南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一(含答案)汇总

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一
试题Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ． 2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ． 3． 已知函数()a f x x
=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ．
4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》
(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ； “醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：
根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ．
5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数
()
πsin 2y x =+的图象向右至少．．平移 个单位． 6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线x =
“ ”．
7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学
号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等
式2()(0)f x x f -<的解集为 ．
10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等
于π3
，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，
、22( 0)A x ，分别作x （第7题）
轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称 12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ．
13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}
22min 4b h a a b
=+，
，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a
+=>上，其中 0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278
，则实数a 的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
已知函数()()
2ππ()sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，．
（1）求()f x 的最小正周期和值域；
（2）若0x x =()
0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．
16．（本题满分14分）
如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．
BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且 CC a '=
（0a <<）．
（1
）若a =C —BD —C '的大小；
（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点
E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．
17．（本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2
2
12
y x -=上的两点，(12)M ，
是线段AB 的中点， 线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点．
（第16题）
D
C '
A B C
（1）求直线AB 与CD 的方程；
（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．
18．（本题满分15分）
某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将
400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同） （1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？
（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）
分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）
（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）
19．（本题满分16分）
已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值 之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数在开区间(99)m m --,
上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．
20．（本题满分16分）
设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}
2
n
a 的前n 项和为n T ，且2
4()3
n n S p
T --=
，
其中p 为常数.
（1）求p 的值；
（2）求证：数列{}n a 为等比数列；
（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =， 且2y =”．
试题Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）
如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的
中点，求BC 的长．
B ．（矩阵与变换）
已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求实数a 、b 的值．
C ．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
，（t 为参数，p 为正常数），求p 的 值．
D ．（不等式选讲）
设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．
22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.
23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；
（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．
证明：对任意的正整数n ，011222012()C (1)C (1)
C (1)C n n n n n
n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一
参考答案
1. {}5；
2. 3；
3. 2；
4. 0.09；
5. π6
；
6. b =；
7. 8361，；
8. π4；
9. (01)，
；
10. ；
11. ⎣⎦
； 12. 12； 13. 12； 14. 3． 答案解析
1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5； 2.
3z =
=；
3. 易得2
()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09++=；
5. 将()()
πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；
6.
1=，且0b <
，即b =；
7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，
； 8. 设tan A k =，则tan 2B k =，tan 3C k =，且0k >，利用tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--可
求得1k =，所以A π=4
；
9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，
； 10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x
，则体积
13V x =，记()22y t t =-，
0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y
=，此时max V =
法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()
22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，
0<θπ<2，记()
21 01y t t t =-<<，
，
利用导数可求得当t =
时，max y =，
此时max V = 11. 如图，设 a b c OA
OB OC ===，，，u u r u u u r u u u r △ABC
中，由余弦定理得AB =uu u r 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ，
O
A
B
2C
M
1C
（第11题图）
且OM
，故12c OC OC ⎡⎤∈=⎣⎦⎣⎦
，uuu r uuu u r ； 12. 设()21 2n n n A x x ，、()
2
1111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：22
1
2111122()2n n n n
n n
x x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n n
n n n
x x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；
13.
易得22
211444ab h a b a b b a ==++≤
，所以12h ≤（当且仅当4a b =时取等号）； 14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22
2
11y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
得 2
2
2
2
(1)20a k x a k x ++=，解得222
21B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2
222C a k x a k
=+，
故22
22
22221a k a k AB AC a k a k ==++ 所以(
)
(
)
44
2
2222
2242
1
22(1)121(1)()1
ABC
a k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k
=+≥，则43222
22(1)1
ABC a a S a a a t ∆=
--+
≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781
a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，
或a =，所以3a =． 15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．
（1）
易得()
2221()sin 2sin cos 2f x x x x x =+
-1cos212cos222
x x x -=-
1s i n 2
c o s 22
x x =-+＝()
π12sin 262x -+，（5分）
所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，；
（7分） （2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()
0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π 666x ≤≤--，
所以02ππ0 66x ≤≤--，故(
)
0πcos 26x -=（11分）
此时，()0
ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
()()0
ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-
1142=-
=（14分）
16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．
解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，
因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5
分） 易得C O CO '==，而CC '=
所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3
；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．
解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线22
12y x -=得2
211221
112(4)(2)12
y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，， 解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或11
34x y =⎧⎨=⎩，
， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），
所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）
（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）
证明：由3y x =-+与2
2
12
y x -=联立方程组可得
C D 、的坐标为(36--+、(36-+-，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）
经检验(36D -+-适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）
（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）
18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，
（第16题图） D
C '
A B C
O E
则阅卷时间为2693119.246()4754119.246x x
f x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>⎩≤，，，，（5分）
而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，
答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）
（2）文科阅卷时间为：1269311943
347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.5
4.547.367⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）
19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，
则可设()
3
()3
x f x a x c =-+，其中c
因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-， 所以3()3f x x x =-；（5分）
（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：
由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）
又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）
（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c
假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．
故假设不成立，所以a b c ==．（16分）
20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力．
解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）
若p = 0时，2
43
n n S T -=，
当2n =时，2
2
224(1)13
a a -++=，解得20a =或212a =-，
而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）
（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，
②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且1
12n n a -=；（10分）
（3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n
，142n +， 满足11
2142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2
成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又1
12n n a -=， 所以11
111222222x y n n
n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=
显然2x y >-，设(2)k x y =--，
因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，
故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）
21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．
解：连接OD ，则OD ⊥DC ，
在Rt △OED 中，12OE =OB 12
=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）
在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=
所以BC =．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．
解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩
，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．
解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，
（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分） 将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）
D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．
证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123
111()a a a a a a =++++()()113
3123123111
339a a a a a a ⋅=≥，（8分） 当且仅当1231a a a ===时等号成立， 所以123
9111a a a ++≥.（10分） 22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．
证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）
令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x
-'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，
上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）
故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），
所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，
（8分） 则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）
23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．
（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!k
n n n k k k n k k n k ==⋅
=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!
n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；
（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）
则011222012()C (1)C (1)
C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+ [][]0110010010C (1)+()C (1)
+()C n n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+- 01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦
[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C n
n n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []
1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-
010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。