函数及其表示题型
函数及其表示练习题
函数及其表示练习题一、选择题1. 函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的导数是（）。
A. 10B. 12C. 14D. 162. 已知函数f(x)=x^3-2x^2+x-2，求f'(1)的值是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 23. 函数y=sin(x)+cos(x)的值域是（）。
A. [-1, 1]B. [0, √2]C. [1, √2]D. [-√2, √2]4. 若函数g(x)=x^2+1在区间[-1,1]上是增函数，则g(x)的导数g'(x)在该区间内（）。
A. 恒为正B. 恒为负C. 恒等于0D. 变化不定5. 函数h(x)=ln(x)的定义域是（）。
A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是_________。
7. 函数f(x)=1/x在x=2处的导数f'(2)是_________。
8. 函数f(x)=x^2+bx+c，当b^2-4ac=0时，该二次函数的图像是_________。
9. 函数f(x)=sin(x)在[0, π]区间内的值域是_________。
10. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在x=1处取得极值，则f'(1)=_________。
三、解答题11. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求其导数f'(x)，并找出f'(x)=0时的x值。
12. 给定函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求其在x=0和x=1时的值，并讨论g(x)在区间[0,1]上的单调性。
13. 函数h(x)=e^x-1的图像在x=0处的切线方程是什么？14. 若函数p(x)=x^5-5x^3+3x，求其在x=-1处的二阶导数p''(-1)。
15. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法
一、高中函数题型
1、一元函数：一元函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量。
它只有一个自变量，只有一个因变量。
2、二元函数：二元函数是一种函数，它将两个变量映射到另
一个变量。
它有两个自变量，只有一个因变量。
3、指数函数：指数函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量，并且满足指数关系。
4、对数函数：对数函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量，并且满足对数关系。
5、反比例函数：反比例函数是一种函数，它将一个变量映射
到另一个变量，并且满足反比例关系。
6、三角函数：三角函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量，并且满足三角关系。
二、解题方法
1、分析问题：首先要仔细阅读题目，把握问题的内容，如果
是函数的问题，要确定函数的类型，以及函数的定义域和值域。
2、解方程：如果是求函数的值，要先把函数表示出来，然后
根据给出的条件解出方程，最后求出函数的值。
3、画图：如果需要求函数的图像，可以根据函数的定义，画出一些点，然后连接这些点，就可以得到函数的图像了。
4、总结：最后，要总结出问题的结果，把函数的定义域和值域，以及函数的图像都写出来。
函数及其表示题型归纳总结
函数及其表示函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x集合为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.题型一、函数概念例1. （2019秋•桥西区校级月考）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，能表示集合A到集合B的函数关系的是（）A．B．C．D．解：A不是函数（一个x对应两个y），排除；B中y∈[0，2]，不是集合A到集合B的函数关系，排除；C不是函数（x＝1时对应两个函数值），排除；D符合要求，故选：D变式1、（2013秋•南开区校级月考）函数y＝f（x）的图象与直线x＝6的交点个数为（）A．至少一个B．至多一个C．恰好一个D．零个解：根据函数的定义可知，设函数的定义域为A，若6∉A，此时交点个数为0个，若6∈A，此时交点个数为1个，综上函数y＝f（x）的图象与直线x＝6的交点个数为至多一个，故选：B变式2、下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．解：根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于B图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y＝f（x），故选：D 例2、下列哪一组中的函数f（x）与g（x）是相同函数（）A．f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣1B．C．f（x）＝x2，g（x）＝D．y＝解：对于A，要使g（x）有意义，则x≠0，两个函数的定义域不相同，此时g（x）＝x﹣1，∴f（x）与g（x）不是同一函数；对于B，要使g（x）有意义，则x≥0，两个函数的定义域不相同，此时g（x）＝x2，∴f（x）与g（x）不是同一函数；对于C，g（x）＝x2，f（x）与g（x）的定义域和对应法则相同，是同一函数；对于D，f（x）的定义域为{x|x＞1}，g（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，两个函数的定义域不相同，∴f（x）与g（x）不是同一函数．故选：C变式1、（2019秋•重庆月考）下列各组函数中，f（x）与g（x）相等的是（）A．f（x）＝3﹣x，g（x）＝3﹣|x|B．C．f（x）＝+1，g（x）＝1+x D．解：根据函数的定义可知，f（x）＝3﹣x与g（x）＝3﹣|x|的对应关系不同，根据函数的定义可知，f（x）＝x2与g（x）＝＝x对应关系不同，根据f（x）＝＝x+1（x≠0），g（x）＝x+1的定义域不同，f（x）＝＝x﹣2与g（x）＝＝x﹣2的定义域都为{x|x≠0}，对应关系也相同，故为同一函数.选：D变式2、（2019秋•梅河口市月考）在下列函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x﹣1，g（x）＝B．f（x）＝|x+1|，g（x）＝C．D．解：A．f（x）＝x﹣1的定义域为R，的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数；C.的定义域为{x|x≤﹣3，或x≥3}，的定义域为{x|x≥3}，定义域不同，不是同一函数；D.，解析式不同，不是同一函数．故选B题型二、定义域1、具体函数定义域例1、（2019秋•桥西区校级月考）函数的定义域为（）A．[﹣2，3）∪（3，4]B．（﹣∞，3）∪（3，4]C．[﹣2，4]D．（﹣∞，4]解：由题意可得，﹣2≤x≤4且x≠3，定义域为[﹣2，3）∪（3，4]．故选：A 变式1、函数的定义域为（）A.B．C．D．解：由，解得x且x≠﹣2．∴定义域为．故选：C变式2、函数f（x）＝﹣的定义域为解：要使f（x）有意义，则，解得2≤x＜6，∴f（x）的定义域为[2，6）．故答案为：[2，6）2、含参定义域问题例1、函数的定义域为R，则实数m的取值范围是解：函数的定义域为R，则mx2+mx+1＞0恒成立，当m＝0时，1＞0恒成立；当m≠0时，应满足，解得0＜m＜4；综上，实数m的取值范围是[0，4）．故答案为：[0，4）例2、已知函数f（x）＝（a∈R）定义域为R，求实数a的取值范围.解：若函数y＝f（x）定义域为R，①当a＝0时，显然成立；②当a≠0时，则，解得0，综上a为[0，]．例3、函数的定义域是R，则m的取值范围是（）A．m≠4B．m＜0或C．D．[3，+∞）解：函数的定义域是R，则mx2+4mx+3≠0恒成立；当m＝0时，化为3≠0恒成立；当m≠0时，应满足△＜0，即16m2﹣12m＜0，解得0＜m＜；综上，m的取值范围是0≤m＜．选：C 变式1、函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，9）∪[0，+∞）B．[1，+∞）C．[﹣9，1）D．（0，1]解：∵的定义域为R，∴不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R ∴，解得k≥1，∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：B．3、抽象函数定义域问题例1、已知函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，则函数f（2x+1）的定义域为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．解：∵函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，∴﹣1＜2x+1＜1，解可得，﹣1＜x＜0，则函数f（2x+1）的定义域为（﹣1，0）．故选：B例2、已知函数y＝f（x+1）的定义域是[﹣1，2]，则函数y＝f（﹣x）的定义域为（）A．[﹣3，0]B．[﹣1，2]C．[0，3] D．[﹣2，1]解：∵y＝f（x+1）的定义域是[﹣1，2]，∴﹣1≤x≤2，∴0≤x+1≤3，∴y＝f（﹣x）需满足0≤﹣x≤3，∴﹣3≤x≤0，∴y＝f（﹣x）的定义域为[﹣3，0]．故选：A变式1、若函数f（x）的定义域是[0，3]，则函数的定义域为（）A. [0，3 ] B．[﹣1，2] C．[0，1）∪（1，3] D．[﹣1，1）∪（1，2]解：函数f（x）的定义域是[0，3]，即，解得，所以函数的定义域为[﹣1，1）∪（1，2]．故选：D变式2、已知函数y＝f（x+1）定义域是[﹣2，5]，则y＝f（3x﹣1）的定义域是（）A．[﹣10，13]B．[﹣1，4]C．[0，]D．[﹣1，]解：函数y＝f（x+1）的定义域为[﹣2，5]，令﹣1≤x+1≤6，则﹣1≤3x﹣1≤6，所以0≤x≤，所以函数y＝f（3x﹣1）定义域是[0]．选：C题型三、解析式1、待定系数法：适合于已知函数类型求解析式的问题，可设定函数的解析式，根据条件列出方程（组）求出待定系数得解析式.例1、已知函数f（x）为二次函数，且f（x﹣1）+f（x）＝2x2+4，求f（x）的解析式解：设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c+ax2+bx+c＝2ax2+（2b﹣2a）x+a﹣b+2c＝2x2+4∴，解得．∴f （x ）＝x 2+x +2变式1、已知函数f （x ）是二次函数，若f （0）＝0，且f （x +1）＝f （x ）+x +1，求f （x ）的解析式．解：设f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），若f （0）＝0，且f （x +1）＝f （x ）+x +1，∴c ＝0且a （x +1）2+b （x +1）+c ＝ax 2+bx +c +x +1， ∴，解得．∴.变式2、已知二次函数f （x ）满足f （x +1）﹣f （x ）＝2x 且f （0）＝1．求f （x ）解析式. 解：设二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝1，∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2+bx +1；又∵f （x +1）﹣f （x ）＝[a （x +1）2+b （x +1）+1]﹣[ax 2+bx +1]＝2ax +a +b ＝2x ，∴2a ＝2且a +b ＝0，∴a ＝1，b ＝﹣1；∴f （x ）＝x 2﹣x +1．2、 换元法：已知[()]()f g x F x ，求f(x)的问题，可以设 t=g(x),从中解出x,代入g(x)进行换元，最后把t 换成x.例1、已知函数，则f （x ）=____________ 解：设，则x ＝（t ﹣1）2＝t 2﹣2t +1， 因为，所以f （t ）＝t 2﹣2t +3，即f （x ）＝x 2﹣2x +3（x ≥1）．故选：B例2、已知函数f （x+1）＝x 2+6x ，则f （x ）=________解：令t ＝x +1，则x ＝t ﹣1，∴f （t ）＝（t ﹣1）2+6（t ﹣1）＝t 2+4t ﹣5，即f （x ）＝x 2+4x ﹣5，答案为：x 2+4x ﹣5 例3、已知，求函数f （x ）的解析式. 解：令得x ＝，t ≠1， ∵∴f （t ）＝﹣2•+1＝∴f （x ）＝，x ≠1 变式1、已知函数f （+1）＝x ﹣4，则f （x ）的解析式为 解：令，则x ＝（t ﹣1）2，故f （t ）＝（t ﹣1）2﹣4＝t 2﹣2t ﹣3（t ≥1），故答案为：f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3（x ≥1）变式2、已知f （2x +3）＝x 2，则f （x ）=_________解：令2x +3＝t ，求得x ＝，代入已知式子， 可得f （t ）＝＝，故有f （x ）＝（x 2﹣6x +9）.3、函数方程法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他量，如f(-x),1()f x 可再构造其它等式组成方程组，解方程组求f(x).例1、已知f （x ）满足，求f （x ）的解析式. 解：用替换x 得：， 消去可得，故.变式1、已知函数f （x ）满足，则f （3）＝_______ 解：根据题意，函数f （x ）满足， 当x ＝3时，2f （3）＝3f （）+，①，当x ＝时，2f （）＝f （3）+3，②，①②解可得：f （3）＝；思考：已知3()2()3f x f x x +-=+，求()f x ？4、配凑法：由已知条件[()]()f g x F x =，可将F(x)改写成g(x)的表达式，然后以x 代替g(x),便得f(x)的表达式.例1、.已知函数，则f （3）＝（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11 解：∵， ∴f （x +）＝+1， 故f （x ）＝x 2+1，故f （3）＝9+1＝10，故选：C.题型四、分段函数例1、若函数，则f（﹣3）的值为（）A．B．C．2D．8解：∵函数，∴f（﹣3）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝f（1+2）＝2﹣3＝，故选：A例2、已知函数y＝，若f（a）＝10，则a的值是（）A．3或﹣3B．﹣3或5C．﹣3D．3或﹣3或5 解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10，∴a＝﹣3（a＝3舍去）若a＞0，则f（a）＝2a＝10，∴a＝5综上可得，a＝5或a＝﹣3，故选：B变式1、设函数若f（a）＝a，则实数a的值为（）A．±1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．±1或﹣2解：由题意知，f（a）＝a；当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）；当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．所以实数a的值是：a＝﹣1．故选：B变式2、设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．13解析：∵f（x）＝，∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．故选：B。
函数典型题型集锦
函数典型题型集锦一、 函数的表示法，分段函数，区间。
1．用“零点法”把绝对值符号去掉，将函数31--+=x x y 化为分段函数的形式。
31--+=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧--4224x 3311>≤<--≤x x x二、函数的解析式1、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x 则：1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f2、已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x3．若)21(x x x f +=+,求f (x )。
解法一（换元法）：令t =1+x 则x =t 2-1, t ≥1代入原式有1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ∴1)1()1(2-+=+x x f1+x ≥1 ∴f (x )=x 2-1 (x ≥1)4．若xxx f -=1)1( 求f (x ) 解： 令x t 1= 则tx 1= (t ≠0) 则11111)(-=-=t tt t f∴f (x )=11-x (x ≠0且x ≠1)5．已知f (x )=ax +b ,且af (x )+b =ax +8 求f (x )解：（待定系数法）∵af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ∴⎩⎨⎧=+=892b ab a解之⎩⎨⎧==23b a 或 ⎩⎨⎧-=-=43b a ∴f (x )=3x +2或f (x )=-3x -46．已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式。
解：（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 7．[]221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)21(f 解一：令x t 21-= 则 21t x -= ∴222221234)1(4)1(1)(tt t t t t t f +--+=---= ∴1541114113)21(=+--+=f 8．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A 。
高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x→11-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求)(x f 34)]([+=x x f f )(x f 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形[()]f g x ()f x [()]f g x ()g x 式时，常用配凑法。
但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
()f x ()g x 例2 已知 ，求 的解析式221)1(xx x x f +=+)0(>x ()f x 三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。
与配凑法一样，要[()]f g x ()f x 注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求x x x f 2)1(+=+)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式)(2x g y x x y =+=与)3,2(-)(x g 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设求,)1(2)()(x x f x f x f =-满足)(x f 例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式)(x f )(x g ,11)()(-=+x x g x f )()(x g x f 和六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
高中函数题型汇总及典型例题
高中函数专题
基础知识
1. 函数的基本性质： （1）函数的单调性：① f ' ( x) 0 （或 0 ） f ( x) 单调递增（或单调递减） ； ② f ( x) 单调递增（或单调递减） f ' ( x) 0 （或 0 ） 。 （2）函数的周期性： f ( x T ) f ( x ) ，则称 T 为 f ( x) 的一个为期；若 T0 是所有 周期中一个最小的正周期，则称 f ( x) 的周期是 T0 。 （3）函数的奇偶性：① f ( x) f ( x) f ( x) 是偶函数； ② f ( x ) f ( x) f ( x) 是奇函数。 （注：定义域需关于原点对称） 。 （4）函数的连续性： f ( x) 在 x x0 处连续 lim f ( x) f ( x0 ) （常数） 。
15 函数 y f ( x ) 在区间 (0, ) 内可导，导函数 f ' ( x) 是减函数，且 f ' ( x) 0 。 设 x0 (0, ) ， y kx m 是曲线 y f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程，并设函数
g ( ， f ( x0 ) ， f ( x0 ) 表示 m ；
（II）证明：当 x (0, ) 时， g ( x ) f ( x ) ；
16 已知 a，b 是实数，函数 f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f'(x)和 g'(x)是 f(x)，g(x)的导函数，若 f'(x)g'(x)≥0 在区间 I 上恒成 立，则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致 (1)设 a＞0，若函数 f(x)和 g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求实数 b 的取值范围； (2)设 a＜0，且 a≠b，若函数 f(x)和 g(x)在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．
高三数学函数及其表示试题答案及解析
高三数学函数及其表示试题答案及解析1.设常数，函数，若，则.【答案】3【解析】由题意，则，所以.【考点】函数的定义.2.在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[－1,0]时，S增速越来越平缓，当t∈[0,1]时，S增速越来越快，选B项．3.若函数f(x)＝，则(1)＝________.(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋＋＋…＋＝________.【答案】(1)－1(2)0【解析】(1)∵f(x)＋f＝＋＝0，∴＝－1(x≠±1)，∴＝－1.(2)又f(3)＋f＝0，f(4)＋＝0，…f(2 012)＋f＝0，∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f＋…＋f＝0.4.已知复数z+i，在映射f下的象是，则﹣1+2i的原象为（）A．﹣1+3i B．2﹣i C．﹣2+i D．2【答案】D【解析】由题意：z+i→∴﹣1+2i=，z=2﹣i所以z+i=2﹣i+i=2．故选D．5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为7.已知函数，对任意都有，且是增函数，则【答案】6【解析】本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函数的定义，从的初始值开始，如，首先，否则不合题意，其次若，则与是增函数矛盾，当然更不可能(理由同上)，因此，，．【考点】函数的定义与性质．8.是上的奇函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又∵是上的奇函数，∴，∴.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数解析式.9.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（）不存在“和谐区间”【答案】B【解析】根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间即可，对函数（），“和谐区间”，函数是增函数，若存在“和谐区间” ，则，因为方程有两个不等实根和，故，即区间是函数的“和谐区间”，B错误，选B，根据选择题的特征，下面C，D显然应该是正确的（事实上，函数）的“和谐区间”为，在其定义域内是单调增函数，若有“和谐区间”，则方程有两个不等实根，但此方程无实根，因此函数不存在“和谐区间”）．【考点】新定义的理解，函数的单调性，方程的解．10.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（，）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间即可，对函数（），“和谐区间”，函数是增函数，若存在“和谐区间” ，则，因此方程至少有两个不等实根，考虑函数，由，得，可得在时取得最小值，而，即的最小值为正，无实根，题设要求的不存在，因此函数（）不存在“和谐区间”，函数）的“和谐区间”为，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D，事实上，在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”为，故D中的命题是错误的．【考点】新定义的理解，函数的单调性，方程的解．11.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】（1）【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素．12.已知函数的导函数为偶函数，则（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】对所给函数求导得：，由偶函数定义知：，即，所以．【考点】1.函数的导数;2.偶函数的定义13.已知函数, 则的值是 .【答案】【解析】由分段函数解析式得.【考点】1.分段函数；2.函数值的求法14.若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，下列曲线（1）y=cosx,,(2),(3),(4)有“中位点”的是（）A.(2)(4)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4) C.(2)(3)D.(2)(3)(4)【答案】B【解析】若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，此时函数图象上必然有三点共线，函数y=cosx的图象上（0，1），（,0），（π，-1）三点显然共线，函数的图象上（-1，-4），（0,-2），（1，0）三点和函数的图象上（-1，-1），（0,0），（1，1）三点显然共线，均有三点共线，而没有，故选B.【考点】1.数形结合的思想方法；2.新定义的理解15.已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）, 又∵由h（x）+g（x）=2x， h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2-x，∴h（x）= (2x+2−x)，g（x）=(2x−2−x), 不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0，x∈[1，2], ∵1≤x≤2∴2x-2-x＞0,令t=2-x-2x，整理得：，由t=2-x-2x得在上单调递增，故意当时，即实数a的取值范围为.【考点】1.函数不等式的恒成立问题；2.换元法；3.基本不等式16.设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，.若“，”是假命题，则的取值范围为 .【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，故可求解析式为又“”是假命题，则是真命题，当时，，解得，①当时，，结合均值不等式有，得或，②①②取交集得的取值范围是.【考点】1.根据奇偶性求函数解析式；2.特称命题的否定；3.不等式恒成立问题.17.已知，则___________.【答案】2【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】求分段函数的函数值.18.已知，则的值等于．【答案】2014【解析】令，则所以，，故【考点】指数式与对数式的互化.19.已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ；（2）【解析】（1）显然，所以，代入相应解析式求出；（2）由（1）确定函数解析式，对在不同段上的讨论.试题解析：（1）因为，所以；由，即，． 4分（2）由（1）得，由得， 6分当时，解得； 8分当时，解得. 10分所以的解集为． 12分【考点】1.分段函数；2.不等式.20.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与。
高二数学函数及其表示试题答案及解析
高二数学函数及其表示试题答案及解析1.若函数f（x+2）=，则等于（）A．B．-C．2D．-2【答案】D【解析】因为，所以，；所以.考点:分段函数求值.2.已知函数，则下列哪个函数与表示同一个函数( )A．B．C．D．【答案】B【解析】去绝对值可得：所以D错误，同一个函数要求定义域，解析式相同，所以即选B.【考点】函数相等必要三要素相等.3.下列各组函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】函数的要素由两个：定义域与对应法则。
=x(x－1),所以，是同一函数的是与，选D。
【考点】函数的概念点评：简单题，函数的要素由两个：定义域与对应法则。
4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，对于A,定义域不同，故不成立，对于B，由于定义域和对应法则相同，因此成立，对于C，由于定义域不同，前者是x>1，后者是-1 1 ，故错误，对于D，由于定义域不同，前者是R，后者是，故选B.【考点】同一函数点评：本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域，只有三要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数，这是判定两个函数为同一函数的标准．5.下列各组函数是同一函数的是①与；②与；③与；④与。
A．①②B．①③C．②③④D．①④【答案】C【解析】根据题意，对于①与，由于定义域分别是R，不同，错误，对于③与；定义域为x ,对应关系式为y=1，故可知是同一函数，那么对②与和④与。
，定义域和对应法则相同，一定为同一函数，故选C.【考点】同一个函数点评：本题考查判断两个函数是否是同一个函数，考查根式的定义域，主要考查函数的三要素，即定义域，对应法则和值域．6.已知函数,函数①当时,求函数的表达式;②若,函数在上的最小值是2 ,求的值;③在②的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】⑴.⑵.⑶=.【解析】⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数.⑵∵由⑴知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=.【考点】本题主要考查导数计算，应用导数研究函数的单调性、最值，定积分计算。
函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买x(x ∈{1,2,3,4,5}) 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y =f (x) .【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【答案】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x) 211x123g(x) 321则f(g(1))的值为；当g(f(x))＝2 时，x＝.【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2 求出x ＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．故答案为：1，1．【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1 及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．【答案】解：由题意知，当t＞0 时，S的增长会越来越快，ƒ(3) ƒ(3) 故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的 数学思想．【练 1.3】如图，函数 f (x )的图象是曲线 O A B ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ⎡ 1 ⎤ ⎢f (3) ⎥ ⎣ ⎦的值等于．【思路分析】先求出 f （3）＝1，从而 ƒu 1] =f （1），由此能求出结果．【答案】解：函数 f （x ）的图象是曲线 OAB ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f （3）＝1，ƒu 1] =f （1）＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【考点 2 描点法作函数图象】【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y ＝2x ；（2）y ＝（x ﹣2）2+1；（3）y = 2；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可．【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）；（2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）．（3）y= 2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}，对应的图象为：【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础．【练 2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域．【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图象是关键．【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y＝|x﹣1|+|x+1|；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2．【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域；（2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域．【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|2x，x ≤ 1= 2，— 1＜x＜1，— 2x，x ≤— 1值域为[2，+∞）；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2，可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝2，y＝2．值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题．【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）求函数f（x）的值域．【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．【答案】解：图象如图所示：（1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3），（2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），（3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练 3】设二次函数f (x) 满足 f (0) = 1，且f (x + 1) -f (x) = 4x ，求f (x) 的解析式．【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得；【答案】解设所求二次函数为f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝a x2+b x+1＝0，（a≠0），又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（a x2+b x+1）＝4x，即 2ax+a+b＝4x，得，2t = 4t 䘞= 䕼∴t = 2䘞 =— 2∴f（x）＝2x2﹣2x+1，【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．【练 3.1】已知二次函数f (x) 满足条件f (0) = 1和 f (x + 1) -f (x) = 2x ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得【答案】解：设y＝f（x）＝a x2+b x+c∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（a x2+b x+c）＝2x∴∴2a＝2，a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．【练 3.2】已知y =f (x) 是一次函数，且有 f [ f (x)] = 9x + 8 ，求 f (x) 的解析式．【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），则f[f（x）]＝a f（x）+b＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b＝9x+8∴a2＝9且a b+b＝8，解得，a＝3，b＝2 或a＝﹣3，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2 或f（x）＝﹣3x﹣4．【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．【练 3.3】已知二次函数f (x) =x2 +ax +b ，A = {x | f (x) = 2x} = {22} ，试求f (x) 的解析式.【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根 22，由韦达定理求出a，b的值得答案．【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，故方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根22，即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22，即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b，解得：a＝﹣42，b＝484，故f（x）＝x2﹣42x+484．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．【考点4 求函数解析式—换元法】【练 4】设函数f (x) 满足f (2x - 3) =x2 +x -1 ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得x=1t3，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出ƒ(t)=1t22 2 42t 11，从而得出ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4 4【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=1t3，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：ƒ(t)=(1t3)21t3—1=1t22 22 2 2 2 42t 11；4∴ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4【点睛】考查换元求函数解析式的方法．x x【练 4.1】已知f ( +1) =x + 2 ，求 f (x) 的解析式【思路分析】令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可；【答案】解：令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴ 由f（x —1）＝x+2 x，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．【练 4.2】已知函数f (x) 满足关系式f (x + 2) = 2x + 5 ，求f (x) 的解析式；【思路分析】将f（x+2）＝2x+5 中的x+2 看作整体，解得x，代入其解析式，则解得f（x）．【答案】解：令t＝x+2，∴x＝t﹣2∴f（t）＝2t+1令x＝t∴f（x）＝2x+1【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．【练4.3】已知f（1—x）＝2x，求f（x）的解析式；1x【思路分析】令1—x =t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；1x【答案】解：令1—x =t，1x∴x= 1—t，1t∴f（t）＝21—t，1t∴f（x）＝21—x；1x【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式，【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【思路分析】分别把g（x）和f（x）整体代入到f（x）和g（x）的解析式化简可得．【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4；∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【思路分析】（1）根据函数f（x）、g（x）的对应法则，分别将x＝1、x＝2 代入，即可求出f（1），g（2）的值；（2）根据g（x）的对应法则，用a+1 代替x，化简即可得出g（a+1）的表达式；（3）先在f（x）表达式中用g（x）代替x，得f（g（x））＝2g（x）+1，再将g（x）表达式代入即可得到所求．【答案】解：根据题意，得（1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7；（2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2；（3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9．【点睛】本题给出函数f（x）、g（x）的表达式，求f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）1=1x2（1）求f（x+1），g （1），f（g （x））；x（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【思路分析】（1）分别代入化简即可；（2）直接写出定义域与值域．【答案】解：（1）f（x+1）＝2（x+1）﹣1＝2x+1；g（1）= 1 = x2 ，x 111x22xf（g（x））＝f（ 1 ）＝2 1 —1；1x2 1x2（2）函数f（x）的定义域为R，值域R；g（x）的定义域为R，值域为（0，1]．【点睛】本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．【思路分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【答案】解：函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，可得 3g（x）﹣1＝2x+3，解得g（x）= 2 x 4．3 3故答案为：2 x 4．3 3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．【考点6 求函数解析式—方程组法】【练 6】已知函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．【思路分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【答案】解：函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，…①，则f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x﹣2，…②，①﹣2×②可得：﹣3f（x）＝9x+2，可得f（x）＝﹣3x—2．3f（x）的解析式：f（x）＝﹣3x—2．3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．【练 6.1】已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求f（x）的解析式．【思路分析】由题意，设f（x）＝a x+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax+b，（a≠0），则f[f（x）]＝f[a x+b]＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b，又∵f[f（x）]＝9x+4，∴a2x+a b+b＝9x+4，即t2 = 9 ，t䘞䘞= 4解得t = 3或t =— 3，䘞 = 1 䘞 =— 2∴f（x）＝3x+1 或f（x）＝﹣3x﹣2；【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．【练6.2】已知f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．x【思路分析】根据f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，用1代替x，得出另一方程，解方程组，求出f（x）的解析x x式．【答案】解：∵f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2…①，x∴f（1）﹣2f（x）＝3•1—2…②，x x②×2，得；2f（1）﹣4f（x）= 6—4…③，x x③+①，得；﹣3f （x ）＝3x 6 —6，x∴f （x ）＝﹣x — 2 —2．x【点睛】本题考查了利用方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．【练 6.3】已知 f （x ）是一次函数，且 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求 f （x ）的解析式；【思路分析】根据题意，设f （x ）＝k x +b ，结合题意可得 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3，解可得 k 、b 的值，2( — m 䘞) — 䘞 =— 1 代入函数的解析式即可得答案；【答案】解：根据题意，设 f （x ）＝kx +b ， 若 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，则有 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3， 2( — m 䘞) — 䘞 =— 1解可得：k = 4，b =— 1；99则 f （x ）= 4x — 1；99【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意待定系数法的应用，属于基础题．【考点 7 分段函数求值】⎧1 x -1，x ≤ 0【练 7】设函数 f (x ) = ⎪ 2若 f （a ） = a ，则实数 a 的值为()⎨ 1 ⎪ ，x > 0 ⎩ xA. ±1B. -1 C ． -2 或-1 D ． ±1 或-2【思路分析】由分段函数的解析式知，当 x ≥0 时，f （X ）= 1 x — 1；当 x ＜0 时，f （x ）= 1；分别令 f2x（a ）＝a ，即得实数 a 的取值．【答案】解：由题意知，f （a ）＝a ；当 a ≥0 时，有1t — 1 = t ，解得 a ＝﹣2，（不满足条件，舍去）；2当 a ＜0 时，有1= t ，解得 a ＝1（不满足条件，舍去）或 a ＝﹣1．t⎨ 所以实数 a 的值是：a ＝﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数中用解析式解方程的简单问题，需要分段讨论，是分段函数的常用方法．⎧ 1x +1，x ≤ 0【练 7.1】已知 f (x ) = ⎪ 2⎪⎩- (x -1)2，x > 0使 f (x ) ≥ -1 成立的 x 的取值范围是( )A ．[-4 ， 2)B ．[-4 ， 2]C ． (0 ， 2]D ． (-4 ， 2]【思路分析】由分段函数，讨论 x ≤0，x ＞0，由一次不等式和二次不等式的解法，解不等式，求并集即可得到所求范围．【答案】解：f （x ）=1 x 1，x ≤ 䕼2，— (x — 1)2，x ＞䕼由 f （x ）≥﹣1，x ≤ 䕼x ＞䕼可得 1 x 1 ≤— 1或2— (x — 1)2 ≤— 1，即x ≤ 䕼x ≤— 2 或 x ＞䕼 ， 䕼 ≤ x ≤ 2即有﹣4≤x ≤0 或 0＜x ≤2， 可得﹣4≤x ≤2． 即 x 的取值范围是[﹣4，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查一次不等式和二次不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题．⎧⎪x 2 + 4x + 3，x ≤ 0 【练 7.2】已知函数 f (x ) = ⎨则 f ( f （5） ) = ( )⎩⎪ 3 - x ，x > 0A ．0B ． -2 C. -1 D ．1【思路分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x |x ＞0}，而 f （5）＝﹣2∈{x |x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【答案】解：因为 5＞0，代入函数解析式 f （x ）=x 2 4x 3，x ≤ 䕼得 f （5）＝3﹣5＝﹣2，3 — x ，x ＞䕼⎨- x - 2a ，x ≥ 1所以 f （f （5））＝f （﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式 f （x ）=＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1故选：C ．x 2 4x3，x ≤ 䕼3 — x ，x ＞䕼得 f （﹣2）【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．【练 7.3】已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧ 2x + a ，x < 1，若 f (1 - a ) = f (1 + a ) ，则 a 的值为()⎩A. - 34B. 34 C. - 35D. 35【思路分析】若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣ 2a ；若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ．由此能求出 a 的值．【答案】解：∵实数 a ≠0，函数 f （x ）=2xt ，x ＜1— x — 2t ，x ≤ 1，f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣2a ，解得 a =— 3，不成立；2若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ，解得 a =— 3．4∴a =— 3．4故选：B ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
高一数学函数及其表示试题答案及解析
高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是①与；②与；③与；④与。
A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C【解析】①中两函数定义域相同，值域不同，分别为；②中两函数定义域不同，分别为；③、④中两函数定义域、值域都相同。
【考点】函数的概念，即函数的三要素：定义域、对应法则、值域。
2.设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为分段函数在求值时，不同范围内的自变量对应不同的函数，所以在编写函数求值的算法程序需运用条件语句，故本题选C.【考点】基本算法语句中的条件语句的理解.3.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.（1）求f(x)的解析式；（2）在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数m的取值范围【答案】（1）f(x)=x2-x+1，（2）【解析】（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法.二次函数解析式有三种设法，本题设一般式f(x)=ax2+bx+1，再利用等式恒成立，求出项的系数.由a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x得2ax+a+b=2x，所以.（2）恒成立问题一般转化为最值问题.先构造不等式，再变量分离，这样就转化为求函数的最小值问题.试题解析：（1）设f(x)=ax2+bx+1a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x2ax+a+b=2xf(x)=x2-x+1（2）考点:二次函数解析式，二次函数最值，不等式恒成立4.已知函数，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】表示当自变量时对应的函数值；根据分段函数的定义,当时,；因为 , 所以.故选D【考点】1、函数的概念；2、分段函数.5.下列函数中，与函数有相同图象的一个是A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A中函数的定义域为,定义域不相同,故选项A错;选项B中函数可化为,故B正确;选项C中函数的定义域为,故选项C错;选项D中函数的定义域为,故选项D 错.所以正确答案为B.【考点】函数相等.6.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）A．（4，2）B．（1，3）C．（6,2）D．（3,1）【答案】D【解析】集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为，所以，解得，所以集合中的元素为故选D．【考点】本题主要考查了映射的定义．7.下列四组函数，表示同一函数的是( )A．,B．C．D．【答案】D【解析】 A选项两个函数的定义域相同，但至于分别是[0,+∞)和R,所以排除A.B选项的定义域分别为x≠0和x>0,所以排除B.C选项中的定义域分别为R和x≠0，所以排除C.D选项的两函数化简后都是y=x,所以选D.【考点】 1.常见函数的定义域，值域问题.2.同一函数的判定方法.8.下列4对函数中表示同一函数的是( )A．，=B．，=C．=，D．，=【答案】B【解析】A．与=定义域不同；B．与=定义域、值域、对应法则完全相同，所以是同一函数；C．=与的定义域不同；D．与=的值域不同。
函数经典题型50道
函数经典题型50道一、函数定义域题型（10道）1. 求函数y = (1)/(√(x - 1))的定义域。
- 解析：要使函数有意义，则分母不为零且根号下的数大于零。
对于√(x - 1)，x-1>0，解得x > 1。
所以函数的定义域为(1,+∞)。
2. 求函数y=√(2x + 3)的定义域。
- 解析：根号下的数必须大于等于零，即2x+3≥0，2x≥ - 3，解得x≥-(3)/(2)。
定义域为[-(3)/(2),+∞)。
3. 函数y=(√(x + 2))/(x - 1)的定义域是多少？- 解析：分子中根号下x + 2≥0，解得x≥ - 2；分母x-1≠0，即x≠1。
所以定义域为[ - 2,1)∪(1,+∞)。
4. 求函数y=log_2(x^2-4)的定义域。
- 解析：对数函数中真数大于零，即x^2-4>0，(x + 2)(x-2)>0。
解得x < - 2或x>2。
定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞)。
5. 求函数y = (1)/(ln(x - 2))的定义域。
- 解析：分母ln(x - 2)≠0且x-2>0。
由ln(x - 2)≠0得x-2≠1，即x≠3；由x - 2>0得x>2。
所以定义域为(2,3)∪(3,+∞)。
6. 函数y=√(log_frac{1){2}(3x - 2)}的定义域。
- 解析：首先3x - 2>0，解得x>(2)/(3)。
又因为log_(1)/(2)(3x -2)≥0=log_(1)/(2)1，由于对数函数y = log_(1)/(2)x是减函数，所以3x-2≤1，3x≤3，x≤1。
综合得(2)/(3)，定义域为((2)/(3),1]。
7. 求函数y=(1)/(1 - tan x)的定义域。
- 解析：分母1-tan x≠0，即tan x≠1，且x≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z。
由tan x≠1得x≠ kπ+(π)/(4),k∈ Z。
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。
解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。
2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。
题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。
官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。
为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。
根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。
2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。
设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。
3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。
设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。
根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。
4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。
根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。
5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。
根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。
6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。
根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。
7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。
高中数学必修1函数及其表示题型总结
函数及其表示考点一求定义域的几种情况①若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；③若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；④若 f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式mCard(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为n。
简单说成“前指后底” 。
方法技巧清单方法一函数定义域的求法1．（2009江西卷文）函数y x23x4 的定义域为（）xA．[4,1]B．[4, 0)C．(0,1] D ．[ 4, 0) (0,1]解析由x00 或 0 x 1,故选D. x2 3x得 4 x4 02．（2009江西卷理）函数y ln( x1)的定义域为()x23x4A．( 4,1)B．(4,1)C．( 1,1) D ．(1,1]解析x10x11 x1.故选C 由23x 404xx13.（ 2009福建卷文）下列函数中，与函数y 1()有相同定义域的是xA . f ( x)ln x B. f ( x)1 C. f (x) | x | D. f ( x) e xx解析由 y1可得定义域是 x0. f (x)ln x 的定义域 x0 ； f ( x)1的定义域是 x ≠0；f ( x) | x | x x的定义域是 x R; f ( x)e x 定义域是 xR 。
故选 A.4.（ 2007年上海） 函数 y lg( 4x )的定义域是．答案x x4 且 x3x325.求下列函数的定义域。
① y= x2x 2 .②y=x 1.③y= x 1 1xx x6.已知函数 f(x)的定义域为 1,5 ，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
初中数学函数知识点和常见题型总结
函数知识点及常见题型总结函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。
函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。
函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。
换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。
一、核心知识点总结1、函数的表达式1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数xky =（k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。
注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。
2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。
3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。
3、函数的图像 1）一次函数一次函数by=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy+kx图像是经过原点（0，0）的直线。
2）反比例函数3）二次函数4、函数图像的平移① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：③平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位二、常见题型：1、求函数的表达式常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。
函数的表示法题型及解析
函数的表示法题型及解析1.某种笔记本的单价是5元，买x 本（x ∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数y=f （x ）分析：利用函数的三种表示方法，即可将y 表示成x 的函数解：（1）列表法： （2）图象法 （3）解析法：y=5x ，x ∈{1，2，3，4，5}2.一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元．小红买这种笔记本4本，买圆珠笔3支；小强买这种笔记本3本，买圆珠笔2支，①买这些笔记本和圆珠笔，两人一共花费多少钱？②请结合生活实际选取适当的x ，y 值，计算两人的总花费．分析：①分别求出小红和小强的花费，然后相加；②结合实际，笔记本的单价为3元，圆珠笔的单价为1元，代入求解．解：①小红的花费为：4x+3y ，小强的花费为：3x+2y ，总花费为：4x+3y+3x+2y=7x+5y ；②当x=3，y=1时，原式=7×3+5×1=26（元）．答：两人的总花费为26元．3.市内电话费是这样规定的，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，每次打电话x （0＜x ≤10）分钟应付话费y 元，写出函数解析式并画出函数图象 分析：这是一道分段函数的应用的数学题．由已知中，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，即可得到0＜x ≤10时，应付话费y 元，进而根据分段函数图象分段法，即可得到答案．解：由题意可知：y=，其图象如图所示：4.已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图，不含端点），求f （f （））分析：由图象可得函数f （x ）=．即可得出解：由图象可得函数f （x ）=．∴=，=．∴f （f （））==．5.下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ）A ．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数平方；B ．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数开方；C ．A=Z ，B=Q ，f ：A 中的数取倒数；D ．A=R ，B=R +，f ：A 中的数取绝对值分析：根据映射的概念，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应，观察几个对应，得到B ，C ，D 三个选项都有元素在象的集合中没有对应．解：根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，对于B选项A集合中的1对应B集合中的两个元素，对于选项C，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，对于选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故选A6.对应f：A→B是集合A到集合B的映射，若集合A={﹣1，0}，B={1，2}，则这样的映射有多少个？分析：按照映射定义，只需给A中每个元素找唯一的象，看有几种找法，即有几个映射．解：由映射定义知，对A中每个元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应，建立A到B的映射，即给A中每个元素找象，先给A中元素﹣1找象，有两种方法；再给A中元素0找象，有两种方法，按照分步乘法原理，得共有2×2=4种方法，即有4个映射．7.对应f：x→2x﹣1是集合A到集合B的映射，若集合B={﹣3，﹣1，3}，求集合A分析：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x的对应值，即可得到集合A解：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x=﹣1，0，2，从而得到集合A={﹣1，0，2}，8.已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），求A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素分析：由已知中集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），直接代入计算可得A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素．解：∵集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），当x=时，x+1=+1，x2+1=3，故A中元素在B中的对应元素为（+1，3），由x+1=，且x2+1=得x=，故B中元素（，）在A中的对应元素为9.若集合A={1，2，3，4，5}且对应关系f：x→y=x（x﹣4）是从A到B的映射，问集合B中至少有几个元素？分析：把A中的5个元素分别代入计算可得．解：由题意把A中的5个元素分别代入计算可得：当x=1时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=2时，y=x（x﹣4）=﹣4；当x=3时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=4时，y=x（x﹣4）=0；当x=5时，y=x（x﹣4）=5；∴集合B中至少有4个元素﹣3，﹣4，0，510.已知2f（﹣x）+f（x）=x，求f（x）．分析：以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x为②式，已知为①式；由①②组成方程组，求出f（x）即可解：∵2f（﹣x）+f（x）=x，①；令以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x，②；再由①﹣②×2，得：﹣3f （x）=3x；∴f（x）=﹣x11.已知函数f（x）=x2+1，求f（2x+1）解：∵f（x）=x2+1，∴f（2x+1）=（2x+1）2+1=4x2+4x+212.已知f（）=2x，求f（x）分析：本题考察函数解析式求解及方法，可以用如下方法，令=t，求出x=，代入函数的表达式即可解：令=t，∴x=，∴f（t）=2（），∴f（x）=．（x∈R，x≠﹣1）13.已知f（x﹣2）=4x+3，求f（x）解析式．分析：本题为典型的换元法，引入新的变量进行替换原来的变量，从而实现形式的转化，令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数替换x，化简即可解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得f（t）=4（t+2）+3=4t+11则函数f（x）的解析式为f（x）=4x+1114.设函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，求不等式g（f（x））＞22的解集解：∵函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，∴g（f（x））=3[f（x）]-5=3（2x+3）-5=6x+9-5=6x+4，则不等式g（f（x））＞22可化为6x+4＞22．即6x＞18．解得x＞3．∴不等式g（f（x））＞22的解集为（3，+∞）。
函数及其表示和函数性质高考题
函数及其表示与基本性质 历年高考题汇编耐心做题，认真思考，你一定能行的，加油！1. （陕西文2）函数21lg)(x x f -=的定义域为（A ）［0，1］（B ）（-1，1） （C ）［-1，1］（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）2、（广东卷）函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-3. （江西文3）函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，Ｄ．(1](4)-∞+∞，，4、（06湖北卷）设2()lg 2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为 A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)-- D ．(4,2)(2,4)--5.（湖南卷）函数y =( )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)6、（全国1）函数y ） A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤7、（湖北卷4）函数1()f x x=的定义域为（ ）A. (,4][2,)-∞-+∞B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1]D. [4,0)(0,1)-8、（2009福建卷文）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ） A .()ln f x x = B.1()f x x=C. ()||f x x =D.()x f x e = 9、.（2010全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数10、（浙江文）若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C.a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D.a ∃∈R ，()f x 是奇函数11. (2010山东卷理)函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为 ( ).12.(山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 213. (山东卷文)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 214.(2009山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<< 15.（2009全国卷Ⅱ文）函数(x ≤0)的反函数是（ ）（A ）2y x =（x ≥0） （B ）2y x =-（x ≥0） （B ）2y x =（x ≤0） （D ）2y x =-（x ≤0）D16.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=22log 2xy x-=+的图像 （ ）（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称17.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ）A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻，两车的位置相同D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面18.（2009安徽卷理）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）19.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是 （ ）20.（江西卷文）函数234x x y x--+=的定义域为 （ ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-21.（江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．222.（江西卷文）如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为 ( )A B C D23.（江西卷理）函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为 ( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-24.（江西卷理）设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定25.（2009天津卷文）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞26.（天津卷文）设函数f(x)在R 上的导函数为f ’(x),且2f(x)+xf ’(x)>x 2,x 下面的不等式在R 内恒成立的是( )A.0)(>x fB.0)(<x fC.x x f >)(D.x x f <)(27．(全国Ⅰ卷理) 函数(1)y x x x =-+的定义域为（ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤28．(四川文)函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )yxO(,)P x y (,0)Q x O ()t t O ()V t tO ()V t tO()V t t（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21329( 广东文)若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是（ ）A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数、 30．（辽宁文）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ） A ．()2,1-- B ．(12)， C ．(12)-， D ．(12)-，31.(浙江理科)设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( ) (A) 21 (B)413 (C)－95 (D) 254132．（天津）函数1(0)y x =<的反函数是（ ）Ａ．0)y x =<Ｂ．0)y x =<Ｃ．2)y x =>Ｄ．2)y x =>33.（山东文）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为（ ）(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)234．(重庆文)若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ） A ．)2,(-∞ B ．),2(+∞ C ．),2()2,(+∞--∞ D ．（－2，2）35．(福建文))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．536.（全国）函数11-=y 的图象是（ ）37．(全国Ⅰ卷文) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）38．（江西）设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（ ）（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,139 ．（上海理）已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．40已知a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[-1,1]上有零点,求a 的取值范围.sA ．sssB ．C ．D ．。
函数及其表示类型题归纳
函数及其表示类型题归纳题型一：函数的三要素【例1】判断下列函数中是否为同一函数：（1）=)(x f 122-+x x ，)(x g =122-+t t ；（2）=)(x f 112--x x ，)(x g =1+x ；（3）=)(x f ⋅x 1+x ，)(x g =x x +2；（4）=)(x f ,12-x )(x g =,12+x Z x ∈。
题型二：函数定义域的求法【例2】求下列函数的定义域并用区间表示：⑴ 函数=)(x f xx x -+--4132； （2）函数=)(x f .)2(0xx x +-【例3】（1）已知函数)(x f 的定义域是[-1，1]，则函数)12(-x f 的定义域为 ．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． （2）如果函数)34(-=x f y 的定义域为[1，5]，则函数)(x f 的定义域是 ．已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 题型三：函数值的求法【例4】（1）已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<≥-)1(1)1(1x x x 求)]}.2([{)],2([),2(),0(f f f f f f f 的值。
（2）已知函数=)(x f ,)2(2)21()1(22⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+x x x x x x 且=)(x f 8，则x =．（3）已知函数=)(x f 12-x ，)(x g =⎩⎨⎧<-≥0,10,2x x x ，求)]([)]([x f g x g f 和；（4）设函数k n f =)(()*∈Nn ，k 是2的小数点后第n 位数，2=1。
4142135623…，则()()ff f f 个88的值等于 ．【例5】设函数=)(x f 221+x，（1）求证)1()(x f x f -+=22；（2）利用（1）中的结论计算)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值题型四：解含分段函数的不等式【例6】已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥)0(1)0(1x x ，则不等式5)2()2(≤+++x f x x 的解集是 ．【例7】已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1(5)10(3)0(32x x x x x x ，解不等式1)1(+≥-x x f 。
函数知识点及基本题型集锦
第二章：函数1、函数的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合中B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。
记为y=f(x),x A y B ∈∈ (从映射的角度看，函数其实就是非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的映射)2、定义域：自变量x 的取值范围，即：集合A ，（对于用解析式表示的函数，若没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的x 的集合。
） 定义域的求法：主要遇到的是（1）、分式函数的分母不为0。
例如：11y x =- 定义域为：{}/1x x ≠（写成集合的形式）（2）、含偶次根式的函数，根号底下的大于等于0。
例如：y = 有220x -≥求得其函数定义域的为：{/x x x ≥≤练习：7、求()f x =3、值域：函数值的取值范围，记做C ，显然C B ⊆值域的求法：（值域的求法是比较难的内容，同学们暂时只要了解和掌握比较常见的值域求法就可以了）主要有以下几种：A 、观察法：只要适合于比较简单的函数，比如：1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩值域就为{}1,0,1-。
练习：8、函数A 到B 的函数():21f x x x →-集合{}1,2,3A =，{}0,1,2,3,4,5,6B =求()f x 的值域。
B 、配方法求二次函数的值域（通常和函数图像一起来求解）例如：已知函数223y x x =+-分别求出下列区间上的值域，（1）x R ∈，（2）、[2,2)x ∈-（3）、[1,3]x ∈ （这里给出的x 的范围主要有三种：整个定义域R ，区间介于对称轴的两边，区间在函数图像对称轴的一边，） 解：第一步：先进行配方。
第二步：作出函数的大致图像（要标出图像与坐标轴的交点和定点坐标、对称轴、要求的区间的端点坐标）第三步：从图像上分析，在要求的区间上的函数值域是多少 练习：9 函数2()41f x x x =-+，求(1,3)-上的值域。
函数题型总结
函数题型总结函数题是高中数学中常见的一种题型，也是相对较难的一种题型。
函数题考察的是学生对函数的理解和运用能力，需要掌握函数的基本概念、性质以及函数的应用。
函数题主要分为以下几种类型：1. 函数的定义与性质题：这类题目要求学生根据给定的函数定义或性质，判断函数的取值范围、单调性等性质，或者求函数值、函数的表达式等。
例题1：已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数的零点。
解析：零点即函数取值为0的点，即$f(x)=2x^2-3x+1=0$。
将方程化简，得到$x=\frac{1}{2}$。
所以函数的零点为$\left\{\frac{1}{2}\right\}$。
2. 函数的图象题：这类题目要求学生根据函数的解析式或性质，画出函数的图象或根据图象，判断函数的性质。
例题2：画出函数$f(x)=x^2$的图象。
解析：首先确定图象的范围，然后确定坐标轴的刻度，根据函数的解析式，计算各个点的函数值，最后连接这些点，即可得到函数的图象。
函数$f(x)=x^2$的图象是一个抛物线，开口朝上，顶点在原点(0,0)处。
3. 函数的求最值题：这类题目要求学生根据函数的解析式或性质，求函数的最大值或最小值。
例题3：已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求函数的最小值。
解析：对于二次函数$f(x)=x^2-2x+3$，可以通过求导数的方法得到临界点。
首先求导得到$f'(x)=2x-2$，令导数为0，得到$x=1$。
再代入函数中计算最小值：$f(1)=(1)^2-2(1)+3=2$。
所以函数的最小值为2。
4. 函数的复合题：这类题目要求学生根据已知的函数关系，求出复合函数的表达式。
例题4：已知函数$f(x)=x+3$，$g(x)=2x-1$，求复合函数$(f\circ g)(x)$。
解析：复合函数$(f\circ g)(x)$表示先计算$g(x)$的值，再将$g(x)$的值代入$f(x)$中。
所以$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-1)=(2x-1)+3=2x+2$。
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函数及其表示
题型一 含参数的函数的定义域的求法
例1 已知－b <a <0，且函数f (x )的定义域是[a ，b ]，则函数F (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域是( )
A ．[a ，b ]
B ．[－b ，－a ]
C ．[－b ，b ]
D ．[a ，－a ]
例1【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤x ≤b ，a ≤－x ≤b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤x ≤
b ，－b ≤x ≤－a . 又∵－b <a <0，∴a ≤x ≤－a ，∴选D.
【答案】 D
题型二 已知原函数的定义域，求复合函数的定义域
例2 已知函数f (x )的定义域为[－1,3]，求函数f (2x －1)的定义域．
【思路】 函数f (x )的定义域为[a ，b ]指a ≤x ≤b ，即在同一对应法则f 的作用下，接受法则的对象无论是什么代数式时，必受a ≤x ≤b 制约．
例2【解析】 因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以对于函数f (2x －1)，有－1≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2.
故函数f (2x －1)的定义域是[0,2]．
探究1 (1)此题比较抽象，理解关键在于：由于函数的定义域是自变量的范围，而f (x )的自变量是x ，对于函数f [g (x )]而言，自变量也是x ，但同时有f (x )中的“x ”的范围与f [g (x )]中的“g (x )”的范围是相同的．
(2)法则“f ”相当于一间屋子，任何“人”住进来，空间都不变！
(3)已知f (x )定义域为[a ，b ]，求f [g (x )]定义域．
只需解不等式a ≤g (x )≤b ，即得f [g (x )]的定义域．
思考题1 已知f (x )的定义域为[0,2]，f (x 2)的定义域为________．
【答案】 [－2，2]
题型三 已知复合函数的定义域，求原函数的定义域
例3 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－1,3]，求函数f (x )的定义域． 例3【思路】 由于函数f (x ＋3)的定义域[－1,3]，所以－1≤x ≤3，得到2≤x ＋3≤6，故可以得到函数f (x )的定义域．
【解析】 因为函数f (x ＋3)的定义域为[－1,3]，
所以由－1≤x ≤3，得到2≤x ＋3≤6.
所以函数f (x )的定义域是[2,6]．
探究2 已知f [g (x )]定义域为[a ，b ]，求f (x )定义域只需根据a ≤x ≤b ，求出g (x )的范围即得f (x )的定义域．
思考题2 (1)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，－12)
C ．(－1,0)
D ．(12，1)
【解析】 由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.故函数f (2x ＋1)的定
义域为(－1，－12)．
【答案】 B
(2)已知f (x 2
)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则y ＝f (x )的定义域为________． 【答案】 [0,4]
(3)已知函数f (x ＋2)的定义域为[1,3]，求函数f (1－x )的定义域．
【解析】 ∵f (x ＋2)的定义域为[1,3]，
∴3≤x ＋2≤5，∴f (x )的定义域为[3,5]．
要使f (1－x )有意义则，3≤1－x ≤5，∴－4≤x ≤－2.
∴f (1－x )的定义域为{x |－4≤x ≤－2}．
题型四 图像法求函数的值域
例4 作出下列函数的图像并写出它们的值域．
(1)y ＝|x －1|＋|x ＋1|； (2)y ＝x ，x ∈Z 且|x |≤2；
(3)y ＝|x 2－2x |； (4)y ＝2x 2－4x －3(0≤x ＜3)．
例4【解析】 (1)y ＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x (x ≤－1)，2 (－1＜x ≤1)，2x (x ＞1).
图像下左图．由图像可得值域为[2，＋∞)．
(2)显然x ＝－2，－1,0,1,2相应地有y ＝－2，－1,0,1,2.函数的图像是由五个点构成的，见下右图．值域为：{－2，－1,0,1,2}．
（1）图
（2）图 （3）
图
(3)y ＝|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x (x ≤0或x ≥2)，－(x 2－2x ) (0＜x ＜2). 图像如下左图，值域为[0，＋∞)．
(4)y ＝2(x 2－2x ＋1)－5＝2(x －1)2－5，
图像见下右图．y ∈[－5,3)．
（4）图
题型五抽象函数的求值
例5设函数y＝f(x)，x∈R，f(x)≠0，对任意的实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)·f(y)成立．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(－1)＝1
f(1)
；
(3)求证：f(x)>0对任意x都成立．
【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f2(0)，∵f(x)≠0，∴f(0)＝1.
(2)令x＝1，y＝－1，得f(－1)＝1
f(1)
.
(3)f(x)＝f(x
2＋x
2)＝f
2(x
2)>0.
探究3此类抽象函数的求值问题往往采取赋值法．
题型六函数图像的应用
例6向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶形状是()
【解析】方法1：根据题意，V＝f(h)的图像是一段曲线，V随
h 的增加而增加，而且开始阶段V 的增加较快，以后渐渐变慢，故水瓶的形状必是下口大上口小，于是答案选B.
方法2：设注水量V 与水深h 的关系为V ＝f (h )，则由图可知，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫H 2＞12f (H )，即当用水达到一半时，水上升的高度还未达到一半，也就是开始阶段用水较多，从而有水瓶的形状为下口大上口小，答案选
B.
【答案】 B
例7 当m 为怎样的实数时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个互不相等的实数根？
【解析】 先作出y ＝x 2－4|x |＋5的图像．
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x ＜0. 如下图所示，从图上可以直接看出，
当1＜m ＜5时，方程有四个互不相等的实根．
探究4 函数图像直观，能够帮助我们正确理解概念和有关性质，数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合解题比较直观，便于发现问题，启发思考，有助于培养综合运用数学知识来解决问题的能力．。