[精品]2015-2016年重庆市沙坪坝区南开中学高二下学期期中数学试卷及解析答案word版(理科)

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重庆市南开中学2014-2015学年高二下学期半期考试数学文试卷

重庆南开中学高2016级高二下半期考试(数学)文科一．选择题(共12题．每题5分，总分60)1．已知集合(){}122=+=y x y x A ，，集合(){}x y y x B ==，，则B A 的元素个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知命题R x P ∈∃0:，1tan 0≥x ，则它的否定为( ) A ．R x ∈∀，1tan ≥x B ．R x ∈∃0，1tan 0＞x C ．R x ∈∀，1tan ＜x D ．R x ∈∃0，1tan 0＜x 3．“1=m ”是“函数()()2244x m m x f +-=”为幂函数的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4．已知函数()⎩⎨⎧+-≤+=1311＞，，x x x x x f ，那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f =( ) A ．21 B ．23 C ．25 D ．275．函数()()()a x x xx f -+=12为奇函数，则实数=( )A ．21 B ．32 C ．43 D ．16．函数xx y 9lg -=的零点所在的区间大致是( )A ．(6，7)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，l0) 7．已知函数()()32log 22--=x x x f ，则使()x f 为减函数的的区间是( )A ．(-∞，1)B ．(-1，1)C ．(1，3)D ．(-∞，-l)8．已知函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42x f y 的定义域为[]222，-∈x ，则函数()x f y =的定义域为( )A ．[]11，-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221， C ．[]20，D ．[]30， 9．若方程m xx=+-1212log 2在[]21，∈x 上有解，则实数的取值范围为( ) A ．[]21， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡532312log log ， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-312log ， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+，532log 10．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧--≤=01＞，，x x x a x e x f x在区间[-2，2]上的最大值为l ，则实数的取值范围是( )A ．[)∞+，3 B ．[]3,0 C ．(]3，∞- D ．(]4，∞- 11．已知定义在上的奇函数()x f 满足()()x f e x f -=+2，且在区间[]e e 2，上是减函数，又1213log 6lg 22＜，，-⎪⎭⎫⎝⎛==c b a 且1ln ＜c ，则有( ) A ．()()()c f b f a f ＜＜ B ．()()()a f c f b f ＜＜ C ．()()()b f a f c f ＜＜ D ． ()()()a f b f c f ＜＜12．已知()x f 是上的奇函数，当0＞x 时，()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=222120121-x ＞，＜，x x f x x f ，则函数在上的所有零点之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 二．填空题(共4题，每题5分，总分20) 13．不等式215≥-+x x 的解集为14．曲线()13lnx ·+=x y 在1=x 处的切线方程为： 15．若实数，满足：422=+y x ，则232+-y x 的最大值为：16．已知函数()1222-+-=a ax x x f ，若关于的不等式()()0＜x f f 的解集为φ，则实数的取值范围：三．解答题17．已知0＞c ，且1≠c ，设：p 函数xc y =在上单调递减，函数()122+-=cx x x f在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21上是增函数，若“q p ∨”为假，求实数的范围。

2015-2016年重庆一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．（5分）已知集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2}，则下列说法正确的是（）A．M＝（0，+∞）B．M＝N C．M∩N＝{0，1}D．M∩N＝∅2．（5分）在△ABC中，已知∠A＝π，|BC|＝7，|AC|＝5，则|AB|＝（）A．3B．3C．8D．83．（5分）在（x﹣）10的展开式中，常数项为（）A．﹣90B．90C．﹣45D．454．（5分）已知a，b均为正实数，则（a+）（b+）的最小值为（）A．3B．7C．8D．95．（5分）已知随机变量ζ服从正态分布N（2，4），且P（ζ＜4）＝0.8，则P （0＜ζ＜2）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.26．（5分）某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序．A．36B．48C．72D．1127．（5分）集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则实数x的取值集合为（）A．{}B．{，﹣}C．{0，}D．{0，，﹣}8．（5分）已知双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），它的一个顶点到一条渐近线的距离为d，已知d≥c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（）A．[，2]B．[，]C．（，]D．（1，）∪[，+∞）9．（5分）下列说法中正确的是（）A．“若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1”B．已知命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”也是假命题C．设U为全集，集合A，B满足（∁U A）∩B＝（∁U B）∩A，则必有A＝B＝∅D．设λ为实数，“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”的充分不必要条件为“λ≥1”10．（5分）如图，已知AB，AC是圆的两条弦，过B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与AB相交于点E，AE＝3，BE＝1，则BC的长为（）A．B．C．2D．11．（5分）在△ABC中，已知+＝，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x2﹣x+1在x＝x0处取得极大值，设m≠x0，且f （x0）＝f（m），则|m﹣x0|＝（）A．B．2C．3D．3二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．（5分）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知两点A （2，π），B（3，），则△AOB的面积为．14．（5分）在10瓶饮料中，其中有3瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取3瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为．15．（5分）如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为．16．（5分）集合A，B满足条件A∩B≠∅，A∪B＝{1，2，3，4，5}，当A≠B 时，我们将（A，B）和（B，A）视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对（A，B）共有个．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）小明在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个，甲、乙、丙每人每次抢到红包的概率均为．（1）若小明发放1元的红包2个，求甲最多抢到1个红包的概率；（2）若小明共发放3个红包，第一次发放5元，第二次发放5元，第三次发放10元，记甲抢到红包的总金额为ζ元，求ζ的分布列和数学期望．19．（12分）已知P﹣ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且AD⊥PC，如图所示（1）求证：PC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣AC﹣B的平面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且•＝0，|F1F2|＝4，|PF1|＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点P（3，0）的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q（x0，y0），Q（x0，y0），求x0+y0的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）经过点（0，﹣2）作函数f（x）图象的切线，求该切线的方程；（3）当x∈（1，+∞）时f（x）＜λ（x2﹣1）恒成立，求常数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，设P为圆O外的点，过点P作圆O的切线P A，切点为A，过点P作圆O的割线PBC，与圆交于B，C两点，AH⊥OP，垂足为H．（1）求证：△PHB～△PCO；（2）已知圆O的半径为1，P A＝，PB＝，求四边形BCOH的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中参数t∈R，a 为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2cos（θ+）．（1）求曲线C普通方程；（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|＝，求常数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝+|x+a|．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）当x∈[，1]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．（5分）已知集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2}，则下列说法正确的是（）A．M＝（0，+∞）B．M＝N C．M∩N＝{0，1}D．M∩N＝∅【解答】解：由集合M＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴M＝N，故选：B．2．（5分）在△ABC中，已知∠A＝π，|BC|＝7，|AC|＝5，则|AB|＝（）A．3B．3C．8D．8【解答】解：由余弦定理可知：|BC|2＝|AC|2+|AB|2﹣2|AB•||AC|cos A，即49＝25+|AB|2﹣10|AB|×（﹣），整理得：|AB|2+5|AB|﹣24＝0，解得|AB|＝3或|AB|＝﹣8，∴|AB|＝3，故选：A．3．（5分）在（x﹣）10的展开式中，常数项为（）A．﹣90B．90C．﹣45D．45【解答】解：（x﹣）10的展开式的通项公式为T r+1＝x10﹣r（﹣）r＝•（﹣1）r•x10﹣5r，r＝0，1，2 (10)由题意可令10﹣5r＝0，解得r＝2，即有常数项为•（﹣1）2＝45．故选：D．4．（5分）已知a，b均为正实数，则（a+）（b+）的最小值为（）A．3B．7C．8D．9【解答】解：∵a，b均为正实数，∴（a+）（b+）＝5+ab+≥5+2＝9，当且仅当ab＝2，a，b＞0时取等号．故选：D．5．（5分）已知随机变量ζ服从正态分布N（2，4），且P（ζ＜4）＝0.8，则P （0＜ζ＜2）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ＝2，得对称轴是x＝2．P（ξ＜4）＝0.8∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，∴P（0＜ξ＜4）＝0.6∴P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜4）＝0.3．故选：C．6．（5分）某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序．A．36B．48C．72D．112【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、语文必须安排在首场，则语文有1种安排方法，②、将除语文、英语、数学外的三科全排列，安排在语文之后，有A33＝6种安排方法，排好后，有4个空位可用，③、在4个空位中，任选2个，安排数学、英语，有A42＝12种安排方法，则这六个学科总共有1×6×12＝72种不同的考试顺序，故选：C．7．（5分）集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则实数x的取值集合为（）A．{}B．{，﹣}C．{0，}D．{0，，﹣}【解答】解：集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则，解得；x＝1或0，y＝0，显然不成立，或，解得：x＝，故实数x的取值集合为{}，故选：A．8．（5分）已知双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），它的一个顶点到一条渐近线的距离为d，已知d≥c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（）A．[，2]B．[，]C．（，]D．（1，）∪[，+∞）【解答】解：设双曲线的一个顶点为A（a，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵点到一条渐近线的距离为d，已知d≥c，∴d＝＝≥c，即ab≥c2，平方得a2b2≥c4，即9a2（c2﹣a2）≥2c4，即2c4﹣9a2c2+9a4≤0，则2e4﹣9e2+9≤0，则≤e2≤3，则≤e≤，故选：B．9．（5分）下列说法中正确的是（）A．“若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1”B．已知命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”也是假命题C．设U为全集，集合A，B满足（∁U A）∩B＝（∁U B）∩A，则必有A＝B＝∅D．设λ为实数，“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”的充分不必要条件为“λ≥1”【解答】解：A．若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1”故A错误，B．当p假q真时，满足“p∧q”为假命题，但命题“p∨q”是真命题，故B错误，C．若A＝U，B＝∅，则满足（∁U A）∩B＝（∁U B）∩A，但A＝B＝∅不成立，故C错误，D．当x∈[﹣1，1]，∈[0，1]，若“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”成立，则λ≥0即可．则“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”的充分不必要条件为“λ≥1”，正确，故D 正确故选：D．10．（5分）如图，已知AB，AC是圆的两条弦，过B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与AB相交于点E，AE＝3，BE＝1，则BC的长为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，∵过B作圆的切线与AC的延长线相交于D，∴∠CBD＝∠A，∵CE∥DB，∴∠CBD＝∠BCE，∴∠A＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CEB，∵AE＝3，BE＝1，∴，∴CB＝2，故选：C．11．（5分）在△ABC中，已知+＝，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵+＝，∴+＝，可得：＝＝，∴cos B＝，又∵，cos B＝，∴＝＝，可得：2b2＝a2+c2，∴cos B＝＝＝≥＝，∴cos B的最小值为．故选：D．12．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x2﹣x+1在x＝x0处取得极大值，设m≠x0，且f （x0）＝f（m），则|m﹣x0|＝（）A．B．2C．3D．3【解答】解：设x0是函数的极值点，则f′（x0）＝0，得：3﹣6x0﹣1＝0，解得：x0＝，设f（m）＝f（x0），得：m3﹣3m2﹣m＝﹣3﹣x0，整理得：+（m﹣3）x0+（m2﹣3m﹣1）＝0，由于x0是函数的极值点，故关于x0的方程有且只有1个根，故（m﹣3）2﹣4（m2﹣3m﹣1）＝0，即3m2﹣6m﹣13＝0，解得：m＝，由于x0是极大值，故x0＜0，m＞0，∴|m﹣x0|＝﹣＝2．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．（5分）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知两点A （2，π），B（3，），则△AOB的面积为3．【解答】解：∵∠AOB＝＝，＝＝3，∴S△AOB故答案为：3．14．（5分）在10瓶饮料中，其中有3瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取3瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为．【解答】解：所有的抽法共有C103＝120种，而至少取到一瓶已过保质期饮料的抽法有C103﹣C73＝85种，故至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为＝，故答案为：．15．（5分）如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为．【解答】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P﹣ABC，直观图如图所示：D是AC的中点，PB⊥平面ABC，且PB＝BD＝3，∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，则PD＝3，∵底面△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝3，AC＝6，∴P A＝PC＝＝3，则PD⊥AC，∴该几何体的表面积S＝＝，故答案为：．16．（5分）集合A，B满足条件A∩B≠∅，A∪B＝{1，2，3，4，5}，当A≠B 时，我们将（A，B）和（B，A）视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对（A，B）共有211个．【解答】解：∵A∪B＝{1，2，3，4，5}，∴A，B均为集合{1，2，3，4，5}的子集．由A∩B≠∅，可得A，B不为∅．①当A为一元集时，不妨令A＝{1}，则B＝{1，2，3，4，5}，此时对子（A，B）有＝5个；②当A为二元集时，不妨令A＝{1，2}，则B＝{1，2，3，4，5}，或B＝{2，3，4，5}，或B＝{1，3，4，5}，此时对子（A，B）有×3＝30个；③当A为三元集时，不妨令A＝{1，2，3}，则B＝{1，2，3，4，5}，或B＝{1，2，4，5}，或B＝{1，3，4，5}，或B＝{2，3，4，5}，或B＝{1，4，5}，或B＝{2，4，5}，或B＝{3，4，5}．此时对子（A，B）有×7＝70个；④当A为四元集时，A＝{1，2，3，4}，则B＝{1，2，3，4，5}，或B＝{1，2，3，5}，或B＝{1，2，4，5}，或B＝{1，3，4，5}，或B＝{2，3，4，5}，或B＝{1，2，5}，或B＝{1，4，5}，或B＝{2，4，5}，或B＝{3，4，5}，或B＝{1，3，5}，或B＝{2，3，5}，或B＝{1，5}，或B＝{4，5}，或B＝{3，5}，或B＝{2，5}，或B＝{5}，此时对子（A，B）有×15＝75个；⑤当A为五元集时，A＝{1，2，3，4，5}，B的个数为25﹣1＝31个．综上满足条件A∪B＝{1，2，3，4}的不同对子（A，B）有5+30+70+75+31＝211个．故答案为：211．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，由|x﹣1|≤1，解得0≤x≤2，所以A＝[0，2]，由x2﹣5x+4≤0得到（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得1≤x≤4，故B＝[1，4]，所以A∪B＝[0，4]，（2）由|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，所以A＝[a﹣1，a+1]，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件所以A⊆B，所以a+1≤4且a﹣1≥1，解得2≤a≤3，故实数a的取值范围为[2，3]．18．（12分）小明在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个，甲、乙、丙每人每次抢到红包的概率均为．（1）若小明发放1元的红包2个，求甲最多抢到1个红包的概率；（2）若小明共发放3个红包，第一次发放5元，第二次发放5元，第三次发放10元，记甲抢到红包的总金额为ζ元，求ζ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“甲最多抢到一个红包”为事件A，则P（A）＝＝；（2）ζ的所有可能值为0，5，10，15，20．P（ζ＝0）＝＝；P（ζ＝5）＝×＝；P（ζ＝10）＝＝；P（ζ＝15）＝×＝，P（ζ＝20）＝＝，故ζ的分布列：期望Eζ＝0×+5×+10×+15×+20×＝．19．（12分）已知P﹣ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且AD⊥PC，如图所示（1）求证：PC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（，0，0），由于点P在△ABC中的射影为△ABC的中心，设P（，0，h），故＝（，0，﹣h），＝（0，﹣2，0），•＝，∴PC⊥AB，而PC⊥AD，∵AB∩AD＝A，∴PC⊥平面P AB．（2）由中点公式知D（，﹣，），由•，知：＝＝0，解得h＝，设平面ACD的法向量为＝（x，y，z），∵＝（，﹣，），＝（），∴，取x＝，解得＝（），平面ABC的法向量为＝（0，0，1），设所求二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的平面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且•＝0，|F1F2|＝4，|PF1|＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点P（3，0）的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q（x0，y0），Q（x0，y0），求x0+y0的取值范围．【解答】解：（1）由2c＝4，c＝2，由勾股定理丨PF2丨＝＝＝，由椭圆定义2a＝丨PF1丨+丨PF2丨＝+＝2，a＝，b＝＝1，故椭圆方程为：；（2）当直线与x轴重合时，Q（x0，y0），此时x0+y0＝0，若直线与x轴不重合，设l的方程为x＝my+3，与椭圆联立得（m2+5）y2+6my+4＝0，由△＝20m2﹣80m＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，由韦达定理：y1+y2＝，y0＝＝，μ＝x0+y0＝my0+3+y0＝（m+1）y0+3＝＝，其中t＝5﹣m，t∈（﹣∞，3）∪（7，+∞）+当t＝0时，μ＝0，当t≠0时，μ＝＝，设f（t）＝t+﹣10，其中t∈（﹣∞，0）∪（0，3）∪（7，+∞），函数图象知：f（t）∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣10﹣2），从而μ＝∈[，0）∪（0，），综上μ＝x0+y0∈[，）．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）经过点（0，﹣2）作函数f（x）图象的切线，求该切线的方程；（3）当x∈（1，+∞）时f（x）＜λ（x2﹣1）恒成立，求常数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝2xlnx，x＞0，∴f′（x）＝2lnx+2，令f′（x）＞0得增区间（，+∞），令f′（x）＜0得减区间（0，）；（2）设切点的坐标为（x0，2x0lnx0），设切线的斜率为k，一方面k＝，另一方面k＝f′（x0）＝2lnx0+2，从而有＝2lnx0+2，化简得x0＝1，从而切点坐标为（1，0），∴切线方程为y＝2x﹣2；（3）由已知x∈（1，+∞）时2xlnx＜λ（x2﹣1）恒成立，等价于2lnx＜λ（x﹣）在x∈（1，+∞）恒成立构造g（x）＝2lnx﹣λ（x﹣），则g（x）＜0在x∈（1，+∞）时恒成立由g（2）＜0即2ln2﹣λ＜0得必要条件λ＞0，∴g′（x）＝﹣λ（1+）＝，记h（x）＝﹣λx2+2x﹣λ，判别式△＝4﹣4λ2，若λ≥1，则△≤0，且h（x）开口向下，故h（x）≤0恒成立，此时g′（x）≤0恒成立，从而g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）＜f（1）＝0，符合题意若0＜λ＜1，则△＞0，此时h（x）＝0有两个实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，由韦达定理得x1+x2＝＞0，x1，•x2＝1＞0，故x1，x2均为正数，且x1＜1＜x2，从而h（x）＝0在（1，+∞）上有唯一的实数根x2，结合图象知：当x∈（1，x2）时h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x2）上单调递增，故当x∈（1，x2）时，g（x）＞g（1）＝0，不符合题意综上：λ的取值范围为[1，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，设P为圆O外的点，过点P作圆O的切线P A，切点为A，过点P作圆O的割线PBC，与圆交于B，C两点，AH⊥OP，垂足为H．（1）求证：△PHB～△PCO；（2）已知圆O的半径为1，P A＝，PB＝，求四边形BCOH的面积．【解答】证明：（1）在直角△POA中，由射影定理知：P A2＝PH•PO，又根据切线长定理知：P A2＝PB•PC，从而PH•PO＝PB•PC，即，∵∠BPH＝∠OPC，∴△PHB～△PCO；解：（2）由勾股定理PO＝2，由切线长定理P A2＝PB•PC，可得PC＝，在△POC中，cos C＝＝，∴sin C＝＝＝．所以S△OCP由△PHB∽△PCO，相似比为＝，面积比为（）2＝＝．从而四边形BCOH的面积S＝S△OCP[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中参数t∈R，a 为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2cos（θ+）．（1）求曲线C普通方程；（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|＝，求常数a的值．【解答】解：（1）曲线C的方程为，ρ＝2cos（θ+），即ρ2＝2×（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x﹣2y，配方后为（x﹣1）2+（y+1）2＝2．（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：+＝2，化为t2+at+a2﹣2＝0，△＝a2﹣4（a2﹣2）＞0，解得a2．∴t1+t2＝﹣a，t1•t2＝a2﹣2，由参数t的含义知：|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝，化为8﹣3a2＝5，化为a2＝1，满足△＞0，解得a＝±1，综上：常数a的值为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝+|x+a|．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）当x∈[，1]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，当（x﹣1）（x﹣2）≤0，即1≤x≤2时，可以取到等号，故f（x）的最小值为3；（2）由于f（x）＝|x﹣1|+|x+a|，当x∈[，1]时，f（x）＝1﹣x+|x+a|≤x恒成立，变形为g（x）＝|x+a|﹣2x+1≤0在x∈[，1]时恒成立，即g（x）max≤0，当x+a≥0时，g（x）＝x+a﹣2x+1＝﹣x+a+1，此时g（x）单调递减；当x+a＜0时，g（x）＝﹣x﹣a﹣2x+1＝﹣3x﹣a+1，此时g（x）仍单调递减．由于g（x）图象连续，故g（x）在R上单调递减，g（x）max＝g（）＝|a+|﹣≤0，变形为﹣≤a+≤，解得a的范围是[﹣1，﹣]．。

2015-2016学年重庆一中高二(下)期中考试数学(文)试题(解析版)

2015-2016学年重庆一中高二（下）期中考试数学（文）试题一、选择题1．已知{}{}A x x y yB A ∈==-=,cos ,1,0,1π，则=⋂B A （） A ．{}1,1- B ．{}1,0C ．{}0D ．∅ 【答案】A【解析】试题分析：对于集合B ，1x =-或1时,1y =-,0x =时,1y =,所以{}1,1B =-,{}1,1A B =-,故选A ．【考点】集合交集的运算． 2．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析：当p q ∨为真时,则p 或q 至少有一个为真，不能得到p ⌝为假；当p ⌝为假时,p 为真,则p q ∨为真,所以p q ∨为真≠>p ⌝为假, p ⌝为假⇒p q ∨为真, “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件,选B ．【考点】1．逻辑联结词；2．充分必要条件． 3．已知复数122z =-+，则||z z +＝（） A．122i -- B．122i -+ C．122+ D．122- 【答案】D【解析】试题分析：12z =-,1z ==,所以11122z z +=-+=,选D ．【考点】1．共轭复数；2．复数的模．4．设3log 2a =,5log 2b =,2log 3c =,则（）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】B【解析】试题分析：因为331log 2log 2a =>=,3log 31a <=,112a <<,551log 2log ,2b =<=又22log 3log 21c =>=,所以c a b >>,选B ．【考点】利用单调性比较对数大小．5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为5-，则输出y 的值是（）A ．－1B ．1C ．2D ．14【答案】A【解析】试题分析：当输入x 的值为5-时,满足3x >,则38x x =-=,满足3x >,则35x x =-=,满足3x >,则32x x =-=,不满足3x >,,所以1122log log 21y x ===-,则输出y 的值为1-,选A ．【考点】程序框图．6．直线2100x y +-=过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A ．221169x y -= B ．221205x y -= C ．221520x y -= D ．221916x y -= 【答案】B【解析】试题分析：直线2100x y +-=与x 轴交点坐标为(5,0),所以双曲线的一个焦点为(5,0),而渐近线方程为b y x a =±,有已知条件有2225(2)1c b a c a b=⎧⎪⎪-⨯=-⎨⎪=+⎪⎩,解得22205a b ⎧=⎨=⎩,所以双曲线方程为221205x y -=,故选B ．【考点】1．双曲线的几何性质；2．两直线垂直的条件． 7．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可将函数x y 3sin 2=的图象（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位【答案】D【解析】试题分析：sin 3cos32sin(3)2sin 3()412y x x x x ππ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦，所以将函数2sin 3y x =的图象向左平移12π得到函数sin 3cos3y x x =+的图象．【考点】函数图象的平移两角和的正弦公式的逆用．【易错点晴】本题主要考查函数图象的左右平移,属于易错题．有的学生看错题意,看成由函数sin 3cos3y x x =+的图象得到函数2sin 3y x =的图象,选B 或C ；有的学生是在平移这一步出错,以为是向左平移4π个单位,选择A 答案．结论:将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕω个单位,得到函数sin ()sin()y x x ϕωωϕω⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦的图象． 8．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f -=+，若4)2(-=f ，则=))6((f f （） A ．4 B ．4- C ．41 D ．41- 【答案】C【解析】试题分析：因为[]1(4)(2)2()(2)f x f x f x f x +=++=-=+，所以函数()f x 的周期为4,则11((6))((2))(4)(0)(2)4f f f f f f f ==-==-=,选C ．【考点】1．函数周期的求法；2．求函数值． 9．已知函数2()x f x a-=，()log a g x x =（其中0a >且1a ≠），若(5)(3)0f g ⋅->，则()f x ，()g x 在同一坐标系内的大致图象是（）【答案】C【解析】试题分析：由(5)(3)0f g -<有3log 30a a ⋅<，而30a >，所以log 30a <，则01a <<，将函数x y a =的图象向右平移2个单位得到函数2()x f x a-=的图象，保留函数log a y x =的图象，再将函数log a y x =的图象作关于y 轴对称的图象，即可得到函数()log a g x x =的图象．再结合01a <<,故选C ．【考点】1．函数图象的平移变换；2．函数图象的对称变换．10．已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =⋅=-为边BC 的中点，则||AD 等于（） A ．6 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】试题分析：因为BC AC AB =-,所以2222()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅,所以2268AC AB +=,而1()2AD AB AC =+,2221(2)94AD AB AC AB AC ∴=++⋅=,则3AD =,选B ．【考点】1．向量数量积的运算；2．向量模的求法．11．已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．(),0-∞【答案】A【解析】试题分析：由复合函数的单调性有，函数()f x 在定义域R 上为增函数，且2016()2016log )20162x x f x x --=+-+，222016()()log )44f x f x x +-=-+=，所以不等式(31)()4f x f x ++>等价于(31)()()()f x f x f x f x ++>+-，则(3+1)()f x f x >-，由函数的单调性有31x x +>-，解得14x >-，选A ．【考点】1．函数单调性的判断；2．函数奇偶性的判断；3．解不等式．【思路点晴】本题主要考查了函数的性质,如单调性、奇偶性等,属于中档题．利用复合函数的“同增异减”判断函数()f x 的单调性; 由函数()f x 的解析式求出()f x -,利用()f x -与()f x 的关系得到恒等式()()4f x f x +-=,不等式(31)()4f x f x ++>等价于(31)()()()f x f x f x f x ++>+-，则(3+1)()f x f x >-,由函数()f x 的单调性解出x 的范围．12．定义域为[1,2-]的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x x f -=2)(．若方程m x f =)(有6个根，则m 的取值范围为（）A ．)41,(--∞ B ．），（81-41- C ．)161,81(-- D ．)0,161(- 【答案】D【解析】试题分析：由(1)2()f x f x +=，当[)1,0x ∈-时，2211111()(1)(1)(1)22222f x f x x x x x =+=+-+=+,当12x =-时，取最小值18-；当[)2,1x ∈--时, 211131()(1)(2)24442f x f x f x x x =+=+=++,当32x =-时，取最小值116-，画出函数()f x 的草图如下,当1016m -<<，()y f x =与y m =的图象有6个交点，则方程()f x m =有6个根,选D ．【考点】1．求函数的解析式；2．数形结合思想．【易错点晴】本题主要考查利用已知条件,求函数的解析式,以及利用数形结合思想求方程的根,属于中档题．本题错的主要地方是学生不会求[)1,0x ∈-和[)2,1x ∈--上的解析式,还有利用数形结合思想根据方程()f x m =有6个根,求实数m 的取值范围．求根的个数转化为两个函数的图象交点的个数问题,画图象得出答案．二、填空题13．函数()ln(1)f x x -的定义域是．【答案】(]14，【解析】试题分析：要使函数()f x 由意义，则234010x x x ⎧-++≥⎨->⎩，解得14x <≤，故函数()f x 定义域为(]1,4．【考点】函数的定义域．14．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ,则sin CED ∠= ．【答案】10【解析】试题分析：记CEB α∠=,则4CED πα∠=-,在Rt CEB ∆中，1,2BC BE ==,由勾股定理有CE ,所以sin 5α==，cos 5α==，由两角差的正弦公式有sin sin()sin )422CED πααα∠=-=-==．【考点】1．勾股定理；2．两角差的正弦公式．15．已知定义在()0,+∞上函数()f x 满足2132()f x f x x⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值是．【答案】【解析】试题分析：在2132()()f x f x x -=中,用1x 代替x ,则有212()()3f f x x x-=,联立22132()()12()()3f x f x x f f x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得222()(0)f x x x x=+>,由基本不等式有222()f x x x =+≥=,当且仅当222x x=,即x =时等号成立．故()f x的最小值为【考点】1．函数解析式的求法；2．基本不等式求最值．【思路点晴】本题主要考查了求函数的解析式及利用基本不等式求最小值,属于中档题．在求函数()f x 的解析式时, 用1x 代替x ,则相应的x 变成了1x ,联立方程组,分别把()f x ,1()f x看成整体,求出函数()f x 的解析式; 在利用基本不等式求最值时,当两正数积为定值,它们的和有最小值,还有注意等号成立的条件．16．函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+，则称()f x 在[],a b 上具有性质Q ．设()f x 在[]1,3上具有性质Q ，现给出如下命题： ①若()f x 在2x =处取得最小值1，则()1f x =，[]1,3x ∈； ②对任意[]3,1,,,4321∈x x x x 有[])()()()(41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++③()f x 在[]1,3上的图像是连续不断的； ④()2f x在⎡⎣上具有性质Q ；其中真命题的序号是．【答案】①②【解析】试题分析：对于①,在[]1,3上,[](4)1(2)()()(4)22x x f f f x f x +-=≤+-,所以得到 max max ()(4)2()()(2)1(4)()(2)1f x f x f x f x f f x f x f +-≥⎧⎪≤==⎨⎪-≤==⎩,故()1f x =,即对任意的[]12,1,3x x ∈,()1f x =,①正确；对于②，对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈,有1234123411()()22()()42x x x x x x x x f f ++++++=341212341111()()(()())(()())222222x x x x f f f x f x f x f x ++⎡⎤⎡⎤≤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x =+++，即[])()()()(41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++，故②成立；对于③,用反例,1(),13()34,3xx f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪=⎩满足性质Q ,但图象不连续,故③错误；对于④,反例:()f x x =-满足性质Q ,但22()f x x =-不满足性质Q ,故④错误．故真命题有①②．【考点】1．抽象函数及应用；2．利用导数求函数在闭区间上的最值．【方法点晴】本题主要考查对新定义的理解、抽象函数及应用,属于压轴题．本题已知条件给出在[],a b 具有性质Q 的函数的特征:对任意[]12,,x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≥+,再根据题设条件,逐个地进行判断,说明一个结论错误,举出反例即可,若是说明一个结论正确,要证明对所有的情况成立．三、解答题17．已知函数)1(log )(2-=x x g ，)1(log )(21+=x x f ．（1）求不等式)()(x f x g ≥的解集；（2）在（1）的条件下求函数)()(x f x g y +=的值域．【答案】（1）{x x ≥；（2）)2log 3⎡-⎣．【解析】试题分析：（1）化为把不等式化为同底的对数，利用单调性求出解集，注意原函数的定义域；（2）利用对数的性质，将()()y g x f x =+化为21log 1x y x -=+，再根据单调性，求出范围．试题解析：（1）由)()(x f x g ≥ 得)1(log )1(log 22+-≥-x x 则有 2-2≤≥x x 或又01;01>->+x x ∴不等式)()(x f x g ≥的解集为 {}2≥x x ．（2）=+=)()(x f x g y ,11log )1(log )1(log 222+-=+--x x x x 可证得函数11log 2+-=x x y 在{}单调递增；2≥x x )223(log 22-=∴取得最小值时，y x [).0),223(log 2-∈∴y【考点】1．利用单调性解对数不等式；2．对数的运算性质．18．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =-；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）【答案】（1）ˆ8.4 1.2y x =-；（2）年产量为2.67吨时,年利润z 取得最大值．【解析】试题分析：（1）先算出,x y 等,代入公式求出ˆˆ,b a ；（2）利用二次函数性质求出最大值．试题解析：解:（1）()11234535x =++++=，8.4)24567(51=++++=y 6051=∑=i i i y x ;;55512=∑=i i x;2.14.8,4.8;2.1x y a b -==-=直线方程为代入公式解出：.67.2,4.62.12)2.14.8()2(2最大时，当z x x x x x x z =+-=--=【考点】1．回归直线方程的确定；2．二次函数的最大值．19．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，都有24(1)n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n ntS e ≥对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值．【答案】（1）21n a n =-；（2）实数t 的最大值为24e ．【解析】试题分析：（1）利用n n a S 与的关系求出通项公式；（2）通过恒成立转化为求2ne n的最小值．试题解析：解：（1）当2n ≥时，2211444(1)(1)n n n n n a S S a a --=-=+-+ 22112()n n n n a a a a --∴+=-，又{}n a 各项均为正数12n n a a -∴-=；1)1(41211=⇒+=a a a数列{}n a 是等差数列，21n a n ∴=-；（2）2n S n =，若n ntS e ≥对于任意的*n N ∈恒成立，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤2min n e t n法（一）：令2n e b n n =，;1)1()1(,2)1(22212>+=+=≥++n n e n n e b b n n n n n 单调递增，因4,4min ,4;222221e t e n e e b e b n ≤∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴==，所以数t 的最大值为.42e 【考点】1．利用n n a S 与的关系求出通项公式；2．恒成立问题的转化．20．若曲线22122:1(0),(0)x y C a b y a b+=>>≤的离心率e =，且过点P 1)-，曲线22:4C x y =，自曲线1C 上一点A 作2C 的两条切线,切点分别为,B C ．（1）求曲线1C 的方程；（2）求ABC S ∆的最大值．【答案】（1）221(0)164x y y +=≤；（2）最大值为2．【解析】试题分析：（1）利用椭圆中,,a b c 的关系222a b c -=及离心率c e a ==，得出2a b =，由1)P -在椭圆上，求出4,2a b ==；（2）由导数几何意义，分别表示出切线,AB AC 的方程，联立方程求出交点A 的坐标，由点到直线的距离公式，求出A 点到直线BC 的距离表达式，而直线BC 的距离可以联立直线与抛物线方程，由弦长公式求出，根据二次函数求出ABC S ∆的最大值．试题解析：（1）由题意有2222221211a b c c e a a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩,求出4,2a b ==,所以曲线1:C 221(0)164x y y +=≤ （2）设BC l :y kx b =+ 联立方程24x yy kx b⎧=⎨=+⎩2440x kx b --=,12124,4x x k x x b +==-，;2'4422x y x y y x =⇒=⇒= 421)(24:2111121xx x y x x x x y l AB -=⇒-=-同理 421:222x x x y l AC -= 得12121()2:14x x x A y x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(2,)A k b -,所以2241164k b +=,224(02)k b b +=≤≤，A BC d -=12x x -=12BC x =-322213322224()1174(4)4(())242ABCS x b k b b b b ∆=-=+=+=-+=--+≤当1,2b k ==时取等号．【考点】1．求椭圆的方程；2．切线方程的表示；3．点到直线距离公式；4．二次函数求最值．【方法点晴】本题主要考查了求椭圆标准方程及直线与抛物线位置关系的应用,计算量大,属于压轴题．对于（1）,由已知条件可直接求出；在（2）中,由于,B C 是切点,直线,AB AC 的斜率可用,B C 两点的坐标表示,求出直线,AB AC 的方程,再求出A 点坐标, ,B C 间的距离用弦长公式求得,最后算面积时,利用二次函数,求出最大值．21．已知函数2()(2)2ln f x a x x =-+．（1）若1a =,求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数1()()44g x f x a a=-+(0)a ≠，当[2,)x ∈+∞时,函数()g x 图象上的点均在不等式2x y x≥⎧⎨≥⎩所表示的平面区域内,求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调增区间为(0,)+∞,无单调减区间；（2）10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．【解析】试题分析：（1）1a =,函数()f x 的解析式确定,注意定义域,求导后,根据定义域求出增区间,无减区间；（2）由题意构造新函数()()p x g x x =-,且min ()0p x ≥,分情况讨论求出a 的范围．试题解析：（1）1a =时，2()(2)2ln ,f x x x =-+定义域()0,+∞。

重庆南开中学2015-2016学年度春期高一下半期数学试题(含答案)

重庆南开中学高2018届高一下期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知等差数列{}n a 中，2351,4a a a =+=，则该数列公差为（） A 、12B 、1C 、32D 、22、已知点()()10,1,2,A B y ，向量()1,2a =，若AB a ⊥ ，则实数y 的值为（）A 、5B 、6C 、7D 、83、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,42a a a a +=+=，则63S S =（）A 、12B 、98C 、2D 、94、下列说法中，一定成立．．．．的是（） A 、若,a b c d >>，则ab cd > B 、若11a b>，则a b < C 、若a b >，则22a b >D 、若a b <，则0a b +>5、在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若3,a b =且3A π=，则边c 的长为（） A、1B、C 、2D6、已知2,3,2a b a b ==-= a 与b的夹角为（）A 、30B 、60C 、120D 、1507、已知{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，平面内三个不共线向量OA 、OB 、OC，满足()1720002OC a OA a OB =-+，若点,,A B C 在一条直线上，则2016S =（） A 、3024B 、2016C 、1008D 、5048、ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若ABC ∆为锐角三角形，且,23B c π==，则边b的取值范围是（） A、)B、C、(D、)+∞9、已知ABC ∆中，3,2AB AC ==，点D 在边BC 上，满足AD AB AD ACAB AC ⋅⋅=，若AB a = ，AC b =，则AD = （）A 、1233a b +B 、2133a b +C 、3255a b +D 、2355a b +10、已知单调递增的等差数列{}n a ，满足10111011a a a a ⋅>⋅，且221011a a <，n S 为其前n 项和，则（） A 、8120a a +> B 、1219,,S S S 都小于零，10S 为n S 的最小值 C 、8130a a +<D 、1220,,S S S 都小于零，10S 为n S 的最小值11、非零向量a 、b 满足2b = ，,30a b <>= ，且对0λ∀>，且a b a b λ-≥- 恒成立，则a b ⋅=（）A 、4B 、C 、2D 12、设{}n a 为单调递增数列，首项14a =，且满足()221111682n n n n n n a a a a a a +++++=++⋅，*n N ∈，则1234212n n a a a a a a --+-++-= （） A 、()221n n --B 、()33n n -+C 、()421n n -+D 、()61n n -+二、填空题（每小题5分，共20分）13、设12,e e 是不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为 14、数列223334444511111111111,,,,,,,,,,,22222222222，则该数列的第28项为15、设ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知60A = ，a ，sin sin sin B C B C +=，则ABC ∆的面积为16、已知在ABC ∆中，3AC =，G 为重心，边AC 的垂直平分线与BC 交于点N ，且4NG NC NG NA ⋅-⋅=- ，则AB AC ⋅=17、（10分）已知平面内三个向量()()()1,1,,2,2,1a b x c =-==，满足()//a b c + 。

重庆南开中学高高二(下)期末考试数学试题(理)及答案

南开中学高高二(下)期末测试卷数学（理工农医类）数学（理工农医类）测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（A ）1-（B ）0（C（D ）1（2）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-=0,1log 0≤,12)(2x x x x f x ，则=))41((f f（A ）21-（B ）21（C ）1（D ）7（3）已知集合{|}A x x a =<，3{|log 1}B x x =<，()R A B R =ð，则实数a 的取值范围是（A ）3a > （B ）3a ≥ （C ）3a ≤ （D ）3a < （4）已知,a b R ∈,“1a b >-”是“a b >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）某个自然数有关的命题，如果当)(1*∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2012=n 时，该命题成立，那么，可推得（A ）2011=n 时，该命题成立（B ）2013=n 时，该命题成立（C ）2011=n 时，该命题不成立（D ）2013=n 时，该命题不成立（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示，则该几何体的侧面积为（A）（B）（C ）4 （D ）8（7）对给出的下列命题：①2,0x R x ∀∈-<；②2,5x Q x ∃∈=；③2,10x R x x ∃∈--=； ④若2:,1p x N x ∀∈≥，则2:,1p x N x ⌝∃∈<．其中是真命题的是（A ）①③ （B ）②④ （C ）②③（D ）③④（8）3个女生与2个男生站成一排合影，要求女生甲不站左端，且其中一个女生恰好站在两个男生之间的站法有（A ）48种（B ）36种（C ）28种（D ）12种（9）若]22,22[-∈∃k使2(1) ||a k k +≤成立，则实数a 的取值范围是（A ）]0,(-∞（B ）]41,(-∞（C ）]42,(-∞（D ）]82,(-∞ 2 22 正视图 222侧视图俯视图题(6)图（10）如题（10）图，用4个半径为1的小圆去覆盖一个半径为2的大圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）（A ）1π（B ）11π-（C ）21π-（D ）112π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）二项式91()x x-的展开式中3x 的系数是．（12）已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 . （13）已知函数()f x x =0,0a b >>且()(1)f a f b =-，则14a b+的最小值为 .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）如题(14)图，圆O 的半径为1，直线AB 与圆O 相切于点B ，3=AB ，直线AO 交圆O 于D C 、两点，则BD 的长为．（15）在极坐标系中，点(2,0)A 到曲线2:4sin 3C θ=上点P 的距离最小，点P 的极坐标为．（16）设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >,若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x -≤，则a 的值为．题(10)图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是33,,45m ，且三人能否达标互不影响．（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是2425，求m 的值；（Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．（18）（本小题满分13分）已知定义在R 上函数2()1x bf x x ax +=++为奇函数．（Ⅰ）求a b +的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域．（19）（本小题满分13分）如题(19)图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，122,,DC DD AD AB AD DC ===⊥AB ∥DC ．（Ⅰ）求证：平面1BCD ⊥平面1D BD ；（Ⅱ）求二面角11B AC D --的大小．（20）（本小题满分12分）设函数x e ax ax x f )1()(2++=，其中R a ∈．（Ⅰ）若()f x 在其定义域内是单调函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 在)0,1(-内存在极值，求a 的取值范围.（21）（本小题满分12分）题(19)图C 1D 1A 1B 1DCB A已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是1A 、2A ，离心率为，点(1,)2A 在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)且与椭圆C 交于P 、Q 两点,设直线1PA 与2QA 的交点为00(,)M x y ，求证：0=4x .（22）（本小题满分12分）已知集合{|,,,0,0}mQ x x m Z n Z m n n*==∈∈≠≠，设Q *的子集S 满足如下性质：（1）如果,a S b S ∈∈，则,a b S ab S +∈∈；（2）r Q *∀∈， r S ∈与r S -∈有且仅有一条成立.求证：（Ⅰ）1S ∈；（Ⅱ）设*r Q ∈，则r S ∈的充要条件是0r >.高二下期末考试参考答案（理科）一、选择题 DABBB DDCCD 二、填空题11. 84- 12. (,1)-∞ 13. 914. 15. (1,)3π16. 2三、解答题17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设三人中至少有一人达标为事件A ，则332431()1(1)(1)(1);45255p A m m -=----=⇒=……………6分（Ⅱ）03(0)p C ξ==311()464=，123319(1)()()4464p C ξ===2233127(2)()()4464p C ξ===，333327(3)()464p C ξ===ξ∴的分布列为19272790123.646464644E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=……………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()f x 为R 上的奇函数，知(0)0,(1)(1)f f f =-=-，由此解得0,0a b ==，故0a b +=.（Ⅱ）设21x y x =+的值域为C ，则y C ∈当且仅当关于x 的方程20yx x y -+=有根，当0y =时，根为0x =符合；当0y ≠时，2140y ∆=-≥，于是1122y -≤≤且0y ≠；综上，值域为11[,]22-. 19．（本小题满分13分）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设1AD AB ==,则(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)A B C1111(1,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D -………2分（Ⅰ）1(1,1,0),(1,1,2)BC BD =-=--1(0,0,2)DD =11(1,1,0)(1,1,2)0,BC BD BC BD ⋅=-⋅--=∴⊥11(1,1,0)(0,0,2)0,,BC DD BC DD BC ⋅=-⋅=∴⊥∴⊥平面1D DB∴平面1BCD ⊥平面1D BD ;………………7分（Ⅱ）1(0,1,2),A B =-1(1,2,2),AC =--11(1,0,0),A D =- 设平面1BA C 与平面11A CD 的法向量分别为：(,,),(,,)m x y z n a b c ==则11m AC m A B⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩2202202x y z x z y z y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，令1,z =则(2,2,1),m = 111n AC n A D ⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩22000x y z x x y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，令1,z =则(0,1,1),n = cos ,||||32m n m n m n ⋅∴<>===∴二面角11B A C D --的大小为3.4π……………13分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xe a ax ax xf )()(132+++=' )(x f 在R 上单调，则当0=a 时，0>='x e x f )(，符合；当0≠a 时，01492≤+-=)(Δa a a 即540≤<a ； 540≤≤∴a ；（Ⅱ）要使()f x 在),(01-内存在极值，由（Ⅰ）知首先有0<a 或54>a ，另外还需要方程0132=+++=a ax ax x g )(的根在),(01-内对称轴123-<-=x ∴只需001<-)()(g g解得1>a 或1-<a 1>∴a 或1-<a ．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2242e a b =⇒= 由22221314,14a b a b+=⇒==.椭圆C 的方程为2214x y +=……………4分（Ⅱ）设:1l x my =+,由22221(4)230.41x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩设112212122223(,),(,),,44m P x y Q x y y y y y m m ∴+=-=-++.……………7分又设E 为直线1A P 与4x =的交点，N 为直线2A Q 与4x =的交点.1A P 的方程是11116(2)22E y y y x y x x =+⇒=++,同理,2222N y y x =- 由121212126232()2231E N y y y y y y x x my my -=-=-+-+- 1221123(1)(3)2(3)(1)y my y my my my --+=+-12121223()20(3)(1)my y y y my my -+=⋅=+-E N y y =,E 、N 为同一个点. 即1A P 与2A Q 的交点E 横坐标为4.……12分22．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由条件（2），1S ∈与1S -∈有且仅有一条成立，若1S -∈，则1S ∉，又由条件（1），1(1)(1)S =--∈，这是一个矛盾.故1S ∈.（Ⅱ）若n S ∈，又由（Ⅰ）知1S ∈，则由条件（1），1n S +∈，由数学归纳法原理，这说明S 包含所有的正整数.现在我们考虑一个正的分数(0,0)mm n n>>，由条件（2），m S n ∈与m S n -∈有且仅有一个成立，若m S n -∈，又已证n S ∈，则由条件（1），()mm n S n-=-∈，这与已证的m S ∈矛盾（m S -∈与m S ∈有且仅有一条成立）.故mSn∈.即S 包含所有的正分数.于是由条件（2），S 不可能含有任何负分数.。

重庆一中2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(文科)

2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosπx，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{0，1}C．{0}D．∅2．“p∨q为真”是“￢p为假”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣i B．﹣+i C． +i D．﹣i4．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．6．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可将函数y=sin3x的图象（）A．左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f （x +2）=﹣，若f （2）=﹣4，则f （f （6））=（）A ．4B ．﹣4C ．D ．﹣9．已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x |（其中a ＞0且a ≠1），若f （5）•g （﹣3）＞0，则f （x ），g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．10．已知△ABC 中， =10，=﹣16，D 为边BC 的中点，则等于（）A ．6B ．5C ．4D ．311．已知函数f （x ）=2016x +log 2016（+x ）﹣2016﹣x +2，则关于x 的不等式f （3x +1）+f （x ）＞4的解集为（）A ．（﹣，+∞）B ．（﹣∞，﹣）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，0）12．定义域为[﹣2，1]的函数f （x ）满足f （x +1）=2f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2﹣x ．若方程f （x ）=m 有6个根，则m 的取值范围为（）A ．（﹣∞，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（﹣，﹣）D ．（﹣，0）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．函数f （x ）=+ln （x ﹣1）的定义域是______．14．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED=______．15．已知定义在（0，+∞）上函数f （x ）满足2f （x ）﹣f （）=，则f （x ）的最小值是______．16．函数f （x ）在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f （）≥ [f （x 1）+f （x 2）]，则称f （x ）在[a ，b ]上具有性质Q ．设f （x ）在[1，3]上具有性质Q ，现给出如下命题：①若f （x ）在x=2处取得最小值1，则f （x ）=1，x ∈[1，3]；②对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]有f（）≥ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；④f（x2）在[1，]上具有性质Q；其中真命题的序号是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．18．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的（1）求y关于x的线性回归方程=x+；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式：==，=﹣．19．已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意的n∈N*，都有4S n=（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若e n≥tS n对任意的n∈N*恒成立，求实数t的最大值．20．若曲线C1： +=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=且过点P（2，﹣1），曲线C2：x2=4y，自曲线C1上一点A作C2的两条切线切点分别为B，C．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）求S△ABC的最大值．21．已知函数f（x）=a（x﹣2）2+2lnx．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=f（x）﹣4a+（a≠0），当x∈[2，+∞）时，函数g（x）图象上的点均在不等式所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；（2）设1＜a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosπx，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{0，1}C．{0}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】把A中的元素代入B中计算求出y的值，确定出B，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosπx，x∈A}，∴把x=﹣1代入得：y=cos（﹣π）=﹣1；把x=0代入得；y=cos0=1；把x=1代入得：y=cosπ=﹣1，∴B={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，1}，故选：A．2．“p∨q为真”是“￢p为假”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】￢p为假，可得：p为真．由于“p∨q为真”，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：∵￢p为假，∴p为真，∴“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真．∴“p∨q为真”是“￢p为假”的必要不充分条件．故选：B．3．已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣i B．﹣+i C． +i D．﹣i【考点】复数求模．【分析】利用共轭复数和模的计算公式即可得出．【解答】解：=，|z|==1，∴+|z|==．故选：D．4．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的性质，确定对数的取值范围，即可比较对数的大小．【解答】解：log32＜1，log52＜1，log23＞1，又log32=，log52=，∵0＜log23＜log25，∴．即c＞1＞a＞b．故选B．5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，故x=8，当x=8时，满足进行循环的条件，故x=5，当x=5时，满足进行循环的条件，故x=2，当x=2时，不满足进行循环的条件，故y==﹣1，故选：A6．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得直线2x +y ﹣10=0与x 轴的交点，可得c=5，求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=2b ，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程．【解答】解：直线2x +y ﹣10=0经过x 轴的交点为（﹣5，0），由题意可得c=5，即a 2+b 2=25，由双曲线的渐近线方程y=±x ，由直线2x +y ﹣10=0和一条渐近线垂直，可得：=，解得a=2，b=，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：B ．7．为了得到函数y=sin3x +cos3x 的图象，可将函数y=sin3x 的图象（）A ．左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】化简函数y=sin3x +cos3x=sin3（x +），根据三角函数的图象平移法则，即可得出结论．【解答】解：函数y=sin3x +cos3x=sin （3x +）=sin3（x +），应将函数y=sin3x 的图象向左平移个单位即可．故选：D ．8．函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f （x +2）=﹣，若f （2）=﹣4，则f （f （6））=（）A ．4B ．﹣4C ．D ．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值．【分析】由已知中函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f （x +2）=﹣，可确定函数f （x ）是以4为周期的周期函数，进而根据周期函数的性质，从内到外依次去掉括号，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣==f（x），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（2）=﹣4，则f（f（6））=f[f（2）]=f（﹣4）=f（0）=﹣=．故选：C．9．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用条件f（5）•g（﹣3）＞0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（5）•g（﹣3）＞0，可得出g（﹣3）＞0，则g（3）＞0因为a＞0且a≠1，所以必有log a3＞0，解得a＞1．所以函数f（x）=a x﹣2，在定义域上为增函数且过点（2，1），g（x）=log a|x|在x＞0时，为增函数，在x＜0时为减函数．所以对应的图象为C故选：C．10．已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵==，=﹣16，∴．∵D为边BC的中点，∴====3．故选：D．11．已知函数f （x ）=2016x +log 2016（+x ）﹣2016﹣x +2，则关于x 的不等式f （3x +1）+f （x ）＞4的解集为（）A ．（﹣，+∞）B ．（﹣∞，﹣）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法．【分析】可先设g （x ）=2016x +log 2016（+x ）﹣2016﹣x ，根据要求的不等式，可以想着判断g （x ）的奇偶性及其单调性：容易求出g （﹣x ）=﹣g （x ），通过求g ′（x ），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g （3x +1）＞g （﹣x ），而根据g （x ）的单调性即可得到关于x 的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解．【解答】解：设g （x ）=2016x +log 2016（+x ）﹣2016﹣x ，g （﹣x ）=2016﹣x +log 2016（+x ）﹣2016x +=﹣g （x ）；g ′（x ）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g （x ）在R 上单调递增；∴由f （3x +1）+f （x ）＞4得，g （3x +1）+2+g （x ）+2＞4； ∴g （3x +1）＞g （﹣x ）； ∴3x +1＞﹣x ；解得x ＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A ．12．定义域为[﹣2，1]的函数f （x ）满足f （x +1）=2f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2﹣x ．若方程f （x ）=m 有6个根，则m 的取值范围为（）A ．（﹣∞，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（﹣，﹣）D ．（﹣，0）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数的性质求出f （x ）的解析式，做出f （x ）的函数图象，根据函数图象进行判断．【解答】解：当x ∈[﹣1，0]时，x +1∈[1，2]， ∴f （x +1）=（x +1）2﹣（x +1）=x 2+x ，∴f （x ）=f （x +1）=（x 2+x ）．同理，当x ∈[﹣2，﹣1]时，f （x ）=（x 2+3x +2），做出f （x ）在[﹣2，1]上的函数图象，如图所示：∵f（x）=m有6个根，∴﹣＜m＜0，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．函数f（x）=+ln（x﹣1）的定义域是（1，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，得1＜x≤4，即函数的定义域为（1，4]．故答案为：（1，4]．14．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED，则sin∠CED=．【考点】余弦定理．【分析】通过正方形求出ED，EC利用余弦定理求出∠CED的余弦值，然后求出正弦值．【解答】解：∵AE=1，正方形的边长为：1；∴ED==，EC==，CD=1，∴cos∠CED==，sin∠CED==．故答案为：．15．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）满足2f（x）﹣f（）=，则f（x）的最小值是2．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据条件，利用方程组法进行求解，先求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵2f（x）﹣f（）=，①∴2f（）﹣f（x）=3x2，②①×2+②得3f（x）=+3x2，即f（x）=+x2，∵x＞0，∴f（x）=+x2≥2=2，当且仅当=x2，即x2=2，x=时，取得号，则函数f（x）的最小值是2，故答案为：2，16．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（）≥ [f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质Q．设f（x）在[1，3]上具有性质Q，现给出如下命题：①若f（x）在x=2处取得最小值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；②对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]有f（）≥ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；④f（x2）在[1，]上具有性质Q；其中真命题的序号是①②．【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的值．【分析】根据题设条件，证明①和②是正确的．分别举出反例，说明③和④都是错误的；【解答】解：在①中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤ [f（x）+f（4﹣x）]，∴，故f（x）=1，∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，故①成立；在②中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（）=f（）≤ [f（）+f（）]≤ [（f（x1）+f（x2））+（f（x3）+f（x4））]= [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，∴f（）≤ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，故②成立．在③中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故③不成立；在④中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，故④不成立；故真命题的序号为：①②，故答案为：①②三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由对数函数的单调性和换底公式，可得x﹣1≥＞0，由不等式的解法，即可得到所求解集；（2）由复合函数的单调性：同增异减，求得函数y在[，+∞）为增函数，即可得到所求值域．【解答】解：（1）由g（x）≥f（x）得log2（x﹣1）≥log（x+1），即为x﹣1≥＞0，有x≥或x≤﹣，且x+1＞0，x﹣1＞0，则不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x≥}；（2）y=g（x）+f（x）=log2（x﹣1）﹣log2（x+1）=log2，由y=log2（1﹣），由t=1﹣在（1，+∞）递增，y=log2t在（0，+∞）递增，可得函数y=log2在[，+∞）为增函数，则x=时，y取得最小值log2（3﹣2），且t＜1，可得y=log2t＜0，即有函数y=g（x）+f（x）的值域为[log2（3﹣2），0）．18．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的（1）求y关于x的线性回归方程=x+；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式：==，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）求出z关于x的函数，利用二次函数的性质得出当z最大时x的值．【解答】解：（1）=（1+2+3+4+5）=3，=（7+6+5+4+2）=4.8．=60，=55，∴==﹣1.2，=4.8+1.2×3=8.4．∴y关于x的线性回归方程为=﹣1.2x+8.4．（2）z=x（﹣1.2x+8.4）﹣2x=﹣1.2x2+6.4x=﹣1.2（x﹣）2+，∴当x=≈2.67时，利润z取得最大值．19．已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意的n∈N*，都有4S n=（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若e n≥tS n对任意的n∈N*恒成立，求实数t的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）对任意的n∈N*，都有4S n=（a n+1）2．当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1），化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，又{a n}各项均为正数，可得：a n﹣a n﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）e n≥tS n对任意的n∈N*恒成立，则t≤．利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）对任意的n∈N*，都有4S n=（a n+1）2．当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，又4a1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，a n=2n﹣1．（2）e n≥tS n对任意的n∈N*恒成立，则t≤．令b n=，∵单调递增，n≥2时，=e=e＞1．∵b1=e，b2=，∴=．∴，∴实数t的最大值为．20．若曲线C1： +=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=且过点P（2，﹣1），曲线C2：x2=4y，自曲线C1上一点A作C2的两条切线切点分别为B，C．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）求S△ABC的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设BC所在直线方程为y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B，C的横坐标的和与积，再分别写出过B，C的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立后利用判别式等于0把斜率用点的横坐标表示，得到切线方程，联立两切线方程求出A的坐标，代入椭圆方程得到k，b的关系，再由弦长公式求出|BC|，由点到直线的距离公式求出A到BC的距离，代入面积公式，利用配方法求得S△ABC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a2=16，b2=4，∴曲线C1的方程为（y≤0）；（Ⅱ）设l BC：y=kx+b，联立，得x2﹣4kx﹣4b=0．则x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，AB：，代入x2=4y，得．△=，∴，则AB：．同理AC：，得A（）=（2k，﹣b），∴，即k2+b2=4（0≤b≤2），点A到BC的距离d=，，|BC|=，∴S△ABC===．当b=，k=时取等号．21．已知函数f（x）=a（x﹣2）2+2lnx．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=f（x）﹣4a+（a≠0），当x∈[2，+∞）时，函数g（x）图象上的点均在不等式所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）a=1时，求f（x）的导数f′（x），利用导数判定函数f（x）的单调性；（2）由题意使g（x）≥x在[2，+∞）上恒成立，设h（x）=g（x）﹣x，则h（x）min≥0在[2，+∞）上恒成立，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣4x+4+2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣4+=，∵x＞0，∴f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）由题意，使a（x﹣2）2+2lnx﹣4a+≥x在[2，+∞）上恒成立，令h（x）=a（x﹣2）2+2lnx﹣4a+﹣x，则h（x）min≥0在[2，+∞）上恒成立②；∴h′（x）=；（i）当a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[2，+∞）上是减函数，且h（4）=2ln4﹣4+＜0，∴②不成立；（ii）当0＜a＜时，2＜，此时h（x）在[2，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，∴h（x）min=h（）=a+2ln﹣4a+﹣=﹣2﹣ln2a，∴只需﹣2﹣2ln2a≥0，解得a≤；∴0＜a≤时②成立；（iii）当a≥时，2≥，此时h（x）在[2，+∞）上是增函数，∴h（x）min=h（2）=2ln2﹣4a+≤2，∵﹣4a+≤0，2ln2﹣2＜0，∴h（x）min=h（2）＜0，∴②不成立；综上，0＜a≤．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【考点】圆的切线方程；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接OD，△AOD是等腰三角形，结合，∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE 可得结论．（II）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD 和△AEF∽△DOF推出结果．【解答】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x又由△AEF∽△DOF可得∴[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；（2）设1＜a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．【考点】不等式的证明；对数的运算性质．【分析】（1）去分母，寻找与不等式等价的式子，使用因式分解得出不等式成立的条件；（2）令设log a b=x，log b c=y，则不等式与（1）中的不等式等价．【解答】证明：（1）∵x≥1，y≥1，∴x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+x2y2．⇔（x+y）（xy﹣1）+（1﹣x2y2）≤0，⇔（xy﹣1）（x+y﹣1﹣xy）≤0，⇔（xy﹣1）（x+1）（1﹣y）≤0．∵x≥1，y≥1，∴xy﹣1≥0，x+1＞0，1﹣y≤0，∴（xy﹣1）（x+1）（1﹣y）≤0成立．，∴x+y+≤++xy．（2）设log a b=x，log b c=y，则log a c=xy，log c a=，log b a=，log c b=．∴log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c⇔x+y+≤++xy．∵1＜a≤b≤c，∴log a b≥1，log b c≥1，即x≥1，y≥1．由（1）可知x+y+≤++xy．∴log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．2016年9月22日。

2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}2．（5分）若命题p：∃x∈Z，e x＜1，则¬p为（）A．∀x∈Z，e x＜1B．∀x∉Z，e x＜1C．∀x∈Z，e x≥1D．∀x∉Z，e x≥1 3．（5分）已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的（）A．a|c|≥bc B．|a|c≥bc C．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|4．（5分）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格．后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程＝1.6x+a，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A．8B．9C．10D．115．（5分）已知m，n是两条不同的直线，σ，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥βB．若m不垂直于σ，则m不可能垂直于σ内的无数条直线C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥βD．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）A．B．14πC．D．7π7．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π8．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第15个整数对是（）A．（5，1）B．（4，2）C．（6，1）D．（5，2）9．（5分）已知△ABC为等边三角形，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B．C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）11．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|﹣|BF|＝（）A．2B．4C．6D．812．（5分）设直线y＝x+3与曲线C：y＝x3+3ax2相交于点A，B，且曲线C在点A，B处的切线斜率都为k，则k＝（）A．1B．3C．6D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+2ax在区间（）上单调递增，则实数a的取值范围是．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的最小值为13，则实数k＝．15．（5分）若正数x，y满足＝1，则的最小值为．16．（5分）若不等式（x+m2）2+（x+am﹣3）2＞对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知c＞0，设命题p：＜1，命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立．（1）若p为真命题，求c的取值范围；（2）若p或q为真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．18．（12分）某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；（2）完成下面2×2列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？附：临界值表及参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．19．（12分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，DD1＝2，E为DD1的中点，M为AC1的中点，连结C1E，CE，AC，AE，ME，CM．（1）求证：ME⊥平面ACC1；（2）求点C1到平面AEC的距离．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点为F（c，0），且a2，b2，c2成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于点M，N，直线l2与椭圆C交于点P，Q，且l1⊥l2，求四边形MPNQ面积的最小值．21．（12分）（1）已知t＞1，x∈（0，+∞），证明：x t≥1+t（x﹣1）；（2）设0＜a≤b＜1，证明：a a+b b≥a b+b a．请考生在22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB＝∠ADC．延长DA到E使BD ＝AE，连结EC．（1）求证：CE＝CD；（2）若AC⊥BC，CD＝1，求AD+BD的值．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的最大值．24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：xf（x）＜x；（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B＝[﹣2，1]，∵A＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1}，故选：D．2．（5分）若命题p：∃x∈Z，e x＜1，则¬p为（）A．∀x∈Z，e x＜1B．∀x∉Z，e x＜1C．∀x∈Z，e x≥1D．∀x∉Z，e x≥1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈Z，e x＜1，则￢p为：∀x∈Z，e x≥1，故选：C．3．（5分）已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的（）A．a|c|≥bc B．|a|c≥bc C．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|【解答】解：a＝0，b＝﹣1，c＝﹣1，可得A，B，D不正确；由于|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，故选：C．4．（5分）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格．后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程＝1.6x+a，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由题意，＝6，＝84，代入＝1.6x+a，可得84＝9.6+a，∴a＝74.4∴＝1.6x+74.4，＝90时，90＝1.6x+74.4，∴x≈10，故选：C．5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，σ，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥βB．若m不垂直于σ，则m不可能垂直于σ内的无数条直线C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥βD．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ【解答】解：A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥β或者n与平面相交，或n 在平面内，故A错误，B．若m不垂直于σ，则m有可能垂直于σ内的无数条直线，比如人在上楼梯的过程中，人和楼梯的台阶满足垂直关系，故B错误，C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥β，正确，D．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ或m⊂σ，故D错误，故选：C．6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）A．B．14πC．D．7π【解答】解：由已知，可得该几何体是3条侧棱互相垂直的三棱锥，将其扩充为长方体，长宽高分别为1，2，3，其对角线长为＝，多面体的外接球的直径等于长方体的对角线长．∴多面体的外接球的半径为，∴多面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝14π．故选：B．7．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π【解答】解：∵圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为×4×4＝8＞4，∴圆锥的轴截面为锐角三角形，∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积，则×2r×＝4（r为圆锥底面半径），解得r＝2或r＝2（舍去）．∴侧面展开图扇形圆心角θ＝•2π＝•2π＝π．∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π．故选：D．8．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第15个整数对是（）A．（5，1）B．（4，2）C．（6，1）D．（5，2）【解答】解：按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…则前5组共有1+2+3+4+5＝15个有序实数对．第15项应在第5组中，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）中的第5个，因此第15项为（5，1）．故选：A．9．（5分）已知△ABC为等边三角形，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：以BC为直径作圆，与AB，AC分别相交于E，D，则P在图中阴影部分，即使得△BCP为钝角三角形，设等边三角形吧边长为2，则阴影部分的面积为2×+＝，等边三角形的面积为，由几何概型的概率公式得到△BCP为钝角三角形的概率为：；故选：B．10．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B．C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）【解答】解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x，得f′（x）＝3x2+2ax+2．∵函数f（x）＝x3﹣ax2+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，∴f′（x）＝0在[0，2]上应有两个不同实数根．∴，解得﹣3.5＜a＜．∴实数a的取值范围是﹣3.5＜a＜．故选：D．11．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|﹣|BF|＝（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：y2＝4x的焦点为F（1，0），假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），与抛物线y2＝4x，联立得k2（x2﹣2x+1）＝4x，即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵∠PBF＝90°，∴（x1﹣1）（x1+1）+y12＝0，∴x12+y12＝1，∴x12+4x1﹣1＝0（x1＞0），∴x1＝﹣2+，∵x1x2＝1，∴x2＝2+，∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，故选：B．12．（5分）设直线y＝x+3与曲线C：y＝x3+3ax2相交于点A，B，且曲线C在点A，B处的切线斜率都为k，则k＝（）A．1B．3C．6D．9【解答】解：由y＝x3+3ax2，得y′＝3x2+6ax，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12+6ax1，3x22+6ax2，由题意可得3x12+6ax1＝3x22+6ax2＝k，∴x1，x2是方程3x2+6ax﹣k＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵＝＝＝2a3，而（）3+3a（）2＝（）3+3a（）2＝2a3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2＝﹣2a，知线段的中点为（﹣a，﹣a+3），∴﹣a+3＝﹣a3+3a•（﹣a）2＝2a3，即为（a﹣1）（2a2+2a+3）＝0，解得a＝1，由y＝x+3代入函数y＝x3+3x2，可得（x﹣1）（x+1）（x+3）＝0，解得x＝﹣3或﹣1或1，即有x1＝﹣3，x2＝1．则k＝﹣3x1x2＝9．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+2ax在区间（）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣，+∞）．【解答】解：f（x）＝x3+x2+2ax，∴f′（x）＝x2+x+2a＝（x﹣）2++2a，若f（x）在区间（）上单调递增，则x2+x+2a≥0在（）恒成立，即2a≥﹣x2﹣x在（）恒成立，令h（x）＝﹣x2﹣x，x∈（），h（x）在（，+∞）递减，∴h（x）≤h（）＝﹣，∴2a≥﹣，a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的最小值为13，则实数k＝．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由可得A（2，4），由可得B（，），由可得C（，），由目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的几何意义：z表示直线在y轴上截距的k倍．可能为直线z＝x+ky经过B，C两点取得最小值13．即有+k＝13或+k＝13，解得k＝5或k＝，若k＝5，则+k＝＜13，不成立舍去；若k＝，则+k＝＞13，成立．故答案为：．15．（5分）若正数x，y满足＝1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数x，y满足+＝1，∴＝1﹣＝，∴（y＞1），∴x﹣1＝（x＞1）．则+＝（y﹣1）+≥2＝2，当且仅当y﹣1＝，即y﹣1＝时取等号．∴的最小值为2．故答案为：216．（5分）若不等式（x+m2）2+（x+am﹣3）2＞对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是a＜2或a＞5．【解答】解：设P（x，x）Q（﹣m2，3﹣am），P在y＝x直线上．不等式左边的几何意义是PQ两点距离的平方．只要Q到y＝x的距离平方大于，即可．d2＝∴m2+3﹣am＞1或m2+3﹣am＜﹣1分离常数可得：．在m∈[1，3]恒成立用基本不等式解得：故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知c＞0，设命题p：＜1，命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立．（1）若p为真命题，求c的取值范围；（2）若p或q为真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．【解答】解：（1）由c＞0，命题p：＜1，则0＜log 2c≤1，解得1＜c≤2．∴c 的取值范围是（1，2]．（2）命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立，化为，∴，解得c．∵p或q为真命题，p且q是假命题，∴p与q必然一真一假，∴或，解得或c＞2．综上c的取值范围是：或c＞2．18．（12分）某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；（2）完成下面2×2列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？附：临界值表及参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）高一年级学生竞赛的众数为55（分），…（2分）高二年级学生竞赛平均成绩为（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）；…（4分）（2）2×2列联表如下：∴K2＝≈8.333＞7.879，…（11分）∴有99.5%的把握认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”．…（12分）．19．（12分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，DD1＝2，E为DD1的中点，M为AC1的中点，连结C1E，CE，AC，AE，ME，CM．（1）求证：ME⊥平面ACC1；（2）求点C1到平面AEC的距离．【解答】（1）证明：∵EC1＝EC＝EA＝，C1M＝AM∴EM⊥AC1，∵C1M＝CM，EM＝EM，EC1＝EC，∴△C1ME≌△CME，∴∠C1ME＝∠CME＝90°，∴ME⊥CM，∵EM⊥C1M∴ME⊥平面ACC1；（2）解：∵AE＝CE＝AC＝，∴△ACE是正三角形，∴S△ACE＝，∵C1E＝CE＝，CC1＝2，∴∠C1EC＝90°，∴＝1，设点C1到平面AEC的距离为h．∵AD⊥平面C1EC，∴，∴h＝．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点为F（c，0），且a2，b2，c2成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于点M，N，直线l2与椭圆C交于点P，Q，且l1⊥l2，求四边形MPNQ面积的最小值．【解答】解：（1）由题意可得：2a＝2，2b2＝a2+c2，a2＝b2+c2．联立解得a＝，b＝，c＝1．∴椭圆C的方程为：+＝1．（2）若l1与l2的一个斜率不存在，则四边形MPNQ面积S＝4．若l1与l2的斜率都存在，设l1：y＝k（x﹣1），l2：y＝﹣（x﹣1），其中k≠0，（x i，y i）（i＝1，2，3，4时分别对应点M，N，P，Q）．联立l1与椭圆方程可得：（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝．|MN|＝＝．同理可得：|PQ|＝＝，则四边形MPNQ面积S＝＝．令1+k2＝t＞1，则S＝＝≥＝，时等号成立，即k＝±1．综上所述可得：四边形MPNQ的面积的最小值为．21．（12分）（1）已知t＞1，x∈（0，+∞），证明：x t≥1+t（x﹣1）；（2）设0＜a≤b＜1，证明：a a+b b≥a b+b a．【解答】证明：（1）令f（x）＝x t﹣1﹣t（x﹣1），f′（x）＝t（x t﹣1﹣1），∵t＞1，∴t﹣1＞0，x∈（0，1）时，x t﹣1≤1，f′（x）≤0，函数单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝1是f（x）的唯一极小值点，∴f（x）≥f（1）＝0，即：x t≥1+t（x﹣1）；（2）当a＝b，不等式显然成立；当a≠b时，不妨设a＜b，则a a+b b≥a b+b a⇔a a﹣a b≥b a﹣b b，令φ（x）＝x a﹣x b，x∈[a，b]下证φ（x）是单调减函数．∵φ′（x）＝ax a﹣1﹣bx b﹣1＝ax b﹣1（x a﹣b﹣）易知a﹣b∈（﹣1，0），1+a﹣b∈（0，1），＞1，由（1）知当t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a，b]，∴＝＞1+＝＞a，∴b＞a1+a﹣b，∴＞a a﹣b≥x a﹣b，∴φ'（x）＜0，∴φ（x）在[a，b]上单调递减．∴φ（a）＞φ（b），即a a﹣a b＞b a﹣b b，∴a a+b b＞a b+b a．综上，a a+b b≥a b+b a成立．请考生在22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB＝∠ADC．延长DA到E使BD ＝AE，连结EC．（1）求证：CE＝CD；（2）若AC⊥BC，CD＝1，求AD+BD的值．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ADC＝∠ABC，∴AC＝BC．∵∠EAC＝∠DBC，AE＝DB，∴△EAC≌△DBC，∴EC＝DC；（2）解：∵AC⊥BC，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ADC＝45°．∵EC＝CD，∴∠E＝45°，∴，∴AD+BD＝AD+DE＝DE＝．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的最大值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ＝，即为ρ＝1+ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝，可得＝1+x，化简可得y2＝1+2x；（2）设A（ρ1，θ），①A在y轴上，即A（ρ1，），则B（ρ2，π），则＝1﹣cos+1﹣cosπ＝1+2＝3；②A不在y轴上，且B（ρ2，θ+），则＝1﹣cosθ+1﹣cos（θ+）＝2+sinθ﹣cosθ＝2+sin（θ﹣）≤2+，当且仅当θ＝+2kπ，k∈Z时取得等号；③A不在y轴上，且B（ρ2，θ﹣），则＝1﹣cosθ+1﹣cos（θ﹣）＝2﹣sinθ+cosθ＝2﹣sin（θ+）≤2+，当且仅当θ＝﹣+2kπ，k∈Z时取得等号．综上可得，的最大值为2+．24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：xf（x）＜x；（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a＝2，原不等式可化为或，∴x＜0或1＜x＜3，∴不等式的解集为{x|x＜0或1＜x＜3}；（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，可化为|x﹣a|+|x+a|≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，∵|x﹣a|+|x+a|≥|2a，∴2a≥|a|﹣|a﹣1|+3，∴|a|+|a﹣1|≥3．a＜0时，﹣a﹣a+1≥3，∴a≤﹣1；0≤a≤1时，a﹣a+1≥3，不成立；a＞1时，a+a﹣1≥3，∴a≥2．综上所述，a≤﹣1或a≥2．。

重庆市南开中学2015-2016学年高二数学下学期期末测试试题理

重庆市南开中学高2017级高二（下）数学（理科）期末考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

1、集合{}()(){}0,1,2,3,4,210A B x x x ==+-≤，则A B =I （）A 、{}0,1,2,3,4B 、{}0,1,2,3C 、{}0,1,2D 、{}0,1 2、若命题:,1x p x Z e ∃∈<，则p ⌝为（）A 、,1x x Z e ∀∈<B 、,1x x Z e ∀∉<C 、,1x x Z e ∀∈≥D 、,1x x Z e ∀∉≥3、已知()2~5,X N σ，若()350.4P X ≤≤=，则()7P X ≤=（）A 、0.9B 、0.8C 、0.7D 、0.6 4、已知,a b c R >∈，则下列不等式一定成立的（）A 、a c bc ≥B 、a c bc ≥C 、a c b c ≥D 、a c b c ≥5、某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格。

后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程$1.6y x a =+，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A 、8B 、9C 、10D 、116、巧克力很甜、很好吃，数学很妙、很有趣，某中学统计了部分同学“爱吃巧克力”与“数经计算得 4.167k ≈，由此可以判断（）参考数据：B 、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关C 、至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关D 、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关7、若()422a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为16，则实数a =（） A 、2- B 、1 C 、2 D 、2-或18、已知ABC ∆为等边三角形，在ABC ∆内随机取一点P ，则BCP ∆为钝角三角形的概率为（）A、14 B、12+ C、34 D、12 9、若函数()322f x x ax x =++在[]0,2上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（）A 、()6,0- B、(6,- C 、[)3.5,0- D、 3.5,⎡-⎣ 10、定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人,,,,a b c d e 中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（）A 、704B 、864C 、1004D 、101411、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴交点为P ，过点F 作直线与抛物线C 交于点,A B ，若AB PB ⊥，则AF BF -=（）A 、2B 、4C 、6D 、812、已知函数()11ax x f x e x -+=-，若对任意()0,1x ∈，恒有发，则实数a 的取值范围为（） A 、(],2-∞ B 、(],0-∞ C 、[)0,+∞ D 、[)2,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

重庆一中2015-2016学年高二下期期中考试数(文) 含答案

秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二下期半期考试数学试题卷（文科）2016。

5第I卷（选择题共60分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

（原创）已知{}{}AxxyyBA∈==-=,cos,1,0,1π,则=⋂BAA. {}1,1-B. {}1,0C。

{}0 D。

∅2。

“p q∨为真”是“p⌝为假”的( ）条件A.充分不必要B。

必要不充分C。

充要条件 D.既不充分也不必要3.已知复数1322z i=-+，则||z z+＝A.1322i--B。

1322i-+C。

1322i+ D. 1322i-4。

设3log2a=，5log2b=，2log3c=,则A．a c b>>B．c a b>>C．c b a>> D.b c a>>5。

执行如图所示的程序框图，若输入x的值为5-，则输出y的值是A。

－1 B。

1 C。

2D. 错误!6.直线2100x y +-=过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为 A 。

221169x y -=B.221205x y -=C.221520x y -=D 。

221916x y -=7。

为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可将函数x y 3sin 2=的图象A.左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位C 。

向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位8。

（原创)函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f -=+，若4)2(-=f ，则=))6((f f A.4B.4- C 。

41D.41-9.已知函数2()x f x a -=，()log a g x x =(其中0a >且1a ≠）,若(5)(3)0f g ⋅->,则()f x ,()g x 在同一坐标系内的大致图象是A 。

重庆南开中学高2016级高二(下)期末考试数学试题(理科)(含详细答案)

A ．2.2
B ． 2.4
C． 2.6
D ．2.8
7．已知 a 为实数，则 | a | 1是关于 x 的不等式 | x 3| | x 4 | a 有解的（）
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
x2 a
8．若函数 f ( x) log a(
) 有最小值 1，则 a 等于（）
重庆南开中学高 2016 级高二 (下)期末考试数学试题 (理科 )
本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第 I 卷(选择题共 60 分)
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
求实数 a 的取值范围．
q ”为真命题，命题 “p
q ”为假命题，
18． (本题满分 l2 分 ) 某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以
日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续 3 天日销售量．
(I) 求在未来 3 天里，恰好只有连．续． 2 天的日销售量都高于 100 个的概率； (II) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量高于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
5．下列函数中，在区间 (0, ) 上为增函数的是（）
A ． y ln( x 1) B ． y | x 1| 6．已知 x, y 的取值如下表所示
1x C． y ( )
2
D ． y x 2sin x
x
0
1
3
4

重庆市沙坪坝区高二数学下学期期中试题理

重庆市沙坪坝区2016-2017学年高二数学下学期期中试题理共4页,满分150分,考试时间120分钟。

一、选择题 (本题共12小题，每题5分，共60分。

将每小题唯一合符题意的选项填入答题卷相应栏内) 1.若复数满足(1)(2)5z i i --=，其中是虚数单位，则z 的值为（） A. 23D. 32.随机变量2(9,)XN σ,()60.2P X <=,则()912P X <<=（）A. 0.3B. 0.4C. 0.4987D. 0.99743. 已知141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++,…., 若11111211212312341237n +++++=++++++++++ , 则n =（）A. 5B. 6C. 7D. 84.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A.23 B. 12 C. 13D. 1 5．若曲线21y=ln 22a x x x ++的切线斜率都是正数，则实数的取值范围是（）A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”C ．没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”7.设,x y 满足约束条件20103x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若z mx y =+的最小值为3-，则m 的值为（）A. 9-B. 73-C. 23- D. 238．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为），则该几何体的体积为（） A ．163 B ．103C ．83D ．9. 古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山。

天津市南开中学高二数学下学期期中试卷(含解析)

天津市南开中学2014-2015学年高二（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015春•天津校级期中）i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后求出复数对应点，判断即可．解答：解：复数==，复数对应点的坐标（）在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数的几何意义，复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．（2015春•天津校级期中）函数f（x）=2x3﹣4x 的单调递减区间是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出函数的导函数，令导函数小于0，求出x的范围，写成区间的形式即为函数的单调递减区间解答：解：因为f′（x）=6x2﹣4=6（x+）（x﹣），令f′（x）＜0，解得﹣＜x＜所以函数f（x）=2x3﹣4x 的单调递减区间（﹣，）．故选：C．点评：本题考查根据导函数的符号与函数单调性的关系，求函数的单调区间，属于基础题．3．（2015春•天津校级期中）某班级要从4名男生、3名女生以及3位任课教师中选派一位男生，一位女生，一位任课教师共3人参加社区服务，那么不同的选派方案的种数为（）A．12 B．24 C．36 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，根据分步计数原理即可解决．解答：解：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，故有C41C31C31=36种，故选：C．点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题．4．（2015春•天津校级期中）设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0 相切于点（1，﹣11），则实数b的值是（）A． 1 B．﹣1 C． 3 D．﹣3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程即可解得．解答：解：求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即：1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12，解得：a=1，b=﹣3．故选：D．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，运用导数的几何意义和正确求导是解题的关键．5．（2015春•天津校级期中）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞f（）成立．运用类比的思想方法可得下列结论（1）f（x）=sinx，（0＜x＜π）有＞f（）成立（2）f（x）=lnx有＜f（）成立（3）f（x）=x3，（x＞0）有＞f（）成立（4）f（x）=tanx，（0＜x＜）有＞f（）成立其中，正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D． 4个考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到＞f（）成立，再根据函数图象的特征，即可类比得到相应的不等式．解答：解：∵函数y=2x上任意两点A，B两点之间函数图象的上方，∴函数y=2x上的图象是向下凹的，可得不等式＞f（），据此，（1）y=sinx（x∈（0，π））图象可以看出：y=sinx（x∈（0，π））图象是向上凸的，故可知＜f（）成立，故不正确；（2）f（x）=lnx是向下凹的，有＞f（）成立，故不正确；（3）f（x）=x3，（x＞0）是向下凹的，有＞f（）成立，故正确；（4）f（x）=tanx，（0＜x＜）是向下凹的，有＞f（）成立，故正确．故选：B．点评：本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法．6．（2015春•天津校级期中）已知函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围是（）A．a＜B．a≤C．a＜且a≠0 D．a＜或a≠0考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．解答：解：∵f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7，∴f'（x）=3ax2﹣4x+4∵函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，∴△=（﹣4）2﹣4×3a×4＞0且a≠0∴a＜且a≠0故选：C点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．7．（2015春•天津校级期中）设f（x）=2|x|，则f（x）dx=（）A．B．C．D．考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：原积分转化为=2﹣x dx+2x dx，再根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：∵f（x）=2|x|，则f（x）dx=2﹣x dx+2x dx=﹣2﹣x•|+2x•|=﹣（1﹣4）+（16﹣1）=（3+15）=，故选：C．点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．8．（2015春•天津校级期中）函数y=的最大值为（）A．B． 1 C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先求函数的定义域，然后两边平方，将式子整理为关于x的一元二次方程，该方程有解，则判别式非负构造出关于y的不等式，解得y的最值，并求出取得最值时对应的x的值是否在定义域内即可．解答：解：由题意得2x﹣x2≥0得0≤x≤2，故定义域为[0，2]．将原式两边平方整理后得：（y2+1）x2+（2y2﹣2）x+y2=0，该方程有实数解，所以△=（2y2﹣2）2﹣4y2（y2+1）≥0．解得．将代入原方程得x=．符合题意．故．故选：A．点评：本题考查了判别式法求函数的值域，要注意取得最值时对应的自变量是否在函数的定义域内取值．二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．9．（2015春•天津校级期中）函数f（x）=xsin（2x+5）的导数为sin（2x+5）+2xcos（2x+5）．考点：简单复合函数的导数．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则和复合函数的求导法则计算即可．解答：解：f′（x）=x′sin（2x+5）+x（sin（2x+5））′=sin（2x+5）+2xcos（2x+5），故答案为：sin（2x+5）+2xcos（2x+5），点评：本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题．10．（2015春•天津校级期中）f（x）=x3﹣4x+4的极大值点为x= ﹣2 ．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：先求导，再导数等于0，判断函数的单调性，得到函数的极值点．解答：解：∵f（x）=x3﹣4x+4，∴f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=0，解得x=﹣2或x=2，当f′（x）＞0时，解得x＜﹣2或x＞2，函数单调递增，当f′（x）＜0时，解得﹣2＜x＜2，函数单调递减，∴当x=﹣2时，函数有极大值，∴f（x）=x3﹣4x+4的极大值点为x=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是判断函数的单调性，属于基础题．11．（2014春•玉田县期中）已知2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0（其中p，q∈R）的一个根，则p+q= 38 ．考点：实系数多项式虚根成对定理．专题：数系的扩充和复数．分析：利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出．解答：解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0（其中p，q∈R）的一个根，∴﹣2i﹣3也是关于x的方程2x2+px+q=0（其中p，q∈R）的一个根．∴2i﹣3+（﹣2i﹣3）=﹣，（2i﹣3）（﹣2i﹣3）=．解得p=12，q=26．∴p+q=38．故答案为：38．点评：本题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于基础题．12．（2011•清城区一模）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最小值是﹣15 ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：先求导y′=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），从而判断函数的单调性，再求最小值即可．解答：解：y′=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），则y=2x3﹣3x2﹣12x++5在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，∴y min=2×8﹣3×4﹣12×2+5=﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题考查了导数的应用，属于基础题．13．（2015春•天津校级期中）①已知抛物线y2=2x上的点与A（0，6）距离最近的点的坐标为（2，2）；②已知不等式3ax﹣2lnx≥0对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．考点：抛物线的简单性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①设抛物线上一点P（y2，y），运用两点的距离公式，再求导数，求得单调区间，即可得到最小值点；②运用参数分离，可得a≥（）max，令y=，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到a的范围．解答：解：①设抛物线上一点P（y2，y），令t=|PA|2=y4+（y﹣6）2，由于t′=y3+2y﹣12，方程y3+2y﹣12=0的解为y=2，当y＞2时，t′＞0，当y＜2时，t′＜0，即有y=2取得极小值，且为最小值．则有所求点P（2，2）；②不等式3ax﹣2lnx≥0对任意x＞0恒成立，即为a≥（）max，令y=，y′=，当x＞e时，y′＜0，当0＜x＜e时，y′＞0，即有x=e处函数y取得极大值，且为最大值，即有a≥，解得a≥．故答案为：（2，2），[，+∞）．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查导数的运用：求最值，运用参数分离和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．14．（2013秋•宣城期末）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= 6 ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：由已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则必有f′（2）=0，且在x=2的左侧附近f′（x）＞0，右侧附近f′（x）＜0，据此即可求出c的值．解答：解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键．15．（2015春•天津校级期中）给出下列四个命题：（1）对于任意的n＞4，n∈Z，2n＞n2（2）对于任意实数a，b，总有2（a2+b2）≥（a+b）2（3）+＜2（4）平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分．这四个命题中，真命题的序号为（1）、（2）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．分析：（1）n＞4，且n∈Z时，2n＞n2恒成立；（2）由基本不等式得出a2+b2≥2ab，从而得2（a2+b2）≥（a+b）2成立；（3）用分析法证明+＜2成立；（4）画图表示平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分．解答：解：对于（1），任意的n＞4，n∈Z，都有2n＞n2，∴命题（1）正确；对于（2），任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2，∴命题（2）正确；对于（3），若+＜2，则3+7+2＜，即＜5，∴21＜25，∴命题（3）成立；对于（4），平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分，如图所示；∴命题（4）正确．综上，以上正确的命题是（1）、（2）、（3）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）．点评：本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，考查了不等式的证明与应用问题，考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．16．（2015春•天津校级期中）在区间[0，1]上给定曲线y=x2，如图所示，0＜t＜1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（，1）．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：首先利用定积分分别求出S1，S2，得到函数g（t），然后分析其单调性．解答：解：由题意S1==（t2x﹣）|=，S2==（）|=，所以g（t）=S1+S2=，g'（t）=4t2﹣2t=2t（2t﹣1），令g'（t）＞0解得t＞或t＜0，又0＜t＜1，所以函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（，1）；故答案为：（，1）．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以及利用导数求函数的单调区间；属于经常考查的题型．三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2015春•天津校级期中）求证：对于任意的x∈R，e x≥1+x（e为自然对数的底数）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：证明题；导数的综合应用．分析：构造函数f（x）=e x﹣（1+x），从而求导f′（x）=e x﹣1，从而判断函数的单调性即最值，即可证明．解答：证明：令f（x）=e x﹣（1+x），则f′（x）=e x﹣1，故f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故f（x）≥f（0）=1﹣（1+0）=0；故e x﹣（1+x）≥0，即对于任意的x∈R，e x≥1+x．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质与不等式的关系应用，属于中档题．18．（2015春•天津校级期中）n为正整数，求证：1•（n+1）+2•n+3•（n﹣1）+…+（n+1）•1=（n+1）（n+2）（n=3）考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立；最后作答即可．解答：证明：设f（n）=1•（n+1）+2•n+3•（n﹣1）+…+（n+1）•1．（1）当n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；（2）设当n=k时等式成立，即1•（k+1）+2•k+3•（k﹣1）+…+（k+2）•2+（k+1）•1=（k+1）（k+2）（k+3），则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）+（k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）+（k+2）（k+2+1）=（k+2）（k+3）（k+4），即n=k+1时等式也成立；∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立．点评：本题考查数学归纳法的证明，需要牢记数学归纳法证明的步骤，特别要注意从k到k+1等式的形式的变化、区别．19．（2015春•天津校级期中）用总长29.6米的钢条制作一个长方体容器的框架．如果所制容器底面一边的长比另一边的长多1米，那么高为多少时容器的容积最大？最大的容积是多少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．解答：解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+1）m，高为：=6.4﹣2x．由6.4﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜3.2，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+1）（6.4﹣2x）（0＜x＜3.2）整理，得y=﹣2x3+4.4x2+6.4x，∴y′=﹣6x2+8.8x+6.4令y′=0，有﹣6x2+8.8x+6.4=0，即15x2﹣22x﹣16=0，解得x1=2，x2=﹣（不合题意，舍去）．从而，在定义域（0，3.2）内只有在x=2处使y′=0．由题意，若x过小（接近0）或过大（接近3.2）时，y值很小（接近0），因此，当x=2时y取得最大值，y最大值=﹣2×8+4.4×4+6.4×2=14.4，这时，高为6.4﹣2×2=2.4．答：容器的高为2m时容积最大，最大容积为14.4m3．点评：本题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．20．（2015春•天津校级期中）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣2x+1；（1）求函数曲线在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）不单调，求参数a的范围；（3）曲线C：y=f（x）与（1）中的切线只有一个公共点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；（2）求出函数f（x）的定义域，化简f′（x）的表达式，将条件转化为：f′（0）=0有解，对讨论a与0的关系，根据导数与函数的单调性，以及二次函数的图象与性质，分别列出不等式组，求出a的取值范围；（2）将条件转化为：方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与0、的大小，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性与特殊的函数值，分别求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．解答：解：（1）由题意得，，且f（0）=1，所以曲线在x=0处的切线斜率k=f′（0）=﹣1，则曲线在x=0处的切线方程是y﹣1=﹣x，即x+y﹣1=0；（2）函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），且=，因为函数f（x）不单调，所以f′（0）=0有解，即2ax2+（2a﹣2）x﹣1=0在（﹣1，+∞）上有解，①当a=0时，方程为﹣2x﹣1=0，得x=＞﹣1，成立，②当a≠0时，函数y=2ax2+（2a﹣2）x﹣1的对称轴x=，所以或，解得a＞0或a＜0，综上可得，参数a的范围是R；（3）由（1）得，切线与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），x∈（﹣1，+∞），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0，则h′（x）=2ax﹣1+==，①当a=0时，h′（x）=﹣=0，得x=0，∵当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，当x＞0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是函数h（x）的极大值点，也是方程h（x）=0的唯一解；②当a≠0时，则h′（x）==0，解得x=0或x=﹣1，（i）当a＜0时，，∴当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，当x＞0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，则x=0是函数h（x）的极大值点，也是方程h（x）=0的唯一解；（ii）当a＞0时，若a=，则h′（x）=（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，列表如下：∴h（﹣1）＜h（0）=0，而h（）=＞0，∴方程h（x）=0在（，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；若a＞，则h′（x）=0两根x1=0，x2=∈（﹣1，0），同理可得方程h（x）=0在（﹣1，）上还有一解，则h（x）=0解不唯一，综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤0或a=}．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义以及图象问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了构造法和求导判断函数的单调性的应用，以及学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．。

南开中学数学高二下期中提高卷(课后培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -3．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．44．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 5．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=6．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（）A ．12B ．32C ．12-D ．32-7．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=8．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 10．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3411．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π412．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π413．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 14．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(0分)[ID ：13531]ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =A ．1233a b +B ．2133a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题16．(0分)[ID ：13726]函数()sin 52sin x f x x+=-的最大值为__________.17．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω＝________.19．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.20．(0分)[ID ：13689]已知平面内两点P 、Q 的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则PQ 的单位向量0a =_____21．(0分)[ID ：13688]若A ，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.22．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．23．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________． 24．(0分)[ID ：13637]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.25．(0分)[ID ：13633]已知函数()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，若4f m π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为___. 三、解答题26．(0分)[ID ：13794]已知(1,2)a =，b (3,2)=-，当k 为何值时. （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？27．(0分)[ID ：13792]已知(),n n n a x y =，且1112y x ==，1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ （1）求向量2a 的坐标，并用,n n x y 表示1,n x +用,n n x y 表示1n y +；（2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .28．(0分)[ID ：13810]已知圆C 经过1(1,0)M -，2(3,0)M ，3(0,1)M 三点． (1)求圆C 的标准方程；(2)若过点N 1)的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角． 29．(0分)[ID ：13802]设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 30．(0分)[ID ：13800]已知2,1a b ==，且向量a 、b 不平行，且()27,c ta b d a tb t R =+=+∈.（1）若2e =，且0a b e ++=，求向量a 在b 方向上的投影；（2）若3a b -=，且向量c 与d 夹角为钝角，求t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C 11．A 12．A 13．B15．B二、填空题16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为19．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量20．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力22．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义23．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量24．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件25．【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围由于恒成立即求从而得出的取值范围【详解】解：当时由函数在上是增函数得则又故取得所以因为根据函数的图像可得所以【点睛】本题考查了三角函数的单调性不等式恒成立等三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题4．B解析：B 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ．【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 5．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．6．A解析：A 【解析】【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.7．D解析：D 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos sin 22y x x x x ⎫∴=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 2cos 244x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.8．C解析：C 【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．9．A解析：A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 10．C解析：C 【解析】【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果．【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=，∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0yx xα=≠. 11．A解析：A 【解析】因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π．故选：A ． 12．A 解析：A 【解析】把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.13．B解析：B 【解析】由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CM AC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．14．B解析：B 【解析】【分析】根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为||OA OB OB ⋅,故④正确.()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BDDA＝CBCA＝12，∴BD＝13BA＝13(CA－CB)＝13b－13a，∴CD＝CB＋BD＝a＋13b－13a＝23a＋13b.二、填空题16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的解析：6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求得最大值．【详解】()sin 52sin x f x x +=-712sin x=-+-，∵1sin 1x -≤≤，所以12sin 3x ≤-≤，77732sin x ≤≤-，所以4()63f x -≤≤， ∴sin 1x =时，max ()6f x =．故答案为：6. 【点睛】本题考查求函数的最值，考查正弦函数的性质．解题方法是利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求解．17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=，又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】【分析】【详解】函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 19．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量解析：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】可求出()12a b λλλ+=++，，根据a 与a b λ+的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可．【详解】：()12a b λλλ+=++，； ∵a 与a b λ+的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行； ∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．20．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式解析：43(,)55±-【解析】【分析】利用向量PQ 的单位向量的计算公式0PQ a PQ=±，即可求解.【详解】由题意，两点,P Q 的坐标分别为(2,4),(2,1)-，可得向量(4,3)PQ =-，所以向量PQ 的单位向量043(,)55PQ a PQ=±=±=±-.故答案为：43(,)55±-. 【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力解析：3【解析】【分析】计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】A ，(cos ,sin )()B R θθθ∈()()2222cos 2sin 522sin 22cos 4sin 594AB πθθθθθ⎛⎫=-++=+-=-+≤ ⎪⎝⎭当()324k k Z θππ=+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.22．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉-21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为．考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．23．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】【分析】求得,AB AC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式.【详解】依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x ==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,15AB AC AB AC x =-=-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.24．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-．考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．25．【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围由于恒成立即求从而得出的取值范围【详解】解：当时由函数在上是增函数得则又故取得所以因为根据函数的图像可得所以【点睛】本题考查了三角函数的单调性不等式恒成立等解析：[)0,+∞【解析】【分析】根据单调区间求出θ的取值范围，由于4f m π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，即求max4f π⎛⎫⎪⎝⎭，从而得出m 的取值范围. 【详解】解：()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭当3,86x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3243x ππθθθ-+≤+≤-+，由函数()f x 在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数得 32423k k πππθπθπ⎧-+≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩k Z ∈，则()2243k k k Z πππθπ-≤≤+∈，又02πθ≤≤，故取0k =得，03πθ≤≤，所以5+226πππθ≤≤，因为cos 42f ππθ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数cos y x =的图像可得，所以max04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 0m ∴≥.【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题，解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最值问题来进行求解.三、解答题 26．（1) 19k =（2) 13k =-,反向【分析】（1）计算得到(3,22)ka b k k +=-+，3(10,4)a b -=-，计算()(3)0ka b a b +⋅-=得到答案.（2）根据()(3)ka b a b +-∥得到4(3)10(22)k k --=+，计算并判断方向得到答案，【详解】（1)(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-()(3)ka b a b +⊥-，得()(3)10(3)4(22)2380ka b a b k k k +⋅-=--+=-=，19k = （2)()(3)ka b a b +-∥，得4(3)10(22)k k --=+，13k =- 此时1041,(10,4)333ka b ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭，所以方向相反.【点睛】本题考查了向量的平行和垂直，意在考查学生的计算能力.27．（1）()02,；11n n n n n n x x y y ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩；（2）413n n B -=【解析】【分析】先对1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭化简，再结合1112y x ==可求得2a ，【详解】（1）1111n n n n n n n n x x x y y y ++⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫==⎪-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭，即11n n n n n nx x y y ++⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，当1n =时，21121102x x y y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，所以()20,2a =；（2）1n n n x x +=①，1n n n y y ++②，将①②同时平方，得()222123n n n n n n n x x x y y +==+-⋅③，22213n n n n n y x y y +=++⋅④，③+④得()2222114n n n n xy x y+++=+，即2211224n n n n x x y y +++=+，222n n n n y b a x ==+，所以14n nb b +=，又1222111x a y =+=，所以{}n b 是以1为首相，4为公比的等比数列，所以 ()11441143nn nB b --==-本题考查矩阵的乘法公式应用，向量的模长公式应用，等比数列前n 项和的求解，属于中档题28．(1) 22(1)(1)5x y -++= (2) 30°或90°．【解析】【分析】（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆C 的一般方程，再化为标准方程；解法二：求出线段12M M 和13M M 的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算3CM 为圆的半径，即可写出圆C 的标准方程；（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线l 的距离为1，并对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线l 的斜率不存在，得出直线l 的方程为2x =，验算圆心到该直线的距离为1；二是当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()312y k x --=-，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为1得出关于k 的方程，求出k 的值．结合前面两种情况求出直线l 的倾斜角．【详解】（1）解法一：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ∴2,2,3,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩即圆C 为222230x y x y +-+-=， ∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=；解法二：则12M M 中垂线为1x =,13M M 中垂线为y x =-， ∴圆心(,)C x y 满足∴(1,1)C -，半径3145r CM ==+=，∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=．（2）①当斜率不存在时，即直线:2l x =到圆心的距离为1，也满足题意，此时直线l 的倾斜角为90°，②当斜率存在时，设直线l 的方程为(2)31y k x =-+，由弦长为4，可得圆心(1,1)C - 到直线l 541-=，2|(12)131|11k k-++-=+，∴3k =l 的倾斜角为30°，综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°．【点睛】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．29．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx 22=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈． ()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤，实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B ，=-. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间. 30．（1）12-；（2）17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据2e =可求a b ⋅的值 ,从而可求向量a 在b 方向上的投影. （2）先求出a b ⋅的值，再根据0c d ⋅<且它们不共线可求t 的取值范围. 【详解】（1）因为0a b e ++=，故e a b =--，因为2e =，故22242e a a b b ==+⋅+，所以12a b ⋅=-，故向量a 在b 方向上的投影为11212a b b-=-⋅=.（2）因为3a b -=，故2232a a b b =-⋅+即1a b ⋅=，因为向量c 与d 夹角为钝角，故0c d ⋅<即()()270ta b a tb +⋅+<，整理得到221570t t ++<，解得172t -<<-. 若,c d 共线反向，则存在0s <，使得c sd =，故27ta b sa stb +=+，因,ab 不共线，故270t s st s =⎧⎪=⎨⎪<⎩ ，解得2s =-.综上，t 的取值范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.本题考查平面向量基本定理、向量的数量积及其几何意义，注意两个向量的夹角为钝角时，则它们的数量积为负且不共线反向，本题为易错题且为中档题.。

重庆市沙坪坝区高二数学下学期期中试题文-人教版高二全册数学试题

..DOC 版.重庆市沙坪坝区2016-2017学年高二数学下学期期中试题文（满分150分，考试时间120分钟）一.选择题(每小题5分,共60分，每小题只有一个选项是正确的,把正确答案填写在括号内)1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则AB =（）A ． {}2,4B ．{}4,6C ．{}6,8D ．{}2,8 2.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中为虚数单位，则a = （） A ． 3- B ． 2- C ．2 D ． 3.函数2323log (2)y x x x =--++的定义域为( )A.()(),13,-∞-+∞B.()[),13,-∞-+∞C.(]2,1--D.(][)2,13,--+∞4.已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线互相垂直，则ab的值为( ) A.13 B.23 C.23- D.13- 5.已知命题11:4p a >，命题2:,10q x R ax ax ∀∈++>，则p 成立是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6 .函数)1n(1)(2+=x x f 的图象大致是（）7.若1(,1)x e∈，设ln ,a x =1ln 2x b =，ln xc e =则,,a b c 的大小关系为( )A. c b a >>.B. b a c >>C. a b c >>D. b c a >> 8.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( ) A ．5k ≤ B ．4k >C ．3k >D ．4k ≤9.若函数)21(log )(2+-=ax x x f a 有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.），（10B.)2,1(C. )2,1()1,0(D.),2(+∞10. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，2且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁 11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递增，若实数a 满足1(2)(4)a f f ->，则a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()(),13,-∞+∞ C ．()1,3- D ．()3,+∞12. 已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，21(01)()1(1)x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，()g x 为偶函数，当0x ≥时，2()44g x x x =-+-，若存在实数a ，使得 ()()f a g b <成立，则实数b 的取值范围是（）A ．()1,1-B ．11(,)33- C ．()()3,11,3-- D ．()(),33,-∞-+∞二．填空题（每小题5分,共20分） 13.设函数3log ,09,()(4),9,x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩则(13)f 的值为_________14.设函数()2log ,04,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是_________.15.已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ,则yx 311+的最小值是_________. 16.已知函数4()log f x x =，实数n m 、满足n m <<0，且()()n f m f =，若()x f 在2,m n ⎡⎤⎣⎦的最大值为2，则____________nm=．三．解答题（共70分） 17. （本小题满分12分）设:p 实数x 满足：03422<+-a ax x （0>a ），:q 实数x 满足：121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x ，()2,1∈m（1）若41=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）..DOC 版.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值，其导数/()f x 的图像经过点(1,0),(2,0)两点，如图所示（1）求0x 的值；（2）求,,a b c 的值. 19. （本小题满分12分）近年我国北方地区空气污染较为严重.现随机抽取去年（365天）内100天的空气中 2.5PM 指数的检测数据，统计结果如下：2.5PM[]0,50 (]50,100 (]100,150 (]150,200 (]200,250 (]250,300300>空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元），2.5PM 指数为x ，当x 在区间[]0,100内时对企业没有造成经济损失；当x 在区间(]100,300内时对企业造成经济损失满足一次函数关系（当 2.5PM 指数为150时造成的经济损失为500元，当 2.5PM 指数为200时，造成的经济损失为700元）；当 2.5PM 指数大于300时造成的经济损失为2000元. （1）试写出()S x 的表达式；（2）根据去年样本估计在今年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为北方去年空气重度污染与供暖有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. （本小题满分12分）已知函数()log a f x x =，()log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（1）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有2()()f x g x ≥恒成立，求实数的取值范围；非重度污染重度污染合计供暧季非供暖季合计100()20P x k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k2.07 2.703.74 5.02 6.63 7.874（2）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()2()()F x g x f x =-的最小值是2-,求实数a 的值.21. （本小题满分12分）已知函数.ln )(,21)(2x e x g x x f ==（1）设函数),()()(x g x f x F -=求)(x F 的单调区间并求最小值;（2）若存在常数,,m k 使得m kx x f +≥)(对R x ∈恒成立，且m kx x g +≤)(对),0(+∞∈x 恒成立，则称直线m kx y +=为函数)(x f 与)(x g 的“分界线”，试问：)(x f 与)(x g 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由. 选作题22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线的参数方程为12(1122x t y t 为参数）⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，点A的极坐标为)4，π，设直线与圆C 交于点,P Q (1)写出圆C 的直角坐标方程； (2)求AP AQ ⋅的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||22|.f x x x =-++ （1）解不等式()5;f x >（2）若不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，求的取值范围...DOC 版.数学答案（文科） 2017.5一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBDDAADCBBCC二．填空题13.2 14. (0，1]. 15.4 16. 16 三．解答题：17．（本小题满分12分）解答：（1）:3(0),p a x a a <<>当14a =时，13:44p x <<………2分 1:12q x << q p ∧为真，∴p 真且q 真。

南开实验学校2015-2016学年高二下学期期初考试数学试题及答案(理)

南开实验学校2015-2016学年第二学期期初考试高二数学（理科）本试卷共2面，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，收卷时只交答题卷。

一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。

每题5分，满分60分）1、若'0()3f x =-，则=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 2．'0()0=f x 是函数()f x 在点0x 处取极值的（） A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3、已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A12B 1C 2D 3 4、函数3239y x x x =--(22)x -<<有（）A ．极大值5，无极小值B ．极小值﹣27，无极大值C ．极大值5，极小值﹣27D ．极大值5，极小值﹣1122522π=--⎰-dx x x m、，则m 等于（）A ．-1B ．0C ．1D ．26、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．177、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角8、设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是( )9、已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln =++f x x xf x ，则'(2)f 的值等于（）A ．2B ．﹣2C ．49-D ．4910、已知'()f x 是奇函数()f x的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．0)1(=-f 0>x 0)()(>-'x f x f x 0)(>x f x )1,0()1,( --∞),1()0,1(+∞- )1,0()0,1( -),1()1,(+∞--∞11、给出命题：若b a ,是正常数，且),,(,,+∞∈≠0y x b a 则yx b a y b x a ++≥+222)((当且仅当ybx a =时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数)),(()(2102192∈-+=x x x x f 的最小值及取最小值时的x 值分别为（） A ．1162+，132B ．1162+，C ．25，132D ．25，1512、设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（） A. [-32e ，1） B. [-32e ，34） C. [32e ，34） D. [32e，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f = ；14、已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为15、已知函数1()sin 2f x x x =-，则()f x 在[]0,π上的值域为16、设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ= ；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）. 17.（本小题满分11分）求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积(画出图形)。

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2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）根据如表数据，得到的回归方程为=x+9，则=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（5分）如图，是2017年P大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为（）A．86，86 B．85，84 C．84，86 D．86，853．（5分）对如图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（）A．12种B．18种C．20种D．22种4．（5分）（3x﹣）6的展开式中，有理项（x的指数为整数）共有（）A．1项 B．2项 C．3项 D．4项5．（5分）411除以5的余数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知某几何体由相同的n个小正方体构成，其三视图如图所示，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币正好出现1枚正面向上、1枚反面向上的次数为X，则X的数学期望是（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有（）A．14种B．16种C．20种D．30种9．（5分）某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.110．（5分）若函数f（x）=alnx+ax2﹣2x在x∈（1，2）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，） C．（0，1） D．（0，）11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|AF|=2，=2，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x12．（5分）已知函数f（x）=x+xlnx，若a∈Z，且直线y=ax在曲线y=f（x+1）的下方，则a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜0）=0.1，则P（2＜X＜4）=．14．（5分）已知函数f（x）=x3+（a+1）x2+bx+c的导函数为f′（x），在区间（﹣2，0）内任取两个实数a，b，则f′（1）•f′（﹣1）＜0的概率为．15．（5分）已知（2x﹣1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6．则a1+2a2+3a3+…+6a6=．16．（5分）已知P为椭圆+=1上一点，A、B分别为椭圆的上、下顶点，直线PA、PB分别与直线x=﹣2交于点C、D，O为坐标原点，则△OCD的面积的最小值为．三、解答题（共70分）17．（10分）已知（x+）2n的展开式中所有系数之和比（3﹣x）n的展开式中所有系数之和大240．（1）求（x+）2n的展开式中中的常数项（用数字作答）；（2）求（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和（用数字作答）18．（12分）在我校自编操比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首．（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；（2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列及数学期望E（X）．19．（12分）北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名四川省网友的概率；（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．20．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D、E 分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA1上．（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；（2）若二面角F﹣DE﹣A的大小为，求AF：AA1的值．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦距等于短轴长，设不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，满足直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C过点（2，0），求△OMN面积的最大值．22．（12分）已知曲线f（x）=（x+a）1nx（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（1）求f（x）的解析式．（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤k（x2﹣1）恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：lnn++≤1+++…+，n∈N•．2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）根据如表数据，得到的回归方程为=x+9，则=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：由题意可得=（4+5+6+7+8）=6，=（5+4+3+2+1）=3，∵回归方程为=x+9且回归直线过点（6，3），∴3=6b+9，解得b=﹣1，故选：D．2．（5分）如图，是2017年P大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为（）A．86，86 B．85，84 C．84，86 D．86，85【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分95和一个最低分77后，所剩数据84，85，85，87，89的平均数为：（84+85+85+87+89）=86；众数为：85．故选：D．3．（5分）对如图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（）A．12种B．18种C．20种D．22种【解答】解：若AD相同，先染A处，有3种方法，在染B处2种方法，第三步染C有2种方法，共有3×2×2=12种，若AD不同，先染A处，有3种方法，再染D处2种方法，第三步染B有1种方法，第四步染C有1种方法，共有3×2×1×1=6种，根据分类计数原理可得共有12+6=18种，故选：B．4．（5分）（3x﹣）6的展开式中，有理项（x的指数为整数）共有（）A．1项 B．2项 C．3项 D．4项=•（﹣1）r•36﹣r•，【解答】解：（3x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣为整数，求得r=0，2，4，6，共计4项，故选：D．5．（5分）411除以5的余数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：41除以5的余数为4，42除以5的余数为1，43除以5的余数为4，44除以5的余数为4，…411除以5的余数为4，故选：D．6．（5分）已知某几何体由相同的n个小正方体构成，其三视图如图所示，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：主视图，左视图以及俯视图都是相同的，首先可以判断该几何体的底面共有4个小正方体，而根据主视图与左视图可知第二行有1个小正方体，故共有5个小正方体．故选：B．7．（5分）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币正好出现1枚正面向上、1枚反面向上的次数为X，则X的数学期望是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现1枚正面向上1枚反面向上的概率为=，∴X～B（4，）∴EX=4×=2．故选：C．8．（5分）某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有（）A．14种B．16种C．20种D．30种【解答】解：把语文和英语看作一个复合元素和数学全排，形成了三个空，把音乐和体育插入到其中2个空中，故有A22A22A32=24种，若第一节排数学，3，4节只能排语文和英语，2，5节只能排音乐和体育，故有A22A22=4种，故第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有24﹣4=20种，故选：C．9．（5分）某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1【解答】解：A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中利敌机的机首，概率为0.2×0.2=0.04；或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为0.9×0.1=0.09，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1+0.04+0.09=0.23，故选：A．10．（5分）若函数f（x）=alnx+ax2﹣2x在x∈（1，2）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，） C．（0，1） D．（0，）【解答】解：f′（x）=+ax﹣2，∴f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，即+ax﹣2≤0，在x∈（1，2）上成立，即a≤在x∈（1，2）上成立．令g（x）=，则g′（x）=＜0，∴g（x）=，在x∈（1，2）上单调递减，∵g（2）=，∴a＜．故选：B．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|AF|=2，=2，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解答】解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D由=2，可知：丨丨=2丨丨，设|BF|=a，则|BC|=2a，|BD|=a，∴∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=2，|AC|=2+3a，∴2|AE|=|AC|，∴2+3a=4，即a=，|CF|=2，∴sin∠BCD==，解得p=1，∴抛物线方程为y2=2x．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=x+xlnx，若a∈Z，且直线y=ax在曲线y=f（x+1）的下方，则a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵直线y=ax在曲线y=f（x+1）的下方，∴ax≤f（x+1）=x+1+（x+1）ln（x+1）=（x+1）[1+ln（x+1）]，令g（x）=f（x+1）﹣ax=（x+1）[1+ln（x+1）]﹣ax，则g min（x）≥0．g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，令g′（x）=0得x=e a﹣2﹣1，∴当﹣1＜x＜e a﹣2﹣1时，g′（x）＜0，当x＞e a﹣2﹣1时，g′（x）＞0．∴g（x）在（﹣1，e a﹣2﹣1）上单调递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）上单调递增．∴g min（x）=g（e a﹣2﹣1）=a﹣e a﹣2≥0．∴a≥e a﹣2．∵a∈Z，经检验，a=1，2，3时上式均成立，a=4时，上式不成立，∴a的最大值为3．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜0）=0.1，则P（2＜X＜4）=0.4．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴正态曲线的对称轴是x=2，∴P（X＞4）=P（X＜0）=0.1，∴P（2＜X＜4）=0.5﹣0.1=0.4．故答案为：0.4．14．（5分）已知函数f（x）=x3+（a+1）x2+bx+c的导函数为f′（x），在区间（﹣2，0）内任取两个实数a，b，则f′（1）•f′（﹣1）＜0的概率为．【解答】解：∵f（x）=x3+（a+1）x2+bx+c，∴f′（x）=x2+（a+1）x+b，∵f′（1）•f′（﹣1）＜0，∴（a+b+2）（b﹣a）＜0，在区间（﹣2，0）内任取两个实数a，b，不等式组对应的平面区域如图：∴则f′（1）•f′（﹣1）＜0的概率为．故答案为：．15．（5分）已知（2x﹣1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6．则a1+2a2+3a3+…+6a6=12．【解答】解：∵（2x﹣1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6．两边对x求导可得：6（2x﹣1）5（2x﹣1）′=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5．即12（2x ﹣1）5=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5．令x=1可得：12=a1+2a2+3a3+…+6a6，故答案为：12．16．（5分）已知P为椭圆+=1上一点，A、B分别为椭圆的上、下顶点，直线PA、PB分别与直线x=﹣2交于点C、D，O为坐标原点，则△OCD的面积的最小值为8﹣4．【解答】解：∵P为椭圆+=1上一点，A、B分别为椭圆的上、下顶点，∴P（，2），0≤α≤2π，A（0，2），B（0，﹣2），∴直线PA：，直线PB：=，∵直线PA、PB分别与直线x=﹣2交于点C、D，∴C（﹣2，），D（﹣2，﹣），∴△OCD的面积S=|+|=|4+|，∴当cosα=﹣1时，△OCD的面积的最小值为S min=8﹣4．故答案为：8﹣4．三、解答题（共70分）17．（10分）已知（x+）2n的展开式中所有系数之和比（3﹣x）n的展开式中所有系数之和大240．（1）求（x+）2n的展开式中中的常数项（用数字作答）；（2）求（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和（用数字作答）【解答】解：∵（x+）2n的展开式中所有系数之和比（3﹣x）n的展开式中所有系数之和大240，∴22n=2n+240，解得2n=16，n=4．（1）（x+）2n =（x+）8 ，，由8﹣2r=0，得r=4．∴展开式中中的常数项为；（2）（2x﹣）n =（2x﹣）4 ，展开式的二项式系数之和为．18．（12分）在我校自编操比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首．（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；（2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列及数学期望E（X）．【解答】解：（1）在我校自编操比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，∴甲、乙两班选择不同曲目的概率P==．∴甲、乙两班选择不同曲目的概率为．（2）∵这四个班级总共选取了X首曲目，∴X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：E（X）=+3×=．19．（12分）北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名四川省网友的概率；（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：采用分层抽样重庆抽40人，四川抽取60人，则留言不足50条的网友中重庆0.005×10×40=2人，四川有0.01×10×60=6人，留言不足50条的网友中随机抽取2人，全是重庆人的概率为=，至少抽到一名四川省网友的概率1﹣=；（2）根据频率分布直方图可知：a=（0.0425+0.0325+0.005）×10×40=32，b=40﹣32=8，c=（0.04+0.02+0.005）×10×60=39，d=60﹣39=29，即可完成2×2列联表：K2==≈2.623＜2.706，∴没有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关．20．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D、E 分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA1上．（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；（2）若二面角F﹣DE﹣A 的大小为，求AF：AA1的值．【解答】解：（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D、E分别为棱AB、BC的中点，∴A 1C1∥AC∥DE，∵DE⊂平面FDE，A1C1⊄平面FDE，∴直线A1C1∥平面FDE．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，D（，，0），E（0，，0），设F（1，0，t），t∈（0，2），则=（﹣，0，0），=（，﹣，t），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2t，1），平面DEA的法向量=（0，0，1），∵二面角F﹣DE﹣A的大小为，∴cos==，解得t=，∴AF：AA1=．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦距等于短轴长，设不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，满足直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C过点（2，0），求△OMN面积的最大值．【解答】解：（1）由题意得，b=c，∴b2=a2﹣c2=c2，解得e=；（2）设椭圆方程为，由，解得．∴椭圆方程为．设直线l：y=kx+t（t≠0），联立，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣4=0．再设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．由已知可得：，即，∴k（x1+x2）+t=0．即，解得：．弦长|MN|==，O到MN的距离d=．∴△OMN面积S=．22．（12分）已知曲线f（x）=（x+a）1nx（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（1）求f（x）的解析式．（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤k（x2﹣1）恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：lnn++≤1+++…+，n∈N•．【解答】（1）解：∵f（x）=（x+a）1nx，∴f′（x）=1nx+，∵曲线f（x）=（x+a）1nx（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，∴f′（1）=1+a=1，∴a=0，∴f（x）=x1nx；（2）解：设g（x）=f（x）﹣k（x2﹣1），则g′（x）=lnx+1﹣2kx，设h（x）=lnx+1﹣2kx，则h′（x）=﹣2k=0，k=0，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（1）=1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，不合题意；k＞0，≤1，即k≥，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1﹣2k≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，合题意＞1，即0＜k＜，h（x）在[1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∵x=时，h（x）取得最大值，∵h（1）=0，∴不合题意k＜0，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，不合题意；综上所述，k≥；（3）证明：由（2）k=时，xlnx≤（x2﹣1），∴lnx≤（+x﹣1）．令x=（x＞1）代入得ln≤+，∴lnn﹣ln（n﹣1）+﹣≤，令n=2，得ln2﹣ln1+（﹣1）≤，…n=n，lnn﹣ln（n﹣1）+﹣≤，相加可得lnn ﹣+≤++…+，∴lnn ++≤1+++…+．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。