高考数学大一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式课件理

[迁移探究 1] (变条件)若将本例条件改为“－1<x<y<3”，求 x －y 的取值范围． 解：因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4. 又因为 x＜y，所以 x－y<0，所以－4<x－y<0， 故 x－y 的取值范围为(－4，0)．
[迁移探究 2] (变条件)若将本例条件改为“－1<x＋y<4，2<x －y<3”，求 3x＋2y 的取值范围．
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔__b_<_a__
传递性 可加性
a>b，b>c⇒__a_>_c__ a>b⇔___a_＋__c>__b_＋__c __
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
性质
对乘性
同向可 加性
性质内容 ac>>0b⇒_a_c_>_b_c_ ac<>0b⇒_a_c_<_b_c_ ac>>db⇒__a_＋__c_>_b_＋__d__
④ab<b2 中，正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
解析：选 C.因为1a<1b<0，所以 b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以 a
＋b<ab，|a|<|b|，在 b<a 两边同时乘以 b，因为 b<0，所以 ab<b2.
因此正确的是①④.
4．若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②ad＋bc<0；
不等式性质的应用(典例迁移)
已知－1<x<4，2<y<3，则 x－y 的取值范围是________， 3x＋2y 的取值范围是________．
【解析】 因为－1<x<4，2<y<3， 所以－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2. 由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12， 4<2y<6， 所以 1<3x＋2y<18. 【答案】 (－4，2) (1，18)
比较两个数(式)的大小(自主练透)
1．已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与
N 的大小关系是( )
A．M<N
B．M>N
C．M＝N
D．不确定
解析：选 B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， 所以 a1－1<0，a2－1<0. 所以(a1－1)(a2－1)>0， 即 M－N>0，所以 M>N.
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
解析：选 B.法一：易知 a，b，c 都是正数， ba＝34llnn43＝log8164<1. 所以 a>b； bc＝54llnn45＝log6251024>1. 所以 b>c.即 c<b<a.
法二：对于函数 y＝f(x)＝lnxx， y′＝1－xl2nx， 易知当 x>e 时，函数 f(x)单调递减． 因为 e<3<4<5， 所以 f(3)>f(4)>f(5)， 即 c<b<a.
2．已知函数 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求 f(－ 2)的取值范围．
解：由题意知 f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. 则mm＋－nn＝＝4－，2，解得mn＝＝31.， 所以 f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． 因为 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， 所以 5≤f(－2)≤10. 即 f(－2)的取值范围为[5，10]．
(1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1a<1b； ②a<0<b⇒1a<1b； ③a>b>0，0<c<d⇒ac>bd； ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ba＋＋mm；ba>ba－－mm(b－m>0)； ②ab>ab＋＋mm；ab<ab－－mm(b－m>0)．
求代数式取值范围的方法 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式 的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是 利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围， 是避免错误的有效途径．
1．若 1<α<3，－4<β<2，则 α－|β|的取值范围是________． 解析：因为－4<β<2，所以 0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－ 3<α－|β|<3. 答案：(－3，3)
第七章 不等式
第 1 讲 不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法aa－－bb>＝00⇔⇔aa___>__＝_bb（a，b∈R）. a－b<0⇔a__<_b
ab>1⇔a__>_b (2)作商法ab＝1⇔a__＝_b（a∈R，b>0）.
ab<1⇔a__<_b
③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中，成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.因为 a>0>b，c<d<0， 所以 ad<0，bc>0， 所以 ad<bc，故①错误． 因为 a>0>b>－a， 所以 a>－b>0， 因为 c<d<0，所以－c>－d>0， 所以 a(－c)>(－b)(－d)，所以 ac＋bd<0， 所以ad＋bc＝ac＋cdbd<0，故②正确．
的大小关系为( )
A．A≥B
B．A>B
C．A≤B
D．A<B
解析：选 B.A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1>0，所以 A>B.
故选 B.
(教材习题改编)下列四个结论，正确的是( ) ① a>b ， c<d⇒a － c>b － d ； ②a>b>0 ， c<d<0⇒ac>bd ；
③a>b>0⇒3 a>3 b；④a>b>0⇒a12>b12.
因为 c<d，所以－c>－d， 因为 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)， a－c>b－d，故③正确． 因为 a>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)， 故④正确，故选 C.
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个 验证；二是利用特殊值法排除错误答案．
[提醒] 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意 前提条件．
所以 1816<1618.即 a<b.
答案：a<b
比较两个数(式)大小的 3 种方法
不等式的性质(自主练透)
1．已知 a，b，c，d 为实数，则“a>b 且 c>d”是“ac＋bd>bc
＋ad”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.因为 c>d，所以 c－d>0.又 a>b，所以两边同时乘以 (c－d)，得 a(c－d)>b(c－d)，即 ac＋bd>bc＋ad.若 ac＋bd>bc＋ ad，则 a(c－d)>b(c－d)，也可能 a<b 且 c<d，所以“a>b 且 c>d” 是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
特别提醒 注意 c 的符号
⇒
性质
性质内容
同向同正 可乘性
ac>>db>>00⇒_a_c_>_b_d_
可乘方性 a>b>0⇒_a_n_>_b_n_ (n∈N，n≥1)
可开方性
nn a>b>0⇒_____a_>___b___
(n∈N，n≥2)
特别提醒 ⇒
a，b 同 为正数
导师提醒 记住不等式的两类常用性质
解：设 3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则mm＋－nn＝＝32，，所以nm＝＝1252.，
即 3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)， 又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3， 所以－52<52(x＋y)<10，1<12(x－y)<32， 所以－32<52(x＋y)＋12(x－y)<223， 即－32<3x＋2y<223， 所以 3x＋2y 的取值范围为－32，223.
A．①②
B．②③
C．①④
D．①③
解析：选 D.对于①，因为 a>b，c<d，所以－c>－d，
所以 a－c>b－d.
对于③，a>b>0，则3 a>3 b>0.
(教材习题改编)若 0<a<b，且 a＋b＝1，则将 a，b，12，2ab， a2＋b2 从小到大排列为________． 解析：令 a＝13，b＝23，则 2ab＝2×13×23＝49， a2＋b2＝19＋49＝59，故 a<2ab<12<59＝a2＋b2<b. 答案：a<2ab<12<a2＋b2<b