最新-2018高三数学总复习 2-5对数与对数函数练习 新人教B版 精品

2-5对数与对数函数基础巩固强化1.(文)(2018·内蒙古包头模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12 ，x >0，12x，x ≤0，则f [f (－4)]＝( )A ．－4B ．－14 C ．4 D ．6[答案] C[解析] f (－4)＝(12)－4＝16，f [f (－4)]＝f (16)＝1612＝4.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ， －1≤x <0，4x ， 0≤x ≤1.则f (log 43)＝( )A.13B.43 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.2．(文)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2B ．ln(ln2)C ．ln 2D ．ln2 [答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.(理)(2018·重庆文，6)设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 334，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，log 13x 单调递减而12<23，∴a >b >0，又c <0.故c <b <a .3．(2018·豫南四校调研考试)设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 [答案] D[解析] 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg1＋x1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.4．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1 ，－log 2x 0<x <1 .故选A.[点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A.(理)(2018·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y ＝ln|1x|与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )[答案] C[解析] y ＝ln|1x |为偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x＝－ln x 为减函数，故排除A 、B ；y ＝－x 2＋1≤0，其图象在x 轴下方，排除D ，故选C.5．(2018·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x ， x >1，－ln 2x ， x ＝1，－1－ln 2x ， 0<x <1，则令1－ln 2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e(舍去)；令－ln 2x ＝0⇒x＝1；当－1－ln 2x ＝0时，方程无解，所以f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 有两个零点，故选C. 6．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0[答案] B[解析] 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝(15)x和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知(15)x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．7．(文)函数y ＝log 232－x 2的定义域为________． [答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23(2－x 2)≥0，∵y ＝log 23x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1. (理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1的定义域是________． [答案] (－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0， ∴xx －1>0，∴x <0或x >1.8．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.9．对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≤b ，b ， a >b .则函数f (x )＝log 12(3x－2)*log 2x 的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f (x )的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12(3x－2)和y ＝log 2x 的图象，由a *b 的定义可知，f (x )的图象为图中实线部分，∴由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， 23<x ≤1 ，log 12 3x －2 ， x >1 .的值域为(－∞，0]．10．(文)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [证明] (1)由a x－1>0，得a x>1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1ax 1－1>1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log aax 2－1ax 1－1>0. 直线AB 的斜率k AB ＝f x 2 －f x 1x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得，ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0.同上可得k AB >0.(理)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x－b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值． [解析] (1)由a x－b x>0得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1， ∵a >1>b >0，∴a b>1，∴x >0. ∴f (x )的定义域是(0，＋∞)． (2)任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1>x 2， ∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2>1，bx 1<bx 2<1 ∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0 ∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)故f (x 1)>f (x 2)∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使过A 、B 两点的直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴．(3)∵f (x )是增函数，∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 这样只需f (1)≥0，即lg(a －b )≥0，∴a －b ≥1. 即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.能力拓展提升11.(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ， x >0 ，2x ＋1， x ≤0 .的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] f (x )＝2x ＋1(x ≤0)有一个零点x ＝－12，而f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)的零点可以借助于y 1＝ln x (x >0)与y 2＝x 2－2x (x >0)的图象来确定，它们的图象有两个交点，选D.(理)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2018x＋log 2018x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2018x＝－log 2018x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2018x，f 2(x )＝－log 2018x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.12．(文)(2018·荆州二检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] C[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．(理)设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy . 由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] C[解析] 当a >0时，由f (a )>f (－a )得：log 2a >log 12a ，即log 2a >log 21a ，即a >1a ，解得a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得：log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－1a )>log 2(－a )，即－1a >－a ，解得－1<a <0，故选C.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．[答案] (34，2)[解析] ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2 >3，log a 2＋2 <3，∴34<a <2.15．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．16．(文)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0.得－3<x <1，所以函数的定义域为{x |－3<x <1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}， 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.(理)已知函数f (x )＝log 122－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0，①当a <0时，函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)；②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1，即当x ∈(2,4)时g ′(x )≤0恒成立且g (4)≥0.解法一：g ′(x )＝－a x －1 － 2－ax x －1 2＝a －2x －1 2，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0.g (4)≥0，即1－2a ≥0，∴a ≤12，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2，以下步骤同解法一．1．(2018·四川文，4)函数y ＝(12)x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．解法二：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.2．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x i >0(i ＝1,2，…，2018)，f (x 1·x 2·x 3·…·x 2018)＝50，则f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)的值等于( )A ．2500B ．50C ．100D ．log a 50 [答案] C[分析] 根据对数的运算性质，log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M 2＝2log a M (M >0，N >0)求解． [解析] 由f (x 1·x 2·x 3·…·x 2018)＝50得，log a x 1＋log a x 2＋…＋log a x 2018＝50而f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22015＝2(log a x 1＋log a x 2＋…log a x 2018)＝2×50＝100，故选C.3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，g x ， x <0.是偶函数，f (x )＝log a x 对应的图象如右图所示，则g (x )＝( )A ．2xB ．log 12(－x ) C ．log 2(－x )D ．－log 2(－x )[答案] C[解析] ∵f (x )＝log a x 的图象过点(2,1)，∴log a 2＝1，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x ，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x >0，g x ， x <0.当x <0时，－x >0，∴h (－x )＝f (－x )＝log 2(－x )，又h (x )为偶函数，∴h (－x )＝h (x )，∴当x <0时，h (x )＝log 2(－x )，即g (x )＝log 2(－x )． 4．(2018·湖南文，7)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b ； ②a c<b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小． c a －c b ＝c b －a ab ，∵a >b >1，c <0，∴c b －a ab >0，c a >c b，①正确；a >b >1，a c <b c ，②正确；∵a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，③正确．[点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．5．函数f (x )＝ln 1－x 1＋x的图象只可能是( )[答案] A[解析] 本题用排除法，注意到本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除B 、C 选项．又由u (x )＝－1＋21＋x在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21＋x 在定义域{x |－1<x <1}内是减函数．故选A.6．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( )A ．0<a <12或1<a <2 B ．0<a <12或a >2 C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1.∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立，∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2.②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．。