数学必修一知识例题归纳总结(十年总结绝对精品)

第一讲 集合有关的问题集合的含义与表示1.集合:一般,某些指定的对象整在一起就成为一个集合,每一个对象叫元素。

2.元素与集合的关系(1)关系:属于或不属于(2)表示:若元素a 在集合A 中,就说元素a 属于集合A ,记作a ∈A ;若元素a 不在集合A 中,就说元素a 不属于集合A ,记作a ∉A .注意:∈∉和只能用于元素与集合．．．．．之间,并且这两个符号的左边是元素, 右边是集合,左右两边不能互换哦！(3)集合元素的性质：确定性:即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.（通常用来判断涉及的总体是否构成集合）互异性:就是说对于一个给定的集合.它的任何元素都是不同的.无序性:集合与其中元素的排列顺序无关.例如集合{,,}a b c 与集合{,,}b a c 是相等的。

（通常用来判断两个集合的关系）3.数集（数的集合）常见数集:自然数集N ;正整数集N +;整数集Z ;有理数集Q ;实数集R4.集合的表示法(1)字母表示法:用大写．．的英文字母表示;例如:,,,A B M N L L (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号．．．内； (3)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合.5.空集:不含任何元素的集合．．，记作∅ ➢ 核心解读问题一: 如何区分数集和点集？【解析】如果一个集合中所有元素均是实数.那么这个集合是数集；形如{|}x x x R ∈的特征，的集合是数集.如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集；形如{(,)|,,}x y x y x y R ∈的特征，的集合是点集.问题二: 空集中没有元素,怎么还是集合？例如,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于方程1=0x，21=0x +等方程来说，它们的解集中没有元素，也就是说在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．．。

由此可以看出，空集的概念是一个规定。

8.设,,a b R ∈集合{1,,}a b a +={0,,}bb a ,则b a -=（ ）A.1B.-1C.2D.-29.定义集合运算:{|,,}A B z z xy x A y B *==∈∈,设{1,2},{0,2}A B ==,则集合A B *的所有元素之和为（ ）A.0B.2C.3D.6*********************************************************** ❖ 知识点二 集合的基本关系(1)子集:一般地;对于两个集合A 与B,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则集合A 叫做集合B 的子集,记为__________;● 规定空集是任何集合的子集.(2)真子集:集合A B ⊆，且A B ≠,就说集合A 是集合B 的真子集.● 规定空集是任何非空．．集合的真子集. ● 集合有n 个元素则(3)集合相等：定义一：两个集合的元素完全相同;定义二：集合A B ⊆,且集合B A ⊆.➢ 核心解读问题:符号∈⊆和有什么区别？【解析】符号∈只能适用于元素和集合之间,例如1Z -∈R ;符号⊆只能适用于集合与集合之间,其左右两边都必须是集合.例如:,⊆｛-1｝｛-10｝1.满足条件{1,2,3}⊂≠ M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ） A.8 B.7C.6D.510．已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2－2x －8＝0｝，B ＝｛x ∈R ｜x 2＋ax ＋a 2－12＝0｝，B ⊆A ，数a 的取值集合． A ＝｛－2，4｝，∵B ⊆A ，∴B ＝∅，｛－2｝，｛4｝，｛－2，4｝*********************************************************** ❖ 知识点三 集合的基本运算（1）并集:{|}A B x x A x B =∈∈U 或（2）交集:{|}A B x A x B =∈∈I 且（3）补集:,{|,}U A U C A x x U x A ⊆=∈∉若则且（4）全集:一个集合含有我们所要研究集合的全部元素，记作U2.集合A 含有10个元素,集合B 含有8个元素,集合A ∩B 含有3个元素,则集合A ∪B 的元素个数为（ ）A.10个B.8个C.18个D.15个2011--2012年高考试题汇编：集合1.(新课标)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.102.(浙江）设集合{}|14A x x =<<,{}2|230B x x x =--≤ ,则A ∩(C R B )=( )A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)3.(山东)已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U C A B U 为（ ）A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,44.(辽宁)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则)()(B C A C U U I 为（ ）A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}5.(湖南)设集合{}{}2M 1,0,1,N x |x x =-=≤,则M N ⋂=（ ）A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}6.(广东)设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =（ ）A.UB.{}1,3,5C.{}3,5,6D.{}2,4,67.(大纲)已知集合{}{}1,3,,1,,A m B m A B A ===U ,则m =（ ）A.0或3B.0或3C.1或3D.1或38.(北京)已知集合{}320A x R x =∈+>,{}(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A B I =（ ）A.(,1)-∞-B.2(1,3--C.2(,3)3-D.(3,)+∞2012年高考题对函数的对一步认识函数的概念(1)函数的定义: 设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：()y f x =,x A ∈． 其中，x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：如：已知221)1(x x x x f +=+，求：)(x f ； ②换元法：如：已知34)13(+=+x x f ，求)(x f ；③待定系数法：如：已知x x f f f 21)]}([{+=，求一次函数)(x f ；④赋值法：如：已知)0(1)1()(2≠+=-x x x f x f ，求)(x f ；（2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，则 ； ②)()(*2N n x f y n ∈=则 ； ③0)]([x f y =，则 ； ④如：)(log )(x g y x f =，则 ；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数)(x f y =的定义域是]1,0[，求)()()(a x f a x f x -++=ϕ的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：二次函数法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；判别式法：转化一个关于x 的一元二次方程（其中y 为参数），利用存在x 使得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：b a fex dx c bx ax y ,(22++++=不全为)0；有两种情况：（1）x 无具体范围：直接套用0≥∆；（2）x 有具体范围：要用实根分布来其有根的充要条件；注意：（1）若得到的一元二次方程，二次项系数是含有y 的多项式，此时要分类讨论。

（2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令x 取不连续点的值，求出y ，再由这个y 求出与它对应的x ，如果还有定义域内有定义的'x 与它对应，则此y 为值域中的一个值，否则，此y 不在值域中。

换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型c bx ax y ++=； 基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xk x y ，利用平均值不等式公式来求值域； 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：①])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=x b a b a bxa bx a y ②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y （2种方法）；③)0,(,132-∞∈-+-=x x x x y ⑤)0,(,322-∞∈+-=x x x x y ； ⑥x x y -+-=432；背反函数：理科（1）定义：设)(x f y =表示y 是自变量x 的函数，它的定义域为A ，值域为C ，由式子)(x f y =解出x ，得到式子)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ϕ=就表示x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ϕ=，叫做)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=，即)()(1y fy x -==ϕ，习惯上仍用x 表示自变量，y 表示函数，把它改写成)(1x f y -=。

注意表达式（2）函数存在反函数的条件： ；（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（4）求反函数的步骤：①将)(x f y =看成关于x 的方程，解出)(1y fx -=，若有两解，要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1x fy -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系： ；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；奇性 如：求下列函数的反函数：)0(32)(2≤+-=x x x x f ；122)(-=x xx f ；复合函数：（1）定义：如果y 是u 的函数，记为)(u f y =，u 又是x 的函数，记为)(x g u =，)]([x g f y =，这时y 做x 的复合函数，（2）复合函数单调性： ；因此不能将[1,)+∞写成[1,]+∞分段函数的概念分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。