2019-2020年高二数学 第六章 不等式： 6.1不等式的性质(一)优秀教案

2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一)优秀教案教学目的：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：复习初中学过的不等式的性质①正数的相反数是负数②任意实数的平方不小于0。

③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．三、讲解范例：例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＞0∴（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1 例2引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x ＝0和x ≠0两种情况进行讨论，即：当x ＝0时，（x 2＋1）2＝x 4＋x 2＋1当x ≠0时，（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3．设且，比较与的大小解： )1()1()1(223-=+-+a a a a当时 ∴>当时 ∴>∴总有>例4已知a>b>0，m>0，试比较与的大小 解：)()()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-=+--+=-++∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0∴∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例5 比较a 4-b 4与4a 3(a-b)的大小．解： a 4-b 4 - 4a 3(a-b)=(a-b)(a+b)(a 2+b 2) -4a 3(a-b)= (a-b)(a 3+ a 2b+ab 2+b 3-4a 3)＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)]= - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2)=- (a-b)20323322≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号)∴a 4-b 44a 3(a-b)说明：“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法例6 已知x>y，且y≠0，比较与1的大小解：∵x>y，∴x-y>0当y<0时，<0，即<1当y>0时，>0，即>1说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论四、课堂练习：1如果x＞0，比较（－1）2与（＋1）2的大小解：（－1）2－（＋1）2＝［（－1）＋（＋1）］［（－1）－（＋1）或［（x－2＋1）－（x＋2＋1）］＝－4∵x＞0 ∴＞0 ∴－4＜0∴（－1）2＜（＋1）22已知a≠0，比较（a2＋a＋1）（a2－2a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小解：（a2＋a＋1）（a2－a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＝［（a2＋1）2－（a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2∵a≠0，∴a2＞0 ∴－a2＜0故（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）3在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（＋）2６＋2；（2）（－）2（－1）2；（3）；(4)当a＞b＞0时，log a log b答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜4选择题若a＜0，－1＜b＜0，则有( )A a＞ab＞ab2B ab2＞ab＞aC ab＞a＞ab2D ab＞ab2＞a分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可∵a＜0，－1＜b＜0∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞aab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2故ab＞ab2＞a答案：D5比较大小：(1)（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2；(2)log 与log解：(1)（x ＋５）（x ＋７）－（x ＋６)2＝（x 2＋12x ＋3５）－（x 2＋12x ＋3６）＝－1＜0∴（x ＋５）（x ＋７）＜（x ＋６）2(2)解法一：(作差法)log －log ＝3lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 31lg 21lg 21lg 31lg22-=-=- ＝＞0∴log ＞log解法二：(中介法，常以“－1，0，1”作中介)∵函数y ＝log x 和y ＝log x 在（0，＋∞）上是减函数且＞ ∴log ＞log ＝1，log ＜log ＝1∴log ＞log五、小结 ：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业：课本练习1．已知，比较与的大小解：=……= ∴≥2．比较2sin与sin2的大小(0<<2)解： 2sin sin2=2sin(1cos)当(0,)时2sin(1cos)≥0 2sin≥sin2当(,2)时2sin(1cos)<0 2sin<sin23．设且，，比较与的大小 解：02)1(212≥-=-+t t t ∴ 当时≤；当时≥习题6.1 1--3七、板书设计（略）八、课后记：2019-2020年高二数学 第六章 不等式： 6.1不等式的性质(二)优秀教案教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)即：a>bb<a；b<aa>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若a>b，则和谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即a>b，b>ca>c证明：∵a>b，b>c ∴a-b>0，b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l，定理2还可以表示为：c<b，b<a c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形．定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c证明：∵a>b，∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例1.判断下列各式是否正确？为什么？1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么＞（3）如果ac<bc,那么a<b（4） 如果ac2 > bc2,那么a>b分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真答案：(1)真因为推理符号定理3(2)假由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c＜0时，＜即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负(3)假(4)真例2.π/4<x<y<π/2，求y-x ，y + x 的取值范围。