2x 222121231x x x x p +-=+p (3)(2)(1)x x p p --=+22560x x p p -+--=22(5)4(6)p p ∆=----22252444441p p p p =-++=++22(21)0p =+≥p 22560x x p p -+--=125x x +=2126x x p p =--又，∴，∴，，∴，∴.3.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1•x 2满足3x 1=|x 2|+2，求m 的值．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2，∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m ≥0，解得：m ≤5，∴m 的取值范围为m ≤5．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=6①，x 1•x 2=m+4②．∵3x 1=|x 2|+2，当x 2≥0时，有3x 1=x 2+2③，联立①③解得：x 1=2，x 2=4，∴8=m+4，m=4；当x 2＜0时，有3x 1=﹣x 2+2④，联立①④解得：x 1=﹣2，x 2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m 的值为4．4.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0，整理得：4﹣4m+4≥0，解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2， 222121231x x x x p +-=+221212()331x x x x p +-=+22253(6)31p p p ---=+2225183331p p p -++=+36p =-2p =-即4=8（m﹣1），解得：m=．∵m=＜2，∴符合条件的m的值为．5.已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，△（m﹣1）2≥0，△△=（m﹣1）2+8＞0，△原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，△x1+x2=m﹣3 x1•x2=﹣m△AB=|x1﹣x2，△AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，△当m=1时，AB2有最小值8，△AB有最小值，即AB==26.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．解：（1）①方程有两个不相等的实数根，①①=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，解得：k＞﹣；（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，①x1+x2=﹣3，x1x2=1，①x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．7.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．8.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，∵k≤，∴k=4（舍去），∴k=﹣1．9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．解：（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴+=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10， ∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10，∴m 2﹣2m ﹣3=0，∴m=﹣1或m=310.关于x 的一元二次方程01)12(22=++++k x k x 有两个不等实根1x 、2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x 、2x 满足2121x x x x ⋅-=+，求k 的值．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴034)1(4)12(22>-=+-+=∆k k k ，解得：43>k ．（2）由根与系数的关系，得)12(21+-=+k x x ，1221+=⋅k x x ． ∵2121x x x x ⋅-=+，∴)1()12(2+-=+-k k ，解得：0=k 或2=k ，又∵43>k ， ∴2=k ．。

一元二次方程的应用8类模型(增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)(解析版)

专题09一元二次方程的应用压轴题八种模型全攻略(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)【考点导航】目录【典型例题】 (1)【题型一一元二次方程的应用--传播问题】 (1)【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】 (3)【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 (4)【题型四一元二次方程的应用--数字问题】 (6)【题型五一元二次方程的应用--营销问题】 (8)【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】 (10)【题型七一元二次方程的应用--工程问题】 (13)【题型八一元二次方程的应用--行程问题】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【题型一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】15人【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x 人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x 人，依题意，得1(1)256x x x +++=，即2(1)256x +=，解方程，得115x =，217x =-（舍去）．【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x ，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×21+月（藏书的平均增长率），即可得出关于x 的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x ，根据题意，得()2500017200x +=解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）该校这两个月藏书的月均增长率为20%；（2）()7200120%8640⨯+=（册），所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·北京石景山·八年级统考期末）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．【答案】2m【分析】设甬路的宽为x m ，先得出8PQ OB ==，即8MB OB OM x =-=-，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设甬路的宽为x m ，∵矩形ABCD 中，PO PQ =，OM QN =，∴四边形OPQB 是正方形，∵点O 为边AB 中点，16AB =m ，【答案】()()20218x x --=【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为形，结合花卉种植面积共为【详解】解：∵花园长20直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD 的一边长CD 为x 米．(1)求矩形ABCD 的另一边长BC 是多少米？（用含x 的代数式表示）(2)矩矩形ABCD 的面积能否为272m ？若能，求出CD 的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)（30﹣3x ）米(2)能，6m【分析】（1）根据题中条件即可求出BC 的长；（2）根据矩形ABCD 的面积为272m ，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1）修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），2283(303)BC x x ∴=+-=-米，即另一边长BC 是(303)x -米；（2）矩形ABCD 的面积能为272m ，理由如下：由题意得：(303)72x x -=，整理得：210240x x -+=，解得：14x =，26x =，当4x =时，30330341815x -=-⨯=>，不符合题意，舍去；当6x =时，30330361215x -=-⨯=<，符合题意；答：矩形ABCD 的面积能为272m ，CD 的长为6m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（）A ．25B ．36C ．25或36D ．64【答案】C【分析】设十位数字为x ，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为()3x +．依题意得：2103(3)x x x ++=+，解得:122,3x x ==.∴这个两位数为25或36．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x ，可得方程________．【答案】()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【分析】已知设其中的一个奇数为x ，且设其中的一个奇数为x ，分两种情况讨论：若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，即可列出方程()2323x x ⋅+=；若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，即可列出方程()2323x x ⋅-=，即可正确解答．【详解】①若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，∵两个连续奇数的积为323，∴()2323x x ⋅+=；②若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，∴()2323x x ⋅-=；故答案为：()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，依题意，得：()172x x +=，整理，得：2720x x +-=，解得：19x =-（不合题意，舍去），28x =，∴()()1011081898x x ++=⨯++=．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．【题型五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克水果应涨价5元【分析】设每千克应涨价x 元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：(5)(60020)5000x x +-=，解得：5x =或20x =，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；答：每千克水果应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x ，则有：()21196x +=+％，解得：120.4, 2.4x x ==-（不符合题意，舍去），答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40％．（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m 万元，由题意得：()()15822596m m -+-=⎡⎤⎣⎦解得：1223,21m m ==，∵尽量让利于顾客，∴21m =；答：下调后每辆汽车的售价为21万元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在ABC 中，9016cm 12cm ACB AC BC ∠=︒==，，，动点M 、N 分别从点A 和点C 同时开始移动，点M 的速度为2cm /秒，点N 的速度为3cm /秒，点M 移动到点C 后停止，点N 移动到点B 后停止．问经过几秒钟，MCN △的面积为236cm【答案】2秒【分析】设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，则()162cm 3cm CM AC AM x CN x =-=-=，，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，【答案】4cm【分析】设cm AP x =，则形面积公式求解出AP 的值即可．【详解】设cm AP x =，则(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q 是10cm？(2)若点P沿着AB BC CD→→移动，点探求经过多长时间PBQ的面积为12cm【答案】(1)8s5或24s5；【题型七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A ，B 两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了()25m +小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．【答案】(1)A 型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m 的值为10【分析】（1）设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A 型设备铺设的路面长度B +型设备铺设的路面长度3600750=+”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意得，()30302303600x x ++=，解得：30x =，则23090x +=，答：A 型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，()()()303025903303600750m m m +++-+=+，整理得，2100m m -=，解得：110m =，20m =（舍去），∴m 的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x 条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x 的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）2780001625x x -；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：()2780001625780001625x x x x -=-个/天故答案为：2780001625x x -；（2）根据题意，得：2780001625702000x x -=12x =或36x =∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【题型八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（）个球队参加比赛．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得．【详解】解：设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，由题意得：()11282x x -=，解得8x =或70x =-<（不符合题意，舍去），故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）电影《长津湖之水门桥》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役的一部分为背景，上演了一段可歌可泣的历史，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约6亿元，以后每天票房按相同的增长率增长；三天后累计票房收入达14.7亿元，若设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为（）A ．()6114.7x +=B ．26(1)14.7x +=C ．266(1)14.7x ++=D ．()26616(1)14.7x x ++++=【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为x ，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解．【详解】设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为()()26616114.7x x ++++=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元【答案】A 【分析】根据题意可知：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；【详解】设每本《几何原本》的进价为x 元，则：由题意可得：400.810x ⨯-=，解得：22x =；故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为72m ，宽为40m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为21792m ，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m ？设行车通道的宽度是m x ，则可列方程为（）A ．()()72401792x x --=B ．()()7244021792x x --=C ．()()7234021792x x --=D ．()()724401792x x --=【答案】B 【分析】设行车通道的宽度为m x ，再根据停车区域面积之和为21792m 列出一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：设行车通道的宽度为m x ．根据题意，得()()7244021792x x --=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）A ．36B ．26C ．24D ．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其值代入4t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，依题意得：22210(4)(610)t t +=-，整理得：2201200t t -=，解得：126,0t t ==（不合题意，舍去），∴44624t =⨯=．故乙走的步数是24．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（1）BC=三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有(1)x +台被感染，第二轮后共有(1)(1)x x x +++即2(1)x +台被感染，利用方程即可求出x 的值，并且3轮后共有3(1)x +台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则经过1轮后有()1x +台被染上病毒，2轮后就有()21x +台被感染病毒，依题意，得()2181x +=，解得18x =，210x =-（舍去）．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有()()33118729x +=+=台电脑被感染．由于729700>，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【答案】(1)20%(2)6元【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x ，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量⨯（1+该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每个“冰墩墩”降价y 元，则每个盈利()20y -元，平均每天可售出(20)5y +个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润⨯平均每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其符合(1)DC=___________米（用含(2)若长方形围栏ABCD(3)长方形围栏ABCD面积是否有可能达到(1)用含t 的式子表示线段的长：CQ =__________；PB =__________．(2)当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为13cm ？(3)当t 为何值时，四边形APQD 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t 的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)2cm t ，()153cmt -(2)P 、Q 出发0.6和5.4秒时，P ，Q 间的距离是13cm(3)P 、Q 出发3秒时四边形APQD 为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q 作QM AB ⊥于M ，如果设出发t 秒后，13cm QP =．那么可根据路程=速度⨯时间，用未知数表示出PM 的值，然后在直角三角形PMQ 中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当AP DQ =时，四边形APQD 为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：2cm,3cm CQ t AP t ==，∵15cm AB =，∴()153cm PB t =-；故答案为2cm t ，()153cm t -；（2）解：设出发t 秒后P 、Q 两点间的距离是13cm ．则3AP t =，2CQ t =，作QM AB ⊥于M ，∵四边形ABCD 是矩形，。

一元二次方程及其应用(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编

一元二次方程及其应用一、单选题1(2023·四川泸州·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数a的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出Δ=2a2-4a2-1=4a2-4a2+4=4>0，即可得出答案．【详解】解：∵Δ=2a2-4a2-1=4a2-4a2+4=4>0，∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．2(2023·天津·统考中考真题)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则()A.x1+x2=6B.x1+x2=-6C.x1·x2=76D.x1·x2=7【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：方程x2-6x-7=0中的a=1,b=-6,c=-7，∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根，∴x1+x2=-ba =6，x1·x2=ca=-7，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．3(2023·广西·统考中考真题)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为()A.3.2(1-x)2=3.7B.3.2(1+x)2=3.7C.3.7(1-x)2=3.2D.3.7(1+x)2=3.2【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，3.2(1+x)2=3.7．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是()A.5mB.70mC.5m或70mD.10m【答案】A【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为100-2xm的矩形的面m，宽为50-2x积，根据花草的种植面积为3600m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为100-2xm，宽为50-2xm的矩形的面积，依题意得：100-2x=360050-2x解得：x1=5，x2=70(不合题意，舍去)，∴小路宽为5m．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5(2023·河南·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A【分析】对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ>0, 方程有两个不相等的实根，当Δ=0, 方程有两个相等的实根，Δ<0, 方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵x2+mx-8=0，∴Δ=m2-4×-8=m2+32>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．6(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()B.m>3C.m≤3D.m<3A.m<32【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=-22-4m-2>0，∴m<3，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ= b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ= b2-4ac<0，则方程没有实数根．7(2023·新疆·统考中考真题)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0，配方后得到的方程是() A.x+62=28 B.x-62=28 C.x+32=1 D.x-32=1【答案】D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即-622计算即可．【详解】∵x2-6x+8=0，∴x2-6x+8+-622=-62 2，∴x2-6x+-32=9-8，∴x-32=1，故选：D．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．8(2023·四川乐山·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为()A.4B.8C.12D.16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1、x2，∴x1+x2=8，∵x1=3x2，∴x2=2,x1=6，∴m=x1x2=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．9(2023·山东滨州·统考中考真题)一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定【答案】A【分析】根据题意，求得Δ=b2-4ac=9+8=17>0，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+3x-2=0中，a-1,b=3,c=-2，∴Δ=b2-4ac=9+8=17>0，∴一元二次方程x2+3x-2=0有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．10(2023·全国·统考中考真题)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是() A.33 B.23 C.17 D.17【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=b2-4ac求出答案．【详解】解：∵a=1，b=-5，c=2，∴△=b2-4ac=-52-4×1×2=17．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．11(2023·四川·统考中考真题)关于x的一元二次方程2x2-3x+32=0根的情况，下列说法中正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2x2-3x+32=0，其中a=2，b=-3，c=3 2，∴Δ=-32-4×2×32=-3<0，∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ= b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ= b2-4ac<0，则方程没有实数根．12(2023·山东聊城·统考中考真题)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤1C.m≥-1且m≠0D.m≤1且m≠0【答案】D【分析】由于关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知Δ≥0，且m≠0，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，4-4m≥0，且m≠0，解得，m≤1，且m≠0.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．13(2023·山东·统考中考真题)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为()A.32B.-3 C.3 D.-32【答案】C【分析】先求得x1+x2=-3，x1⋅x2=-1，再将1x1+1x2变形，代入x1+x2与x1⋅x2的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1、x2，∴x1+x2=-3，x1⋅x2=-1∴1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=-3-1=3．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca是解决本题的关键．14(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后正确的是()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2)2=5D.(x-2)2=17【答案】C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．【详解】解：x2-4x-1=0移项得，x2-4x=1两边同时加上4，即x2-4x+4=5∴(x-2)2=5，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．二、填空题15(2023·湖南常德·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k<1【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac>0，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=-22-4k>0，解得k<1．故答案为：k<1．【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．16(2023·湖北宜昌·统考中考真题)已知x 1、x 2是方程2x 2-3x +1=0的两根，则代数式x 1+x 21+x 1x 2的值为．【答案】1【分析】根据x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根，则有x 1+x 2=-bax 1·x 2=c a，求解即可．【详解】解：由题意得x 1+x 2=32x 1·x 2=12，原式=321+12=1．故答案：1．【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．17(2022秋·河南新乡·九年级统考期中)关于x 的一元二次方程x 2-2x -m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．【答案】m >-1【分析】根据有两个不相等的实数根得到Δ=-2 2-4×1×-m >0，解不等式即可．【详解】解：根据题意，得Δ=-2 2-4×1×-m >0，解得m >-1；故答案为m >-1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，原方程无实数根．18(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x 的方程x 2-2m +1 x +m +4=0两根的倒数和为1，则m 的值为．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a ，b ，由题意得：a +b =2m +1 ，ab =m +4，∴1a +1b =a +bab =2m +1 m +4，∴2m +1 m +4=1，解得：m =2，经检验：m =2是分式方程的解，检验：Δ=-2m +1 2-4m +4 =4×2+1 2-4×2+4 =12>0，∴m =2符合题意，∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．19(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根为x1与x2，则1x1 +1x2的值为．【答案】-2 3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=4，x1x2=-6，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+x=5x+6，即x2-4x-6=0，的两根为x1与x2，∴x1+x2=4，x1x2=-6，∴1 x1+1x2=x1+x2x1x2=4-6=-23，故答案为：-2 3．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20(2023·重庆·统考中考真题)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【答案】15011+x2=1815【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意得，15011+x2=1815，故答案为：15011+x2=1815．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．21(2023·四川达州·统考中考真题)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根，且x1-2x2-2=10，则k的值为．【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后整体代入求值即可．【详解】∵x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根，∴x1+x2=-ba =-k2，x1x2=ca=-22=-1，∵x1-2x2-2=10，∴x1x2-2x1-2x2+4=10，x1x2-2(x1+x2)-6=0，-1-2×-k2-6=0，∴解得k=7．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2=-b a 和x 1⋅x 2=ca是解题关键．22(2023·四川遂宁·统考中考真题)若a 、b 是一元二次方程x 2-3x +1=0的两个实数根，则代数式a +b -ab 的值为．【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到a +b =3，ab =1，由此即可得到答案．【详解】解：∵a 、b 是一元二次方程x 2-3x +1=0的两个实数根，∴a +b =3，ab =1，∴a +b -ab =3-1=3-1=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 ，若x 1，x 2是该方程的两个实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．23(2023·四川眉山·统考中考真题)已知方程x 2-3x -4=0的根为x 1,x 2，则x 1+2 ⋅x 2+2 的值为．【答案】6【分析】解方程，将解得的x 1,x 2代入x 1+2 ⋅x 2+2 即可解答．【详解】解：x 2-3x -4=0，对左边式子因式分解，可得x -4 x +1 =0解得x 1=4，x 2=-1，将x 1=4，x 2=-1代入x 1+2 ⋅x 2+2 ，可得原式=4+2 ×-1+2 =6，故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．24(2023·湖南怀化·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx -2=0的一个根为-1，则m 的值为，另一个根为．【答案】-1；2【分析】将x =-1代入原方程，解得m ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出x 1×x 2=-2，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx -2=0的一个根为-1，∴1-m -2=0解得：m =-1，设原方程的另一个根为x 2，则x 1·x 2=-2，∵x 1=-1∴x 2=2故答案为：-1，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25(2023·甘肃武威·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c=(写出一个满足条件的值)．【答案】-2(答案不唯一，合理即可)【分析】先根据关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根得到Δ=4-16c>0，解得c<14，根据c的取值范围，选取合适的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22-4×1×4c=4-16c>0，解得c<1 4，当c=-2时，满足题意，故答案为：-2(答案不唯一，合理即可).【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx +c=0a≠0有两个不相等的实数根是解题的关键．26(2023·上海·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是．【答案】a>9【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，∴Δ=b2-4ac=36-4a<0，解得：a>9；故答案为：a>9．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．27(2023·湖南·统考中考真题)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4，则它的另一个根是．【答案】5【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1⋅x2=ca=-20，根据该方程一个根为-4，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意可得：a=1,b=m,c=-20，∴x1⋅x2=ca=-20，∵该方程一个根为-4，令x1=-4，∴-4x2=-20，解得：x2=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两根为x1，x2，则x1⋅x2=ca，x1+x2=-ba．28(2023·山东枣庄·统考中考真题)若x=3是关x的方程ax2-bx=6的解，则2023-6a+2b的值为．【答案】2019【分析】将x=3代入方程，得到3a-b=2，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵x =3是关x 的方程ax 2-bx =6的解，∴a ⋅32-3b =6，即：3a -b =2，∴2023-6a +2b =2023-23a -b =2023-2×2=2023-4=2019；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．29(2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习)已知一元二次方程x 2-3x +1=0有两个实数根x 1，x 2，则x 1+x 2-x 1x 2的值等于．【答案】2【分析】先根据根与系数的关系得x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得：x 1+x 2=3，x 1x 2=1，∴x 1+x 2-x 1x 2=3-1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．30(2023·四川内江·统考中考真题)已知a 、b 是方程x 2+3x -4=0的两根，则a 2+4a +b -3=．【答案】-2【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a +b =-3,a 2+3a -4=0，从而得到a 2+3a =4，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+3x -4=0的两根，∴a +b =-3,a 2+3a -4=0，∴a 2+3a =4，∴a 2+4a +b -3=a 2+3a +a +b -3=4+-3 -3=-2．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．31(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知一元二次方程x 2-3x +k =0的两个实数根为x 1,x 2，若x 1x 2+2x 1+2x 2=1，则实数k =．【答案】-5【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出x 1+x 2=3,x 1x 2=k ，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2，∴x1+x2=3,x1x2=k∵x1x2+2x1+2x2=1，∴k+6=1，解得：k=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32(2023·湖南·统考中考真题)某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为．【答案】10001+x2=1440【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为10001+x2=1440，故答案为：10001+x2=1440．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．33(2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k<1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=22-4×1×k>0，解得：k<1，故答案为：k<1.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中，若方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac >0”是解答本题的关键.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m=．【答案】3【分析】利用一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2，代入x1+x2+x1⋅x2=2，解得m的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=2m=4m-8>0，2-4m2-m+2解得m>2，∵x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2，x1+x2+x1⋅x2=2，∴-2m+m2-m+2=2，解得m1=3,m2=0(不合题意，舍去)，∴m =3故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．三、解答题35(2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)解方程：x 2-3x +2=0．【答案】x 1=1，x 2=2【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：x 2-3x +2=0(x -1)(x -2)=0∴x -1=0或x -2=0∴x 1=1，x 2=2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36(2023·辽宁大连·统考中考真题)为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020-2022年买书资金的平均增长率．【答案】20%【分析】设2020-2022年买书资金的平均增长率为x ，根据2022年买书资金=2020年买书资金×1+x 2建立方程，解方程即可得．【详解】解：设2020-2022年买书资金的平均增长率为x ，由题意得：50001+x 2=7200，解得x =0.2=20%或x =-2.2<0(不符合题意，舍去)，答：2020-2022年买书资金的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．37(2023·湖北·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程x 2-2m +1 x +m 2+m =0．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若2a +b a +2b =20，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)m 的值为1或-2【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式可进行求解；(2)根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】(1)证明：∵Δ=-2m +1 2-4×m 2+m =1>0，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．(2)解：∵x 2-2m +1 x +m 2+m =0的两个实数根为a ,b ，∴a +b =2m +1,ab =m 2+m ．∵2a +b a +2b =20，∴2a 2+4ab +2b 2+ab =20，2(a +b )2+ab =20．∴2(2m +1)2+m 2+m =20．即m 2+m -2=0．解得m =1或m =-2．∴m 的值为1或-2．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．38(2023·四川南充·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m -1)x -3m 2+m =0(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若x 1，x 2是方程的两个实数根，且x 2x 1+x 1x 2=-52，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)25或1【分析】(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=2m -1，x 1x 2=-3m 2+m ，整体代入得到m 2+2m -3=0求解即可得到答案．【详解】(1)证明：∵关于x 的一元二次方程x 2-(2m -1)x -3m 2+m =0，∴a =1，b =-2m -1 ，c =-3m 2+m ，∴Δ=b 2-4ac =-2m -1 2-4×1×-3m 2+m =4m -1 2，∵4m -1 2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，方程总有实数根；(2)解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-(2m -1)x -3m 2+m =0的两个实数根，∴x 1+x 2=2m -1，x 1x 2=-3m 2+m ，∵x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=x 1+x 2 2-2x 1x 2x 1x 2=-52，∴x 1+x 2 2x 1x 2=-12，∴(2m -1)2-3m 2+m =-12，整理，得5m 2-7m +2=0，解得m 1=25，m 2=1，∴m 的值为25或1．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．39(2023·浙江杭州·统考中考真题)设一元二次方程x 2+bx +c =0．在下面的四组条件中选择其中一组b ,c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b =2,c =1；②b =3,c =1；③b =3,c =-1；④b =2,c =2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，x 1=-3+52，x 2=-3-52；选③，x 1=-3+132，x 2=-3-132【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：x 2+bx +c =0中a =1，①b =2,c =1时，Δ=b 2-4ac =22-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；②b =3,c =1时，Δ=b 2-4ac =32-4×1×1=5>0，方程有两个不相等的实数根；③b =3,c =-1时，Δ=b 2-4ac =32-4×1×-1 =13>0，方程有两个不相等的实数根；④b =2,c =2时，Δ=b 2-4ac =22-4×1×2=-4<0，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②b =3,c =1时，x 2+3x +1=0，Δ=b 2-4ac =32-4×1×1=5>0，x =-b ±b 2-4ac 2a =-3±52，x 1=-3+52，x 2=-3-52；选择③b =3,c =-1时，x 2+3x -1=0，Δ=b 2-4ac =32-4×1×-1 =13>0，x =-b ±b 2-4ac 2a =-3±132，x 1=-3+132，x 2=-3-132．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．40(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y 万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】(1)解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得：1.61+x 2=2.5，解得：x =0.25=25%(负值已舍掉)；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y 万人，由题意，得：2.125+y ≤2.51+25% ，解得：y ≤1；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．41(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程kx 2-2k +4 x +k -6=0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当k =1时，用配方法解方程．【答案】(1)k >-25且k ≠0；(2)x 1=3+14，x 2=3-14【分析】(1)根据题意，可得2k +4 2-4k k -6 >0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，(2)将k =1代入kx 2-2k +4 x +k -6=0，利用配方法解方程即可．【详解】(1)解：依题意得：k ≠0Δ=2k +4 2-4k k -6 =40k +16>0 ，解得k >-25且k ≠0；(2)解：当k =1时，原方程变为：x 2-6x -5=0，则有：x 2-6x +9=5+9，∴x -3 2=14，∴x -3=±14，∴方程的根为x 1=3+14，x 2=3-14．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．。

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一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

一元二次方程七大应用题讲解

一元二次方程七大应用题讲解一、一元二次方程概述一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax+bx+c=0。

其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。

求解一元二次方程的方法有多种，如因式分解法、完全平方公式法、韦达定理、二次三项式的配方法等。

二、一元二次方程的求解方法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，即(ax+m)(nx+k)=0。

根据乘积为零的性质，可得到方程的解。

2.完全平方公式法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，如(x+m)=n。

利用完全平方公式，可求得方程的解。

3.韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0，其根与系数的关系为：x+x=-b/a，xx=c/a。

根据这一关系，可以求解一些与根有关的问题。

4.二次三项式的配方法：将一元二次方程转化为二次三项式方程，如ax+bx+c=a(x+m)+n。

利用二次三项式的配方法，可以求解方程。

三、一元二次方程的应用1.面积问题：根据一元二次方程的根与系数的关系，可以求解几何图形的面积，如求解抛物线的面积。

2.几何图形问题：利用一元二次方程描述几何图形的性质，如求解圆的标准方程、椭圆的标准方程等。

3.物理问题：一元二次方程在物理中的应用广泛，如求解物体运动的轨迹、速度、加速度等。

4.函数问题：一元二次方程可以表示为二次函数，通过求解二次函数的极值、对称轴等问题，可以应用于优化问题、最值问题等。

5.线性方程组问题：一元二次方程与线性方程组有密切关系，通过求解一元二次方程，可以求解线性方程组。

6.实际问题：一元二次方程在实际问题中有广泛应用，如求解距离问题、速度问题等。

7.综合问题：在各类综合问题中，一元二次方程作为一种基本工具，可以解决许多复杂问题。

中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析

中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析一元二次方程及其应用一、选择题1. 〔2021?山东菏泽?3 分〕关于x 的一元二次方程〔k+1〕x 2﹣2x+1=0 有两个实数根，那么k 的取值范围是〔〕A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且k≠﹣1 D．k≤0 且k≠﹣1【考点】AA：根的鉴识式；A1：一元二次方程的定义．【解析】依照一元二次方程的定义和鉴识式的意义获取k+1≠0 且△=〔﹣2〕 2 ﹣4〔k+1〕≥0，尔后求出两个不等式的公共局部即可．【解答】解：依照题意得k+1≠0 且△=〔﹣2〕 2 ﹣4〔k+1〕≥0，解得k≤0 且k≠﹣1．应选：D．【议论】此题察看了根的鉴识式：一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac 有以下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．2. 〔2021?江苏盐城?3 分〕一元二次方程有一个根为1，那么的值为〔〕A. -2B. 2C. -4D. 48. 【答案】B【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=1 代入方程可得1+k-3=0 ，解得k=2。

故答案为： B【解析】将x=1 代入原方程可得关于k 的一元一次方程，解之即可得k 的值。

3．〔2021?山西?3 分〕用配方法将二次函数y x2 8x 9 化为y a x h 2 k 的形式为〔〕A. y x 4 2 7B. y x 4 2 25C. y x 4 2 7D. y x 4 2 25【答案】 B【考点】二次函数的顶点式【解析】y x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 4 2 254．〔2021?山西?3 分〕以下一元二次方程中，没有实数根的是〔〕A. x2 2x 0B. x2 4x 1 0C. 2x2 4x 3 0D. 3x2 5x 21【答案】 C【考点】一元二次方程根的判别式【解析】△＞0 ，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0 ，没有实数根.A. △=4B. △=20C. △=-8D. △=15. 〔2021·山东临沂·3 分〕一元二次方程y2﹣y﹣=0 配方后可化为〔〕A．〔y+ 〕2=1 B．〔y﹣〕2=1 C．〔y+ 〕2= D．〔y﹣〕2=【解析】依照配方法即可求出答案．2【解答】解：y ﹣y﹣=0y2﹣y=2y ﹣y+ =1〔y﹣〕2 =1应选：B．【议论】此题察看一元二次方程的配方法，解题的要点是熟练运用配方法，此题属于基础题型．6. 〔2021?安徽?4 分〕假设关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，那么实数 a 的值为〔〕A. B. 1 C. D.【答案】 A【解析】【解析】整理成一般式后，依照方程有两个相等的实数根，可得△=0，获取关于 a 的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0 ，x2+(a+1)x=0 ，由方程有两个相等的实数根，可得△=〔a+1〕2- 4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，应选 A.【点睛】此题察看一元二次方程根的情况与鉴识式△的关系：〔1〕△＞0? 方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0? 方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0? 方程没有实数根．27. 〔2021?甘肃白银，定西，武威?3 分〕关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，得解得：应选 C.【议论】察看一元二次方程根的鉴识式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8. 〔2021?安徽?4 分〕据省统计局宣布，2021 年我省有效创立专利数比2021 年增加22.1% 假设2021 年的平均增加率保持不变，2021 年和2021 年我省有效创立专利分别为 a 万件和 b 万件，那么〔〕A. B.C. D.【答案】 B【解析】【解析】依照题意可知2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕a 万件，2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕?〔1+22.1%〕a，由此即可得.【详解】由题意得：2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕a 万件，2021 年我省有效创立专利数为〔1+22.1%〕?〔1+22.1%〕a 万件，即b=〔1+22.1%〕2a 万件，应选 B.【点睛】此题察看了增加率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的要点.29. 〔2021 年江苏省泰州市?3 分〕x1、x2 是关于x 的方程x ﹣ax﹣2=0 的两根，以下结论必然正确的选项是〔〕A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【解析】A、依照方程的系数结合根的鉴识式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论 A正确；3B、依照根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a 的值不确定，可得出B 结论不用然正确；C、依照根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2 ＞0，结论D错误．综上即可得出结论．22+8＞0，【解答】解：A∵△=〔﹣a〕﹣4×1×〔﹣2〕=a∴x1≠x2，结论 A 正确；2B、∵x1、x2 是关于x 的方程x ﹣ax﹣2=0 的两根，∴x1+x2=a，∵a 的值不确定，∴B 结论不用然正确；C、∵x1、x2 是关于x 的方程x2﹣ax﹣2=0 的两根，∴x1?x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1?x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．应选：A．【议论】此题察看了根的鉴识式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根〞是解题的要点．10. 〔2021·四川宜宾·3 分〕某市从2021 年开始大力睁开“竹文化〞旅游产业．据统计，该市2021 年“竹文化〞旅游收入约为 2 亿元．预计2021“竹文化〞旅游收入到达亿元，据此预计该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率约为〔〕A．2% B．4.4% C．20% D．44%【考点】AD：一元二次方程的应用．【解析】设该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率为x，依照2021 年及2021 年“竹文化〞旅游收入总数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正立即可得出结论．【解答】解：设该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率为x，2依照题意得：2〔1+x〕，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣〔不合题意，舍去〕．答：该市2021 年、2021 年“竹文化〞旅游收入的年平均增加率约为20%．应选：C．【议论】此题察看了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的要点．11. 〔2021·四川宜宾·3 分〕一元二次方程x 1 和x2，那么x1x2 为〔〕2 ﹣2x=0 的两根分别为xA．﹣2 B．1 C．2 D．04【考点】AB：根与系数的关系．【解析】依照根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x 1 和x2， 2﹣2x=0 的两根分别为x∴x1x2=0．应选：D．【议论】此题察看了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的要点．12. 〔2021·台湾·分〕假设一元二次方程式x 2﹣8x﹣3×11=0 的两根为a、b，且a＞b，那么 a ﹣2b 之值为何？〔〕A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17【解析】先利用因式分解法解方程获取a=11，b=﹣3，尔后计算代数式a﹣2b 的值．【解答】解：〔x﹣11〕〔x+3〕=0，x﹣11=0 或x﹣3=0，因此x1=11，x2 =﹣3，即a=11，b=﹣3，因此a﹣2b=11﹣2×〔﹣3〕=11+6=17．应选：D．【议论】此题察看认识一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右侧化为0，再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能获取两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变成解一元一次方程的问题了〔数学转变思想〕．13. 〔2021·广东·3 分〕关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是〔〕A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【解析】依照一元二次方程的根的鉴识式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=〔﹣3〕2 ﹣4×1×m＞0，∴m＜．应选：A．【议论】此题察看了根的鉴识式，一元二次方程根的情况与鉴识式△的关系：〔1〕△＞0?方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0? 方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0? 方程没有实数根．514. 〔2021?广西桂林?3 分〕关于x 的一元二次方程有两个相等的实根，那么k 的值为〔〕A. B. C. 2 或3 D. 或【答案】 A【解析】解析：依照方程有两个相等的实数根结合根的鉴识式即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：∵方程有两个相等的实根，2-24=0 ，∴△=k 2- 4×2×3=k2- 4×2×3=k解得：k= ．应选：A．点睛：此题察看了根的鉴识式，熟练掌握“当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根．〞是解题的要点．15. (2021 四川省绵阳市) 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若是一共举杯55 次，那么参加酒会的人数为〔〕人人人人【答案】 C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x 人，依题可得：x〔x-1 〕=55，化简得：x 2-x-110=0 ，解得：x1=11，x2=-10 〔舍去〕，故答案为： C.【解析】设参加酒会的人数为x 人，依照每两人都只碰一次杯，若是一共举杯55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.16. (2021 四川省眉山市2 分) 我市某楼盘准备以每平方6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观看，为了加快资本周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860 元的均价开盘销售，那么平均每次下调的百分率是〔〕。

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

一元二次方程七大应用题讲解

一元二次方程七大应用题讲解一元二次方程是高中数学中的重要部分，它在实际生活中有着广泛的应用。

下面将介绍七个与一元二次方程相关的应用问题，并给出解决问题的参考内容。

1. 抛物线的轨迹问题：假设一颗子弹以速度v0射出，角度为θ，求子弹的最大射程以及最大射高。

首先需要将水平方向和竖直方向分解，可以得到水平方向上的速度v0x = v0cosθ，竖直方向上的速度v0y =v0sinθ。

根据竖直方向上的运动方程，可以得到v0y = gt -1/2gt^2，其中g为重力加速度。

通过联立水平方向和竖直方向的运动方程，可得到子弹的最大射程和最大射高的一元二次方程。

解一元二次方程，即可求得最大射程和最大射高。

2. 平抛运动的问题：某物体从高处以初速度v0水平抛出，求该物体的飞行时间、落地点和最大高度。

通过将水平方向和竖直方向分解，可以得到水平方向上的速度v0x = v0，竖直方向上的速度v0y = 0。

根据竖直方向上的运动方程，可以得到h = -1/2gt^2，其中h为最大高度。

通过联立水平方向和竖直方向的运动方程，可得到飞行时间和落地点的一元二次方程。

解一元二次方程，即可求得飞行时间、落地点和最大高度。

3. 面积最大问题：一块长方形的土地，其中一边与一条河岸相连，其余三边用篱笆围起来。

已知篱笆的长度为100米，问该土地的长和宽应该如何选取，才能使得土地的面积最大。

设长方形的长为x，宽为y，则篱笆的长度等于x + 2y = 100。

面积可以表示为A = xy，将x代入A = xy中，化简得到A = y(100 - 2y)。

将A看作y的函数，则面积最大时，一定是在函数的顶点处取得。

通过求解函数的导数，解得y = 25，带入得到x = 50，即土地的长应该为50米，宽应该为25米。

4. 最大最小值问题：某商品的总销售额为40000元，如果定价过高，销售量就会降低。

设定价为p元，销售量为q件，每降低一元，销售量就会增加20件。

二次函数与一元二次方程及解决实际问题(解析版)

第5天二次函数与一元二次方程及解决实际问题【知识回顾】1．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c ＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．2．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；1（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．△描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．△函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．4．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23一．选择题（共10小题）1．（2019·北京市十一学校月考）已知二次函数23y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根分别是（）A ．121,1x x ==-B ．121,2x x ==C ．121,0x x ==D ．121,3x x ==【答案】B【解析】方法一：△二次函数23y x x m =-+图象与x 轴的一个交点为(1,0)，△013m =-+，解得2m =．△一元二次方程为2320x x -+=，即(1)(2)0x x --=，解得121,2x x ==．故选B ．方法二：△二次函数图象与x 轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的实数根， △二次函数图象的对称轴是直线32x =，△二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(2,0)，4 △关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根分别是121,2x x ==．故选B ．2．（2019·广东郁南月考）已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y 2=kx+m （k≠0）的图象交于点A （﹣2，4），B （8，2），如图所示，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是（）A ．x ＜﹣2B ．x ＞8C ．﹣2＜x ＜8D ．x ＜﹣2或x ＞8【答案】D【解析】 △A （﹣2，4），B （8，2），△能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞8．故答案选D ．3．（2020·天津南开期末）抛物线y ＝x 2﹣5x +6与x 轴的交点情况是（）A ．有两个交点B ．只有一个交点C ．没有交点D ．无法判断【答案】A【解析】△y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），△当y＝0时，x＝2或x＝3，即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，故选A．4．（2020·浙江杭州一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程23=0 2ax bx c+++的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根【答案】D【解析】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移32个单位得到232y ax bx c'+++＝，5而y′顶点的纵坐标为﹣2+32＝﹣12，故23 2y ax bx c'+++＝与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，故23=0 2ax bx c+++有两个同号不相等的实数根，故选：D．5．（2020·安徽瑶海·合肥38中月考）由下表可知方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【答案】C【解析】由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2＋bx＋c＝0的一个根．△ax2＋bx＋c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．故选：C．67 6．（2020·福建厦门一中月考）二次函数y ＝x 2+mx ﹣n 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣n ＝0在﹣1＜x ＜6的范围内有实数解，则n 的取值范围是（） A ．﹣4≤n ＜5B ．n ≥﹣4C ．﹣4≤n ＜12D ．5＜n ＜12 【答案】C【解析】解：△抛物线的对称轴x ＝-2m ＝2， △m ＝-4，则方程x 2+mx -n ＝0，即x 2-4x -n ＝0的解相当于y ＝x 2-4x 与直线y ＝n 的交点的横坐标， △方程x 2+mx -n ＝0在-1＜x ＜6的范围内有实数解，△当x ＝-1时，y ＝1+4＝5，当x ＝6时，y ＝36-24＝12，又△y ＝x 2-4x ＝（x -2）2-4，△在-1＜x ＜6的范围，-4≤y ＜12，△n 的取值范围是-4≤n ＜12，故选：C ．7．（2020·安徽合肥三模）若无论x 取何值，代数式()()13x m x m +--的值恒为非负数，则m 的值为（）A ．0B ．12C ．13D ．1【答案】B【解析】解：（x＋1−3m）（x−m）＝x2＋（1−4m）x＋3m2−m，△无论x取何值，代数式（x＋1−3m）（x−m）的值恒为非负数，△△＝（1−4m）2−4（3m2−m）＝（1−2m）2≤0，又△（1−2m）2≥0，△1−2m＝0，△m＝12．故选：B．8．（2020·山东岱岳二模）将抛物线y＝﹣13x2﹣13x+2（x≤0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值为（）A．2，73B．2C．73D．0【答案】A89【解析】将抛物线y ＝﹣13x 2﹣13x +2（x ≤0）沿y 轴对折，得到抛物线为y ＝﹣13x 2+13x +2（x ＞0），由抛物线y ＝﹣13x 2﹣13x +2（x ≤0）可知抛物线与y 轴的交点为（0，2），把点（0，2）代入y ＝x +b 求得b ＝2，由﹣13x 2+13x +2＝x +b 整理得x 2+2x +3b ﹣6＝0，当△＝4﹣4（3b ﹣6）＝0，即b ＝73时，直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点，由图象可知若直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值是2和73，故选：A ．9．（2020·全国）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：△小球在空中经过的路程是40m ；△小球抛出3秒后，速度越来越快；△小球抛出3秒时速度为0；△小球的高度30h m =时， 1.5t s =．其中正确的是( )10A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△ 【答案】D【解析】△由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故△错误； △小球抛出3秒后，速度越来越快；故△正确；△小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故△正确； △设函数解析式为：()2340h a t =-+，把()0,0O 代入得()200340a =-+，解得409a =-，△函数解析式为()2403409h t =--+，把30h =代入解析式得，()240303409t =--+，解得： 4.5t =或 1.5t =，△小球的高度30h m =时， 1.5t s =或4.5s ，故△错误；故选D ．10．（2020·全国）如图，两条抛物线y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为()A．8B．6C．10D．4【答案】A【解析】如图，过，y2＝－12x2－1的顶点（0，-1）作平行于x轴的直线与y1＝－12x2＋1围成的阴影，同过点（0，-3）作平行于x轴的直线与y2＝－12x2－1围成的图形形状相同，故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，因此矩形的面积为4×2=8．故选A二．填空题（共5小题）11．（2019·北京市十一学校月考）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是_____．11【答案】﹣3≤x≤0．【解析】解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是﹣3≤x≤0．故答案为：﹣3≤x≤012．（2020·北京市昌平区第四中学期中）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．【答案】x<−1或x>5.【解析】抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，1213所以不等式−x 2+bx +c <0的解集为x <−1或x >5.故答案为x <−1或x >5.13．（2020·四川南充月考）已知抛物线21y ax x =--与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，如果ABC ∆为直角三角形，则a =________. 【答案】34【解析】出这两个距离，列方程求解，检验得出答案．【详解】解：△抛物线y=ax 2-x -1与x 轴交于A ，B 两点，△b 2-4ac ＞0，即1+4a ＞0，也就是14a >- △抛物线y=ax 2-x -1与x轴交点的横坐标为x =414a y a --=， △AB 的距离为|x 1-x 2|= ，顶点C 到x 轴距离CD 为414a a --， △当△ABC 为直角三角形，根据对称性可知它是一个等腰直角三角形，此时AB=2CD ，4124a a--=⨯14两边平方得：224144a a --⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：16a 2-8a -3=0 解得：1231,44a a ==- △14a >- △34a = 14．（2020·湖北武汉月考）二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：△ab ＞0；△a+b ﹣1＝0；△a ＞1；△关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．【答案】△△△【解析】解：△由二次函数的图象开口向上可得a ＞0，对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，△ab ＜0，故△错误；△由图象可知抛物线与x 轴的交点为（1，0），与y 轴的交点为（0，﹣1），△c＝﹣1，△a+b﹣1＝0，故△正确；△△a+b﹣1＝0，△a﹣1＝﹣b，△b＜0，△a﹣1＞0，△a＞1，故△正确；△△抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），△抛物线为y＝ax2+bx﹣1，△抛物线与x轴的交点为（1，0），△ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣1a，故△正确；故答案为△△△．15．（2020·全国）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.【答案】-41516【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.- 代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出： 220.52x -=-+，解得：x =±17所以水面宽度增加到4.故答案是：4.三．解析题（共5小题）16．（2020·福建省连江第三中学月考）已知抛物线y ＝x 2－2x －8与x 轴的两个交点为A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）A （－2，0），B （4，0），C （0，－8）；（2）S △ABC =24【解析】(1)在y ＝x 2－2x －8，令0x =，可得8y =-，即C 点坐标为(0,8)C -令0y =，得2280x x =－－解得122,4x x =-=△A 在B 的左侧△(2,0),(4,0)A B -（2）△(2,0),(4,0),(0,8)A B C --△6,8AB OC ==18S △ABC =12AB OC ⋅=1682⨯⨯=24 17．（2020·福建省连江第三中学月考）已知抛物线y ＝－x 2＋4x －3．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．【答案】（1）（2，1），直线x=2；（2）2【解析】解：（1）△y=-x 2+4x -3=-（x 2-4x+4）+1=-（x -2）2+1，△抛物线的顶点坐标为（2，1）、对称轴为直线x=2；（2）令y=0得-x 2+4x -3=0，解得：x=1或x=3，则抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），△线段AB 的长为2．18．（2020·全国）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,0)-，与y 轴交于点C ，点(2,3)D --在抛物线上．19（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q ，使ABQ △的面积为6，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）3）点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-+或(1--【解析】解：（1）△抛物线2y x bx c =++经过点(3,0),(2,3)A D ---，△930,423,b c b c -+=⎧⎨-+=-⎩解得2,3,b c =⎧⎨=-⎩△抛物线的解析式为223y x x =+-．（2）由（1）得抛物线223y x x =+-的对称轴为直线1,(0,3)x C =--．△(2,3)D --，△C ，D 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，可知，当点P 为直线AC与20对称轴的交点时，PA PD +取得最小值，△最小值为AC ==（3）设点()2,23Q m m m +-，令2230y x x =+-=，得3x =-或1，△点B 的坐标为(1,0)， △4AB =．△6QAB S =， △2142362m m ⨯⨯+-=， △2260m m +-=或220m m +=，解得：1m =-+1--或0或2-，△点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-+或(1--．19．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．21【答案】（1）见解析；（2）2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x ，见解析．【解析】解：（1）证明：△矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，△ME ＝BE ，AM ＝GH ．△四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND ＝2S 矩形MEFN ，△AM ＝2ME ，△AE ＝3BE ；（2）△篱笆总长为100m ，△2AB +GH +3BC ＝100，即1231002AB AB BC ++=， △6405AB BC =-设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，22 则266404055y BC AB x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭， △6405AB BC =-， △402035EB x =-＞，解得1003x ＜， △2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x ． 20．（2020·云南一模）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市.已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x 元（x 为非负整数)，每个月的销售利润为y 元.（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用函数关系式求出每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？【答案】（1）y=80x+1800x 4,≤<（0且x 为整数）；（2）每件商品的售价为33元时，商品的利润最大为1950元；（3）售价为32元时，利润为1920元.每件商品的利润率是60%.23【解析】（1）2y=3020+x)(180-10x)=-10x =80x+18000x 4,x -≤<（（且为整数）；（2）()2y 1041960x =--+，100-<，当x 4<时y 随x 的增大而增大，由0x 4≤<，且x 为整数可得当x 3=时，y =1950最大答：每件商品的售价为33元时，商品的利润最大为1950元；（3）2192010x 80x 1800=-++，2x 8x 120-+=,即()2(6=0x x ）-- 解得x 2=或x 6=，0x 4≤<,x 2∴=,()322020100%60%-÷⨯=∴售价为32元时，利润为1920元.每件商品的利润率是60%.。

部编数学九年级上册专题09《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类(解析版)含答案

专题09 《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《一元二次方程的应用综合》中“与一元二次方程有关的动点问题”、“一元二次方程与一次函数的综合”、“与一元二次方程有关的阅读探究问题”等重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：与一元二次方程有关的动点问题方法点拨：一元二次方程在几何动点问题中运用的关键是找到合适的直角三角形，用设定的字母把三边表示出来，再根据勾股定理列出方程进行求解，最后必须根据题意判定结果的合理性。

只要认真审题，牢固掌握并灵活运用各个特殊几何图形的性质定理，并根据边角间的数量关系列出等式，就能轻松应对这类题型。

1．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在Rt ABC V 中，6cm AB =，8cm BC =．点P 从点A 出发，沿AB 边以1cm/s 的速度向点B 移动；点Q 从点B 同时出发，沿BC 边以2cm/s 的速度向点C 移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P ，Q 两点的距离是？2．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．此时，BP ＝x ﹣2，则PC ＝BC ﹣BP ＝3﹣（x ﹣2）＝5﹣x ，则AP 2＝AB 2+BP 2＝4+（x ﹣2）2，DP 2＝PC 2+CD 2＝1+（x ﹣5）2，当AP ＝PD 时，即4+（x ﹣2）2＝1+（x ﹣5）2，解得x ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．3．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度运动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)点P 运动开始后第几秒时，PBQ △的面积等于28cm ；(2)设点P 运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为2Scm ，写出S 与t 的函数关系式，并指出t 的取值范围．【答案】(1)2秒或4秒(2)()267206S t t t =-+<<【分析】（1）根据t 秒时，P 、Q 两点的运动路程，分别表示PB 、BQ 的长度，可得PBQ △的面积，后令其为28cm ，求出t 的值即可；（2）用PBQ ABCD S S S =-△矩形求面积即可．（1）解：第t 秒钟时，AP t =，2BQ t =，4．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，16BC =，12DC =，21AD =．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CB 的方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动．设运动的时间为t （秒），当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？由图可知，CM =PD =2t ，CQ =t ，若以①若PQ =BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=由PQ 2=BQ 2得t 2+122=（16﹣t ）2，解得考点2：一元二次方程与一次函数的综合方法点拨：利用一次函数与韦达定理进行求解最值问题。

专题二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式(解析版)

专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式【考点预测】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：（1）按二次项系数a 的符号分类，即0,0,0a a a >=<；（2）按判别式的符号分类，即0,0,0∆>∆=∆<；（3）按方程20ax bx c ++=的根1x 、2x 的大小分类，即121212,,x x x x x x >=<．【典型例题】例1．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩； OnmyxOn m yxOn myx（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->，当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；例2．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0，当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅， ③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅，当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例3．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,3111,3b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣. 例4．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=． (1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩ ，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例5．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<； (3)至少有一个正根. 【答案】(1)1m <- (2)7554m -<<- (3)1m ≤-【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或． ②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．【过关测试】一、单选题1．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（） A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<； ②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)， ()2(2)4210m m ∆=---=，解得67m =±当67m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为27-- 若627m =-2(2)210x m x m +-+-=72，符合题意综上：实数m 的取值范围为{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D3．（2022·江苏·高一专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（） A ．1- B ．4- C ．4-或1 D ．1-或4【答案】A【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根， ()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m ，解得：1m ，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得1212·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x xx x x x ++=1331k k k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+， ∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23. 故选：B5．（2022·全国·高一专题练习）已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（） A ．34a <≤ B ．14a <≤ C ．1a > D ．4a ≤【答案】A【解析】设方程240x x a -+=的两根为12,x x ，依题意有：121216404a x x x x a ∆=-≥⎧⎪+=⎨⎪=⎩，因12,x x 都大于1，则122x x +>，且12()1(1)0x x ->-，显然122x x +>成立，由12()1(1)0x x ->-得1212()10x x x x -++>，则有410a -+>，解得3a >，由1640a ∆=-≥解得：4a ≤，于是得34a <≤，所以a 的取值范围是34a <≤. 故选：A6．（2022·全国·高一期中）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（） A ．(]6,7 B ．[)1,0- C ．[)(]1,06,7-⋃ D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C7．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，则关于x 的不等式2()0ax ac b x bx -++>，以下结论正确的是（） A ．当0c >时，解集为{}|0x x c << B ．当0c 时，解集为R C ．当0c <时，解集为{|x x c <或0}x > D ．以上都不正确【答案】C【解析】由题意，121,x x b ==为方程2320ax x -+=的两个根代入方程2320320a ab b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：1a =，2b =于是关于x 的不等式2()0ax ac b x bx -++>，即为20x cx ->令2120,0,x cx x x c -===，对应的二次函数开口向上当0c >时，解集为{|0x x <或}x c > 当0c 时，解集为{|0}x x ≠ 当0c <时，解集为{|x x c <或0}x > 故选：C8．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 A ．{}34a a << B ．{|21a a -<<-或}34a << C ．{}34a a <D ．{|21a a -<-或}34a <【答案】D【解析】由题意得，原不等式可转化为()()10x x a --<.当1a >时，解得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，则34a <；当1a <时，解得1<<a x ，此时解集中的整数为0，-1，则21a -<-.当1a =时，不符合题意.故实数a 的取值范围是{|21a a -<-或}34a <，故选D ．二、多选题9．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD.10．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数23y ax bx =+-，则下列结论正确的是（） A ．关于x 的不等式230ax bx +-<的解集可以是{}3x x > B ．关于x 的不等式230ax bx +->的解集可以是∅ C ．函数23y ax bx =+-在()0,∞+上可以有两个零点D ．“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >” 【答案】BCD【解析】若不等式230ax bx +-<的解集是{}3x x >，则0a =且330b -=，得1b =，而当0a =，1b =时，不等式230ax bx +-<，即30x -<，得3x <，与3x >矛盾，故A 错误；取1a =-，0b =，此时不等式230x -->的解集为∅，故B 正确；取1a =-，4b =，则由2430y x x =-+-=，得1x =或3，故C 正确；若关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根，则0,30,a a≠⎧⎪⎨-<⎪⎩得0a >，若0a >，则2120b a ∆=+>，故关于x 的方程230ax bx +-=有两个不等的实根12,x x ，且1230x x a=-<，即关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >”，故D 正确．故选：BCD ．11．（2022·湖南·长沙市实验中学高一期中）已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是（）A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9}B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1}D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1} 【答案】BCD【解析】方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是()2340m m ∆=--≥，解得(][),19,m ∈-∞+∞，A 错误；方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是()23400m m m ⎧∆=-->⎪⎨<⎪⎩，解得(),0m ∈-∞，B 正确；方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是()2340030m m m m ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪->⎩，解得(]0,1m ∈，C 正确；方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的充要条件是()2340m m ∆=--<，解得()1,9m ∈，()()1,91,⊆+∞，故必要条件是m ∈{m |m >1}，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式x 2-8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．13 B ．14C ．15D ．17【答案】ABC【解析】设二次函数f (x )=x 2-8x +a ，开口向上，其对称轴为x =4，因为一元二次不等式x 2-8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数∴3个整数解必然是3，4，5，∴根据对称性，满足f （2）>0且f （3）≤0，故4160a -+>，且9240a -+≤，即12<a ≤15，a =13，14，15. 故选：ABC. 三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.14．（2022·全国·高一专题练习）方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为__．【答案】322m >+【解析】令()()211f x mx m x =--+，图象恒过点()0,1，方程()211mx m x --+=0在区间()0,1内有两个不同的根，()()2010********Δ0m m m m m f m m >⎧⎧⎪>-⎪⎪<<⎪⎪∴⇒>⎨⎨⎪⎪>-->⎪⎪⎩>⎪⎩，解得322m >+ 故答案为：322m >+15．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.16．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若A B ，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】()1,2-【解析】原不等式220x x a a -+-≤可变形为()()10x a x a -+-≤，当1a a ，即12a =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意；当1a a <-，即12a <时，{}1A x a x a =≤≤-，所以112a a ≥-⎧⎨-<⎩，解得1a >-，所以112a -<<；当1a a ，即12a >时，{}1A x a x a =-≤≤，所以21112a a a ⎧⎪<⎪-≥-⎨⎪⎪>⎩，解得122a <<.综上可得1a 2-<<，即()1,2a ∈-；故答案为：()1,2- 四、解答题17．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()()3f x x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式()0f x <；(2)当()3x ∈+∞，时，不等式()9f x ≥-恒成立，求a 的取值范围. 【解析】(1)当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ，当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅，当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .(2)因为()3x ∈+∞，，所以由()9f x ≥-可得93x a x --≥-，93a x x ≤+-，因为()999332339333x x x x x x +=-++≥-⋅=---，当且仅当933x x -=-，即6x =时等号成立，所以9a ≤.18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()21f x x x a a =++-，(1)当2a =时，求不等式()0f x <的解集. (2)求不等式()2f x x <的解集.【解析】（1）当2a =时，2()20f x x x =+-<，解得为21x -<<，所以解集为{|21}x x -<< （2）由()2f x x<可得2(1)0x x a a -+-<，[(1)]()0x a x a ---<①当1a a ->，即12a <时，不等式2(1)0x x a a -+-<解集为(,1)a a -； ②当1a a -=，即12a =时，不等式可化为2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时解集为∅；③当1a a -<，即12a >时，不等式2(1)0x x a a -+-<解集为(1,)a a - 综上所述，当12a <时，解集为(,1)a a -；当12a =时，解集为∅；当12a >时，解集为(1,)a a -. 19．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知二次函数()()222,R f x ax bx b a a b =++-∈，当()1,3x ∈-时，()0f x >；当()(),13,x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <. (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：()()220R ax b c x c c +-+>∈.【解析】(1)由题意可知：()2220f x ax bx b a =++-=的两根为1,3- ，故21323bab a a⎧-=-+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ ，即得12a b =-⎧⎨=⎩ ,即1,2a b =-= ； (2)由（1）可知：()()220R ax b c x c c +-+>∈，即2(2)20x c x c ---< ，解方程2(2)20x c x c ---=得两根为122,x x c ==- ，当2c -> ，即2c <-时，2(2)20x c x c ---<解集为{|2}x x c <<- ；当2c -= ，即2c =-时，2(2)20x c x c ---<解集为∅；当2c -< ，即2c >-时，2(2)20x c x c ---<解集为{|2}x c x -<< ；故2c <-时，解集为{|2}x x c <<-；2c =-时，解集为∅； 2c >-时，解集为{|2}x c x -<< .20．（2022·湖南·高一课时练习）当k 为何值时，关于x 的方程()22340x k x k +-+=分别满足：(1)无实数根？(2)有两正实根？【解析】(1)∵关于x 的方程()22340x k x k +-+=无实数根，∴()243440k k ∆=--⨯<， ∴21090k k -+<，解得19k <<，即()1,9k ∈.(2)∵关于x 的方程()22340x k x k +-+=有两正实根，∴()()2Δ4344023040k k k k ⎧=--⨯≥⎪-->⎨⎪>⎩，解得01k <≤，即(0,1]k ∈.21．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2220x mx m +++=分别满足下列条件： (1)当4m =时，两根分别为1x 、2x ，求2212x x +的值； (2)m 为何值时，有一正根一负根； (3)m 为何值时，有两个不相等的正根．【解析】（1）当4m =时，方程变为2860x x ++=，由韦达定理得，12128,6x x x x +=-=，所以212122122()2642652x x x x x x =+-=⨯=+-.（2）由题意，1200x x ∆>⎧⎨<⎩，即244(2)020m m m ⎧-+>⎨+<⎩，解得2m <-.（3）由题意1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即244(2)02020m m m m ⎧-+>⎪->⎨⎪+>⎩，解得21m -<<-.22．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程2(21)70x m x m -+++=有两个不等的实根1x ，2x ．（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数m 的取值范围；（2）113x <<，24x >，求参数m 的取值范围．【解析】令()2(21)7f x x m x m =-+++，（1）两根一个根大于1，一个根小于1，等价于()10f <，则()12170m m -+++<，解得7m >；（2）若113x <<，24x >，则(1)0(3)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪<⎩，即1(21)709(21)37016(21)470m m m m m m -+++>⎧⎪-+⋅++<⎨⎪-+⋅++<⎩，即7135197m m m ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解得1977m <<.。

专题9_一元二次方程及其应用

专题9_一元二次方程及其应用一、一元二次方程的概念及解法一元二次方程是指形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中$a\neq 0$。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、根的判别式法等。

1.因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为$(mx+p)(nx+q)=0$的形式，那么方程的解就是使得方程两边都为0的$x$值。

即，$mx+p=0$或$nx+q=0$。

例如，对于方程$x^2+5x+6=0$，可以因式分解为$(x+2)(x+3)=0$，因此$x=-2$或$x=-3$是方程的解。

2.配方法对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，如果能够通过适当的配方法，将方程化为$(mx+n)^2=0$的形式，那么方程的解就是方程$(mx+n)^2=0$的解。

即，$mx+n=0$。

例如，对于方程$2x^2-7x+3=0$，可以通过配方法将其化为$(2x-1)(x-3)=0$，因此$x=\frac{1}{2}$或$x=3$是方程的解。

3.根的判别式法一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。

如果$\Delta>0$，那么方程有两个不相等的实数根。

如果$\Delta=0$，那么方程有两个相等的实数根。

如果$\Delta<0$，那么方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

方程的根可以用公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$来表示。

二、一元二次方程的应用一元二次方程在数学以及实际生活中有广泛的应用，例如物理学、经济学等领域。

以下分别介绍几个常见的应用情景。

1.抛体运动抛体运动是物理学中的一个重要课题，涉及到物体在重力作用下的自由落体运动。

当考虑空气阻力时，物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。

例如，一个物体从一定高度$h$处抛出，初始速度为$v_0$，抛出角度为$\theta$，重力加速度为$g$。

物体在$t$时间的位置可以用二次函数$h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\theta t+h$来描述。

一元二次方程及其应用(解析版)

课时训练(八)一元二次方程及其应用(限时:35分钟)|夯实基础|1.若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0的一个根为2,则m的值为()A.-1或3B.-1或-3C.1或-3D.1或32.用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时,此方程可变形为()A.x+p22=p24B.x+p22=p2-4q4C.x-p22=p2+4q4D.x-p22=4q-p243.点P的坐标恰好是方程x2-2x-24=0的两个根,则经过点P的正比例函数图象一定过()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一象限D.第四象限4.若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根,则x12x2+x1x22值为()A.4√2B.2C.4D.35.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则下面说法正确的是()A.1一定不是方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是方程x2+bx+a=0的根C.-1可能是方程x2+bx+a=0的根D.1和-1都是方程x2+bx+a=0的根6.[2019·新疆]在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为()A .12x (x -1)=36B .12x (x +1)=36C .x (x -1)=36D .x (x +1)=367.如图K8-1,在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米,设道路的宽为x 米.则可列方程为 ( )图K8-1A .32×20-32x -20x=540B .(32-x )(20-x )=540C .32x +20x=540D .(32-x )(20-x )+x 2=5408.[2019·安徽]据国家统计局数据,2018年全年国内生产总值为90.03万亿元,比2017年增长6.6%.假设国内生产总值的年增长率保持不变,则国内生产总值首次突破100万亿元的年份为( )A .2019年B .2020年C .2021年D .2022年 9.[2019·扬州]一元二次方程x (x -2)=x -2的根是x= .10.[2019·连云港]已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x +2-c=0有两个相等的实数根,则1a +c 的值等于 .11.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k -1=0的两个实数根,且x 12+x 22-x 1x 2=13,则k 的值为 . 12.在等腰三角形ABC 中,底BC=2,腰AC=b ,且关于x 的方程x 2-4x +b=0有两个相等的实数根,则△ABC 的周长是 .13.某地区居民2016年人均年收入为20000元,到2018年人均年收入达到39200元,则该地区居民人均年收入平均增长率为 .(用百分数表示)14.[2019·荆门]已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个不相等的实数根,且满足(x 1-1)(x 2-1)=8k 2,则k 的值为 .15.[2019·齐齐哈尔]解方程:x 2+6x=-7.16.[2019·南充]已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-3=0有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)当m=2时,方程的根为x1,x2,求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.17.[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图K8-2,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?图K8-218.[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?|拓展提升|19.若方程x2+2px-3p-2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足x12+x13=4-(x22+x23),则实数p的所有可能的值之和为()A.0B.-34C.-1D.-5420.已知关于x的一元二次方程a(x-h)2+k=x+n的两根为x1=-1,x2=3,则方程a(x-h-3)2+k+3=x+n的两根为.21.[2019·重庆B卷]某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位,2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费.该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费.(1)菜市场每月可收取管理费4500元,求该菜市场共有多少个4平方米的摊位?(2)为推进环保袋的使用,管理单位在5月份推出活动一:“使用环保袋送礼物”,2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二:“使用环保袋抵扣管理费”,同时终止活动一,经调查与测算,参加活动一的商户会全部参加活动二,参加活动二的商户会显著增加,这样,6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%,每个摊位的管理费将会减少310a%;6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%,每个摊位的管理费将会减少14a%,这样,参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少518a%,求a的值.【参考答案】1.D [解析]把x=2代入方程x 2-2mx +m 2-1=0得4-4m +m 2-1=0,解得m=1或3.2.B [解析]∵x 2+px +q=0,∴x 2+px=-q ,∴x 2+px +p 24=-q +p 24, ∴x +p 22=p 2-4q 4. 3.B [解析]x 2-2x -24=0,(x -6)(x +4)=0,x -6=0或x +4=0,x 1=6,x 2=-4,∵点P 的坐标恰好是方程x 2-2x -24=0的两个根,∴P 点的坐标可能是(6,-4)或(-4,6),故经过点P 的正比例函数图象一定过第二、四象限.故选B .4.B [解析]∵x 1,x 2是一元二次方程x 2+2x -1=0的两个根,∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=-1,∴x 12x 2+x 1x 22=x 1x 2(x 1+x 2)=2.故选B .5.C [解析]∵关于x 的一元二次方程(a +1)x 2+2bx +(a +1)=0有两个相等的实数根,∴{a +1≠0,Δ=(2b )2-4(a +1)2=0,∴b=a +1或b=-(a +1).当b=a +1时,有a -b +1=0,此时-1是方程x 2+bx +a=0的根;当b=-(a +1)时,有a +b +1=0,此时1是方程x 2+bx +a=0的根.∵a +1≠0,∴a +1≠-(a +1),∴1和-1不都是关于x 的方程x 2+bx +a=0的根.故选C .6.A[解析]已知有x个队参赛,则每个队都要跟其余的(x-1)个队进行比赛,但两个队之间只比赛一场,故可列方程为:12x(x-1)=36,因此本题选A.7.B[解析]根据题意得(32-x)(20-x)=540.故选B.8.B[解析] 由题意可知2019年全年国内生产总值为90.03×(1+6.6%)=95.9720(万亿元),2020年全年国内生产总值为90.03×(1+6.6%)2≈102.3(万亿元)>100(万亿元),故国内生产总值在2020年首次突破100万亿元.故选B.9.1或210.2[解析]根据题意得:Δ=4-4a(2-c)=0,整理得:4ac-8a=-4,4a(c-2)=-4.∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,∴a≠0,等式两边同时除以4a得:c-2=-1a ,则1a+c=2,故答案为2.11.-2[解析]根据题意得:x1+x2=-2,x1x2=k-1,∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=4-3(k-1)=13,解得k=-2,故答案为-2.12.10[解析]∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4b=0,∴b=4.∴△ABC的周长=4+4+2=10.故答案是10.13.40%[解析]设该地区居民人均年收入平均增长率为x,则20000(1+x)2=39200,解得x1=0.4,x2=-2.4(舍去),∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%,故答案为40%.14.1[解析]∵x1,x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的两个实数根,∴x1+x2=-(3k+1),x1x2=2k2+1.∵(x1-1)(x2-1)=8k2,即x1x2-(x1+x2)+1=8k2,∴2k2+1+3k+1+1=8k2,整理,得:2k2-k-1=0,,k2=1.解得:k1=-12∵关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(3k+1)2-4×1×(2k2+1)>0,解得:k<-3-2√3或k>-3+2√3,∴k=1.故答案为1.15.解:∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,∴(x+3)2=2,∴x+3=±√2,∴x=-3±√2.∴x1=-3+√2,x2=-3-√2.16.解:(1)由题意可知Δ≥0,∴(2m-1)2-4(m2-3)≥0,.解得m≤134(2)当m=2时,方程为x2+3x+1=0,∴x1+x2=-3,x1x2=1,x12+3x1+1=0,x22+3x2+1=0,∴x12+3x1=-1,x22+3x2=-1,∴(x12+2x1)(x22+4x2+2)=(x12+2x1+x1-x1)(x22+3x2+x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)=(-1-x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1-x1=-(x2+x1)-x1x2-1=3 -1-1=1.17.解:设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m,依题意得:3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60,答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m.18.解:(1)26(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.19.B[解析]由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-2p,x1·x2=-3p-2,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=4p2+6p+4,x13+x23=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1·x2]=-2p(4p2+9p+6).由x12+x13=4-(x22+x23),得x12+x22=4-(x13+x23),∴4p2+6p+4=4+2p(4p2+9p+6),∴p(4p+3)(p+1)=0,,p3=-1.∴p1=0,p2=-34代入检验可知:p 1=0,p 2=-34均满足题意,p 3=-1不满足题意.因此,实数p 的所有可能的值之和为p 1+p 2=0+-34=-34. 故选B .20.2或6 [解析]由方程a (x -h -3)2+k +3=x +n 得a (x -h -3)2+k=x +n -3①.经观察规律,可知方程①中的x -3相当于关于x 的一元二次方程a (x -h )2+k=x +n ②中的x ,而方程②的两根为x 1=-1,x 2=3,∴方程①的两根为x 1=2,x 2=6.故答案为2或6.21.解:(1)设该菜市场共有x 个4平方米的摊位,则有2x 个2.5平方米的摊位.根据题意得:20(4x +2x ·2.5)=4500,解得:x=25.答:该菜市场共有25个4平方米的摊位.(2)由(1)可知,5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25×2×40%=20,4平方米摊位的个数为25×20%=5,由题意可得:20(1+2a %)(2.5×20)1-310a %+5(1+6a %)(4×20)1-14a %=[20(1+2a %)(2.5×20)+5(1+6a %)(4×20)]1-518a %, 解得:a 1=50,a 2=0(舍去).答:a 的值为50.。