新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结

第一部分 合情推理

学习目标:

了解合情推理的含义(易混点）

理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点）

了解合情推理在数学发展中的作用(难点)

一、知识归纳：

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

归纳推理:

1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

2．归纳推理的一般步骤:

第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质;

第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）.

思考探究：

1．归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理?

题型1 用归纳推理发现规律

1、观察

<

<

；….对于任意正实数,a b ,

≤成立的一个条件可以是 ____.

点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂

巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图

有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__．

【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式

［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f

133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f

总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

类比推理

1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

2.类比推理的一般步骤：

第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想．

思考探究:

1．类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?

(２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

题型2 用类比推理猜想新的命题

[例]已知正三角形内切圆的半径是高的

13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.

【解题思路】从方法的类比入手

［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==

，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高4

1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比

(2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

合情推理

１．定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理．简言之,合情推理就是合乎情理的推理.

2.推理的过程：

→

→ 思考探究：

1.归纳推理与类比推理有何区别与联系？

1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 第二部分 演绎推理

学习目标:

理解演绎推理的含义（重点）

掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单推理(重点、难点）

合情推理与演绎推理之间的区别与联系

一、知识归纳:

演绎推理的含义:

1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理又叫逻辑推理．

2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.

思考探究：

演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式

１.演绎推理的模式采用“三段论”:

(１)大前提——已知的一般原理（M 是P ）;

(2)小前提——所研究的特殊情况(S 是Ｍ);

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S 是P ）

.

２.从集合的角度看演绎推理:

（１）大前提:x ∈M 且ｘ具有性质P;

（2）小前提：y ∈S 且S M

(３)结论:ｙ具有性质P .

演绎推理与合情推理

合情推理与演绎推理的关系：

(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特说的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2）从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.

第三部分 直接证明与间接证明

学习目标：

1、了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。

２、了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 知识归纳：

三种证明方法:

综合法、分析法、反证法

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤:

(1) 假设命题的结论不成立；

(2） 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 (３) 断言假设不成立

(４) 肯定原命题的结论成立

用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为：(1)反设;(2）归谬；(3）结论。

重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

考点1 综合法

在锐角三角形ABC 中，求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

[解析]ABC ∆ 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π

π

,

x y sin = 在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2

sin(sin =->∴π

同理可得C B cos sin >，A C cos sin > C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴

考点２ 分析法

已知0>>b a ，求证b a b a -<

- [解析］要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-