解三角形教材分析

一、教学背景的分析 二、教学目标的确定 三、教学策略的选择 四、教学过程的设计 五、教学特点及反思
1 教学内容解析
(北京2016变式1)ABC中，a2 c2 b2 2ac （1）求B，（2）b 1,求a c的范围
(北京2016变式2)ABC中，a2 c2 b2 2ac （1）求B，（2）b 1,求ac的范围
应用性问题：数学建模
2018朝阳高三期末
解多个三角 形问题
统计近6年北京高考中解三角形考查情况
一般三角形
3.操作检验
1. 正弦定理探索思路
近300年来的116篇三角论文中 涉及正弦定理的证明方法
4.从猜想到 论证
同径法 外接圆法 作高法
12种 42种 58种
解析几何法
2种
利用三角形面积公式
1种
利用余弦定理
1种
利用向量
0种
纳绥尔丁—《论 四边形》—同径 法
韦达—《数学法 则》—外接圆法
梅文鼎—《平三 角举要》
必修5 第一章 《解三角形》教材分析
课标要求
旧版
• （1）通过对任意三角形边长和角度 关系的探索，掌握正弦定理、余弦 定理，并能解决一些简单的三角Βιβλιοθήκη Baidu 度量问题。
• （2）能够熟练运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与测量 和几何计算有关的生活实际问题。
探索 掌握 解决
一.课标要求
新版
原教材把“解三角形”作为几何度量来处理，突出几何的作用和量化的思 想，因此将其安排在必修5中，独立成章，新课标中，把解三角形作为平面 向量知识的应用，突出向量的工具性和应用性，因而将其安排在“平面向 量”中，作为平面向量的一个单元
韦达第一次给出了余 弦定理的三角形式
a2 b2 c2 2cm
cos A m 2cm b2 c2 a2
b 2cb
2bc
几何法：19世纪之前的主要方法
余弦
定理
利用射影定理：19世纪中期
证明
利用正弦定理：19世纪中期
利用解析几何：20世纪50年代 利用向量：更晚的时候
向量方法
问题 解一个 解多个 范围问 应用性 其它
三角形 三角形 题
问题
次数 4 1 1 0 0
近6年全国课标卷（甲）中解三角形考查情况
问题 解一个 解多个 范围问 应用性 其它
三角形 三角形 题
问题
次数 5 0 1 0 0
教材分析
《1.1.1 正弦定理》说课
1.1.1正弦定理
北京市朝阳外国语学校 刘嘉
锐角三角 形，钝角 三角形要 分类讨论
作高法
向量法
辅助直径法
CD=a sin B b sin A
C
a
j
b
B
A
c
r uuur r uuur
j BC j AC
a sin B b sin A
A
D O
B
C
a 2Rsin D 2Rsin A
a b c 2R sin A sin B sin C
题目条件提供3个方程 正弦定理提供3个方程 余弦定理提供3个方程 内角和180提供3个方程
Sin方cos方合为一提供3 个方程
(17朝二)ABC中,b c，2sin B 3 sin A
(1)求 cos B, (2)a 2,求ABC面积
涉及a,b, c,sin B,sin A五个未知数
3.面积公式探索思路
s abc 4R
s 2R2 sin Asin B sin C
s 1 bh 2
s 1 ba sin C
2
s 1 ab 1 ( a2 b2 c2 )2
2
2ab
s 1 cr 2
s 1 ba 1 cos2 C 2 s p( p a)( p b)( p c)
a 2
b2
c sin B

3 sin A
?
?
ab sin A sin B
(17朝二变式)ABC中,b c，2sin B 3 cos A
a 2,求ABC面积
涉及a,b, c,sin B, cos A五个未知数
a 2
b2
c sin B

?
?
3 cos A
a2 b2 c2 2bc cos A
ab sin A sin B sin2 A cos2 A 1
解多个三角形问题
解一个三角形作多次
从已知三条件三角形入手解，触发连锁反应
不确定性问题：知道条件不足三个，三角 形不确定，往往考查求范围
(北京2016)ABC中，a2 c2 b2 2ac （1）求B，（2）求 2 cos A cos C的最大值
2. 余弦定理探索思路
1.问题提出
2.问题解决
直角三角形 三边关系
a2 b2 c2
《天文学大成》： 已知三边求角
锐角三角形 三边关系
几何原 本卷2， 命题12
a2 b2 c2 2cm m b cos A
钝角三角形 三边关系
几何原 本卷2， 命题13
a2 b2 c2 2cm m b cos A
借助向 量探索
探索
掌握 解决
一.探索 探索
探索正弦定理 探索余弦定理 探索面积公式
1. 正弦定理探索思路
1.从定性到 定量：
2.从特殊到 一般
直角三角形
一般三角形
那么对于一般三 角形，上述结论 是否成立呢？
1. 正弦定理探索思路
2.从特殊到 直角三角形 一般
abc sin A sin B sin C
二.掌握
边化角 角化边
三.解决
知三条件解一个三角形
知正弦，不 一定能定角
SSA可能多 解
(17朝二)ABC中,b c，2sin B 3 sin A (1)求 cos B, (2)a 2,求ABC面积
解一个三角形最多 a,b, c,sin A,sin B,sin C, cos A, cos B, cos C 9个未知数
解析法
y A (O)
B(ccosA,csinA)
c a
b
D
C(b,0x)
a BC (c cosA b)2 (csin A 0)2
正弦定理法
sin A sin(B C)
sin A sin B cos C sin C cos B
两边平方即可得： sin2 A sin2 B sin2 C 2sin B sin C cos A 利用正弦定理即可得： a2 b2 c2 2bc cos A