2019届东莞市高三文科数学模拟试题(三)

东莞市2019届高三文科数学模拟试题(三)
东华高级中学康逢永老师提供
一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 复数
2
2
(1i)
i
+等于（ ） A.2 B.2- C.i 2- D.i 2 2.已知直线l 、m 和平面α、β，下列四个命题中，真命题的个数是（
①若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ；②若α∥l ，β∥l ，则α∥β； ③若l α⊥，l β⊥，则α∥β；④若l α⊥，m α⊥，则l ∥m . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.已知}{n a 为等差数列，且1247-=-a a , 03=a ，则公差=d （ ）
A.2-
B.－12
C.1
2
D.2
4.在右面的程序框图中，若5=x ，则输出的i 的值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 5.如图，一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为（ ） A.36 B ．8 C ．38 D ．12
6.“1=m ”是“直线01)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂 直”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．.必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7.已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆22
4460x y x y +-++=上任意一点，则点C 到直线AB 距离的最小值是（ ） A.22 B.
C ．2
D ．
8．设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小者，若函数}log ,3m in{)(2x x x f -=，则满足0)(<x f 的x
的取值范围是（ ）
A. ),3()1,0(+∞
B. )3,1(
C. ),3()1,(+∞-∞
D. ),2
5()1,0(+∞
9．已知点F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. 3
B. 2
C.3
D.4
10.已知函数()f t 是奇函数且是R 上的增函数，若y x ,满足不等式2
2
(2)(2)f x x f y y -≤--，则2
2
x y + 的最大值是（ ）
A
B
．．8 D ．12 二、填空题（每小题5分，共20分）
11.已知向量)2,4(=→
a ，向量)3,(x
b =→
，且→
→b a //，则=x .
12.若实数,x y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-0010
1y y x y x ，则函数2z x y =+的最大值为 .
13. 已知集合{}
(,)1,,A x y y x x y ==-∈R ，{}
(,)2,,B x y y ax x y ==+∈R ，若集合A B 有且只
有一个元素，则实数a 的取值范围是 . ▲选做题（考生只能从中选做一题） 14.在极坐标系中，点)4
7,2(π
A 到直线22)4sin(=
+πθρ的 距离为 .
15.已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 经过圆心，
若3=PA ，4=AB ，5=PO ，则⊙O 的半径为___________. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 16．（本小题满分12分）
已知函数)2
sin(sin 3sin )(2
π
ωωω+⋅+=x x x x f （0>ω）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]3
2,
0[π
上的取值范围． （Ⅲ）函数)(x f 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变化得到？
P
A
C
B
D
O
某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （Ⅰ）求全班人数；
（Ⅱ）求分数在)90,80[之间的人数；并计算频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在]100,80[之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在]100,90[之间的概率.
18. （本小题满分14分）
在三棱锥P ABC -中，
PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点．
（Ⅰ）求证：OD ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积．
19．（本小题满分14分）
已知函数3
21()(,3
f x x x ax b a b =-
+++∈R ). (Ⅰ) 若3=a ，试确定函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 若函数()f x 在其图象上任意一点00(,())x f x 处切线的斜率都小于2
2a ，求实数a 的取值范围.
已知椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>
线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设(4,0)P ，M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 21．（本小题满分14分）
位于函数4
13
3+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以2
5
-
为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标；
(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*
N 第n 条抛物线n C
的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2
+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k .
求证:
10
111113221<+++-n n k k k k k k .
东莞市2019届高三文科数学模拟试题(三)
参考答案及评分标准
一、选择题（共10题，每小题均只有一个正确答案，每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 6 ； 12. 2 ； 13. (,1][1,)-∞-+∞ ； 14. 2
； 15. 2 三、（本大题共6小题，满分80分） 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）x x x
x f ωωωcos sin 322cos 1)(⋅+-=
2
12cos 212sin 23+-=
x x ωω 2
1
)6
2sin(+
-
=π
ωx ………………………………3分 )(x f 的最小正周期为π，且0>ω
πω
π
=∴
22 1=∴ω …………4分
（Ⅱ）解：2
1)62sin()(+-
=π
x x f ]32,
0[π
∈x ， ]3
4,0[2π
∈∴x ， ]6
7,6[6
2π
ππ
-
∈-
∴x ………………5分
]1,2
1[)62sin(-∈-
∴π
x ]2
3
,0[)(∈∴x f ……………………7分
即)(x f 在区间]32,
0[π上的取值范围是]2
3
,0[. ……………………8分
P
A
C
B
D
O
（Ⅲ）解：把x y sin =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
2
1
倍（纵坐标不变）， 再把所得函数的图象向右平移
12
π
个单位， 再把所得函数的图象向上平移
2
1
个单位，可得到)(x f 的图象. …………12分
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在)60,50[之间的频数为2.
由频率分布直方图知：分数在)60,50[之间的频率为08.010008.0=⨯. 所以，全班人数为
2
250.08
=人. ………………………4分 （Ⅱ）解：分数在)90,80[之间的人数为42107225=----人 ………………6分 故分数在)90,80[之间的频率为
16.025
4
= 所以频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高为
016.010
16
.0=. …………………8分 （Ⅲ）将)90,80[之间的4个分数编号为4,3,2,1；]100,90[之间的2个分数编号为6,5. 则在]100,80[之间的试卷中任取两份的基本事件为：
)2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，)4,3(，)5,3(，)6,3(， )5,4(，)6,4(，)6,5(共15个. ……………………………………10分
其中，至少有一个在]100,90[之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在]100,90[之间的概率是5
3
159=.………………………12分
18. （本小题满分14分） （Ⅰ）
,O D 分别为,AB PB 的中点，
∴OD ∥PA
又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC
OD ∴∥平面PAC . (5)
分
（Ⅱ）连结OC ，OP
AC CB ==O 为AB 中点，2AB =,
OC ∴⊥AB ，1OC =.
同理, PO ⊥AB ，1PO =.
又PC =
2222PC OC PO ∴=+=,
90POC ∴∠=，PO ∴⊥OC .
PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,
PO ∴⊥平面ABC .
又 PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC . ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP 垂直平面ABC
∴OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP =
3
1
12213131=⨯⨯⨯=⋅=∴∆-OP S V ABC ABC P . …………………………14分
19. （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：当3=a 时，3
21()33
f x x x x b =-
+++， 所以32)(2
/
++-=x x x f ， …………………………2分 由0)(/
>x f ，解得31<<-x ，
由0)(/
<x f ，解得1-<x 或3>x ， ……………………4分
所以函数()f x 的单调增区间为)3,1(-，减区间为)1,(--∞和),3(+∞. ………………6分 （Ⅱ）解：因为2
()2f x x x a '=-++，
由题意得：2
2
()22f x x x a a '=-++<对任意R x ∈恒成立，…………………………8分 即22
22x x a a -+<-对任意R x ∈恒成立， 设2
()2g x x x =-+，
所以2
2
()2(1)1g x x x x =-+=--+，
所以当1x =时，()g x 有最大值为1， …………………………10分 因为对任意R x ∈，2
2
22x x a a -+<-恒成立，
所以2
21a a ->，解得1a >或2
1
-
<a ， …………………………13分 所以，实数a 的取值范围为{|1a a >或}2
1
-<a . …………………………14分
解：
（Ⅰ）由题意知2
c e a =
=， 所以2222
22
3
4
c a b e a a -===，即224a b =， b a 2=∴
又因为1b =
=，2=∴a 故椭圆C 的方程为2
2:14
x C y +=．…………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-．
由22
(4),1.4
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(41)326440k x k x k +-+-=． ① …………6分
由22
2
2
(32)4(41)(644)0k k k ∆=--+->， 得2
1210k -<，
6
363<<-
∴k ………………………………8分 又0k =不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是： )0,63(-)6
3
,0(．……………9分 （Ⅲ）设点11(,)N x y ，22(,)E x y ，则11(,)M x y -．
直线ME 的方程为21
2221
()y y y y x x x x +-=
--．
令0y =，得221221
()
y x x x x y y -=-
+．…………………………………………11分
将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-． ②
由①得 21223241k x x k +=+，2122
644
41
k x x k -=+代入② 整理，得1x =．………………………………………………………………13分 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．……………………………………14分
解: (Ⅰ)由于n P 的横坐标构成以25
-
为首项,1-为公差的等差数列{}n x , 故153
(1)(1)22
n x x n d n n =+-=---=--. …………………3分
又),(n n n y x P 位于函数4
13
3+=x y 的图象上,
所以y 4
5
3413)23(34133--=+--=+=n n x n n . ………………5分
所求点),(n n n y x P 的坐标为()4
5
3,23----n n . ………………6分
(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2
()n n n y a x x y =-+,
即2
35()32
4
n y a x n n =++--
. 由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有22
351()32
4
n n a n n +=+--
. 由此可得2
35
1,()32
4
n a y x n n ==++--. ………………9分 故32)23
(20
+=++='
===n n x y k x x n .
所以
)2)(3
21
121(21)32)(12(111≥+-+=++=
-n n n n n k k n
n , …………11分
于是
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )32151(21+-=n 10
1<. 即
10
111113221<+++-n n k k k k k k . …………………14分。