高中数学单元质量评估(二)

单元质量评估(二)

第二章 (120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.椭圆x 29+y 2

k

=1与双曲线x 2k

-y 2

3

=1有相同的焦点,则k 应满足的条件是 ( )

A.k>3

B.2

C.k=2

D.0

【解析】选C. k>0,√2=√k +3,所以k=2.

2.(2019·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x 2

+y 2

2

=1长轴的端点,且双曲线

的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为 ( ) A.x 2-y 2=1 B.y 2-x 2=1 C.x 2-y 2=2 D.y 2-x 2=2

【解析】选D.由题意设双曲线方程为y 2a

2-x 2

b

2=1,离心率为e,椭圆x 2

+y 2

2

=1长轴端点

为(0,√2),所以a=√2,又椭圆的离心率为√2

所以双曲线的离心率为√2,所以

c=2,b=√2,则双曲线的方程为y 2-x 2=2. 3.(2019·浙江高考)已知椭圆C 1:

x 2m

2+y 2

=1(m>1)与双曲线C 2:x 2

n

2

-y 2

=1(n>0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( ) A.m>n 且e 1e 2>1 B.m>n 且e 1e 2<1 C.m1 D.m

【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a 2,b 2与c 2的关系. 【解析】选A.由题意知m 2

-1=n 2

+1,即m 2

=n 2

+2,(e 1e 2)2

=

m 2−1m ·

n 2+1n =

(1−

1m

2)(1+

1n

2

),因为m 2=n 2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e 1e 2)2

>1,所以e 1e 2>1. 4.(2019·潍坊高二检测)设椭圆

x 2m

2+y 2

n

2

=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y 2

=8x 的焦点相同,离心率为12

,则此椭圆的方程为 ( ) A.x 212+y 2

16

=1 B.x 216+y 2

12=1 C.x 248+y 2

64

=1 D.x 264+y 2

48

=1

【解析】选B.因为y 2=8x 的焦点为(2,0), 所以

x 2m 2+y 2n 2=1的右焦点为(2,0),所以m>n 且c=2.

又e=12=2m

,所以m=4. 因为c 2=m 2-n 2=4,所以n 2=12. 所以椭圆方程为x 216+y 2

12=1.

【补偿训练】(2019·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(√7,0),直线y=x-1与其相交于M,N 两点,MN 中点的横坐标为-2

3,则此双曲线的

方程是 ( )

A.x 25-y 2

2=1 B.x 22-y 2

5=1 C.x 23

-y 2

4

=1 D.x 24

-y 2

3

=1

【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程x 2a

2-y 2

b

2=1,然后与直线方程联立方程组,

消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN 中点的横坐标建立a,b 的一个方程,又双曲线中有c 2=a 2+b 2,则另得a,b 的一个方程,最后解a,b 的方程组即得双曲线方程.

【解析】选B.设双曲线方程为x 2a

-y 2

b =1,

将y=x-1代入x 2a

-y 2

b

=1,

整理得(b 2-a 2)x 2+2a 2x-a 2-a 2b 2=0, 由根与系数的关系得x 1+x 2=2a 2a 2−b 2

,

则

x 1+x 22

=

a 2

a 2−

b 2

=-2

3

.

又c 2=a 2+b 2=7,解得a 2=2,b 2=5, 所以双曲线的方程为x 22

-y 2

5=1.

5.P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a

+y 2

b

=1上的点,F 1,F 2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的

半焦距为c,则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是 ( ) A.1 B.a 2

C.b 2

D.c 2

【解析】选D.由椭圆的几何性质得 |PF 1|∈[a-c,a+c], |PF 1|+|PF 2|=2a, 所以|PF 1|·|PF 2|≤(

|PF 1|+|PF 2|2

)2

=a 2,

当且仅当|PF 1|=|PF 2|时取等号. |PF 1|·|PF 2|=|PF 1|(2a-|PF 1|) =-|PF 1|2+2a|PF 1|=-(|PF 1|-a)2+a 2 ≥-c 2+a 2=b 2,

所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2-b 2=c 2.

6.(2019·天津高二检测)已知双曲线x 2a

2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线

y 2=2px(p>0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为√3,则p= ( ) A.1 B.3

2

C.2

D.3