2019届高考理科数学第一轮复习检测题55

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2019届高三一轮复习第一阶段测评考试数学(理)试题(PDF版)

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１已知ｆ（）是定义在（，上的可导函数，（）（）是ｆ（）的导函数，且ｆ（）恒成立，则１０．ｘ０＋ɕ）ｆ ᶄ ᶄ ｘ＋ｆｘｘｘｌｎｘ＞０ｘ下列不等式恒成立的是（）１１（）（）（）（）＞０Ｄ．ｆｘ＋ｆ＜０Ａ．ｆｘ＞ｘＢ．ｆｘ＜０Ｃ．ｆｘ＋ｆｘｘ已知定义在Ｒ上的函数ｆ（）满足ｆ（）（），且ｆ（） ·ｆ（），若ｆ（）（）１１．ｘｘ＋ｆ－ｘ＝ａ２ｘ２ｘ＋４＝－１２０１６＋ｆ２０１７＝，且ｆ（），则ａ（）－１－１＝１＝Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．２ｘ２（）（）的图象恒在ｘ轴的上方，则实数ａ的取值范围是（）已知函数ｆ（）ｘ－１－ｘ＋ａ＋１ｘ＞０１２．ｘ＝ｅ２２（（）－］［（），Ａ．－ɕ，ｌｎ２＋ɕ）１Ｂ．ｌｎ２＋１２２，（（）（（），＋１＋ɕ）Ｄ．ｌｎ２－１Ｃ．ｌｎ２＋ɕ）
{
}
（
）
１ { ２} Ｃ． { ｘ－２＜ｘ＜１２}
下列函数中，既是偶函数，又在（，上单调递减的是３．０＋ɕ）
ｘ（）Ａ．ｆｘ＝ｅ－１
（）Ｂ．ｆｘ＝ｘ＋１（）Ｄ．ｆｘ＝２ｘ
（）Ｃ．ｆｘ＝ｌｇ｜ｘ｜４曲线ｙ在ｘ处的切线的斜率为４．＝ｘ＋４ｓｉｎｘ＝π ３Ａ．－２下列说法不正确的是５．Ｂ．－１

2019届高三数学一轮复习第一次检测考试试题理(含解析)

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

2019年高考(理科)数学一轮复习专题强化训练全套试题(含答案及解析)

2019年高考（理科）数学一轮复习专题强化训练全套试题01函数与导数(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x +x 2-x, g(x)=x 2+ax+b,a,b ∈R. (1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l 与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c 的值. (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b 的最大值.2.(12分)已知函数f(x)=a x +x 2-xln a-b(a, b ∈R, a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数. (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.3.(12分)已知函数f(x)=(k+4k)ln x+4-x 2x,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k ∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),使曲线y=f(x)在M,N 两点处的切线互相平行,试求x 1+x 2的取值范围.4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+a x(0<x ≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e -2<x<e,g(x)≤m,求m 的取值范围.(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.2.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-35.(1)求cos A 的值. (2)若a=4√2,b=5,求向量在方向上的投影.3.(12分)设函数f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的集合.(2)已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,b+c=2,求a 的最小值.4.(12分)设函数f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值. (2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且a42=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=(1+log√3a n)·a n,求数列{b n}的前n项和T n.2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*.(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.3.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(S n+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.4.(12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.世纪金榜导学号12560596(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.04立体几何(45分钟 48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为平行四边形,其中∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,等边△ADE 所在平面与平面ABCD 垂直,FC ⊥平面ABCD,且FC=32.(1)点P 在棱AE 上,且AP PE=2,Q 为△EBC 的重心,求证:PQ ∥平面EDC.(2)求平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值.2.(12分)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,∠BCC 1=π3,AB=BC=2,BB 1=4,点D 在棱CC 1上,且CD=λCC 1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当λ=12时,求异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,求λ的值.3.(12分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF ⊥平面BCF.(2)点M 在线段EF(含端点)上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM 是矩形,∠DAB=π3,AB=2,AM=1,E 是AB 的中点.(1)求证:DE ⊥平面ABM.(2)在线段AM 上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4?若存在,求出AP 的长;若不存在,请说明理由.05解析几何(45分钟 48分)1.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点(√62,-1),左右焦点分别为F 1,F 2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M,N 两个不同的点,|MN ||OQ |2的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.2.(12分)已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C 相交于P,Q 两点,试问在x 轴上是否存在定点N,使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.3.(12分)已知F 1,F 2是椭圆Ω:x 24+y 2b 2=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P 的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时,若直线l :y=kx+m 与椭圆Ω相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且3x 1x 2+4y 1y 2=0,求证:△AOB 的面积为定值.4.(12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上位于第一象限的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D.(1)若当点A 的横坐标为3,且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形,求C 的方程. (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x 0,0)(x 0≥12),记点B 关于x 轴的对称点为E,AE 交x 轴于点P,且AP ⊥BP,求证:点P 的坐标为(-x 0,0),并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.06概率与统计(45分钟50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a的值.(2)估计该次考试的平均分x(同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”(参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X的数学期望.3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占35,采用微信支付的占23,40岁以上采用微信支付的占14.(1)请完成下面并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少? 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),n=a+b+c+d. 参考数据:2019年高考（理科）数学一轮复习强化训练全套试题答案及解析01函数与导数(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x +x 2-x, g(x)=x 2+ax+b,a,b ∈R. (1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l 与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c 的值. (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b 的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F ′(x)=e x-2.(1分)令F ′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F ′(x)=e x-2<0,得x<ln 2, 所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f ′(x)=e x+2x-1,所以f ′(0)=0,所以l 的方程为y=1.依题意,g ′(x)=2x+a,g ′(1)=2+a=0,所以-a 2=1, c=1.于是l 与抛物线g(x)=x 2-2x+b 切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x -(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h ′(x) =e x-(a+1).(6分) ①当a+1≤0时,因为h ′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 若a+1=0,则当b ≤0时满足条件,此时a+b ≤-1;(7分) 若a+1<0,取x 0<0且x 0<1-ba+1,此时h(x 0)=ex 0-(a+1)x 0-b<1-(a+1)1-ba+1-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h ′(x)=0,得x=ln (a+1).由h ′(x)>0,得x>ln (a+1);由 h ′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在 (ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b ≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min =(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b ≥0”成立.所以b ≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b ≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G ′(x)=1-ln x. 令G ′(x)=0,得x=e.由G ′(x)>0,得0<x<e;由G ′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在 (e,+∞)上单调递减,所以,当x=e 时, G(x)max =e-1.从而,当a=e-1,b=0时, a+b 的最大值为e-1.综上, a+b 的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x +x 2-xln a-b(a, b ∈R, a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数. (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x +x 2-x-4,所以f ′(x)=e x+2x-1,所以f ′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f ′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分)当x<0时, e x<1,所以f ′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分)f(1)=e-4<0, f(2)= e 2-2>0,所以存在x 1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=1e 2+2>0, f(-1)=1e -2<0,所以存在x 2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)(2)f ′(x)=a x ln a+2x-ln a =2x+(a x-1)ln a,(7分)当x>0时,由a>1,可知a x -1>0, ln a>0,所以f ′(x)>0,当x<0时,由a>1,可知a x-1<0, ln a>0,所以f ′(x)<0,当x=0时, f ′(x)=0,所以f(x)是[-1,0]上的减函数, [0,1]上的增函数,所以当x ∈[-1,1]时, f(x)min =f(0), f(x)max 为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a-1a-2ln a,设g(x)=x-1x-2ln x(x>1),因为g ′(x)=1+1x 2-2x =(1x-1)2≥0(当且仅当x=1时等号成立),(8分)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,(10分)所以当x>1时, g(x)>0,即a>1时, a-1a-2ln a>0,所以f(1)>f(-1).所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分) 3.(12分)已知函数f(x)=(k+4k)ln x+4-x 2x,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k ∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),使曲线y=f(x)在M,N 两点处的切线互相平行,试求x 1+x 2的取值范围. 【解析】(1)由已知得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=k+4k x-4x2-1=-x 2-(k+4k )x+4x 2=-(x -k )(x -4k )x 2(k>0),(2分)①当0<k<2时, 4k>k>0,且4k>2,所以x ∈(0,k)时, f ′(x)<0; x ∈(k,2)时, f ′(x)>0.所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(3分)②当k=2时, 4k=k=2, f ′(x)<0在区间(0,2)内恒成立,所以f(x)在(0,2)上是减函数;(4分)③当k>2时, 0<4k <2,k<4k,所以x ∈(0,4k)时, f ′(x)<0; x ∈(4k,2)时,f ′(x)>0, 所以函数在(0,4k)上是减函数,在(4k,2)上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f ′(x 1)=f ′(x 2), x 1x 2>0且x 1≠x 2,即k +4k x 1-4x 12-1 = k +4k x 2-4x 22-1,化简得, 4(x 1+x 2)=(k+4k)x 1x 2,(8分)由x 1x 2<(x 1+x 22)2,得4(x 1+x 2)<(k+4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,(10分) 令g(k)=k+4k ,则g ′(k)=1-4k 2=k 2-4k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,所以g(k)在[4,+∞)上单调递增,则g(k)≥g(4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165,故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).(12分)4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+a x(0<x ≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e -2<x<e,g(x)≤m,求m 的取值范围.【解析】(1)F(x)=f(x)+a x=ln x+a x,x ∈(0,3],则有F ′(x 0)=x 0-a x 02≤12在x 0∈(0,3]上恒成立,(2分) 所以a ≥(-12x 02+x 0)max,(4分)x 0∈(0,3],当x 0=1时,-12x 02+x 0取得最大值12,所以a ≥12. (6分)(2)因为x ∈(0,+∞),令g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x=0,则(x 2-2x)ln x+ax 2=x, 即a=1-(x -2)lnxx,(7分) 令h(x)=1-(x -2)lnxx,则h ′(x)=-1x 2-1x+2-2lnx x 2=1-x -2lnxx 2,(8分)令t(x)=1-x-2ln x,t ′(x)=-1-2x=-x -2x,因为t ′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h ′(1)=0,所以当0<x<1时,h ′(x)>0,当x>1时,h ′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)max =h(1)=1,因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.(10分)当a=1时,g(x)=(x 2-2x)f(x)+x 2-x,若e -2<x<e,g(x)≤m,则g(x)max ≤m, g ′(x)=(x-1)(3+2ln x), 令g ′(x)=0得x=1或x=e -32,又因为e -2<x<e,所以函数g(x)在(e -2,e-32)上单调递增,在(e-32,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g(e-32)=-12e -3+2e-32,g(e)=2e 2-3e,因为g(e-32)<g(e),所以g(x)max =g(e)=2e 2-3e,所以m ≥2e 2-3e.(12分)02三角(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.【解析】 (1)f(x)=4cos ωx·sin (ωx +π4)=2√2sin ωx·cos ωx+2√2cos 2ωx =√2(sin 2ωx+cos 2ωx)+√2 =2sin (2ωx+π4)+√2.(2分)因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0, 从而有2π2ω=π,故ω=1.(4分)(2)由(1)知,f(x)=2sin (2x +π4)+√2.若0≤x≤π2,则π4≤2x+π4≤5π4.当π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8时,f(x)单调递增; (8分) 当π2<2x+π4≤5π4,即π8<x≤π2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间[0,π8]上单调递增,在区间(π8,π2]上单调递减. (12分)2.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-35.(1)求cos A 的值. (2)若a=4√2,b=5,求向量在方向上的投影.【解析】 (1)由2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)·sin B+cos (A+C)=-35,得[cos (A-B)+1]cos B-sin (A-B)sin B-cos B=-35,(2分)即cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-35,则cos (A-B+B)=-35,即cos A=-35. (4分)(2)由cos A=-35,0<A<π,得sin A=45.(6分)由正弦定理,有asinA =bsinB,所以sin B=bsinA a =√22.(8分) 由题意知a>b,则A>B,故B=π4.根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5×c×(-35),解得c=1或c=-7(舍去). 故向量在方向上的投影为||cos B=√22.(12分)3.(12分)设函数f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的集合.(2)已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,b+c=2,求a 的最小值. 【解析】 (1)因为f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x=cos (2x+π3)+1,所以f(x)的最大值为2.(3分) f(x)取最大值时,cos (2x+π3)=1,2x+π3=2k π(k ∈Z),故x 的集合为{x|x=k π-π6,k ∈Z}. (5分)(2)由f(B+C) =cos [2(B+C )+π3]+1=32,可得cos (2A -π3)=12,由A ∈(0,π),可得A=π3.(8分)在△ABC 中,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos π3=(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc≤(b+c 2)2=1,当b=c=1时bc 取最大值,此时a 取最小值1. (12分)4.(12分)设函数f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值. (2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.【解析】 (1)f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx=√32-√3·1-cos2ωx 2- 12sin 2ωx=√32cos 2ωx -12sin 2ωx=-sin (2ωx -π3).(4分)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,所以2π2ω=4×π4.因此ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=-sin (2x -π3).当π≤x≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3.所以-√32≤sin (2x -π3)≤1.(10分)因此-1≤f(x)≤√32.故f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值分别为√32,-1. (12分)03数列(45分钟 48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n }满足a 1,2a 2,a 3+6成等差数列,且a 42=9a 1a 5. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)设b n =(1+log √3a n )·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设正项等比数列{a n }的公比为q(q>0),由a 42= 9a 1 a 5 = 9a 32,(2分)故q 2 = a 42a32= 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a 1, 2a 2, a 3+6成等差数列,所以a 1+(a 3+6)-4a 2=0, 解得a 1=3,(4分)所以数列{a n }的通项公式为a n =3n .(6分) (2)依题意得b n =(2n+1)·3n ,则T n =3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n ,①(7分) 3T n =3·32+5·33+7·34+…+(2n -1)·3n +(2n+1)·3n+1,② 由②-①得2T n =(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n )-32 =(2n+1)·3n+1-2·32-3n+11-3-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n }的前n 项和T n =n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +3,n ∈N *. (1)求证:数列{a n +3}是等比数列. (2)求数列{na n }的前n 项和S n .【解析】(1)a n+1+3a n +3=2a n +3+3a n +3=2,(n ∈N *),因此数列{a n +3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n +3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n +3=4×2n-1=2n+1,于是a n =2n+1-3; 所以n·a n =n·2n+1-3n.(6分) 设b n =n·2n+1,c n =-3n,并设它们的前n 项和分别为T n ,R n . 则T n =1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分) 所以2T n =1×23+2×24+…+(n -1)·2n+1+n·2n+2 ② ②-①得T n =-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·1-2n 1-2=(n-1)·2n+2+4,(10分)又R n =-3+(-3n )2·n=-32n 2-32n,故S n =T n +R n =(n-1)·2n+2-32n 2-32n+4.(12分)3.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式.(2)若对任意的n ∈N *,不等式k(S n +1)≥2n -9恒成立,求实数k 的取值范围. 【解析】 (1)令n=1,S 1=2a 1-1=a 1, 解得a 1=1.(2分) 由S n =2a n -1,有S n-1=2a n-1-1, 两式相减得a n =2a n -2a n-1,化简得a n =2a n-1(n≥2),所以数列{a n }是以首项为1,公比为2 的等比数列,所以数列{a n }的通项公式a n =2n-1.(4分) (2)由k(S n +1)≥2n -9,整理得k≥2n -92n,令b n =2n -92n,则b n+1-b n =2n -72n+1-2n -92n =11-2n2n+1, n=1,2,3,4,5时,b n+1-b n =11-2n2n+1>0,所以b 1<b 2<b 3<b 4<b 5. n=6,7,8,…时,b n+1-b n =11-2n2n+1<0,(8分)即b 6>b 7>b 8>….因为b 5=132<b 6=364, 所以b n 的最大值是b 6=364.所以实数k 的取值范围是[364,+∞).(12分)4.(12分)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 3+1,a 4成等差数列. 世纪金榜导学号12560596 (1)求数列{a n }的通项公式.(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,求使(n-8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围. 【解析】 (1)由题意,S n =2a n -a 1,则当n≥2时,S n-1=2a n-1-a 1,两式相减得a n =2a n-1(n≥2),所以a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1,a 4=2a 3=8a 1,又a 1,a 3+1,a 4成等差数列,所以2(4a 1+1)=a 1+8a 1,解得a 1=2,(4分) 所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n .(6分) (2)b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n =1+2+3+…+n=n (n+1)2,由(n-8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立,知(n -8)(n+1)2≥k 对n ∈N *恒成立,(8分)设c n =12(n-8)(n+1)=12(n 2-7n-8),则当n=3或4时,c n 取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)04立体几何(45分钟 48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为平行四边形,其中∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,等边△ADE 所在平面与平面ABCD 垂直,FC ⊥平面ABCD,且FC=32.(1)点P 在棱AE 上,且AP PE=2,Q 为△EBC 的重心,求证:PQ ∥平面EDC.(2)求平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE 上取点M,使得BM=2ME;连接BQ 并延长,交CE 于点N.则在△ABE 中,又AP=2PE,所以PM ∥AB,(2分)又四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ∥CD,所以PM ∥CD. 在△BCE 中,Q 为重心, 所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQ ∥EC.又因为PM∩MQ=M,CD∩EC=C,所以平面MPQ ∥平面DEC.又PQ ⊂平面MPQ,所以PQ ∥平面EDC.(4分)(2)在△ABD 中,∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,由余弦定理可得.BD 2=AB 2+AD 2-2AB·ADcos ∠BAD=12+(√3)2-2×1×√3cos π6=1.所以BD=1.(6分)取AD 的中点O,连接EO,OB.在△EAD 中,EA=ED=AD=√3,所以EO ⊥AD,且EO=√32AD=32.又因为平面EAD ⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,所以EO ⊥平面ABCD.又在△ABD 中,AB=BD=1,AD=√3,所以OB ⊥AD,且OB=12.如图,以O 为坐标原点,分别以OA,OB,OE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.(8分)则A (√32,0,0),D (-√32,0,0),B (0,12,0), E (0,0,32),C (-√3,12,0),F (-√3,12,32).则=(-√32,12,0),=(-√32,0,32), =(√32,0,32),=(-√32,12,32).设平面ABE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则由可得整理得{√3x 1-y 1=0,√3x 1-3z 1=0.令z 1=1,则x 1=√3,y 1=3.所以m =(√3,3,1)为平面ABE 的一个法向量.设平面DEF 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则由可得整理得{x 2+√3z 2=0,√3x 2-y 2-3z 2=0.令z 2=-1,则x 2=√3,y 2=6.所以n =(√3,6,-1)为平面DEF 的一个法向量. (10分)所以cos<m ,n >==√3×√3+3×6+1×(-1)√(√3)2+32+12×√(√3)2+62+(-1)2=√13013, 设平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角为θ,则cos θ=cos<m ,n >=√13013. (12分) 2.(12分)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,∠BCC 1=π3,AB=BC=2,BB 1=4,点D 在棱CC 1上,且CD=λCC 1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当λ=12时,求异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,求λ的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B 1(0,4,0),A 1(0,4,2).因为BC=CD=2,∠BCC 1=π3,所以C(√3,-1,0),当λ=12时,D(√3,1,0).所以=(0,4,-2),=(√3,-3,-2).(3分)所以cos<,>==0×√3+4×(-3)+(-2)×(-2)√42+(-2)2·√(√3)2+(-3)2+(-2)2=-√55.(5分) 故异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值为√55. (6分)(2)由CD=λCC 1可知,D(√3,4λ-1,0) , 所以=(-√3,5-4λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB 1D 的法向量为m =(x,y,z),则即{4y -2z =0,(5-4λ)y -√3x =0.令y=1,解得x=5-4λ√3,z=2,所以平面AB 1D 的一个法向量为m =(5-4λ√3,1,2).(7分)设平面A 1B 1D 的法向量为n =(x′,y′,z′),则即令y′=1,解得x′=√3,z′=0,所以平面A 1B 1D 的一个法向量为n =(√3,1,0). (8分)因为二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,所以|cos<m ,n >|==|√3×√3+1×1+2×0|√(√3)2+12+22·√(√3)2+12=√22, 即(5-4λ)2=9,解得λ=12或λ=2(舍),故λ的值为12.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF ⊥平面BCF.(2)点M 在线段EF(含端点)上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD 中,因为AB ∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=2π3,所以AB=2,(2分)所以AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB 2=AC 2+BC 2.所以BC ⊥AC. 因为CF ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以AC ⊥CF,(4分)而CF∩BC=C,所以AC ⊥平面BCF,因为EF ∥AC,所以EF ⊥平面BCF. (6分) (2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF 为x 轴,y 轴, z 轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1, 令FM=λ(0≤λ≤√3),则C(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1), 所以=(-√3,1,0),=(λ,-1,1),设n 1=(x,y,z)为平面MAB 的一个法向量,由得{-√3x +y =0,λx -y +z =0,取x=1,则n 1=(1,√3,√3-λ),因为n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,(9分)所以cos θ==√1+3+(√3-λ)2×1=√(λ-√3)2+4,(10分)因为0≤λ≤√3,所以当λ=0时,cos θ有最小值√77,所以点M 与点F 重合时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为√77.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM 是矩形,∠DAB=π3,AB=2,AM=1,E 是AB 的中点.(1)求证:DE ⊥平面ABM.(2)在线段AM 上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4?若存在,求出AP 的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD 是菱形,∠DAB=π3,E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB,(2分)因为四边形ADNM 是矩形,平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD,所以MA ⊥平面ABCD,又DE ⊂平面ABCD,所以DE ⊥AM,又AM∩AB=A,所以DE ⊥平面ABM.(4分)(2)由DE ⊥AB,AB ∥CD,可得DE ⊥CD,因为四边形ADNM 是矩形,平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD,ND ⊥AD,所以ND ⊥平面ABCD,以D 为原点,DE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(√3,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(√3,-1,m)(0≤m≤1),则=(-√3,2,0),=(0,-1,m),因为ND ⊥平面ABCD,平面ECD 的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC 的法向量为n =(x,y,z),n ·=n ·=0,即{-√3x +2y =0,-y +mz =0,取z=1,可得n =(√3,m ,1),(8分)假设在线段AM 上存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4,则cos π4==1√4m 23+m 2+1,解得m=√217,(11分)所以在线段AM 上,符合题意的点P 存在,此时AP=√217. (12分)05解析几何(45分钟 48分)1.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点(√62,-1),左右焦点分别为F 1,F 2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M,N 两个不同的点,|MN ||OQ |2的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)原点O 与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则√2=1,所以b=√2.因为点(√62,-1)在椭圆上,所以32a 2+12=1,所以a=√3, 所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1. (3分)(2)设Q(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),OQ 的方程为x=my,则MN 的方程为x=my+1,由{x =my ,x 23+y 22=1得{x 2=6m 22m 2+3,y 2=62m 2+3,即{x 02=6m 22m 2+3,y 02=62m 2+3.所以|OQ|=√1+m 2|y 0|=√6√1+m2√2m 2+3, (6分)由{x =my +1,x 23+y 22=1,得(2m 2+3)y 2+4my-4=0. 所以y 1+y 2=-4m2m 2+3,y 1y 2=-42m 2+3, (8分)|MN|=√1+m 2|y 1-y 2|=√1+m 2·√16m 2(2m 2+3)2+162m 2+3=√1+m 2·4√3√1+m 22m 2+3=4√3(1+m 2)2m 2+3. (10分)所以|MN ||OQ |2=4√3(1+m 2)2m 2+36(1+m 2)2m 2+3=2√33. 所以|MN ||OQ |2的值是常数2√33. (12分)2.(12分)已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C 相交于P,Q 两点,试问在x 轴上是否存在定点N,使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意得b=2,a 2=8,故椭圆C 的方程为y 28+x 24=1.(4分)(2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ 与x 轴不垂直时,设PQ 的方程为y=k(x-1), 代入椭圆方程化简得:(2+k 2)x 2-2k 2x+k 2-8=0,(6分) 设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 22+k 2,x 1x 2=k 2-82+k 2,所以k PN +k QN =y 1x 1-m +y 2x 2-m=k (x 1-1)x 1-m+k (x 2-1)x 2-m=k (x 1-1)(x 2-m )+k (x 2-1)(x 1-m )(x 1-m )(x 2-m )=k [2x 1x 2-(1+m )(x 1+x 2)+2m ](x 1-m )(x 2-m ),(8分)因为2x 1x 2-(1+m)(x 1+x 2)+2m=2(k 2-8)2+k 2-2(1+m )k 22+k 2+2m=4m -162+k 2,(10分)所以当m=4时,k PN +k QN =0,直线PN 与直线QN 关于x 轴对称,当PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN 与直线QN 关于x 轴对称,综上可得,在x 轴上存在定点N(4,0),使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称.(12分) 3.(12分)已知F 1,F 2是椭圆Ω:x 24+y 2b 2=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P 的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时,若直线l :y=kx+m 与椭圆Ω相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且3x 1x 2+4y 1y 2=0,求证:△AOB 的面积为定值. 【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为x 24+y 2=1,则F 1(-√3,0),F 2(√3,0)(1分).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(-√3-x,-y),=(√3-x,-y),(2分)由·=-54,得x 2+y 2=74,(3分)与椭圆方程联立解得x=1,y=√32,即点P 的坐标为(1,√32).(4分) (2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆Ω的方程为x 24+y 23=1.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得:(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(6分)因为Δ=64k 2m 2-16(3+4k 2)(m 2-3)=48(3+4k 2-m 2)>0,所以3+4k 2-m 2>0, 所以x 1+x 2=-8km3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.所以y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k 2.由3x 1x 2+4y 1y 2=0,得3·4(m 2-3)3+4k 2+4·3m 2-12k 23+4k 2=0.(8分)所以2m 2=3+4k 2. 因为|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(3+4k 2)2 =√1+k 2·√48(2m 2-m 2)(2m 2)2 =√1+k 2·√12m2.(10分) 又点O 到直线AB 的距离 d=|m |√1+k 2=√m 2√1+k 2,所以S △AOB =12·|AB|·d=12·√1+k 2·√12m 2·√m 21+k2=√3.即△AOB 的面积为定值.(12分) 4.(12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上位于第一象限的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D.(1)若当点A 的横坐标为3,且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形,求C 的方程. (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x 0,0)(x 0≥12),记点B 关于x 轴的对称点为E,AE 交x 轴于点P,且AP ⊥BP,求证:点P 的坐标为(-x 0,0),并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.【解析】(1)由题知F (p 2,0),|FA |=3+p 2,(2分)则D(3+p,0),FD 的中点坐标为(32+3p 4,0),(3分)则32+3p 4=3,解得p=2,故C 的方程为y 2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB 的方程为x=my+x 0(m≠0), A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则E(x 2,-y 2),由{y 2=4x ,x =my +x 0消去x,得y 2-4my-4x 0=0,因为x 0≥12.所以Δ=16m 2+16x 0>0,y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4x 0,(6分) 设P 的坐标为(x P ,0),则=(x 2-x P ,-y 2),=(x 1-x P ,y 1),由题知∥,所以(x 2-x P )y 1+y 2(x 1-x P )=0,即x 2y 1+y 2x 1=(y 1+y 2)x P =y 22y 1+y 12y 24=y 1y 2(y 1+y 2)4,显然y 1+y 2=4m≠0,所以x P =y 1y 24=-x 0,即证x P (-x 0,0),由题知△EPB 为等腰直角三角形,所以k AP =1, 即y 1+y 2x 1-x 2=1,也即y 1+y 214(y 12-y 22)=1,(8分)所以y 1-y 2=4,所以(y 1+y 2)2-4y 1y 2=16,即16m 2+16x 0=16,m 2=1-x 0,x 0<1, 又因为x 0≥12,所以12≤x 0<1,d=|0-x 0|√1+m 2=√1+m 2=√2-x 0,令√2-x 0=t ∈(1,√62],x 0=2-t 2,d=2(2-t 2)t =4t-2t,(10分)易知f(t)=4t -2t 在(1,√62]上是减函数,所以d ∈[√63,2).(12分)06概率与统计(45分钟 50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a 的值.(2)估计该次考试的平均分x (同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”(参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d)【解析】(1)10=1,故a=0.005.(2)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40, 0.20,0.05,故可估计平均分x =55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25, 故晋级成功的人数为100×0.25=25(人),列联表如下(10分)假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得K 2的观测值 k=100×(16×41-34×9)225×75×50×50≈2.613>2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关.(12分)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据: P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6 P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X 的数学期望.【解析】(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为x =90,所以由题可得μ=90-0.9=89.1,σ=√49.9-0.9=7. (3分)(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.6826+0.95442=0.818 5. (6分)②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.8185),所以E(X)=10 000×0.818 5=818 5. (12分)3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程.(斜率和截距均保留为三位有效数字).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:【解析】(1)由题可知于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为:y=3.560+0.305t.(8分)(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5℃至20℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长3.560+0.305×2=4.17 mm.(13分)4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占35,采用微信支付的占23,40岁以上采用微信支付的占14.(1)请完成下面并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少? 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),n=a+b+c+d. 参考数据:【解析】(1)由已知可得,40岁以下的有100×5=60人,使用微信支付的有60×23=40人,40岁以上使用微信支付的有40×14=10人.(2分)所以2×2列联表为:(4分)由列联表中的数据计算可得K 2的观测值为k=100×(40×30-20×10)260×40×50×50=503,(6分)由于503>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.(8分)(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=23,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=14,显然A,B,C 相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P(ABC )=1-13×13×34=1112,故至少有一人使用微信支付的概率为1112.(13分)。

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2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知a.b.c ∈R,函数f(x)=ax 2+bx+c .若f(0)=f(4)>f(1),则（）A ．a>0,4a+b=0B ．a<0,4a+b=0C ．a>0,2a+b=0D ．a<0,2a+b=0（2013年高考浙江卷（文））2．1 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（）A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=3．（2007）5()a x x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（D ）（A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 24．若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于（）A.{x |0＜x ＜1}B.{x |0＜x ＜3}C.{x |1＜x ＜3}D. Φ（2008福建文1）5．已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( ) A 平行于x 轴 B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 (2009广东文)答案 C解析 +a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.6．已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x = （）A ．—1B ．—12C ．12D ．1（2012辽宁文）7．在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点（均除O 点外），连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有（）A ．211211m n n m C C C C +++B ．2121m n n m C C C C +C ．112121n m m n n m C C C C C C ++ D ．121211n m n m C C C C +++8．（2010福建文）9．四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD内的轨迹一定是（）10．等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100 项之和为A.0B.100C.1000D.1000011．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（）A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=二、填空题ABCDC.ABCDA.A BCDB.ABD.第17题图12．若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为____________.13．设()f x 是偶函数，其定义域为[4,4]-，且在[0,4]内是增函数，又(3)0f -=，则 ()0sin f x x≤的解集是 ▲ .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是棱11,AA CC 的中点，求证：点1,,,D E F B 共面。

2019年高考高三年级数学一轮统考综合训练题理科

高三理科数学一轮统考综合训练题（五）一、选择题：共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1AD24.AD5．是两个不同的平面，则下列命题正确的是A BC D6.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1.2+C.7..若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为()A.8B.15C.16D.328．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．3-B ．6-C ．3D ．69．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，若12,(,63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +=A ． 1B ．21C ．22D ．2310．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 A ．34种 B ．48种C ．96种D ．144种11. 函数2()ln(2)f x x =+的图象大致是12．如图，从点0(,4)M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d = ; 14．如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ;15．已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++，则xy 的最小值为__________；16. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1x y e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在数列{}n a )N (*∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=k n n n k n n b n a n 2,2112,22（k 为正整数）,求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，PFEAD2PA =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知函数()1x f x e x =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设2()(()1)(1)g x f x x '=+-，试问函数()g x 在(1,)+∞上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=, 求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. 22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线),0(cos 2sin:2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．数学一轮统考综合训练题（五）答案一、选择题： C A D A D B C B D C D B 二、填空题： 13. 3 14. 2315．9 16．②③ 三、解答题： 17．解:(Ⅰ)由题设得:22n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S n所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列故n a n -=1.……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-k n n n k n n b n n 2,)2(112,21 ……………6分 n n b b b b T 23212++++=02462212325272(21)2n n ----⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-+-+)22121()8161()6141()4121(21n n 02462212325272(21)24(1)n n n n ----⎡⎤==⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅+⎣⎦+ ……………9分设246221325272(21)2n T n ----=+⋅+⋅+⋅++-⋅则2246822222325272(23)2(21)2n n T n n -------⋅=+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅两式相减得：2468222312(22222)(21)24n n T n ------⋅=++++++--⋅229n C C 整理得：2202420992nn T +=-⋅ ……………11分所以222024209924(1)n n n n T n +=-+⋅+ ……………12分 18．解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为 ……………2分由题意知229512n C C =，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分故袋中原有白球的个数为6……………………6分（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. 2(1)3P X ==； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：……………10分所求数学期望为211110()12343414847E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分19． (Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点，所以EF ∥PB ……………………2分因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………4分（Ⅱ）因为=1EA EB AB == 所以60ABE ∠= 又因为E 为BD 的中点所以ADE DAE ∠=∠所以2()180BAE DAE ∠+∠=得90BAE DAE ∠+∠=，即BA AD ⊥……………6分因为=1EA EB AB ==，所以AD 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系所以1(1,0,0),(0,0,2),(2B D P F E 则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,2PB PD AE AF =-=-==………8分设1111(,,)n x y z =、2222(,,)n x y z =分别是面PBD 与面AEF 的法向量则11112020x z z -=⎧⎪-=，令1n =又22220102y z x y +=⎨⎪+=⎪⎩，令2(n =……………11分所以12121211cos ,19n n n n n n ⋅==……………12分20．解：（Ⅰ）求导数，得()1x f x e =-'．令0()f x '=，解得0x =． ……………2分当0x <时，0()f x '<，所以()f x 在()0-∞，上是减函数；当0x >时，0()f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数．故()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． ……………6分（Ⅱ）函数()g x 在()1,+∞上不存在保值区间,证明如下：假设函数()g x 存在保值区间[],a b ,由2()(1)x g x x e =-得：2()(21)xg x x x e '=+-因1x >时， ()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以22()(1)g()(1)abg a a e ab b e b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即方程2(1)xx e x -=有两个大于1的相异实根 ……………9分设2()(1)(1)xx x e x x ϕ=-->2()(21)1x x x x e ϕ'=+--因1x >，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(1,)+∞上单增所以()x ϕ在区间()1,+∞上至多有一个零点 ……………11分这与方程2(1)xx e x -=有两个大于1的相异实根矛盾所以假设不成立，即函数()h x 在()1,+∞上不存在保值区间. ……………12分21．解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=因1F 到直线AB 的距离为3,所以有31333=+--cc ,解得3=c ……………2分所以有3222==-c b a ……① 由题意知:42221=⨯⨯b a ,即2=ab ……② 联立①②解得:1,2==b a所求椭圆D 的方程为1422=+y x ……………4分（Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为1422=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λλλλ+=+-=∴1,111my x ……………6分又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm 所以04)2)(23(2≥++=λλm解得：23λ≥-或2λ≤- ……………8分（Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182kk x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k + 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k + (1)当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………10分(2) 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +-=+x k k k (14122)41822k k+因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点令0=x ,得:2416k kt +-=于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=由4)41()11516(4)(2222411=+-+=---=⋅k k k t y t x NQ NP ,解得:714±=k 代入2416k kt +-=,解得: 5142±=t 综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t . ……………12分.2,2)Ⅰ(.222-==x y ax y ……………5分).(224222)Ⅱ(为参数的参数方程为直线t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= ),4(8),4(22,0)4(8)4(222212122a t t a t t a t a t ax y +=⋅+=+=+++-=则有，得到代入,2PN PM MN ⋅= ,4)()(2121221221t t t t t t t t =⋅-+=-∴).(41.0432舍去或解得即-===-+a a a a ……………10分23.解：(Ⅰ)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x<－12.WORD格式整理故不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．……………5分(Ⅱ)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分专业技术参考资料。

2019届高三一轮复习第一阶段测评考试数学(理)试题(PDF版)答案1

象关于坐标原点对称，排除Ｄ；又当ｘ＞０时， ᶄ＝ｙ－４ｌｎ２，则函数在（，上单调递减，排除００＋ɕ）ｘ－ｘ２＜（）－２２，故选ＡＢ和Ｃ．利用函数的奇偶性、单调性等性质，结合排除法求解．全能解析】本题考查函数的构造、导数的应用．由１０．Ｃ【１（）可得［（）］（），即ｙｘｌｎｘ＞０ｆｘｌｎｘｆｘ＋ｆ ᶄ ᶄ＞０＝ｘ（），上单调递增，当ｘ时，（）ｆｘｌｎｘ在（０＋ɕ）＝１ｆ１＞１，显然有ｆ（）；当ｘ时，不妨设ｘ０ｘ＋ｆ＞０＞ ≠１ｘ１１１１（），，则ｘｆｘｌｎｘ＞ｆｌｎ＝－ｆｌｎｘ１＞，ｘｘｘｘ１，同理，也有也有ｆ（）＋ｆ＞００＜ｘ＜１时，ｘｘ１，故选Ｃ（）＞０．ｆｘ＋ｆｘ【超级链接 · 拓展】函数的常见构造：（）（）ｘｆｘ＋ｋｆｘ＞０ ᶄ ｋ（）化为［（） ·ｘ，］（）－ｋ（）ｘ＞０ｆｘ ᶄ＞０ｘｆ ᶄ ｘｆｘ＞０（）ｆｘ，（）（）化为［（） · （）化为＞０ｆ ᶄ ｘ＋ｋｆｘ＞０ｆｘｘ＞０ｋ ᶄ ｘ（）ｆｘｋｘ，］（）（）化为 ᶄ ＞０ｆ ᶄ ＞０．ｅｘ－ｋｆｘ＞０ｋｘ ᶄ ｅ全能解析】本题考查函数的周期性、求函数值．令１１．Ｃ【，由ｆ（） ·ｆ（）得ｆ（） ·ｆ（）２ｘ＝ｔ２ｘ２ｘ＋４＝－１ｔｔ＋４＝，即ｆ（） ·ｆ（），所以ｆ（）（），－１ｔ＋４ｔ＋８＝－１ｔ＝ｆｔ＋８所以ｆ（）的周期为８，所以ｆ（）＋ｆ（）＝ｘ２０１６２０１７（）（），又ｆ（），且ｆ（）（）ｆ０＋ｆ１＝－１－１＝１１＋ｆ－１＝ａ，（）＝ａ，所以ａ－１，所以ａ＝０，故ａ２ｆ０＋＝－１２选Ｃ．【超级链接 · 拓展】利用周期函数的定义有：若ｆ（）ｘ＝（），则周期Ｔ＝｜；若ｆ（）（），则ｆｘ＋ａａ｜ｘ＝－ｆｘ＋ａ周期Ｔ＝；若ｆ（） ·ｆ（）（为常数），则２｜ａ｜ｘｘ＋ａ＝ｂｂ周期Ｔ＝结合函数性质有：（）的图２｜ａ｜．＝ｆｘ ①若ｙ象有两条对称轴ｘ，（），则ｙ（）是＝ａｘ＝ｂａ＝ｆｘ ≠ｂ周期函数，且一个周期为Ｔ＝；（）２｜ａ－ｂ｜＝ｆｘ ②若ｙ的图象有两个对称中心Ａ（，），（，）（），则ａ０Ｂｂ０ａ ≠ｂ（）是周期函数，且一个周期为Ｔ＝；ｙ＝ｆｘ２｜ａ－ｂ｜ ③如果函数ｙ（）的图象有一个对称中心Ａ（，）和一＝ｆｘａ０条对称轴ｘ（），则函数ｙ（）是周期函＝ｂａ＝ｆｘ ≠ｂ数，且一个周期为Ｔ＝４｜ａ－ｂ｜．全能解析】本题考查函数的图象、导数与最值关１２．Ｄ【ｘ（）（系．）（），则当０时，函ｘ＝ｘｅｆ ᶄ －２ｘ＞０＜ｘ＜ｌｎ２数ｆ（）单调递减；当ｘ时，函数ｆ（）单调递增，ｘ＞ｌｎ２ｘ２（）），于是由题意，得故ｆ（）ｌｎ２＝ａ－（ｌｎ２－１ｘｍｉｎ＝ｆ２２（）＞，得ａ（），故选Ｄ０＞ｌｎ２－１ａ－ｌｎ２－１．【超级链接·反三】求解函数的零点通常考虑：（）转１化为方程的根，通过解方程求解；（）构造新函数结２合函数的单调性，结合零点存在性定理求解，注意利用导数判断函数的单调性；（）转化为两个函数，直３观观察两个函数图象的交点情况进行求解．

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2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）A ．1B ．43 C ．21 D ．83（2003山东理7）2．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U AB =ð( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5（2008四川卷理１文1）3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．同时抛两枚均匀硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X ，则()D X =（） A ．815B ．415 C ．25 D ．5二、填空题6．若直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为-1和2，则直线l 的斜率为 2 .7．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形．若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为 ▲ ．8．已知ABC ∆2θ，ABC ∆的面积为S ，则cos S θ⋅= ▲.9．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 262n n -+ .10．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B =11．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝6·2n －1，则{a n }的通项公式为________．12．如图，︒=∠90BAD 的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与CD 所成角的大小为。

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2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度（2004全国1文92．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（）（A ）（0，1）（B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]（2011陕西理7） 13．“x>1”是“|x|>1”的（A ）．充分不必要条件（B ）．必要不充分条件（C ）．充分必要条件（D ）．既不充分又不必要条件（2011湖南文3） 4．在下列各区间中，函数y=sin （x ＋4π）的单调递增区间是（）（1996上海2）A ．［2π，π］B ．［0，4π］ C ．［－π，0］D ．［4π，2π］5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6．若()2,a i i b i -=-其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a b +=7．为了求方程lg 3x x =-的近似解，我们设计了如图所示的流程图，其输出的结果 ▲ ．8．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tan βα+的值是_________________.9．已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]- 上的最小值为 ▲ ．10．设P 是V ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=uu u r uu r uu r ，则PC PA +=uu u r uu r★ ．11．若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为。

2019届高三理科数学一轮复习《充分条件和必要条件》专题测试

2019届高三理科数学一轮复习《充分条件和必要条件》一、选择题（本大题共12小题）1.若两个集合A、B是非空集合，则“AA=⋃”的（）BBA=⋂”是“AA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，则“”是“”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在中，角所对边分别为，若是钝角三角形，则p是q的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要4.设{ a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3是“数列{ a n}是递增数列”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5.若实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.“”是“函数有零点”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要7.若集合A={1,}、B={3,4}, 则“m= 2 ”是“A∩ B={4}”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在中，角对应的边分别为．若则“”是" ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4 ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+ bx+ c＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 必要条件11.“x＞5”的一个必要而不充分条件是（）A. B. C. D.12.“是函数在区间内单调递增”的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4小题）13.有下列四个命题：①命题“若则互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否定；③命题“若则有实根”的否命题；④命题“直线和直线垂直的充要条件是”，其中是真命题的序号是_____________14.“函数在上是单调递增函数”是“函数在上是单调递增函数”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）；15.若＜＜是不等式m-1＜x＜m+1成立的一个充分非必要条件，则实数m的取值范围是______ ．16.“”是“”的___________条件. (选填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”“既不充分也不必要”)三、解答题（本大题共6小题）17.命题p：实数满足，其中；命题q：实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围.18.已知集合 .（1）能否相等？若能，求出实数的值；若不能，试说明理由；（2）若命题，命题，且是充分不必要条件，求实数的取值范围 .19.已知命题：，命题：.（1）若，求实数的值；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.20.集合A＝＝－＋，，，B＝{x| x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21.已知p:,q:,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

2019年高考高三数学一轮统考综合训练题理科

高三理科数学一轮统考综合训练题（六）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，复数21ii+等于 A ．i +-1B ．i --1C ．i -1D ．i +12．设全集R I =，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则 A ．A B ⊆ B ．AB A =C ．AB =∅ D ． ()I A B ≠∅ð3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．5和1.6B ．85和1.6C ．85和0.4D ．5和0.44．“*12N ,2n n n n a a a ++∀∈=+”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是A ．2B ．92C ．32D ．36．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线方程为A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 7．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 8．函数4cos xy x e =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是第5题图正视图侧视图xA B C D 9．对于函数sin(2)6y x π=-，下列说法正确的是A ．函数图象关于点(,0)3π对称B ．函数图象关于直线56x π=对称 C ．将它的图象向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图象D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y x π=-的图象10．已知点G 是ABC ∆的外心，,,GA GB GC 是三个单位向量，且20GA AB AC ++=，如图所示，ABC ∆的顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则OAA BC ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题共二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2011．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =，则()f m -= ;12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;13．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为 ;14．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是 ;15．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ:① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅; ② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅; ③ {,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅; ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-，3b =. （Ⅰ）求角 B ；（Ⅱ）若sin A =ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面 ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒， 13AD AA ==， 1BC =，1E 为11 A B 中点.（Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E ；（Ⅱ）若AC BD ⊥，求平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n n b b b b b a -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记24(1)(21)n nn n b c n ⋅=-+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）已知椭圆22:12x C y +=与直线:l y kx m =+相交于E 、F 两不同点，且直线l与圆222:3O x y +=相切于点W (O 为坐标原点). （Ⅰ）证明：OE OF ⊥；（Ⅱ）设EW FWλ=，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分）A 1A B1BC1CD1D1E已知函数21()12f x x kx =++，()(1)ln(1)g x x x =++，()()()h x f x g x '=+. （Ⅰ）若函数()g x 的图象在原点处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值；（Ⅱ）若()h x 在[0,2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满()()i f x g t =(1,2)i =，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ=sin θ．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1和C 2共有四个不同交点，求a 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）求a 2b 的最大值．高三理科数学一轮统考综合训练题（六）答案一、选择题： D A B C D A C A B C 二、填空题：11. 4028 12. 132 13.24- 14．(4,2)- 15．②④三、解答题：16. 解：（Ⅰ） sin()sin sin a b a cA B A B+-=+- ∴a b a cc a b+-=- …………………………2分222a b ac c ∴-=- 2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分(0,)B π∈，3B π∴= ………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b =，sin 3A =，sin sin a b AB =，得2a = ………………7分由a b <得A B <，从而cos 3A =， …………9分故sin sin()sin cos cos sin 6C A B A B A B =+=+=………10分所以ABC ∆的面积为1sin 22S ab C ==. ……12分17．解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ………………4分所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …6分（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,33211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯ 所以ξ的分布列为所以()0123571995285955E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==………12分 18．证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ，因为1111ABCD A B C D -为四棱柱，所以四边形11ADD A 为平行四边形，所以G 为1A D 的中点，又1E 为11 A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线，从而11//B D E G ……………………………………4分又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………5分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又090BAD ∠=，所以1,,AB AD AA 两两垂直. ……………6分如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设AB t =，则()0,0,0A ，(),0,0B t ，(),1,0C t ，()0,3,0D ，()1,1,3C t ，()10,3,3D .从而(,1,0)AC t =，(,)3,0BD t -=. 因为A CB ⊥，所以2300A CB D t ⋅=-+=+，解得3t =. ……………………8分所以1(0,3,3)AD =，(3,1,0)AC =.设1111,,()n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩令11x =，则1(13,),3n =-. ………………………9分又1(0,0,3)CC =，(CD =-.设2222,,()n x y z =是平面11CDD C 的一个法向量，则1220,0.CC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令21x =，则2(1,2)n=. ……………………10分∴121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯+⋅<>===⋅ ∴平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值17. ………12分19．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则101919,a a d =+=101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得11,2a d ==，所以21n a n =- ………………3分所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当11,3n b ==时2,n ≥当时123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21n n b n n +=≥- 因为当11,3n b ==时适合上式，所以21(N )21n n b n n *+=∈-…………6分（Ⅱ）由已知24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+，得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ……7分当n 为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+1212121nn n =-+=-++ ……………………9分当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+12212121n n n +=--=-++ ………………11分综上：2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… …………………12分20．解：（Ⅰ）因为直线l 与圆O 相切所以圆2223x y +=的圆心到直线l 的距离d ==，从而222(1)3m k =+…2分由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-= 设11(,)E x y ，22(,)F x y则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+ ……………4分所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k mk k m k k k k k --=++++=+++++--+--===++ 所以OE OF ⊥ …………………6分（Ⅱ）直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22x x y y +=+=∴EWFWλ====……8分由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y = 从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+∴21234x λ+==……………………12分因为1x ，所以1[,2]2λ∈ …………………13分21．解：（Ⅰ）原函数定义域为(1,)-+∞，()ln(1)1g x x '=++，则(0)0g =，(0)1g '=，:l y x ∴= ……………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩l 与函数()f x的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=≥++对[0,2]x ∈恒成立，所以1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0,2]上为增函数 ………6分max 7()(2)3h x h k ''∴==+()h x 在[0,2]上单调递减()0h x '∴≤对[0,2]x ∈恒成立，即max 7()03h x k '=+≤73k ∴≤- …………………8分（Ⅲ）当1]x ∈时，()ln(1)10g x x '=++> ()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，0()g x ≤≤………10分 21()12f x x kx =++的对称轴为：x k =-，∴为满足题意，必须14k -<-< 此时2min 1()()12f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和(4)f 中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满足()()i f x g t =(1,2)i =，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪∴⇒⎨<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ ……………13分94k <<……………14分22、解：（Ⅰ）曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣a ）2=4，表示一个以（0，a ）为圆心，2为半径的圆；曲线C 2的极坐标方程可化为ρ2cos 2θ=ρsin θ，高三数学（理科）试题第11页（共11页）故对应的直角坐标方程为y=x 2．（Ⅱ）将两方程联立得得y 2+（1﹣2a ）y+（a 2﹣4）=0，由于两方程表示的曲线均关于y 轴对称，所以只要关于y 的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，因此有解得．23、解：（Ⅰ）由，可得，，当且仅当时等号成立，因此的最小值为8．（Ⅱ）因为，即3•≤1，变形可得，即b a 2的最大值为，当且仅当，即且时，等号成立．。

(北师大)2019届高考数学理科一轮复习单元评估检测试卷及答案(9套)

单元评估检测(一) 第1章集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,2]D ．[0,2] [答案] C2．已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．(－3,3)C ．(1,3)D ．{1,2} [答案] D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：79140402】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉Q[答案] D4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1[答案] C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( )A ．2＜x ＜4B ．－2＜x ＜2C ．x ＜0D ．x ＞2或x ＜－2[答案] A6．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{0,1}D ．∅[答案] C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．48．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列{3a 1a n }为递增数列的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(﹁p )或q ，p 且(﹁q )中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A11．(2018·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ○+N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ○+B 等于( ) 【导学号：79140403】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [答案] C 12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________．[答案] {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． [答案] 4 15．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140404】[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解] A ＝{x |－1＜x ＜1}． (1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ，所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ，所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(本小题满分12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，若“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(本小题满分12分)(2018·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4，所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4，即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}．由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0，得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }；当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}．若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使BA ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2.综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：79140405】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}．所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(本小题满分12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.[证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根．当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根，且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根．当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 第2章函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数f (x )＝1－3x ＋，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 [答案] A 2．已知函数f (x )＝则f (f (4))的值为( )【导学号：79140406】A ．－19B ．－9 C.19 D ．9[答案] C3．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] D4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3[答案] B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2[答案] D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：件)应为( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10[答案] C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图像大致为( )[答案] D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[答案] D10．(2018·郑州模拟)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，那么⎠⎛12f (x )d x ＝( )A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋2ln 2B ．72＋2ln 2 C ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋ln 2 D ．－(4＋2ln 2)[答案] A11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )【导学号：79140407】A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D12．(2018·岳阳模拟)设函数y ＝ax 2与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1ax 的图像恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33e ，e B.⎝⎛⎭⎪⎫－33e ，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫33e [答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·xm ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．[答案] (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【导学号：79140408】[答案] －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________. [答案] 1816．(2017·长治模拟)对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝________.[答案] 2 016三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．[解] (1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)18．(本小题满分12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x2·log2x2.(1)求实数x 的取值范围；(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0，得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x2·log2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图像都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝1，f ′(0)＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝d ＝1，g ′(0)＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x－(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围； (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值.【导学号：79140409】[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)．因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增，故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4，所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x)＝(2x－2－x )2－2m (2x－2－x)＋2. 令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1，所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)·ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋ex－x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e ax(a ∈R )．(1)当a ＝－2时，求函数g (x )＝x 2f (x )在区间(0，＋∞)内的最大值；(2)若函数h (x )＝x 2f (x )－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，函数f (x )＝e－2x，所以函数g (x )＝x 2e－2x，所以g ′(x )＝2x e －2x＋x 2e－2x·(－2)＝2x (1－x )e－2x，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，g (x )是增函数，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )是减函数，所以在区间(0，＋∞)内g (x )的最大值是g (1)＝e －2.(2)因为函数h (x )＝x 2f (x )－1＝x 2e －ax－1，所以h ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )，令h ′(x )＝0，因为e －ax＞0，所以－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(a ≠0)．又h (x )在(0,16)内有两个零点，所以h (x )在(0,16)内不是单调函数，所以2a ∈(0,16)，解得a ＞18.①又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，16时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数，所以在(0,16)上h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＝4a2e －2－1.令4a 2e －2－1＞0，解得－2e ＜a ＜2e.② 又⎩⎪⎨⎪⎧h (0)＜0，h (16)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，256e －16a－1＜0，解得a ＞12ln 2.③解①②③组成不等式组，解得12ln 2＜a ＜2e .所以实数a 的取值范围是12ln 2＜a ＜2e.单元评估检测(三) 第3章三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B2．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q ) D ．p 或(﹁q )[答案] B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π－α)＋cos α＝2，则tan α＝( )【导学号：79140410】A.15 B ．－23 C.12 D ．－5 [答案] D4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图像向左平移π18个单位后，得到的图像可能为( )[答案] D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－125B ．512 C.177 D ．－717[答案] D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A.3＋226 B ．3－226C.1＋266D ．1－266[答案] A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B ．2π3 C.4π3 D ．5π3[答案] B8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图31所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图31A ．±223B ．223C ．－223D ．13[答案] C9．(2018·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32 [答案] C10．已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图像关于x ＝π3对称C ．函数f (x )的图像可由g (x )＝2sin 2x －1的图像向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数[答案] C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图32)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图32A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米[答案] B12．已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140411】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. [答案] 014．如图33，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km.图33 图34[答案] 215．如图34，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．[答案] 516．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________． [答案] 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图35，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图35(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求tan(π－θ)cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2sin(2θ－π)的值；(2)求点B 的坐标． [解] (1)34. (2)B ⎝⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232.18．(本小题满分12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)B ＝π6. (2)26＋16.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：79140412】图36(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中(图36)作出函数f (x )在[0，π]上的图像； (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合．[解] (1)ω＝2，φ＝－π3.(2)描点画出图像(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z . 20.(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． [解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)1.(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.21．(本小题满分12分)已知如图37，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图37(1)求△ABC 的面积； (2)若AB ＝5，求AD 的长.【导学号：79140413】[解] (1)1534. (2)192.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)有一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达预测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．[解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin∠ABCsin(45°－∠ABC )＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt△QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．i [答案] C2．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35I D ．45－35i[答案] D3．若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( )A ．－1B ．－iC ．ID ．1 [答案] A4．复数z ＝－3＋i2＋i的共扼复数是( )【导学号：79140414】A ．2＋IB ．2－iC ．－1＋ID ．－1－i [答案] D5．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9) [答案] D6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] A8．设复数z 1＝2sin θ＋icos θ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2在复平面上对应向量OZ1→，将OZ 1→按顺时针方向旋转34π后得到向量OZ 2→，OZ 2→对应的复数为z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则y x＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1 B ．2tan θ－12tan θ＋1 C.12tan θ＋1D ．12tan θ－1[答案] A9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5,5)，则b ·c ＝( )A ．(－3,4)B ．(3，－4)C ．1D ．－1[答案] C10．如图41，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图41A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →[答案] D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( )A ．3－2iB ．2－3iC ．－3－2iD ．2＋3i[答案] D12．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8 [答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.[答案] 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________.【导学号：79140415】[答案]32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →；(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． [解] (1)D (2,1)或D (－2,3)． (2)AC →＝－AB →＋AD →. (3)AE →＝(－14,2)．18．(本小题满分12分)如图42，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值.【导学号：79140416】图42[解] 78.19．(本小题满分12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω；(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值．[解] (1)1－i. (2)54π.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，－2sin A 2，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)－12. (2)2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m ∥n .【导学号：79140417】(1)求角A 的大小；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m ∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0，由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin C cos A ，因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0，所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立；因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. (1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →；(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)因为点M 为线段AB 的中点，所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1. 又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 第5章数列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( )A ．41B ．48C ．49D ．56[答案] C2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N ＋)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 [答案] C3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )【导学号：79140418】A ．－54B ．54 C.516D ．2516[答案] D4．(2018·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )A.n (n －1)2 B ．(n －1)22C.n (n ＋1)2D ．(n ＋1)22[答案] A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n 3D ．4n－13[答案] B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1则S 3＝7，则S 7＝( )A.1516 B ．78 C.12716D ．638[答案] C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cosn π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120[答案] D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210 B ．129 C.110D ．15[答案] D9．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差， tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错[答案] B10．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n ＝0，n ∈N ＋，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )【导学号：79140419】A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．[答案] 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． [答案] 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺． [答案]162916．如图51所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________.【导学号：79140420】图51[答案]132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n＋2)，n ∈N ＋.【导学号：79140421】(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . [解] (1)a n ＝3n －2，n ∈N ＋. (2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N ＋.18．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)b n ＝23n . (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n. 19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.20．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)a n ＝2n ＋1. (2){b n }的前n 项和T n ＝n3(2n ＋3).21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)a n ＝4－n .(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N＋)．(1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n ＝a n ＋1－12＝2n－1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2，所以c n ·b n ＋3·b n ＋4 ＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，即c n (n ＋1)(n ＋2) ＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12(1－2n)1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504，即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 第6章不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．1a 2＋b 2≤18[答案] D2．若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,5) C ．(2,5) D ．(2,3)[答案] D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xy [答案] B4．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )【导学号：79140422】A ．10B ．－10C ．14D ．－14 [答案] D5．(2018·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83 C.223 D ．2[答案] B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a或x ＜a [答案] C7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC.n －m d n c mD ．n －md n ·c m[答案] C8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A.114 B ．54 C ．1 D ．14[答案] C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1[答案] D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0[答案] C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为( )【导学号：79140423】A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2[答案] C12．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．[答案] a14．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[答案] 415．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． [答案] 30 12(n ＋1)(n －2)16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． [答案] 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n . (1)证明{a n }是等差数列； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. [证明] (1)因为S n ＝2n 2－n .。

2019届高考数学人教A版理科第一轮复习综合测试卷含解析精品

综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B. C.(0,2) D.3.设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.285.(2017山东,理5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知x i=225,y i=1 600,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.1706.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.已知变量x,y满足约束条件,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.12.已知数列{a n}满足a1=15,=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.16.(2017山东,理13)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=;线性回归方程系数公式:x+,其中.19.(12分)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在区间(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.答案：1.D解析∵=,∴解得∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.C解析由已知得x i=22.5,y i=160,又=4,所以=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A==-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.11.C解析由题意,知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理,得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2,即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立,则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)==n2-n, 所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1-,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为. 13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.2+解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+2×π×12×1=2+.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,可得r=≈0.98;即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,则=0.5,=0.4.因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意,知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=-=-,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=,∴-,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2==2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·====2=2,∴=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b,∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在区间(-2,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在区间[t,-2]上单调递减,在区间[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0,得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0,得x<ln.∴F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在区间[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。

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p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5。所以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
解析：由已知得抛物线的焦点F ，设点A(0,2)，抛物线上点M ，则＝，＝。由已知得， · ＝0，即y －8y0＋16＝0，因而y0＝4，M 。
又＝c，
所以－4× ＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，
所以e4－6e2＋1＝0，
所以e2＝3＋2 ＝(1＋ )2，
所以e＝＋1，
故选C。
答案：C
二、填空题
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。
解析：由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离即为点P到准线y＝的距离，所以＋2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y。
因为0<a<1，所以e2>5，故e> 。
答案：( ，＋∞)
三、解答题
10．(2018·杭州模拟)已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1。
(1)求曲线C的方程；
(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。
答案：A
4．(2018·济南模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为()
A. B.
C. D.
解析：
设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)，如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝ |FA|，所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2 )，把B点坐标代入直线方程得k的值为。
答案：x2＝－4y
8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。
解析：设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A，B外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以 ≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a＞0，所以a≥1。
答案：C
5．(2018·孝感模拟)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为()
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝xA＋1＋xB＋1＝xA＋xB＋2＝2xC＋2＝8。
解析：(1)因为动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1，所以动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′：y＝－1的距离相等。
所以曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以曲线C的方程是：x2＝4y。
(2)设E(a，－2)，切点为，
由x2＝4y得y＝，
课时作业(五十七)抛物线
一、选择题
1．(2018·石家庄模拟)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()
A．y2＝4xB．y2＝6x
C．y2＝8xD．y2＝10x
解析：由题意可知p>0，因为抛物线y2＝2px，所以其准线方程为x＝－，因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以|－－2|＝4，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x。故选C。
由|MF|＝5得，＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C。
答案：C
3．(2018·郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()
A．2± B．2＋
C. ±1D. －1
解析：F ，设P ，Q (y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y ＝y ，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2± 。
所以y′＝，所以＝，
解得：x0＝a± ，
所以A ，
B ，
化简直线AB方程得：
y－2＝ x，所以直线AB恒过定点(0,2)。
11．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。
(1)求抛物线的标准方程。
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程。
(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程。
答案：D
6．(2018·武汉模拟)如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()
A. B．2
C. ＋1D. －1
解析：由题意，因为两条曲线交点的连线过点F，
所以两条曲线的一个交点为，
代入双曲线方程得－＝1，
解析：(1)设抛物线的标准方程为x2＝2py，把点P(2,1)代入可得4＝2p，所以p＝2，故所求的抛物线的标准方程为x2＝4y。
(2)①当斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合题意；
答案：[1，＋∞)
9．(2018·宁波模拟)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。
解析：抛物线焦点F(1,0)，由题意0<a<1，且∠AFB＝90°并被x轴平分，所以点(－1,2)在双曲线上，得－＝1，即b2＝＝c2－a2，即c2＝＋a2＝，所以e2＝＝＝1＋，