广东省韶关市新丰县第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

广东省韶关市新丰县第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，(){}30B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1-B ．1,0,1,2C ．{}1,4-D ．{}1,22．命题“3,ln 1x x ∀>>”的否定是（ ） A ．3,ln 1x x ∀>≤ B ．003,ln 1x x ∃≤≤ C ．3,ln 1x x ∀≤>D ．003,ln 1x x ∃>≤3．已知向量()2,a m =，()4,2b =，若//a b ，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．-4C ．-1D ．44．双曲线x 2﹣4y 2＝4的右焦点坐标为（ ）A ．0）B ．（2，0）C ．（5，0）D ．0）5．若ln x π=，51log 3y =，12z e -=，则（ ） A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．42π-B ．82π-C ．4π-D ．8π-7．若sin 2sin 2παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．43 B ．43-C ．34D ．34-8．已知实数x ，y 满足约束条件20103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．72D ．109．已知双曲线()222:104x y C b b -=>的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若POF 是等边三角形，则PFO △的面积为（ ） A．B．C．D．10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．2B ．3 CD ．9211．若函数()sin f x x x ωω=(,0)x R ω∈>满足()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦12．过抛物线2:8C y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若2AF FB =，则直线l 的斜率为（ ） A．B．C ．±1 D．±二、填空题13．已知向量()2,1a =，()1,3b =-，则a 在b 方向上的投影为________．14．已知“x m ≥”是“121x +>”的充分不必要条件，且m Z ∈，则m 的最小值是________． 15．已知0a >，0b >，且22a b +=，那么21a b+的最小值为________． 16．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．三、解答题17．设命题0:p x R ∃∈，2020x -=；命题:q 函数22sin y x =在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先增后减． （1）判断p ，q 的真假，并说明理由； （2）判断p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝的真假．18．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin ac B A =，且7cos 8A =. （1）求ABC ∆的面积；（2）若a =ABC ∆的周长.19．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且123227a a +=，223581a a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设31323log log log n n b a a a =++⋯+，2n nn a b C n=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20．某企业经过短短几年的发展，员工近百人.不知何因，人员虽然多了，但员工的实际工作效率还不如从前.2019年6月初，企业领导按员工年龄从企业抽选20位员工交流，并将被抽取的员工按年龄（单位：岁）分为四组:第一组[)20,30，第二组[)30,40，第三组[)40,50，第四组[]50,60，且得到如下频率分布直方图：（1）求实数a 的值；（2）若用简单随机抽样方法从第二组、第三组中再随机抽取2人作进一步交流，求“被抽取得2人均来自第二组”的概率.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，13DD =，点P 在棱1CC 上，且13CC CP =．（1）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值； （2）求二面角1P AD B --的余弦值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线0bx y -+=经过椭圆C 的左焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线40bx y -+=与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，APB ∠的平分线在y 轴上，PA PB ≠|，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案1．C 【分析】化简集合B ，求交集即可. 【详解】∵{0B x x =<或3}x >， ∴{}1,4AB =-．故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．D 【分析】根据全称命题的否定直接写出命题． 【详解】由命题否定的定义知，命题“3,ln 1x x ∀>>”的否定是003,ln 1x x ∃>≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查了含量词的命题的否定，属于容易题. 3．A 【分析】根据平行向量的坐标运算即可求解. 【详解】 因为//a b ， 所以440m -=， 解得1m =． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量的坐标运算，属于容易题.4．D 【分析】将双曲线化简成标准方程2214x y -=，再求出c 即可求出右焦点坐标.【详解】由题知：2214x y -=，2a =，1b =，解得：c ==右焦点2F . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标求法，需要熟练掌握双曲线的简单性质，属于简单题. 5．D 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值0,1即可比较大小. 【详解】ln 1π>，51log 03<，120e 1-<<， y z x ∴<<.故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，在指数式与对数式比较大小时，常常借助中间值0,1进行比较，属于基础题.6．B 【分析】根据三视图,可知该几何体为一个正方体,割去一个圆柱的四分之一,即可由所给数据求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为一个正方体,割去一个圆柱的四分之一 正方体的棱长为2.割去圆柱的底面半径为1,所以该几何体的体积为()321212842V ππ=-⨯⨯⨯=- 故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,由三视图分析原空间几何体,组合体体积的求法,属于基础题. 7．B 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可得tan 2α=，再利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由sin 2sin 2παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得sin 2cos αα=，即tan 2α=，则222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的商的关系以及二倍角的正切公式，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】根据约束条件，画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求最值. 【详解】画出可行域（如图），平移直线2z x y =-，当目标直线过点(3,4)-时，目标函数取得最大值，()max 23410=⨯--=z ．故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 9．D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出PFO △的顶点P 的坐标，然后求解面积即可． 【详解】由2a =，c ，得c ． ∵POF 是等边三角形，∴P x =，P y =，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，2b =，解得212b =，∴11422POFP SOF y =⋅=⨯⨯= 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题． 10．A 【解析】试题分析：由题意，设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则1(,0)2F ，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线的准线的距离为PP PF '=,则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d PF PA AF =+≥==A. 考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键. 11．C 【分析】首先利用三角函数的性质求出函数的周期，进而求出求出2ω=，再利用辅助角公式求出函数解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用整体代换法222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可求解 【详解】由题意得()f x 的最小正周期44T ππ=⨯=，又2T πω=所以2ω=，()2sin 2sin 233f x x x ππω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式以及整体法求函数的单调区间，同时考查了辅助角公式，属于基础题. 12．D 【分析】当点A 在第一象限，通过抛物线定义及||2||AF BF =可知B 为CE 中点，通过勾股定理可知||AC BC =，进而计算可得结论． 【详解】如图，点A 在第一象限．过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D 、E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形． 由抛物线定义可知||||AD AF =，||||BE BF =， 又2FA BF =，||2||AF BF ∴=，||||2||AD CE BE ∴==，即B 为CE 中点， ||3||AB BC ∴=，在Rt ABC ∆中，|||AC BC =，∴直线l 的斜率为ACBC=；当点B 在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为-，∴直线l 的斜率为±，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用以及直线斜率公式的应用，属于中档题．13【分析】根据向量在向量方向上的投影的定义计算. 【详解】设向量a 与b 的夹角为α，因为()2,1a =，()1,3b =-，则a 在b 方向上的投影为：cos 1010a ba b α⋅=⋅==．【点睛】 本题主要考查了向量的投影的概念与计算，属于容易题.14．0.【分析】1121221x x x +->⇔>⇔>-．根据x m ”是“+121x >”的充分不必要条件，且m Z ∈，即可得出． 【详解】由1211x x +>⇒>-， “x m ”是“+121x >”的充分不必要条件，且m Z ∈，0m ∴，则m 的最小值是0．故答案为：0．【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．4.【分析】根据“1”的变形，运用均值不等式即可求解.【详解】0a >，0b >，且22a b +=, 1(2)12a b ∴+= ()211211422222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1442b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1442⎛≥+= ⎝ 当且仅当4b a a b=，即21a b ==时，等号成立． 故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的灵活运用，属于中档题.16．15.【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：a =5,b =4,c =3.∴F 1(−3,0),F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a =10，∴|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)⩽10+|MF 2|=10=15，则|PM |+|PF 1|的最大值为15.故答案为15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．（1）p 为真，q 为假，理由见解析；（2）p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【分析】（1）由22x =有解知命题p 为真命题，22sin 1cos 2y x x ==-，在(,)62ππ-上先减后增．即命题q 为假命题；（2）由p 为真q 为假，结合复合命题的真假可得.【详解】（1）易知0x R ∃=，故p 为真．∵22sin 1cos2y x x ==-，且23x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,， ∴1cos2y x =-在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先减后增，故q 为假． （2）∵p 真q 假， ∴p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【点睛】本题考查了三角函数的单调性及复合命题的真假，属中档题．18．(1)4;;(2)5+. 【解析】 试题分析：(1)由正弦定理角化边可得4bc =，然后利用面积公式可得ABC ∆的面积12S bcsinA ==(2)由题意结合余弦定理可得5b c +=，则ABC ∆的周长为5+.试题解析：（1）由2acsinB sinA =，得4abc a =，∴4bc =，∵78cosA =，∴sinA =ABC ∆的面积12S bcsinA ==（2）由余弦定理得：2222a b c bccosA =+-，∴()()()22102115b c bc cosA b c =+-+=+-，∴()225b c +=，∴5b c +=，∴5a b c ++=+即ABC ∆的周长为5+.19．（1）3n n a =；（2）()121334n n n T ++-=．【分析】（1）根据{}n a 是等比数列，设{}n a 的公比为q ，根据条件列出方程组．求出q 和1a 可得数列{}n a 的通项公式；（2）求出n b 的通项公式，代入2n n n a b C n=，利用错位相减法即可求出数列{}n c 的前n 项和．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由题可得112224111322781a a q a q a q a q +=⎧⎨=⎩， 因为0q >，所以133a q =⎧⎨=⎩， 所以3n n a =． （2）因为3log n a n =，所以()1122n n n b n +=+++=…， 所以()213n n n n a b c n n==+， 所以()2233313n n T n =⨯+⨯+++…，()23132333313n n n T n n +=⨯+⨯++⋅++…，两式相减得()()2312633313n n n T n +-=++++-+…()11396132n n n ++-=+-+ 1321322n n ++=-⋅ 故()121334n nn T ++-=． 【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键，属于难题.20．（1）0.03a =；（2）1591. 【分析】 （1）利用频率分布直方图所有矩形的面积和为1可求出实数a 的值；（2）可知第二组的人数为6人，第三组的人数为8人，利用组合计数原理计算出抽取2人的方法种数，以及抽取的2人均来自第二组的方法种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】（1）据题意得()0.010.040.02101a +++⨯=，解得0.03a =；（2）据（1）求解知0.03a =，∴第二组中人数200.03106⨯⨯=（人）又第三组人数200.04108⨯⨯=（人）， ∴用简单随机抽样方法从第二组、第三组中抽取2人的方法数()13131912⨯+=（种）其中2人均来自第二组的方法数()551152⨯+=（种），因此，所求的概率1591p =. 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用，以及古典概型概率的计算，在基本事件较多时，可以采用一些基本的计数原理来计算基本事件数，考查计算能力，属于中等题..21．（1）13；（2）17． 【分析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）根据线面角的向量公式计算求解；（2）求出二面角两个半平面的法向量，求其夹角即可求解.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,3D ，()0,2,1P ． （1）设直线AP 与平面ABCD 所成角为θ，由()2,2,1AP =-，平面ABCD 的一个法向量为()10,0,3DD =， 所以111||31sin cos ,333AP DD AP DD AP DD θ⋅====⨯． 即直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为13． （2）依题意，可得()12,0,3AD =-，()12,2,3BD =--，()2,2,1AP =-．设()111,,n x y z =为平面1PAD 的法向量，则100n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111230220x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩，不妨令12z =，可得()3,2,2n =； 设()222,,m x y z =为平面1BAD 的法向量，则1100m BD m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222222230230x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩，不妨令22z =，可得()3,0,2m =； 则221cos ,m nm n m n ⋅==⋅， 所以二面角1P AD B --的余弦值为17． 【点睛】本题主要考查了利用空间向量计算线面角，二面角的平面角，属于中档题.22．（1）22184x y +=；（2）直线AB 过定点()0,1. 【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）设AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，APB ∠的平分线在y 轴上等价于()()1212240kx x b x x +-+=，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简可得1b =，从而得到所求的定点.【详解】（1）在直线方程0bx y -+=中令0y =，则x b=-，故c b =，又2c a =，故2b =，所以4a =，所以椭圆标准方程为：22184x y +=. （2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在，设AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 在y 轴上且P 在直线240x y -+=，故()0,4P .因为APB ∠的平分线在y 轴上，所以1212440y y x x --+=，而1122,y kx b y kx b =+=+， 代入整理得到：()()1212240kx x b x x +-+=.由2228y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()2221+24280k x kbx b ++-=， 所以2121222428,1+21+2kb b x x x x k k-+=-=， 所以()2222842401+21+2b kb k b k k -⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭，化简得到()10k b -=， 所以对任意的k ，总有1b =，故直线AB 过定点()0,1.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。