中考数学压轴题及答案

中考数学压轴题及答案

1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.

（1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a

=-）

解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，

依题意得：c=4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

所以 所求的抛物线的解析式为211433y x x =-++ （2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，2222345AB AO BO =+=+=

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB

因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB

所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB

DQ CD AB CA = 即210,577

DQ DQ ==

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –

107=257 ，2525177

t =÷= 所以t 的值是257 （3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-

=所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线12x =对称连接AQ 交直线12

x =于点M ，则MQ+MC 的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=90 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO QE DQ DE BO AB AO == 即 10

7453

QE DE ==所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，87

） 设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则2087730

k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 由此得

8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12824

4141

x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由此得12824

4141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 所以M 128(,)241则：在对称轴上存在点M 128(,)241

，使MQ+MC 的值最小。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），

OB ＝OC ，tan∠ACO＝3

1． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0） …1分

将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩

⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ……………………2分

解得：⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==321c b a ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y ……………………3分

（2）存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4分

理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y

∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4分

由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF

∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3） ……………………5分

（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．……………8分

设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．

3)2(2

12⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG ……………………9分

当2

1=x 时，△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭

⎫ ⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆． ……………………10分 3.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），

∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y ………1分

根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-,0339,03b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=.

2,1b a ∴抛物线的解析式为322++-=x x y ………………………………………2分

⑵存在。…………………………………………………………………………3分

由322++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。…………4分

①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得2222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。…………………………5分

又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242++-=-x x x ，即0132=+-x x …………6分 解得253±=x ，1253<-，应舍去。∴2

53+=x 。……………………7分