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上海市徐汇区零陵中学高二数学下学期期末考试试题苏教版

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上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末数学试卷

上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末数学试卷

徐汇区高二下期末数学试卷2020.7一、填空题1．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为 ． 2．抛物线2:4C y x =的准线方程为 ．3．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为 ．4．已知长方体1111A BCD A B C D -的1A A 、AB 、A D 的长分为3、4、5，则点A 到棱11B C 的距离为 ．5．若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为 ． 6．如图，以长方体1111A BCD A B C D -的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在真线为坐标轴，建立空间直角坐标系． 若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1A C 的坐标为 ．7．经过点(1,3)A 且与圆22:4C x y +=相切的直线方程是 ． 8．已知21(0,0)x y x y +≤≥≥，则x y -的最大值是 ． 9．如图，已知三棱柱111A BC A B C -的体积为4，则四面体11C A BC - 的体积为 ．10．已知双曲线22:12x y C a a -=-的焦点坐标为(0,6)±，则a 的值为 ．11．从m （m *∈N ，且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人发言．假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = ．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里， 母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且10AB =公里．为了发展旅 游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里．二、选择题13．在正方体1111A BCD A B C D -中，1A B 和1BC 所成角的大小是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 14．已知1F 、2F 是定点，12||6F F =．若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ）A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆 15．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒ 且腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．22+ B ．12+ C ．22+ D ．12+ 16．如图，点A 是曲线22(2)y x y =+≤上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列判断：①||||A P A Q -为定值22； ②||||QB BC +为定值5．其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①都错误，②正确三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程210()x kx k -+=∈R 的两根为12,x x ． （1）若1x 为虚数，求k 的取值范围； （2）若12||2x x -=，求k 的值．18．己知(21)()n x n *-∈N 的二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求n 的值；（2）求该展开式中3x 项的系数．19．如图，己知正方体1111A BCD A B C D -的棱长为1． （1）求证：11A C A D ⊥；（2）求1A C 与平面1A CD 所成角的大小．20．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务．已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米．单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元（其他成本忽略不计）．根据前期调查，冰激凌球能全部售完．高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由．21．已知：椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，且经过点3(1,)2M，A、B是椭圆上异于M的两个动点．（1）求椭圆C的方程；（2）若90AMB∠=︒，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．参考答案一、填空题1．2 2．1x =- 3．90︒ 4．5 52 6．(4,3,2)-7．340x y +-= 8．1 9．4310．2- 11．10 12．18 【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ， 记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，2102A A A OA SA A OA ππ'''=∠⋅=⋅⇒∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+， 上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的 距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ， 由Rt Rt SA B H SB '△∽△，可求出18HB =．二、选择题13．C 14．B 15．C 16．A【第16题解析】曲线22(2)y x y =+≤两边平方，得222y x -=，为双曲线22122y x -=22y ≤的部分，(0,2)P -，(0,2)Q 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，知||||||2A P A Q -=||||A P A Q >，∴||||22A P A Q -=曲线218y x =即抛物线28x y =，其焦点为(0,2)Q ，准线方程为2y =-，由抛物线定义，知||||||||||5QB BC BD BC CD +=+==，②正确；选A ．三、解答题17．（1）24022k k ∆=-<⇒-<<；（2）①0∆≥时，222121212||()4442x x x x x x k k -=+-=-=⇒=± ②0∆<时，222121212||[()4]440x x x x x x k k -=-+-=-=⇒=； 综上，k 的值为22±0． 18．（1）22568n n =⇒=；（2）818(2)(1)r r r r T C x -+=⋅⋅-，5r =时，533368(2)(1)448T C x x =⋅⋅-=-，即3x 项的系数为448-．19．（1）略；（2）1arcsin 3．20．2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，33441252.5336V r πππ==⋅=球，每个单球冰激凌的成本价为125296130019.6731253ππ⋅+=≈（元）， 定价为15元，利润率约为55%，较为合理．21．（1）22143x y +=；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，①直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 与椭圆方程联立可得，222(43)84120k x kmx m +++-=， ∴122212284341243km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（*）且22043k m ∆>⇒<+， ∵90AMB ∠=︒，∴112233(1,)(1,)022M A M B x y x y ⋅=--⋅--=，即121233(1)(1)()()022x x kx m kx m --++-+-=，化简得221212313(1)[()1]()3024k x x k m x x m m ++--++-+=，将（*）式代入，得2297(89)()04m k m k +-+-=，2236144144(612)m k k k ∆=-+=-，∴m =13714m k =--或32m k =--（舍，此时直线AB 过点M ）∴直线AB 的方程为1313()714714y kx k k x =--=--，过定点13(,)714-；②直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x t =，(2,1)(1,2)t ∈-，可设11(,),(,)A t y B t y -，且221143y t +=，由1133(1,)(1,)022M A M B t y t y ⋅=--⋅---=，即2222199(1)(1)3(1)0444t t y t -+-=-+--=，解得17t =或1t =（舍），此时直线AB 的方程为17x =，也过定点13(,)714-；综上，直线AB 过定点13(,)714-．。

上海市高二下学期期末考试数学试题(带答案)

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高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2n p x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152p p -.。

上海市高二下学期期末考试数学试题(共3套,含答案)

上海市高二下学期期末考试数学试题(共3套,含答案)

高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________．8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________．11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答)13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞→n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米.A ．32424-πB ．33636-πC ．32436-πD ．33648-π第15题图16.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.使得*)()13(N n x x x n ∈+的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者从装有3个红球、1 个蓝球、6奖如下:奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红1白 50元三等奖 2红1蓝或2红2白 10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 设点M 在线段E C 1上, 且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为62, 求线段AM 的长.23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第22题图 E D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A金山中学第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((xx C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120. 20.（14分）解：（1）214103713=C C C ； X0 10 50 200 P(X) 4231 358 351 2101 321020035503510420)(=⋅+⋅+⋅+⋅=X E . 21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+ 则B A ,中点是)1312,134(b b ，则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n 42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152pp -.高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）24.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（4）证明：n OA 的斜率是定值；（5）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（6）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.22.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m24.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121nnp x y x p y 则有,042211121=-+x y x y 而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ； （4）直线方程为x y )51(+-=；（5）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42nn p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则np AB 10||=，而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积nn pS 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ，所以所有三角形面积和为22152pp -.上海市高二年级第二学期数学学科期终考试试卷（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。

2019-2020学年上海市徐汇区高二下学期期末考试数学试题 Word版

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上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题2020.7一、填空题1．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为 ． 2．抛物线2:4C y x =的准线方程为 ．3．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为 ．4．已知长方体1111A BCD A B C D -的1A A 、AB 、A D 的长分为3、4、5，则点A 到棱11B C 的距离为 ．5．若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为 ． 6．如图，以长方体1111A BCD A B C D -的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在真线为坐标轴，建立空间直角坐标系． 若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1A C 的坐标为 ．7．经过点(1,3)A 且与圆22:4C x y +=相切的直线方程是 ． 8．已知21(0,0)x y x y +≤≥≥，则x y -的最大值是 ． 9．如图，已知三棱柱111A BC A B C -的体积为4，则四面体11C A BC - 的体积为 ．10．已知双曲线22:12x y C a a -=-的焦点坐标为(0,6)±，则a 的值为 ．11．从m （m *∈N ，且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人发言．假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = ．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里， 母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且10AB =公里．为了发展旅 游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里．二、选择题13．在正方体1111A BCD A B C D -中，1A B 和1BC 所成角的大小是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 14．已知1F 、2F 是定点，12||6F F =．若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ）A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆 15．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒ 且腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．222+ B ．122+ C ．22+ D ．12+ 16．如图，点A 是曲线22(2)y x y =+≤上的任意一点，(0,2)P -， (0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列判断：①||||A P A Q -为定值22； ②||||QB BC +为定值5．其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①都错误，②正确三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程210()x kx k -+=∈R 的两根为12,x x ． （1）若1x 为虚数，求k 的取值范围； （2）若12||2x x -=，求k 的值．18．己知(21)()n x n *-∈N 的二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求n 的值；（2）求该展开式中3x 项的系数．19．如图，己知正方体1111A BCD A B C D -的棱长为1． （1）求证：11A C A D ⊥；（2）求1A C 与平面1A CD 所成角的大小．20．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务．已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米．单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元（其他成本忽略不计）．根据前期调查，冰激凌球能全部售完．高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由．21．已知：椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，且经过点3(1,)2M，A、B是椭圆上异于M的两个动点．（1）求椭圆C的方程；（2）若90AMB∠=︒，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．参考答案一、填空题1．2 2．1x =- 3．90︒ 4．5 52 6．(4,3,2)- 7．340x y +-= 8．1 9．4310．2- 11．10 12．18 【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，2102A A A OA SA A OA ππ'''=∠⋅=⋅⇒∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+=， 上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的 距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ， 由Rt Rt SA B H SB '△∽△，可求出18HB =．二、选择题13．C 14．B 15．C 16．A【第16题解析】曲线22(2)y x y =+≤两边平方，得222y x -=，为双曲线22122y x -=22y ≤的部分，(0,2)P -，(0,2)Q 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，知||||||22A P A Q -=||||A P A Q >，∴||||2A P A Q -= 曲线218y x =即抛物线28x y =，其焦点为(0,2)Q ，准线方程为2y =-，由抛物线定义，知||||||||||5QB BC BD BC CD +=+==，②正确；选A ．三、解答题17．（1）24022k k ∆=-<⇒-<<；（2）①0∆≥时，222121212||()44422x x x x x x k k -=+-=-=⇒=± ②0∆<时，222121212||[()4]440x x x x x x k k -=-+-=-=⇒=； 综上，k 的值为22±0． 18．（1）22568n n =⇒=；（2）818(2)(1)r r r r T C x -+=⋅⋅-，5r =时，533368(2)(1)448T C x x =⋅⋅-=-，即3x 项的系数为448-． 19．（1）略；（2）1arcsin 3．20．2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，33441252.5336V r πππ==⋅=球，每个单球冰激凌的成本价为125296130019.6731253ππ⋅+=≈（元）， 定价为15元，利润率约为55%，较为合理．21．（1）22143x y +=；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，①直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 与椭圆方程联立可得，222(43)84120k x kmx m +++-=，∴122212284341243km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（*）且22043k m ∆>⇒<+， ∵90AMB ∠=︒，∴112233(1,)(1,)022M A M B x y x y ⋅=--⋅--=，即121233(1)(1)()()022x x kx m kx m --++-+-=，化简得221212313(1)[()1]()3024k x x k m x x m m ++--++-+=，将（*）式代入，得2297(89)()04m k m k +-+-=，2236144144(612)m k k k ∆=-+=-，∴m =13714m k =--或32m k =--（舍，此时直线AB 过点M ）∴直线AB 的方程为1313()714714y kx k k x =--=--，过定点13(,)714-；②直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x t =，(2,1)(1,2)t ∈-，可设11(,),(,)A t y B t y -，且221143y t +=，由1133(1,)(1,)022M A M B t y t y ⋅=--⋅---=，即2222199(1)(1)3(1)0444t t y t -+-=-+--=，解得17t =或1t =（舍），此时直线AB 的方程为17x =，也过定点13(,)714-；综上，直线AB 过定点13(,)714-．。

2007-2008学年上海市徐汇区零陵中学墨微高二(下)期末数学试卷

2007-2008学年上海市徐汇区零陵中学墨微高二(下)期末数学试卷

2007-2008学年上海市徐汇区零陵中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：1．（3分）n（n﹣1）（n﹣2）•…•4等于（）A．P n4B．n!﹣4! C．P n n﹣4D．P n n﹣32．（3分）方程xy2﹣x2y=2x所表示的曲线是（）A．关于y轴对称B．关于x+y=0对称C．关于原点对称D．关于x﹣y=0对称3．（3分）求复数5+12i的平方根（）A．3+2i，or，3﹣2i B．3+2i，or，﹣3﹣2iC．﹣3+2i，or，3﹣2i D．﹣3+2i，or，﹣3﹣2i4．（3分）已知命题：“直线a上的两个点A、B在平面α内．”与它不等价的命题是（）A．直线a在平面α内B．平面α通过直线aC．直线a上只有两点在平面α内D．直线a上的所有点都在平面α内5．（3分）过点P（0，﹣2）与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条6．（3分）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名排在一起，但三名女生不能全排在一起的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：7．（3分）如图所示，两个平面α、β，若相交于一点P，则会发生什么现象：．8．（3分）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都在坐标轴上，过点A （3，0），则椭圆的方程是．9．（3分）焦点在x﹣y﹣1=0上的抛物线的标准方程是．10．（3分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是．11．（3分）椭圆+=1，若m、n∈{1，2，3，4，5，6}，则焦点在y轴上的不同椭圆有个．12．（3分）用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种．13．（3分）复数z满足，则|z|=．14．（3分）双曲线的焦点到渐近线的距离是．15．（3分）直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是．16．（3分）给出以下命题：（1）α，β表示平面，a，b，c表示直线，点M；若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则M∈c；（2）平面内有两个定点F1（0，3），F2（0﹣3）和一动点M，若||MF1|﹣|MF2||=2a （a＞0）是定值，则点M的轨迹是双曲线；（3）在复数范围内分解因式：x2﹣3x+5=；（4）抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6，则其坐标为P（3，±6）．以上命题中所有正确的命题序号为．三、解答题：每一道题按要求写出祥细的解答过程，否则不给分．17．（8分）已知z1，z2是实系数一元二次方程：x2+px+q=0的两个虚根，且z1，z2满足方程：2z1+iz2=1﹣i，求p，q的值．18．（8分）设n个人排成一排，若甲、乙两人相邻的排法种数是甲、乙之间至少有一人的排法种数的．求n．19．（8分）过双曲线的右焦点作直线L交双曲线于AB两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．20．（8分）一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点（如图），建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程．21．（8分）一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示．一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线．试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由．22．（12分）以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．若，点A的坐标为（t，0），t∈（0，+∞），点G的坐标为（m，3）．（1）若以O为中心，A为顶点的双曲线经过点G，求当取最小值时双曲线C的方程；（2）过点N（0，1）能否作出直线l，使l与双曲线C交于S，T两点，且OS⊥OT？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2007-2008学年上海市徐汇区零陵中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）n（n﹣1）（n﹣2）•…•4等于（）A．P n4B．n!﹣4! C．P n n﹣4D．P n n﹣3【解答】解：由题意，n（n﹣1）（n﹣2）•…•4=，故选D．2．（3分）方程xy2﹣x2y=2x所表示的曲线是（）A．关于y轴对称B．关于x+y=0对称C．关于原点对称D．关于x﹣y=0对称【解答】解：若（a，b）点在曲线上则ab2﹣a2b=2a令x=﹣a，y=﹣b，则（﹣a）（﹣b）2﹣（﹣a）2（﹣b）=﹣（ab2﹣a2b）=2（﹣a）即（﹣a，﹣b）点也在曲线上故方程xy2﹣x2y=2x所表示的曲线关于原点对称故选C3．（3分）求复数5+12i的平方根（）A．3+2i，or，3﹣2i B．3+2i，or，﹣3﹣2iC．﹣3+2i，or，3﹣2i D．﹣3+2i，or，﹣3﹣2i【解答】解：设复数5+12i的平方根为x+yi（x，y∈R）所以（x+yi）2=5+12i即x2﹣y2+2xyi=5+12i所以x2﹣y2=5，2xy=12解得x=3，y=2或x=﹣3，y=﹣2故选B4．（3分）已知命题：“直线a上的两个点A、B在平面α内．”与它不等价的命题是（）A．直线a在平面α内B．平面α通过直线aC．直线a上只有两点在平面α内D．直线a上的所有点都在平面α内【解答】解：直线上的两个点在平面内，则直线在平面内；则直线上的所有点在平面内；也是平面过直线．故选C5．（3分）过点P（0，﹣2）与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【解答】解：由题意可知点（0，﹣2）在抛物线y2=4x外故过点（0，﹣2）且与抛物线y2=4x只有一个公共点时只能是i）过点（0，﹣2）且与抛物线y2=4x相切，此时有两条直线．ii）过点（0，﹣2）且平行与对称轴，此时有一条直线．故选C．6．（3分）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名排在一起，但三名女生不能全排在一起的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：所有的排法为A77．满足条件的排法为：先把3个女生中取2个女生做一个整体，另一个单独作一个整体，方法有2C32种．再把4个男生任意排，有A44种方法，最后将女生这两个整体插入5个空中，共有A52种方法．故所求事件的概率等于=．故选A．二、填空题：7．（3分）如图所示，两个平面α、β，若相交于一点P，则会发生什么现象：两平面α、β相交于过P点的一条直线．【解答】解：当两个平面α、β，若相交于一点P，根据平面的基本性质知两个平面有一个公共点，则有一条直线公共直线∴两个平面α，β相交与过P点的一条直线，故答案为：两平面α、β相交于过P点的一条直线．8．（3分）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都在坐标轴上，过点A（3，0），则椭圆的方程是或．【解答】解：依题意可知点A为椭圆的一个顶点，若长轴在x轴上，则a=3，b==1则椭圆方程为若长轴在y轴上，则b=3，a=3b=9，则椭圆方程为，故答案为或9．（3分）焦点在x﹣y﹣1=0上的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=﹣4y．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0与x轴的交点是A（1，0）则以A为焦点的抛物线的标准方程为y2=4x直线x﹣y﹣1=0与y轴的交点是B（0，﹣1）则以B为焦点的抛物线的标准方程为x2=﹣4y故答案为：y2=4x或x2=﹣4y10．（3分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是28．【解答】解：由题意知：a=4，b=3，故c=5．由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|=8①，|BF2|﹣|BF1|=8②，①+②得：|AF2|+|BF2|﹣|AB|=16，所以|AF2|+|BF2|=22，所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28故答案为：2811．（3分）椭圆+=1，若m、n∈{1，2，3，4，5，6}，则焦点在y轴上的不同椭圆有15个．【解答】解：由于焦点在y轴上，故n＞m，当m=1时，n有5种情况；当m=2时，n有4种情况；当m=3时，n有3种情况；当m=4时，n有2种情况；当m=5时，n有1种情况，故共有15种情况，故答案为15．12．（3分）用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有240种．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步先给（3）涂色共有5种结果，第二步再给（1）（2）涂色共有4×3种结果，第三步给（4）涂色有4种结果，∴由分步计数原理知共有5×4×3×4=240故答案为：240．13．（3分）复数z满足，则|z|=．【解答】解：∵足，∴Z2﹣3Z+10=0∴Z=±i∴|z|=故答案为14．（3分）双曲线的焦点到渐近线的距离是1．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d=1．故答案为：1．15．（3分）直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是．【解答】解：由直线y=kx+2与双曲线方程联立，消去y（1﹣k2）x2﹣4kx﹣10=0∵x1x2＞0 所以﹣＞0所以k2＞1，即k＞1或者k＜﹣1又x1+x2＞0，所以＞0，可得k＜0∴k＜﹣1又△=（4k2）+40（1﹣k2）＞0解得，解得解得又由题意，直线与右支交于两点，由图象知k的取值范围是故答案为16．（3分）给出以下命题：（1）α，β表示平面，a，b，c表示直线，点M；若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则M∈c；（2）平面内有两个定点F1（0，3），F2（0﹣3）和一动点M，若||MF1|﹣|MF2||=2a （a＞0）是定值，则点M的轨迹是双曲线；（3）在复数范围内分解因式：x2﹣3x+5=；（4）抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6，则其坐标为P（3，±6）．以上命题中所有正确的命题序号为（1）（3）（4）．【解答】解：对于（1）根据平面的基本性质可知其正确；（2）先根据||MF1|﹣|MF2||=2a（a＞0）是定值，只有当2a＜F1F2可得到动点M的轨迹即是双曲线，否则点M的轨迹不是双曲线，故错；对于（3）在复数范围内分解因式：x2﹣3x+5=是正确的；对于（4）根据抛物线y2=12x可知p=6，准线方程为x=﹣6，根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=﹣6的距离，得x p=3，把x代入抛物线方程解得y=±6，故（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．三、解答题：每一道题按要求写出祥细的解答过程，否则不给分．17．（8分）已知z1，z2是实系数一元二次方程：x2+px+q=0的两个虚根，且z1，z2满足方程：2z1+iz2=1﹣i，求p，q的值．【解答】解：设z1=a+bi，则z2=a﹣bi，（a，b∈R）由已知得：2（a+bi）+i（a﹣bi）=1﹣i，∴（2a+b）+（a+2b）i=1﹣i，∴．∴z1=1﹣i，z2=1+i，由根与系数的关系，得p=﹣（z1+z2）=﹣2，q=z1•z2=2．18．（8分）设n个人排成一排，若甲、乙两人相邻的排法种数是甲、乙之间至少有一人的排法种数的．求n．【解答】解：n个人排成一排，若甲、乙两人相邻的排法共有2A N﹣1N﹣1甲、乙之间至少有一人的排法种数有A n n﹣2A N﹣1N﹣12根据题意，2A N﹣1N﹣1=（Ann﹣2AN﹣1N﹣1）解得，n=12答：n=1219．（8分）过双曲线的右焦点作直线L交双曲线于AB两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．【解答】解：双曲线的右焦点为（5，0），设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M（x，y），则，两式相减化简得，，又AB的斜率为，∴20．（8分）一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点（如图），建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程．【解答】解：以FO所在直线为x轴，线段FO的中垂线为y轴，建立直角坐标系．由题设，得：CD垂直平分线段MF，则有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10即|PO|+|PF|=10＞|OF|，所以点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆．方程为：，点P的轨迹方程为：；21．（8分）一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示．一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线．试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为：．令x=3，则代入椭圆方程，解得y=1.6，因为1.6+3=4.6＞4.2，所以，卡车能够通过此隧道．22．（12分）以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．若，点A的坐标为（t，0），t∈（0，+∞），点G的坐标为（m，3）．（1）若以O为中心，A为顶点的双曲线经过点G，求当取最小值时双曲线C的方程；（2）过点N（0，1）能否作出直线l，使l与双曲线C交于S，T两点，且OS⊥OT？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），，t ∈（0，+∞）即t=1时，取最小值，此时G（2，3），设双曲线C的方程为，则，∴取最小值时双曲线C的方程为．（2）若存在满足条件的直线l：y=kx+1（k≠0），设S（x1，y1），T（x2，y2），OS⊥OT⇒x1x2+y1y2=0（*）即x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，由由△＞0⇒k2＜4又代入（*）得：∴，即不存在满足条件的直线l．。

2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题含解析

2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题含解析

2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞C ．2(,]e eD ．(,1]-∞-2．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．[6,)+∞C ．(6,15]D ．(15,)+∞3．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是 A ．B A ⊆B ．A B A ⋃=C ．A B A =ID ．{}2A B ⋂=4．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）A B ．2C D ．5．已知集合M 满足{}1,2M ⊆n {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（） A ．932 B ．98C ．943D ．9597．直线340x y ++=的斜率为（ ） A ．13-B ．13C ．3-D ．38．在一组数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，12,,,n x x x L 不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为1-，则所有的样本点()(),1,2,,i i x y i n =L 满足的方程可以是（ ） A ．112y x =-+ B ．1y x =- C ．1y x =+D ．2y x =-9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，记12a f ⎛⎫⎛ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，31log 2b f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()20222x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6 个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．311,4e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．311,00,4e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．31,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭11．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v在CD uuu v方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．52C ．5D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 的前n 项和公式为22n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式为_________． 14．已知函数，若，则实数的取值范围是__________．15．用0，1，3，5，7这五个数字可以组成______个无重复数字的五位数. 16．设函数21()ln(2)2f x x b x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知命题2:7100,:(1)(1)0p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a > ）. （1）若2a = ，命题“p 或q ”为假，求实数x 的取值范围； （2）已知p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 在1C 上，点N 在2C 上，求MN 的最小值及此时M 的直角坐标. 19．（6分）在直角坐标平面内，直线l 过点P(1，1)，且倾斜角α＝4π.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．20．（6分）已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且()319f a +≤，求a 的取值范围.21．（6分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AP CP = ，O 是AC 的中点，1PO =，2OB =，5PB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若AC BC ⊥，3BC = ，D 是AB 的中点，求二面角P CD B --的余弦值． 22．（8分）（1）求函数()ln xf x x=的最大值； （2）若函数()xg x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】()ln g x x x =,()1ln g x x ='+,故函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增,()ln 1y f y y =+,()21ln y f y y -'=,故函数在()0,e 上递减.所以()()11e e 11g f g f ⎧⎛⎫⎛⎫<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪>⎩,解得0a ≤,故选B. 2．A 【解析】 分析：首先，由()()11f p f q p q+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，从而得到()211af x x x =->+'在()1,2内恒成立，分离参数后，转化成2231a x x >++在()1,2内恒成立，从而求解得到a 的取值范围.详解：Q()()11f p f q p q+-+-的几何意义为：表示点()()1,1p f p ++与点()()1,1q f q ++连线的斜率，Q 实数p ，q 在区间()0,1，故1p +和1q +在区间()1,2内，不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，∴函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在()1,2内恒成立， 由函数的定义域知1x >-，()211af x x x ∴=->+'在()1,2内恒成立， 即2231a x x >++在()1,2内恒成立，由于二次函数2231y x x =++在()1,2上是单调增函数，故2x =时，2231y x x =++在()1,2上取最大值为15，15a ∴≥.故选：A.点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题. 3．D 【解析】由已知得{}1234A =，，，，{}22B =-，，则{}2A B ⋂=，故选D. 4．B 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=．圆22(2)2x y +-=的圆心坐标为(0,2)，则圆心到渐近线的距离1d ==，∴1=，解得2ce a==． 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题． 5．B 【解析】 【分析】利用列举法，求得集合M 的所有可能，由此确定正确选项. 【详解】由于集合M 满足{}1,2M ⊆n {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能. 故选：B 【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题. 6．A 【解析】试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()1283242343399D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望 7．A 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率． 【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选A ． 【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-. 8．A 【解析】 【分析】根据相关系数的概念即可作出判断. 【详解】∵这组样本数据的相关系数为1-，∴这一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y 线性相关，且是负相关， ∴ 可排除D ，B ，C ， 故选A 【点睛】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题． 9．A 【解析】分析：根据x ＞0时f （x ）解析式即可知f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （x）为奇函数即可得出()b f =，然后比较1()32，和的大小关系，根据f （x ）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a ，b ，c 的大小关系． 详解：x ＞0时，f （x ）=lnx ； ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ∵f （x ）是定义在R 上的奇函数；1122b f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()f ；12＜＜，10(12＜；∴10()32＜＜；∴()()1(32f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜＜； ∴a ＜b ＜c ； 即c ＞b ＞a ． 故选A ．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 10．D 【解析】 【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点等价于当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 即可即m=f （x ）有3个不同的解，求出在每一段上的f （x ）的值域，即可求出m 的范围． 【详解】函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 则当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 令F （x ）=f （x ）﹣m=0， 即m=f （x ），①当0<x ＜2时，f （x ）=x ﹣x 2=﹣（x ﹣12）2+14， 当x=12时有最大值，即为f （12）=14， 且f （x ）＞f （2）=2﹣4=﹣2， 故f （x ）在[0，2）上的值域为（﹣2，14]， ②当x ≥2时，f （x ）=2x xe-＜0，且当x→+∞，f （x ）→0， ∵f′（x ）=3x x e -， 令f′（x ）=3x x e-=0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增，∴f （x ）min =f （3）=﹣31e， 故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣31e ，0）， ∵﹣31e ＞﹣2， ∴当﹣31e ＜m ＜0时，当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣31e＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D. 【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法. 11．A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 12．C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a ，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求． 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，直线210x y ++=的斜率为12-，由题意有112b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以2b a =，c ==，故离心率ce a==故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．43n a n =-【解析】 【分析】由1n n n a S S -=-，可得当2n ≥时的数列{}n a 的通项公式，验证1n =时是否符合即可. 【详解】当1n =时，2112111a S ==⨯-=,当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()222211n n n n =---+-43n =-，经验证当1n =时，上式也适合，故此数列的通项公式为43n a n =-，故答案为43n a n =- . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况. 14．【解析】 因为，所以函数f(x)为增函数，所以不等式等价于，即，故．15．96 【解析】 【分析】先排无重复数字的五位数的万位数，再排其余四个数位，运算即可得解. 【详解】解：先排无重复数字的五位数的万位数，有4种选择，再排其余四位，有44A 种选择，故无重复数字的五位数的个数为44496N A ==，故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合中的特殊位置优先处理法，属基础题.16．(,1]-∞- 【解析】分析：函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数等价于()()'022bf x x b x x x =-≥⇒≤++，从而可得结果. 详解：因为函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数，所以()()'022bf x x b x x x =-≥⇒≤++ ()211x =+-恒成立，因为()2111x +-≥-1b ∴≤-，实数b 的取值范围是故答案为(],1-∞-.点睛：本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）(,1)(5,)-∞-⋃+∞ (2 ) 4a ≥ 【解析】分析：（1）分别求出p q ，的等价命题，2513p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，，再求出它们的交集；（2）2511p x q a x a ⇔≤≤⇔-≤≤+，，因为p 是q 的充分不必要条件，所以[25][11]a a ⊆-+，，，解不等式组可得．详解：：（1）2710025p x x x -+≤⇔≤≤：，若211013a q x a x a x =--+-≤⇔-≤≤，：（）（） ，命题“p 或q ”为假，则命题“p 且q ”为真，取交集，所以实数x 的范围为[23]x ∈， ； （2）27100x x -+≤，解得2511011x q x a x a a x a --+-≤⇔-≤≤+＜＜，：（）（）， 若p 是q 的充分不必要条件，则[25][11]a a ⊆-+，， ，则 1214514a aa a a⎧-≤-≤⎧⇒⇒≤⎨⎨≤+≤⎩⎩ .点睛：本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1）1C 的普通方程为：2215x y +=，2C 的直角坐标方程为：160x -=（2）MN 的最小值为8，此时M 的直角坐标为4⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.（2）最小值为点到直线的距离，()d α=再根据三角函数求最值.【详解】（1）1C ：()()2222cos s 1in y αα=++=，化简：2215x y +=. 2C ： cos cos sin sin 833ππρθρθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，化简可得：160x -=.所以1C 的普通方程为：2215x y +=，2C 的直角坐标方程为：160x -=；（2）由题意，可设点M 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线， 所以MN 的最小值，即为M 到2C 的距离()d α的最小值，利用三角函数性质求得最小值.()d α=()088αααα⎫=--=+-⎪⎪⎭，其中0cos 4α=，0sin 4α=，当且仅当cos 4α=，sin 4α=-时，()d α取得最小值，最小值为8，此时M 的直角坐标为,4⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用三角函数求最小值可以简化运算.19．（1）x 2＋y 2－4y ＝0.（2）2【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）设直线参数方程，与圆方程联立，根据参数几何意义以及韦达定理得|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2.试题解析：(1)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2－4y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)由题意，得直线l 的参数方程为(t 为参数)．将该方程代入圆C 的方程x 2＋y 2－4y ＝0， 得＋－4＝0， 即t 2＝2，∴t 1＝，t 2＝－. 即|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2. 20． (1) 偶函数.(2)见解析.(3) [0,2].【解析】【分析】(1)利用赋值法得到()()f x f x -=，即得函数的奇偶性.(2)利用函数单调性的定义严格证明.(3)先求出()339f =，再解不等式()()13f a f +≤.【详解】（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=， ()f x 为偶函数.（2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数. （3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()33393,39,19,13f f f a f a f ⎡⎤==+≤∴+≤⎣⎦Q ∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.【点睛】(1)本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性的证明，考查函数的图像和性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.21． (1)证明见解析；(2) 3010- 【解析】 【分析】 （1）利用PO ⊥AC ，OP 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥OB ．可证明PO ⊥面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ； （2）由（1）得PO ⊥面ABC ，过O 作OM ⊥CD 于M ，连接PM ，则∠PMO 就是二面角P ﹣CD ﹣B 的补角．解三角形POM 即可．【详解】（1）∵AP ＝CP ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC ，∵PO ＝1，OB ＝2，5PB =．∴OP 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥OB ．∵AC∩OB ＝O ，∴PO ⊥面ABC ，∵PO ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；（2）由（1）得PO ⊥面ABC ，过O 作OM ⊥CD 于M ，连接PM ，则∠PMO 就是二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角的补角．∵OC 22OB CB =-=1，∴AC ＝2，AB 347=+=，∴CD 1722AB ==． ∴S △COD 111323442ABC S ==⨯⨯⨯=V ∴132CD OM ⋅=，∴OM 37=．PM 22107OM OP =+=． ∴310OM cos PMO PM ∠== ∴二面角P ﹣CD ﹣B 的余弦值为3010-．【点睛】本题考查了空间面面垂直的证明，空间二面角的求解，作出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题． 22． (1)1e (2) a e > 【解析】【分析】（1）求出()21ln 'x f x x-=．利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值；（2）分情况：①在0a =时，②在0a <时，③在0a >时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数．【详解】（1）对()ln x f x x =求导数，()21ln 'x f x x -=． 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数，∴()()1f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e． （2）①在0a =时，()x g x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点．②在0a <时，()x g x e ax =-在R 上单增，又()010g =>，1110a g e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在R 上只有一个零点．③在0a >时，由()'0xg x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-． 若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点，若a e =，()0g x 极小=，()g x 只有一个零点，若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而()010g =>．由（1）可知，()ln x f x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20a g a e a =->．∴()g x 在()0,ln a 与()ln ,a +∞上各有一个零点．综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数，另一个是含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．。

上海市徐汇区零陵中学高二数学下学期期末考试试题苏教

上海市徐汇区零陵中学高二数学下学期期末考试试题苏教

2013学年第二学期高二年级数学学科期终考试试卷（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。

）一、 填空题（本大题共14道小题，每小题3分，满分42分）1. 计算：34565!P C += 2．已知43z i =-+，则2z -=3. 计算：201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭4. 设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是实数，其中i 是虚数单位，则m =5. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．6. 若球1O 与2O 的体积之比122V V =，则它们的表面积之比12SS = 7. 圆柱的侧面展开图是边长为2π和3π的矩形，则圆柱的体积为8. 设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = ．9. 若()776761031x a x a x a x a -=+++L 则7610a a a a +++=L10. 若圆锥的全面积是底面积的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是 ．11. 有()*n n N ∈件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品必须排在一起的不同排法有48种，则n =12. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．13. 用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数共有 个14．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将两个新节目插入原节目单中，则不同的插入种数为二、选择题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）15．如果直线a 和直线b 是异面直线，直线//c a ，那么直线b 与c ( ) A. 异面 B. 相交 C.平行 D. 异面或相交 16．复数z 和它的共轭复数z 在复平面内所对应的点关于（ ）对称 A.原点 B.实轴 C.虚轴 D.直线x y =17．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的 ( )A.内心B.外心C.垂心D.重心 18．以下命题：()1z z -是纯虚数 ()12122z z R z z +∈⇔=()121230z z z z ->⇔> ()4z R z z ∈⇔= ()50z z z ⇔+=为纯虚数其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、 解答题（本大题共5道小题，满分46分）19．(8分)已知53n n P nP =，求n20.（8分）已知复数()z a bi a b R +=+∈、是方程2450x x -+=的根，复数()3u i u R ω=+∈满足z ω-<，求u 的取值范围。

上海市2020〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷第二学期期末联考试题

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上海市2020年〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷第二学期期末联考试题创作人：百里第次创作日期：202X.04.01审核人：北堂进行创作单位：明德智语学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数满足，则的虚部为A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】，虚部为．【考点】复数的运算与复数的定义．2. 已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以=3. 设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可知，b⊥m⇒a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图，显然平面α与平面β不垂直。

所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内。

直线b在平面β内，且b⊥m，则“”是“”的必要不充分条件。

故选B.4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵当时，，∴命题为假命题；∵，图象连续且，∴函数存在零点，即方程有解，∴命题为真命题，由复合命题真值表得：为假命题；为真命题；为假命题；为假命题.选故B....考点：1、复合命题的真假判断；2、指数函数；3、函数与方程.5. 与直线关于x轴对称的直线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：7. 若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得双曲线的渐近线为：，与圆至多有一个交点，则,由，故选C8. 设x，y满足约束条件则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出如图：则表示阴影区域点与原点的连线的斜率，故9. 若抛物线上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】试题分析：，即，代入抛物线中，，所以或.∴或.考点：1.抛物线的焦点；2.抛物线的对称轴；3.抛物线的标准方程.10. 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。

上海市2020〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷试题

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上海市2020年〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷试题创作人：百里第次创作日期：202X.04.01审核人：北堂进行创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A．存在一个能被2整除的数不是偶数B．存在一个不能被2整除的数是偶数C．所有不能被2整除的数都是偶数D．所有能被2整除的数都不是偶数3．已知随机变量x服从正态分布，且A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．由曲线所围成图形的面积为A． B． C． D．5．双曲线的实轴长是A． B．4 C． D．26．若，则的解集为( )A． B． C． D．7. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( ) A．60种 B．42种 C．36种 D． 16种8．设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数，且 f ( x) 满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若f(1) < 1成立，则f(10) <100 成立Ｂ．若f (2) < 4成立，则 1 (1) f ³成立Ｃ．若 f (3)>=9成立，则当k>=1时，均有成立Ｄ．若f (4)>=25成立，则当 4 k³时，均有成立二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知向量，则．10．在的二项展开式中，第4项的系数为．11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了10枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用在10箱子中各任意检查一枚的方法来检测，国王能发现至少一枚劣币的概率为．12．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件．13．设函数，已知, , ,,根据以上事实，由归纳推理可得：当，且时， = ．14.抛物线的焦点为F，点A(0, 2) ，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线焦点的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）求函数的极值.16.（本小题满分12分）已知动点M在直线l : y= 2的下方，点M到直线l的距离与到定点 N(0, -1)的距离之和为4，求动点M的轨迹方程.17．（本小题满分14分）设，图像的一条对称轴是.（1）求的值；（2）证明：对任意实数c，直线与函数的图象不相切．18.（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD中，AB/ / CD，AD=DC=CB=1，，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF= 1.（1）求证：平面ACFE；（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB 与平面FCB所成的二面角为，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分14分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（3）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？20.（本小题满分14分）如图，已知椭圆的方程为，圆的方程为，斜率为的直线过椭圆的左顶点A，且与椭圆、圆分别相交于B，C.（1）若 = 1时，B为线段AC的中点，求椭圆的离心率e；（2）若椭圆的离心率e=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；（3）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A D C B B A Ｄ9． 13；10．40-；11．0.651； 12．９；13．(21)2n nxx -+； 14.324. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）求函数31()391()f x x x x -+∈=R 的极值. 【解】因为31()391()f x x x x -+∈=R ，所以29(3))')((3x x f x x -=-+= ... 2分令'()0f x =，解得3x =-，或3x =. ........................ 3分 由'()0f x >，得3x <-，或3x >；由'()0f x <，得33x -<<． · 4分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：zxxkx(),3-∞-3-(3,3)- 3 (3,)+∞ '()f x+0 -+()f x 单调递增19单调递减17- 单调递增（单调区间列，每列对一列记1分；两个极值点值，全列对记１分） ······················· 8分因此当3x =-时， ·················· ９分()f x 有极大值，极大值为(3)19f -=；·········· 10分当3x =时， ····················· 11分()f x 有极小值，极小值为(3)17f =-.·········· 12分16.（本小题满分12分）已知动点M 在直线:2l y =的下方，点M 到直线l 的距离与定点(0,1)N -的距离之和为4，求动点M 的轨迹方程.【解】设动点M 的坐标为(,)M x y ． ··········· 1分 因为点M 在直线:2l y =的下方，所以2y <，依题意有22(1)|2|4x y y +++-=.................................... 4分 （评分说明：两个距离写对一个即计1分，写对两个记２分.）因为2y <，所以22(1)2x y y ++=+ ........................ 6分 平方化简得231()2y x -=， ............................... 8分 因为2y <，所以21()223x -<， ........................... 9分 解得77x -<<， ..................................... 10分 所以所求的轨迹方程为21()(77)32y x x =-<<-. ............ 12分 （评分说明：未注明x 的取值范围或取值范围错误均要扣1分.）17．（本小题满分14分）设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）证明：对任意实数c ，直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切．【解析】（1）由对称轴是8π=x ，得sin()14πϕ+=±，2分（评分说明：1±处遗漏一个记1分.）即42k ππϕπ+=+. ·················· 3分所以()4k k πϕπ=+∈Z . ················ ４分而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-．6分（2）因为3()sin(2)4f x x π=-.所以3()2cos(2)4f x x π'=-， ··············· 8分 2≤························· 10分 而直线025=+-c y x 的斜率522k =>， ·········· 12分 所以直线025=+-c y x 不是函数)(x f y =的切线．14分 18.（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，o 60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）若点M 在线段EF 上移动，试问是否存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为o 45，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解】（1）证明：在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，o 60ABC ∠=，所以2AB =， ···················· １分2222cos 603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=，2分所以222AB AC BC =+， 所以AC BC ⊥，3分又平面ACFE ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ， ·· 4分 所以BC ⊥平面ACFE .5分（2）由（1）知,,AC BC CF 两两互相垂直，以C 为坐标原点，,,AC BC CF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，···· 6分则,A B 的坐标分别为(0,1,0)A B ，设M 的坐标为(,0,1)M a ，则(3,1,0),(,1,1)AB BM a =-=-，7分设(,,)m x y z =是平面AMB 的法向量，则30m AB y m BM ax y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩（评分说明：列对一个各记1分）9分取1x =，得(1,3,)m a =，10分显然(1,0,0)n =是平面FCB 的法向量，11分 于是cos ,m n <>==分 化简得22)0a +=，此方程无实数解， ··························· 13分所以线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成二面角为45︒．14分19．（本小题满分14分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．]某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5 监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（3）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．【解】（1）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，························· 1分记“15 天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，························· 2分则12411315C C C 44()91P A ==⋅．4分6 38 7 9 8 6 3 9 2 5（2）ξ的可能值为0，1，2，3.0351031524(C 0)C 91C P ξ===，1251031545(C 1)C 91C P ξ===， 2151031520(2)91C C P C ξ===，305103152(3)91C C P C ξ===.（评分说明：对一个各记1分）8分所以ξ的分布列为ξ123P2491 4591 2091291（评分说明：列对两个各记1分）··························· 10分2445202012391919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯．··························· 11分1=12分（3）15天的空气质量达到一级或二级的频率为102153=,2124333365⨯=，··························· 13分所以估计一年中有243天空气质量达到一级或二级. ··························· 14分（说明：答243天，244天不扣分）20.（本题满分14分）如图，已知椭圆1E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，圆2E 的方程为222x y a +=，斜率为1k 的直线1l 过椭圆1E 的左顶点A ，且与椭圆1E 、圆2E 分别相交于B ，C .（1）若11k =时，B 为线段AC 的中点，求椭圆1E 的离心率e ； （2）若椭圆1E 的离心率e =12，2F 为椭圆的右焦点，当2||||2BA BF a +=时，求1k 的值；（3）设D 为圆2E 上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为2k ，当2122k b k a =时，直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解】（1）当11k =时，点C 在y 轴上，且点C 的坐标为(0,)C a ，则点B 的坐标为,22a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，························· 1分由点B在椭圆上，得2222()()221a a a b -+=，··························· 2分所以2213b a =，3分22222213e c b a a ==-=，所以e 63=.4分（2）设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆的定义知12||||2BF BF a +=， 所以1||||BF BA =，··························· 5分即B 在线段1AF 的中垂线上，所以2B a cx +=-，6分 又因为1e 2c a==，所以13,22c a b a ==， 所以34B x a =-，代入椭圆方程得72148B b y a ±=±=，7分所以1212B B y k x a ==+±.8分 （3）法一：由12222(),1,y k x a x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩9分得2222122()0k x a x a a b +-+=，所以x a=-，或22212221()a b k a x b a k -=+，··························· 10分所以B x a≠-，所以22212221()B a b k a x b a k -=+，则21122212()B B ab k y k x a b a k =+=+．··························· 11分由2222()y k x x aa y +==+⎧⎨⎩，得22222(0)x a k x a ++-=得x a =-，或2222(1)1a k x k -=+， 易得2222222(1)2,11D D a k ak x y k k -==++，··························· 12分当2122k b k a =时，222242222422222222222222()()2,B B b b a b k a a ab k a x y b a a b k k ak b k b -==-+=++，22222222222222222222222211()(1)1BDb k b ab k ak a k k a a a a k k b k k k -+==--++--+，··························· 13分所以BD AD ⊥．因为2E 为圆，所以ADB ∠所对圆2E 的弦为直径，从而BD 经过定点(,0)a ．··························· 14分法二：直线BD 过定点(,0)a ，6分 证明如下： 设(,0)P a ，(,)B B B x y ，则22221(0)B B x y a b a b+=>>，···························8分22222212222222()1B B B AD PBPB B B B y y y a a a a b k k k k b b x a x a b x a b a==⋅⋅=⋅=-=-+--，10分 所以PB AD ⊥，12分又PD AD ⊥，所以三点,,P B D 共线，即直线BD 过定点(,0)P a ． ··························· 14分。

2020-2021学年上海市徐汇区高二下学期期末数学试题(解析版)

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2020-2021学年上海市徐汇区高二下学期期末数学试题一、单选题1．在正方体1111ABCD A BC D -中，1AB 和1BC 所成角的大小是（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C【解析】利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到11B AD ∠为异面直线1AB 和1BC 所成角，进而在三角形11AB D 中求解. 【详解】如图所示，连接111,AD B D ，∵11//AB C D ,11 AB C D =,四边形11ABC D 为平行四边形，∴11AD //BC ，∴11B AD ∠为异面直线1AB 和1BC 所成角（或其补角），由于11AB D 是等边三角形，∴113B AD π∠=，故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，涉及正方体的性质，属基础题. 关键在于利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到异面直线所成的角，进而在相应三角形中求解. 2．已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．线段C ．圆D ．椭圆【答案】B【解析】根据椭圆的定义即可得解； 【详解】解：对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段．故选：B ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题．3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．22+ B ．122C ．222+ D ．12+【答案】A【解析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案. 【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中OABC 为直角梯形，2OC =，1BC =，21OA =+.故22S =+. 故选：A .【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.4．如图，点A 是曲线22(2)y x y +≤上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C .则下列判断：①||||AP AQ -为定值22||||QB BC +为定值5.其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①都错误，②正确【答案】A【解析】曲线22(2)y x y =+≤的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定,P Q 正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将BQ 转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.【详解】曲线22(2)y x y =+≤两边平方，得222y x -=，为双曲线22122y x -=22y ≤的部分，(0,2)P -，(0,2)Q 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，知||||||22A P A Q -=||||A P A Q >，∴||||22A P A Q -= 曲线218y x =即抛物线28x y =，其焦点为(0,2)Q ，准线方程为2y =-， 由抛物线定义，知||||||||||5QB BC BD BC CD +=+==，②正确； 故选：A . 【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，方程，属中档题，关键是利用双曲线和抛物线的定义进行转化求解.二、填空题5．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【解析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2 【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．抛物线24y x =的准线方程为_____． 【答案】1x =-【解析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程。

上海市2020〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷10

上海市2020〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷10

上海市2020年〖苏科版〗高二数学下册期末复习试卷创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}02．若1n i =-（i 为虚数单位，且*n N ∈），则n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．函数()()2log 1f x x =+的定义域是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,-+∞C ．[1,)+∞D ．[1,)-+∞4．下列结果错误．．的是（ ）A ．()ln x x a a a '=B ．()1n n x nx -'=C ．()1ln x x'= D ．()cos sin x x '=5．已知点M 的极坐标是52,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的直角坐标是（ ）A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()3,1- 6．已知椭圆C 的焦点在y 轴上，点()0,10A -在C 上，且C 的离心率0.6e =，则C 的方程是（ ） A ．2212516y x += B ．2212516x y += C ．22110064y x += D ．22110064x y += 7．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，则它的前5项和5S =（ ）A ．31B ．62C ．318 D ．31168．若某双曲线的焦点在x 轴上，且实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．35y x =±D ．45y x =± 9．函数()213sin 224f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数10．以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）①0x ∀>，都有1ln 2ln x x+≥；②0x ∀>，都有2x x+≥； ③()0,x π∃∈，使得1sin 2sin x x+≤；④x R ∃∈，使得2239x ≤+．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11．从a ，b ，c ，d 四人中任选两人，a 被选中的概率是． 12．曲线x y e =在点()1,A e 处的切线方程为．13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若1a =，3b =，2A B C +=，则c 边的长是．14．抛物线2x ay =的焦点与圆C ：2280x y y ++=的圆心重合，则a 的值是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）求函数()2132ln 2f x x x x =-+的单调区间和极值．16．（14分）已知动点P 到两定点()3,0A -、)3,0B 的距离之和为定值25（1）求P 的轨迹方程；（2）若倾斜角为4π的直线l 经过点()1,0-，且与P 的轨迹相交于两点T 、S ，求弦长TS ．17．（14分）已知()cos cos 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）设α、,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，33245f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，52413f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ+．18．（14分）如图，已知三棱锥A PBC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB △是正三角形． （1）求证：DM ∥平面APC ； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积． 19．（14分）已知a 是实数，函数())f x x x a =-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()g a 为()f x 在区间[]2,0上的最小值．（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（ ）0a b >>，直线l 为圆O ：222x y b +=的一条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e ．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）若直线l 的倾斜角为6π，求e 的大小；（3）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上．若存在，求出e 的大小；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：CABDACCBDB 二、填空题： 三、解答题：15．（12分）求函数()2132ln 2f x x x x =-+的单调区间和极值． 解：()f x 的定义域为{}|0x x >．……2分()22323x x f x x x x-+'=-+=，……4分由()223230x x f x x x x-+'=-+=>，得2320x x -+>，即2x >或01x <<；由()0f x '<，得12x <<．……8分所以()f x 的递增区间是()0,1、()2,+∞，递减区间是()1,2．……10分由单调性可知，()f x 在1x =处取得极大值()512f =-，在2x =处取得极小值()22ln 24f =-．……12分16．（14分）已知动点P 到两定点()A 、)B 的距离之和为定值25．（1）求P 的轨迹方程；（2）若倾斜角为4π的直线l 经过点()1,0-，且与P 的轨迹相交于两点T 、S ，求弦长TS ．解：（1）依题意可知P 的轨迹是以()3,0A -、()3,0B 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则有5a =，3c =，∴2222b a c =-=， 故P 的轨迹方程是22152x y +=．……7分（2）l 的方程是1y x =+．设()11,T x y ，()22,S x y ， 由221152y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得271050x x +-=， 故弦长()()221212280430277TS x x y y =-+-==．……14分17．（14分）已知()cos cos 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）设α、,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，345f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，413f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ+．解：()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭．……4分（1）121243f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6分 （2）∵()34f πααπα⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭3cos 5α=．又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=-．∵4213f ππβββ⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5sin 13β=-．又,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴12cos 13α=． 故()3124516cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⨯---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……14分 18．（14分）如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB △是正三角形． （1）求证：DM ∥平面APC ； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积．CP解：(1)∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD//AP ，又∴MD ⊄平面ABC ∴DM//平面APC ．……4分(2)∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点．∴MD ⊥PB ．又由（1）∴知MD//AP ，∴AP ⊥PB ． 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ．∴BC ⊥平面APC ，∴平面ABC ⊥平面PAC ，……8分 （3）∵AB=20∴MB=10 ∴PB=10又BC=4，.2128416100==-=PC∴.2122124414121=⨯⨯=⋅==∆∆BC PC S S PBC BDC又MD .351020212122=-==AP ∴V D-BCM =V M-BCD =710352123131=⨯⨯=⋅∆DM S BDC ……14分19．（14分）已知a 是实数，函数())f x x x a =-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()g a 为()f x 在区间[]2,0上的最小值．（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-．（1）解：函数的定义域为[0)+∞，，()f x '==（ ）0x >若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，． 若0a >，令()0f x '=，得3ax =， 当03a x <<时，()0f x '<， 当3a x >时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．……4分 （2）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增，所以()(0)0g a f ==．若06a <<，()f x 在03a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，所以()(2))g a f a ==-．综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪⎪=<<⎨-，≤，，，≥．……10分 （ii ）令6()2g a --≤≤．若0a ≤，无解． 若06a <<，解得36a <≤．若6a ≥，解得6232a +≤≤．故a 的取值范围为3,232⎡⎤+⎣⎦．……14分20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（ ）0a b >>，直线l 为圆O ：222x y b +=的一条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e ．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围； （2）若直线l 的倾斜角为6π，求e 的大小；（3）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上．若存在，求出e 的大小；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此c b ≥．∴22c b ≥，即222c a c ≥-，也即2212c a ≥，解之可得212e ≤<．……2分（2）依题意，设直线l ：()33y x c =-，由l 与圆222x y b +=相切得 233313c b =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即224c b =，创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 ∴()2224c a c =-，解得255e =．……7分（3）设原点关于直线l 对称的点为(),M x y ，则M 到原点的距离为2b ，M 到焦点(),0F c 的距离为c ．由()()2222222x y b x c y c⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩……9分 创作人：百里第次创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行 创作单位： 明德智语学校。

上海市徐汇区2020-2021学年高二下学期期末数学试题

上海市徐汇区2020-2021学年高二下学期期末数学试题

上海市徐汇区2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．双曲线22195x y -=的焦距为____________ 2．若一个球的表面积为π，则该球的半径为____________3．若直线1x y +=与直线()2140m x my ++-=平行，则实数m 的值为____________ 4．已知长方体1111ABCD A BC D -的棱1AA ，AB 和AD 的长分别为3cm 、4cm 和5cm ，则棱AB 到平面1111D C B A 的距离为____________cm5．已知p 、q 都是实数，23-+i 是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则p q -的值为____________6．直线:10l x y +-=与圆22:4C x y +=交于A 、B 两点，则AB =____________7．设实数,x y 满足00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y +的最大值为____________8．二项式102⎛+ ⎝x 的展开式中的常数项为____________ 9．圆锥的高为1____________ 10．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB =，1AA E 为AB 上的动点，则1D E CE +的最小值为____________.11．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________12．已知实数,x y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是____________二、单选题 13．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面14．设0a <且b <0，则直线bx ay ab +=的倾斜角为（ ）A ．arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．arctan ⎛⎫- ⎪⎝⎭a bC ．arctan b a π-D ．arctan a bπ- 15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A B C D 16．设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ）A ．①错，②对B ．①对，②错C ．①②都错D ．①②都对三、解答题17．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数2i z m =-．（1）若()12i z ⋅-为实数，求m 的值；（2）若z 为复数z 的共轭复数，若复数z z 在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．18．已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=.（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）19．2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和1米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =，点F 是PB的中点，点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥E PAD -的体积；(2)证明：无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE .21．已知直线1:3l y x t =+与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B 两点，且(P 在直线l 的上方（如图所示）.（1）求常数t的取值范围；（2）若PAB△的面积最大，求直线PA的斜率的大小．参考答案1．【分析】根据双曲线的方程求出c ，再求焦距2c 的值.【详解】 因为双曲线方程为22195x y -=，所以29514c =+=，c双曲线22195x y -=的焦距为.故答案为：.2．12【分析】设球的半径为R ，代入球的表面积公式得答案．【详解】解：设球的半径为R ，则24R ππ=，得214R =，即12R =或12R =-（舍去）． 故答案为：12．3．2-【分析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可．【详解】解：因为直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行， 所以2(1)4111m m +-=≠-， 解得2m =-．故答案为：2-．4．3【分析】由长方体1111ABCD A BC D -得，1AA⊥平面111A B C D ，再由//AB 平面111A B C D 得，棱AB 到平面111A B C D 的距离为13AA =cm.【详解】依题意作图，在长方体1111ABCD A BC D -中，有1AA⊥平面111A B C D ， 又//AB 平面111A B C D ，所以棱AB 到平面111A B C D 的距离为13AA =cm.故答案为：3.5．-18【分析】由题得23-+i+(23--i)=2p -，(23-+i)(23--i)=2q ,即得解. 【详解】由题得23--i 是关于x 的方程220x px q ++=的另外一个根，所以23-+i+(23--i)=2p -，(23-+i)(23--i)=2q , 所以8,p =26q =.所以18p q -=-.故答案为：18-6【分析】先求出圆心C 到直线的距离，即得解.【详解】圆22:4C x y +=的圆心为原点，半径为2.由题得圆心C 到直线的距离为d =所以AB =7．4【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图OAB 内部（含边界），作直线:0l x y +=，在z x y =+中，z 为直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大．平移直线l ，当直线过点(0,4)A 时，z x y =+4=为最大值．故答案为：4．8．45256【分析】写出二项展开式通项，令x 的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】 二项式102⎛ ⎝x 的展开式通项为()52010221101012k kk k k k k T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令52002k -=，解得8k ， 因此，展开式中的常数项为88910145=2256T C ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. 故答案为：45256. 9．2【分析】 求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值．【详解】如图，SAB 是圆锥轴截面，SC 是一条母线，设轴截面顶角为θ，因为圆锥的高为1tan 2θ(0,)θπ∈， 所以23θπ=，232ππθ=>，设圆锥母线长为l ，则2l =，截面SBC 的面积为211sin sin 22S SB SC BSC l BSC =⋅∠=∠， 因为2(0,]3BSC π∠∈，所以2BSC π∠=时，2max 1222S =⨯=． 故答案为：2．10【分析】将平面11ABC D 与平面ABCD 延展至同一平面，由C 、E 、1D 三点共线可求得1D E CE +的最小值.【详解】如下图所示，将平面11ABC D 与平面ABCD 延展至同一平面，12AD =，延展后113DD AD AD =+=，1CD =，由勾股定理可得1CD ==由图形可知，当C 、E 、1D 三点共线时，1D E CE +【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11．350【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.【详解】所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有44442=18++++个，分别为109,190,901,910;208,280,802,820;307,370,730,703;406,460,604,640;505,550；②含有两个相同数字的，共有3333=12+++个，分别为181,118,811;226,262,622;334,343,433;442,244,424；③不含0且没有相同数字的，共有334=24A ⨯个，分别为127,172,217,271,712,721;136,163,316,361,613,631;145,154,415,451,514,541;235,253,325,352,523,532,从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率54390050P ==. 故答案为:35012．)4⎡⎣【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.【详解】当0,0x y >>，表示椭圆2213y x +=第一象限部分； 当0,0x y ><，表示双曲线2213y x -=第四象限部分； 当0,0x y <>，表示双曲线2213y x -+=第二象限部分； 当0,0x y <<，2213y x --=不表示任何图形；以及()(1,0,两点，作出大致图象如图：40y +-=的距离为d =，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是y =，40y +-=距离为2，40y +-=的距离为d =小于且无限接近2，考虑曲线第一象限的任意点设为()cos ,0,2P πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭40y +-=的距离d =，当4πθ=时取等号，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭，4y +-的取值范围是)4⎡⎣故答案为：)4⎡⎣ 13．D 【详解】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D. 考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 14．C 【分析】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角． 【详解】由题意，直线的斜率为bk a=-0<，设直线倾斜角为θ，则θ为钝角， 所以arctan arctan b b a a θππ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．故选：C ． 15．C 【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO =由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 16．D 【分析】根据点的对称性可知四边形ABCD 是矩形，结合矩形的面积公式和外接圆的面积公式可求. 【详解】因为动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ），所以四边形ABCD 是矩形；不妨设0,0m n >>，则矩形ABCD 的面积为4mn ，因为22491m n +=，所以2249121m n mn=+≥=，即12mn ≥，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；所以矩形ABCD 的面积最小值为48.四边形ABCD所以四边形ABCD 外接圆的面积为()22m n π+，因为22491m n +=，所以()()222222222249491325n m m n m n m n m n π⎛⎫⎛⎫π+=π++=++≥π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2218,8n m ==时等号成立； 故选：D. 【点睛】本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 17．（1）1-；（2）(),2-∞-. 【分析】（1）由复数乘法法则化简后，由复数的分类求解；（2）求出zz，得出对应点的坐标，由点在第四象限得不等式，从而求得m 的范围．【详解】（1）()212i (2i)(12i)2i 2i 4i (4)2(1)i z m m m m m ⋅-=--=--+=--+是实数，则2(1)0m -+=，1m =-；（2）2222222i (2i)44i 44i 2i (2i)(2i)444z m m m m m mz m m m m m m ++-+-====+--++++，它对应的点在第四象限， 所以222404404m m m m ⎧->⎪⎪+⎨⎪<⎪+⎩，解得2m <-．即m 的范围是(,2)-∞-．18．(1)4(1π;(2). 【详解】试题分析：（1）圆锥的全面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积之和，根据圆锥的侧面积公式rl π求得面积，代入相加即得，（2）先根据线面垂直判定定理得OC ⊥平面AOB ，即得CDO ∠是直线CD 与平面AOB 所成角，再解三角形CDO 得直线CD 与平面AOB 所成角的大小.试题解析：（1）圆锥的底面积214S r ππ==圆锥的侧面积2S rl π==圆锥的全面积(1241S S S π=+=.（2）2BOC π∠=OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOBCDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角在Rt CDO 中，2OC =,OD =tan CDO ∠=CDO ∴∠=所以，直线CD 与平面AOB 所成角的为 19．73米【分析】以抛物线的顶点O 为坐标原点，抛物线在顶点O 处的切线为x 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，将4x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】以抛物线的顶点O 为坐标原点，抛物线在顶点O 处的切线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意可知，点()6,6-在该抛物线上，所以，2612p =，解得3p =，故抛物线的方程为26x y =-，将4x =代入该抛物线的方程得24863y =-=-，因此，所搭建舞台的最大高度为876133--=.故所搭建舞台的最大高度为73米. 20．（1）13E PAD V -=；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意，得到112∆=⋅=EAD S AD AB ，再由13--∆==⋅E PAD P EAD EAD V V S PA ，即可求出结果；（2）根据线面垂直的判定定理，证明AF ⊥平面PBC ，进而可得出结论成立. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =， 所以112∆=⋅=EAD S AD AB ， 所以1133--∆==⋅=E PAD P EAD EAD V V S PA ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 又因为1==PA AB ，且点F 是PB 的中点， 所以⊥AF PB ；又PA BC ⊥，BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ；又AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥； 由BC AFAF PB PB BC B ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩可得AF ⊥平面PBC ； 又PE ⊂平面PBC ，所以无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE . 【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及线线垂直的证明，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.21．（1）()-；（2【分析】（1）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆>结合点P 在直线l 上可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出PAB △的面积关于t 的表达式，利用基本不等式求出PAB △的面积的最大值，求出t 的值，进一步求出点A 的坐标，即可得出直线PA 的斜率.【详解】（1）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22131364y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22269360x tx t ++-=（*）， 由题意可得()()2223689363680t t t ∆=--=->，解得t -<因为点(P 在直线l13t ⨯，解得0t <，综上所述，实数t的取值范围为()-；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得123x x t +=-，2129182t x x =-，12x x -12AB x =-，点P 到直线l的距离为d =所以，221182224PABt t S AB d t +-=⋅==≤=△， 当且仅当228t t =-时，即当2t =-时，等号成立，所以，方程（*）为260x x -=，由图可知12x x <，则10x =，12y =-，即点()0,2A -，故直线PA的斜率为PA k ==【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。

高二数学下学期期末试卷苏教版

高二数学下学期期末试卷苏教版

高二数学下学期期末试卷苏教版(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除一、填空题：1.复数311i ii +-+的值是 _ 2．在ABC Rt ∆中，,,,900a BC b AC C ===∠则ABC ∆外接圆的半径222b a r +=，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为,,,c b a 则其外接球的半径为R 等于 _3．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=421x A 可逆，则x 的取值范围为 4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 _5．已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 _6．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是 ；7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则)1(=ξP =8．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 9．参数方程 231141t x t ty t -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，化成普通方程是 10．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）11．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4132λB ，且1)det(-=B ,则λ= 12．如右图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．13.若直线 x + y = m 与圆,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (φ为参数，m >0)相切，则m 为 ．14.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 __ 行；第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………二、解答题：15．（1）已知12121z z z z ==-=,求12z z +的值；（2）设复数z 满足1z =,且z i •+)43(是纯虚数,求z -.16.若矩阵M 有特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011e ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102e 且它们所对应的一个特征值为1,221-==λλ（1）求矩阵M 及其逆矩阵1-M ；（2）求1-M 的特征值及特征向量；（3）对任意的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，求α100M 。

2020年下海市徐汇区数学高二第二学期期末考试试题含解析

2020年下海市徐汇区数学高二第二学期期末考试试题含解析

2020年下海市徐汇区数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设椭机变量X ～N(3,1)，若P(X ＞4)＝p ，则P(2＜X ＜4)＝A ．12＋pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 【答案】C【解析】分析：根据题目中：“正态分布N （3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P （X ＞4）=p 的概率可求出P （2＜X ＜4）．详解：∵随机变量X ～N （3，1），观察图得，P （2＜X ＜4）=1﹣2P （X ＞4）=1﹣2p ．故选：C ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题． 2．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A【解析】若“直线m ⊥平面α”则“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”则“直线m ⊥平面α”是错误的，故直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件.故选A.3．设a ，b 均为正实数，则“1ab >”是“222a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】确定两个命题1ab >⇒222a b +>和222a b +>⇒1ab >的真假可得．【详解】∵a ，b 均为正实数，若1ab >，则222a b +≥>，命题1ab >⇒222a b +>为真； 若14,8a b ==，满足220,0,2a b a b >>+>，但112ab =<，故222a b +>⇒1ab >为假命题． 因此“1ab >”是“222a b +>”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断．解题时必须根据定义确定命题p q ⇒和 q p ⇒的真假．也可与集合包含关系联系．4．若2131ai i i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．4 【答案】A【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21ai i++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可. 详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--， 所以212232a a +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩， 解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．设函数()f x 可导，则()()011lim 3x f f x x ∆→-+∆∆等于（ ）A ．()1f -'B ．()31f 'C ．()113f -'D ．()113f ' 【答案】C【解析】()()()()()00111111lim lim 1333x x f f x f x f f x x ∆→∆→-+∆+∆-==-∆'-∆，故选C. 6．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为（ ）A ．43B ．23C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】 解:7．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i +B ．1355i -+C ．1355i -D ．1355i -- 【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()121i z i +=-，得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．8．对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据条件判断函数f （x ）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【详解】y=f （x ﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f （x ）的图象关于x=0对称，即函数f （x ）是偶函数， 令x=﹣1，则f （﹣1+2）﹣f （﹣1）=2f （1），即f （1）﹣f （1）=2f （1）=0，即f （1）=0，则f （x +2）﹣f （x ）=2f （1）=0，即f （x +2）=f （x ），则函数的周期是2，又f （0）=2，则f （2015）+f （2016）=f （1）+f （0）=0+2=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键． 9．在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是（ ）A ．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB ．若m 上有无数个点不在α内，则m∥αC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若m∥α，那么m 与α内的任何直线平行【答案】A【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理与性质定理，逐一判定，即可求解，得到答案.【详解】对于A 中，若//,m n n α⊥，则m α⊥，根据线面垂直的判定定理，可知是正确的；对于B 中，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以不正确；对于C 中，若,m αβα⊥⊂，则m β⊥或//m β或m 与β相交，所以不正确；对于D 中，若//m α，则m 与平面α内的直线平行或异面，所以不正确，故选A.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知集合{1,1}A =-，{1,0,1}B =-，则集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】由题意得，根据{|,}C a b a A b B =+∈∈，可得+a b 的值可以是：2,1,0,1,2--，共有5个值，所以集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中共有5个元素，故选D.考点：集合的概念及集合的表示.11．.若直线1y =是曲线ln a y x x =+的一条切线，则实数a 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】【分析】设切点()0,1x ，根据导数的几何意义，在切点处的导数是切点处切线的斜率，求a .【详解】设切点()0,1x ，21a y x x'=-+ 00200ln 110a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得011x a =⎧⎨=⎩ . 故选A.【点睛】本题考查了已知切线方程求参数的问题，属于简单题型，这类问题的关键是设切点，利用切点既在切线又在曲线上，以及利用导数的几何意义共同求参数.12．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆满足AB =90ACB ∠=o ，PA 为球O 的直径，且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为ABC．D．【答案】C【解析】∵三棱锥P-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PA 为球O 的直径且PA=4，∴球心O 是PA 的中点，球半径R=OC=12PA ＝2，过O 作OD ⊥平面ABC ，垂足是D ，∵△ABC 满足AB ＝,∠ACB ＝90°，∴D是AB 中点，且AD=BD=CD=2∴OD=22422OC CD -=-= ∴点P 到底面ABC 的距离为d=2OD=22,故选C.点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O 到平面ABC 的距离，找到ABC ∆的外接圆的圆心D 即可有 OD ⊥平面ABC ，求出OD 即可求出点P 到底面ABC 的距离.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(22)0.4P ξ-≤≤=，则(2)P ξ>=__________．【答案】0.1【解析】分析：随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()220.4P ξ-≤≤=，利用正态分布的性质，答案易得．详解：随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()220.4P ξ-≤≤=，， 12[122]0.32P P ξξ∴=--≤≤=（＞）（）， 故答案为：0.1．点睛：本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题，识图很重要．14．10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是____．【答案】715； 【解析】【分析】利用超几何分布的概率公式，直接求出恰有1件次品的概率.【详解】设事件A 为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则2182310715C C P C ⋅==. 【点睛】求解概率问题的第一步是识别概率模型，再运用公式计算概率值，本题属于超几分布概率模型.15．已知函数()()cos 0f x x x ωωω+>的最小正周期为π，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()f x 的一个零点是________ 【答案】512π 【解析】【分析】本题可以先对函数进行化简，然后通过最小正周期得出ω的值，最后得出零点。

2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题含解析

2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题含解析

2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，则4a 等于（ ） A ．9 B ．10C ．27D ．81【答案】C 【解析】 【分析】利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，即111,3n na a a +== 可得数列{}n a 表示首项11a =，公比3q =的等比数列，所以33411327a a q ==⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的值1．详解：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6rr a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．3．设函数f （x ）＝xlnx 的图象与直线y ＝2x+m 相切，则实数m 的值为（ ）A ．eB ．﹣eC ．﹣2eD ．2e【答案】B 【解析】 【分析】设切点为（s ，t ），求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s ，t ，进而求得m ． 【详解】设切点为（s ，t ），f （x ）＝xlnx 的导数为f ′（x ）＝1+lnx ， 可得切线的斜率为1+lns ＝2，解得s ＝e ， 则t ＝elne ＝e ＝2e+m ，即m ＝﹣e ． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 4．已知函数1()2(0)2xf x x =-<与2()log ()g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(,22)-∞ C ．(,2)-∞ D ．2(22,)2- 【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 关于y 轴对称的解析式为12(0)2x y x -=->，则它与2()log ()g x x a =+在0x >有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到2a >.【详解】函数()f x 关于y 轴对称的解析式为12(0)2xy x -=->， 函数2()log ()g x x a =+(0)x >，两个函数的图象如图所示：若2()log ()g x x a =+过点1(0,)2时，得2a =y 轴上，所以要保证在x 轴的正半轴，两函数图象有交点，则()g x 的图象向右平移均存在交点，所以a < C.【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量. 5．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数. 【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为35⎛ ⎝⎭，由于2432915525⎛⎫⎛⎫+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,55⎛-- ⎝⎭，由于243291525⎛⎛⎫-+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题. 6．函数f(x)＝e x －3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，知f(0)＝0，且f′(x)＝e x －3，当x ∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D.7．函数()ln ||(ln ||1)f x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析函数f （x ）的奇偶性以及在区间（0，1e）上，有f （x ）＞0，据此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝ln|x|（ln|x|+1），有f （﹣x ）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f （x ）， 则f （x ）为偶函数，排除C 、D ， 当x ＞0时，f （x ）＝lnx （lnx+1）， 在区间（0，1e）上，lnx ＜﹣1，则有lnx+1＜0，则f （x ）＝lnx （lnx+1）＞0，排除B ； 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题． 8．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．1560【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值。

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2013学年第二学期高二年级数学学科期终考试试卷（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。

）一、 填空题（本大题共14道小题，每小题3分，满分42分）1. 计算：34565!P C += 2．已知43z i =-+，则2z -=3. 计算：201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭4. 设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是实数，其中i 是虚数单位，则m =5. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．6. 若球1O 与2O 的体积之比122V V =，则它们的表面积之比12SS = 7. 圆柱的侧面展开图是边长为2π和3π的矩形，则圆柱的体积为8. 设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = ．9. 若()776761031x a x a xa x a -=+++则7610a a a a +++=10. 若圆锥的全面积是底面积的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是 ．11. 有()*n n N ∈件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品必须排在一起的不同排法有48种，则n =12. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．13. 用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数共有 个14．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将两个新节目插入原节目单中，则不同的插入种数为二、选择题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）15．如果直线a 和直线b 是异面直线，直线//c a ，那么直线b 与c ( ) A. 异面 B. 相交 C.平行 D. 异面或相交 16．复数z 和它的共轭复数z 在复平面内所对应的点关于（ ）对称 A.原点 B.实轴 C.虚轴 D.直线x y =17．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的 ( )A.内心B.外心C.垂心D.重心 18．以下命题：()1z z -是纯虚数 ()12122z z R z z +∈⇔=()121230z z z z ->⇔> ()4z R z z ∈⇔= ()50z z z ⇔+=为纯虚数其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、 解答题（本大题共5道小题，满分46分）19．(8分)已知53n n P nP =，求n20.（8分）已知复数()z a bi a b R +=+∈、是方程2450x x -+=的根，复数()3u i u R ω=+∈满足z ω-<，求u 的取值范围。

21．（8分）如图，已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =.求：(1)异面直线BD 与1AB 所成角的大小(结果用反三角函数表示)（2）四面体11AB D C 的体积22．(10分)关于x 的方程()22230x ax a a a R ++-=∈至少有一个模为1的根， 求实数a 的值。

DABCA 1B 1C 1D 123．(12分)过棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的棱11AD CD A B 、、的中点E F G 、、作截面，求：（1）棱锥C EFG -的体积，（2）点C 到平面EFG 的距离，（3）直线1B C 到平面EFG 的距离。

2013学年第二学期高二年级数学学科期终考试试卷《参考答案》 （注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。

）三、 填空题（本大题共14道小题，每小题3分，满分42分）1. 计算：34565!P C += 58 2．已知43z i =-+，则2z -=63i +3. 计算：201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭1-4. 设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是实数，其中i 是虚数单位，则m = 1± ．5. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 ．6. 若球1O 与2O 的体积之比122V V =，则它们的表面积之比12SS =7. 圆柱的侧面展开图是边长为2π和3π的矩形，则圆柱的体积为 292π或23πC 1 B 11D 1 A 1ABCD8. 设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = 2- ．9. 若()776761031x a x a xa x a -=+++则7610a a a a +++= 12910. 若圆锥的全面积是底面积的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是 π ． 11. 有()*n n N ∈件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品必须排在一起的不同排法有48种，则n =512. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是57（结果用最简分数表示）． 13. 用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数共有48 个 14．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将两个新节目插入原节目单中，则不同的插入种数为42 二、选择题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）15．如果直线a 和直线b 是异面直线，直线//c a ，那么直线b 与c ( D ) A. 异面 B. 相交 C.平行 D. 异面或相交16．复数z 和它的共轭复数z 在复平面内所对应的点关于（ B ）对称 A.原点 B.实轴 C.虚轴 D.直线x y =17．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的 ( C )A.内心B.外心C.垂心D.重心 18．以下命题：()1z z -是纯虚数 ()12122z z R z z +∈⇔=()121230z z z z ->⇔> ()4z R z z ∈⇔= ()50z z z ⇔+=为纯虚数其中正确命题的个数是（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 四、 解答题（本大题共5道小题，满分46分）19．(8分)已知53n n P nP =，求n解：()()()()()()123412n n n n n n n n n ----=⋅--()()34n n n ∴--= 即281204n n -+=分6n ∴=或()25n n =≥（舍）---2分 6n ∴= ---2分20.（8分）已知复数()z a bi a b R +=+∈、是方程2450x x -+=的根，复数()3u i u R ω=+∈满足z ω-<，求u 的取值范围。

24z i =±解：分22a b R z i+∈∴=+、分32252z u i i ω-=+--<分262u ∴-<<分21．（8分）如图，已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =.求：(1)异面直线BD 与1AB 所成角的大小(结果用反三角函数表示) （2）四面体11AB D C 的体积解：（1）11AB D ∠是异面直线BD 与1AB 所成的角---2分222111111cos 2cos 210AB B D AD BCA AB B D BCA arc +-∴∠==⋅∴∠=----分（2）连11AC CB CD 、、，则所求四面体的体积111111112424433ABCD A B C D C B C D V V V --∴=-=-⋅=----分22．(10分)关于x 的方程()22230x ax a a a R ++-=∈至少有一个模为1的根，求实数a 的值。

D ABCA 1B 1C 1D 1解：若两根为实根时，不妨设11x =，则11x =±， 当11x =时，22202a a a R ∴++=∴∉---分 当11x =-时，242023a a a ∴-+=∴=--分 若两根为虚根时，则2121211x x x x x =∴==，即2122a a-=分220212a a a a ∴--=∴==----或分011a ∆<∴=----分综上：21a a ∴==-23．(12分)过棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的棱11AD CD A B 、、的中点E F G 、、作截面，求：（1）棱锥C EFG -的体积，（2）点C 到平面EFG 的距离，（3）直线1B C 到平面EFG 的距离。

解：(1)11114326C EFG G EFCV V --==⨯⨯=----分 (2)取AB 的中点H ，则2EH HF EG GF EF ==∴===222090GF EG EF GEF ∴=+∴∠=1122EFG S EG EF ∆∴=⋅=设C 到平面EFG 的距离为h 1136C EFG G EFC EFG V V S h --∆∴=∴⋅=4h ∴=分（3）11////GF B C B C EFG ∴平面∴直线1B C 到平面EFG 的距离，即为点C 到平面EFG 的距离，∴4分C 1 B 11D 1 A 1ABCD。

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