华中科技大学离散课件 11

3）
若 3≤ 2，其证明方法类似，因此链<L; ≤ >是一个 分配格。
3．分配格的性质
定理7-13
设
，
1
，
2
3是分配格<L；
，
>
中的任意三个元素， 那么
当且仅当
证明 若
，则显然
反之，设 则
对于非分配格，定理7－13不成立。
例如，
e
d c
b
a
c d=c b , c d=c b， 但b≠d。
二 有补格
1
1
（7-1）
若1
2， 2
1，则 1= 2
（7-2）
若1
2， 2
3，则 1
3
(7-3)
1
1
(7- )
若1
2， 2
1，则 1= 2
(7- )
若 1
，
2
2
3，则 1
3 (7- )
注意 在偏序集<L； >中，对任意元素 1， 2 L，
若
1
2，则必有
2
1，
若 2 1，则必有 1
2，因此， 1
2
等价于 2
1。
但 lub（2，3）不存在。
定理7-1 设 和 是偏序集<L；≤>的
两个元素，如果 和 有glb,则glb是唯一的 ，如果 和 有lub，则lub是唯一的。
证明 设 和 都是 和 的glb，
由定义7-1，则 =。
≤,
≤ ,于是有
类似地可以证明, lub也一定是唯一的。
和 若存在lub，则
3 最小元素和最大元素
<2 U；∪；∩>，因为运算∪和∩都满足交换律，结合律
和吸收律，因此<2U；∪；∩>是一个格。
二 、子格
定义7-7 设<L；∨,∧>是格，如果<T；∨,∧ >是<L；
∨,∧ >的子代数，则称<T；∨,∧ >是<L；∨,∧ >的子 格。
子格也是一个格。
例6 设U={a,b,c}
则 2U={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
故<L； ， >是一个格。
定义7-6 设<L； ， >是一个代数系
统， 和 是 L 上的两个二元运算，如果这 两个运算满足交换律，结合律和吸收律，则 称 <L； ， >是格。
格既可以看作是一个偏序集<L；≤ > ，也可以看作是一个代数系统<L； ， >。
例5 在全集合 U 的幂集 2U =
包含关系“ ”是 2U 上的一偏序关系。
元素 b L ,如果满足 1 b， 2 b，则称 b是 1 和 2的上界。
如果元素 b是 1和 2的上界，且对于任意 L，若 也是 1和 2的上界，便有b ，则称 b 是 1和 2的 最小上界，简记作b=lub( 1, 2)
例2 设A=
“整除”关系是A上
的偏序关系，其次序图如下，因此，它们构成一个
格<2U； >对应的代数系统形式的格是<2U；∪， ∩>.
{a,b,c
}
{a,b
{a,c {b,c}
}
}
{a
{b
{c
}
}
}
φ
令 S1={{b},{a,b}{b,c},{a,b,c}}
S2={φ,{a},{ c},{a, c}}
S3={φ,{a},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
1．最小元素0和最大元素1
例4 <I；≤>是一个格，但这个格既无
最小元素，又无最大元素。
<N；≤>这个格有最小元素，但没有最大元素 。
12,1 ≤ 18；
因1 ≤ 6，2 ≤ 6，3 ≤ 6，所以glb(12,18)＝6。
例3 设A=
的偏序关系，其次序图如下
，整除关系是A上 36
试问 glb(18,12)=?, lub(2,3)=?
2≤18，2 ≤ 12；3 ≤ 18，3 ≤ 12，1 ≤ 18，1 ≤ 12。
18
12
2
3
1
但glb(18,12)不存在。 类似地，12，18 和 36 均是 2 和 3 的上界，
证明 设 和 都是<L；≤>的最小元素，则有
≤ ，且 ≤ ，得 ＝ 。
二、 格
1．格的定义
定义7-4 设<L；≤>是一个偏序集，如果L中
任意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称<L ；≤>是格。
=glb（ ， ），
=lub（ ， ）
。
若<L；≤>是一个格，则意味着<L；≤>也是一个形
为 <L； ， >的代数系统，其中 和 是L上的两个
例如
的对偶是
对偶原理 ： 对于格<L，≤>上的任
一真命题P，其对偶 PD 亦为格<L，≤>上的真 命题。
定理7-4（交换律） 设<L；≤>是格，则对任意的
有:
定理7-5 （结合律）
设<L；≤>是格，则对任意的
，有
证明
定理7-6 （吸收律）
设＜L；≤＞是格，则对任意
证明 (b) 由（5-4）
另一方面，由（5-1） 于是，由（5-5） 由（1)、(2）和反对称性
1
2=lub( 1, 2), 1 2=glb( 1, 2)
(2) 证明 <L； ， >是一个分配格
对任意 1, 2, 3∈L必有 2≤ 3或者 3≤ 2，
不妨设 ≤ ，
2
3
于是有 1 （ 2
3）= 1
3。
又因为 1
2≤ 1
3，
所以（ 1
）（
2
1
3）= 1
3
因此 1 （ 2
3）=（ 1 2） （ 1
c
d
而（b∧c)∨(b∧d）
a
= a∨a =a
因此 b∧(c∨d)≠（b∧c）∨b∧d）
2． 分配格的判别
定理7-12 在格<L；∨，∧>中，如果交运算对并运
算是可分配的，则并运算对交运算也是可分配的；如果并
运算对交运算是可分配的，则交运算对并运算也是可分配
的。
证明
有1 （
设在格<L； ，
2
3）=（ 1
( Y) ( Y) (N) (N)
e
c
d
b
a
7．3 分配格和有补格
一、分配格
1．分配格的定义
定义7-8 设<L； ，
的 1, 2， 3 ∈ L，有
>是一个格，若对于任意
则称< L ； ， >是分配格。
d
e
c
c
d
b
b
a
a
d
b
c
a
例1 对任意的集合A，<2A ；∪，∩>是一个
分配格， e
例2
b∧(c∨d) = b∧e = b b
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2020年4月24日星期五
１．对任意的 a Ａ，因为 自反，所以有 （a,a） ,于是（a,a） ，因此 也是自反的。
２．对任意 a ,b A ，若（a,b） 且（b,a） ， 则有（b,a） 且（a,b） ，必有a = b， 因此 是反对称的。
３．对任意a,b,c A,若（a,b） ,(b,c） ， 则有（c,b） 且（b,a） ，必有
上的
因为对任意Si 2U，总有Si Si，所以 是自反的。
对任意Si , Sj 2U , 若Si Sj ，且Sj Si ， 则必有Si = Sj ，所以 是反对称的。
对任意Si , Sj ，Sk 2U，若Si Sj ，Sj Sk ，则必有Si Sk，所以 是可传递的。
因此<2U； >是一偏序集。
对于任意Si , Sj 2U，有Si Si∪Sj，Sj, ，
3. 下面给出的三个次序图，其中哪些是格？在图 下方相应的括号内键入“y”或“N”表示肯定或否定。
( N)
( Y)
( Y)
4．对下图所给出的格判断以下子集是否能构成它的
子格。在相应的括号内键入“Y”或“N”来回答
（1）S1={e,c,b} （2）S2={d,b,a} （3）S3={c,d,b} （4）S4={c,d,a}
<S1；∪，∩>是<2U；∪，∩>的子格。
<S2；∪，∩>也是<2U；∪，∩>的子格。
S3不能与这两个运算构成<2U；∪，∩>的子格。
练习5-5
1． 设 L = {1，2，3，4，6，12}，在L上定义
整除关系，构成偏序集<L; ≤>。
（1） glb(6,4)= 2 ; lub(2,3)= 6 ；
二元运算， 对于任意 ， ， 表示在偏序
“≤”意义下， 和 的最小上界，
表示 和
的最大下界。
例5 试判断下列次序图给出的偏序集哪些是格？
e
f
e
d
d
c
b
c
a
b
(a)
h
a
(b)
30
f
g
15
10
6
d
e
5
3
2
b a
c (c)
解 （a）不是格， (b)不是格，
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(d)
(c)是一个格， （d）是一个格
在格＜L；≤>中有如下四个关系式成立: