06定积分与微积分基本定理科-备战2018年高考数学(理科)之考点Word版含解析
2018高三数学(理)一轮复习课件：第2章 第11节 定积分与微积分基本定理
＝
F(b)－F(a)
，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．
b a
其中F(x)叫作f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作 F(x) ，即 f(x)dx＝F(x)
b a b a
＝F(b)－F(a)．
必记结论 1.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的 结果可以为负．
[考点一 即时应用]
2x＋1，x∈[－2，2]， 1．(1)已知f(x)＝ 2 1＋x ，x∈2，4].
1 31 1 22 ＝3x 0 ＋2x－2x 1 1 5 1 ＝3＋4－2－2＋2＝6.
考点一
9π 2 3 4 ． (2)定积分 9 － x dx的值为________
0
(2)由定积分的几何意义知，
3 0
9－x2 dx是由曲线y＝ 9－x2 ， 直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封 闭图形的面积．
a
b 1 a
b f (x)dx± f2(x)dx
a
；
b (3) f(x＋ f(x)dx
c
(其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
b 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx
A．1 C．－1 B．2
f(f(1))＝1，则a的值为( A )
D．－2
a
3 3 3 a 2 解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝ 3 t d t ＝ t ＝ a ，所以由 f ( f (1)) ＝ 1 得 a ＝1， 0
第4节 定积分与微积分基本定理[理]
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①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1
如：定积分 0
1－x2dx 的几何意义是求单位圆面积的14，所以10
1－x2dx＝π4.
返回
2．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲 边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方 的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分 的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是 路程．
2.∫e12x＋1xdx＝(
)
A．e2－2
B．e－1
其原函数
是什么?
C．e2
D．e＋1
解析：
∫e12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|e1＝e2.
积分上下限
答案： C
与分段函数
3．设 f(x)＝2xx2
x x
的定义域
，则
1 −1
������(������)dx
23.
答案：
1－
3 2
返回
返回
解析： 由图象可知 A＝1，T2＝23π－－π3＝π，所以 ω＝1，
f(x)＝sinx－π6.图中其与 x 轴的交点横坐标为6π，所以图中的阴影部分的
面积为
π 6
0
－sin������－π6dx＝cosx－π6｜0π6 ＝1－
b
么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x
b
＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝aF(x)dx.
高考数学复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理课件理
(1)若f(x)是偶函数,则
a
f(x)dx=2
a
a 0
f(x)dx;
(2)若f(x)是奇函数,则
a
f(x)dx=0.
a
1-1
计算定积分
2 1
|3-2x|dx=
.
答案 1
2
解析
因为|3-2x|=
3
2
x
,
x
2
x
3,
x
3 2 3 2
, ,
所以 2 1
|3-2x|dx
3
2
= 2 1
(3-2x)dx+
典例2 (1)(2016唐山统一考试)过点(-1,0)的直线l与曲线y= 相x 切,则
曲线y= x与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为
;
(2)(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导
b
n
a
f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,
b
这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作① a f(x)dx ,即
b a
f(x)dx= l i m n
n
i 1
b
f(aξi).这里a和b分别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b]
n
叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.
x
dxx12;
1
(4) 0
1dx(x;(5)1)2
(3x3+4s5 in 5
x)dx.
解析
(1)因为(ln x)'= 1
x
,所以 12
2 x
dx= 1221x
【全国卷】2018高三理科数学总复习第十三节 定积分与微积分基本定理(理科用)(001)
第十三节定积分与微积分基本定理(理科用)【最新考纲】 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．②当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图所示，则定积分∫ba f(x)dx 表示介于x 轴，曲线y ＝f(x)以及直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)之间各部分曲线梯形面积的代数和，即∫ba f(x)dx ＝A 1＋A 3－A 2－A 4．2．定积分的性质(1)∫b a kf(x)dx ＝k ∫ba f(x)dx (k 为常数)． (2)∫b a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝∫ba f 1(x)dx ±∫b a f 2(x)dx . (3)∫b a f(x)dx ＝∫c a f(x)dx ＋∫bc f(x)dx(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a ，b]上的连续函数，且F ′(x)＝f(x)，那么∫ba f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)⎪⎪⎪ba，即∫b a f(x)dx ＝F(x)⎪⎪⎪b a＝F(b)－F(a)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上连续，则∫ba f(x)dx ＝∫baf(t)dt.( )(2)若f(x)是偶函数，则∫a －a f(x)dx ＝2∫a0f(x)dx.( ) (3)若f(x)是奇函数，则∫a－a f(x)dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是∫10(x 2－x)dx.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20 B ．5t 20C.103t 20D.53t 20 解析：答案：B3．(2015·湖南卷)∫20(x －1)dx ＝________．解析：∫20(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0. 答案：04．(2015·天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1，1)． 故所求面积为S ＝∫10(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16.答案：165．若∫T0x 2dx ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵∫T 0x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案：3一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求被积函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算的关系．两种方法求定积分的两种常用方法：一是利用微积分基本定理；二是利用定积分的几何意义．四点注意1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．一、选择题1．(2014·山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．4 解析：令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝∫20(4x －x 3)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44|20＝8－4＝4.答案：D2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g 解析：电视塔高h ＝∫21gtdt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 2|21＝32g.答案：C3．(2016·河北五校联考)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0x ＋∫a 03t 2dt ，x ≤0， f(f(1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝∫a03t 2dt ＝t 3|a0＝a 3， 所以由f(f(1))＝1得：a 3＝1，a ＝1.答案：A4．(2015·福建卷改编)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.712B.512C.35D.310解析：S ＝∫21(4－x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3|21＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.答案：B5．若S 1＝∫21x 2dx ，S 2＝∫211xdx ，S 3＝∫21e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝∫21x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|21＝13×23－13＝73，S 2＝∫211xdx ＝ln x |21＝ln 2，S 3＝∫21e x dx ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e－1)．所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.答案：B6．(2016·唐山一中调研)直线l 的方向向量为n ＝(4，3)且过抛物线x 2＝4y 的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形的面积为( )A.858B.12524C.12512D.38524解析：由题可得直线l 的斜率为34，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线l 的方程为y －1＝34(x －0)⇒y ＝34x ＋1.联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧x 2＝4yy ＝34x ＋1⇒x ＝－1，x ＝4，则可知直线l 与抛物线围成的封闭图形的面积为∫ 4－1⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋1－14x 2dx ＝12524. 答案：B二、填空题7．(2016·江西八校联考)∫3－3(x 3cos x)dx ＝________．解析：∵y ＝x 3cos x 为奇函数，∴∫3－3(x 3cos x)dx ＝0.故答案为0. 答案：08．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解：求曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积，封闭图形如图所示，则∫axdx ＝23x 32|a 0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案：499．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F(x)对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解析：变力F(x)＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝∫101F(x)dx ＝∫101(x 2＋1)dx＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 答案：342 三、解答题10．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．解：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 33＋cx |10＝a3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0， 所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.10．(2015·陕西卷改编)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．解：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，由图易知(5，2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为 2∫50(2－225x 2)dx ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×（6＋10）2＝16.所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.导数应用中的高考热点题型函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：求单调区间、求极值、求最值、求函数的零点或方程的根、求参数的范围，证明不等式等，涉及到的数学思想方法有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．中、高档难度题型均有．热点1 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)判断函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a. 当a ≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x)<0. 所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x ＝1a处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g(a)＝ln a ＋a －1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0，1)．1．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．【变式训练】 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ，若函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f′(x)＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－x 2－x ＋c.则f′(x)＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1), 列表如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. (3)函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c)·e x ，有g′(x)＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c)e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，所以h(x)＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3，2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>23时，函数g(x)无零点； ②当m ＝23时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<23时，函数g(x)有两个零点； ④当m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<23时，函数g(x)有两个零点．用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．热点3 利用导数研究不等式问题(满分现场)导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．(理)(2015·课标全国Ⅰ卷)(本小题满分12分)设函数f(x)＝e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a. 规范解答：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2e 2x－a x (x>0).2分 当a ≤0时，f ′(x)>0，f ′(x)没有零点；3分当a>0时，设u(x)＝e 2x，v(x)＝－a x ， 因为u(x)＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增．所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b 满足0<b<a 4且b<14时，f ′(b)<0， 故当a>0时，f ′(x)存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0.故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0).9分由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f(x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋aln 2a ≥2a ＋aln 2a. 故当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a.12分 【满分规则】(1)本题易失分点是①忽视f(x)的定义域；②忽视当a≤0时，f′(x)>0的情况；③求解使f′(b)<0的b所满足的约束条件；④用f′(x0)＝0，求解f(x0)的表达式．(2)得满分的原则①讨论函数的性质应首先求出函数的定义域；②当解析式中含有参数时，应注意分类讨论；③准确计算，正确推理、论证，并用规范的文字语言、符号语言进行表述．【构建模板】第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；第二步：分类讨论f′(x)的单调性；第三步：判断f′(x)零点的个数；第四步：证明f(x)在f′(x)的零点取到最小值．第五步：求出f(x)最小值的表达式，证明结论成立；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．【变式训练】(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aln x＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<aa－1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f(1)<a a －1，即1－a 2－1<a a －1， 解得－2－1<a<2－1.②若12<a<1，则a 1－a>1， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x)<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x)>0. f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝aln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a>1，则f(1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a>1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．解：(1)f′(x)＝e x－e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x＋e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；②当b>2时，若x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.2．已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y ＝4ex －3e.(2)令f′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)≥0， 所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根． 当－(a ＋2)>0，即a<－2时，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a ＋2))＝a ＋4ea ＋2. 因为函数f(x)是(0，－(a ＋2))上的减函数，是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时，有f(x)≥e －a (－a)>－a ，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 3．已知函数f(x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－ln x －x ，f ′(x)＝（2x ＋1）（x －1）x. 当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0.所以f(x)的最小值为f(1)＝0. (2)由f(x)>x，得f(x)－x＝x2－ln x－(a＋1)x>0.由于x>0，所以f(x)>x等价于x－ln xx>a＋1.令g(x)＝x－ln xx，则g′(x)＝x2－1＋ln xx2.当x∈(0，1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)有最小值g(1)＝1.故a＋1<1，即a的取值范围是(－∞，0)．4．已知函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<f（x）x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xln x，又k<f（x）x－1对任意x>1恒成立，即k<x＋xln xx－1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x＋xln x x－1，则g′(x)＝x－ln x－2（x－1）2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4)．当1<x<x0时，h(x)<0，即g′(x)<0，当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0，所以函数g(x)＝x＋xln xx－1在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝x0（1＋ln x0）x0－1＝x0（1＋x0－2）x0－1＝x0∈(3，4)．所以k<[g(x)]min＝x0∈(3，4) ，故整数k的最大值为3.5．(2016·贵阳期末)已知函数f(x)＝ax－ae x(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋1e x，f′(x)＝x－2e x.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e 2，函数f(x)无极大值． (2)F′(x)＝f′(x)＝ae x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x. ①当a<0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝a e 2＋1>0， 解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0；②当a>0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：因为F(2)>F(1)>0，且F(1－10a )＝e1－10a －10e1－10a <e －10e1－10a<0， 所以此时函数F(x)总存在零点．综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．。
2018届高考第三章 第3讲定积分与微积分基本定理
a
又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)－F(a)记为 F(x)
b b F(b)－F(a) 即 f(x)dx＝F(x) ＝__________. a
a
b ， a
基础诊断 考点突破 课堂总结
T 2 4.若 则常数 T 的值为________. x dx＝9，
0
解析
1 3 1 3 3 T 2 x dx= x = ×T ＝9. ∴T ＝27, ∴T＝3. 3 0 3
0
T
答案 3
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.已知
2 x （－1≤x≤0）， 1 f(x)＝ 则 1 （0<x≤1）， －
有正有负 位于 x 轴下方的曲边梯形的面积
基础诊断
考点突破
课堂总结
2.定积分的性质
a
b k f(x)dx b (1) k 为常数). kf(x)dx＝___________( a b f1(x)dx± f2(x)dx b (2) f ( x )]d x ＝ _________________. [f1(x)± a a 2
第3讲
定积分与微积分基本定理
基础诊断
考点突破
课堂总结
最新考纲
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本
思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本 定理的含义.
基础诊断
考点突破
课堂总结
知识梳理
1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1，2，„，n)，作
2018届高三数学一轮复习：定积分与微积分的基本定理知识点归纳总结
1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫baf(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．[自测·牛刀小试]1.∫421x d x等于()A．2ln 2B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积， 212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫2x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)， 又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4 ＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1， 当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，等号成立．[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21 ＝76.———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错． 3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2， 即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e 11＋ln x x d x ＝( ) A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1 C.32 D.12解析：选C∫e 11＋ln x xd x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：选B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 1＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1 B. 2 C ．±3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ， 则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝±3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2 |21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12 ＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 mC.403 m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603(m)． 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x ＋2x －2. ∴y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________． 解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1， ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1取最大值． 答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎫π4－14sin π－0＝π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ＋ln x |32＝⎝⎛⎭⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2)＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3) 120⎰e 2x d x ＝12e 2x 120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342. 12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2 |2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. 1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t (0≤t ≤1)，2 (1≤t ≤3)，13t ＋1 (3≤t ≤6)，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为 s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝t 2112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 答案：494m 2．计算下列定积分：(1)31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x . 解：(1) 31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) 31-＝24.(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解：由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 |31 ＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2 (0≤t ≤10)，4t ＋60 (10<t ≤20)，140 (20<t ≤60).某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)． ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
高考定积分与微积分基本定理
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方
便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ba＝
a
F(b)－F(a)．
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
思想方法技巧
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思 想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求 定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．
D. 3
解析：如图为y＝cosx在[－3π，π3]上的图象． 答案：D
[例4] 如图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－ x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0<t≤1)与曲线C1、C2 分别相交于点D、B，连结OD、DA、AB.
(1)写出线段OD、DA、AB和曲线 OB 所围成的曲．边．四．边． 形．ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如图)． a
考点典例讲练
定积分的几何意义
[例 1] (2011·潍坊二模)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x ＝0，x＝2π所围成的平面区域的面积为( )
解析：当 x∈[0，2π]时，y＝sinx 与 y＝cosx 的图象的交点坐标为 π4， 22，作图可知曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π2所围成 的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线 y＝ sinx，y＝cosx 与直线 x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两 部分的面积相等，结合定积分定义可知选 D.
2018版高考数学一轮复习课件：第2章 第13节 定积分与微积分基本定理
4 (2)3
[(1)原式＝1 x2dx＋1
－1
－1
【导学号：01772093】
1－x2dx＝13x3|1－1＋1 1－x2dx＝23＋1
－1
－1
1－x2dx，1
1－x2dx 等于半径为 1 的圆面积的12，即1
1－x2dx＝π2，故原式＝π2
－1
－1
＋23.
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第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
________．
1 6
[如图，阴影部分的面积即为所求．
由yy＝ ＝xx2，， 得 A(1,1)．
故所求面积为 S＝1(x－x2)dx 0
＝12x2－13x3 |10＝16.]
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5．若Tx2dx＝9，则常数 T 的值为________． 0
积分的几何意义可知，由 y＝ x，y＝－x＋2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为1 x 0
dx＋2(－x＋2)dx＝23x |10＋2x－x22|21＝76. 1
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(2)由yy＝ ＝xk2x，， 得yx＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为 k0(kx－x2)dx＝2kx2－13x3|k0 ＝k23－13k3＝43， 即 k3＝8，∴k＝2.]
a
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高三一轮总复习
解密06+定积分与微积分基本定理-备战2018年高考数学(理)之高频考点解密+Word版含解析
考点1 定积分的计算题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分调研1 已知函数1(10)()πcos (0)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰A ．12 B ．1 C ．2 D ．32【答案】D 【解析】πππ200222101113()d (1)d cos d ()|sin |1222x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰⎰⎰，故选D.☆技巧点拨☆1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研2 计算333(cos )d x x x -=⎰.【答案】0【解析】∵3cos y x x =为奇函数，∴333(cos )d 0x x x -=⎰.调研3 m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知可得: y 的图象为圆：22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B.☆技巧点拨☆1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰.2．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aaf x x -=⎰；（2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研1 已知a >0，若曲线y =、x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________.【答案】49【解析】由题意322002|3a a x x ==⎰，所以a ＝49. 调研2 已知{()|,01}1,0x y x y Ω≤≤≤≤＝，A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4所围成的曲边三角形的平面区域，若向平面区域Ω内随机投一点M ，则点M 落在区域A 内的概率为________． 【答案】15【解析】区域Ω对应的是边长为1的正方形，其面积为S ＝1.区域A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4围成的曲边三角形，如图中阴影部分，故区域A 的面积为S A ＝14510011d |55x x x ==⎰.所以点M 落在区域A 内的概率为15.☆技巧点拨☆利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．注意：当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．3．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.题组二定积分的物理意义调研3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55()51V t tt=-++(t的单位:s，v的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是A．55ln 10 m B．55ln 11 m C．(12+55ln 7) m D．(12+55ln 6) m 【答案】B【解析】令55501tt-+=+，注意到t>0，得t=10，即行驶的时间为10 s.行驶的距离s=10210551(5)d[555ln(1)]|55ln1112t t t t tt-+=-++=+⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距离为55ln 11 m.☆技巧点拨☆利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.1．（2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二））1204d x x -=⎰A ．7B ．C ．D ．4【答案】C【解析】.故选C.2．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试（期中））由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形的面积为 A ．2ln3- B ．ln3 C ．2D ．4ln3-【答案】D3．（安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试）设()[](]cos ,0,π1,π,2πx x f x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则()2πd f x x =⎰A ．0B ．πC ．π-D ．π2【答案】B【解析】由已知得()2πd f x x =⎰π2ππ2π0π0πcos d 1d sin ||πx x x x x +=+=⎰⎰，故选B.4．（安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟）若，125b -=，π01sin d 4c x x =⎰，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵π01sin d 4c x x =⎰，∴，∵，∴，故选D.5．（陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ．8B ．16C ．24D ．60【答案】C6．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟）已知平面区域(){,|0π,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sin y x =下方的概率是A ．12 B ．1π C ．2πD ．π4【答案】A7．（东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试）已知函数()f x 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计()2d f x x ⎰的值约为A ．9925 B ．9950 C ．310D ．35【答案】B【解析】由定积分的几何意义知()2d f x x ⎰的值即为阴影部分面积S ，再由几何概型可知6620023S=⨯，解得9950S =．故本题选B ．8．（四川省德阳市2018【答案】42π+【解析】令y =则()2240x y y +=≥，其图象为半圆，且面积为2π，又22221d |4x x --==⎰，所以填42π+.9．（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考）如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．【答案】2310．（江西省新余市第一中学2018届高三毕业班第四次模拟考试）设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[0,)+∞则()222ln 22ln g x x bx kx x x kx =--=--，()22g x x k x-'=-， 由()22ln 2g x x bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，1．（2015年高考湖南卷）2(1)d x x -=⎰．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．（2015年高考山东卷）执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】错误！未找到引用源。
定积分与微积分基本定理
第三章 导数及其应用
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
(2)设 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，（11]，，2]，则20f(x)dx 等于(
)
3
4
A.4
B.5
5
6
C.6
D.7
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第三章 导数及其应用
【解析】 ＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2， ∴a＝－1.
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第三章 导数及其应用
【答案】 4－ln 3
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 (1)根据定积分的几何意义可计算定积 分；
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积 分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
跟踪训练 3 一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单
位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x＝1 运
动到 x＝2 时，F(x)做的功为( )
A. 3 J
23 B. 3 J
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第三章 导数及其应用
【解析】 01(2x＋
1－x2)dx＝102xdx＋10
1
1－x2dx＝x2 ＋
0
41π×12＝1＋π4 .
π 【答案】 1＋ 4
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2018年高考数学总复习-定积分和微积分基本定理
第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.2.了解微积分基本定理的含义.命题趋势探究定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.知识点精讲 一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<<Ln x b <<=L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1()nn ii S f x ξ==∆=∑1()ni i b af nξ=-∑，当x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限． 需要注意以下几点： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质性质11badx b a =-⎰.性质2 ()()(0)b ba akf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）. 性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()b c ba a cf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()b b b bmmaaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L 推广2 121()()()()kbc c ba ac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L ．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b af x dx F b F a =-⎰，或记为()()b a b f x dx F x a==⎰()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型51 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25（2012江西11）计算()12-1sin xx dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1()421dx x =⎰A.-2ln 2B. 2ln 2C.-ln2D. ln 2变式2()1(2)xex dx +=⎰A.1 B 1e -. C.e D. +1e 变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()101f x dx f x x=≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln21-C.2ln2D. 2ln21+ 例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分 （1）()402x dx -⎰； （2）1211x dx --⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()420x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注 定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1）()402x dx +⎰； （2）024x dx --⎰； （3）100sin xdx π⎰； （4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例3.27 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A.112 B.14 C.13 D.712解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）A.23B.13C.12D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题16（限时45分钟）1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163- C.-4 D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34 B.45 C.56D.不存在 4.222,,sin x a xdx b e dx c xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b << 5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12B.１337.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．1-yxO图3-16118.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()202|1x |dx --=⎰ ．10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx +⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x x π-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。
2018年高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理
关闭
∴S=
2 0
(4x-x3)dx=
2������
2
-
1 4
������
4
|02 =4.
π
π
(2)
2
0
(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)|02 =-a+1=2,a=-1.
(于3)依01A题(.12√意������知-x2,)题dx中=13的,B因.正16此方所形投区的域点的落C面.在14积叶为形1图2=内1D,部.阴13 的影概区域率等的于面13积,故等选关闭 D(1.)D (2)A (3)D
2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;再确定积分的 上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思 想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应 平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.
考点1 考点2 考点3
-21-
(2) π 0(sin x-cos x)dx= π 0sin xdx- π 0cos xdx=(-cos x)|π 0-sin x|π 0=2.
(3)
2 1
e2������ + 1
������
dx=
2 1
e2xdx+
2 1
���1���dx=12e2x|12+ln x|12 = 12e4-12e2+ln 2-ln
A.√22
B.13
C.12
D.23
如图思,考∵怎满足样题求意定的积图分形与的概面率积的交S=汇01问���题���12d?x=23
������
3 2
|10
=
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：定积分与微积分基本定理总讲
， 即bf(x)dx＝ F ( x) a
b a
＝F(b)
例题 1 定积分1[ 1－x－12－x]dx 等于(
0
)。 π－1 2
A.
π－2 4
π B. －1 2
C.
π－1 4
D.
解析：观察被积式可以发现，被积式构成形式为 f(x)－g(x)，其中 f(x)＝ 1－x－12， 其图象是圆(x－1)2＋y2＝1 在 x 轴上方的部分，而 g(x)＝x 为一次函数，其积分易求． 解：考虑定积分的运算性质与几何意义得
3 y＝2x＋3， 解：由方程组 可得 x1＝－1，x2＝3.故所求图形面积为 s＝ (2x＋3)dx 2 y＝x ， 1
－
1 x dx＝(x ＋3x)|
2 2
3
－1
3
1 32 － x3|－13＝ . 3 3
点拨： 利用定积分求平面图形的面积时， 关键是将待求面积的平面图形看成可求积分的 平面图形的和或差， 还要注意待求面积的平面图形在 y 轴上方还是下方， 以确定积分的正负．
3.bf(x)dx＝c f(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
a
a
c
二、求定积分的常用技巧 1. 求被积函数，要先化简，再求积分． 2. 求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和。 3. 对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分。 三、微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝ a F(b)－F(a) 这个结论叫做微积分基本定理， 又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 其中 F(x)叫做 f(x) 的一个原函数． 为了方便， 我们常把 F(b)－F(a)记作 F ( x) －F(a)。 特别提示：一个函数的导数是唯一的，但导函数的原函数不一定唯一。
高考理科数学新课标件定积分与微积分基本定理
定积分的性质
线性性质
对于任意常数$k_1$和$k_2$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x) + k_2g(x)]dx = k_1int_{a}^{b}f(x)dx + k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。
区间可加性
若$c$是区间$[a,b]$内的一点，则$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$。
微积分基本定理在解题中的应用
01
计算定积分
02
证明等式
利用微积分基本定理，可以直接计算 出某些函数的定积分结果，而不需要 使用复杂的积分方法和技巧。
通过构造适当的原函数和变上限积分 ，可以利用微积分基本定理证明一些 与定积分相关的等式。
03
解决实际问题
微积分基本定理在实际问题中也有广 泛的应用，例如计算物体的质量、重 心、转动惯量等物理量，以及求解经 济学中的边际效应和弹性等问题。
VS
变量代换法的步骤
首先，根据被积函数的特征，选择合适的 变量代换；其次，将原积分转化为关于新 变量的积分；最后，求出原函数并加上常 数C。
分部积分法
分部积分法的原理
利用两个函数乘积的积分等于其中一个函数与另一个函数的原函数乘积的积分减去另一 个函数与第一个函数的原函数乘积的积分，从而将复杂的积分转化为简单的积分形式。
要点二
定积分的几何意义
定积分在几何上表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$， $x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。若$f(x) geq 0$ ，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形的面积；若 $f(x) leq 0$，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形 面积的负值。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解(含答案)
定积分、微积分基本定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6 小题）1)101．（2018 春•海淀区期中）dx (1xA．1 B．ln 10 1 C．ln10 D．101 1a 1 a ( )a2．（2018 春•海淀区校级期中）若(x )dx 1ln3 ，且，则的值为1 x2A． 3 B．1n3 C． 3 D．31)33．（2017•丰台区一模）定积分(2x ) dx (1xA．B．C．D．10 ln3 8 ln3 223 649f (x) g(x) [ 1 1]14．（2017 春•丰台区期末）若函数f x ，g(x) 满足 f (x)g(x)dx 0 ，则称，在区间，上是“互为( )1正交函数”．现给出三组函数：①f (x ) 2 ，g(x ) e x ．②f (x ) x 1，g(x ) x 1；③f (x ) x ，g(x ) x2 其中“互为正交函数”的组数是 ( )A．0 B．1 C．2 D．31( )45．（2017 春•西城区校级期中）dx 等于2xA．21n 2 B． 21n 2 C．ln 2 D．ln 21a b( ) 6．（2017 春•朝阳区期末）若a xdx ，b sin xdx ，则的值是1 0A． 2 B．0 C．2 D．3二．填空题（共7 小题）1 37．（2017 秋•海淀区期中）定积分x dx 的值等于．12 28．（2017 秋•海淀区校级月考）计算：3x dx ．2139．（2017 秋•东城区校级期中）定积分(2x )dx ．1x3 210．（2017 秋•崇文区校级期中）x dx 的值等于．311．（2017 秋•西城区校级月考）如图中的曲线为( ) 2 ，则阴影部分面积为．f x x2 x第1页（共7页）3 212．（2017 春•西城区校级期中）x dx ．213．（2017 春•海淀区校级期末）sin xdx ．3三．解答题（共2 小题）14．（2013•宣武区校级模拟）计算下列定积分的值3 2（1）(4x x )dx ；12 5（2）(x 1) dx ；1（3）(x sin x)dx ；2（4）．2 cos xdx2215．（2013•北京校级模拟）计算下列定积分（1）；2 (3x sin x)dx2（2）．323 9 x dx第2页（共7页）定积分、微积分基本定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6 小题）1)101．（2018 春•海淀区期中）dx (1xA．1 B．ln10 1 C．ln10 D．10【分析】根据定积分的计算法则计算即可．110 10【解答】解：dx lnx | ln10 ln1ln10 ，11x故选：C ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．1 1a 1 a ( )a2．（2018 春•海淀区校级期中）若(x )dx 1ln3 ，且，则的值为1 x2A． 3 B．1n3 C． 3 D．3【分析】根据微积分基本定理，计算即可．1 1 1 1 1 1 1a x dx x lnx a a lna a lna ln【解答】解：( ) ( ) | ( ) ( 0) 13，2 2 211x 2 2 2 2 2 21 a 1 13 2 1 lnaln且，2 2 2解得a 3 ，故选：C ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．1)33．（2017•丰台区一模）定积分(2x ) dx (1xA．B．C．D．10 ln3 8 ln3 223 64 9【分析】求出原函数，即可求出定积分．13 2 3【解答】解：(2x ) dx (x lnx ) | 8 ln3 ，11x故选：B ．【点评】本题考查定积分，考查学生的计算能力，确定原函数是关键．f (x) g(x) [ 1 1]14．（2017 春•丰台区期末）若函数f x ，g(x) 满足 f (x)g(x)dx 0 ，则称，在区间，上是“互为( )1正交函数”．现给出三组函数：①f (x ) 2 ，g(x ) e x ．②f (x ) x 1，g(x ) x 1；③f (x ) x ，g(x ) x2 其中“互为正交函数”的组数是 ( )第3页（共7页）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用题意将原问题转化为考查函数奇偶性的问题，据此整理计算即可求得最终结果．y f (x)g(x)1【解答】解：函数，满足( ) ( ) 0 ，则为奇函数，f (x) g(x) f xg x dx1对于①：( ) 2 ，，不是奇函数，，不是区间，上的一组正交函数；f x g(x) e x y 2e x f (x) g(x) [ 1 1]对于②：，，则为偶函数，，不是区间，上的一组f (x) x 1 g(x) x 1 y (x 1)(x 1) x2 1 f (x) g(x) [ 1 1]正交函数；对于③：，，，为奇函数，，为区间，上的一组正交函数，f (x) x g(x) x2 y x3 f (x) g(x) [ 1 1]正交函数有 1 组，故选：B ．【点评】本题考查定积分的性质，函数的奇偶性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．1( )45．（2017 春•西城区校级期中）dx 等于2xA．21n 2 B． 2 C． 2 D． 221n ln ln【分析】根据定积分的计算法则计算即可14 4【解答】解：dx lnx | ln4 ln2 2ln2 ln2 ln2 ，22x故选：D ．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题1a b( ) 6．（2017 春•朝阳区期末）若a xdx ，b sin xdx ，则的值是1 0A． 2 B．0 C．2 D．3【分析】根据定积分的定义计算即可．1 11 2 1 2 2【解答】解：a xdx x |[1 ( 1) ] 0 ，112 2，b sin xdx cos x | cos cos 0 2则0 2 2 ．a b故选：C ．【点评】本题考查了定积分的定义与计算问题，是基础题．二．填空题（共7 小题）1 37．（2017 秋•海淀区期中）定积分x dx 的值等于0．111 3 4 1【分析】由已知可得x dx x ，进而得到答案．|114第4页（共7页）1 1 1【解答】解：Q1 3 4 1x dx x |114 4 4故答案为：0【点评】本题考查的知识是定积分，求出原函数是解答的关键．2 28．（2017 秋•海淀区校级月考）计算：3x dx 16．2【分析】结合积分公式进行计算即可．2 23 2 3 3【解答】解：3x dx x | 2 ( 2) 8 8 16 ，22故答案为：16．【点评】本题主要考查积分的计算，结合积分公式是解决本题的关键．18 ln339．（2017 秋•东城区校级期中）定积分(2x )dx ．1x1 33 2 3【分析】，由此能求出结果．(2x )dx (x lnx)x |x 1111 33 2 3【解答】解：(2x )dx (x lnx)x |x 111(3 ln3) (1 ln1)2 28 ln3．故答案为：8 ln3．【点评】本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3 210．（2017 秋•崇文区校级期中）x dx 的值等于18．3【分析】利用微积分基本定理即可得出．x 27 2733 2 3【解答】解：．x dx | () 18333 3 3故答案为：18．【点评】本题考查了微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2017 秋•西城区校级月考）如图中的曲线为( ) 2 ，则阴影部分面积为．f x x x 823第5页（共7页）【分析】根据积分的几何意义求对应阴影部分的面积，即可得到结论．S f x dx fx dx 【解答】解：由积分的意义得阴影部分的面积 1 ( ) 0( )0 20 2 2 21(x 2x)dx 0 (x 2x)dx1 1( x x ) |( x x ) |3 2 0 3 2 21 03 31 1，4 48(1)( 8 4)()3 33 338故答案为：．3【点评】本题主要考查阴影部分面积是计算，利用积分的应用，建立积分关系是解决本题的关键．193 212．（2017 春•西城区校级期中）x dx ．23【分析】根据定积分的运算法则，求解即可．1 1 193 2 3 3【解答】解：x dx x | (27 8) ．223 3 319故答案为：．3【点评】本题考查了定积分的计算问题，是基础题．313．（2017 春•海淀区校级期末）sin xdx ．23【分析】找出被积函数y sin x 的原函数，然后利用牛顿莱布尼兹公式计算即可得出答案．3 3【解答】解：sin xdx cos x ，故答案为：．2 233【点评】本题考查定积分的计算，找出被积函数的原函数，是解本题的关键，属于基础题．三．解答题（共2 小题）14．（2013•宣武区校级模拟）计算下列定积分的值3 2（1）(4x x )dx ；12 5（2）(x 1) dx ；1第6页（共7页）（3）(x sin x)dx ；2（4）cos xdx ．222【分析】利用微积分基本定理和导数的运算法则即可得出．x 2033 2 2 3【解答】解：（1）x x dx x ；(4 ) (2 ) |113 3( 1) (x 1)6 1x 62 5 2（2）Q ( ) ( 1) ，(x 1) dx | ；5x16 16 62 2x（3）( sin ) ( cos ) | 1；2 x x dx x 22 81 cos 2x x sin 2x（4）cos xdx dx ( ) | ．2 2 222 2 4 22 2 2【点评】熟练掌握微积分基本定理和导数的运算法则是解题的关键．15．（2013•北京校级模拟）计算下列定积分（1）；2 (3x sin x)dx2（2） 3 9 x dx ．32【分析】利用微积分基本定理和定积分的几何意义即可求出．3【解答】解：（1），原式；Q (x 3 cos x) |2 1(x 3 cos x ) 3x 2 sin x8（2）令，则，9 x 2 y… 0 x 2 y 2 9(y…0)3 29 xdx3 表示的是上半圆的面积，x 2 y 2 9(y…0)3 29 x dx392．【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．第7页（共7页）。
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考点1 定积分的计算题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分调研1 已知函数1(10)()πc o s (0)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰ A ．12 B ．1 C ．2 D ．32【答案】D【解析】πππ22221011013()d (1)d c o s d ()|s in |1222xf x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰⎰⎰，故选D.☆技巧点拨☆1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研2 计算333(c o s )d x x x -=⎰ .【答案】0【解析】∵3c o s y x x =为奇函数，∴333(c o s )d 0x x x -=⎰.调研3 m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知可得: y =的图象为圆：22(1)1x y++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B.☆技巧点拨☆1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰.2．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0a af x x -=⎰；（2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d a aag x x g x x -=⎰⎰.考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研1 已知a >0，若曲线y =、x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________.【答案】49【解析】由题意322002|3aaa x x ==⎰，所以a ＝49.调研2 已知{()|,01}1,0x y x y Ω≤≤≤≤＝，A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4所围成的曲边三角形的平面区域，若向平面区域Ω内随机投一点M ，则点M 落在区域A 内的概率为________． 【答案】15【解析】区域Ω对应的是边长为1的正方形，其面积为S ＝1.区域A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4围成的曲边三角形，如图中阴影部分，故区域A 的面积为S A ＝14510011d |55x x x ==⎰.所以点M 落在区域A 内的概率为15.☆技巧点拨☆利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 3．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.题组二 定积分的物理意义调研3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55()51V t t t=-++(t 的单位:s ，v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12+55ln 7) mD ．(12+55ln 6) m【答案】B 【解析】令55501t t-+=+，注意到t >0，得t =10，即行驶的时间为10 s.行驶的距离s =1021000551(5)d [555ln (1)]|55ln 1112t t t t t t-+=-++=+⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距离为55ln 11 m.☆技巧点拨☆利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.1．（2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二））124d x x -=⎰A ．7 BCD ．4【答案】C【解析】故选C.2．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试（期中））由曲线1x y =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形的面积为 A ．2ln 3- B ．ln 3 C ．2D ．4ln 3-【答案】D3．（安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试）设()[](]c o s ,0,π1,π,2πx x f x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则()2πd fx x=⎰A ．0B ．πC ．π-D ．π2【答案】B【解析】由已知得()2πd fx x =⎰π2ππ2π0π0πc o sd 1d s in ||πx x x x x +=+=⎰⎰，故选B.4．（安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟）若，125b -=，π1sin d 4c x x =⎰，则的大小关系是A ．B ．CD ．【答案】D【解析】∵π01sin d 4c x x =⎰，故选D.5．（陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ．8B ．16C ．24D ．60【答案】C6．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟）已知平面区域(){,|0π,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2s in y x =下方的概率是A ．12B ．1πC ．2πD ．π4【答案】A7．（东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试）已知函数()fx 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计()20d f x x ⎰的值约为A ．9925B ．9950C ．310D ．35【答案】B【解析】由定积分的几何意义知()20d f x x ⎰的值即为阴影部分面积S ，再由几何概型可知6620023S =⨯，解得9950S =．故本题选B ．8．（四川省德阳市2018【答案】42π+【解析】令y =，则()2240x y y +=≥，其图象为半圆，且面积为2π，又22221d |4x x --==⎰，所以填42π+.9．（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考）如图所示，在平面直角坐标系内，四边形A B C D 为正方形且点C 坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形A B C D 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．【答案】2310．（江西省新余市第一中学2018届高三毕业班第四次模拟考试）设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x b x kx =--在[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[0,)+∞则()222ln 22ln g x x b x kx x x kx =--=--，()22g x x k x-'=-，由()22ln 2g x x b x kx =--在[)1,+∞上单调递减，1．（2015年高考湖南卷）2(1)d x x -=⎰ ．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰.3．（2015年高考山东卷）执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】116【解析】开始n =1，T =1，因为1<3，所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =1+1=2；因为2<3，所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =2+1=3.因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为116.4．（2015年高考福建卷）如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】5125．（2015年高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22xp y =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403=，所以答案为1.2．。