2018-2019学年高中数学第一章计数原理本章整合课件新人教B版选修2-3
选修2-3第一章计数原理归纳整合
别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的
关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续
完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才
能用分步乘法计数原理．
网络构建 专题归纳 解读高考
【例1】 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种
专题二
排列组合的应用
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结 合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组 合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题； ②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答． (2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组 合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
网络构建 专题归纳 解读高考
解题训练注意积累分类和分步的基本技能． (3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；
本章归纳整合
知识网络
网络构建
专题归纳
解读高考
要点归纳
1．两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决
问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题 时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目 的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一 件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原 理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分 类中有分步，两个原理往往交错使用．
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理章末整合提升优质课件 新人教A版选修2-3
＋23k＝3，解得 k＝6．
故含有 x3 的项是第七项，T7＝C610x3＝210x3．
4
(2)∵(
1x＋3 x2)10 的展开式中共有 11 项，
∴系数最大的项是第六项，T6＝C510(x－14)5(x23)5＝252x2152．
『规律方法』 利用二项式系数的性质，可以把在展开式中 数 Cnk转化为靠前的二项式系数 Cnn－k，转化后可简化解题过程 [本 还可以解决一些较为简单的二项展开式系数的最大(或最小)问题 二项式系数和展开式系数这两个不同的概念．
组合数性质：1Cmn ＝Cnn－m；2Cmn＋1＝Cnm＋1＋Cmn －1
组合的应用
计
二项式定理：a＋bn＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnkan－kbk＋
数 原
二定项理式二 二项 项展 式开 系式 数通 性项 质： ：T1k＋对1＝称C性knan；－kb2k增k＝减0性，与1，最2大，值3，；…，
『规律方法』 求展开式中各项系数的和的一个有效方法
赋予变量的值一般是0,1，－1等．
专题四 ⇨分类讨论思想
• 当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般 论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进 后针对每一类分别研究和求解．分类的原则是 遗漏．
• 典例 7 (1)从编号为1,2,3，…，10,11的11个 出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取
2)6( 1
3
)n－6，
3
C6n3
2n－6 1
3
6
由 Cnn－63
26 1
3
3n－6＝16，∴n＝9．
3
故
T7＝C69(3
2)9－6( 1
3
)6＝C39·2·19＝536．
(教师用书)高中数学 第一章 计数原理章末归纳提升课件 新人教B版选修23
集合 A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从 A，B 中 各取 1 个元素，作为点 P(x，y)的坐标． (1)可以得到多少个不同的点？ (2)这些点中，位于第一象限的有几个？
【解】
(1)可分为两类，A 中元素为 x，B 中元素为 y
或 A 中元素为 y，B 中元素为 x，共得到 3×4＋4×3＝24 个 不同的点． (2)第一象限内的点，即 x，y 均为正数，所以只能取 A， B 中的正数，共有 2×2＋2×2＝8 个不同的点．
4 有 C4 6－C4＝14 种．
【答案】
A
二项式定理问题的处理方法和技巧
对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运 用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为 二项式定理来处理问题．
a6 若(x－ 2 ) 展开式的常数项为 60，则常数 a 的 x 值为________．
【思路点拨】 利用二项式定理的通项求出不含 x 的项 即可．
ห้องสมุดไป่ตู้
(2013· 浙江高考)将 A，B，C，D，E，F 六个字 母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 ________种(用数字作答)．
【思路点拨】 按照“特殊元素先排法”分步进行，先 特殊后一般． 1 2 3 【解析】 “小集团”处理，特殊元素优先，C3 6C2A2A3 ＝480.
【思路点拨】 解决两个原理的应用问题，首先应明确 所需完成的事情是什么，再分析每一种做法事情是否完成， 从而区分加法原理和乘法原理．
【规范解答】 (1)完成的事情是带一本书，无论带外语 书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用 分类加法计数原理，结果为 5＋4＋3＝12(种)． (2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书，只有从外 语、数学、物理书中各选 1 本后，才能完成这件事，因此应 用分步乘法计数原理，结果为 5×4×3＝60(种)． (3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原 理，有 5×4＝20 种选法；同样，选外语书、物理书各 1 本， 有 5×3＝15 种选法；选数学书、物理书各 1 本，有 4×3＝ 12 种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为 20＋15＋12＝47(种)．
高中数学第1章计数原理1.1基本计数原理一新人教B版选修2
第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法. 故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不 同的方法.
规律方法 应用分类加法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件 事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事. (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而 不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列 的，独立的.
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ 解 确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成： 第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法； 第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法. 由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数 为3×2＝6.
规律方法 应用分步乘法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题 目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过 几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了， 才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成.即各 步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行 .
结果.
解 树形图如图1，试验一共有以下9种
等可能的结果：
红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、
图1
蓝红、蓝黄和蓝蓝.
(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个
球，看一下颜色.请画出树形图，并写出所有可能的结果.
解 如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因
此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个.
同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都
只有两种可能.
所以，树形图如图2，试验一共有以下6种等可能的结
[预习导引] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[精品课件]高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 第2课时 排列的综合应用课件 新人教B版选修2-3
![[精品课件]高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 第2课时 排列的综合应用课件 新人教B版选修2-3](https://img.taocdn.com/s3/m/4e65ee70cfc789eb172dc8c5.png)
【解】 (1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是 0 的 五位数，有 A54个；第二类，个位上的数字是 5 的五位数，有 A14·A43个.故满足条 件的五位数的个数共有 A54＋A14·A43＝216(个).
(2)符合要求的比 1 325 大的四位数可分为三类： 第一类，形如 2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 A41·A35个； 第二类，形如 14□□，15□□，共有 A21·A24个； 第三类，形如 134□，135□，共有 A21·A13个. 由分类加法计数原理知，无重复数字且比 1 325 大的四位数共有：A41·A35＋ A21·A24＋A21·A13＝270(个).
解排数字问题常见的解题方法 1.“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排 “首位”. 2.“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数 原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不 重不漏.
3.“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数. 4.“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.
(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处 插入男生，每空一人，则插入方法 A44种，所以共有不同站法 A33·A44＝144(种).
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从 左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
1.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
【解析】 从 2,4 中取一个数作为个位数字，有 2 种取法；再从其余四个数 中取出三个数排在前三位，有 A43种排法.由分步乘法计数原理知，这样的四位偶 数共有 2×A43＝48 个.
高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修23
求展开式中的特定项
[探究共研型]
探究 1 如何求x＋1x4 展开式中的常数项. 【提示】 利用二项展开式的通项 Cr4x4－r·x1r＝Cr4x4－2r 求解，令 4－2r＝0，则 r＝2，所以x＋1x4 展开式中的常数项为 C24＝4×2 3＝6.
第十七页，共34页。
探究 2 (a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？ 【提示】 (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由 a＋b 中的每一项分别乘以 c ＋d 中的每一项而得到.
第三十一页，共34页。
4.在x2－21x9 的展开式中，第 4 项的二项式系数是________，第 4 项的系数 是________. 【导学号：62980024】
【解析】 Tr＋1＝Cr9·(x2)9－r·－21xr＝－12r· Cr9·x18－3r，当 r＝3 时，T4＝－123·C39·x9＝－221x9， 所以第 4 项的二项式系数为 C39＝84，项的系数为－221. 【答案】 84 －221
第二十五页，共34页。
[再练一题]
3.(1)在(1－x3)(1＋x)10 的展开式中，x5 的系数是________.
(2)若x－
a6 x2
展开式的常数项为
60，则常数
a
的值为________.
【导学号：62980023】
第二十六页，共34页。
【解析】 (1)x5 应是(1＋x)10 中含 x5 项、含 x2 项分别与 1，－x3 相乘的结果，
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数.
【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开 式的通项公式进行求解.
第十三页，共34页。
【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6(2 x)6－r·－1xr＝(－1)rCr6·26－r·x3－32 r， ∴T6＝－12·x－92. ∴第 6 项的二项式系数为 C56＝6， 第 6 项的系数为 C56·(－1)·2＝－12. (2)Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r， ∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(－1)3·C39＝－84.
2018_2019学年高中数学第一章计数原理课件新人教A版选修2_3
(2)解决排列组合应用题的常用方法 ①合理分类，准确分步； ②特殊优先，一般在后； ③先取后排，间接排除； ④集团捆绑，间隔插空； ⑤抽象问题，构造模型； ⑥均分除序，定序除序．
[注意]
对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元
素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即 一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与 “不平均分组”的差异及分类的标准．
解析：将甲球放入 A 盒后分两类，一类是除甲球外，A 盒还放 其他球，共 A4 4＝24(种)，另一类是 A 盒中只有甲球，则其他 4 个球放入另外的三个盒中，有 C2 A3 4· 3＝ 36(种 )．故总的放法为 24＋36＝60(种)．
答案：60
主题 2
排列组合的综合应用 (1)(2017· 高考全国卷Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，
－
性质 备注
0 n m n m 当 m＝n 时，Am ； n 为全排 Cn＝Cn＝1；Cn ＝Cn n 列 An ＝ n！ ；0！＝1 m 1 m Cm ＋ C ＝ C n n n＋1
－
n，m∈N*且 m≤n
3.二项式定理 二项式定理 二项展开式 的通项公式 二项式系数
n 0 1 n－ 1 (a＋b)n＝C0 a b ＋ C b＋…＋Cr n na n n * an r· br＋…＋Cn b ( n ∈ N ) n
1．“分类”与“分步”的区别 (1) 分类就是能“一步到位”—— 任何一类中任何一种方法都 能完成这件事情，简单地说分类的标准是“不重不漏，一步完 成”． (2) 分步则只能“局部到位”—— 任何一步中任何一种方法都 不能完成这件事情，只能完成这件事情的某一部分，只有当各 步全部完成时，这件事情才完成．简单地说步与步之间的方法 “相互独立，多步完成”．
2018版高中数学第一章计数原理第3课时排列及排列数公式课件新人教B版选修2_3
解析： (1)选出的两人中如何安排正、 副组长的职务与顺序有关， 是一个排列问题． (2)由于选出的两个数字例如 2 和 3，其积 2×3 和 3×2 结果相 同，故此问题不是一个排列问题． 3 2 (3)此问题与顺序有关，例如2和3结果不同，故此问题是一个排 列问题． (4)题中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的， 不存在顺序问题，所以不是排列问题； 综上分析：(1)、(3)为排列问题.
目标导航 (1)通过实例，理解排列的概念． (2)能用“树图”列出排列，并能写出相应的排列． (3)理解有关元素、排列、排列数、排列数公式、阶乘的有关概 念和表示． (4)能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问 题．
1 新知识· 名师博客 知识点一 排列的概念 1．一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定 的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． 2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同且元素 的排列顺序也相同．
点评 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元 素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素 相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是 否是排列的关键.
变式训练1 判断下列问题是否为排列问题． (1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长； (2)从1,2,3三个数中取两个数相乘，求积的个数； (3)从1,2,3三个数中取两个数作商，求商的个数； (4)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的 价格(假设来回的票价相同)．
点评 m－1 在进行排列数的化简求值时，应注重一些形如 Am ＝ n A n n－1 和 n！ m An ＝ 公式的应用， 会使运算量大大减少， 加快解答速度． 要 n－m！ 注意通分时，将含有阶乘的公因式及时提出，然后再进行合并计算.
2018-2019学年人教B版数学选修2-3第一章计数原理 .3 (2)
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题一般方法是观察法,观察时可以横看、竖看、 斜看等多角度观察,找出数据之间的关系.由特殊到一般推出对应规律,用数 学式子表达出来,并进行简单说明所得规律的正确性.
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7). 所以由(2),(3)即可得其值为 1 093-(-1 094)=2 187.
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理优质课件 新人教A版选修2-
『规律总结』 1.二项式系数都是组合数 Cnr(r∈{0,1,2，… 展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数” 中“项的系数”这两个概念．
2．第 r＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二 35，而第四项的系数是 C3723＝280．
新课标导学
数学
选修2-3 ·人教A版
第一章
计数原理 1．3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一 个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想 又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理， 他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬 往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．
(2)用二项式定理展开(2x－23x2)5． [解析] (1)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－ －1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x (2)(2x－23x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4(－23x2)＋C25(2x)3(－23x2)2＋C35 (2x)(－23x2)4＋C55(－23x2)5＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310．
当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8.T8 的系数为
(2)∵C0n＋C1n＋C2n＝79，∴n2＋n－156＝0． ∴n＝12 或 n＝－13(舍去)．设 Tk＋1 项的系数最大， ∵(12＋2x)12＝(12)12(1＋4x)12， ∴CC11kk2244kk≥ ≥CCk1k1＋－22 1144kk＋－11.，∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10． ∴展开式中系数最大的项为 T11，T11＝C1102·(12)2·210·x10＝16 89
高中数学第一章计数原理1.1基本计数原理课堂探究教案新人教B版选修2-3
1.1 基本计数原理课堂探究探究一分类加法计数原理的应用应用分类加法计数原理解题时，要明确以下几点：(1)弄清题目中所谓“完成一件事”是什么事，完成这件事有哪些办法，怎样才算完成这件事；(2)完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法；(3)确立恰当的分类标准，准确地进行分类，要求每一种方法必属于其中的某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，即分类时必须做到“不重不漏”．【典型例题1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？思路分析：由题目可获取以下主要信息：①各条边长均为整数；②构成三角形的条件；③确定分类标准．本题可按其中一条边长的取值进行分类．解：方法1：用整数x，y表示其中两边的边长，不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，必须有x＋y≥12.当y＝11时，x＝1,2,3，…，11，有11个三角形；当y＝10时，x＝2,3，…，10，有9个三角形；……当y＝6时，x＝6，只有1个三角形．故所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.方法2：设三角形的三边长为a，b，c，且a≤b≤c，c＝11，则a＋b＞11.而2b≥a＋b＞11，故6≤b≤11.按b的可能取值进行分类，如下表所示：探究二分步乘法计数原理的应用应用分步乘法计数原理解题时，要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法能不能完成这件事，若不能，则必须要经过n个步骤才能完成这件事．(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成．(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．【典型例题2】 (1)4张卡片的正、反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成__________个不同的三位数．(2)已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？思路分析：(1)按顺序确定各位数上的数字各有几种选择后用分步乘法计数原理求解．(2)确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标以及半径，可以用分步乘法计数原理解决．(1)解析：分三个步骤：第一步：百位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．根据分步乘法计数原理，可以组成N＝7×6×4＝168个不同的三位数．答案：168(2)解：按a，b，r取值顺序分步考虑：第一步：a从3,4,6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1,2,7,8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8,9中任取一个数，有2种取法．由分步乘法计数原理知，表示的不同圆有N＝3×4×2＝24(个)．探究三两个计数原理的综合应用对于较为复杂的问题，既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题．首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．综合应用两个原理解应用题的方法有以下几种：(1)列举法．列举法就是完成一件事，方法不是很多，可以一一列举出来，然后再一种一种地数数，进而确定完成这件事共有多少种方法．一些列式困难、数目较少的问题一般用此方法解决；(2)字典排序法．字典排序法就是把所有的字母(数字或其他)分为前后，先排前面的字母(数字或其他)，前面的排完后再依次排后面的字母(数字或其他)，所有的都排完后，排序结束；(3)模型法．模型法就是根据题意，构建相关图形，再利用图形来构建两个原理的模型，从而解决问题．【典型例题3】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？思路分析：先根据条件把“比2 000大的四位偶数”分类，然后分别选取千位、百位、十位上的数字．解：完成这件事有三类方法：第一类是用0作个位的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48.第二类是用2作个位的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36.第三类是用4作个位的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120个．【典型例题4】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？思路分析：解决此类涂色问题的关键是找不相邻区域，确定标准合理分类．解：给区域标记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种．但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B 与D颜色相同，则有2种涂色方法；如果不相同，则只有1种，因此应先分类后分步．第一类，当B与D同色时，不同的涂色方法有4×3×2×1×2＝48(种)．第二类，当B与D不同色时，不同的涂色方法有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．规律小结 1.组数问题的求解策略：(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．2．涂色问题的解决思路：(1)位置分析法，按照图形中各区域顺序依次涂色，在涂色时要注意可按不相邻的部分同色与不同色进行分类．(2)元素分析法，即从颜色入手进行分类．探究四易错辨析易错点：应用计数原理时错误地分类或分步【典型例题5】 4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？错解1：第一步，第1位同学去夺这3项冠军，有可能1项都不夺或夺1项、2项、3项，因此有4种不同的情况；第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有4种不同的情况．由分步乘法计数原理，共有4×4×4×4＝44＝256种不同的情况．错解2：第一步，第1位同学去争冠军，有3种不同的情况；第二步，第2位同学去争冠军，也有3种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有3种不同的情况．由分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的情况．错因分析：完成夺取冠军这件事，即每项冠军都有人夺取．错解1中可能有4位同学都不得冠军以及1项冠军不止1人获得这种情况，与题意不符；错解2中可能有1项冠军不止1人获得这种情况，也不符合题意．正解：可分三步完成，第一项冠军被4名同学争夺，一定是其中1名而且只能是其中一名同学获得，共有4种不同的情况；同理其余2项冠军分别被4名同学中的1名获得，各有4种不同的情况．由分步乘法计数原理，共有4×4×4＝43＝64种不同的夺得冠军的情况．。