决胜2019年高考——绝密卷之——第四讲转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想一、转化与化归的内涵转化与化归是数学思想中的两个重要内容，它们贯穿于整个数学学科，是数学问题解决的基本方法之一。
转化，即将一个数学问题或数学对象转化成另一个同等价值的形式，以更便于解决或研究。
而化归，则是将一个较复杂或抽象的问题归结为一个较简单或具体的问题，从而更易于处理和理解。
转化与化归的实质是通过合理的变换和归结，将原问题转化为更易处理或更易理解的形式，从而为解题提供便利和途径。
二、数学题中的转化与化归思想在高考数学题中，转化与化归思想经常出现在各个知识点的解题过程中，其中尤以代数和几何题为突出。
以代数题为例，常见的多项式化简、方程转化、不定方程的化归等问题，都需要学生灵活掌握转化与化归的方法，才能顺利解题。
在几何题中，诸如相似三角形的证明、线段比例的求解等问题，也需要学生善于将复杂的几何形态转化为简单的几何概念，或者将一个复杂的几何问题化归为一个简单的几何问题，从而找到解答的路径。
在实际解题过程中，学生必须不断地运用转化与化归的思想，才能更轻松地解决高考数学题。
三、实例分析现来分别通过代数题和几何题的实例分析，展示高考数学题中转化与化归思想的实际应用。
1.代数题假设有如下代数方程组：\[\left\{\begin{array}{c}x+y=5 \\x^2+y^2=17\end{array}\right.\]求解这个方程组的实数解。
分析：通过观察和分析，我们很难直接求出 x 和 y 的具体值。
我们可以考虑将上述方程组进行化归。
我们知道(x+y)²=x²+2xy+y²，将其代入x²+y²=17 中得到：\[ x^2+2xy+y^2=25 \]这样方程组就化归为一个较为简单形式。
接下来，我们将 x+y=5 代入上式，可以得到：进而求出 xy 的值为 4。
接着，我们可以用代数方法求出 x 和 y 的值，最终得到实数解为 2 和 3。
高考数学思想04 运用转化与化归的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613c DE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+ ,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====，由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =，所以111332333244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CFEF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆ 在中，当时，AFC面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆== 为中点DE=1若在中，32113222BEF BF S BF EF ∆==∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⋅【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B，∠ADB=23π．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos B=(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()7214 BAD B ADB∠=+∠⋅-=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin72sin14BD BADBAD==∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222 ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADC S S == 例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面PAC 的高PE =1，故棱长PA =.的正方体可知，P -ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足ab a b =+，则2a b +的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b >>，ab a b =+，则111a b+=，1122(2)()333a ba b a ba b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即1a =1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD．【答案】A【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF =，又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R ==R =，则球O的体积344338V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0+故答案为：(0+.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23，那么点P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t <<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞-D ．[)(]3,00,1- 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A 1B1C ．2D ．2【答案】A【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =∈，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E翻折前AC =AC =222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC⊥不成立，故C 错误；故选：A例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t-≤+成立，则实数k 的最小值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y -==--=-+，13x y -=-+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t-≤成立，24,k t t ≥-又244t t -≥-，4k ∴-≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．13C．111+D【答案】D【解析】由题知(),0G a -，所以直线GM的方程为()9y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30 ，所以直线2MF的方程为)3y x c =-．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a c a c M ⎛⎫++∴ ⎪ ⎪⎝⎭因为12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=，所以2212MF F F c ==，即)2223426a c a c c c ⎤++⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c =．所以椭圆C的离心率为c e a ==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121x x x x x x x f x x +++++===++++，故令||()()221x xg x f x =-=+，所以||||()()2121x x x x g x g x ----===-++，所以函数()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，故max min ()2()20f x f x -+-=，所以max min ()()4f x f x +=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a ，{(1)}n n a -，2{}n a 的前2023项的和分别为m ，6m -，9，则实数m 的值（）A ．只有1个B ．只有2个C ．无法确定有几个D ．不存在【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由11(1)(1)n n nn a q a ++-=--，2212n na q a +=可得：{(1)}n n a -为等比数列，公比为q -，2{}n a 为等比数列，公比为2q ，则()2023111a q m q-=-①，()()202320231111611a q a q m qq⎡⎤----+⎣⎦==-++②，()2404612191a q q -=-③，①×②得：()24046122161a q m m q --=--④，由③④得：2690m m -+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=；③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52=，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =-- ，()00,MN x x y y =--，由12MN NP = ，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e ==故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |D ．|PM |【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C -,半径r =∵圆心()1,0C -到直线l ：40x y -+=得距离2d r ==>∴直线l 与圆C 相离A 不正确，B 正确；2PM PC r d r ≥-≥-=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有()A ．ω的值是6B ．(,1212x ππ∈-时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【答案】AD【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ-==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(62cos 62f x x x π=+=，3(2cos 042f ππ==，满足题意；当2A =-时，()2sin(6)233f ππϕ=-⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos 6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故()f x 在(,1212ππ-上不单调，故B 错误；又因为1313(2cos(6021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos 6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =-+-，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +-+=-+--，将=1x -，y m =代入得32000243m x x x =+-+；令32()243g x x x x =+-+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+-=+-，23x ∴>或1x <-时，'()0g x >；213x -<<时，'()0g x <，()g x ∴的极大值为(1)6g -=，极小值为237(327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数，2,3,4,5m ∴=.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．1210AF AF +=B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F -，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n +=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅= ，则2(3)(3)0m m n -++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =-（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max 12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈-=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；③(1)0f -=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(3)f x f -<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M【答案】ACD 【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴-=<，故A 正确；(1)(3)f x f -<即13x ->或13x -<-，解得4x >或<2x -，故B 错误；由(1)0f -=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD -中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【答案】3a 【解析】 三棱锥A BCD -底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD -各个面均为等边三角形，MN MB BC CN =++ ()()2133AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++ ，22112333MN AB AD AC ∴=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++259a =，3MN a ∴= ，即MN =．.14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<.故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221x x x f x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e t t a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t t a a t -=-，整理得()e 3e t t a-=-，构造函数()()3e t f t t =-，()()2e t f t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1)，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a =，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+44==当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：4+。
2019年高考数学复习：转化与化归的思想
2019年高考数学复习：转化与化归的思想「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少……”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)(2018·唐山模拟)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a 答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足 BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6 答案 C解析 解法一：由BM→＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM→＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C. 方法指导 一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷的得到答案．1．(2018·海南模拟)如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( )A ．(10,12)B ．(12,14)C ．(10,14)D ．(9,11) 答案 A解析 解法一：由题意得，抛物线W 的准线l ：x ＝－1，焦点为C (1,0)，由抛物线的定义可得|QC |＝x Q ＋1，圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，半径为5，故△PQC 的周长为|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P .联立抛物线和圆的方程，得⎩⎨⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝25，解得A (4,4)，则x P ∈(4,6)，故6＋x P ∈(10,12)，故△PQC 的周长的取值范围是(10,12)．故选A.解法二：平移直线PQ ，当点A 在直线PQ 上时，属于临界状态，此时结合|CA |＝5可知△PQC 的周长趋于2×5＝10；当直线PQ 与x 轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半径为5可知△PQC 的周长趋于2×(1＋5)＝12.综上，△PQC 的周长的取值范围是(10,12)．故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋3x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案 －2＜x ＜23解析 函数f (x )＝x 3＋3x 为奇函数，f (mx －2)＋f (x )<0，即f (mx －2)<－f (x )，∴f (mx －2)<f (－x )，又函数f (x )单调递增，∴mx －2<－x ，对任意的m ∈[－2,2]，mx ＋x －2<0恒成立，∴⎩⎨⎧－2x ＋x －2＜0，2x ＋x －2＜0，∴－2＜x ＜23.热点2 函数、方程、不等式间的转化例2 (1)(2018·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，0] D ．[0，＋∞) 答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2018·金版创新)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2＜ln mn ，则( ) A ．m ＞n B ．m ＜nC ．m ＞2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定答案 A解析 由不等式可得1n 2－1m 2＜ln m －ln n ，即1n 2＋ln n ＜1m 2＋ln m .设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x 3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )＞0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )＜f (m )，所以n ＜m .故选A.方法指导 函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞) D ．(－4，＋∞)答案 B解析 由题意得，对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，而－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 答案 B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a ＜c ，故选B.热点3 正难则反的转化例3 (1)(2018·深圳模拟)设x ，y ，z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 答案 C解析 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6与a ＋b ＋c <6矛盾， ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于2.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x .(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以由2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.方法指导 正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．(2018·重庆模拟)若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k，－6k ＋12. 由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立， 则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2018·金版创新)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积 V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.(2)如图1所示，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．解 解法一：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ，且EM ＝12AD ＝a2，又AD ⊥平面BDC ，故EM 为三棱锥E －DFC 的高．求三棱锥C －DEF 的体积，即求三棱锥E －DFC 的体积． 由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点， 所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD ·BD ＝14(2a )2－a 2·a ＝34a 2.所以V 三棱锥E －CDF ＝13S △CDF ·EM ＝13×34a 2×12a ＝324a 3. 即V 三棱锥C －DEF ＝324a 3.解法二：如图所示，知三棱锥C －DEF 与三棱锥E －DFC 的体积相等，且三棱锥E －DFC 是三棱锥A －BDC 的一部分．因为平面ACD ⊥平面BCD ，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，故三棱锥E －DFC 的底面积和高分别是三棱锥A －BDC 的底面积和高的一半．由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，DC ＝3a ，所以S △BCD ＝12×3a ·a ＝32a 2.故V三棱锥A －BDC＝13S △BCD ·AD ＝13×32a 2×a ＝36a 3，则V三棱锥C －DEF＝14V三棱锥A －BCD＝14×36a 3＝324a 3.方法指导 形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1．(2018·广东五校第一次诊断)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，P A ＝PB ＝ 2.(1)求证：平面P AB ⊥平面ABCD ； (2)求点D 到平面APC 的距离．解 (1)证明：如图所示，取AB 的中点O ，连接PO ，CO . 由P A ＝PB ＝2，AB ＝2知△P AB 为等腰直角三角形．∴PO ⊥AB ，PO ＝1.又AB ＝PC ＝2，∠ABC ＝60°，则△ABC 为等边三角形，且CO ＝ 3.由PC ＝2得PO 2＋CO 2＝PC 2，∴PO ⊥CO .∵CO ∩AB ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD . 于是平面P AB ⊥平面ABCD .(2)设D 到平面APC 的距离为h ，由(1)知△ABC 为边长为2的等边三角形，。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想【摘要】高考数学题中蕴含着转化与化归思想，这些思想在解题过程中起着重要的作用。
转化思想可以帮助我们将复杂的问题简化为易解的形式，而化归思想则能够将抽象的问题具体化，从而更容易理解和解决。
通过一些实际的例子，我们可以看到这两种思想在高考数学中的应用，例如利用变量代换、公式变形等方法来解决复杂的数学问题。
为了培养学生的转化与化归思想，可以通过多做题、引导思考、训练技巧等方式来提升学生的解题能力。
转化与化归思想在高考数学中具有重要的意义，未来的发展方向应该是更加注重培养学生的解决问题的能力。
转化与化归思想在高考数学中的重要性不言而喻，学生应该加强对这两种思想的理解和应用，以提高数学解题能力。
【关键词】高考数学题，转化，化归思想，重要性，应用举例，训练方法，培养，未来发展方向，总结1. 引言1.1 高考数学题的特点高考数学题的特点在于其题目形式多样，涵盖了代数、几何、概率统计等各个方面的知识点，考查学生对数学知识的综合运用能力。
高考数学题通常设计精巧，题目设置灵活，既有基础题目考查学生基本计算能力，又有探究性题目考查学生的思维能力和解决问题的方法。
高考数学题难度适中，旨在考查学生对知识的掌握程度和运用能力，而非考查学生的记忆能力。
考生在应对高考数学题时，需要善于分析问题，灵活运用数学知识进行解题。
转化与化归思想在高考数学中显得尤为重要。
转化是指将问题从一个形式转化为另一个形式，为解题提供新的角度和思路；化归是指将复杂问题化简为简单问题，减少解题难度。
运用转化与化归思想可以帮助考生更好地理解问题、发现问题的本质、找到解题的方法。
高考数学题的特点主要体现在题目设计的多样性和灵活性，并且难度适中。
考生在应对这些问题时，需要善于运用转化与化归思想，帮助解题更加高效和准确。
1.2 转化与化归思想的重要性转化与化归思想在高考数学中的重要性，是因为这两种思想是高考数学题目中常见的解题方法，能够帮助学生在解题过程中更快更准确地找到解题思路。
高考数学复习 专题一 第四讲 转化与化归思想课件
|AB| |MN|
＋
|MN| |AB|
的
范围是________．
[思路点拨] (1)由于条件中△ABC的三边只需满足a＋c＝3b
即可，因此可对a，b，c取特值，即选择特殊的三角形处理．
(2)由于题目条件中过点P(－1,1)可作无数对互相垂直的直
线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．
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[解析] (1)取边长a，b，c分别为4,3,5的直角三角形，易求tan
A2＝12，tan C2＝1，所以tan A2·tan C2＝12.
(2)设
|AB| |MN|
＝t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过O，
|AB|最小，|MN|最大，所以t最小＝
2 2
，t最大＝
2
.所以t∈
22，
2
.
又因为t＋1t ≥2
t·1t ＝2，所以t＋1t ∈2，322.
[答案]
(1)C
本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形
式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，
以达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证
明特殊化后的问题的结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
[答案]
(1)2
10 5
(2)(－∞，－8]
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
高考数学二轮复习第1部分4转化与化归思想
命题热点二
命题热点三
命题热点四
对点训练 2 设 a>0,b>0,a+b=5,则 + 1 + + 3的最大值
为 3 2
.
解析 因为 a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令 x=a+1,y=b+3,
则 x+y=9(x>1,y>3),于是 + 1 + + 3 = + ,
-3高考命题聚焦
思想方法诠释
1.转化与化归思想的含义
转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采
用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.
一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题
通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为
已解决的问题.
-4高考命题聚焦
q=(2a,1),p=(2b-c,cos C),且q∥p.
(1)求sin A的值;
-2cos2
(2)求三角函数式
+1 的取值范围.
1+tan
解 (1)∵p∥q,∴2acos C=2b-c.根据正弦定理,
得2sin Acos C=2sin B-sin C.
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
1
∴2sin
又
C=cos Asin C.∵sin C≠0,∴cos
π
0<A<π,∴A= ,sin
3
3
A= .
2
1
A=2.
-10命题热点一
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想【摘要】高考数学题中蕴含的转化与化归思想是数学学习中的重要组成部分。
在解答数学题时, 我们需要将问题进行转化和化归, 将复杂问题简化为更易解决的形式并找到问题的本质。
通过数学题中的转化和化归, 我们能够培养解题的思维方式和方法, 提高解题效率。
此外, 在高考数学中, 我们不仅需要转化和化归问题本身, 还需要将解题方法和思维过程进行转化与化归。
因此, 转化与化归思想在高考数学中具有重要的意义。
通过转变数学思维方式, 学生能够更好地理解数学问题并提高解题能力。
高考数学中的思维方式转变在学生数学学习中起到关键作用, 帮助他们更好地应对考试挑战。
转化与化归思想不仅提高了数学解题的效率, 还培养了学生的逻辑思维能力和创新意识。
【关键词】高考数学、转化、化归思想、解题方法、问题求解、数学思维、思维方式转变、重要性1. 引言1.1 高考数学题中蕴含的转化与化归思想在高考数学题中，蕴含着丰富的转化与化归思想，这些思想贯穿于各种题目中，旨在考查学生的数学思维能力和解决问题的能力。
转化与化归是数学思维的重要组成部分，在高考数学中占据着至关重要的地位。
数学题中的转化，指的是将一个复杂的问题或表达形式转化为简单的形式，从而更容易解决。
这种转化可以是通过代数运算、几何变换等方式实现，通过巧妙的转化，原本看似难以解决的问题变得清晰明了。
数学题中的化归，则是将一个问题归结为已知、熟悉的模式或方法，从而能够依葫芦画瓢地解决新问题。
化归可以帮助学生建立起解决问题的框架和思路，使复杂的问题变得简单而直观。
解题方法的转化和问题求解的化归是数学思维中的重要环节。
学生需要不断地培养转化问题、化归问题的能力，这样才能在考试中灵活应对各种题型，迅速解决问题。
数学思维的转化，不仅仅体现在解题方法上，更体现在对数学概念和原理的理解上。
通过转化思维，学生能够更深刻地理解数学知识，从而提高解题的准确性和速度。
高考数学中的思维方式转变，需要学生在平时的学习和练习中多加训练和积累。
克题制胜的“法宝”——转化与化归思想在数学学习中的巧用
这 是 一 种 常 见 的 、 要 的 、 广 泛 使 用 的转 换 ， 助 图形 重 被 借 的 直 观来 解 题 是 寻 求 解 题 思 路 的一 种 重 要 方 法 。大 量 的代 数 问 题有 着潜 在 的几 何 背 景 ， 截 距 ， 离 ， 率 等 。 时 画一 张 如 距 斜 有 图 形 给 问题 以几 何 的直 观 描 述 ．从 数 与 形 的结 合 中去 找 出 问 题 的 逻 辑关 系会 大 大 降 低 解题 的难 度 。 如 ： 程 ｓ ｘ ｌｘ 方 ｉ ＝ｇ 的解 有 ｎ 个。 解 析 ： 生习惯于通过解方程来求解 ． 学 而此 方 程 无 法 正 常 求 解 ，令学 生手 足无 措 。若 能 运 用 灵 活 的思 维 换 一 个 角度 思
２１ｆ 期考 试 周 ０ －ｇ７ ２ １
的
“法
宝 ＂
转 化 与化 归思 想在 数 学 学 习 中的 巧 用
樊 晓嵘
（ 江市 中学 ， 苏 吴 江 吴 江
摘 要 ：当我 们 遇 到 一 个棘 手 的 问题 时 ， 是 直 接 解 决 ， 不 而 是 把 它转 化 为 一 个 已经 解 决 的或 比 较 容 易解 决 的 问题 ． 从 而 获得 原 问题 的解 决方 法 ． 这 种 思想 在 数 学上 被 称 为 转 化 与 化 归 ． 文 将 围绕 几 种 常 见 的 转 化 方 式 来展 现 这 件 “ 宝” 本 法 在 数 学 学 习 中 的 重要 作 用 。 关键 词 ： 学 思 想 方 法 转化 化 归 数 学 学 习 数
考： 此题的 本质是求方 程组ｆ ｙｓ 的公共 由 ＝ｎ ｌ 解。 于只要回 答解
Ｙ ｇ ｌ
的个 数 ．故 运用 数 形 结 合 思 想 转 化 为 求 函 数 图 像 交 点 问 题 ， 寻 求 几 何 性 质 与 代 数 方 程 之 间 的 内在 联 系 ， 可 知 解 的个 数 便 为３ 。 个 再 如 ： 关 于 ｘ 方 程 ｓ ‘ ＋ ｉ ＋ ＝ ， 两 个 相 异 实 数 根 设 的 ｉ ｘｓ ｘ ａ０有 ｎ ｎ 时 ， 的取 值 范 围。 求ａ 解 析 ： 题 若 从 方 程 角 度 出发 ， 是 一 个 涉 及 根 的 分 布 问 本 则 题 ．非 常 容 易 漏 掉 条 件 ，不 妨 转 化 为 两 个 函 数 图 像 的 交 点 问 题 ， ｓ ＋ ｉｘ ａ ０ ｘＥＲ， 为 ｓ ‘ ＋ ｉｘ ａ 令 ｔ ｓ ｘ ｔ ［ 将 ｉ ｘ ｓ — ＝ ， 化 ｎ ｎ ｉ ｘ ｓ ＝ ， ＝ ｉ ，∈ 一 ｎ ｎ ｎ
高三数学二轮复习之思想方法4转化与化归
第04讲 转化与化归思想高考考点聚焦一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用―换元‖把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：―构造‖一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁UA 使原问题获得解决，体现了正难则反的原则． 命题热点突破命题方向1 特殊与一般的转化例1 已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________.练习：1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__________.2．已知函数f (x )＝a xa 2＋a(a >0且a ≠1)，则f (1100)＋f (2100)＋…＋f (99100)的值为__________.命题方向2 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是__________.练习：已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为_______________.命题方向3 正难则反的转化例3 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m 2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是_______________.练习：若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是___________.针对性练习1．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围为 .2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+ ，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S ＝ .3．已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为30︒，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 .4．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 .5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 .6．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222a c b +-=．（1）求角B 的大小；（2）若2cos cos cos )b A c A a C =+，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．。
高考数学转化与化归的思想
高考冲刺转化与化归的思想编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1．转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.2．转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集U Að获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.4．利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归【例1高清转化与化归的思想例题1 ID:404094】设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．【思路点拨】(1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)＞0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′(x)＞0，解得x＞2a或x＜2，∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．f(2a)＝13(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－43a3＋4a2＋24a＝－43a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.由题设知1,(2)0,(0)0,af af>⎧⎪>⎨⎪>⎩即1,4(3)(6)0,3240,aa a aa>⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得1＜a＜6.故a的取值范围是(1,6)．【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 举一反三：【变式】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．【答案】(【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩【例2】已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【思路点拨】利用递推数列的通项公式构造函数，利用导数判断函数单调性求解。
高考数学思想技法攻略精讲：第四讲转化与化归思想
第四讲 转化与化归思想思想方法 -----------------------------------------------------------------------------疥化与也口恩亂就足庄折究川囂竝白/ ■•■■； ■: 乂：卜；・！1星种手B0将问16雷过骚換翟WHit.itt 而僵“倾用沽匪;』茁Hl 飯学方送.一般罡耨豪朵矽冃剧通过蛮龍農化为闻单的切戲•将錐霹型呵题駁过变頼農化为菩崩求解的问曹•将未雇块的问 富寻过蛮奂雋叱为已篠夬豹问£,要点一 特殊与一般的转化 【例1】是奇画#(.对枉蠢第宴鼻小严有/(J r+j>=H J >4-/O>*且当时,WI 门八在甌间「t.f> 1 V ( )切人点：远取符合条件的 一 \jtA*町曲小值 m 大 c.肓肚大備q 宁) [Jx flW 小值 “ r )*】在E1ABC 中*=边怏歯肚er+0 ■ 3乩 PU tail ^l?!ji g 的值为 (z z>切人血：读旅洛令族件的 A P 氐+「・ 1 —工-i- IX -=-£ J 『/・*的萌.［解析］(1)f(x) = -x 显然符合题中条件，易得f(x)= — x 在区间［a ,b ］上有最大值f(a)，故选B.(2)令a = 4, c = 5, b = 3,则符合题意. C 4则由/ C = 90° 得 tang = 1,由 tanA = 3， 得 tan A = 2.所以 tan A tan C =2 1 = *,故选 C. ［答案］(1)B (2)C名师点拨〉化一般为特殊的应用要点把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效 果，既准确又迅速.常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特思想方法突破Fixianglarigfatupo楓典例剖析方法探究殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择 特殊量.［对点训练］1. 已知点P 是厶ABC 所在平面内的一点，边 AB 的中点为D ,+ FB = 2FD ，所以 FA + FB = FB - PC ,所以 FA = CP ,所以 A , C , F 三点共线，因此点P 一定在AC 边所在的直线上，故选C.［答案］C2. （2018银川质检）在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、 cosA + cosCb 、c ,若a 、b 、c 成等差数列，则i +cosAcosC =［解析］令a = b = 5则厶ABC 为等边三角形, 厂1且 cosA = cosC = 2,1 1 +cosA + cosC 2 2 4代入所求式子，得 = =7.1 + cosAcosC 「1 ▽ 1 51+寸2若PD =匕^仏+2CB ，其中 衣R ，则点P 一定在（ A . AB 边所在的直线上 C . AC 边所在的直线上B . BC 边所在的直线上D . △ ABC 的内部［解析］取 A1,则 2PD = CB , 因为边AB 的中点为D ，所以FA要点二 函数、方程、不等式间的转化【例 2】(IK201B - P1MI 底都联 S 等邑裁列 屮 .a 3J ］T Ffi &/(.r > = 1-' - S.r' + 壮一I 的対牛不同的B4直点.则冷賂4啊“的值酋 C > 切人点；转ft 为旳*巴冊1 -------- - -------------------------------------------- > JK y 7^1=0 的 SfT 五寻九7 丘i* C2D* 贺H 】仁'已切晡柑"，十护=礼点 锂囂小’动点阳饶庾］|-.,期/m 的酣広伯为c >-------- 二二 _______________ )切人点*枸造茏于A.f li.f C.f也今 的晦垃冋劭［解析］(1)由题易得f ' (x)= 3x 2 — 12x + 4,因为比,a 2oi7是函数 f(x) = x 3— 6x 2 + 4x — 1的两个不同的极值点，所以a 3, a 20i7是方程3X 2 —12x + 4= 0的两个不等实数根，所以a 3 + a 2oi7= 4•又数列｛a *｝为等差 数列，所以 a 3+a 2oi7=2a ioio , 即卩 a ioio =2,从而 log ］ a ioio = log 〕441—］,故选B.2|OM| |MA|x 2 A /|Xa =¥，当且仅当a = 2时等号成立，所以/ OMA < ：，即 / OMA 的最大值为n 故选C.［答案］(1)B (2)C|名师点拨》函数、方程与不等式间的转化策略函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的 问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此 借助于函数、方4［答案］4(2)设|MA| = a>0,因为|OM| = 2 2, |0A| = 2,由余弦定理知 |OM|2 + |MA|2— |OA|2 (2 迈)2 + a 2 — 22 1/ OMA = = ------------- : ------ =—:cos 2X 2 2a程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简.本例（1）将函数的极值点转化为导函数的零点，再转化为方程的两个实根.（2）将/ OMA的最值转化为其三角函数值的最值，这样才能更好地进行运算.一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围.［对点训练］3. （2018 银川二模）若点（1,3）和（一4,—2）在直线2x+y+ m= 0的两侧，贝S m的取值范围为（）A . （— = ,—5）U （10，+乂） B. ［—5,10）C. （—5,10）D. ［—5,10］［解析］因为点（1,3）和（一4,—2）在直线2x+y+ m = 0的两侧，所以（5 + m）（—10+ m）<0，解得—5<m<10，故选 C.［答案］C4. （2018贵阳摸底）已知直线I过点A（2,3）且与x轴、y轴的正半轴分别交于M、N两点，则当|AM| |AN|最小时，直线I的方程为 ______ ,（n［解析］设/ AMO为0,贝S 0€ 0, 2}3 2，AM匸s30 IAN匸而6 12•••|AM||AN|= = > 12.sin 0cos0 sin2 0当且仅当sin2 0= 1, 即卩0=申寸取“=”号.此时K = —1,二1的方程为x+y—5= 0.［答案］x + y — 5= 0要点三正与反的转化2 一 所以m +4》-—3t 恒成立，则 m + 4》一1,即卩m 》一5; 2由②得m + 4W x — 3x 在x € (t,3)上恒成立, zv2 37贝卩 m + 4W §— 9, 即卩 m W —所以，函数g(x)在区间(t,3)上不为单调函数的m 的取值范围为一37 y<m<— 5,故选 A.(2)若4x 2— ax + 1 = 0在(0,1)内没有实数根，则在x € (0,1)内，a 工4x 11 1+ ",而当 x € (0,1)时，4x +-€ ［4 , +x ),要使 4x +_,必有 a<4,zv zv zv故满足题设的实数a 的取值范围是(4,+乂).立,(?K2018 *邯祁磅林 >已知用程^-flj+l-O 在SJ)內至少有一牛实根・划真牧HL H・・wi ■・・BH・・・■・・・■・・nvn !■ awnnm ■・■«■,・m r ・w ・■■■■,・i 的耽的祖同期旳人点:转化为方丹存⑴. 门内无丈忍求解.［解析］(1)g ' (x) = 3x 2+ (m + 4)x — 2. 若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则 ① g ‘ (x) > 0在(t,3)上恒成立; ② g ‘ (x) < 0在(t,3)上恒成立.2由①得 3/+(m + 4)x — 2>0, 即卩 m + 4>一一3x 在 x € (t,3)上恒成x【鮒】⑴若对F 住4£［丨芒］*韵竝煎£=,+ (号+±戶一21"從1<闾"3上不 L3 l ir r rLiu»r~wfair L LI nu~r^i^n r星眼调两數.CM 实敢刖的联債庇用展 (U. ［一Si +^ 3 切人点 在区问W ・3)匕是单谓備oOU<^5,十此)［答案］(1)A (2)(4，+乂)名师点拨〉正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可.一般地，题目若出现多种成立的情形，贝y不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.［对点训练］5 .若命题“ ？ x o € R，使得x0 + mx o + 2m—3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A . ［2,6］B. ［—6,—2］C. (2,6)D. (—6,—2)［解析］因为命题“？ X o € R，使得x0+mx o+ 2m—3<0”为假命题，所以命题“? x€ R，使得x2+ mx+ 2m- 3>0”为真命题，所以A< 0,即卩m2—4(2m—3)< 0,所以2< m< 6,故选 A.［答案］A6. (2018日照一中模拟)设命题p：|4x—3|< 1;命题q：x2—(2a + 1)x+ a(a + 1)< 0,若綈p是綈q的必要不充分条件，贝卩实数a的取值范围是.［解析］T綈p是綈q的必要不充分条件，•••綈q?綈p,且綈p?綈q等价于p? q,且q? p.记p：A= {x||4x —3|< 1} = i x 2^x< 1 j, q：B= {x|x2—(2a + 1)x + a(a+ 1) w 0} = {x|a w x w a + 1}，则 A B.a+ 1》1, 1 从而< 1 且两个等号不同时成立，解得0w a w 2.a w2, 2故所求实数a 的取值范围是0, 1 .［答案］')0,2要点四主与次的转化【制11 门】若不等式十1亠0对一如,丁€[-右却恫處立.剧“的取值荀丽 为 ________ . 苦木礬式艺二y 土 1全匸对二抑"€ C-2.值范嗣为 ————i — — — - — — — — — — — — — — — — — — 11 ■ ~ — - 一 1 一一一 — i 一 _ F 1 - —切人点■摘出』的槪疽甑禺. 裡上为主尺我为垮数一切人点I 跆出</的収值抠■・崔M 为主兀-』为幽st［解析］(1)因为 x € ［ - 2,2］, 当x = 0时，原式为02-aO + 1>0恒成立，此时a € R ；x 2 + 1 x 2 + 1 2x当x € (0,2］时，原不等式可化为 a < ——，而—— >亠 2,当x x x且仅当x = 1时等号成立，所以a 的取值范围是(—^, 2];x 2+ 1a > _,x ，当x € [ - 2,0)时，可得令 f(x)= ^^= x +1,x x由函数的单调性可知， 所以 a € [ — 2,+ %).综上可知，a 的取值范围是[—2,2].f(x)max = f( — 1)=- 2, ⑵因为a € [ — 2,2]，则可把原式看作关于a 的函数, 即 g(a) = — xa +x 2+ 1>0,由题意可知,g — 2 = X 2 + 2X + 1> 0, g2 = x 2— 2x + 1>0,解之得x € R ,所以x 的取值范围是(一乂，+乂). [答案](1)[ — 2,2](2)( — = ,+=)名师点拨A主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数),将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”.［对点训练］7. (2018陕西汉中模拟)若不等式mx2+ 2mx— 4<2x2+ 4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是()A . (—2,2］B. (—2,2)C. ( — = 2)U ［2，+乂)D. (―乂, 2］［解析］mx2+ 2mx—4<2x2+ 4x,即(m—2)x2+ 2(m —2)x—4<0,对任意x均成立，当m= 2时，适合题意；当m<2时，由A<0,即4(m —2)2 + 16(m—2)<0 得m> —2.所以—2<m<2综上所述—2<m< 2,故选A.［答案］A8. (2018衡水中学检测)对于满足0W p<4的所有实数p,使不等式x2+ px>4x + p—3成立的x的取值范围是 _______ .［解析］设f(p)= (x—1)p+ x2—4x+ 3,［f(0)>0,f(p)在0W p<4上恒正，等价于［f(4)>0,即：—3 x—1>0,x2—1>0,解得x>3或x<—1.［答案］(—=,—1)U (3 ,+=)思德龙散洵------转化与化归思想的四项原则1熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问 题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解 决. 2. 简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解 决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据 .3•和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与 形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运 用某种数学方法或符合人们的思维规律.4.正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面， 设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.专题跟踪训练（四）一、选择题1. （2018甘肃兰州一诊）已知等差数列｛a *｝的前n 项和为S n ，若 a 3 + a 5+ a 7= 24,则 S 3 等于（）A . 36B . 72C . 144D . 288［解析］解法一:因为｛a *｝是等差数列，又a 3 + a 5 + a 7 = 3a 5= 24, 所以a 5= 8.解法二：不妨设等差数列｛a *｝的公差为0, 则由 83+ a 5 + a 7= 24,得 a 1 = a n = 8,贝卩 S 9= 9a 1 = 9x 8= 72,故选 B. ［答案］B x 2 y 2一 2. 过双曲线孑—器=1上任意一点P ,弓I 与实轴平行的直线，交 两渐近线于R , Q 两点，则PR PQ 的值为()S 9 = a 〕+ a ? x 92 =9a 5= 72,故选B.A . a2B. b2C. 2abD. a2+ b2［解析］当直线PQ与x轴重合时，|PR|= |PQ| = a,故选A.［答案］A2 23. (2018山西四校联考)P为双曲线X — *= 1的右支上一点，M、N 分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和圆(x—5)2+ y2= 1上的点，贝卩|PM| —|PN| 的最大值为()A . 6 B. 7C. 8D. 9［解析］设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|—|PF2|= 2X 3= 6.要使|PM|—|PN|最大，需PM, PN分别过F1、F2点即可.••• (|PM|—|PN|)max = (|PF1| + 2)—(|PF2|—1)=|PF1|—|PF21+ 3 = 9,故选 D.［答案］D4. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)()［解析］由三视图知该几何体是一个底面半径为 r = 1,母线长为1 = 3的 圆锥，则圆锥的高为h=. l 2 — r 2= 32— 12 = 2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体 ABCD — A i B 1C 1D 1的一个 底面A i B i C i D i 在圆锥的底面上，过平面 AA i C i C 的轴截面如图所示， 设正方体的棱长为x,则有十=山—^，即衾=饗—x,解得x =普,A. _8 9 nC. 24 2— 1 3 n8B.27- 27 n 8 2 — 1 3 D-冗V 正方体 x 38 V 圆锥 1 29 n3n h［答案］A5. （2018广东广州一模）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前 都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正 面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那 么没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）7 B.1619 C.2 D.16［解析］由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率，四个人抛， 共有24= 16种不同的情况，其中有两个人同为正面且相邻需要站起 来的有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有4+ 4+ 1 91种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率 P =—亍=16（转化故选B.［答案］B6. （2018湖南长沙模拟）若对任意的x € ［0,1］，总存在唯一的y €［-1,1］，使得x + y 2e y - a = 0成立，则实数a 的取值范围是（）A . ［1, e ］B.；1 +1 J - 1 ］则原工件的材料利用率为故选A. 1 A.4 为对立事件求解），故没有相邻的两人站起来的概率 7 16,C. （1, e］D. 1+ e，e［解析］方程x+ y2e y- a= 0,即y2e y= a —x,构造函数f（x）= /e x（转化为函数）则f‘ (x) = (x2+ 2x)e x,当—1< x<0 时，f‘ (x)<0, f(x)在［—1,0)上单调递减；当Ovx w 1时，f‘ (x)>0 , f(x)在(0,1］上单调递增.口 1且f(—1)= e，f(0)=0, f(1)=e,因为存在唯一的y,所以f(x) € i1, e.g(x) = a —x在［0,1］上的值域为［a—1, a］,若对任意的x€ ［0,1］,总存在唯一的y€ ［—1,1］,(1I使得x+ y2e y— a = 0 成立，等价于［a—1, a］? &, e ,1 1故a—1>-且a<e,即 1 + -<a<e,故选 B.D D［答案］B二、填空题7. 若二次函数f(x) = 4x2—2(p —2)x—2p2—p+ 1 在区间［—1,1］内至少存在一个值c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围为____________ .f —1 w 0［解析］如果在［—1,1］内没有值满足f(c)>0，贝S ?' 1 、T P< —2 或p> 1 3 3< 3 ? p w —3或P》3’取补集为—3vp<2即为满足条p< —3 或p> 3件的p的取值范围.故实数p的取值范围为厂3,勺丿( 3)［答案］-3, 2/8. 设y= (log2x)2+ (t—2)log2x—t + 1, 若t 在［—2,2］上变化时，y恒取正值，则x 的取值范围是 __________ .[解析]设 y = f(t) = (log 2X - 1)t + (log 2X )2— 2gx + 1,当 t € [- 2,2] 时，f （t ）＞o 恒成立，则由『（-2）＞°IW O,1 、解得 log 2X< — 1 或 log 2X>3，即 0<x<2或 x>8, 故x 的取值范围是0, 1 U （8,+乂）.（n［答案］o, 2 U （8,+乂）9. _______________________________________ 如图，已知三棱锥 P -ABC , FA = BC = 2 34, PB = AC = 10, PC = AB = 2回，则三棱锥P -ABC 的体积为 ___________________________________ .［解析］因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个 特定的长方体中（如图所示）.Rlog z X) - 4log 2X + 3>0即2 log 2X 2- 1>0,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC , 易知三棱锥P-ABC 的各棱分别是长方体的面对角线.不妨令 PE = x , EB = y , EA = z ,x 2 + y 2= 100由已知有x 2 + z 2= 136 ly 2 + z 2= 164, 解得 x = 6, y = 8, z = 10, 从而知三棱锥P - ABC 的体积为V 三棱锥p —ABC = V 长方体AEBG —FPDC — V 三棱锥p —AEB — V 三棱锥C -ABG — V 三棱锥BPD C-—V 三棱锥A - FPC=V长方体 AEBG - FPDC— 4V三棱锥 P -AEB1=6X 8X 10- 4X x 6X 8X 10= 160.6 ［答案］160 三、解答题10. (2018广西南宁监测)已知函数f(x)= ax 2 + bx + c(a>0, b , c € R ). (1)若函数f(x)的最小值是f(- 1)= 0,且c = 1,(2)若a = 1, c = 0,且|f(x)|< 1的区间(0,1］上恒成立，试求b 的取 值范围.[解](1)由已知 c = 1, a — b + c = 0,且一亦=—1, 解得 a = 1, b = 2,二 f(x) = (x + 1)2. [(x + 1 f, x>0 二 F(x) = 21-(x + 1 f , x<0.••• F(2) + F( - 2)= (2+ 1)2 + [ - (- 2+ 1)2] = 8. (2)由 a = 1, c = 0,得 f(x)= x 2 + bx ,fx ), x>0F(x) = -fx , x<0,求 F(2) + F( - 2)的值;从而|f(x)|w 1在区间(0,1］上恒成立等价于—1<X2+ bx< 1在区间(0,1］上恒成立，1 1即b<x —X且b>—x—X在(0,1］上恒成立.X X1 1又-一X的最小值为0,—-一X的最大值为一2.X X一2w b w 0.故b的取值范围是［—2,0］.11. 已知直线1: 4x+3y+ 10= 0,半径为2的圆C与I相切，圆心C在x轴上且在直线I的右上方.(1) 求圆C的方程；(2) 如图，过点M(1,0)的直线与圆C交于A, B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分/ ANB?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.5、|4a+10|［解］(1)设圆心C(a,0) a> —2丿，则—5—= 2? a= 0 或a=—5(舍去).所以圆C的方程为x2+ y2= 4.(2)当直线AB丄x轴时，x轴平分/ ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= k(x—1),N(t,0)，A(X1，y」，B(X2，y2)，[x 2 + y 2= 4 由得(k 2 + 1)x 2 — 2k 2x + k 2-4= 0,y =kx —1 ,2 k 2 k 2 — 4所以 X 1 + x 2 = k 2R ，X l X 2 = .若 x 轴平分/ ANB,则 k AN = —k BN ?曲 + x 2—t = °?号r +=0? t = 4,所以当点N 为(4,0)时，能使得/ ANM =Z BNM 总成立. 综上，存在点N(4,0)使x 轴平分/ ANB. 12. 已知函数 f(x)= Inx —(x + 1). (1) 求函数f(x)的极大值；1 1 1 *(2) 求证：1 +2 + 3+…+ n>ln(n + 1)(n € N ). ［解］(1)丁 f(x) = Inx —(x + 1), 1• •• f (x) = x — 1(x>0). 令 f ‘ (x)>0，解得 0<x<1 ； 令 f ' (x)<0，解得 x>1.•函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+^)上单调递减， •- f(x)极大值=f(1) = — 2.⑵证明：由(1)知x = 1是函数f(x)的极大值点，也是最大值点， • f(x)<f(1)= — 2，即卩 Inx —(x + 1)< — 2? lnx w x — 1(当且仅当 x =1时等号成立)，令t = x — 1,得t > ln(t + 1)(t> — 1)，当且仅当t = 0时等号成立. 取t =十(n € N *)时，kx 2 — 1x 2 — t 0? 2x 1X 2 — (t + 1)(x i + x 2)+ 2t = 0?2 k 2 — 4 k 2+ 1 — 2k 21 + 1k 2+ 1+ 2trM 1 \ 1 ! i n + 1 则 i>l n J +n > ln ;+r,，““1314 i m+1 •••侣贬，2>I n 2, 3>I n 3,…，n>i n 〒 1 11 叠加得1+”+^+…+-2 3n(3 4 n + 1、 >ln 2 ••… -- --- =ln(n + 1).< 2 3 n1 1 1即 1 + 2 + 3+…+ n>l 门5+ 1).专题跟踪训练（四）一、选择题1. （2018甘肃兰州一诊）已知等差数列｛a *｝的前n 项和为S n ，若 a 3 + a 5+ a 7= 24,则 S 3 等于（）A . 36B . 72C . 144D . 288［解析］解法一：因为｛ a n ｝是等差数列，又a 3 + a 5 + a 7 = 3a 5= 24, 所以a 5= 8.解法二：不妨设等差数列｛a n ｝的公差为0,则由 83+ a 5 + a 7= 24, 得 a 1 = a n = 8,贝卩 S 9= 9a 1 = 9x 8= 72,故选 B. ［答案］Bx 2 y一S 9 = =9a 5=72,故选B.2. 过双曲线孑—b=1上任意一点p,弓I与实轴平行的直线，交两渐近线于R, Q两点，则PR PQ的值为()A . a2B. b2C. 2abD. a2+ b2T T［解析］当直线PQ与x轴重合时，|PR|= |PQ| = a,故选A.［答案］Ax2 y23. (2018山西四校联考)P为双曲线~9—16=1的右支上一点，M、N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和圆(x—5)2+ y2= 1上的点，贝卩|PM| —|PN| 的最大值为()A . 6 B. 7C. 8D. 9［解析］设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|—|PF2|= 2X 3= 6.要使|PM|—|PN|最大，需PM, PN分别过F2点即可.••• (|PM|—|PN|)max = (|PF1| + 2)—(|PF2|—1)=|PF1|—|PF21+ 3 = 9,故选 D.［答案］D4. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)()［解析］由三视图知该几何体是一个底面半径为 r = 1,母线长为1 = 3的 圆锥，则圆锥的高为h = l 2 — r 2= 32 — 12 = 2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体 ABCD — A i B 1C 1D 1的一个 底面A i B i C i D i 在圆锥的底面上，过平面 AA i C i C 的轴截面如图所示， 亚X设正方体的棱长为 X,则有十 =^,即缶=X'解得x = 豊28 A9n C 24（迈—138 B-27~ 27n8 ;Al QV 正方体 x 38 V 圆锥 1 29 n3n h［答案］A5. （2018广东广州一模）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前 都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正 面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那 么没有相邻的两个人站起来的概率为（）7 B.16 1 9 C.2D.16［解析］由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率，四个人抛， 共有24= 16种不同的情况，其中有两个人同为正面且相邻需要站起 来的有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有4+ 4+ 1 91种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率 P =—亍=16（转化故选B.［答案］B6. （2018湖南长沙模拟）若对任意的x € ［0,1］，总存在唯一的y €［-1,1］，使得x + y 2e y - a = 0成立，则实数a 的取值范围是（）A . ［1, e ］ B.；1 +1 J - 1 ］ C . （1, e ］D. 1+ e ，e则原工件的材料利用率为 故选A. 1 A.4 为对立事件求解），故没有相邻的两人站起来的概率 7 16,［解析］方程x+ y2e y- a= 0,即y2e y= a —x,构造函数f（x）= /e x（转化为函数）则f‘ (x) = (x2+ 2x)e x,当—1< x<0 时，f‘ (x)<0, f(x)在［—1,0)上单调递减；当Ovx w 1时，f‘ (x)>0 , f(x)在(0,1］上单调递增.口 1且f(—1)= e，f(0)=0, f(1)=e,因为存在唯一的y,所以f(x) € i1, e.g(x) = a —x在［0,1］上的值域为［a—1, a］,若对任意的x€ ［0,1］,总存在唯一的y€ ［—1,1］,(1I使得x+ y2e y— a = 0 成立，等价于［a—1, a］? &, e ,1 1故a—1>-且a<e,即 1 + -<a<e,故选 B.D D［答案］B二、填空题7. 若二次函数f(x) = 4x2—2(p —2)x—2p2—p+ 1 在区间［—1,1］内至少存在一个值c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围为____________ .f —1 w 0［解析］如果在［—1,1］内没有值满足f(c)>0，贝S ?' 1 、T P< —2 或p> 1 3 3< 3 ? p w —3或P》3’取补集为—3vp<2即为满足条p< —3 或p> 3件的p的取值范围.故实数p的取值范围为厂3,勺丿( 3)［答案］-3, 2/8. 设y= (log2x)2+ (t—2)log2x—t + 1, 若t 在［—2,2］上变化时，y恒取正值，则x 的取值范围是 __________ .[解析]设 y = f(t) = (log 2X - 1)t + (log 2X )2— 2gx + 1,当 t € [- 2,2] 时，f （t ）＞o 恒成立，则由『（-2）＞°IW O,1 、解得 log 2X< — 1 或 log 2X>3，即 0<x<2或 x>8,故x 的取值范围是0,［U （8,+乂）.9. 如图，已知三棱锥 P -ABC , FA = BC = 2 34, PB = AC = 10, PC = AB = 2回，则三棱锥P -ABC 的体积为 ___________ .Rlog z X) - 4log 2X + 3>0即2 log 2X 2- 1>0, ［答案］ 0, 1 ju (8,［解析］因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中（如图所示）.把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC , 易知三棱锥P-ABC 的各棱分别是长方体的面对角线.不妨令 PE = x , EB = y , EA = z ,x 2 + y 2= 100由已知有x 2 + z 2= 136 ly 2 + z 2= 164,解得 x = 6, y = 8, z = 10,从而知三棱锥P - ABC 的体积为V 三棱锥p —ABC = V 长方体AEBG —FPDC — V 三棱锥p —AEB — V 三棱锥C -ABG — V 三棱锥B PDC - —V 三棱锥A - FPC=V 长方体 AEBG - FPDC — 4V 三棱锥 P -AEB 1 =6X 8X 10- 4X x 6X 8X 10= 160. 6［答案］160三、解答题10. (2018广西南宁监测)已知函数f(x)= ax 2 + bx + c(a>0, b , c € R ).(1)若函数f(x)的最小值是f(- 1)= 0,且c = 1,(2)若a = 1, c = 0,且|f(x)|< 1的区间(0,1］上恒成立，试求b 的取 值范围.[解](1)由已知 c = 1, a — b + c = 0,且一亦=—1, 解得 a = 1, b = 2,二 f(x) = (x + 1)2.[(x + 1 f, x>0二 F(x) = 21-(x + 1 f , x<0.••• F(2) + F( - 2)= (2+ 1)2 + [ - (- 2+ 1)2] = 8.(2)由 a = 1, c = 0,得 f(x)= x 2 + bx ,fx ), x>0F(x) = -fx , x<0,求 F(2) + F( - 2)的值;从而|f(x)|w 1在区间(0,1］上恒成立等价于—1<X2+ bx< 1在区间(0,1］上恒成立，1 1即b<x —X且b>—x—X在(0,1］上恒成立.X X1 1又-一X的最小值为0,—-一X的最大值为一2.X X故b的取值范围是［—2,0］.11. 已知直线1: 4x+3y+ 10= 0,半径为2的圆C与I相切，圆心C在x轴上且在直线I的右上方.(1) 求圆C的方程；(2) 如图，过点M(1,0)的直线与圆C交于A, B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分/ ANB?若存在，请求出a=—点N的坐标；若不存在，请说明理由.5(舍去).所以圆C的方程为x2+ y2= 4.⑵当直线AB丄x轴时，x轴平分/ ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= k(x—1),N(t,0)，A(X1，yj，B(X2，y2)，[x 2 + y 2= 4 由 得(k 2 + 1)x 2 — 2k 2x + k 2-4= 0, y =kx —1 , 2 k 2 k 2 — 4 所以 X 1 + x 2 = k 2R ，X l X 2 = . 若 x 轴平分/ ANB,则 k AN = —k BN ?曲 + x 2—t = °?号r +=0? t = 4,所以当点N 为(4,0)时，能使得/ ANM =Z BNM 总成立. 综上，存在点N(4,0)使x 轴平分/ ANB.12. 已知函数 f(x)= Inx —(x + 1).(1) 求函数f(x)的极大值；1 1 1 *(2) 求证：1 +2 + 3+…+ n>ln(n + 1)(n € N ).［解］(1)丁 f(x) = Inx —(x + 1),1• •• f (x) = x — 1(x>0).令 f ‘ (x)>0，解得 0<x<1 ；令 f ' (x)<0，解得 x>1.•函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+^)上单调递减，•- f(x)极大值=f(1) = — 2.⑵证明：由(1)知x = 1是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，• f(x)<f(1)= — 2，即卩 Inx —(x + 1)< — 2? lnx w x — 1(当且仅当 x =1时等号成立)，令t = x — 1,得t > ln(t + 1)(t> — 1)，当且仅当t = 0时等号成立. 取t =十(n € N *)时，kx 2 — 1x 2 — t 0? 2x 1X 2 — (t + 1)(x i + x 2)+ 2t = 0? 2 k 2 — 4 k 2+ 1 — 2k 21 + 1k 2+ 1 + 2trM 1 \ 1 ! i n + 1则i>l n J+n >ln;+厂，““1314 i m+1•••侣贬，2>I n2, 3>I n3,…，n>i n〒1 1 1叠加得1+”+^+…+-2 3 nr 34n+n _ / 朴>ln 2 ••…- = ln(n + 1).< 2 3 n1 1 1即 1 + 2 + 3+…+ n>l 门5+ 1).。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想1. 引言1.1 高考数学题的重要性高考数学题在学生的学习生涯中扮演着至关重要的角色。
不仅是考试的一部分，更是检验学生数学能力和逻辑思维能力的重要方式。
高考数学题的设计旨在考察学生对数学知识的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
高考数学题的丰富多样、灵活性强，能够很好地检验学生的数学思维能力、解决问题的能力和抽象思维能力。
高考数学题的出现，不仅检验了学生对数学知识的掌握程度，更考察了学生的逻辑思维、分析解决问题的能力，培养学生的创新精神和思维能力。
通过解答高考数学题，学生能够在逻辑推理、问题分析、问题求解等方面得到锻炼，提高自己的综合能力和解决实际问题的能力。
1.2 转化与化归思想的定义转化与化归思想是数学中一种重要的思维方式和方法，指的是将一个问题通过变换、转化或归纳化简为已知的问题或标准形式，从而达到解决问题的目的。
转化与化归思想在解决数学问题时起着至关重要的作用，能够帮助我们更好地理解问题本质，提高解题效率。
在数学中，转化思想是指将原问题通过变换、等价替换等方式转化为其他形式的问题，常见的转化方法包括换元、换边、换对称点等。
而化归思想则是指将原问题分解、合并或简化为已知的模型或标准形式，通过化归可以减少问题的复杂性，提高求解的准确性。
转化与化归思想在高考数学题中经常出现，例如在解决函数、几何、代数等类型的题目时，学生需要灵活运用转化与化归思想，将问题转化为熟悉的形式，从而更好地解决问题。
转化与化归思想的应用不仅可以帮助学生提高解题的效率，还可以培养学生的逻辑思维能力和创新意识，对于学习数学具有重要的意义。
2. 正文2.1 转化与化归思想在高考数学题中的应用转化与化归思想在高考数学题中的应用可以说是至关重要的。
在高考数学题中，我们经常会遇到一些看似复杂，但实际上可以通过转化与化归思想简化求解的问题。
这种思想在解题过程中起着至关重要的作用，能够帮助我们更加高效地解决问题。
最新高考数学一轮复习高三专题复习篇专题一 第四讲转化与化归思想
第四讲 转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．3．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.答案 1解析 设出等差数列的公差，列方程求解． 设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.2． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.3． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233， b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .4． (2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]答案 B解析 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1，故选B.5． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.题型一 特殊与一般的转化例1 (1)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是( )A.e 416＜e 525＜e 636 B.e 636＜e 525＜e 416 C.e 525＜e 416＜e 636D.e 636＜e 416＜e 525(2)在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P (－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB ||MN |＋|MN ||AB |的范围是________．审题破题 (1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P (－1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题． 答案 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤2，322 解析 (1)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636.而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e xx 2′＝e x·x 2－e x·2x x 4＝e x(x 2－2x )x 4，令f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)＜f (5)＜f (6)，即e 416＜e 525＜e 636.(2)设|AB ||MN |＝t ，考虑特殊情况：当AB 垂直OP 时，MN 过点O ，|AB |最小，|MN |最大，所以t 最小＝22，t 最大＝ 2.所以t ∈⎣⎡⎦⎤22，2.又因为t ＋1t ≥2 t ·1t ＝2，所以t ＋1t ∈⎣⎡⎦⎤2，322.反思归纳 当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练1 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案 1316解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.题型二 正难则反转化例2 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．审题破题 函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g (x )在区间(t,3)上为单调函数．答案 －373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.反思归纳 正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想． 变式训练2 (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解． ∵g (x )＝2x －2<0，∴x <1. 又∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知m 不可能大于等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，若2m ＝－m －3，即m ＝－1，此时f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足题意；若2m >－m －3，即－1<m <0，此时f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}，依题意2m <1，即－1<m <0；若2m <－m －3，即m <－1，此时f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，依题意－m －3<1，∴m >－4，∴－4<m <－1.综上可知，满足条件的m 的取值范围是－4<m <0. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化例3 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x1＋x.(1)求f (x )的极小值；(2)若a 、b >0，求证：ln a －ln b ≥1－ba.审题破题 (1)求函数的极值可通过求导、列表的方法；(2)证明不等式可以观察式子和题中函数的关系，借助函数的极值进行求证． (1)解 f ′(x )＝11＋x －1＋x －x (1＋x )2＝x(1＋x )2(x >－1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0. 列表如下x (－1,0) 0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗由上表可知，x ＝0时f (x )取得极小值f (0)＝0.(2)证明 在x ＝0时，f (x )取得极小值，而且是最小值，于是f (x )≥f (0)＝0，从而ln(1＋x )≥x 1＋x在x >－1时恒成立，令1＋x ＝a b >0，则x 1＋x ＝1－1x ＋1＝1－ba ，∴ln a －ln b ＝ln a b ≥1－ba .因此ln a －ln b ≥1－ba 在a >0，b >0时成立．反思归纳 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练3 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)，取t ＝1n(n ∈N *)，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n)＝ln(n ＋1).典例 (12分)已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (a 是小于1的正实数，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .[2分] 由0<a <1，知1<2－a <2.[3分]所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得23<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增． [5分]所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a <1时，23a >13－a 6， 由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2[f (x )]min >[f (x )]max (x ∈[1,2])．[7分]所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6，结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25；[9分]当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ，结合25<a <1可解得25<a <2－ 2.[11分] 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. [12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分；(2)讨论时将a 的范围分为0<a <25和25≤a <1一样给分；讨论时a 的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．阅卷老师提醒 将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f (x )在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f (x )在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f (1)与f (2)的大小关系．1． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，－1≤x 0≤－12，故选A.2． 设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 A 解析 a ＝2×22sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°，∴c <a <b . 3． 方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1答案 D解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝(cos x －12)2－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1，故选D.4． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 答案 (－13,13)解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．5． 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 2105解析 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤85，(2x ＋y )max ＝2105.6． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N ＋，若数列{c n }满足c n ＝b a n ，则c 2 013＝________. 答案 36 039解析 由已知a n ＝3n ，b n ＝3n ， ∴c 2 013＝b 3×2 013＝33×2 013＝36 039.专题限时规范训练一、选择题1． 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15B.14C.12D.23答案 C解析 取边长a ，b ，c 分别为4,3,5的直角三角形，易求tan A 2＝12，tan C2＝1，所以tanA 2·tan C 2＝12. 2． 等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 ∵{a n }为等差数列，S 13＝0， ∴a 1＋a 13＝2a 7＝0，又a 1＝－12<0，∴显然{a n }为递增数列． a n >0的最小正整数n 为8.3． AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为 ( )A ．－1B ．－4C ．－14D ．－116答案 A解析 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2，1)，B (2,1)，过点A的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5． 棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34C.a 36D.a 312答案 C解析 所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a ，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13⎝⎛⎭⎫22a 2·a 2＝a 36.6． 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.6＋ 2D.6＋22答案 A解析 如图，取F 2P 的中点M ，则OP →＋OF 2→＝2OM →.又由已知得OM →·F 2P →＝0， ∴OM →⊥F 2P →.又OM 为△F 2F 1P 的中位线， ∴F 1P →⊥PF 2→.在△PF 1F 2中，2a ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝(3－1)|PF 2→|，2c ＝2|PF 2→|.∴e ＝23－1＝3＋1.7． 已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)等于 ( )A ．0.22B ．0.28C ．0.36D ．0.64答案 B 解析 ∵X ～N (1，σ2)，∴P (X ≤0)＝P (X ≥2)＝1－P (X ≤2)＝1－0.72＝0.28.8． 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0132 013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0132 013，设 F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)，且函数F (x )的零点在区间[a －1，a ]或[b －1，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 D解析 由F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋4)的零点或g (x －4)的零点，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 012.当x ≠－1时，f ′(x )＝1＋x 2 0131＋x>0， x ＝－1时，f ′(x )＝2 013>0.∴f (x )在R 上单调递增．又f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝⎛⎭⎫－12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫－12 012－12 013<0，∴f (x )在[－1,0]内有唯一零点，故f (x ＋4)的唯一零点在[－5，－4]内．同理g (x －4)的唯一零点在[5,6]内，因此，b ＝6，a ＝－4，∴a ＋b ＝2.二、填空题9． 设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为__________．答案 x ≤－1或x ≥0解析 ∵f (x )在R 上是增函数，∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.10．在Rt △ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则cr S的取值范围是__________． 答案 [22－2,1)解析 由题意，得S ＝12ab ＝12c 2sin A sin B ， r ＝12(a ＋b －c )＝12c (sin A ＋sin B －1)， 从而cr S ＝sin A ＋sin B －1sin A sin B，设sin A ＋sin B ＝t ， 则sin A sin B ＝12(t 2－1)，cr S ＝2(t －1)t 2－1＝2t ＋1， 因为A ＋B ＝π2， 所以t ＝sin A ＋sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]． 所以cr S的取值范围是[22－2,1)． 11． 如果函数f (x )＝x 2－ax ＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是_______．答案 a ≥3解析 由题意，知关于x 的方程x 2－ax ＋2＝0在[0,1]上有实数解．又易知x ＝0不是方程x 2－ax ＋2＝0的解，所以根据0<x ≤1可将方程x 2－ax ＋2＝0变形 为a ＝x 2＋2x ＝x ＋2x .从而问题转化为求函数g (x )＝x ＋2x(0<x ≤1)的值域． 易知函数g (x )在(0,1]上单调递减．所以g (x )∈[3，＋∞)．故所求实数a 的取值范围是a ≥3.故填a ≥3.12．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析 ∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2. 三、解答题13．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B － sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45， 由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4， 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 14．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n－(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n .(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.。
高考复习资料：化归与转化的思想
第7讲化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想1. 引言1.1 转化与化归思想在高考数学题中的重要性在高考数学题中，转化和化归思想是非常重要的。
转化思想指的是将原问题转化为一个易解的问题，从而简化问题的求解过程。
在解决高考数学题时，很多题目可能会涉及到复杂的计算或者几何图形，如果能够巧妙地运用转化思想，将题目转化为熟悉的形式，就会大大减少解题的难度。
而化归思想则是将原问题化归为已知问题或者基本形式，通过对问题的重新组织和变换，将其简化为易于解决的形式。
化归思想通常适用于代数题目，通过找到问题之间的联系和规律，可以有效地解决复杂的代数问题。
在高考数学中，很多题目都需要考生灵活运用转化和化归思想，只有具备这种思维方式，才能更快地解决问题，提高解题效率。
转化与化归思想在高考数学题中扮演着至关重要的角色。
培养这种思维方式不仅可以帮助考生更好地解决数学问题，还有助于提高数学学科的学习兴趣和能力。
对于高考数学考生来说，掌握转化与化归思想是至关重要的，也是解决数学难题的有效方法之一。
2. 正文2.1 转化思想在高考数学题中的运用转化思想在高考数学题中的运用是非常重要的。
在解决数学问题的过程中，常常需要通过转换问题的形式或者思路来找到解决问题的方法。
转化思想可以帮助我们从不同角度去看待问题，找到问题的本质，从而更有效地解决问题。
在高考数学题中，转化思想通常可以表现为将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，然后再逐步解决。
在解决代数方程的过程中，可以通过代数运算的性质将方程化简，将未知数提取出来，从而得到更简单的形式。
又在解决几何题的过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法将原问题转化为一个更易解的几何问题。
转化思想的运用可以帮助我们更快地找到解题的突破口，提高解题的效率。
通过不断练习和积累经验，我们可以逐渐提高转化思想的运用能力，更加熟练地解决高考数学题。
在备战高考的过程中，我们应该注重培养转化思想，不断尝试将问题转化为更简单的形式，从而更好地应对各种数学题目。
2019年北师大版数学(理科·重点生)高考专题：贯通4大数学思想思想(四) 转化与化归 峰回路转
4．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时，y恒取 正值，则x的取值范围是__________________．
解析：设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是
f－2＞0， 一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)＞0恒成立，则 f2＞0，
转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一 般化、整体化、间接化等．
应用一
正与反的转化
[例1]
若对任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x
3
m ＋ 2 ＋2x2－
2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是 ________________．
[解析] 由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒 成立． 2 2 由①得3x ＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥ x －3x在x∈(t,3)上 2 恒成立，∴m＋4≥ t －3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5； 2 由②得m＋4≤x－3x在x∈(t,3)上恒成立， 2 37 则m＋4≤ －9，即m≤－ . 3 3 ∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数时，m的取值范 37 37 围为－ 3 ，－5. [答案] － 3 ，－5
0
取值范围是(－∞，a)，则实数 a 的取值是 A．(－∞，1) C．1 B．(－∞，2) D．2
0
(
)
解析：由命题“存在 x0∈R ，使 e|x －1|－m≤0”是假命题，可 知它的否定形式“任意 x∈R ，使 e|x 1|－m>0”是真命题，可
高考冲刺之转化与化归的思想
高考冲刺之转化与化归的思想【高考风采】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1．转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.2．转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集U Að获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.4．利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归 【例1】设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．【思路点拨】(1)求f ′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)＞0恒成立转化为f(x)的最小值大于0. 【解析】(1)f ′(x)＝x2－2(1＋a)x ＋4a ＝(x －2)(x －2a)． 由已知a ＞1，∴2a ＞2，∴令f ′(x)＞0，解得x ＞2a 或x ＜2，∴当x ∈(－∞，2)和x ∈(2a ，＋∞)时，f(x)单调递增， 当x ∈(2,2a)时，f(x)单调递减．综上，当a ＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数． (2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)， f (0)＝24a .由题设知1,(2)0,(0)0,a f a f >⎧⎪>⎨⎪>⎩即1,4(3)(6)0,3240,a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得1＜a ＜6.故a 的取值范围是(1,6)．【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 举一反三：【变式】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．【答案】(【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩。
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决胜2019年高考冲刺系列——数学答题思路详解第四讲 转化与化归思想要点一 特殊与一般的转化[解析] (1)f (x )＝－x 显然符合题中条件，易得f (x )＝－x 在区间[a ，b ]上有最大值f (a )．故选B ．(2)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意．则由∠C ＝90°，得tan C 2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.所以tan A 2·tan C 2＝12·1＝12.故选C ．[答案] (1)B (2)C化一般为特殊的应用要点把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量．[对点训练]1．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若PD →＝1－λ2P A →＋12CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AB 边所在的直线上B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部[解析] 取λ＝1，则2PD →＝CB →，因为边AB 的中点为D ，所以P A→＋PB →＝2PD →，所以P A →＋PB →＝PB →－PC →，所以P A →＝CP→，所以A ，C ，P 三点共线，因此点P 一定在AC 边所在的直线上，故选C ．[答案] C2．(2018·银川质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. [解析] 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.[答案] 45要点二 函数、方程、不等式间的转化[解析] (1)由题易得f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，因为a 3，a 2017是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的两个不同的极值点，所以a 3，a 2017是方程3x 2－12x ＋4＝0的两个不等实数根，所以a 3＋a 2017＝4.又数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 2017＝2a 1010，即a 1010＝2，从而＝－12，故选B ．(2)设|MA |＝a >0，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM |·|MA |＝(22)2＋a 2－222×22a ＝142×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a ≥142×2 4a ×a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，所以∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4.[答案] (1)B (2)C函数、方程与不等式间的转化策略函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简．本例(1)将函数的极值点转化为导函数的零点，再转化为方程的两个实根．(2)将∠OMA 的最值转化为其三角函数值的最值，这样才能更好地进行运算．一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．[对点训练]3．(2018·银川二模)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－5)∪(10，＋∞)B ．[－5,10)C ．(－5,10)D ．[－5,10][解析] 因为点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，所以(5＋m )(－10＋m )<0，解得－5<m <10，故选C ．[答案] C4．(2018·贵阳摸底)已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于M 、N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________．[解析] 设∠AMO 为θ，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ.∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12.当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.[答案] x ＋y －5＝0要点三 正与反的转化[解析] (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立；②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以，函数g (x )在区间(t,3)上不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.故选A ．(2)若4x 2－ax ＋1＝0在(0,1)内没有实数根，则在x ∈(0,1)内，a ≠4x ＋1x ，而当x ∈(0,1)时，4x ＋1x ∈[4，＋∞)，要使a ≠4x ＋1x ，必有a <4，故满足题设的实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] (1)A (2)[4，＋∞)正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．[对点训练]5．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)[解析] 因为命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，所以命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，所以Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，所以2≤m ≤6.故选A ．[答案] A6．(2018·日照一中模拟)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/綈q 等价于p ⇒q ，且q ⇒/p .记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，则A B ．从而⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 要点四 主与次的转化[解析] (1)因为x ∈[－2,2]，当x ＝0时，原式为02－a ·0＋1≥0恒成立，此时a ∈R ；当x ∈(0,2]时，原不等式可化为a ≤x 2＋1x ，而x 2＋1x ≥2x x ＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，2]；当x ∈[－2,0)时，可得a ≥x 2＋1x ，令f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，由函数的单调性可知，f (x )max ＝f (－1)＝－2，所以a ∈[－2，＋∞)．综上可知，a 的取值范围是[－2,2]．(2)因为a ∈[－2,2]，则可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝x 2＋2x ＋1≥0，g (2)＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R ， 所以x 的取值范围是(－∞，＋∞)．[答案](1)[－2,2](2)(－∞，＋∞)主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．[对点训练]7．(2018·陕西汉中模拟)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是()A．(－2,2] B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2][解析]mx2＋2mx－4<2x2＋4x，即(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，对任意x均成立，当m＝2时，适合题意；当m<2时，由Δ<0，即4(m －2)2＋16(m－2)<0得m>－2.所以－2<m<2.综上所述－2<m≤2.故选A．[答案] A8．(2018·衡水中学检测)对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．[解析]设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (4)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. [答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)转化与化归思想的四项原则1．熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．2．简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．3.和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．4．正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．专题跟踪训练(四)一、选择题1．(2018·甘肃兰州一诊)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＋a 7＝24，则S 9等于( )A ．36B ．72C ．144D ．288[解析] 解法一：因为{a n }是等差数列，又a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24，所以a 5＝8.S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝72.故选B ． 解法二：不妨设等差数列{a n }的公差为0，则由a 3＋a 5＋a 7＝24，得a 1＝a n ＝8，则S 9＝9a 1＝9×8＝72.故选B ．[答案] B2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ→的值为( ) A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2[解析] 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR→|＝|PQ →|＝A ．故选A ． [答案] A3．(2018·山西四校联考)P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6.要使|PM |－|PN |最大，需PM ，PN 分别过F 1、F 2点即可． ∴(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝9.故选D ．[答案] D4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )A ．89π B ．827π C ．24(2－1)3π D ．8(2－1)3π[解析]由三视图知该几何体是一个底面半径为r ＝1，母线长为l ＝3的圆锥，则圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝32－12＝2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一个底面A 1B 1C 1D 1在圆锥的底面上，过平面AA 1C 1C 的轴截面如图所示，设正方体的棱长为x ，则有22x r ＝h －x h ，即x 2＝22－x 22，解得x ＝223，则原工件的材料利用率为V 正方体V 圆锥＝x 313πr 2h＝89π，故选A ．[答案] A5．(2018·广东广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A ．14 B ．716 C ．12D ．916[解析] 由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率，四个人抛，共有24＝16种不同的情况，其中有两个人同为正面且相邻需要站起来的有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率P ＝4＋4＋116＝916(转化为对立事件求解)，故没有相邻的两人站起来的概率P ＝1－916＝716.故选B ．[答案] B6．(2018·湖南长沙模拟)若对任意的x ∈[0,1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得x ＋y 2e y －a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．⎝⎛⎦⎥⎤1＋1e ，eC ．(1，e]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e [解析] 方程x ＋y 2e y －a ＝0，即y 2e y ＝a －x ， 构造函数f (x )＝x 2e x (转化为函数) 则f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，当－1≤x <0时，f ′(x )<0，f (x )在[－1,0)上单调递减； 当0<x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1]上单调递增． 且f (－1)＝1e ，f (0)＝0，f (1)＝e ， 因为存在唯一的y ，所以f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e . g (x )＝a －x 在[0,1]上的值域为[a －1，a ]， 若对任意的x ∈[0,1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得x ＋y 2e y－a ＝0成立，等价于[a －1，a ]⊆⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ，故a －1>1e 且a ≤e ，即1＋1e <a ≤e.故选B ． [答案] B 二、填空题7．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围为________．[解析] 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 8．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．[解析] 设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则由⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－4log 2x ＋3>0，(log 2x )2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3. 即0<x <12或x >8，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)． [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) 9.如图，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．[解析] 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ， 易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，由已知有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得x ＝6，y ＝8，z ＝10， 从而知三棱锥P －ABC 的体积为 V三棱锥P －ABC＝V 长方体AEBG －FPDC－V三棱锥P －AEB－V三棱锥C －ABG－V三棱锥B －PDC －V三棱锥A －FPC＝V 长方体AEBG －FPDC －4V 三棱锥P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. [答案] 160 三、解答题10．(2018·广西南宁监测)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．12．已知函数f (x )＝ln x －(x ＋1)． (1)求函数f (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)． [解] (1)∵f (x )＝ln x －(x ＋1)，∴f ′(x )＝1x －1(x >0)． 令f ′(x )>0，解得0<x <1； 令f ′(x )<0，解得x >1.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝－2.(2)证明：由(1)知x ＝1是函数f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )≤f (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)， 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·32·43·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)． 即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．。