2.1 数列的概念与简单表示法(优秀课件)

第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法
问题创设
1、考察下面的问题
(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星 每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星 出现的年份依次为 1740，1823，1960，1989，2072，…
(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一 尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将 “一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为
例1、已知数列{an}的通项公式是an=-n2+4n-1， （1）写出这个数列的前4项； （2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？
解：（1）a1 1 4 1 2， a2 4 8 1 3 a3 9 12 1 2， a4 16 16 1 1
注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有 特殊的规律.
一、数列的概念： 按一定次序排列的一列数叫做数列
注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次 叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.
我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*) 简记作{an} 。
我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*) 简记作{an} 。
思考3：{an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. an表示数列{an}中的第n项
二、数列的分类：
1、以项数来分类： （1）有穷数列： 项数有限的数列 （2）无穷数列： 项数无限的数列 2、以各项的大小关系来分类： （1）递增数列： 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0) 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 （2）递减数列： 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0) 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 （3）常 数 列：各项都相等的数列 （4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”
121 如：数列{n2}的第11项是_______
②一些数列的通项公式不是唯一的；
如：数列1，-1，1，-1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式。 如：1，24，8，3，19
例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别 是下列各数：
（1）2，4，6，8； 变题：4，6，8，10
1 ； 例如：若用{an}来表示“2，1，3”这个数列，则a2=____
思考2：能不能把数列“2，1，3”记为{2，1，3}？
不行，{2，1，3}是一个集合，集合中的元素是 没有顺序的
一、数列的概念： 按一定次序排列的一列数叫做数列
注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次 叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.
（2）∵an=-n2+4n-1= -(n-2)2+3 ∴当n=2时，an取到最大值3
注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数
(3) -13是这个数列中的项吗？
思考：上述数列的通项an=-n2+4n-1与函数f (x)= -x2+4x-1 有什么不同？
递增数列：对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0) 递减数列：对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0)
（1）5，8，11，14，17 （2）2，4，8，16，32
思考：你能否利用上面两题的条件求出数列{an}的 通项公式？
总结
数列的概念 通项公式 列表 图象
有穷数列
项数
函 数
数 列
表示方法 分类
大 小 递 增 数 列 递 减 数 列
无穷数列 常 数 列
摆 动 数 列
检测反馈
基础题组
1.根据数列的通项公式填表：
，
则 a17
29
.
6.数列11，13，15，…，2n+1的项数是 （ C） A．n B．n-3 C．n-4 D．n-5
本课结束
例2、已知数列{an}的通项公式为an=n2+n，其中n∈N*， 求证{an}是个递增数列。
证明：∵对任意n∈N*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n) =2n+2>0 ∴{an}是个递增数列
四、数列与函数的关系：
从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N* （或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数 an=f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时， 所对应的一列函数值. 注意，在数列{an}中 项： 序号： a1，a2，a3，…，an，…. 1 ， 2 ， 3 ， …， n ， …
1 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 16 32
古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三 角形数：1，3，6，10，· · ·
类似地，1，4，9，16，25，· · · · · · 被称为正方形数。
这些数有什么共同特点？
一、数列的概念： 按一定次序排列的一列数叫做数列
例如：三角形数 1，3，6，10，… 正方形数 1，4，9，16，… 思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？ 1， 2， 3 1， 3， 2 2 ， 1， 3 2 ， 3， 1 3 ， 1， 2 3 ， 2， 1
an=2n
（2）1，3，5，7；
an=2n+2
变题：-3，-1，1，3
an=2n-1
an=2n-5
（4）9，99，999，9999；
变题：5，55，555，5555
拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数：
练习：课本P31第1，4题
小结
观察法求通项公式： （1)常见数列：正整数列；奇数列，偶数列，平 方数列，三角形数列， （2) 分数列：观察分子、分母的特点。 （3) 指数数列：观察底数、指数的特点。 （4) 各项符号一正一负：
已知数列{an}的第1项（或前几项），且任意一项 an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式 练习：试写出数列1，3，6，10，…的一个递推公式。
练习：写出下列数列{an}的前5项 （1）a1=5，an=an-1+3 (n≥2)； （2）a1=2，an=2an-1 (n≥2)；
n
1
21
2
… …
5
69
…
12
… …
n 3(3+4n)
an
33
… 153
2.下面对数列的理解有四种： * ①数列可以看成一个定义在 上的函数； ②数列的项数是无限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一 群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正 确的序号是（ C ） A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
数列的其他表示方法： 列表法，图象法
如：数列2，4，6，…，2n，…
例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个 三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象.
（1）
（2）
（3）
（4）
思考：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起每一项 都等于它的前一项的2倍再加1，即 an=2an-1+1(n≥2) 则该数列的第5项是什么？
3. 在数列1，2，3，5，8，x，21，34， 55中，x应等于（ C ） A．11 B．12 C．13 D．14
提高题组
2 a an 2n 10n 3 4．已知数列 n 的通项公式
它的最小项是（ D ） A.第一项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第二项或第三项
an kn 5, 且a8 11 5.已知数列 an ，
思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想
这些数列的第n项an是什么？
（ 1） 1 ， 4
，9，16，25， 36 ，49，… ；
，16，32， 64 ，128，… ； ，-1，… ；
（ 2） 2， 4， 8
（3）1，-1，1 ， -1 ，1，-1 ， 1
三、数列的通项公式：Hale Waihona Puke Baidu
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式，简称通项。 例如：an=n2 就是数列1，4，9，16，…的一个通项公式