苏教版数学高一《函数的表示方法》 同步导学案
函数的表示方法导学案
潍坊滨海中学 高三数学◆必修1◆导学案编写：张慧 校审：高三数学§2.1.2《函数的表示方法》导学案教学目的:（1）掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法）;（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数教学重点:（1）图像法、列表法、解析法表示函数（2）会画简单的函数图像教学难点：如何选择恰当的方法表示函数※ 理解概念1列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法，优点：不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少.2图像法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
优点：：可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况.3解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法。
优点：函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数性质.※ 合作探究问题：购买某种饮料x 听所需钱数为y 元，若每听2元，试分别用解析法，列表法，图像法将y 表示成x(x {1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域. 讨论：（1）三种表示方法的各自的特点是什么？ （2）函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y ＝f （x ）的点（x ，y ）在什么地方？小结：这是一个实际问题，x 的取值只能为正整数.用三种方法表示这个函数问题，既体现了函数在生活中的用途，也体现了三种方法表示函数时的各自特点※ 典型例题例1：设x 是任意的一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像。
2009年第一学期◆高一 9月 23 日 班级： 姓名：2例2：已知函数y=f(n),满足f(0)=1,且f(n)=nf(n-1),n ∈N +。
求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)。
※当堂训练1、下图都是函数的图像吗？为什么？2、某人从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（ ）．3、用长为4m 的铁丝围成矩形，试将矩形面积S(m 2)表示为矩形一边长x(m)的函数，并画出函数的图像.4、函数解析式5,032.4 2.2,3x y x x <≤⎧=⎨->⎩，回答下列问题.（1）函数的定义域是_______________. （2）若x = 8，则y =_______________；若y = 12.2，则x =_______________. （3）画出函数的图像.（4）函数的值域是_______________.※课后练习：（1）画出函数f(x)=|x|的图像，并求出f(-3)，f(3)，f(-1)，f(1)的值.（2）常州市出租车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价9元收费，超过3km 以外的路程按1.8元/km 收费，试写出收费额关于路程的函数解析式，并画出它的图象※ 归纳总结教材P 41~ P 42。
苏教版高中数学必修1《函数的表示方法》导学案
2.1.2 函数的表示方法【学习目标】掌握函数的三种表示方法，理解同一个函数可以用不同的方法表示；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。
【学习重点】掌握函数的三种表示方法；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。
【学习难点】会用待定系数法、换元法求函数的解析式；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用。
一、问题情境1.以下表格是我国1949-1999年人口数据 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1976 1984 1989 1994 1999 人口 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 12462.一物体从静止开始下落，下落的距离y （m ）与下落时间()s x 之间近似关系是29.4x y =。
3.右图是某城市在某一天24小时内的气温变化情况二、新知学习1．函数的三种表示方法；2．三种表示方法各自的特点。
三、例题分析例1．购买某种饮料x 听，所需钱数是y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示为x {}()4,3,2,1∈x 的函数，并指出该函数的值域。
例2.求下列函数的解析式（1）已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x f 是二次函数，且满足()()()x x f x f f 21,10=-+=，求()x f 。
小结：例3.（1）已知函数()x f =y 满足()x x 21x f +=+，求()x f ；（2）已知函数()x f =y 满足21x 1-x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，求()x f 。
小结：例4. （1） 的定义域和值域。
（2）。
苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法
2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图． 解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6． 方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0， 由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________． 解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516． 答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数， 当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)． 答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式， 由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式． 解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象． 解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。
2017-2018学年苏教版初高中衔接教材、必修一导学案：第14课时(函数的表示方法Ⅰ)
总课题函数观点与基本初等函数分课时第3课时总课时总第 14 课时分课题函数的表示方法（1）课型新授课教课目的初步掌握函数的三种表示方法；认识简单的分段函数、会作其图象，并简单应用；会用待定系数法、换元法等求函数的分析式。
重点函数的分析法及分段函数难点函数的分析式一、复习引入1、复习函数的相关观点及性质2、函数的三种表示方法（1）列表法（2）分析法（3）图象法（4）三种表示方法各自特色3、分段函数二、例题剖析例 1、设购置某种饮料x听，所需钱数为y元。
若每听 2 元，试分别用分析法、列表法、图象法将 y 表示成x ( x {1,2,3,4})的函数，并指出该函数的值域。
例 2、设f (x)是定义在R上的函数，且 f ( 2x 3) x2x 1。
求f ( x)的分析式。
例 3、已知 f (x) 是一次函数，且 f f ( x)4x 1 ，求 f ( x) 的分析式。
y 例 4、定义在闭区间1,2 上的函数 f ( x) 的图象如下图，求此函数的分析式、定义域、值域及1 1 1f ( ) ， f ( ) ， f ( f ( )) 的值。
14 8 4-1 O2x-1三、随堂练习1、画出函数 f ( x) x 3 的图象。
22、用长30cm为的铁丝围成矩形，试将矩形面积S(cm )3、某人去公园玩，先步行、后骑自行车，假如S 表示该人离公园的距离，t 表示出发后的时间，则以下图象中切合这人走法的是。
s s s ss0s0s0s0o t0t o t0t o t0t o t 0t（1）（2）（3）（4）4、设函数 f (x) 1 3x ，它的值域为2, 1,1,3,4 ，求此函数的定义域。
5、已知一次函数 f ( x) 知足 f ( f ( x)) 4x 3，求 f (x) 。
四、回首小结1、要点掌握函数的分析方法；2、会用待定系数法、换元法等求函数的分析式；3、分段函数及其简单应用。
课后作业班级：高一（）班姓名 __________一、基础题1、若函数f (x) 2x 5 ，则 f ( x 2 ) = 。
苏教版数学高一《函数的表示方法》 精品学案
【学习目标】：
掌握函数的三种表示方法（列表法，解析法，图象法），及其互相转化；Байду номын сангаас解分段函数的概念。
【教学过程】：
一、复习引入：回顾初中学过的函数及其表示方法
二、新课讲授：
函数的三种表示方法：
列表法：
解析法：
图象法：
三、典例欣赏
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。
，且此函数的定义域是
7.函数 的定义域为
8.设函数 ，则 ＝．
9．若一个函数满足 ，则满足该条件的一个函数解析式是
10．（1）作出函数y=2x2+|x2-1|的图象。（2）作出函数y=|x-2|(x+1)的图象。
11.某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这个商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个。
1.物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。已知开始下落的 内，物体下落了 ，则开始下落的 内物体下落的距离是
2.已知函数 ，则 =
3．已知函数 则
4.已知 ，试写出从集合A到集合B的两个函数
5.请写出三个不同的函数解析式，满足 。
6.建造一个容积为 、深为 的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为 和 ，则总造价 （元）与关于底面一边长 （ ）的函数解析式是
13．函数 的函数值表示不超过x的最大整数，例如 ， ，当 时，写出 的解析式，并作出函数的图象.
14．已知函数 .
（1）求 的值；（2）计算： .
【拓展提高】
15．已知两个函数 ，
高中数学 212(函数的表示方法1)教学案 苏教版必修1 学案
函数表示方法(1)教学目标：1.进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图像法.2.能根据条件求出两个变量之间的函数解析式.3.培养抽象概括能力和解决问题的能力.教学重点：利用待定系数法、配凑法、换元法等求函数解析式 教学难点：利用换元法求函数解析式。
课前预习1. 二次函数的形式：⑴一般式：____________________________()0,,,≠∈a R c b a ;⑵交点式：_______________________________________,其中21,x x 分别是)(x f 的图像与x 轴的两个交点的横坐标；⑶顶点式：_______________________________________,其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标. 2. 已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法.例如：求二次函数解析式的基本步骤是：⑴______________________________________________________; ⑵______________________________________________________; ⑶______________________________________________________. 典型例题例1：⑴已知一次函数满足5)0(=f ，图像过点()1,2-，求)(x f ；⑵已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ，图像经过原点，求)(x g ； ⑶已知二次函数)(x h 与x 轴的两个交点为()()0,3,0,2-，且3)0(-=h ，求)(x h ； ⑷已知二次函数)(x F ，求图像的顶点是)2,1(-,且经过原点.例2：函数)(x f 在闭区间[]2,1-上的图像如右图所示， 求函数)(x f 的解析式.例3：⑴已知34)(2+-=x x x f ，求()1+x f ；⑵已知()x x x f 212-=+，求()x f ；⑶已知()x x x f21+=+，求()x f ；⑷已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f . 例4⑴已知函数()x f 是一次函数，若()[]59+=x x f f ,求()x f .⑵已知函数()x f 是二次函数，且()()342112+-=-++x x x f x f ,求()x f .课堂练习：1. 图像与x 轴的两个交点为()()0,5,0,2，且10)0(=f ；___________________________.2. 若()1232-=x x f ，则()x f 的解析式为3. 已知函数()13-=x x f ，()32+=x x g 则()[]x g f = ,()[]x f g =4. 若函数x x x x x f 112++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()x f = 课堂小结：。
苏教版数学高一《函数的表示方法》同步学案 苏教
§2.1.2函数的表示方法（2）
【教学目标】
掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；会用待定系数法、换元法求函数的饿解析式；通过实际问题体会数学知识的广泛应用性，培养抽象概括能力和解决问题的能力.
【考纲要求】
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
【课前导学】
1．函数()01
)(2≠+=
x x x x f ，则)1(x f 是 ； 2．已知1)1(+=+x x f ，那么)(x f 的解析式为 ；
3．一个面积为2100m 的等腰梯形，上底长为xm ，下底长为上底长的3倍，则高y 与x 的解
析式为 ；
4．某种笔记本每本5元，买x （{}4,3,2,1∈x ）个笔记本的钱数记为y （元），则以x 为自
变量
的函数y 的解析式为 ；
【例题讲解】
例1. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式.
变式:如图所示，梯形ABCD 中，CD AB //，5==BC AD ，,10=AB 4=CD ，动 点P 自B 点出发沿DA CD BC →→路线运动，最后到达A 点，设点P 的运动路程 为x ，ABP ∆的面积为y ，试求)(x f y =的解析式并作出图像.。
苏教版数学高一《函数的表示方法》 精品学案
执笔人：夏文秀审核人：2011年9月日第二章 2.1.2函数的表示方法（2）第4课时
【教师活动】
【教学目标】
1.进一步理解函数的表示方法的多段函数的表示，能根据实际问题列分段函数；
2.能较为准确地作出分段函数的图【教学重难点】
分段函数的图象、定义域和值域【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】【学生活动】
【学习目标】
1．理解分段函数的概念
2.能根据实际问题列出符合题意的分段函数，能较为准确数的图象
【课时安排】
1课时
【课前预习】
如何画函数的图像？
【课堂探究】
一．问题情境
函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二．师生互动
三．建构数学
1．分段函数的概念：
注意点：（1）
（2）
(3)
四．数学应用
例1.某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出程的函数解析式．
例2.将函数f(x)＝| x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式象，根据图象指出函数f(x)的值域．
【当堂练习】
1.书本第31页练习2。
江苏省泗洪中学—高一数学导学案：函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法（第二课时）学习目标：1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；一预习案1、分段函数的定义2、分段函数定义域，值域；3、分段函数图象二课堂案例1：（课本34例2）画出函数xxf=)(的图像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值例2：已知32)(2--=xxxf，分别画出函数)()(xfyxfy==和的图像。
小结画图步骤：变式训练1.画出函数3+=xy的图象，并写出函数的值域.2．画出函数21++-=xxy的图象，并写出函数的值域.3．画出函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+=1,211,1,5)(2xxxxxxxf（1）求[];)3(),3(--fff（2）画出的图像；)(xfy=（3）若的值求aaf,21)(=.例2：某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费。
试写出收费额关于路程的函数解析式，并画出函数图象。
三 巩固案1．函数()f x 在闭区间[1,2]-2、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________3、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>)0(0)0(1)0(2x x x x 求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.四 拓展案1. 当m 为何值时，方程0542=-+-m x x ，有四个不同的实数根？ 2. 方程,,342R a a x x ∈=+-有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围。
归纳总结学习反思1。
苏教版数学高一-《函数的表示方法》同步学案
解决例5这类问题，可以先写出自己熟悉的一个函数，然后再改变定义域。如本题可先写出满足条件的函数 ，注意到函数图象关于 轴对称，设 是 的任意一个子集，则形如 的函数都满足条件。
1、已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a－b=_________.
（2）已知 ，求 ．
【解】（1） ；
（2） 。
点评:已知 的解析式，求 时，将 中的 用 代替，这时 中的 相当于 中 一个取值；已知 的解析式，求 时，常用配凑法或换元法；
例3．某人开汽车以 的速度从 地到 远处的 地，在 地停留 后，再以 的速度返回 地，把汽车离开 地的路程 表示为时间 （从 地出发是开始）的函数，再把车速 表示为时间 的函数．
2．已知一个函数的解析式为 ，它的值域为 ，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
答案：(1)5或－1。
(2)无数个，如定义域为ห้องสมุดไป่ตู้， 等。
（3）通过解方程（组）确定未知系数；
3．分别求满足下列条件的二次函数 的解析式：
（1）图象与 轴的两交点为 ， ，且 ；
（2）图象的顶点是 ，且经过原点。
答案：（1） ；
（2） 。
例1：函数 在闭区间 上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．
【解】由图象可知，
当 时， ；
当 时， ，
所以
例2：（1）已知 ， ；
函数的表示方法（1）
1．二次函数的形式：
（1）一般式：
；
（2）交点式： ，其中， 分别是 的图象与 轴的两个交点的横坐标；
（3）顶点式： ，其中 是抛物线顶点的坐标；
高中数学 第二章 函数 2.1.2 函数的表示方法学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案
2.1.2 函数的表示方法1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．函数的表示方法1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f (x)．【解】列表法：笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y510152025解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．图象法：教材整理2 分段函数阅读教材P 34例2，例3，完成下列问题．1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，则f (x )的定义域为________，值域为________．【解析】 定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}． 【答案】 {x |x ≠0} {y |y >－1}[小组合作型]求函数解析式求下列函数的解析式．(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________. (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________．(5)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．【自主解答】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一 令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4.【答案】 (1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 (5)x 2＋4求函数解析式的常用方法1．待定系数法：已知函数f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．2．换元法：令t ＝g (x )，注明t 的范围，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f (x )，一定要注意t 的范围即为f (x )中x 的范围．3．配凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．4．代入法：已知y ＝f (x )的解析式求y ＝f (g (x ))的解析式时，可直接用新自变量g (x )替换y ＝f (x )中的x .[再练一题]1．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.【解析】 (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x.(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．【答案】 (1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2－2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值； (3)作出f (x )的图象，并求值域．【精彩点拨】 (1)先分析－5，－3，－52在哪一段上，再分别求值．(2)函数值为3的a ，应逐段分析讨论． (3)逐段作出图象并观察值域．【自主解答】 (1)f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2－2(－3)＝3＋2 3.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝2·214－1＝192.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1, 当a ＋1＝3时，则a ＝2(舍去)， 当－2<a <2时，f (a )＝a 2－2a ＝3，∴a ＝－1或a ＝3(舍)，∴a ＝－1. 当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，∴a ＝2.综上a＝－1或2.(3)由图可得f (x)的值域为R.1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．[再练一题]2．例2中求f (x)与直线y＝b的交点个数．【解】当b<－1时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当－1≤b<0时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当0≤b<3时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当3≤b<8时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当b≥8时，y＝b与y＝f (x)有一个交点．[探究共研型]方程组法求解析式探究1 解二元一次方程组的主导思想是什么？【提示】 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．探究2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②【提示】 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？【提示】 能求A ，B .仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2.求解析式，(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )． 【精彩点拨】 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．【自主解答】 (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x.(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[再练一题]3．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，则f (x )的解析式为________. 【解析】 用1x替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3.【答案】 f (x )＝－23x －x31．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋2，则f (10)＝________.【解析】 令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20. 【答案】 202．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________. 【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 【答案】 3x －23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f ( f (－3))等于________．【解析】 由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π. 【答案】 π4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(x )的表达式为____________．【解析】 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)． 【答案】 f (x )＝x 2＋2(x ≠0)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.【解】 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 函数概念与性质 函数的表示方法
跟踪训练4已知函数 = ||( − 4)
（1）将函数 = ||( − 4)写成分段函数的形式,并画出图象;
解当 < 0时, = || ⋅ ( − 4) = −( − 4);
当 ≥ 0时, = ||( − 4) = ( − 4).
例4已知函数() = 1 +
||−
(−2
2
< ≤ 2).
（1）用分段函数的形式表示()；
解 当0 ≤ ≤ 2时，() = 1 +
当−2 < < 0时，
() = 1 +
−−
2
= 1 − ，
1,0 ≤ ≤ 2,
则() = ቊ
1 − , −2 < < 0.
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的三种表示方法
例1某种笔记本的单价是5元，买( ∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要元.试用函数的三种
表示方法表示函数 = ().
解这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.
第5章 函数概念与性质
5.2 函数的表示方法
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、
解析法）表示函数，理解函数图象的作用.2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并
能简单应用.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.Байду номын сангаас函数三种表示方法
高中数学 函数的表示方法(1)导学案 苏教版必修1
江苏省高邮市界首中学高中数学 函数的表示方法（1）导学案 苏教版必修1【学习目标】能熟练掌握函数的三种不同表示，了解函数不同表示法的优缺点。
了解分段函数。
【学习重点】函数的三种不同表示的相互间转化；函数的解析式的表示，理解分段函数。
【复习回顾】问题1、学生回顾初中所学习过的三种函数、三种函数的解析式的求法以及函数的表示方法。
一次函数的解析式为 ；反比例函数的解析式为 ；二次函数的解析式的三种形式： 、 、 。
问题2、已知二次函数()f x 的图象经过三点()()13,,1,3,2,324A B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，试求函数()f x 的解析式。
【新知讲解】1、函数的常用表示方法：①解析法： ；②列表法： ；③图象法： 。
2、常见函数的解析式：①一次函数： ；②反比例函数： ；③一元二次函数： 、 、 。
【例题讲解】 例1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示为{}()1,2,3,4x x ∈的函数，并指出函数的值域。
①解析法的特点： ； ②列表法的特点： ； ③图象法的特点： 。
例2、某市出租汽车收费标准如下：在km 3以内（含km 3）路程按起步价7元收费，超过km 3 以外的路程按2.4元km /收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式。
2、回答下列问题：（1）函数的定义域是_______________.（2）若8x =，则y =_______________；若11.8y =，则x =_______________.（3）画出函数的图像。
（注意分段函数图象的画法）（4）函数的值域是_______________。
例3、已知()21f x x =-，2(0)()1(0)x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(())f g x = ；(())g f x ＝ 。
变式1： 已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若a a f 求,3)(=。
高中数学苏教版必修一《函数的表示方法》word学案
【金版学案】2015-20XX 年高中数学 2.1.2函数的表示方法学案 苏教版必修11．表示函数的三种常用方法分别是解析法、图象法、列表法． 2．列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 3．图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法． 4．解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1x，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是{a |a ≥0或a ＜－1}．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52等于(B )A.12B.32C.52D.927．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (f (－1)))＝π＋1．8．已知f (2x －1)＝x 2(x ∈R )，f (x )的解析式为f (x )＝（x ＋1）24．,一、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． (1)解析法．优点：用解析法表示函数的优点，一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可求出任意一个自变量对应的函数值．(2)列表法． 优点：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常应用到实际生产和生活中去．(3)图象法．优点：用图象法表示函数关系的优点，是能直观形象地表示出函数的变化情况． 二、求函数解析式的常见题型与解题方法 (1)已知f (x )与g (x )，求f (g (x ))类型．这种题型一般用“代入法”求解，即把f (x )中的x 代换为g (x )，并运算化简即可．(2)已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )类型．这种题型一般用“换元法”或“配凑法”求解．用“换元法”，可设t ＝h (x )，并解得x ＝h －1(t )，然后代入g (x )中可得f (t )＝g (h －1(t ))，最后将t 换成x 便得f (x )＝g (h －1(x ))．使用换元法时，要留心换元前后的等价性．用“配凑法”时，要将g (x )配凑成h (x )的多项式，并以x 替换h (x )即可．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除含有f (x )这个未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等．这种题型一般用“解方程组法”求解．求解的关键是根据已知的等式以代换的方式构造另一个关于f (x )的等式，并与已知的等式组成方程组，解该方程组即可求得f (x )．(4)已知f (x )的结构特征，求f (x )．这种题型一般用“待定系数法”求解，依据f (x )的结构特征设出f (x )的表达式，由已知条件列出关于f (x )中未知参数的方程组，解出方程组后代回f (x )即可．(5)已知f (x )的图象，求f (x )．这类题型一般用“数形结合”的方法求解．求解时，要紧紧抓住图象特征，并留心端点值的归属问题．(6)实际问题意义下函数解析式的求法．这种题型要通过仔细阅读题目，合理引入变量，将实际问题抽象归纳出函数的问题，从而建立起相应的函数关系式．三、分段函数理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在．基础巩固1．如图，在△AOB 中，点A (2，1)，B (3，0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是(D )解析：当0≤x ≤2时，S ＝14x 2，排除B 、C ；当2＜x ≤3时，S ＝12×3×1－12(x －3)2＝12(－x 2＋6x －6)；当x ＞3时，S ＝12×3×1＝32.2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是(D )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(C )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x2x2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2的解析式为(D )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]B ．f (x )＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]解析：由题知2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝（x －2）2，则f (x )＝4－x2（x －2）2－2，又4－x2≥0，∴－2≤x ≤2，则f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x，－2≤x ≤2，且x ≠0.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f （f （n ＋5）），n <10(n ∈N *)，则f (5)＝(D)A ．5B ．6C ．7D ．8解析：f (5)＝f [f (10)]＝f (7)＝f [f (12)]＝f (9)＝f [f (14)]＝f (11)＝11－3＝8.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：3个7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．答案：y ＝28x8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3.又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7.∴5a －b ＝2. 答案：29．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式． 解析：令1＋x 1－x ＝t ，则x ＝t －1t ＋1，∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋12＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1. 由于t ＝1＋x 1－x ＝－1＋21－x ≠－1，∴f (x )＝2xx 2＋1(x ≠－1)．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .∵f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5.比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.∴f (x )＝x 2－4x ＋8.11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0，2)，B (1，0)，C (3，2)三点，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A ，B ，C 三点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 2－3x ＋2. 能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为(B )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：当x ＝56时，y ＝5，排除C ，D ；当x ＝57时，y ＝6，排除A.∴只有B 正确．13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是(D )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C x ，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是(D )A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16 解析：：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.15．已知函数f (x )，g (x )x 1 2 3 f (x ) 1 3 1x 1 2 3 g (x ) 3 2 1则f (g (1))的值为值是________ 解析：f (g (1))＝f (3)＝1，当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不满足； 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，满足； 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝1，不满足． ∴x ＝2. 答案：1 216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：x ＜1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0⇔x ≤－2或0≤x ＜1；x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3⇔x ≤10⇒1≤x ≤10.∴x ≤－2或0≤x ≤10.答案：(－∞，－2]∪[0，10]17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，2－x ，x ＞1.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (t /天 5 15 20 30 Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(t 的函数解析式； (2)在所给平面直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解析：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N .(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．∴日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为 Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N )． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N . 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N . 若0＜t ＜25(t ∈N )，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N )，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。
苏教版数学高一《函数的表示方法》 同步学案
变题：若 ，求 ．
例4．已知 满足关系式 ，求 ．
变题1：已知 ，求 ．
变题2：已知 ，求 ．
例5．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P= ；
9．已知函数 是关于 的二次函数，则实数 ．
10．已知 ，则 =.．
11．（1）若f（x）满足 ，求函数f（x）的解析式．
（2）若f（x）满足 ，求函数f（x）的解析式．
12.已知α、β是方程 的两个实根，且 ，
求f（m）的解析式及定义域．
13.设 ，若 ，写出函数
的解析式．
14．矩形 的长 ，宽 ，动点 、 分别在 、 上，且 ，（1）将 的面积 表示为 的函数 ，求函数 的解析式及定义域；
（Ⅱ）写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q= ．
【反思小结】：
【针对训练】：班级姓名学号
1．已知函数 ，则 ．
2．若 ，则 ．
3．若 ，则 ．
4．若 ，则 ；若 ，则 ．
5．若 ， ．
6．若f（2x+1）=3x－2，且f（a）= 4，则 ．
7．已知 ，若 ，则 ．
8．已知 是一次函数，图象过两点 ，则 ．
（2）求 的最大值．
§2.1.2函数的表示方法（二）
【学习目标】：掌握几类求函数解析式的基本方法。
【教学过程】：
一、复习引入：
（1）函数的三种表示方法（2）分段函数
练习：若 ，求 的解析式．
二、新课讲授：
例1．（1）已知函数 是二次函数，若 ，求 的表达例2．若 ，求 的解析式．
江苏省徐州市高一数学《函数的表示方法》导学案
阅读课本P33页并思考下列问题：
1.函数有哪三种表示方法？
2.这三种表示方法各自有何优点？
二、学习交流与问题研讨：
例1、教材P33，购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出该函数的值域.
小结：同一个函数可以用不同的方法来表示，具体用哪种方法要根据实际情况而定
例2、教材P34，画出函数f(x)=|x|的图像，并求f(-3)，f(3)，f(-1)，f(1)，f(f(-3))的值.
完成教材P35练习2：画出函数f(x)=|x+3|的图像.思考f(x)=|x|与f(x)=|x+3|图像之间有什么关系？
例3、教材P34，某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元
收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出收费额关于路程的函数解析式.
分段函数的概念注：要注意分段函数的表示法与意义：分段函数是一个函数，而不是几个函数，指出它的定义域、值域都只有一个.
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201000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩练习：已知函数画出函数的
图像，
并根据已知条件分别求()()()(){}1,3,3,3f f f f f f f ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值. 画好坐标系
三、练习检测与拓展延伸：
教材第35页 练习1、3、4；教材P35习题5
四．作业：
教材P35习题2(2)(3)、3、7.
五．课后反思或经验总结：
学生基本掌握绝对值函数分段函数的图像及求值。
苏教版数学高一苏教版必修1学案函数的表示方法
课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】 已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥+.012,012x x x x(1)求f(1),f(-2),f(a 2+1),f ［f(0)］的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a 2+1)=(a 2+1)2+1=a 4+2a 2+2,f ［f(0)］=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.（2）f ［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f ”这个对应法则，求f ［f(x 0)］的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】 （1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(x +4）=x+8x ,求f(x 2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x 2).解析：（1）∵f(x)是二次函数，设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).由f(0)=1得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.由恒等式原理知⎩⎨⎧=+=,0,22b a a ∴⎩⎨⎧-==.1,1b a ∴f(x)=x 2-x+1. (2)设t=x +4.∴x =t-4(t ≥4).由f(x +4)=x+8x 可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t 2-16(t ≥4）.∴f(x)=x2-16(x≥4）.∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2）.温馨提示在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(x+4)=x+8x，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与x+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0<x≤100)的信应付多少分邮资？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解析：设每封信的邮资为y，则y是信件重量x的函数.这个函数关系的表达式为f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈],100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80xxxxx函数值域为{80，160，240，320，400}.在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.温馨提示用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x和函数y的取值是否具有实际意义.各个击破类题演练1已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N*时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；变式提升1已知x∈N*,f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5xxfxx则f(3)=__________.解析:∵f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5xxfxx∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练 2(2004湖北卷高考理，3)已知f(x x +-11)=2211x x +-，则f(x)的解析式可取为（ ） A.21x x + B.-212x x + C.212x x + D.-21x x + 解析：设x x +-11=t ，则x=tt +-11. ∴f(t)=)11(1)11(12tt t t +-++--=2224t t +=212t t + 即f(x)=212x x +，故选C. 答案：C变式提升 2已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ(31)=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式. 解析：设f(x)=k 1x,g(x)=x k 2,则φ(x)=k 1x+xk 2, ∵φ（31）=16，φ(1)=8, ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,8,33162121k k k k 解得⎩⎨⎧==,5,321k k ∴φ（x ）=3x+x5. 类题演练 3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y ，所走千米数设为x ，试写出y=f(x)的表示式.解析：当0<x ≤4，y=10.当4<x ≤20时，y=10+(x-4)×2=2x+2.当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.综上所述，y 与x 的函数关系为y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<).20(22.2),204(22),40(10x x x x x变式提升 3如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解析：函数定义域为（0，12）.当0<x≤4时，S=f(x)=21×4×x=2x；当4<x≤8时，S=f(x)=8；当8<x<12时，S=f(x)=21×4×(12-x)=24-2x,∴函数解析式为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈].12,8(224],8,4(8(0,4],x2xxxx（2）作出f(x)的图象（下图）.由图象看出［f(x)］max=8.。
苏教版高中数学必修一学同步导学第课函数的表示法(1)
第13课 函数的表示法（2）【新知导读】1．求函数的解析式有哪些常用的方法？2．用换元法求函数解析式需注意什么?3.什么是分段函数？怎样求分段函数的解析式？【范例点睛】例1 若2(1)21,f x x +=+求(1).f x -思路点拨 可以用配凑法,将221x +表示为关于1x +的表达式,找到函数的对应法则,再求出(1)f x -，也可使用换元法．例２设2()44f x x x =--的定义域为[]2,1t t --，对任意,t R ∈求函数()f x 的最小值()g t 的解析式．思路点拨 本题区间[]2,1t t --随着t 的变化在变，()f x 的图象为抛物线244y x x =--的不同部分，导致()f x 的最小值也随之不同，故须认真考察图象，根据对称轴相对于区间的位置分以下三种情况：（１）12;t -<（２）221;t t -≤≤-（３）2 2.t ->来讨论。
【随堂演练】1．已知函数1(),(1)1x f x x x +=≠±-，则()f x -等于( ) Ａ．1()f x Ｂ．()f x - Ｃ．1()f x - Ｄ．()f x --2、已知11()1f x x =+，那么函数()f x 的解析式为（ ） A ．1()f x x x =+B ．()1x f x x =+C ． 1()x f x x+= D ．()1f x x =+ 3、若1()(||),2f x x x =+则(())f f x 是 ( ) A ．||x x + B ．0 C ．,(0)0,(0)x x x ≤⎧⎨>⎩ D ．,(0)0,(0)x x x ≥⎧⎨<⎩4、已知函数()|21|,(31)h x x x =+-≤≤，则其值域为__________。
5、已知21,(0)()2,(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()10,f m =则______.m =6、已知0,(0)(),(0)1,(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则[]{}(1)______.f f f -=7．某地长途电话x 分钟的电话费为[]() 1.06(0.751)f x x =+元，其中[]x 是大于或等于x 的最小正整数，按此规定，5.3分钟的话费是8、已知25()19f x x =-的值域为[]1,4-，则其定义域可以是__________________________.(只需填出正确的一个即可)9、已知232()1x f x π⎧-⎪=⎨⎪-⎩)0()0()0(<=>x x x ，画出它的图象，并结合图象指出()0f x >时x 的取值集合。
高中数学 第二章函数的表示方法导学案 苏教版必修1(学生版)
课前预习
阅读教材P30至P31完成下列填空
1．函数的表示方法
用_______________来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法；
用_________来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称_________）；
用____________来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法.
尝试总结一下：
2.函数三种表示法的优缺点比较
优点
缺点
联系
解
析
法
列表法
图
像法
3.分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的________________,这样的函数叫做分段函数。
想一想：
分段函数是一个函数，还是几个函数__________________________________________
分段函数的定义域怎么表示____________________________________________________
5.已知 .则f(f(f(-1)))=______________________.
6.作出下列函数的图像
（1） （2）
7.如图在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为 ， 的面积为
（1）求 的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图像，并根据图像求函数的值域。
归纳总结
函数表示方法____________________________________________________________
分段函数的特性__________________________________________________________
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（2）已知 的定义域是A， 的定义域是B，则 的定义域是
（3）已知 ， ，则 ，函数 的定义域为。
二、新课讲授：
1．复合函数： 表示从A到B的函数， 表示从B到C的函数，那么从A到C的函数解析式为 ，我们把这样的合成函数叫做复合函数。
思考： 与 是相同的函数吗？
2．复合函数的定义域求法:
7．若
8．设函数 若 ,则关于x的方程 的解的个数为
9．已知f（x）= ，解不等式xf（x）+x≤2.
10．已知 ，求 的值域。
11．若 ，函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。
12.若 的定义域为P， 的定义域为Q， ，ห้องสมุดไป่ตู้ 的取值范围．
13．若函数 的定义域为R，求实数 的取值范围．
三、典例欣赏
例1．（1）已知 ，则 的定义域是．
（2）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是。
变题：已知函数 的定义域为 ，求 及 的定义域．
例2．已知 ，求 的定义域．
变题1：已知 的定义域为 ，求 的定义域．
变题2：已知函数 的定义域为 ，求 的定义域．
变题3：若函数 的定义域为 ，求下列函数的定义域．
（１） （２） （３）
变题4：已知 的定义域为 ，求 的定义域．
【反思小结】：
【针对训练】：班级姓名学号
1．函数 的定义域为
2．已知 的定义域是 ，则 的定义域是
3．已知 的定义域是 ，则 的定义域是
4．已知 的定义域是 ，则 的定义域是
5．已知 的定义域为 的定义域为
6．若 的定义域为 ，则 的定义域为
§2.1.2函数的表示方法（三）
【学习目标】：
(1)了解复合函数的概念；（2）掌握一类复合函数的定义域求法
【教学过程】：
一、复习引入：
1．回顾以下知识：（1）函数的定义；（2）三要素；（3）图象；（4）表示方法。
2．预习并完成下列练习：
（1）已知函数 分别由下表给出：
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
1
2
1
4
3