中小学优质课件巧解可化为一元一次方程的分式方程课件.ppt
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可化为一元一次方程的分式方程课件(湘教版)PPT教学课件
所以，甲班每天种40棵，乙班每天种45棵.
探究分式方程的解法
概括：解分式方程的过程，实质上是将方程的两 边同乘以各分式的最简公分母，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.
探究分式方程的解法
例1、解方程
1= x -1
2 x2 -1
分析：解此方程关键是将方程转化为整式方程.
要去掉分式方程的分母，要在方程两边乘以怎样 的代数式？
探究分式方程的解法
例1、解方程
1= x -1
2 x2 -1
解：方程两边都乘最简公分母(x+1) (x-1) ，得
解之，得：
x+1=2 x= 1
思考： x = 1是不是原分式方程的根？
分式方程的增根
增根：在分式方程中，使分式方程的最简公分母 等于零的未知数的值. 因此，在解分式方程时必须进行验根.
x=a 验根
x=a使最简公分母的值为0
是
否
x=a是增根， 原方程无解
x=a是原方程 的根
解下列方程：
练一练
（1） 5 = 1 2x x -3
（2） 1 + x = 1 x-1 1- x
（3）
3 x2 -
x
=
1 x2 -1
学习小结
1、分母中含有_未__知__数 的方程叫做分式方程.
2、解分式方程的关键是__把__含__未__知__数__的__分__母____ 去掉，这可以通过在方程的两边都乘各个分式的 最___简__公__分__母_实现.
分析：
设甲班每天种x棵树，则乙班每天种(x+5)棵树. 由等量关系：甲班种80棵树所用的天数与乙班种 90棵树所用的天数相等.
可得： 80 = 90 x x+5
可化为一元一次方程分式方程课件
解分式方程 $frac{x^2-1}{x-1} - frac{2x}{x+1} = 1$
练习题的答案和解析
答案1
$x = 4$
解析1
首先将方程两边同乘以公共分母$2(x-2)$，得到整式方 程$x(x-2) - 4 = 2(x-2)$，整理后得到$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x = 4$。
程转化为整式方程。
解法2
利用等式的性质消去分 母，将分式方程转化为
整式方程。
解法3
利用换元法将分式方程 转化为整式方程。
解法4
利用待定系数法将分式 方程转化为整式方程。
02
可化为简单一元一次方程的分式方程
简单的分式方程
定义
简单的分式方程是指只包 含一个分式，且分母中不 含有未知数的方程。
求解方法
可化为一元一次方程分 式方程ppt课件
目 录
• 分式方程的定义和性质 • 可化为简单一元一次方程的分式方程 • 分式方程的应用 • 分式方程与一元一次方程的联系和区别 • 练习和巩固
01
分式方程的定义和性质
分式方程的基本概念
01
02
03
分式方程
分母中含有未知数的方程 。
定义
分式方程是数学中一类含 有分式的方程。
解法步骤
分式方程需要先进行通分，然后 进行化简和求解；一元一次方程
直接进行化简和求解。
解法难度
分式方程的解法相对复杂，需要 更多的计算步骤和技巧。
分式方程与一元一次方程的应用范围和限制条件
应用范围
分式方程适用于解决具有分数的实际 问题，如速度、时间、距离等问题； 一元一次方程适用于解决单一未知数 的实际问题，如年龄、工作量、价格 等问题。
练习题的答案和解析
答案1
$x = 4$
解析1
首先将方程两边同乘以公共分母$2(x-2)$，得到整式方 程$x(x-2) - 4 = 2(x-2)$，整理后得到$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x = 4$。
程转化为整式方程。
解法2
利用等式的性质消去分 母，将分式方程转化为
整式方程。
解法3
利用换元法将分式方程 转化为整式方程。
解法4
利用待定系数法将分式 方程转化为整式方程。
02
可化为简单一元一次方程的分式方程
简单的分式方程
定义
简单的分式方程是指只包 含一个分式，且分母中不 含有未知数的方程。
求解方法
可化为一元一次方程分 式方程ppt课件
目 录
• 分式方程的定义和性质 • 可化为简单一元一次方程的分式方程 • 分式方程的应用 • 分式方程与一元一次方程的联系和区别 • 练习和巩固
01
分式方程的定义和性质
分式方程的基本概念
01
02
03
分式方程
分母中含有未知数的方程 。
定义
分式方程是数学中一类含 有分式的方程。
解法步骤
分式方程需要先进行通分，然后 进行化简和求解；一元一次方程
直接进行化简和求解。
解法难度
分式方程的解法相对复杂，需要 更多的计算步骤和技巧。
分式方程与一元一次方程的应用范围和限制条件
应用范围
分式方程适用于解决具有分数的实际 问题，如速度、时间、距离等问题； 一元一次方程适用于解决单一未知数 的实际问题，如年龄、工作量、价格 等问题。
可化为一元一次方程的分式方程学习教育课件PPT(1)
教学过程（二）
• 探索新知.概括定义. • 学生观察根据以往的 知识尝试概括定义.教 抓住分式方程主要特 师补充明确并强化.学 征 生做一道选择题加以 1.方程中含有分式 巩固定义. 2.分母中含有未知数 特别提醒: 分式方程和整式方 程的根本区别是分母 中是否含有未知数.
教学过程（三）
• 实践探究交流新知 • 教师提出问题,学生观察 • 你能解这个方程吗? 后相互讨论,得出结论.在
x 1
x 1
2
教学过程（五）
• 由上题引出增根的定义 • 启发学生思考和讨论逐 和增根产生的原因 步找到原因和解决问题 的办法. • 原因:在去分母的过程中 方程两边同乘一个含有 • 培养学生发现问题,提出 未知数的整式,根据等式 问题,分析问题以及解决 的性质,这个整式不能为 问题的能力.在能力培养 零,而我们在没解出未知 方面得到提高和锻炼. 数之前不知道这个整式 是否为零. • 特别强调:增根是化为整 式方程的根,不是分式方 程的根.
x3 x3
会产生增根．
教学过程（八）
• 分式方程 转 化 去 思 分 想 母 整式方程
检 验
（一元一次方程）
• 对整个课堂的学习过程 进行反思，能够提高认 识水平，从而促进数学 知识的形成和发展，更 好地进行知识建构，实 现良性循环． • 这是一次知识与情感的 交流，浓缩知识要点， 突出内容本质，渗透思 想、方法．培养学生自 我反馈、自主发展的意 识．
独立 作业
教学过程 （九）
Ａ：教材1６页第 • 分层留作业,体现人人都 1.2.3题. 能获得良好的数学教育, B:自己根据生活实 不同的人在数学上得到不 际经验编一道简 同的发展. 单的可化为一元 一次方程的分式 方程的应用题并 尝试求出这个问 题的解.
10.5可化为一元一次方程的分式方程课件(课件)
(2)解这个___整__式_______方程;
(3)检验:把__这__个_整__式___方程的根代入 ___最_简__公_分_母__中__.如果值 ____不__为_零__,就是原方程的根;如果 值__为_零_______,就是增根.应当 ___舍_去______.
二,通过这节课的学习,你有哪些 收获?说出来与大家分享.
的整式方程再求解.
新学知识 一元方程的解也叫做方程的根（root）.
我们可以说，x=3是方程
的解.
也可以说，x=3是方程
的根.
练习 2
1
x 2
x
新学知识
例题2
.解方程： 1 x 1
1 x 1
2 x2 1
新学知识
在分式方程变形时，有时可能产生不合适 原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根.
增根一定要舍去！
这种现象怎么产 生的？
问题: 对于分式方程可以用去分母的 方法求解,但求出来的根却有可能不 是原方程的根,这种根叫做原方程的
增根.这种现象是怎么产生的?
思考: 1)解上述方程的根据是什么?
2)由ac=bc能否得出a=b ?
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同 乘以一个含未知数的整式。由于这个整式可能为 零，使本不相等的两边也相等了，这时就可能产 生增根。
因此，在解分式方程时必须进行检验.而检验的方 法只需看所得的解是否使所乘的式子（即最简公分 母）为零。
注意：增根不是分式方程的根，但它确确实
实是分式方程去分母变形后的整式方程的根。
一. 通过例题的讲授和练习的操作,你能总 结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化 成___整_式________方程;
(3)检验:把__这__个_整__式___方程的根代入 ___最_简__公_分_母__中__.如果值 ____不__为_零__,就是原方程的根;如果 值__为_零_______,就是增根.应当 ___舍_去______.
二,通过这节课的学习,你有哪些 收获?说出来与大家分享.
的整式方程再求解.
新学知识 一元方程的解也叫做方程的根（root）.
我们可以说，x=3是方程
的解.
也可以说，x=3是方程
的根.
练习 2
1
x 2
x
新学知识
例题2
.解方程： 1 x 1
1 x 1
2 x2 1
新学知识
在分式方程变形时，有时可能产生不合适 原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根.
增根一定要舍去！
这种现象怎么产 生的？
问题: 对于分式方程可以用去分母的 方法求解,但求出来的根却有可能不 是原方程的根,这种根叫做原方程的
增根.这种现象是怎么产生的?
思考: 1)解上述方程的根据是什么?
2)由ac=bc能否得出a=b ?
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同 乘以一个含未知数的整式。由于这个整式可能为 零，使本不相等的两边也相等了，这时就可能产 生增根。
因此，在解分式方程时必须进行检验.而检验的方 法只需看所得的解是否使所乘的式子（即最简公分 母）为零。
注意：增根不是分式方程的根，但它确确实
实是分式方程去分母变形后的整式方程的根。
一. 通过例题的讲授和练习的操作,你能总 结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化 成___整_式________方程;
《可化为一元一次方程的分式方程》PPT教学课件(第2课时)
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据等量关系,正确列出代数式和方程.
4.解:求出所列方程的解. 5.验:有二次检验. 6.答:注意单位和语言 完整.且答案要生活化.
二次检验是:
(1)是不是所列分式方 程的解;
(2)是否满足实际意义.
人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计 划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？
解析：设原计划参加植树的团员有x人.
根据题意， 解这个方程，得 x =50.
300 300 2 x 1.5x
经检验，x =50是原方程的根且符合题意.
答：原计划参加植树的团员有50人.
5.（潼南·中考)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合 作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多 用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程; (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施 工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少 天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能 使施工费不超过64万元?
【例 题】
例2 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水 费上涨三分之一,小丽家去年12月的水费是15元,今年2月 的水费是30元.已知今年2月的用水量比去年12月的用水量 多5m3,求我市今年居民用水的价格?
分析：此题的等量关系有哪些？ 今年的用水单价=去年用水单价×(1+ 1 ).
3 每个月的用水量×水的单价=每个月的水费. 今年2月份的用水量—去年12月份的用水量=5m3.
16.3可化为一元一次方程的分式方程(课堂PPT)
左边 808010 右边 606010
213 24 3
213 18 3
∵左边=右边
∴米/时。
2021/3/29
4
例1 解方程： 1 2
x1 x2 1
为了找最简公 分母，应先把所有
解 原方程就是： 1 2
x1 (x1)(x1)
分母分解因式。
分式方程次方程时是怎样去分
（一元一次方程） 区别
母的？
解分式方程的基本思路：
分式方程
去分母整式方程
2021/3/29
两边同乘以最简公分母
3
问题中所列方程 80 60 可以这样解：
x3 x3
方程两边同乘以(x+3)(x-3)，约去分母，得 80(x-3)=60(x+3)
解这个整式方程，得
x=21
当x=21时，
2m
当2+m=0，方程①无解，原分式方程也无解，这时m=-2；
当 8m1 时 ，原分式， 方 方程 程 ，这 有 无 m 时 增 解 3 ； 根
2m
当 8m 1 时 ，原 分 式 ，方 方程 程 ，这 无 有 m 不 时 解 增 。 存根 在
2m
∴当m=-2或m=3时，方程2 m 有6增根。
2021/3/29
x1 x1 x21
15
16.3可化为一元一次方程的分式方程⑵
分式方程的增根只能是使最简公分母为0的未知数的 值。由分式方程的增根求待定系数的值时，就是把增根 代入去分母后的整式方程即可求得待定系数的值.
如果已知分式方程无解，要求待定系数的值时,不但 要考虑分式方程出现增根时方程会无解，还应考虑去分 母后得到的整式方程无解时也会使原分式方程无解。
特征：⑴含有分式； ⑵分母中含有未知数。
《可化为一元一次方程的分式方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (4)
(1)绝对值是7的数有几个？各是什么？有 没有 绝对值是－2的数
(2)绝对值是0的数有几个？各是什么
〔3〕绝对值小于3的数是否都小于绝对值 小于5的数？
〔4〕绝对值小于10的整数一共有多少个？
(1)求绝对值不大于2的整数； (2)x是整数，且＜|x|＜7，求x．
2、有理数a在数轴上对应的点如下图：
c
b
0a
那么a、b、c三个数从小到大的顺序 是： C ＜ b ＜ a
那么│a│＜ │c│, │b│＜ │c│
5. 足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5个足 球的质量检测结果〔用正数表示超过规定质量的克数，用 负数表示缺乏规定质量的克数〕
-20 +10 +12 -8 -11 请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。
湘教版SHUXUE八年级上
本节内容
1.5 (二)
分式方程
解化
方程两边都乘各个 分式的最简公分母
分
一元一次方程
根本思路是：
式
方解
解一元一次方程 分式方程
程 的验
x=a
检验
去分母
转 化
步
骤
x=a使最简个分 母的值等于0？
是
否
整式方程
x=a是原方程的 增根，原方程无解
x=a是原方程的根
1、判断以下式子哪些是分式方程？
(1)
1 2 (2) x 2 2 (3) 2x x3 x1 1x
5 1 0 x2x x2x
2、关于x的方程axx1=4 的解是x=12 , 则a= 2 .
3、如果 x 1231 2 x x有增根，那么增根为 x=2 .
4、若分式方程 x a2x2440有增根,则 a= -1.
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2x 5 0.
x5
2
检验：当 x 5 时，(3 x)(3x 2)≠0，
∴
x
5
2
是原方程的解.
2
直接去分母计算量大.
三、例题解析.
例1．解关于x的方程
（1） x 5 x 1 0 x3 x1
4 x3
（2）
x
2
1
1
x
1
0
（3）
1 x1
x
1
2
1 x
3
1 x
4
引申1：x 2 x 3 x 5 x 6 x3 x4 x6 x7
1． 1 1 1 1 ; x2 x3 x6 x7
2． x 2
2 x
6
x2
1 2x
3
x2
3 3x
2
0;
x 3． x
4 5
x x
8 9
x x
7 8
x x
5. 6
参考答案：
1．x 6;
2．x 5 ; 6
3．x 7.
教师：白芳
(2x 3)(2x 3) (2x 3)(2x 3)
4x+1=－6
x 7 4
检验：
当 x 7 时，(2x+3)(2x－3) ≠0 4
∴ x 7 是原方程的解 4
（2）a b a 1（a≠b）
xb
解：a b 1 a
x
b
ab ba xb
ab ab x b
∵a≠b
∴a－b≠0
引申2： 1
11ຫໍສະໝຸດ y23 y 2 y25 y 6 y27 y 12
引申3： 2 5 3 4 x 8 x 9 x 15 x 6
例2.解关于x的方程
（1）
3
1 2x
1 2x
3
4x 1 4 x 2 9
解： 1 1
4x 1
2x 3 2x 3 (2x 3)(2x 3)
6
4x 1
y
依题意，得：y
k 0
2
1
9
(1) (2)
y 1
(3)
由(1)得：k≤19 由(2)得：k≠1 由(3)得：k≠－1 ∴k的取值范围是：k≤19且k≠±1
四、问题探究
已知x、y、z满足 xy 1 ， yz 2, zx 3 x y yz z x
求分式
xyz 的值.
xy yz zx
五、课堂练习：
数学
初二
一、提出问题：
解关于x的方程： x 1 3x 2 3 x 3x 2
二、研究问题： 这是一道解分式方程的题目，可以通过去
分母把解分式方程转化为解整式方程.
解：最简公分母为 (3 x)(3x 2)，
去分母，得
(x+1)(3x-2) +3x(3+x)=2(3+x)(3x-2)
整理，得
∴x=－b
例3.若方程 x 5 x 6
k
的解不大
x 6 x 5 x211x 30
于15，求k的取值范围.
解法2、设x－6=y，则原方程变为，
y1 y k y y 1 y( y 1)
2y1 k y( y 1) y( y 1)
2y+1= k
y k1 2
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