第10课时 变化率与导数、导数的计算
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
导数与变化率的概念与计算方法
瞬时变化率
定义：瞬时变化 率是指在某一时 刻附近，函数值 随自变量变化的
趋势和快慢
计算方法：通 过求导数来计 算瞬时变化率
几何意义：瞬 时变化率可以 理解为函数图 像在该点的切程学等领域有广 泛的应用，如速 度、加速度等物
理量的计算
变化率的几何意义
变化率描述的是函数图像上两点间距离的相对变化 变化率等于函数图像上切线斜率 变化率可用于分析函数图像的形状和趋势 变化率的概念在导数定义中有着基础地位
热传导：导数可以用来描述热量的传递过程，例如物体温度随时间的变化规律和热传导方程的求 解。
电磁学：导数可以用来描述电场和磁场的变化规律，例如电场强度和磁场强度的计算。
导数在经济分析中的应用
边际分析：导数 用于研究经济活 动中各变量的变 化趋势和极限状 态，帮助决策者 做出最优决策。
弹性分析：导数 用于计算各种经 济指标的弹性， 从而分析各因素 对经济指标的影 响程度。
利用导数求瞬时变化率
定义：导数描述 了函数在某一点 处的切线的斜率
计算方法：通过 求导公式或导数 定义进行计算
应用场景：在物理学、 工程学等领域中，利 用导数求瞬时变化率 具有广泛的应用
注意事项：导数在 某些点可能不存在， 需要注意函数的可 导性
导数与变化率的 应用
导数在几何中的应用
导数在研究曲线上某点的切线 斜率中应用
经济分析：在经济学中， 变化率用于分析经济增 长、通货膨胀和利率等 经济指标的变化情况。
预测模型：在气象学 和统计学中，变化率 用于建立预测模型， 例如预测股票价格和 天气变化趋势。
控制系统：在控制工 程中，变化率用于设 计和分析控制系统， 例如调节汽车发动机 的油门和温度。
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《2.11变化率与导数、导数的计算》 教案
教学过程一、课堂导入1．从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右．3．命题切入点：在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查与解析几何结合的相关知识．二、复习预习导数的概念、几何意义及其运算是运用导数解决问题以及导数在实际生活中的应用的基础，虽然相关知识点的考查为A,B级，但是在许多综合题目中都会涉及本节知识点，需要学生在运用本节知识点理解题意的基础上进一步的运用导数。
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.三、知识讲解考点1 导数的概念函数)(x f y =在0x x =处的导数一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，称其为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '．考点2 导函数当x 变化时，)(x f '称为)(x f 的导函数，则xx f x x f y x f x ∆-∆+='='→∆)()(lim)(000特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别，)(x f '是一个函数，)(0x f '是常数，)(0x f '是函数)(x f '在点0x 处的函数值．考点3 导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-．特别提醒：求函数)(x f y =在点),(00y x P 处的切线方程与求函数)(x f y =过点),(00y x P 的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为))((000x x x f y y -'=-，后者可能不只一条．考点4 几种常见函数的导数考点5 导数运算法则(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='； (3))()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '-'='，)0)((≠x g考点6 复合函数的导数(理)设函数)(x ϕμ=在点x 处有导数)(x ϕμ'='，函数)(μf y =在点x 的对应点μ处有导数)(μf y '='， 则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且x x y y μμ'⋅'='四、例题精析【例题1】【题干】求下列函数的导数(1)y＝x＋x5＋sin xx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝cos 2xsin x＋cos x.【解析】(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin xx 2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .【例题2】【题干】求下列复合函数的导数：(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1；(3)y＝1(1－3x)4；(4)y＝x1＋x2.【解析】(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .(2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·( x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5. (4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x () 1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x21＋x 2 .【例题3】【题干】已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积．【解析】(1)f′(x)＝1x＋1，则f′(x0)＝1x0＋1，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程为y－f(x0)＝1x0＋1(x－x0)，即y＝xx0＋1＋x0＋2x0＋1.所以当x0＝1时，切线l的方程为x－2y＋3＝0.(2)当x＝0时，y＝x0＋2x0＋1；当y＝0时，x＝－x0－2.S△AOB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋2x0＋1·(x0＋2)＝(x0＋2)22 x0＋1，∴S△AOB ＝⎝⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.【例题4】【题干】若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.【答案】 π2【解析】∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2 ＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.四、课堂运用【基础】1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()解析：选D据函数的图象易知，x<0时恒有f′(x)>0，当x>0时，恒有f′(x)<0.2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于() A．0 B．－1C.12D．2解析：选C f′(x)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝1 2.3．(2013·大庆模拟)已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为()A．1 B.1 eC.2e D.2e解析：选B从函数图象知在直线y＝kx与曲线y＝ln x相切时，k取最大值．y′＝(ln x)′＝1x ＝k，x＝1k(k≠0)，切线方程为y－ln 1k ＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－1k，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k＝－1，k＝1e.【巩固】4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：－45．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)【拔高】6．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B根据函数的求导公式知只有(1)正确．7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：218．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x 轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.课程小结1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．。
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定 义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行 考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
① ②
由①知 x0≠0，故②可化为 1＋x20＋ax0＝0，
所以 ax0＝－1－x20，代入①得 3x20＋2(－1－x20)＝－1，即 x20＝1，解得 x0＝±1. 当 x0＝1 时，a＝－2，f(x0)＝x30＋ax20＝－1；当 x0＝－1 时，a＝2，f(x0)＝x30＋ ax20＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).
2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误， 因此求导运算正确的个数为 1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.
解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x.
角度 2 求切点坐标
3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
高二数学 考点10 变化率与导数、导数的计算
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高二数学 考点10 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.（2012·陕西高考理科·Ｔ7）设函数()x f x xe =，则（ ）(A)1x =为()f x 的极大值点 (B)1x =为()f x 的极小值点(C)1x =-为()f x 的极大值点 (D)1x =-为()f x 的极小值点【解析】选D.∵()x f x xe =，∴()()x x x f x x e e x e '==+(1)x e x =+，令()0f x '=，则1x =-，当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>，所以1x =-为()f x 的极小值点.二、填空题2.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ13）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________【解题指南】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式.【解析】3ln 4y x '=+，故1|4x y ='=，所以曲线在点()1,1处的切线方程为()141y x -=-，化为一般式方程为430x y --=.【答案】430x y --=3.（2012·辽宁高考文科·Ｔ12）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ15）相同 已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________【解题指南】由已知求出切点P,Q 的坐标，进而求出斜率，利用点斜式写出两条切线方程，求出交点A 的纵坐标.【解析】由于P,Q 为抛物线22x y =（即212y x =）上的点，且横坐标分别为4，-2，则(4,8),(2,2)P Q -，从而在点P 处的切线斜率144x k y ='==，据点斜式，得曲线在点P 处的切线方程为84(4)y x -=-；同理，曲线在点Q 处的切线方程为22(2)y x -=-+；上述两方程联立，解得交点A 的纵坐标为4-.【答案】4-4.（2012·广东高考理科·Ｔ12）曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 .【解题指南】先对函数33y x x =-+求导，求出在x=1处的导数即是所求切线的斜率，然后写出点斜式方程，再化成一般式方程即可.【解析】2131,|312,x y x y =''=-∴=-=∴切线方程为32(1),210y x x y -=--+=即. 【答案】210x y -+=关闭Word 文档返回原板块。
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
导数的基本公式与运算法则
导数的基本公式与运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点附近的变化率。
在计算导数时，有一些基本公式和运算法则可以帮助我们简化计算过程。
一、基本公式1.常数函数的导数公式对于常数函数f(x)=C，其中C是一个常数，其导数为f'(x)=0。
这是因为常数函数在任何点处的斜率都为0，所以其导数为0。
2.幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，其导数为f'(x) =nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义来证明。
3.指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
这个公式可以通过使用极限定义和指数函数的性质来证明。
4.对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这个公式可以通过使用极限定义和对数函数的性质来证明。
5.三角函数的导数公式对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)以及它们的反函数，它们的导数公式如下：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)cot'(x) = -csc^2(x)sec'(x) = sec(x) * tan(x)csc'(x) = -csc(x) * cot(x)这些公式可以通过使用极限定义和三角函数的性质来证明。
二、运算法则1.和差法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和（或差）的导数等于它们的导数之和（或差）：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)2.积法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)3.商法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，那么它们的商的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^24.复合函数的导数如果函数f(x)和g(x)都可导，那么复合函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)这些基本公式和运算法则是在计算导数时非常有用的工具，它们能够帮助我们简化计算过程并得到准确的结果。
(完整版)变化率与导数及导数的计算
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
变化率与导数、导数的计算
； ；
f′xgx－fxg′x f x 2 [ g x ] (3)[ ]′＝ gx
(g(x)≠0)．
五、复合函数的导数(理) 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间 的关系为y′x＝ 对x的导数的积． yu′u′x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u
答案：D
4．若曲线 f(x) ＝x4 －x 在点P 处的切线平行于直线 y ＝3x ，则
点P的坐标为________． 解析：设切点P为(x0，f(x0))，f′(x)＝4x3－1， 由题意知f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，∴f(x0)＝0. ∴切点P为(1,0)．
答案：(1,0)
5． (2013· 淄博模拟)已知函数
二、导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0) 处的切线的 斜率 ，过点P的切线方程为： y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0(x0，y0)的切
线，两种说法有区别吗？ 提示：两种说法有区别．在点 P0(x0 ， y0) 处的切线说明点 P0 在曲线y＝f(x)上，且P0为切点；过点P0(x0，y0)的切线则点P0不一 定在曲线上，或点P0在曲线上也不一定为切点．
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a＞0且 a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且 a≠1) f(x)＝ln x
四、可导函数的四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝ (2)[f(x)· g(x)]′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
变化率与导数导数的计算
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的 变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的 最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼 茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
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曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度， 例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射 程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频 率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一 点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点 处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐 点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通 过两边取对数，转化为显函数进行求导 。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以 通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。
导数的求导法则切线计算
第10讲变化率与导数、导数的计算诊断-基础知识知识梳理1.2.导数的运算法则⑴[f(X)±(x)] f，(X)±，(x).⑵[f(x)g(x)]，= f' (x)g(x) + f(x)g' (x).口xMxtK 2<jg, n二[gx]2 (g(x)工0).3.复合函数的导数设u = v(x)在点x处可导，y= f(u)在点u处可导，则复合函数f［v(x)］在点x处可导, 且f' (x) = f' (u) v v (x).［感悟提升］1•“过某点”与“在某点”的区别曲线y=f(x) “在点P(x o, y o)处的切线”与“过点P(x o, y o)的切线”的区别：前者P(x o, y o)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x o, y o)不一定为切点.2.导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，女口(4).三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式. 由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).以例求法举一反三x x 1 _ x — ?si n x ,2x + 1突破-高频考点考点一导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数： X X(1)y = e c os x ； (2)y =x — sin qcos 2；ln (2x + 1 \⑶ y=——.解 (1)y '_ (e x )' cos x + ^(cos x)'_ e <cos x — e <sln x.[In 2x + 1 ] ' x — x ' In 2x + 1x2x +1 ' 2x , o , 2x +1 X-2+ 门 2x +1 — n2x + 门 _ 2 _ 2x x _ 2x —(2x + 1 )n (2x + 1 )= 2x +1 x 2 .规律方法（i ）本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误 ②不能正确运用求导公式和求导法则，在第 （3）小题中，忘记对内层函数 进行求导.（2）求函数的导数应注意：① 求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；1 1 — 2COS x.②根式形式，先化为分数指数幕，再求导.③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.【训练1】(1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0,+x)内可导，且f(e x)= x+ e x, 则f'(1) = ____________ .⑵若f(x) = ^/3^x + e2x，贝U f' (x) = ______ .解析(1)令e x= t,则x= In t,•'f(t) = In t +1, 即卩f(x) = In x+ x.1因此f' (x)= (In x+x)' = + 1,于是f' (1)= 1 + 1 = 2.x⑵若f(x)= a3+ 2ax—x2，则f' (x)= 3a2+ 2x.( x)(3) (教材习题改编)函数y= xcosx —sin x的导函数是y'= —xsin x. (V)⑷[f(ax+ b)] '= f' (ax+ b). (x )考点二导数的几何意义【例2】(1)(2013广东卷)若曲线尸kx+ In x在点(1, k)处的切线平行于x轴,则k= ________ .⑵设f(x) = xln x + 1，若f' (x o) = 2,贝U f(x)在点(x o, y o)处的切线方程为1解析(1)函数y= kx+ In x的导函数y' = k+ x,入由导数y'E仁0,得k+1 = 0,则k=— 1.(2)因为f(x) = xln x+ 1,1所以f' (x)= In x+x • = In x+ 1.x因为f' (x o) = 2,所以In x o+ 1 = 2, 解得x o= e,所以y o= e+ 1.由点斜式得，f(x)在点(e, e+ 1)处的切线方程为y—(e+ 1) = 2(x—e),即2x—y —e + 1 = o.答案(1)— 1 (2)2x—y —e+ 1 = o规律方法(1)导数f' (x o)的几何意义就是函数y= f(x)在点P(x o, y o)处的切线的斜率•第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为o,进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力.⑵在求切线方程时，应先判断已知点Q(a, b)是否为切点，若已知点Q(a, b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程.【训练2】（1）（2012新课标全国卷）曲线y=x（3ln x+ 1）在点（1,1）处的切线方程为（2）若函数f（x）= e x cos x,则此函数图象在点（1, f（1））处的切线的倾斜角为（）•A •0 B •锐角C •直角D •钝角3解析(1)了= x(3ln x+ 1),.°y' = 3ln x+ 1 + x x= 3ln x+ 4,「k= y' |x= 1= 4, 入所求切线的方程为y—1= 4(x- 1)，即4x-y-3 = 0.(2)f‘ (x) = e x cos x—e x sin x= e x(cos x—sin x),•■f' (1)= e(cos 1— sin 1).n n••2>1>4・而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1.•f (1)<0,即卩f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率k<0,f •切线的倾斜角是钝角.答案(1)4x —y — 3 = 0 (2)D考点三导数运算与导数几何意义的应用In x 【例3】(2013北京卷)设I为曲线C: y=业在点(1,0)处的切线.X⑴求I的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线I的下方.导数几何意义审题路线⑴求f' (1) ——> 点斜式求直线I的方程转化运用导数⑵构建g(x) = x— 1 —f(x) --- >g(x)>0对x>0且X M 1恒成立------- >研究函数y =g(x)的性质一获得结论解⑴设f(x) = I：X,则f' (x)= 1 F x.1 —In 1 ••• f' (1)= 1= 1,即切线I的斜率k= 1.由I过点(1,0),得I的方程为y= x— 1.⑵令g(x) = x— 1 —f(x)，贝U除切点之外，曲线C在直线I的下方等价于g(x)>0(?x>0, X M 1).2x —1 + In x g(x)满足g(1) = 0,且g' (x)二1—f' (x)二x2 .当0<x<1 时，x2—1<0, In x<0,••• g' (x)<0，故g(xx)在(0,1)上单调递减；当x>1 时，x—1>0, In x>0, g' (x)>0, g(x)单调递增.所以，g(x)>g(1)= 0(? x>0, X M 1).所以除切点之外，曲线C在直线I的下方.规律方法(1)准确求切线I的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线I的ae 2+ ae 2—位置关系转化为函数g(x) = x — 1 — f(x)在区间(0,+x )上大于o 恒成立的问题, 进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用.(2)当曲线y =f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线 方程为x = x o ；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解 . 1【训练3】(2014济南质检)设函数f(x)= ae x + x + b(0<a<1).ae (1) 求f(x)在［0,+x )内的最小值；3(2) 设曲线y =f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y =㊁x ，求a 和b 的值. . , x 1 (ae —1( ae + 1)解(1)f (x) = ae — ae x =ae x. 1令 f ' (x) = 0，得 x = In >0.a 1当 0<x<ln 时，f ' (x)<0;a 1当 x>ln ，f ' (x)>0.a••• f(x)在0，In 1上递减，在lln a ，+^ '上递增. 从而f(x)在［0,+x )上的最小值f In a = 2+ b. 3⑵T y =f(x)在点(2，f(2))处的切线为y = 2x ， 3••• f(2)= 3,且 f ' (2) = 3， 1ae 2+ b = 3 ae1 32 = ae 2 1 2解之得b = 2且 a = e 2.理解导数的概念时，要注意f'(X0), (f(X0))'与f' (x)的区别：f' (x)是函数y=f(x)的导函数，f' (x o)是f(x)在x= x o处的导数值，是常量但不一定为0, (f(x o))'是常数一定为0, 即(f(x o))' = 0.培养-解题能力教拣解邇提进能力易错辨析3――求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014杭州质检)若存在过点0(0,0)的直线I与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 和y=x2+ a都相切，则a的值是().1A - 1 B.641 1c. 1或64 D - 1或—鬲［错解］V 点0(0,0)在曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 上,•••直线I与曲线y=f(x)相切于点O.则k= f' (0) = 2,直线I的方程为y= 2x.又直线I与曲线y= x2+ a相切，•'x2+ a —2x= 0 满足△= 4 —4a= 0, a= 1,选A.［答案］A［错因］(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x相切这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误：一是当点0(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.--K又203x 0 + 2, C . In 2［正解］易知点0(0,0)在曲线f(x) = X 3— 3X 2+ 2x 上， ⑴当0(0,0)是切点时，同上面解法.⑵当0(0,0)不是切点时，设切点为 P(X 0, y 0),则y ° = x 3— 3x 0 + 2x 0,且k = f '(X 0)=3x 0— 6x 0 + 2.由①，②联立，得X 0= 2(x 0= 0舍)，所以k = — 4, 1•••所求切线I 的方程为y = — 4x.「 1出 y = — 4x ， /曰 2 1 c 由 得 x + 4x + a = 0.I 2 | 4y = x + a ,1 1 1 依题意，16— 4a = 0,「a = §4.综上，a = 1 或 a = §4.［防范措施］(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键, 分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异.(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算.【自主体验】1函数y = In x(x>0)的图象与直线y =2x + a 相切，贝U a 等于().A . 2ln 2B .In 2 + 1D .In 2 — 1y f I r p解析设切点为(x o, y o)，且y' = X,.・. =X = 2，则x o= 2, y o= InX X0 212. 又点(2, In 2)在直线y=2x+ a上，1.n 2 = 2X2+ a,「a= In 2 —1.课时-题组训练_ 阶梯训擦竦出富分对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 •若函数f(x)= ax4+ bx2+ c满足f' (1) = 2,则f' (—1)等于().A1 B 2 C. 2 D . 0解析f' (x) = 4ax3+ 2bx,.f' (x)为奇函数且f' (1)= 2,.' (—1)= —2. 答案B2.y= —x+ 8,贝U f(5) + f' (5)=如图,C.—2 D . 4解析 ■•yx — 1 — x + 1X - 12212 ,y k=(X —1)—23=2 =3- 1 212，・•—a = 2，即解析 如图可知，f(5) = 3, f ' (5)=— 1,因此 f(5) + f ' (5) = 2. 答案 A3. （2014济南质检）设曲线 尸 在点（3,2）处的切线与直线ax + y + 1= 0垂直,X — 1 则 a =（）.A . 2B . — 21 1C .— 2 D.Q =—2. 答案 B1 2 14•已知曲线y = ^x 2— 3ln x 的一条切线的斜率为一刁则切点横坐标为（）. A . — 2 B . 3 C . 2 或—3 D . 2I1 313 1 解析 设切点坐标为（x o , y o ）,，.y ' = ?x — x ，： = 2x 0 — x 0 = — 2，即卩 x 0+x o — 6= 0,解得 x o = 2 或一 3（舍）. 答案 D5. （2014湛江调研）曲线y = e —2x+ 1在点（0,2）处的切线与直线y = 0和y =x 围成 的三角形的面积为（）.A1 f 1A? B .1C.3 D .1解析y' |x=o= (—2e-2x)|x=o= —2,故曲线y= e"2x+ 1在点(0,2)处的切线方程为y= —2x+ 2,易得切线与直线y= 0和y=x的交点分别为(1,0), |，故围成1 2 1的三角形的面积为心1X 3二3.二、填空题6. _________________________________________________ 已知函数f(x) = f' J4C0S x+ sin x,则的值为_________________________________ .解析f (x)= —f' ；Sin x+ cos x,.f —f' ©sin :+ cos ；, f ©=\n n n2—1,--f4二(2—1)cos 4+ sin 4二1.答案17. (2013南通一调)曲线f(x)= f e1 e x—f(0)x+ 1x2在点(1, f(1))处的切线方程为________ .解析f‘(x)=f e1 e x—f(0)+x? f ' (1)=f j1 e1—f(0)+1? f(0) = 1.在函数f(x)D Df ' f 1 \ 1 1=e e x—f(0)x+ ?x2中，令x= 0,则得f ' (1)= e所以f(1)= e—?,所以f(x)在1 1(1, f(1))处的切线方程为y= e(x—1)+ f(1) = ex—?,即y= ex —1答案y= ex—28 .若以曲线y= Jx3+ bx2+ 4x+ c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是_____________ .2 2解析y ' = x + 2bx + 4 ,与'> 0 恒成立，二△二4b —16< 0,A-2< b< 2.答案[—2,2]g(X)min = g(2)=92,•a>9,a^ —1 2.、解答题9.已知函数f(x) = x3+ (1 -a)x2—a(a+ 2)x+ b(a, b€ R).⑴若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3,求a, b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x—a(a + 2).⑴由题意得I0芒二+ 2 一3, 解得 b = 0, a= — 3 或 1.⑵•/曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，•••关于x的方程f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x —a(a+ 2)= 0有两个不相等的实数根,•••4(1 —a)2+ 12a(a+ 2)>0,即4a2+ 4a + 1>0,10.已知函数f(x) = x3—ax2+ 10.(1)当a= 1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)在区间［1,2］内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围. 解(1)当a= 1 时，f' (x) = 3x2—2x, f(2)= 14,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率k=f'⑵=8,•曲线y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—14= 8(x—2),即卩8x—y —2 = 0.3x3+ 10 10⑵由已知得a>x x2 = x+x0,入入设g(x) = x+ x0(1w x<2), g' (x) = 1—2；0,•/ 1< x< 2,•g' (x)v0,「. g(x)在［1,2］上是减函数.能力提升题组(建议用时：25分钟)•a的取值范围是一、选择题1. (2014北京西城质检)已知P, Q为抛物线x2= 2y上两点，点P, Q的横坐标分别为4,—2,过P, Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A. 1B. 3C.—4D. —8解析依题意，得P(4,8), Q( —2,2).2x由y= 2，得y，= x.•••在点P处的切线方程为y—8 = 4(x—4)，即y= 4x —8.①在点Q处的切线方程为y—2= —2(x+ 2),即卩y= —2x—2•②联立①，②得点A(1,—4).答案C2. 已知f(x)= log a x(a>1)的导函数是f' (x),记A= f，(a), B = f(a+ 1)—f(a), C =f，(a+ 1),则().A. A>B>C B . A>C>BC. B>A>CD. C>B>Af(a+ 1)— f(a) 解析记M(a, f(a)), N(a+ 1, f(a+ 1)),则由于B= f(a+ 1)—f(a)= ,(a+ 1 —a表示直线MN的斜率，A= f，(a)表示函数f(x)= log a x在点M处的切线斜率；C=f，(a+ 1)表示函数f(x) = log a x在点N处的切线斜率.由图象得，A>B>C.答案A、填空题3. (2014武汉中学月考)已知曲线f(x) = x n + 1(n€ N*)与直线x= 1交于点P,设曲线y= f(x)在点P处的切线与X轴交点的横坐标为X n,贝U log2 013X1 + log2 013X2+… + lOg2 013X2 012 的值为 __________________ .解析f' (x)= (n+ 1)X n, k= f' (1) = n+ 1,点P(1,1)处的切线方程为y— 1 = (n+ 1)(x-1),1 n 阳n令y= 0,得x= 1 —= ，即X n= ,n+ 1 n+ 1 n+ 11 2 3 2 011 2 012 1•'X1 X2 … X2 012= 2X3X4^^X 2 012X2 013= 2 013，贝卩log2 013x1 + log2 013x2 + …+ lOg2 013X2 012=lOg2 013(X1X2 …X2 012) =—1.三、解答题4. (2013福建卷改编)已知函数f(x) = X—aln x(a€ R).(1) 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程；(2) 当实数a>0时，求函数f(x)的极值.a解函数f(x)的定义域为(0,+^), f' (x)= 1—.X2(1)当a=2 时，f(x) = x —2ln x, f' (x)= 1 —(x>0),X因而f(1)=1, f' (1) = —1,所以曲线y= f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y—1 = —(x—1)，即x+ y—2= 0.a x—a⑵由f' (x) = 1—x= x, x>0.令f' (x) = 0,得x= a>0.当x€ (0, a)时，f (x)<0;当x€ (a,+x)时，f (x)>0.从而函数f(x)在x= a处取得极小值，且极小值为f(a)= a —aln a,无极大值.。
变化率与导数、导数的计算
瑞昌二中曹林玉学案变化率与导数、导数的计算知识要点1、导数的概念及几何意义；2、基本初等函数的导数公式；3、导数运算法则；4、（理科）复合函数的导数。
例题讲解例1、若曲线y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值。
例2、已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l。
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程。
练习1、设函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为A、k1>k2B、k1<k2C、k1＝k2D、不确定2、设y＝－2e x sinx，则y′等于A、－2e x cosxB、－2e x sinxC、2e x sinxD、－2e x(sinx＋cosx)3、已知m<0，f(x)＝mx3＋27xm，且f′(1)≥－18，则实数m等于A、－9B、－3C、3D、94、已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为A、1－cos1B、1＋cos1C、cos1－1D、－1－cos15、一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是A、0秒B、1秒末C、2秒末D、1秒末和2秒末6、下列求导数运算正确的是A、(x＋1x)′＝1＋1x2B、(log2x)′＝1xln2C、(3x)′＝3x log3e D、(x2cosx)′＝－2xsinx7、曲线y＝13x3＋12x2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A、4918B、4936C、4972D、491448、设f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈[0，5π12]，则f′(1)的取值范围是A、[－2,2]B、[2，3]C、[3，2]D、[2，2]9、若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．10、如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________11、已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是________12、已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________13、下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝_______14、求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)(1＋1x)； (2)y＝lnxx； (3)y＝tanx15、设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
2020新课标高考艺术生数学复习：导数的概念与计算含解析
解析：D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.]
3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)( )
A．既是周期函数，又是奇函数
B．既是周期函数，又是偶函数
2020新课标高考艺术生数学复习：导数的概念与计算含解析
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第10节 导数的概念与计算
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”。
(1)y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
C．不是周期函数，但是奇函数
D．不是周期函数，但是偶函数
解析：B[因为y＝f(x)是周期函数，
所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，
得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，
即f′(x＋T)＝f′(x)，
所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数．所以f′(x)为偶函数]
4．[人教A版教材P18A组T6改编]曲线y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为__________．
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第2章 第10课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2
；③(e x )′＝e x ；④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析： 求导运算正确的有②③，2个，故选B.
答案： B
2．下图中，有一个是函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )
A.13
B ．－13 C.73 D ．－13或53
解析： ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，
∴导函数f ′(x )的图象开口向上．
又∵a ≠0，∴其图象必为图(3)．
由图象特征知f ′(0)＝0，且－a ＞0，∴a ＝－1.
故f (－1)＝－13－1＋1＝－13
. 答案： B
3．y ＝x 2cos x 的导数是( )
A ．2x cos x ＋x 2sin x
B ．2x cos x －x 2sin x
C ．2x cos x
D ．－x 2sin x
解析： y ′＝2x cos x －x 2sin x .
答案： B
4．(2010·威海模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )
A ．1
B.12 C ．－12 D ．－1
解析： ∵y ′＝2ax ，∴y ′|x ＝1＝2a .即y ＝ax 2在点(1，a )处的切线斜率为2a .直线2x －y －6＝0的斜率为2.
∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a ＝2，解得a ＝1.
答案： A
5．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x ，y )处的切线斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )
解析： k ＝g (x )＝y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故函数k ＝g (x )为奇函数，排除A 、
C ；又当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2时，g (x )＞0， ∴B 正确．
答案： B
6．(2009·江西卷)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
解析： 由条件知g ′(1)＝2.
又∵f ′(x )＝[g (x )＋x 2]′＝g ′(x )＋2x ，
∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4.
答案： A
二、填空题
7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________．
解析： y ′＝cos x ＋e x ，∴在x ＝0处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋cos 0＝2.又切点坐标为(0,3)，
∴切线方程为y ＝2x ＋3.
答案： y ＝2x ＋3
8．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为________．
解析： k 的最大值即过原点与曲线y ＝ln x 相切的直线的斜率．设切点P (x 0，y 0)，∴y 0＝ln x 0.
∵y ′＝1x ，∴在x 0处的切线斜率为1x 0
. ∴1x 0＝y 0x 0，即1x 0＝ln x 0x 0.∴x 0＝e.∴1x 0＝1e
. ∴k 的最大值为1e
. 答案： 1e
9．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．
解析： 设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[－1,3]，
∴0≤a ≤2.
而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34
， 当a ＝12时，g (a )min ＝34
；当a ＝2时，g (a )max ＝3， 故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3.
答案： ⎣⎡⎦⎤34，3
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)y ＝tan x ；
(2)y ＝x 3log 2x ＋3x .
解析： (1)(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′
＝(sin x )′cos x －(cos x )′·sin x cos 2 x ＝cos 2 x ＋sin 2 x cos 2 x ＝1cos 2 x
. (2)y ′＝(x 3log 2 x )′＋(3x )′
＝(x 3)′log 2 x ＋x 3(log 2 x )′＋3x ln 3
＝3x 2log 2 x ＋x 3·1x
log 2 e ＋3x ln 3 ＝3x 2log 2 x ＋x 2log 2 e ＋3x ln 3.
11．已知函数f (x )＝12
x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a 、b 的值；
(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
【解析方法代码108001023】
解析： (1)因为f ′(x )＝x －a x
(x ＞0)， 又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2
＝1， 解得a ＝2，b ＝－2ln 2.
(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －a x
≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．
所以有a ≤1.
12．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，
整理得，x03＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。