中考专题---中点倍长
中考复习1 中点专题
中点专题【类型一】见中线 可倍长例1、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 点F ，AF=EF ，求证：A C=BE.变式、如下图所示，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若AD 为△ABC 的角平分线，求证：BG ＝CF.例2、如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90BAC ,点D 为BC 中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且FD ED ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.变式1、 如图所示，已知M 为△ABC 中BC 边上的中点，∠AMB 、 ∠AMC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF ．求证：BE+CF>EF ．4例3、已知:ABC ∆和ADE ∆是两个不全等的等腰直角三角形,其中BC BA =,DE DA =,连接EC,取EC 的中点M,连接BM 和DM.(1)如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是____________；(2)将图1中的ADE ∆绕点A 旋转到图2的位置,此时DE AC //判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.检测1、在ABC ∆中,AD 是边BC 上的中线,已知4=AB ,6=AC ,则中线AD 的取值范围是___________。
检测2、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF 。
①求证：BE ＋CF ＞EF 。
（4分）【类型二】见等腰三角形，想“三线合一”例4、如图所示:一幅三角板如图放置,等腰直角三角板ABC 固定不动,另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处,且可以绕点D 旋转,在旋转过程中,两直角边的交点G 、H 始终在边AB 、BC 上.(1)在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系?证明你的结论.(2)若cm BC AB 4==,在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.(3)若交点G 、H 分别在边AB 、BC 的延长线上,则(1)中的结论仍然成立吗?请画出相应的图形,直接写出结论.例5、如图，点P 是等腰Rt △ABC 底边BC 上一点，过点P 作BA 、AC 的垂线，垂足为E 、F ，设点D 为BC 中点，求证：△DEF 是等腰直角三角形．检测1、如图,ABC ∆是等腰直角三角形,AC AB =,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且.(1)请说明:DF DE =;(2)请说明:222EF CF BE =+;(3)若6=BE ,8=CF ,求DEF ∆的面积(直接写结果).【类型三】见斜边 想中线例6、如图,在ABC ∆中,若C B ∠=∠2,BC AD ⊥,E 为BC 边中点,求证:DE AB 2=.例7、 如图，在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,点D 、E 分别为AB 、BC 的中点,点F 在AC 的延长线上,B FEC ∠=∠.请问DE CF =成立吗?试说明理由.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)检测2、如图在Rt △ACB 中，C 为直角顶点，∠ABC=25°，O 为斜边中点，将OA 绕着点O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP ，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为 .【类型四】见多个中点，想中位线例8、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE(不需证明).(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证得HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE.)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF交延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明.检测1、如图,在ABC ∆中,点O 是重心,10=BC ,连接AO 并延长交BC 于点D,连接BO 并延长交AC 于点E,BE AD ⊥.若62==OD BE ,6=AO ,则AC 的值为________。
中考数学几何辅助线：倍长中线法
中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。
常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。
它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。
也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。
逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。
在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
中点模型1---倍长中线(辉哥秘籍)
E
F
B
C
【例9】 如图所示，在 ABC 中，AB AC ，延长 AB 到 D ，使 BD AB ，E 为 AB 的中点， 连接 CE 、 CD ，求证 CD 2EC ．
板块三、求证中点
【例10】已知 ACB ，B ACB ，D ，E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD CE ， 连接 DE 交底 BC 于 G ，求证 GD GE ．
BA E
C
D
【例3】 如图，在△ACB 和△AED 中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点 E 在 AC 上， 连结 BD，取 BD 的中点 F，连结 FE、CF，求证：CF 与 EF 的关系
A
A
A
E
D
D
F
C
B
图1
E
F C
图2
D
B
C
【例4】 如图，正方形 CGEF 的边 CG 与正方形 ABCD 的边 BC 在同一直线上（CG＞BC），连 结 AE,取线段 AE 的中点 M．探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证 明.
A
F E
B
D
C
【例7】 如图所示，已知 ABC 中，AD 平分 BAC ，E 、F 分别在 BD 、AD 上．DE CD ， EF AC ．求证： EF ∥ AB
A
F
BE
D
C
【例8】 已知 AM 为 ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于
F ．求证： BE CF EF ．
A
D
B
G
C
E
【例11】已知△ABC 中，过 AB 边和 BC 边在三角形外分别作正方形 ABEF 和正方形 BCPQ， 连接 EQ，过 B 点作 BM⊥EQ，延长 MB 与 AC 交于 D 点，求证：D 是 AC 中点．
专题03 倍长中线(原卷版)
专题03 倍长中线1.任何时候,都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的.2.倍长中线,只是辅助线的一种方法, 是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
3. 倍长中线,提供的是一种解题思路,而不能死记硬背。
4.倍长中线还可以理解为:中点+平行,中心对称,180°旋转……三角形小贴士如图1-1：已知AD 是△ABC 的中线。
求证： 12（AB -AC)<AD<12（AB+AC)中心对称图形如图2-1：已知：点F 是▱ABCD 边CD 的中点,且AF 平分∠CAF 。
求证： EF ⊥AE, AE=AD+CE证明：延长AF,BC 交于点G.∵ 四边形ABCD 是平行四边形.∴ AD ∥BG∴ ∠1=∠G,∠ADC=∠FCG4312E DAB CD A B C证明：如图1-2法一：延长AD 到点E ，使DE=AD.又∵CD=BD,∠3=∠4∴ △ADB ≅△EDC∴ AB=CE;∠ABC=∠2;∠1=∠E;AB ∥CE在△ACE 中，AB -AC<AE<AB+AC又∵AD=AE∴12（AB -AC)<AD<12（AB+AC)法二：作CE ∥AB,交AD 延长线于点E 。
则：∠ABC=∠2;∠1=∠E 又 ∵ AD 是△ABC 的中线。
∴ BD=CD ∴ △ADB ≅△EDC ∴ AD=DE ，AB=CE 在△ACE 中， AB -AC<AE<AB+AC 又∵AD=AE ∴12（AB -AC)<AD<12（AB+AC)21E FD A B C 21EF D B C又∵CF=FD∴△ADF≅△GCF∴AD=CG，AF=GF又∵∠1=∠2∴∠2=∠G∴AE=CE∴EF⊥AG∵EC=CE+CG∴AE=AD+CE一．中线取值范围1．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．0＜AD＜5B．2＜AD＜3C．1＜AD＜4D．3＜AD＜5二．三角形类提升2．（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE ⊥DF．求证：BE+CF＞EF．3．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB＝MC；（2）设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB＝MC是否还能成立？并证明其结论．4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC ＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD （中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再连接BE，（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC 边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明（2）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．6．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是；（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC＝α时，求MEMD的值．三．中心对称图形类8．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．求证：AE平分∠DAF．李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明．9．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（）A ．√2B ．√22C ．2√2D ．√2410．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的一点，且∠F AE ＝∠EAD ，则EF 与AE 的位置关系 ．若将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图a 、图b 、图c ），其它条件不变，则EF 与AE 的位置关系是 请结合图c 加以说明．四．综合运用11．（1）阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝5，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ，在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是 ；（2）问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF ＞EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，∠B +∠D ＝180°，CB ＝CD ，∠BCD ＝100°，以C 为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．12．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的点，AF ＝AD +FC ，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l．（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值．13．（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，若BE＝2，CF＝5，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且EF⊥EG，若AF＝4，DG=2√3，求GF长．。
中考数学“倍长中线模型”应用分析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，模型观念是初中阶段的数学核心素养的主要表现之一。
对初中学生来说，运用数学几何模型来解决实际问题要有清晰的认识，需要具备较好的解题思维与解题技巧。
数学建模是数学世界与现实世界联系的基本途径之一，教师应让学生在学习中感知数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识和能力。
文章以鲁教版五四学制初中数学教材七年级上册第一章第1节“认识三角形”中的相关内容为例进行讲解分析，进而研究倍长中线模型（中线加倍法模型）解题策略和解题思路。
初中数学学习策略模型的建立及其应用案例的研究显得尤其重要。
文章重点分析倍长中线模型并进行拓展应用，达到思维的提升。
一、倍长中线模型中线：平面内的三角形，任意取一个顶点，这个顶点到对边中点的线段，定义为三角形的一条中线，显然三角形有三条中线。
倍长中线模型（中线加倍法模型）：沿着某一个方向延长中线，使得被延长的部分线段的长度等于它本身的长度，再连接两个端点。
此模型经常用来构造三角形全等（AAS 、SAS ）以求解三角形边长之间的取值范围、长度、数量关系等问题。
一般思路：已知条件中出现三角形一边的中线或与中点有关的线段时，优先运用倍长中线模型来构造全等三角形加以论证说明。
利用中点巧作辅助线，通常是把中线延长一倍，然后利用全等三角形判定定理来解决问题。
常用的解决方案如下面四种情况所示：已知，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线。
①如图1所示，延长AD 到E ，使得DE =AD ，连接BE ；②如图2所示，延长AD 到F ，使得DF =AD ，连接CF ；③如图3所示，作CN ⊥AD 于点N ，作BM ⊥AD 的延长线于点M ；④如图4所示，在AB 上取一点G ，连接GD 并延长到点H ，使得DH =GD ，连接CH 。
上述四种解题思路均可以推导出两个三角形全等。
图1 图2 图3 图4二、模型应用及分析倍长中线的应用，需要借助中线的条件，根据题目条件来求解问题。
中学考试专题中线倍长法及截长补短
文档几何证明中常用辅助线:)中线倍长法(一、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
1 例1 (AB+AC)﹤已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD 21也就是证明两条线段之和分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，2，但题中的三条大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”因此应该进行转线段共点，不能用三角形三边关系定理，没有构成一个三角形，应该加倍。
，即中线AD化。
待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD AE=2AD。
DE=AD，使，连CE，则证明：延长AD至E 中，在△ ADB和△EDC AD=DE AEDCADB=∠∠DCBD=EDC(SAS) ≌△∴△ADB CDB AB=CE∴中，在△ACE又E AE＞AC+CE1 (AB+AC)AD ﹤AC+AB＞2AD，即∴2即中线倍长法。
涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，小结：(1)集中于同一个三CAD和两个角∠BAD和∠它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC 角形中，以利于问题的获解。
BAC?ABC?AB=AC 是BD=CD，求证课题练习:的平分线，且中，AD AC BD文档中线一倍辅助线作法 2:例A A方式1：延长AD△ABC中到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE BC BC D D方式2：间接倍长EA A延长MD到NAD于F，，作CF⊥F作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，M连接BE 连接CD CB D D CBE N例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，A求证：BD=CEDBCF E课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交A?ABCAB?AC，D：已知：如图，在AC于例5、E中，DF//BA A交AE于点F，DF=AC. 作DE=EC在BC上，且，过D FE?BAC求证：AE平分FED第1 题文档BAE ∠ABD的中线，求证：∠C=∠BAD，AE是△课堂练习：已知CD=AB，∠BDA= ABC DE作业：的延长线相交于DC，∠EAFAF与AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=1、在四边形ABCD 中，之间的数量关系，并证明你的结论与AF、CF点F。
中考必会几何模型：倍长中线模型
倍长中线模型模型讲解【结论】如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连接CA'，则AB= A'C，AB∥A'C.【证明】在△ABD和△A'CD中，{DB=CD .∠BDA=∠CDA′，AD=A′D.∴△ABD ≌△A'CD(SAS).∴AB=A'C.∠ABD=∠A'CD，∴AB//A'C.模型拓展【模型1】(直接倍长）△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E，使DE=AD，连接BE.【模型2】(间接倍长)△ABC中，AD是BC边上的中线.(1)如图，作CF⊥AD于点F. 作BE⊥AD交AD的延长线于点E.(2)如图，点M（不与A，B重合)是AB上一点，连接MD并延长至点N，使DN=MD，连接CN.典型例题典例1如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD长度的取值范围为（）.A. 6＜AD＜8B. 6≤AD≤8C. 1＜AD＜7D. 1≤AD≤7典例2如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上(E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则（）.A.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的长短关系不确定典例3如图所示，E是BC 的中点，∠BAE=∠CDE.若AB=6.则CD=（）.A.6B.3C.12D.无法确定典例4已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（）.A. 4<BC<20，2<AD<10B. 4<BC<20，4<AD<20C. 2<BC<10，2<AD<10D. 2<BC<10，4<AD<20初露锋芒1.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD长度的取值范围（）.A.1<AD<6B.2<AD<12C.5<AD<7D.无法确定2.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证；AB=CD.分折：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形成等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD.必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形. 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.感受中考1.（2020山东德州中考真题）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6.AC=4.AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答下列各题.（1）小红证明△BED≌△CAD的判定理由是____________________.（2）AD的取值范围是_______________________________________.方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证；BF=AC.（4）如图3.在矩形ABCD中,ABBC =12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且FEBE =12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG.答案典例1【答案】C【解析】如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线模型可知BE=AC.∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<AE<AB+AC.∵AB=8，AC=6，∴8-6<AE<8+6，∴2<AE<14.∵AD=ED，∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，即2<2AD<14，1<AD<7.故选C.典例2【答案】A【解析】如图，延长ED至点G，使DG=ED.连接CG，FG.∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线的拓展模型可得CG=BE.又∵DE⊥DF，DG⊥ED，∴FD是EG的垂直平分线，∴FG=EF.∵GC+CF>FG ，∴BE+CF>EF. 故选A. 典例3 【答案】A【解折】如图，延长DE 至点G ，使得DE=EG ，连接 BG. 由模型知△GBE ≌△DCE. 所以∠BAE=∠CDE=∠BGE. 所以BG=AB=DC=6. 故选A. 典例4 【答案】A【解析】在△ABC 中.则AB-AC ＜BC ＜AB+AC. 即12-8＜BC ＜12+8，4＜BC ＜20, 延长AD 至点E ，使AD=DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的中线， ∴BD=CD.又∠ADC=∠BDE ，AD=DE ∴△ACD≌△EBD(SAS). ∴BE=AC.在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，即AB-AC ＜AE ＜AB+AC.12-8＜AE＜12+8.即4＜AE＜20.∴2＜AD＜10.故选A.初露锋芒1.【答案】A【解折】如图，延长AD至点E，使AD=ED.连接CE.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.∴根据倍长中线模型结论可知△ABD≌△ECD.∴AB=EC.∵AC-EC<AE<AC+EC，∴AC-AB<AE<AC+AB.∵AC=7，AB=5,∴7-5＜AE＜7+5,∴2<AE<12.∵AD=ED.∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，∴2<2AD<12.∴1<AD<6.故选A.2. 【答案】D【解折】方法一；作BF⊥DE交DE的延长线于点F，作CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE.∴△BFE≌△CGE(AAS).∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE.BF=CG，∴△ABF≌△DCG(AAS).∴AB=CD.方法二：作CF∥AB.交DE的延长线于点F，则∠F=∠BAE.又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE,∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴АВ=СF.∴AB=CD.方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，连接BF.∵BE=CE ，∠BEF=∠CED ，EF=DE.∴△BEF ≌△CED(SAS),∴BF=CD. ∠D=∠F.又∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.∴AB=CD.感受中考1.【解折】（1）∵AD 是中线，∴BD=CD.在△HED 和△CAD 中，{ED =AD,∠EDB =∠ADC.BD =CD∴△BED ≌△CAD(SAS).故答案为SAS:（2）∵△BED ≌△CAD.∴AC=BE=4.又∵AB=6.∴2<AE<10.∵AE=2AD.∴1<AD<5.故答案为1<AD<5.（3）如图，延长AD至点A'.使A'D=AD.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADC 和△A'DB中.{AD=A′D.∠ADC=∠A′DBCD=BD∴△ADC≌△A'DB.∴∠CAD=∠A'，AC=A'B.又∵AE=EF.∴∠CAD=∠AFE.∴∠A'=∠AFE.又∵∠AFE=∠BFD.∴∠BFD=∠A'，∴BF=A'B.又∵A'B=AC.∴BF=AC.（4）如图，延长CG至点H，使HG=CG.连接HF，HE，CE.∵G为FD的中点，∴FG=DG，在△HGF 和△CGD中，{HG−CG，∠HGF=∠CGD FG=DG.∴△HGF≌△CGD.∴HF=CD，∠HFG=∠CDG.在Rt△BEF中，∵EFBE =12，∴tan∠EBF= 12.又在矩形ABCD中，ABBC =1 2.∴ABAD =1 2.∴tan∠ADB= 12.∴∠EBF=∠ADB.又AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.∵∠EFD为△BEF的外角。
中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析
专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>； （2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+； （3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且△MPN ＝60°，△BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ＝PN 时，试说明MN ＝BM +CN ． (2)如图②，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ≠PN 时，MN ＝BM +CN 还成立吗？ 答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，请直接写出BM ，NC ，MN 之间的数量关系．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【变式训练3】在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ． （1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ②如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ． 求让：MD ME =【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ． （1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【变式训练2】已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，在射线CA 上截取线段CE ，在射线AB 上截取线段BD ，连接DE ，DE 所在直线交直线BC 与点M ．请探究：(1)如图（1），当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD =CE ，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD =CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；类型四、旋转模型 例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含α的式子表示AMB ∠的度数；（2）当90α=︒时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ 的形状，并加以证明．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．则：①△AEB 的度数为 °；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且△ACB ＝△DCE ＝90°，点 A 、D 、E 在同一直线上，若AD ＝a ，AE ＝b ，AB ＝c ，求a 、b 、c 之间的数量关系． （3）探究发现：图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转过程中，当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索△AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式训练3】如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．类型五、手拉手模型例．在等边ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，连接CF ．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长； (2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB ∠=︒+∠，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ 的面积．【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A ，D ，E 在同一直线上，连接AE ，BE ． ①求证：△ACD △△BCE ；②求△AEB 的度数．(2)类比探究：如图2，点B 、D 、E 在同一直线上，连接AE ，AD ，BE ，CM 为△DCE 中DE 边上的高，请求△ADB 的度数及线段DB ，AD ，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD （或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AD ＝6，BD ＝10，则CD ＝ ．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）类型六、一线三角模型例.在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC △CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有△BDA =△AEC =△BAC ．如图①，当△BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<△BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，△ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD△△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD△△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若△BDA＝△AEC＝△BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA=△AEC=△BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若△BDA=△AEC=△BAC，请直接写出△DEF的形状是．。
中考数学常见几何模型专题01 全等模型-倍长中线与截长补短(解析版)
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD △△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE +BM ＞EM 即可得出结论；（3）如图③，延长AE ，DF 交于点G ，根据平行和角平分线可证AF ＝FG ，易证△ABE △△GEC ，据此知AB ＝CG ，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图①所示，△AD 是BC 边上的中线，△BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，△BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDE △△CDA （SAS ），△BE ＝AC ＝4，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，△6﹣4＜AE ＜6+4，即2＜AE ＜10，△1＜AD ＜5；故答案为：1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ；证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所示．同（1）得：△BMD △△CFD （SAS ），△BM ＝CF ，△DE △DF ，DM ＝DF ，△EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE +BM ＞EM ，△BE +CF ＞EF ；（3）AF +CF ＝AB ．如图③，延长AE ，DF 交于点G ，△AB △CD ，△△BAG ＝△G ，在△ABE 和△GCE 中 CE ＝BE ，△BAG ＝△G ，△AEB ＝△GEC ，△△ABE △△GEC （AAS ），△CG ＝AB ，△AE 是△BAF 的平分线，△△BAG ＝△GAF ，△△F AG ＝△G ，△AF ＝GF ，△FG +CF ＝CG ，△AF +CF ＝AB ．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明△//CE AB （已知）△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），△()A.A.S ABD ECD △△≌，△AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC △△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE △△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△EDB （SAS ），△AC =BE =4， 在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，△6-4＜2AD ＜6+4，△1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）结论：AD =AB +DC ．理由：如图②中，延长AE ，DC 交于点F ，△AB △CD ，△△BAF =△F ，在△ABE 和△FCE 中，AEB FEC BAE F BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△FCE （AAS ），△CF =AB ， △AE 是△BAD 的平分线，△△BAF =△F AD ，△△F AD =△F ，△AD =DF ，△DC +CF =DF ，△DC +AB =AD ；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，△E 是BC 的中点，△CE =BE ，△AB △CF ，△△BAE =△G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEB △△GEC （AAS ），△AB =GC ， △△EDF =△BAE ，△△FDG =△G ，△FD =FG ，△AB =DF +CF ，△AB =5，CF =2，△DF =AB -CF =3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD到E，使得DE AD=，连接CE，易证ABD ECD∆≅∆，得AB=，在ACE∆中，AC CE+>，2AB AC AD+>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE 交AC于F，求证：AF EF=．（2）如图（4），在ABC∆中，90,A D∠=︒是BC边的中点，E F、分别在边AB AC、上，DE DF⊥，若3,4BE CF==，求EF的长．（3）如图（5），AD是ABC∆的中线，,AB AE AC AF==，且90BAE FAC∠=∠=︒，请直接写出AD与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．【答案】,CE AE；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD=，EF AD⊥【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案为EC，AE；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD∆≅∆所以△BGD=△BED=△AEF=△DAC，△有AF=EF；（2）延长ED到G，使DG=ED，连结CG、FG，不难得到EF=FG，另同（1）有△BDE△△CDG，所以△FCG=△FCD+△GCD=△FCD+△EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD到G，使得,DG AD=连接,BG易证,ACD GBD∆≅∆得,BG AC G DAC=∠=∠，,BE AC=,BE BG∴=,G BEG∴∠=∠,BEG AEF∠=∠,AEF EAC∴∠=∠AF EF∴=．()2如图()2，延长ED到G，使得,DG ED=连接,CG FG、易证,BDE CDG∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG==∠=∠，,DE DF⊥DF∴垂直平分,EG,FE FG∴=90,A∠=︒90,B ACB∴∠+∠=︒90,DCG ACB∴∠+∠=︒即90,FCG∠=︒在Rt FCG∆中，3,4CG BE CF===，5,FG∴=5,EF∴=()32EF AD EF AD=⊥，，理由如下：如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD△△CAD，△BG=AC，△GBD=△ACD，△DGB=△DAC，又AF=AC，△BG=AF，△△ABG=△ABD+△GBD=△ABD+△ACD=180°-△ BAC=△EAF，△在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAFBG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG△△EAF，△EF=AG=2AD，△EFA=△DGB=△DAC，△△DAC+△PAF=180°-△FAC=180°-90°=90°，△△EFA+△PAF=90°，△△APF=90°，△EF△AD ．【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中几何中点问题之倍长中线
初中几何中点问题之倍长中线
中点，顾名思义，把一条线段分为两条相等的线段的点,叫做这条线段的中点。
题型一：倍长中线
你需要的知识点：中线，三角形全等
你遇到它的时间：初一下学期至中考
你觉得难点在这：辅助线构造
你需要会的技能：加倍，加倍，加倍！
在你眼中，这类题应该长这个样子
结论：这类题型倍长中线后一般会构造出一组全等，一组平行，常用于构造全等三角形。
倍长中线多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用"SAS"证明)
目的：在于进行边和角的转移，并且可以构造出两倍的线段。
注:一般都是原题已经有中线（或类中线）时用，不太会有自己画中线的时候。
题型二：倍长类中线
当然有时候题中会只出现中点，但是没有中线，这时候我们一般习惯于把这条线称之为类中线。
拓展：倍长中线之两次全等
通常，在综合题型中，倍长中线后的第一组全等只是一个基础，往往还需证明第二组全等，但是难点就在于如何去倍长中线，倍长中线后去连接什么线，这是问题的关键。
这时一般需要去试错，尤其是当有两个中点时，一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。
如下题，其实倍长CE后不管连接FA还是连接FB，这两种方法都可以继续下去。
最后，不是所有的中点问题都是可以进行倍长中线的，还有斜边中线，中位线，三线合一等多种中点问题，倍长中线只是其中一个，其余的问题我们下期再见。
中考数学基本模型—中点模型,初三数学专题复习总结倍长中线练习题
中考数学基本模型——中点模型线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用线相交.即“延长中线交平行”此时，易证△BEF≌△CED模型三如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE又∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD,又∵AD=2CD∴AD=DF,又因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE ≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF又∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF又∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三角形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三角形，又∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．反思：在本题的证明中，我们结合题目中给出的平行线间夹中点这一条件，将DG进行延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采用倍长中线法进行证明.下面用倍长中线法对第一种情况加以证明.证明：如图，延长AG至点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°又∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直角三角形又因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上面我们用倍长中线证明了第一种情况，请你对第二三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的一个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.而这一结论是需要证明的.小试身手如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG 有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们自行完成，这里只给出第三问的几种解法，仅供大家参考.解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，又因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.解法二：如图，延长CG至点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法一自行完成解法三：延长FE至点P使得EP=EF，连接BP；延长DC至点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。
初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)
∴△CBD≌△CBF（SAS）， ∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF， ∴CF＝2CE，∴CD＝2CE.
课堂练习
练习5.已知: 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点． 求证: CD＝2CE
课堂练习
练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证: ∠C＝∠BAE．
课后练习
5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F， 求FCE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE， 求证: AM⊥CD．
课后练习
7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD.BC的延长线交 MN于E、F．
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的 中线．求证: AD是∠EAC的平分线．
例题讲解
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的 延长线于点F．求证: BG＝CF．
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点， ∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
求证: ∠DEN＝∠F．
课后练习
1.如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD． （1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积． （2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并 延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．
例2.已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是
中考数学基本模型—中点模型,初三数学专题复习总结倍长中线练习题
中考数学基本模型——中点模型线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用线相交.即“延长中线交平行”此时，易证△BEF≌△CED模型三如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE又∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD,又∵AD=2CD∴AD=DF,又因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE ≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF又∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看。
中点倍长公式
中点倍长公式中点倍长公式是解决几何问题的一个有力工具，在咱们的数学学习中可有着重要地位呢！先来说说什么是中点倍长。
简单来讲，就是如果我们在一个几何图形中遇到了线段的中点，那就可以通过延长中线等方法构造出全等三角形，从而帮助我们找到解题的突破口。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个叫小李的同学总是一脸懵。
有一次课堂练习，遇到一道需要用到中点倍长公式的题目，小李看着题目直发愣。
我走到他身边，发现他完全没有思路。
于是我就耐心地引导他：“你看啊，这里有个中点，咱们是不是可以想想中点倍长的方法？”小李还是皱着眉头。
我拿起笔，给他在图上一点点地演示：“咱们把这条中线延长一倍，然后你再看看，能发现什么？”小李盯着图，眼睛突然亮了一下：“老师，好像能构造出全等三角形！”我笑着点点头：“对呀，这就是中点倍长的妙处！”从那以后，小李对这个知识点算是有了深刻的理解。
咱们再深入聊聊中点倍长公式的具体应用。
比如说，在证明线段相等或者角相等的问题中，如果涉及到中点，就可以考虑用中点倍长的方法。
通过构造全等三角形，把原本不相关的线段或者角联系起来，问题往往就能迎刃而解。
还有啊，在求解三角形的边长或者角度的时候，中点倍长也能派上大用场。
有时候题目给出的条件看似很复杂，但是只要我们巧妙地运用中点倍长，就能把复杂的图形变得简单明了。
不过，同学们在使用中点倍长公式的时候也要注意一些问题。
首先，一定要准确地找到中点，可别找错了哦，不然整个思路就都错啦。
其次，构造出全等三角形后，要认真分析新得到的图形和条件，可不能马虎。
总之，中点倍长公式就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开几何难题的大门。
只要同学们多加练习，熟练掌握，就能在数学的世界里畅游无阻。
希望大家都能和中点倍长公式成为好朋友，让它为我们的解题之路助力！就像小李同学一样，只要用心，就一定能掌握这个有用的工具。
不知道大家在学习中点倍长公式的时候有没有什么有趣的经历或者疑问呢？可以多思考，多交流，相信大家都能把这个知识点掌握得妥妥的！。
数学人教版八年级上册中点专题——倍长中线法
《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。
倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。
学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。
由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。
学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。
2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。
3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。
数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。
情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。
教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。
教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。
学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。
倍长中线专题训练含解析
解：如图，连接 ．
∵ ，F为 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．①正确．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
∵ ，
∴四边形 的面积为16，为定值．②正确．
延长 到G使 ，连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
（2）问题解决：
如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
26．如图1， ， 都是等腰直角三角形， ， ， ，且 ，点 在 上，连接 ， ．
8．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____．
9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2 ，则∠BCD＝_____．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
11．已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=4，AD=5，则边AC的取值范围是______．
17．已知：如图所示，在 中， 为中线， 交 分别于 ，如果 ，求证： ．
18．如图所示，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的平分线.
19．如图所示，在 中， 为中线， ，求 的度数．
初中数学倍长中线专题
初中数学倍长中线专题一、倍长中线的定义与性质倍长中线是指将三角形或四边形的一边中点与另一边中点连接起来，形成的线段。
倍长中线具有以下性质：连接三角形或四边形两边中点的线段，其长度等于这两边长度之和的一半。
倍长中线将三角形或四边形的边分为两个相等的部分。
倍长中线的运用可以用于证明线段相等、角相等以及解决一些实际问题。
二、倍长中线在三角形中的运用在三角形中，倍长中线可以用于寻找中线以及研究三角形的性质和判别。
例如，对于任意一个三角形，其中线总是将三角形的边分为两个相等的部分，这为解决三角形中的问题提供了重要的依据。
此外，利用倍长中线还可以证明三角形是等腰三角形还是等边三角形。
三、倍长中线在四边形中的运用在四边形中，倍长中线可以用于寻找中点四边形的形状和性质。
例如，对于矩形，其中点四边形是一个菱形，而对于菱形，其中点四边形则是一个矩形。
此外，利用倍长中线还可以证明四边形的对角线互相平分或者垂直等性质。
四、倍长中线在解直角三角形中的运用在解直角三角形中，倍长中线可以用于寻找直角三角形的中线以及研究其性质和判别。
例如，对于直角三角形，其中线等于斜边的一半，这为解决直角三角形中的问题提供了重要的依据。
此外，利用倍长中线还可以证明直角三角形的勾股定理等重要性质。
五、倍长中线在证明中的应用倍长中线在证明中的应用主要是用于证明线段相等和角相等。
例如，利用倍长中线可以证明两个三角形全等，进而证明两条线段相等或者两个角相等。
此外，倍长中线还可以用于证明一些重要的定理和公式，如勾股定理等。
六、倍长中线的实际应用1.建筑设计中的运用：在建筑设计中，倍长中线可以用于确定建筑物的对称性，保证建筑物的美观和稳定性。
例如，设计师可以通过倍长中线来确定建筑物的中线，以此为基准进行对折，确保建筑物的两边对称。
2.在地图测量中的应用：在地图测量中，倍长中线可以帮助测量人员确定两点之间的距离和方向。
例如，测量人员可以通过连接地图上的两个点的中点，使用倍长中线的方法来计算这两个点之间的距离。
中考复习之中线倍长模型
中线倍长模型基础题1、已知：如图，在三角形ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE2、已知：如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF3、已知：如图，在三角形ABC 中，AB ≠AC ，D 、E在BC 上，且DE=EC ，过点D 做DF ∥AB 交AE 于F ，且DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC4、已知：如图，在三角形ABC 中，D 在边BC 上，AB=BD=CD ，E 是BD 的中点，求证：∠C=∠BAEBBB5、在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，∠BAE =∠EAF，AF与DC的延长线交于点F，试探究AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
提高题6、（1）、已知：如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AC上，作DE⊥AB于E，F是BD的中点，连接CF、EF，试猜想CF、EF之间的关系，并说明理由。
（2）、在（1）的条件下，若将△ADE绕A点逆时针旋转（E在△ABC内部），（1）中的结论还成立吗？AA7、已知：如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB= AC，D是CB延长线上的点，连接AD，AE⊥AD，且AD=AE，F是CD的中点，连接AF、BE，试猜想AF与BE的关系并说明理由。
8、（1）已知：如图，F在正方形ABCD边BC上，作EF⊥BD于E，连接DF、EG、CG，G是DF的中点，试猜想CG和EG的关系并说明理由。
（2）在（1）的条件下，把△BEF绕B点逆时针旋转（E在正方形ABCD内部），上述猜想是否依然成立？。
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C
练习2
• .在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB 的中点求证：AM=AD
A D
F M B E C
• （2017年中考A)在中，垂足为，点C是BM延长线 上一点，连接AC. • （1）如图1，若求的长； • （2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC， 点E是外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于 点F，且点F是线段BC的中点，求证：.
中考专题---中点倍长
常用辅助线添加方法——倍长中 线 A
△ABC中 AD是BC边中线
B D
A
C
B
D
C
方式1： 延长AD到E， 使DE=AD， 连接BE
E
• 方式2：间接倍长 • （1）作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线 于E，连接BE • （2） 延长MD到N，使DN=MD，连接CD
A F B E D C
B A M D N C
例题1
• △ABC中 AD是BC边中线，AB=6,AC=4,求 AD的取值范围。
A
B
DCΒιβλιοθήκη 例题2• 例题。已知在△ABC中，AB=AC，D在AB 上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且 DF=EF，求证：BD=CE A
D B C E
F
练习1
• .已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交 AC于E，交AD于F，且AE=EF。 • 求证：AC=BF