椭圆离心率求法
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆的离心率是描述椭圆形状程度的一个数值，它是一个无量纲量，通常用字母e表示。
离心率的计算是通过椭圆的半长轴和半短轴来推导得到的。
首先，我们需要明确椭圆的定义。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆具有一对焦点（F1和F2），而且椭圆上的每一点到这两个焦点的距离之和是一个常数（2a）。
椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，并通过椭圆的中心点，而短轴则是与长轴垂直且通过椭圆的中心点的线段。
椭圆的离心率可以通过椭圆的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。
半长轴表示椭圆长轴的一半，即半长轴等于长轴长度的一半，记作a；半短轴表示椭圆短轴的一半，即半短轴等于短轴长度的一半，记作b。
离心率的计算公式如下：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，e表示椭圆的离心率，b表示椭圆的半短轴长度，a表示椭圆的半长轴长度。
举个例子来说明，假设一个椭圆的半长轴的长度是4，半短轴的长度是2，我们可以通过公式来计算其离心率。
首先，计算a的平方：a^2 = 4^2 = 16然后，计算b的平方：b^2 = 2^2 = 4接下来，将b的平方除以a的平方：b^2/a^2 = 4/16 = 1/4最后，计算1减去b的平方除以a的平方的结果：1 - (1/4) = 3/4最后，我们取这个结果的平方根：√(3/4) ≈0.866因此，这个椭圆的离心率约为0.866。
我们可以看到，椭圆的离心率范围是0到1之间的实数，并且离心率越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状越趋近于长条形。
另外，如果我们已知椭圆的焦距（c）和长轴的长度（2a），也可以通过这些参数来计算椭圆的离心率。
这个计算公式为：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦距的长度，a表示长轴的长度。
以上就是计算椭圆离心率的两种方法，通过半长轴和半短轴的长度或者通过焦距和长轴的长度都能得到椭圆的离心率。
椭圆离心率求法
第 1 页 共 2 页离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为_______答案：22变式：若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．变式：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________． 答案：21二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2(2010年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是____ 答案： 53变式：如图所示，A 、B 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率.答案：21-5三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：12121222222221-=+=+=+===cc c PF PF c a c a c e变式：已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m. 又在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m.∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.变式：已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围答案：)1,21[四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆12222=+by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且yxAB第 2 页 共 2 页垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_______________ 解：221222===ADAF e 变式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过左焦点F 1且倾斜角为60的直线l 交椭圆于A,B 两点，若112F A BF =，求椭圆离心率e 。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
求解椭圆离心率的常见方法
ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
离心率求解经典例题
离心率求解经典例题离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它在物理学、天文学以及航天工程等领域中具有重要的应用。
本文将介绍离心率的定义、计算公式以及求解经典例题。
1. 离心率的定义在椭圆的基本参数中，离心率是用来描述椭圆形状的一个值。
离心率的定义是：离心率等于焦点间距离与长轴的比值。
假设椭圆的焦点间距离为2a，椭圆的长轴长度为2b，则离心率e的计算公式为：e = a / b离心率的值范围在0到1之间，当离心率为0时，表示椭圆为一个圆形；当离心率为1时，表示椭圆为一个抛物线；当离心率大于1时，表示椭圆为一个双曲线。
2. 离心率的计算在求解离心率时，需要已知椭圆的焦点间距离和长轴长度。
给定坐标系下的椭圆方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。
可以通过知道椭圆的焦点坐标及椭圆上一点的坐标来求解离心率。
假设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，椭圆上一点的坐标为(x, y)。
根据距离公式，有：√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2) = 2a将椭圆方程化简后，可得到：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1将上述两个方程联立，并且消去变量y，可以得到椭圆上一点坐标x的关系表达式。
将x的值代入任一方程中，即可求得y的值。
利用x和y的值，可以计算出离心率e。
3. 求解经典例题现在通过一个经典的例题来说明离心率的求解过程。
例题：已知一个椭圆的焦点坐标为(F1, 0) = (-2, 0)和(F2, 0) = (2, 0)，椭圆上一点的坐标为P(x, y) = (4, 3)。
求此椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，我们可以先求出椭圆长轴的一半长度a和短轴的一半长度b。
根据焦点坐标和椭圆上一点的坐标，可以得到a、b的计算公式如下：a = (PF1 + PF2) / 2 = (√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2)) / 2 = (√((4 +2)^2 + 3^2) + √((4 - 2)^2 + 3^2)) / 2 = (11 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4b = √(a^2 - c^2) = √(4^2 - 2^2) = √(16 - 4) = √12 = √(4 * 3) = 2√3根据得到的a和b的值，可以计算离心率e：e = a / b = 4 / (2√3) = 2 / √3 = (2 / √3) * (√3 / √3) = (2√3) / 3 ≈ 1.155所以，此椭圆的离心率约为1.155。
椭圆离心率求法经典全面
离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1,双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = \. 一、直接求出“、J 求解《巳知圆锥曲线的标准方程或4、e 易求时，可利用率心率公式0 =上来解决。
a例1:已知双曲线^y-y 2 =1 (d>0)的一条淮线与抛物线y 2 =-6x 的准线重合, 则该双曲线的离心率为()A •迺B. 22 2Q 2 解：抛物线y 2 =-6x 的准线是X = -,即双曲线的右准线X =—2c2c 2 — 3c — 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3，e =—=——,故选 r> a 3变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0)、竹(3,0),则其商心率为()A. -B. -C. -D.丄43 24解：由片(1,0)、F 2(3,0)知 2c = 3 —1, • • c = 1 ,又T 椭圆过原点,■•a_c = l, a + c = 3 > • • a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = — = — •故选C ・a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. —B. —C. - D 22 2 2c 3解：由题设a = 2, 2C = 69则c = 3, ^ =-=-,因此选Ca 2变式练习3：点P (-3, 1)在椭圆亠+二=1 (a >b>0)的左准线上，过点P 且方向 a 2b 2为a =(2,-5)的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()Di 2解：由题意知，入射光线为y-l=--(x + 3),关于y = —2的反射光线(对称关系)为 2 尤“c J3c解得 a = \[3 9 c = 1,则 e = — = •故选A云+ 5 = 0"3二、构造"、。
的齐次式，解出fV 6 TB !35x-2y+ 5 = 0,贝ij<按照题设条件，借助〃、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而取得关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知片、化是双曲线二一匚=1 （。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
关于椭圆离心率求法
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sincoscosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax 〔0>a 〕的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为〔 〕A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：假设椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为〔 〕A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为〔 〕A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P 〔-3，1〕在椭圆12222=+by a x 〔0>>b a 〕的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为〔 〕A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线〔对称关系〕为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系〔特别是齐二次式〕，进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=c a= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b=a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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椭圆离心率求法离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a ce =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D.332解：抛物线xy 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c，解得2=c ，3=a ，332==a ce ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A. 43B. 32C.21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B.26 C. 23D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A 33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==ac e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b ya x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C. 213+D. 13+解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a exPF p--=1，即ac a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3C.2D.332解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c ba ab 4322=+，又222b ac +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a ca =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e，∴2=e ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MFF ，则双曲线的离心率为（ ）A 3B26C36 D 33解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又cFF 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222ac b-=，∴212222-=--a c a ，∴2223c a=，∴232=e，∴26=e ，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：12121222222221-=+=+=+===cc cPF PF c ac ac e四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 .解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A 2B 22C 21 D42解：221222===ADAF e五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围 例5：设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x的离心率的取值范围为（ ）A. 21B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,22D.()+∞,2另：由1tan cot 22=-θθy x，⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，得θtan 2=a，θcot 2=b ,∴θθcot tan 222+=+=b a c,∴θθθθ2222cot 1tan cot tan +=+==ac e∵⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，∴1cot 2>θ,∴22>e，∴2>e ，故选D例6：如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则y CD ⊥轴.因为双曲线经过点C 、D，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记()0,c A -，⎪⎭⎫ ⎝⎛h c C ,2，()0,y x E ，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式得()()λλλλ+-=+⋅+-=122120c cc x ，λλ+=10hy，设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =，由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得142222=-bh a c ①将点E 的坐标代入双曲线方程得11124222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h a c ②再将ac e =①、②得14222=-bh e ，∴14222-=e bh ③1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h e ④将③式代入④式，整理得()λλ214442+=-e ，∴2312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得： 43231322≤+-≤e ，解得107≤≤e ，所以双曲线的离心率的取值范围为[]10,7配套练习1. 设双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A.1241222=-y x B.1964822=-y x C.132322=-y x D.16322=-y x2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ． 31 B ．33C ．21 D ．233．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ）A 35B 34C 45D 23 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2B22 C 21 D 425．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） A 22B 2 C2D226．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 3B5C25 D13+7. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3（c 为半焦距）的点，且PF F F 221=，则椭圆的离心率是（ ） A213- B 21 C 215-D228．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AFF ，且213AF AF=，则双曲线离心率为（ ） A25 B210 C 215 D59．已知双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A []2,1 B()2,1C [)+∞,2D()+∞,210．椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛21,0 B ．⎥⎦⎤⎝⎛22,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22答案：1.由ca =21a c=可得 3.a b c ==故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2a b=，椭圆的离心率2ce a==，选D 。
3.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,333b c e a a ====可得,故选A4.不妨设椭圆方程为22221x y a b+=（a >b >0），则有2221b a c a c=-=，据此求出e ＝225.不妨设双曲线方程为22221x y a b-=（a >0，b >0），则有22212b ac a c =-=，据此解得e ＝2，选C6.解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a b r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF2F 1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 21)a c=，双曲线的离心率为31+，选D 。