数列2
高二数学等差数列2
等差数列的基本性质：
在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
am+an=ap+aq 注: ①上面命题的逆命题是不一定成立的；
②上面的命题中的等式两边有相同数目
的项，如a1+a2=a3？
例3 在等差数列{an}中
(1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20=
更一般的，an= am+(n-m)d ，d= n m 。
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
b ac
2 2b= a+c
.
3. 在等差数列 an中 a1 an a2 an1 a3 an2 ...
思考题：如何构造等差数列？ 1.从等差数列中取项的方式： 2.把等差数列的每一项同时加减乘除同一常数的方式： 3.把两个等差数列的对应项进行加减:
ab
等 a与b的等差中项是 __2___ 即a、b的算术平均数.
差
中 a、b、c成等差数列,则 __2_b_=_a_+__c__
项 三个数成等差数列，可设这三个数为：
a,a+d,a+2d 或 a-d, a, a+d
例2 (1) 已知a，b，c成等差数列，求证： ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；
等差数列
第2课时
通项公式:
an a1 (n 1)d
d
an n
a1 1
通项公式的推广:
an am (nห้องสมุดไป่ตู้m)d
d
2阶等差数列公式
2阶等差数列公式一、2阶等差数列的定义。
1. 首先明确等差数列的概念。
- 对于数列{a_n}，如果从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)，这个数列就叫做等差数列，d叫做等差数列的公差。
2. 2阶等差数列（也叫二阶差数列）- 设数列{a_n}，计算相邻两项的差b_n=a_n + 1-a_n得到数列{b_n}。
如果数列{b_n}是等差数列，那么原数列{a_n}就叫做二阶等差数列。
- 例如数列1,3,7,13,21,·s- 先计算相邻两项的差：3 - 1 = 2，7-3 = 4，13 - 7=6，21-13 = 8，得到差数列为2,4,6,8,·s，这个差数列是等差数列（公差为2），所以原数列1,3,7,13,21,·s是二阶等差数列。
二、2阶等差数列的通项公式推导。
1. 设二阶等差数列{a_n}，它的一阶差数列{b_n}（b_n=a_n + 1-a_n）是首项为b_1，公差为d的等差数列。
- 因为b_n=b_1+(n - 1)d。
- 又因为a_n-a_n-1=b_n - 1（n≥slant2）。
- 那么a_n=a_1+∑_k = 1^n - 1b_k（n≥slant2）。
- 由于b_k=b_1+(k - 1)d，则∑_k = 1^n - 1b_k=∑_k = 1^n - 1[b_1+(k - 1)d]。
- 先计算∑_k = 1^n - 1[b_1+(k - 1)d]=b_1(n - 1)+d∑_k = 1^n - 1(k - 1)。
- 而∑_k = 1^n - 1(k - 1)=∑_i = 0^n - 2i=((n - 2)(n - 1))/(2)。
- 所以a_n=a_1+(n - 1)b_1+((n - 2)(n - 1))/(2)d（n≥slant2），当n = 1时，a_1=a_1，所以二阶等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1+(n - 1)b_1+((n - 2)(n - 1))/(2)d。
数列(2)
规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？
76-------54--3---2----------1----
45，，67，8，9，1，0
an n 3(1 n 7, n N )
例1 已知数列 an 的第1项是1，
以后的各项由公式 an 1 写出这个数列的前5项。
1
an1
给出，
a1 1
a2
1
1 a1
1
1 1
2
a3
1
1 a2
1
1 2
3 2
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
a5
1
1 a4
1
3 5
8 5
例2 若a1 2,a2 4,an log2(an1 an2 )(n 3)
写出an 前4项
1. a1 5, an1 an 3. 5，8，11，14，17
an 3n+2(n 1)
2. a1 2, an1 2an 2，4，8，16，32
an 2n(n 1)
1 3. a1 1, an1 an an
1，2，5/2， 29/10，941/290
常数列 : a n = a n + 1
摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1
3 2
,
1,
7 10
,
9 17
, 11 26
,
（2）
1，85 ，
数列极限(二)
无穷等比数列 {a n }的首项为 a1公比为 q试讨论 前n项和的极限情况 .
a1 0 < | q |< 1 a1 (1 − q ) lim S n = lim (a1 + a 2 + L + a n ) = lim = 1 − q n→∞ n→ ∞ n→∞ 1− q 不存在 | q |≥ 1
n→∞
求下列极限 : 例6求下列极限 (1)若 lim(1 − 2x )n 存在, 则x的取值范围。 的取值范围。
n→∞
q n ( 2)若 lim[2 − ( ) ] = 2, 则q的取值范围 . n→∞ 1− q 3n + a n 1 ( 3)若 lim n + 1 = , 求a的范围 n +1 n→∞ 3 3 +a
n→∞
n +1 ( 3) lim( − an − b ) = 0, a = ____, b = ____ n→∞ n + 1
2
5、与前 n项和有关类型 求下列极限 : 例5求下列极限 1 1 1 (1)若 lim 1＋ ) （ ＋ ＋L + n→∞ 1＋2 1＋2＋3 1＋2＋3＋L＋n f (n 2 ) ( 2)已知 f (n ) = 1 + 2 + 3 + L + n, 求 lim n → ∞ [f (n )]2 n 6、 q 类型 lim
例11在半径为 r的球内作一个内接正方 体, 再在正方 体内作一个内切球 , 按前面无限在重复下去 ，求 所有的 表面积 .
• • • • • •
Hale Waihona Puke • •例12一动点由坐标原点出发 ,向左移动 1个单位到 A(1,0) 1 1 再按左、 然后向上移动 个单位到 A 2 (1, )，再按左、下、右 2 2 方向上移动， 上 L 方向上移动，每次移动 都是前一次移动长度的 一 半, 求动点 P的位置及 PO的距离
§2.2.2等差数列(二)
∴
cn 11 (n 1) 12 12n 1
又∵ a100 302 ，
b100 399 ∴ cn 12n 1 302
∴ n 25.25 ，知数列有25个共同项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 17
§2.2.2等差数列(二)
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 21
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
∵
4 n k 1, 而 n N , k N 3
∴ k 必须为3的倍数，设 k 3r (r N ), 得n 4r 1 由条件知 又∵ r N
1 3r 100 1 101 , 解得 r 2 4 1 4r 1 100
，∴
1 用递推关系an 1 (an an 2 )给出的数列 2 也是等差数列。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§2.2.2等差数列(二)
3．有几种方法可以计算公差d
(1)d an an1
2013-1-19
an a1 (3)d an am (2) d nm n 1
2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.2.2等差数列(二)
4.等差数列对称项设法： (1)当等差数列{an}的项数为奇数时，可设 中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为： …,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,… (2)当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别 为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为， …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,… 对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用 对称项设出这个数列，则其各项和为na．
等比数列2
am an ar as
等差数列求和方法回顾:(倒序相加)
Sn a1 a2 a3 an1 an
+ Sn an an1 an2 a2 a1
2Sn (a1 an ) (a2 an1 ) (an a1 )
n个相 同的数
= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!
1 2 2 2
S64 1 2 4 8 2 2
62
62
63
64
①
2S64 2 4 8 2 2 2 ②
则数列{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.
14
等比数列(G P)
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式
an1 q an
等差数列(A P)
an1 an d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
an am q
1
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起， 定义 每一项与它前一项的差等于 每一项与它的前一项的比等于 同一个常数，那么这个数列 同一个常数，那么这个数列就 叫做等比数列。 就叫做等差数列。 an+1 数学 an+1-an= d(常数) 表达 an = q(常数) 符号 首项a1, 公差d 首项a1, 公比q(q≠0) 表示 d＞0 {an }递增 q＞0 {an }中各项同号 d与{an}
数列 (2)
高考总复习.文科数学
变式探究 4.求和S=sin 89° 4.求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= 求和 .
答案：89/2 答案：
高考总复习.文科数学
已知数列{a 的前n项和S 满足： 1/2(n (n≥ 已知数列{an}的前n项和Sn与an满足：an,Sn,Sn－1/2(n≥2) 成等比数列， =1，求数列{a 的前n项和S 成等比数列，且a1=1，求数列{an}的前n项和Sn. 解析：由题意， =an( 解析：由题意，得Sn2=an(Sn－1/2), (n≥2), 2), ∵an=Sn－Sn－1(n≥2), ∴Sn2=(Sn－Sn－1)(Sn－1/2) ⇒ 1/2(Sn－1－Sn)=SnSn－1， 1/2) 1/2(S ∴(1/Sn)－(1/Sn－1)=2 (1/S (1/S 1/S +(n－1)2=2n－1(n≥2)， ⇒ 1/Sn=1/S1+(n－1)2=2n－1(n≥2)， ∴Sn=1/(2n－1)(n≥2). n=1/(2n－ (n≥ 1/(2n 当n=1时，该式也适合. n=1时 该式也适合. ∴Sn=1/(2n－1). n=1/(2n－ 1/(2n 点评:本题的常规方法是先求通项公式，然后求和， 点评:本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思 维，直接求出数列{an}的前n项和Sn的递推公式，是一种最佳解 直接求出数列{a 的前n项和S 的递推公式， 法.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [(1− ) + ( − ) + ( − ) +⋯+ ( − ) +( − ) +( − )] 2 3 2 4 3 5 n − 2 n n −1 n +1 n n + 2 1 1 1 1 3 2n + 3 = (1+ − − )= − . 2 2 n +1 n + 2 4 2(n +1)(n + 2)
数列极限二
如果满足 an+1 ≤ an , n = 1,2,3,
则称{an}是单调减少数列.
单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列
例:
an
=
n ,n n +1
= 1,2,3,,是单调增加数列.
例: an
=
1 n
,n
= 1,2,3,,是单调减少数列.
2018/9/27
Edited by Lin Guojian
−a
< ε ,即lim n→∞
xn
=
a.
2018/9/27
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明lni→m∞
1+ n2 +1
1 ++ n2 + 2
1 n2 +
n
=
1
证: n = 1 + 1 ++ 1
n2 + n n2 + n n2 + n
n2 + n
< 1 + 1 ++ 1
n2 +1 n2 + 2
2
例 : 设xn
=
n
3n
+ 5n ,求 lim n→∞
xn .
证 :由于n 5n < n 3n + 5n < n 5n + 5n ,
⇒ 5 < n 3n + 5n < n 2 ⋅5n = n 2 ⋅ n 5n = 5⋅ n 2
由于 lim n n→∞
2
=
1,
故由夹逼定理知
:
lim
n→∞
2的数列公式
2的数列公式2的数列公式是指以2为公比的等比数列。
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值都相等。
而以2为公比的等比数列中的每一项都是前一项的2倍。
下面将通过几个例子来说明2的数列公式的应用和性质。
考虑一个以2为公比的等比数列：2，4，8，16，32，64...... 这个数列中的每一项都是前一项的2倍。
可以看出，数列中的每一项都是2的幂次方，即第n项可以表示为2^n，其中n表示项的位置。
例如，第1项是2^1=2，第2项是2^2=4，第3项是2^3=8，以此类推。
接下来，我们来看一下2的数列公式在实际问题中的应用。
假设有一只兔子，它每个月生一对小兔子，小兔子出生后第一个月就可以生育。
假设初始时有一对兔子，第一个月产仔1对，第二个月产仔2对，第三个月产仔4对，以此类推。
我们可以用2的数列公式来表示每个月的兔子对数。
第n个月的兔子对数可以表示为2^(n-1)。
通过这个公式，我们可以计算出每个月的兔子对数，从而了解兔子数量的增长情况。
进一步地，2的数列公式还可以用来计算某个数列中的任意一项。
例如，如果我们知道一个数列的前几项，想要计算第n项的值，我们可以使用2的数列公式来求解。
假设我们知道一个数列的前三项分别是2，6，18，我们想要计算第4项的值。
根据2的数列公式，第n项可以表示为2^n。
所以第4项的值等于2^4=16。
除了上述应用，2的数列公式还在其他领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，2的数列公式常被用于计算数据存储空间的增长情况。
例如，计算机内存的容量通常以2的幂次方来表示，这样可以更方便地进行存储和管理。
此外，在金融领域，2的数列公式也可以用来计算复利的增长情况。
复利是指在定期利息计算中，将利息加到本金中，再次计算利息的一种方式。
复利的计算可以使用2的数列公式来简化。
2的数列公式是一种以2为公比的等比数列的表示方式。
它在数学、生物、计算机科学、金融等领域都有广泛的应用。
通过2的数列公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值，了解兔子数量的增长情况，计算数据存储空间的增长情况，以及计算复利的增长情况。
2.1 数列(2)
2.1数列（2）
泰兴市第一高级中学吴光亮
教学目标：
1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；
2．掌握数列通项公式的写法．
教学重点：
掌握数列通项公式的写法．
教学难点：
掌握数列通项公式的写法．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．
教学过程：
一、复习
1. 分别用列表法、图象法表示数列：
我国参加6次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32．
2. 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－3，试写出这个数列的前4项．
3. 已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．
二、例题剖析
例1. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）1，4，9，16，…，（2）-1，3，-5，7，…，
（3）1
3
，
4
5
，
9
7
，
16
9
，…；（4）
1
12
⨯
，
1
23
-
⨯
，
1
34
⨯
，
1
45
-
⨯
，…；
（5）1，3，1，3，…；（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．。
数列2丨等差数列的项数
数列2丨等差数列的项数（1）等差数列：对于数列{a n}，若满足：a2-a1=a3-a2=a4-a3……a n-a n-1=d,则称该数列为等差数列。
其中，公差d为一常数，n为正整数。
①求和=（首项+末项）×项数÷2；②项数=（末项-首项）÷公差+1；③中项：（首项+末项）÷2④若n、m、p、q均为正整数，若m+n=p+q时，(m＞n,p﹥q)则有：m-p=q-n,m+n+p+q=2(m+n)1.现有60根型号相同的圆钢管，把它堆放成正三角形垛，要使剩下的钢管尽可能少，则余下的钢管数是（）A.7根 B.6根 C.5根 D.4根【解析】C。
既然要尽可能小，正三角形的堆放形式是最上面是1根，接着是2 3 4……根，也就是自然数列之和不能超过60，已知1……10的数列之和是55，则余下为5根。
2.1992 是24 个连续偶数的和，问这24 个连续偶数中最大的一个是几？( ) A.84 B.106 C.108D.130【解析】B。
利用中位数。
得知：1992÷24=83.得知相邻82，84.得知最大的是106.2007年北京社招23.有10个连续奇数，第1个数等于第10个数的5/11，求第1个数？A.5B.11C.13D.15【解析】D。
两种思维方式：（1）整除思维，因第一项为第十项5/11,故而必须为5整数倍，结合选项，仅AD选项符合；若第一项为5，则第十项为11，不可能构成连续奇数。
故选择D。
（2）整除思维列方程：令第一项为5X,则第十项为11X,根据公差，两者差为18，故而6X=18，X=3，5X=15。
14.把自然数1,2,3,4,5……98,99分成三组，如果每组数的平均数刚好相等，那么此平均数为（）A.55 B.60 C.45 D.50【解析】D 。
中位数。
每组平均数和总体平均数相同，因此每组的平均数为50。
3.一次竞猜共有10道题目，答对前一道才能作答下一道，下一题的得分均比上题多2分。
数列专题2：通项公式
数列专题2：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{n a }的通项公式 类型一、已知(n),=n S f 求数列{n a }的通项公式；1.已知数列{}n a 的前n 项和5=n S ，*∈n N . （Ⅰ）求12361020,,,,,a a a a a a ； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；2.已知数列{}n a 的前n 项和35=-n S n ，*∈n N . （Ⅰ）求12361020,,,,,a a a a a a ； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；3.已知数列{}n a 的前n 项和21=-+n S n n ，*∈n N . （Ⅰ）求123,,a a a ； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；4.已知数列{}n a 的前n 项和(2n 1)21=-+n n S ，*∈n N . （Ⅰ）求123,,a a a ； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；5.（2013江西）正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令221(2)+=+n n n b n a ,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <。
类型一、已知, 求数列{n a }的通项公式；1．数列{}满足n a (),113221321+=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-n na a n a a a n n *∈n N 。
（Ⅰ）求123,,a a a ； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；2．数列{}满足n a ,1222422112321-+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++---n n a a a a a n n n n *∈n N 。
（Ⅰ）求123,,a a a ； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；3．数列{}满足n a ,12132321+=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n a a a a *∈n N 。
数列2
3．数列的一般形式是什么？
4．an与{an}表示的意义是什么？ 5. 数列的通项公式是如何定义的？
例1 根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
(1)a n
n
n1
( 2) a n ( 1) n
(4) 1，11，111，1111 ，11111．源自1 9(10 - 1)
n
CCTV-2 中央电视台开心辞典 节目中曾经出现过这样的 一道题： 观察以下几个数的特 点，按照其中的规律写出 括号里的数.
2，5，10，17，26, ( 37 ) , 50 , ...
an=n2+1
课堂小结
①数列的定义、数列与数集的区别 ②数列的项、数列的分类
a n 2n - 1
n (n 1)
2
( 2 )1,1, , , ; ； 7 15 31
5
7
9
an
4 ,5 9 11
2n - 1 2 -1
(-1) n
n
n
(3) -
1
1 3 3 5
,
2
,-
3
57 79
,
; an
an
(2n - 1)(2n 1)
(3) a 7
1 7
, a 10 -
1 10
(4) a 7 -125, a 10 -1021
4
2
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数：
(1) 1 , 3 , 5 , 7 ; (2) 2 -1 2 (3) 1 1 2 ,
2
数列(二)
数列(二)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、单项选择(总题数：70，分数：100.00)1.=______。
A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析C。
2.S100+S101=______。
A．1 B．-1 C．2 D．-2（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意S100=1-3+5-7+…+197-199+201=-2×50+201=101，S101=1-3+5-7+…+201-203=-2×51=-102，则S100+S101=-1，选B。
3.的总和为______。
A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 原式可以看成是数列的所有项和，此数列的公比为，故B。
4.等差数列a n a2+a5=4，a n=33，则n为______。
A．48 B．49 C．50 D．51（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ，a2+a5=4，因为{a n}为等差数列，所以a2+a5=a1+a6=4，，所以n=49+1=50，选C。
5.设a n为等差数列，且a3+a7+a11+a15=200，S17的值为______。
A．580 B．240 C．850 D．200（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] a3+a15=a1+a17=a7+a11，所以a1+a17=100C。
6.等差数列a n中，a15=33，a45=153，则217是这个数列的______。
A．第60项 B．第61项C．第62项 D．不在这个数列中（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] -23，故通项公式为a n=4n-27，所以有4n-27=217，解得n=61，选B。
7.在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为______。
A．4 B．5 C．6 D．7（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 显然此数列共有n+2，解得n=5，选B。
数列2
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即 bn＋1＝3bn(n∈N*)． ∴数列{bn}是以 b1＝3 为首项，公比为 q＝3 的等比数列， 于是 bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*)． an＋1 an＋1 3n＋1 由 bn＝ (n∈N*)，即 ＝3n.解得 an＝ n . an－1 an－1 3 －1 3n＋1 ∴所求的通项公式 an＝ n (n∈N*)． 3 －1
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1 1 由 Sn>4 020 得 2n－2＋2(2)n>4 020，n＋(2)n>2 011， 1n 当 n≤2 010 时，n＋(2) <2 011， 1 当 n≥2 011 时，n＋(2)n>2 011， ∴n 的最小值为 2 011.
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8．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)， bn＝(n，n＋1)，n∈N*.则下列命题中为真命题的是( ) A．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差 数列 B．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比 数列 C．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差 数列 D．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比 数列 返回
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(2)∵lg(2a1＋1)＝lg 5， ∴lg(2an＋1)＝2n－1· 5. lg
2n ∴2an＋1＝5
－1
1 2n 1 .∴an＝ (5 －1)． 2
－
lg5· 1－2n ∵lg Tn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋„＋lg(2an＋1)＝ 1－2 ＝(2n－1)lg 5.
2n ∴Tn＝5
∴f(2)＋f(4)＋…＋f(n)＝2(2＋4＋…＋2n)＋n
＝n(2n＋3)． 答案： A
数列2
数列（一）知识链接：1. 等（差）比数列的性质若{n a }为等差（比）数列，前n 项和为n s （1）m a ,m k a + ,2m k a + , …成等差（比）数列；（2）若p+q=m+n , 则p a +q a =m a +n a （p a q a =m a n a ）； 若p+q=2m ，则p a +q a =2m a （p a q a =2m a ）；（3）m s ，2m s - m s ,3m s - 2m s ,仍成等差（比）数列（ms ≠0）.2. 数列通项的求法主要是公式法，转化（特殊数列法），递推法，累加法，累乘法和利用n s 和n a 的关系求解法等. 利用n s 和n a 的关系求解法即通过a =)()1112n n n n s s s -⎧=⎪⎨-≥⎪⎩求解. 3. 数列的求和方法主要有公式法，拆项法，裂项相消法，倒序相加法，错位相减法等.例题解析：例1已知数列{}n a 中，)(12,56*11N n a a an n ∈-==+.①求101a ； ②求此数列前n 项和n S 的最大值.例2等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。
（1）求此数列的公差d ；（2）当前n项和S n是正数时，求n的最大值。
例3已知数列﹛a n﹜的前n项的和S n=5n-3, 求数列的通项公式a n；变式1：已知数列﹛a n﹜的前n项的和S n=n2-9n,（1）求数列的通项公式a n=＿＿＿；（2）若它的第k项满足5＜a k＜8,则k=＿＿＿；（3）数列﹛na n﹜中数值最小的项是第＿＿＿项。
变式2： 若数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n = 2a n +1,求a n例 4 已知数列﹛a n ﹜满足a 1=1， a n+1=2a n +1. （1） 证明：数列﹛a n +1﹜是等比数列； （2） 求数列﹛a n ﹜的通项公式。
.变式：已知数列﹛a n ﹜满足a 1=4， a n =4-n-14a （n>1）,记b n =n 1 a 2。
认识二次数列二次数列的特点和规律
认识二次数列二次数列的特点和规律二次数列是数学中一个重要的概念，主要研究了二次数列的特点和规律。
本文将详细介绍二次数列的定义、特点和规律，并给出相关的例子供读者参考。
二次数列，又称为二次项数列，是一种数学序列，其通项公式为如下形式：an = a + b*n + c*n^2，其中a、b和c为常数，n表示序号（n=0,1,2,…），an表示第n项的值。
二次数列的特点主要有以下几个方面：1. 前项的增幅逐渐变大：由于二次数列中有n^2这个二次项，随着n的增大，二次项的增幅也会逐渐增大，导致前项之间的差值逐渐变大。
2. 后项的增长速度更快：由于二次数列中有n^2这个二次项，当n增加时，后项的增长速度远高于前项的增长速度。
3. 符号的变化：二次数列的项可以同时为正数、负数或零，具体取决于常数a、b和c的取值。
当二次项系数c为正数时，数列会呈现先增大后减小的规律；当c为负数时，数列会呈现先减小后增大的规律。
4. 对称性：二次数列通常具有对称性。
具体表现为，如果数列中的任意一项位于第n位置，那么与其距离为k的项与其在n+k和n-k位置对称。
除了以上特点之外，二次数列还具有一些规律：1. 二次数列的平方和：如果将二次数列的每一项的平方相加，所得到的和是一个关于n的三次函数。
例如，对于数列1、4、9、16、25…，每一项的平方和是1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+…+n^2=（1/6）n(n+1)(2n+1)。
2. 二次数列的前n项和：如果将二次数列的前n项相加，所得到的和是一个关于n的二次函数。
例如，对于数列2、6、12、20、30…，前n项和是2+6+12+20+30+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。
3. 二次数列的差数列：差数列是指原始数列中的相邻项之差所组成的数列。
二次数列的差数列是一个一次数列，其通项公式为bn = 2c + b，其中b和c为常数。
通过以上的介绍，我们对二次数列的特点和规律有了更深入的理解。
数列的二阶特征方程
数列的二阶特征方程一阶数列的二阶特征方程是一种非常重要的数学概念，作为函数到特征方程的衍生，一阶数列的二阶特征方程具有十分重要的意义，它的定义如下：一阶数列的二阶特征方程是一种非常重要的数学概念，给定一个一阶数列{an}，它的二阶特征方程是：即：a2n+1+a1(a2n-1+(a1+a2)2n+1-a22n)+a22(an+1-a1an)=0.可以看到，一阶数列的二阶特征方程涉及到许多一阶数列元素的组合，因此我们需要把它们拆开来求解：a2n+1+a22(an+1-a1an)=0因此，两边同乘以a2n-1：a2n+1a2n-1+a22(an+1-a1an)a2n-1=0因此，把一阶数列当做包含不同元素的多项式进行代数运算，并且用数学归纳法进行求解，最后我们可以得到：a2n+1+（a2+2a1）2n-a22n+2a1a2n-2+(-a2+a1a2)2n-1+a22an-1=0 可以发现，上式涉及到多项式形式的计算，因此可以解出：a2（n+1)=a1a2（n）-2a2（n-1）其实，根据上述表达式可以推出：a2（n+1）=a1a2（n）-a2（n-1）上面的式子便是一阶数列的二阶特征方程，也可以称为“等差数列的二阶差分方程”。
这个式子描述了一个序列的时间演变过程：当前一个元素的变化等于它的上一个元素的变化乘以一个常数，然后再加上初始元素的变化减去前一个元素的变化乘以另一个常数。
回到上面提到的一阶数列，它的特征方程就是a2(n+1)=a1a2(n)-2a2(n-1)，意思是当前一个元素的变化等于它的上一个元素的变化乘以0.5，然后再加上初始元素的变化减去前一个元素的变化乘以2。
通过分析一阶数列的二阶特征方程，我们可以总结出：一阶数列的二阶特征方程描述了连续的一阶数列上每一项元素的前后两个元素之间的变化关系，揭示出一阶数列中每个元素之间的规律变化。
它可以帮助我们更深入地理解一阶数列，以及更好地掌握它们的数学形态。
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[思考流程] (分析)欲求 log2a16 只要求出 a16 ⇨ (推理)a3· a11 ＝16 化为基本量的等式， 列方程组解得 ⇨ (结论)根据通项公式 计算即可．
[解析] (解法一)由等比中项的性质得 a3a11＝a2 7＝16，又数列 an 各 9 项为正，所以 a7＝4.所以 a16＝a7×q ＝32.所以 log2a16＝5. (解法二)设等比数列的公比为 q， 由题意， 1 2 2 4 2 10 5 a2 6a16 ＝ 2 ，所以 a16 ＝ 2 ，解得 a16＝ 2 . 故 7 ＝ 9 ＝ q 2 log2a16＝5.
例 3 (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4≥10，S5≤15，则 a4 的最大值 为________．
[解析] 由已知，得 2a8＝a11＋12， ∵a5＋a11＝2a8，∴a5＝12， 则 S9＝ 9a1＋a9 9×2a5 ＝ ＝108，故选 D. 2 2 5a1＋a5 5×2a3 ＝ ≤15， 2 2
(2)由 S5≤15，得
即 a3≤3,2a3≤6.① 由 S4≥10，得 4a1＋a4 4a2＋a3 ＝ ≥10， 2 2
即 a2＋a3≥5，－a2－a3≤－5，② ①＋②，得 a3－a2≤1，即公差 d≤1， ∴a4＝a3＋d≤4，即 a4 的最大值为 4.
1 例 4 在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 a9－ a11 的值为( 3 A．14 B．15 C．16 D．17
解题宝典之高中数学
主讲人：张大川
内容：数列
若m n p q，则am an a p aq
2an an m an m
(其中m, n, p, q N )
例 1(1)[2013· 杭州萧山区模拟] 已知等差数列{an}满足 a2＋a4＝4， a3＋a5＝10， 则它的前 10 项的和 S10＝________.
1 1 即 a1＋(k－1) －6＋a1＋3×－6＝0， 1 3 即(k－1)× －6＝－2，所以 k－1＝9，所以
k＝10.
1 例 3 (1)[2012· 郑州质检] 在等差数列{an}中，a8＝ a11＋6，则数列 2 {an}的前 9 项和 S9 等于( A．24 B．48 ) C．72 D．108
a ＝－4， 1 1010－1 解得 故 S10＝－40＋ ×3＝95. 2 d＝3.
(2)因为 S5S6＋15＝0，所以(4a1＋9d)2＝d2－8≥0， 则 d 的取值范围(－∞，－2 2]∪[2 2，＋∞)．
2 另解：2a2 1＋9a1d＋10d ＋1＝0(确定主元 a1)，Δ≥0 得．
例2
(1)[2012· 辽宁卷] 在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数 ) C．143 D．176 B．88
列前 11 项和 S11＝( A．58
例 2(2)[2011· 广东卷] 等差数列{an}前 9 项的和等于 前 4 项的和，若 a1＝1，ak＋a4＝0，则 k＝________.
例 7 (1)数列{an}中，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)，且 a10＝8，则 a4＝( A．－ 80 1 1 26 B. C. D．－ 81 81 27 27
)
例 7 (2)在公比为整数的等比数列{an}中，若 a1＋a4＝18，a2＋a3＝12， 则该数列的前 8 项之和等于( ) A．510 B．540 C．570 D．630
[解析] (1)本小题主要考查等差数列的性质和求和公式．解题的突破口为等 差数列性质的正确应用． 由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝ 11×a1＋a11 ＝88. 2
(2)由 S9＝S4，所以 a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即 5a7＝0，所以 a7＝0. 1 由 a7＝a1＋6d 得 d＝－ ，又 ak＋a4＝0， 6
例 9. （ 2010 ·全国卷）记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，设 S3 12 ，且
2a1, a2 , a3 1 成等比数列，求 Sn .
【解析】设数列 an 的公差为 d ，依题设有
2 2a1 (a3 1) a 2 , a12 2a1 d d 2 2a1 0, 即 a1 a 2 a3 12, a1 d 4.
)
例 5 已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1，a3，a4 成等 S3－S2 比数列，Sn 为{an}的前 n 项和，则 的值为________． S5－S3
[解析] (1)由 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120 及等差数列的性质知， 1 1 2 a8＝24，设公差为 d，则 a9－ a11＝(a8＋d)－ (a8＋3d)＝ a8＝16. 3 3 3
2 (2)设公差为 d，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，即 a1 ＋4a1d＋4d2＝ S3－S2 a3 a2 ＝ ＝ 1 ＋ 3a1d ， 解 得 a1 ＝ － 4d( 舍 去 d ＝ 0) ． 故 S5－S3 a4＋a5 －4d＋2d ＝2. －4d＋3d－4d＋4d
3 例 6 [2012· 安徽卷] 公比为 2的等比数列{an}的各项都是正数，且 a3a11＝16， 则 log2a16＝( ) A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
[解析] (1)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即数列 {an＋1}是公比为3的等比数列，所以a10＋1＝(a4＋1)×310－4， 1 80 所以a4＋1＝ ，所以a4＝－ . 81 81 a1＋a4 1＋q3 18 1－q＋q2 3 (2)设公比为q， ＝ ＝ ，即 ＝ ，即 q 2 a2＋a3 q＋q2 12 2 2q －5q＋2＝0，由于q为整数，故得q＝2，代入a1＋a4＝18， 21－28 解得a1＝2，故S8＝ ＝510. 1－ 2
解得， a1 1, d 3 或 a1 8, d 4 因此， S n
1 n(3n 1) 或 S n 2n(5 n) . 2
例 10 （2010· 全国卷Ⅱ· 理） 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12 ， 那么 a1 a2 ... a7 （ ）
（A）14
（B）21
（C）28
（D）35
【解析】 a3 + a4 + a5 =12， 3a 4 12 ，则 a 4 4 , 而 a1 a7 a2 a6 a3 a5 2a4 ， 故 a1 a2 ... a7 7a 4 28.故选 C 答案：C.
设{an}是公比为 q 的等比数列， 其前 n 项积为 Tn， 并满足条件 a1>1， a99－1 a99a100－1>0， <0，给出下列结论： a100－1 (1)0<q<1； (2)T198<1； (3)a99a101<1； (4)使 Tn<1 成立的最小自然数 n 等于 199， 其中正确结论的编号为________．
例8
[解析] 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值， 其连续两项的乘积是负值，根据 a99a100－1>0，可知该等比数列的 a99－1 公比是正值，再根据 <0 可知，a99，a100 一个大于 1，一个 a100－1 小于 1，而 a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减， 所以 0<q<1，而且 a99>1，a100<1，又 a99a101＝a2 100<1，(1)(3)正确； 99 T198＝ a1a2· …· a99a100· …· a197a198＝ (a99a100) >1， (2)不正确； T199＝ a1a2· …· a100· …· a198a199＝ (a100)199<1，故 (4)正确．本题综合考查等 比数列的性质以及分析问题的能力，试题比较符合高考命题的趋 势．在等比数列中最主要的性质之一就是 am· an＝ap· aq⇔m＋n＝p * ＋q(m，n，p，q∈N )．
S n na1
n( n 1) d 2
例 1(2)[2012· 浙江名校重组卷] 设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差 数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15>＝0，则 d 的取值范围是________．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由已知条件可得 2d＝(a3＋a5)－(a2＋a4)＝10－4＝6，