高中数学单元质量评估(二)
单元质量评估(二)
第二章 (120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.椭圆x 29+y 2
k
=1与双曲线x 2k
-y 2
3
=1有相同的焦点,则k 应满足的条件是 ( )
A.k>3
B.2 C.k=2 D.0 【解析】选C. k>0,√2=√k +3,所以k=2. 2.(2019·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x 2 +y 2 2 =1长轴的端点,且双曲线 的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为 ( ) A.x 2-y 2=1 B.y 2-x 2=1 C.x 2-y 2=2 D.y 2-x 2=2 【解析】选D.由题意设双曲线方程为y 2a 2-x 2 b 2=1,离心率为e,椭圆x 2 +y 2 2 =1长轴端点 为(0,√2),所以a=√2,又椭圆的离心率为√2 所以双曲线的离心率为√2,所以 c=2,b=√2,则双曲线的方程为y 2-x 2=2. 3.(2019·浙江高考)已知椭圆C 1: x 2m 2+y 2 =1(m>1)与双曲线C 2:x 2 n 2 -y 2 =1(n>0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( ) A.m>n 且e 1e 2>1 B.m>n 且e 1e 2<1 C.m 【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a 2,b 2与c 2的关系. 【解析】选A.由题意知m 2 -1=n 2 +1,即m 2 =n 2 +2,(e 1e 2)2 = m 2?1m · n 2+1n = (1? 1m 2)(1+ 1n 2 ),因为m 2=n 2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e 1e 2)2 >1,所以e 1e 2>1. 4.(2019·潍坊高二检测)设椭圆 x 2m 2+y 2 n 2 =1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y 2 =8x 的焦点相同,离心率为12 ,则此椭圆的方程为 ( ) A.x 212+y 2 16 =1 B.x 216+y 2 12=1 C.x 248+y 2 64 =1 D.x 264+y 2 48 =1 【解析】选B.因为y 2=8x 的焦点为(2,0), 所以 x 2m 2+y 2n 2=1的右焦点为(2,0),所以m>n 且c=2. 又e=12=2m ,所以m=4. 因为c 2=m 2-n 2=4,所以n 2=12. 所以椭圆方程为x 216+y 2 12=1. 【补偿训练】(2019·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(√7,0),直线y=x-1与其相交于M,N 两点,MN 中点的横坐标为-2 3,则此双曲线的 方程是 ( ) A.x 25-y 2 2=1 B.x 22-y 2 5=1 C.x 23 -y 2 4 =1 D.x 24 -y 2 3 =1 【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程x 2a 2-y 2 b 2=1,然后与直线方程联立方程组, 消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN 中点的横坐标建立a,b 的一个方程,又双曲线中有c 2=a 2+b 2,则另得a,b 的一个方程,最后解a,b 的方程组即得双曲线方程. 【解析】选B.设双曲线方程为x 2a -y 2 b =1, 将y=x-1代入x 2a -y 2 b =1, 整理得(b 2-a 2)x 2+2a 2x-a 2-a 2b 2=0, 由根与系数的关系得x 1+x 2=2a 2a 2?b 2 , 则 x 1+x 22 = a 2 a 2? b 2 =-2 3 . 又c 2=a 2+b 2=7,解得a 2=2,b 2=5, 所以双曲线的方程为x 22 -y 2 5=1. 5.P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a +y 2 b =1上的点,F 1,F 2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的 半焦距为c,则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是 ( ) A.1 B.a 2 C.b 2 D.c 2 【解析】选D.由椭圆的几何性质得 |PF 1|∈[a-c,a+c], |PF 1|+|PF 2|=2a, 所以|PF 1|·|PF 2|≤( |PF 1|+|PF 2|2 )2 =a 2, 当且仅当|PF 1|=|PF 2|时取等号. |PF 1|·|PF 2|=|PF 1|(2a-|PF 1|) =-|PF 1|2+2a|PF 1|=-(|PF 1|-a)2+a 2 ≥-c 2+a 2=b 2, 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2-b 2=c 2. 6.(2019·天津高二检测)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y 2=2px(p>0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为√3,则p= ( ) A.1 B.3 2 C.2 D.3 【解析】选C.因为e=2,所以b 2=3a 2,双曲线的两条渐近线方程为y=±√3不妨设A=(?p 2, √3p 2),B (?p 2,?√3p 2 ),则AB=√3p,又三角形的高为p 2 ,则S △AOB =12 ×p 2 × √3p=√3,即p 2 =4,又因为p>0,所以p=2. 7.(2019·东营高二检测)已知点P 是抛物线y 2=-8x 上一点,设点P 到此抛物线准线的距离是d 1,到直线x+y-10=0的距离是d 2,则d 1+d 2的最小值是 ( ) A.√3 B.2√3 C.6√2 D.3 【解析】选C.抛物线y 2=-8x 的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d 1+d 2=|PF|+d 2,显然当由点F 向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P 时,d 1+d 2取到最小值,即 √2 =6√2. 8.若直线y=kx-2与抛物线y 2=8x 交于A,B 两个不同的点,且AB 的中点的横坐标为2,则k 等于 ( ) A.2或-1 B.-1 C.2 D.1±√5 【解析】选C.由{y =kx ?2, y 2=8x, 消去y 得, k 2x 2-4(k+2)x+4=0, 故Δ=[-4(k+2)]2-4k 2×4=64(1+k)>0, 解得k>-1,由x 1+x 2= 4(k+2)k 2 =4, 解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2. 【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A. 9.(2019·邯郸高二检测)设双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2√3则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y=±√2 2x B.y=±√2x C.y=±1 2x D.y=±2x 【解析】选A.由题意得{2b =2,2c =2√3,解得{b =1, c =√3, 所以a=√c 2?b 2=√2, 因此双曲线的方程为x 2 2-y 2=1, 所以渐近线方程为y=±√2 2 x. 10.(2019·福建高考)已知椭圆E:x 2a +y 2 b =1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点 为M,直线l :3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于4 5,则椭圆E 的离心率的取值范围是 ( ) A.(0,√3 2 ] B.(0,3 4] C.[ √32 ,1) D.[34 ,1) 【解析】选A.不妨设左焦点为F 2,连接AF 2,BF 2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF 2的对角线互相平分,所以四边形AFBF 2为平行四边形,所以 |A F |+|B F |=|B F 2|+|B F |=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=45 b ≥4 5 ?b ≥1,所以 e=√1? b 2a =√1? b 24 ≤√1?14=√3 2 , 又e ∈(0,1),所以 e ∈(0,√3 2 ]. 11.(2019·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:x 2a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的标准方程 为 ( ) A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 2 27=1 C.x 227+y 218 =1 D.x 218+y 2 9 =1 【解析】选D.设A 点坐标为(x 1,y 1), B 点坐标为(x 2,y 2), 所以{x 1 2a +y 12b =1,x 2 2 a 2+ y 2 2b 2 =1. 两式相减得, x 12?x 22a 2 = y 22?y 1 2b 2 , 即(x 1?x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 2?y 1)(y 2+y 1)b 2 , 因为x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,所以k=y 2?y 1x 2?x 1=b 2 a , 又因为k= ?1?01?3 =12 ,所以b 2a 2=1 2 , 又因为c 2=a 2-b 2=2b 2-b 2=b 2,c 2=9, 所以b 2=9,a 2=18, 即E 的标准方程为x 218+y 2 9=1. 12.(2019·宝鸡高二检测)设抛物线C:y 2=3px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点A(0,2),则C 的方程为 ( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x 【解析】选C.由已知得F (3 4p,0),A(0,2),M ( y 023p ,y 0), 因为AF ⊥AM,所以k AF ·k AM =-1, 即 2 ?3 4p × 2?y 0 ?y 023p =-1, 所以y 02-8y 0+16=0,所以y 0=4,所以M (163p ,4), 因为|MF|=5,所以5=√(3 4p ? 163p )2+16, 所以(3 4p ? 163p )2=9. 所以3p 4-163p =3或3p 4-163p =-3, 所以9p 2-36p-64=0,① 或9p 2+36p-64=0,② 由①得p=-4 3 (舍),p=16 3 . 由②得p=43 ,p=-16 3 (舍), 所以C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.椭圆mx 2+ny 2=1与直线l :x+y=1交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点的直线斜率为√2 2 ,则m n = . 【解析】设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 所以m x 12+n y 12=1 ① m x 22+n y 2 2=1 ② 又因为 y 2?y 1 x 2?x 1 =-1,所以①-②得:m=n · y 1+y 2 x 1+x 2 , 因为y 1+y 2x 1+x 2=y 1+y 2 2 ?0x 1+x 22 ?0=√22 , 所以m=√22 n,所以m n =√2 2 . 答案:√2 2 14.直线y=kx+1(k ∈R)与椭圆x 25+y 2 m =1恒有公共点,则m 的取值范围为 . 【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y 并整理,得(m+5k 2)x 2+10kx+5-5m=0. 由m>0,5k 2≥0,知m+5k 2>0,故 Δ=100k 2-4(m+5k 2)(5-5m)≥0对k ∈R 恒成立. 即5k 2≥1-m 对k ∈R 恒成立,故 1-m ≤0,所以m ≥1. 又因为m ≠5,所以m 的取值范围是m ≥1且m ≠5. 答案:m ≥1且m ≠5 【易错警示】本题易忽略隐含条件m ≠5而出错. 15.(2019·山东高考)过双曲线C:x 2a 2-y 2 b 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线 平行的直线,交C 于点P,若点P 的横坐标为2a,则C 的离心率为 . 【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c 的关系,进而求出离心率e. 【解析】将 y=b a (x-c)代入x 2a 2-y 2b 2=1消去y 得x 2a 2-(b a )2(x?c) 2b 2 =1,因为 x P =2a 所以(2a)2a -(b a )2(2a?c)2 b =1, 化简得3a 2=(2a-c)2,即√3所以e=2+√3. 答案:2+√3 【补偿训练】(2019·济宁高二检测)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a>b>0),F 1,F 2分别是椭圆 的左、右焦点,椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2,则椭圆的离心率的取值范围 为 ( ) A.[ √22 ,1) B.(√2 2 ,1) C.(0, √2 2 ) D.(0, √22 ] 【解析】选A.由PF 1⊥PF 2,知△F 1PF 2是直角三角形, 所以|OP|=c ≥b,即c 2≥a 2-c 2,所以a ≤√2c, 因为e=c a ,0 2 ≤e<1. 16.(2019·浙江高考)椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=b c x 的对称 点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 【解题指南】利用已知条件求出点Q 的坐标,从而求出a,b,c 的关系. 【解析】设F(c,0)关于直线y=b c x 的对称点为Q(m,n),则有{n m?c ·b c =?1, n 2 =b c × m+c 2 , 解得 m=c 3?cb 2a 2 ,n=2bc 2a 2 ,所以Q ( c 3?cb 2a 2 , 2bc 2a 2 )在椭圆上,即有 (c 3?cb 2)2a 6 + (2bc 2)2 a 4 b 2 =1,解得 a 2=2c 2,所以离心率e=c a =√22 . 答案:√2 2 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1的一个焦点,并 且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P (3 2,√6),求 抛物线方程和双曲线方程. 【解析】依题意,设抛物线方程为y 2=2px(p>0), 因为点(3 2,√6)在抛物线上,所以6=2p ×3 2, 所以p=2,所以所求抛物线方程为y 2=4x. 因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上, 所以c=1,即a 2+b 2=1, 又点(3 2,√6)在双曲线上,所以9 4a 2-6 b 2=1, 由{a 2+b 2=1,94a ?6 b =1. 解得a 2 =1 4 ,b 2 =3 4 . 所以所求双曲线方程为4x 2-4 3 y 2=1. 【补偿训练】若已知椭圆x 210+y 2 m =1与双曲线x 2 -y 2 b =1有相同的焦点,又椭圆与双曲 线交于点P ( √103 ,y),求椭圆及双曲线的方程. 【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10-m=1+b,即m=9-b,① 又因为点P (√103 ,y)在椭圆、双曲线上,所以 y 2=8 9m,② y 2=b 9.③ 解由①②③组成的方程组得m=1,b=8, 所以椭圆方程为x 2 10 +y 2 =1,双曲线方程为x 2 -y 2 8 =1. 18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为8√33 的双曲 线的标准方程. 【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0). 设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 联立方程组{x ?y ?3=0, x 2?4y 2 =λ, 消去y, 整理得3x 2-24x+36+λ=0. 由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12. 由根与系数关系可得{x 1+x 2=8,x 1x 2= 36+λ3 . 代入弦长公式中, |AB|=√2|x 1-x 2|=√2·√(x 1+x 2)2?4x 1x 2 =√2√82?4×36+λ3 =√ 8(12?λ) 3 , 于是√ 8(12?λ)3 = 8√3 3 ,解得λ=4(与λ<12符合). 故所求的双曲线的标准方程为x 24 -y 2=1. 19.(12分)已知过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1 (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若O C → =O A → +λO B → ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB 的方程是y=2√2(x ?p 2),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=5p 4 ,由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程是y 2=8x. (2)由p=4,方程4x 2-5px+p 2=0可化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A(1,-2√2),B(4,4√2). 设O C → =(x 3,y 3)=(1,-2√2λ(4,4√2=(4λ+1,4√2λ-2√2), 又y 3 2=8x 3,即[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)上的一点,F 1,F 2为椭圆的两焦点, 若PF 1⊥PF 2,试求: (1)椭圆的方程. (2)△PF 1F 2的面积. 【解析】(1)令F 1(-c,0),F 2(c,0)(c>0), 则b 2=a 2-c 2.因为PF 1⊥PF 2, 所以k PF 1·k PF 2=-1,即 43+c · 43?c =-1, 解得c=5,所以设椭圆方程为x 2 a 2+ y 2 a 2?25=1. 因为点P(3,4)在椭圆上,所以9a 2+16 a 2?25 =1. 解得a 2=45或a 2=5. 又因为a>c,所以a 2=5(舍去). 故所求椭圆方程为x 245+y 2 20=1. (2)由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6√5,① 又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100,② ①2-②得2|PF 1|·|PF 2|=80, 所以S △PF 1F 2=1 2|PF 1|·|PF 2|=20. 【补偿训练】已知抛物线C:y 2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点)的直线l ,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于√55 ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)将(1,-2)代入y 2=2px, 得(-2)2=2p ·1,所以p=2. 故所求的抛物线C 的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l , 其方程为y=-2x+t. 由{y =?2x +t,y 2=4x, 得y 2+2y-2t=0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点, 所以Δ=4+8t ≥0,解得t ≥-1 2. 另一方面,由直线OA 到l 的距离d=√5 5 , 可得√5=√5 ,解得t=±1. 因为-1?[?12 ,+∞),1∈[?1 2 ,+∞), 所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1=0. 21.(12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=1 4x 2的焦点,离心率为 2√55 . (1)求椭圆C 的标准方程. (2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交y 轴于点M,若 M A →=m F A →,M B →=n F B → ,求m+n 的值. 【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2 b 2=1(a>b>0). 抛物线方程可化为x 2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆C 的一个顶点为(0,1),即b=1. 由e=c a =√ a 2? b 2a 2 = 2√55 . 得a 2 =5,所以椭圆C 的标准方程为x 25 +y 2=1. (2)易求出椭圆C 的右焦点F(2,0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(0,y 0),显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x-2), 代入方程x 2 5+y 2=1, 得(1+5k 2)x 2-20k 2x+20k 2-5=0. 所以x 1+x 2= 20k 21+5k ,x 1x 2= 20k 2?51+5k . 又M A →=(x 1,y 1-y 0),M B → =(x 2,y 2-y 0), F A →=(x 1-2,y 1),F B → =(x 2-2,y 2). 因为M A → =m F A → ,M B → =n F B →, 所以m= x 1x 1?2,n= x 2 x 2?2 , 所以m+n= 2x 1x 2?2(x 1+x 2) 4?2(x 1+x 2)+x 1x 2 , 又2x 1x 2-2(x 1+x 2)=40k 2?10?40k 2 1+5k =-101+5k , 4-2(x 1+x 2)+x 1x 2 =4-40k 21+5k 2+ 20k 2?51+5k 2= ?11+5k 2 , 所以m+n=10. 22.(12分)(2019·北京高考)已知椭圆C:x 2a +y 2 b =1过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C 的方程及离心率. (2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M,直线PB 与x 轴交于点N,求证:四边形ABNM 的面积为定值. 【解题指南】(1)把A,B 两点代入可求得a,b. (2)设P(x 0,y 0),表示出直线AP,BP 方程,求出点M,N 坐标,表示出面积.再利用点P 在椭圆上化简整理为定值. 【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C 的方程为x 2 4+y 2=1. 因为c=√2?b 2=√3所以离心率e=c a =√32 . (2)设P(x 0,y 0),其中x 0<0,y 0<0. 则直线AP 方程为y=y 0x 0?2(x-2),直线BP 方程为y=y 0?1x 0 x+1. 所以M (0, ?2y 0x 0?2 ),N ( ?x 0 y 0?1 ,0). 所以|AN|=2+ x 0 y 0?1 ,|BM|=2y 0x 0?2 +1. 所以四边形ABNM 的面积为S=1 2 |AN||BM|=1 2 (2+x 0y 0?1 )( 2y 0 x 0?2 +1) =1 2×x 0+2y 0?2 y 0?1× x 0+2y 0?2 x 0?2 = (x 0+2y 0?2)2 2(x 0?2)(y 0?1) = x 02+ 4x 0(y 0?1) + 4(y 0?1) 22(x 0?2)(y 0?1) . 因为点P 在椭圆C 上,所以x 02=4-4y 02 .代入上式得 S =(4?4y 02) + 4x 0(y 0?1) + 4(y 0?1) 22(x 0?2)(y 0?1) = 8?8y 0+ 4x 0(y 0?1)2(x 0?2)(y 0?1) =2. 因此,四边形ABNM 的面积为定值2.