第二章质点组力学

对此式左边可进一步改写为
d 2ri d n dri d n dp ∑ mi dt 2 = dt ∑ mi dt = dt ∑ mi vi = dt i =1 i =1 i =1
n
式中 p = ∑ m v 是质点组的动量.所以
i =1 i i
n
dp = dt
∑
n
i =1
F(i e )
总之,将质点组中每一质点的微分方程加 和,且考虑到内力总和为零,得质点组的 质点组的 n 动量定理: 动量定理 d mv
n n ( in ) i =1 j =1 j≠i
ij
=0
① 逐个对质点加以描述和研究的方法,原则 上可用,但得出的是方程数目庞大的二阶微 分方程组,难以解算; ② 况且内力一般是未知量从而问题更复杂. 2.质点组研究方法 2.质点组研究方法: 质点组研究方法: 从整体上去把握质点组,但不是利用统计方 法,而是以点代体,即寻找一个与"整体" 等当的特殊点(或说代表点)——质心来研 究.
动能.必须使外力所作的功和内力所作的功 之和大于零,系统的动能才会增加.仅仅是 内力作功也可以使系统动能增加.例如,汽 车从静止变为运动或炸弹的爆炸,正是由内 力作功所致;又如,大炮发射炮弹时,水平 方向动量虽然守恒,但相应的动能并不守恒, 因为两者原来都是静止的,当炮弹发射时, 炮身反冲,两者都有速度,也即两者都有动 能.
i (e ) (i) i i
ri × Fij + r j × Fji = (ri r j ) × Fij
而 ri rj 与 Fij 共线,其矢量积为零.得到 dJ = ∑ ri × Fi(e) (2) dt i (2)式表明:质点组对定点的动量矩的时 间变化率等于受到的外力矩,即 其中
dJ =M dt
i=1
∑
n
i =1
F(i e )
(B)
(2)质心运动定理 ) 根据质心的定义并求导运算 质点组动 n c 量=质心动量,即 p = ∑mi vi = mv(式中 m = ∑m) i =1
n i =1 i
这就是质心运动定理 质心运动定理. 质心运动定理 该定理的物理意义: 该定理的物理意义:质心的运动,就犹如这样的 一个质点的运动,这个质点的质量等于整个质点 组的质量,作用在此质点上的力等于作用在质点 组上所有外力的矢量和. 该式表明了质心的重要性和特殊性:(1)质心 该式表明了质心的重要性和特殊性: 是一个特殊的几何点,但它的运动状态可以代表 质点组的整体特征;(2)内力不影响质心的运 动状态,但能影响个别质点的状态;(3)给定 外力,各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动 状态可以完全确定,质心的运动状态只取决外力.
xc =
∫∫∫ x ρ dV
V
∫∫∫ ρ dV
V
yc =
∫∫∫ y ρ dV
V
∫∫∫ ρ dV
V
zc =
∫∫∫ z ρ dV
V
∫∫∫ ρ dV
V
当密度为常数时,质心几何中心;当重力加 速度为常矢量时,质心重心. 4.命题: 命题: 命题 对于只有两质点1和2组成的质点组而言,其 质心位置在1与2这两点连线上,质心与质点1,2 的距离反比于质点1,2的质量.
n n n i =1 i i i =1 (i ) i i =1 (e) i
n n dp (i ) = ∑ Fi + ∑ Fi( e ) dt i =1 i =1
n
(A)
∑
F i( i ) = 0
假如我们承认质点组的内力之和 的条件,则有质点组的动量定理: 质点组的动量定理: 质点组的动量定理
dp = dt
inΒιβλιοθήκη ni =1i
i i
i =1
i
(e) i
即有质点组对质心的动量矩定理 质点组对质心的动量矩定理: 质点组对质心的动量矩定理
该式表明: 该式表明:质心的动量矩 J′ 对时间的变化 率等于作用于质点组的外力对质心的力矩; 质心系的特殊性: 质心系的特殊性:(2)式由是牛顿第二定 律所得,它只对惯性系才适用.质心系一 般情况而言并不是惯性系,但是,质心系 中的质点组动量矩定理仍保持与惯性系中 相同的形式;惯性力,内力对质心的力矩 恒为零.
【注】在动量定理和动量矩定理中,内力均因相 等相反而消去,但在这里动能定理中,除了某些 特殊情况下(例如刚体情况下),虽然内力也能 消去,却一般不能导致内力所作的元功相互抵消, 而动能定理右边并不是力的加和,而是功的加和, 故一般情况下右边第一项是不等于零的.从而也 可推得,质点组即使不受外力作用,或虽受外力 但合外力为0时,质点组的动能也不一定守恒.作 用于系统的外力作了正功,不一定能增加系统的总
§2.1 质点组 本节重点是掌握内力的性质,质心的概念和 计算. (1)质点组的内力和外力 质点组(又称质点系 : 质点系): 1.质点组 质点系 若干有相互作用的质点的集合. 【注】一群毫无相联系的蚊蝇以及一盘散沙,都 不是质点组. 2.内力与外力 内力与外力: 2.内力与外力: 内力——质点组中质点间的相互作用; 外力——质点组外物体与组内任一质点的作用力.
关于内力所作元功之和一般不能抵消的原 因,可用下面两个质点的情况来加以说明. 设第一个质点A相对于坐标原点的位矢 是 ,第二个质点B相对于的位矢是 , r1 r2 质点A所受内力为 ,质点B所受内力为 , (i (i fBA) 且 fAB) ,则
( ( f A iB) + f B iA) = 0
(i (i dW ( i ) = f AB) d r1 + f BA) d r2 (i = f BA) d (r2 r1 ) (i = f BA) d r (i = f AB) d r
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 本节的要求是掌握质点组动量矩定理,特 别是掌握对质心的动量矩定理. (1)对某一固定点的动量矩定理 ) 由牛顿第二定律,第i个质点的动力学方程为 dp = F + F (1) dt 两边用左乘 ri ,再对各质点求和,利用内力总 成对出现且等大,反向并作用在同一直线上这 一性质, 即对任意对质点有,
3.质点组质心的定义: 质点组质心的定义: 质点组质心的定义 相应的分量形式为:
xc =
rc =
∑
n
i=1 n
m iri m
i
∑
i1
∑
n
i =1 n
m i xi mi yc =
∑
n
∑
i =1 n
m i yi mi
zc =
∑
n
i=1 n
m izi m
i
i1
∑
∑
i 1
i1
对于连续体的质心,上述公式中的和号应改 为积分:
1 1 1 d ( mv v) = d ( mv2 ) = d ( mv2 ) = F dr 2 2 2
应用到质点组中的任一质点上就是
1 dTi = d ( mi ri2 ) = Fi( i ) dri + Fi( e ) dri = dWi (i ) + dWi ( e ) = dWi 2
式中r 是质点B相对于质点A的位矢.故只有当 dr = o 时,dW 才等于0.而 d r = o 意味着质点间距离不 dr 能改变,即为刚体.对于一般质点组来讲, ≠ 0 , 故内力作功一般不等于零. (2)质点组机械能守恒律 ) 由上述已知,对质点组而言,内力作功之和 一般并不等于,故若只有外力是保守力而内力并 不是保守力时,则质点组的机械能不守恒. 只有作用在质点组上的所有外力及内力都是 作用在质点组上的所有外力及内力都是 保守力(或其中只有保守力做功) 保守力(或其中只有保守力做功)时,机械能才 守恒: 守恒:
F = ma = ma0 + ma′
将这一方法应用到这里来(将质心作 为动坐标系原点),有 d r ′
2
mi
dt
i 2
= Fi( e ) + Fi( i ) + ( mic ) r
用 r′ 左叉乘上述方程组且对 i 求和,因内 力矩之合为零且牵连矩(惯性力矩)之合 为零,固有 d [ (r′× m r′)] = (r′× F ) ∑ ∑ dt
(3)动量守恒律 ) 质点组不受外力或合外力为0时,由动量 定理可得
dp =0 dt
p = 恒矢
v c = 恒矢
质点组动量守恒定律表明:若质点组不受 p 外力或合外力为0时, = 恒矢 ,即质心作匀 速直线运动( vc = 恒矢量),内力不会引起 质心运动状态的改变. 守恒律还适于诸外力仅在某一轴上投影之 和为零的情形.
§2.2 动量定理与动量守恒律 本节要求是掌握质心运动定理,它是刚 体力学的基础之一. (1)动量定理 ) 设质点组由 n 个质点组成,其中任一质点 p 的质量设为 m ,它对惯性参照系坐标原点 i o 的位矢为 r i,作用在质点上诸力的合力为 , 对质点组而言,该合力又分为合内力 及合 F F 外力 (上标i和e,为英文interior和exterior F 的首字母). 应用牛顿第二定律,质点有运动微分方 d r 程: ( i = 1, 2, 3, , n ) m =F +F
第二章 质点组力学 本章主要讲述如何通过质心坐标,内部 坐标和质心系的引入来描述多粒子的动力 学系统,重点是两体问题.关于变质量物 体的运动一节主要讲述火箭的运动.维里 定理一节具有统计的性质,主要为以后的 课程作准备.重点掌握:(1)质心的概念和 计算;(2)质点组的三个基本定理(动量 定理,动量矩定理,动能定理)在基本系 和质心坐标系中的数学表示;(3)质心坐 标系的重要性和特殊性.
dp = dt
∑
i =1
i
i
dt
= ∑ F(i e )
i =1
n
式中
p=
∑mv
i =1 i
n
i
【注 】更普遍的推导是直接使用质点的动 注 量定理[参见:中山大学数学力学系力学教 研室,《力学教程》,人民教育出版社, 1978]: 对于系统中的每一个质点因有动量定理 dp i d = ( m v i ) = Fi( i ) + Fi( e ),( = 1, 2,3, , n ) i dt dt 把所有这些方程相加得 d (∑ m v ) = ∑ F + ∑ F dt n 其中 p = ∑ mi v i 表示质点组的总动量.那 i =1 么
(i )
T +V = E
其中E为总能量, 为质点组动能 为质点组动能, 为质点组势 其中 为总能量,T为质点组动能,V为质点组势 为总能量 它包括内力的势能和外力的势能) 能(它包括内力的势能和外力的势能). (3)柯尼希定理 ) 将质点的绝对运动分解成质点相对质心的相对运 动和质心相对绝对原点的牵连运动,可得
3.内力所满足的运动定律: 内力所满足的运动定律: ①牛顿第三定律:f ij + f ji = 0 ,F = ∑ ∑ f ②牛顿第二定律. 4.孤立系(闭合系): 孤立系( 孤立系 闭合系) 不受任何外力的质点组. 5.质点组与独立质点集的区别: 质点组与独立质点集的区别: 质点组与独立质点集的区别 犹如绳子(或刚体)与沙子. (2)质心 1.质心概念的必要性: 质心概念的必要性: 质心概念的必要性
i i
(i ) i (e) i
2
i
(i)
(e)
i
dt 2
i
i
将这 n 个方程加和起来有:
n n d 2ri mi 2 = ∑ Fi(i ) + ∑ Fi( e ) ∑ dt i=1 i =1 i =1 n
由上一节根据牛顿第三定律已知合内力为0, 于是上式变为:
n d 2ri mi 2 = ∑ Fi( e ) ∑ dt i =1 i =1 n
J = ∑ (ri × p i ) , M = ∑ (ri × Fi( e ) )
i =1 i =1 n n
(2)动量矩守恒律 ) dJ 当外力对固定点的合力矩为零时,有 dt = M = 0
J = 恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形. (3)对质心的动量矩定理 ) 质心坐标系: 质心坐标系:设 oxyz 为静止系,若另一坐 cx′ 标系y′z′ 随质点组运动而运动,原点取在质 oxyz 点组的质心,坐标轴与基本系的 坐标轴 平行,则 cx′y′z′ 叫质心坐标系. 质心坐标系的特点: 质心坐标系的特点:在质心系中,质心的位 置矢量 rc′ = 0 . 作固定坐标系和动坐标系时, a = a0 + a′
dJ ′ = M′ dt
§2.4 动能定理与机械能守恒律 本节应重点掌握质点组的动能定理, 对质心的动能定理以及计算质点组动能的 柯尼希定理. (1)质点组的动能定理 ) 这里讨论质点组动力学的第三个基本 定理(前两个是:①质点组动量定理;② 质点组动量矩定理)—质点组动能定理. 我们已知了质点的动能定理(微分形式)