费马大定理最简证明

费马大定理证明

求证不定方程对于整数n>2

n n n

X Y Z

+=

无X,Y,Z的整数解

这就是费马猜想

又称费马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。传言在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克，但是我并不知道安德鲁·怀尔斯攻克的证明是否真实可靠。

现在来阐述最新最简易的证明如下：

证明：

条件：设整数(p，q)互素，（a,b）互素，并且X,Y均整数，

如果不存在整数Z使得

n n n

X Y Z

+=

成立，那么

猜想正确，否则猜想就是错误的

由条件设定已知x,y 为整数，将猜想等式左边合并变换为下式

1(1())n n y Z X x

=+

设 p y q x = 则 1(1())n n p u q

Z X u

=+= 假设存在整数Z,则u 一定至少是有理数设 1

(1())n n p a u q b =+=

则 n ()n n n n q p b q a +=

（1）()n n n n n p b q a b =-

由于(p,q)互素

那么q 必然是b 的因子才能使得等式两边成立 设b=qt 代入（1）式得

（2）()t n n

n a p q +=（） 则t 为a 的因子,至此如原条件（a,b ）互素相矛盾，所以t 必须等于1得以下等式：

（3）n n n p q a

+= 假设等式依然成立 得1

1()=n n p a q q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

利用牛顿二项式广义定理展开上式 得：1

1kn k k k n

p a q q C q →∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ 231231

11111(.....)kn

n n n kn k k

k k n n n n n p p p p p a q q C q C C C C q q q q q →∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑展开式曲线簇附图如下

231231

11111(.....)kn n n n kn

k k k k n n n n n p p p p p a q q C q C C C C q q q q q →∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑要使得a-q 为整数，至少a-q 的小数部分为有理数，而a-q 的展开式是无限级数，那么只有一个条件下a-q 才可能是有理数，就是级数的系数的绝对值相等，由此只有n 趋近无穷大时才会出现此种情况如下：

()()()()111lim =1lim 121..1!kn kn kn k k k kn n x n p p p C n n kn q k n q q →∞→∞⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

此时a-q 才是-()n p q 的等比数列之和才可能是有理数

所以在有限整数n>2 的条件下

231231

11111(......)kn n n n kn

k k k k n n n n n p p p p p a q q C q C C C C q q q q q →∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑不可能是有限的或无限循环的，那么它只能是无理数，所以a 也只能是无理数，据此

整数n>2时，对于互素的p,q ，（q>p ）没有整数a 使得（4）等式成立

（4）11()n

n p a q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 结论11()n n p u q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为无理数（整数n>2, q>p ）

那么Z Xu =同样也是无理数 至此

对于整数n>2

n n n

X Y Z +=

X,Y,Z 没有同为整数的解 费马猜想证明完毕

后记

11()n

n p u q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为无理数已经写入无理数的百度词条中，便于知识的传播。