三角函数的诱导公式学案
高中数学 三角函数的诱导公式导学案
5.6.4 三角函数的诱导公式课题三角函数的诱导公式项目内容理论依据或意图教材分析教学目标1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题。
2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想。
3.情感、态度与价值观通过数学史教学，提高学生爱国热情，激发学生责任感，提高民族自尊心和自信心。
《高中数学课程标准》要求：“倡导通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
发展学生的创新意识，体会蕴含其中的思想方法。
”因此，依据教材地位与作用及我校高一学生的实际情况，确定此教学重、难点教学重点、难点:1.重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。
2.难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。
依据教材的地位与作用及教学目标，确定本节课的教学重点、难点。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图活动一：课题问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题2：求下列三角函数值：（1）sin，（2）cos，（3）tan。
1.给学生3分钟左右的时间独立思考，1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x,tan=(x≠0)2.学生独立思考，尝试用定义解答。
1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础。
2.设置问题情境，教师请名学生到黑板上展示其答题情况。
2.的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《三角函数的诱导公式》。
活动二：合作探究公式二1.根据学生黑板上用定义求角的三角函数值的情况，引导学生思考：问题3：（1）角和角的终边有何关系？（2）设角与角的终边分别交单位圆于点P1、P2，点P1的坐标为P1(x，y) ，则点 P2的坐标如何表示？（3）它们的三角函数值有何关系？2.教师用几何画板演示角α可以是任意角，引导学生体会从1.学生观察图形，结合教师的问题发现：角和角数量上相差，图形上它们的终边关于原点对称，与单位圆的交点坐标互为相反数。
三角函数的诱导公式学案【人教版】高中数学必修
一、学习目标：能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
二．复习引入：1.复习：一、复习引入:练习：1．已知1sin(3),3πα+=-求sin(180)cos(720)tan(540)cot(180)sin(180)tan(900)αααααα+++----+. 解：sin(3)sin()sin ,παπαα+=+=-1sin 3α∴= sin cos tan 1sin cot(180)sin tan(180)3ααααααα-∴===-++原式 2．已知的值。
求)65cos(,33)6cos(α-π=α+π解：33)6cos()]65(cos[)65cos(-=α+π-=α-π-π-=α-π. 二、讲解新课1.公式5： sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.tan(90︒ -α) = cot α,2.公式6：如图，可证： 则sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM ’ = PM = -MP = -sin α从而：sin(90︒ +α) = cos α,cos(90︒ +α) = -sin α.tan(90︒ +α) = -cot α,或证：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α3.（扩展）公式7：sin(270︒ -α) = sin[180︒+ (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos αsin(270︒ -α) = -cos α, cos(270︒ -α) = -sin α.tan(270︒ -α) = cot α,4. 公式8：sin(270︒ +α) = -cos α, cos(270︒ +α) = sin α.tan(270︒ +α) = -cot α,说明：①απ±2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号②若α是角度制，同样成立,③所有公式特点：寄变偶不变，符号看象限；三、典例剖析：例1.求证：xy o P’ P(x,y) M M’3sin()cos()sin(4)sin()222tan(2)cot()cos(5)cos()2k k k πππααπααππαπαπαα+----=-+-++-+. 证明：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=sin cos cos sin sin cos cos sin 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例2. 的值。
《三角函数的诱导公式》(学案)
三角函数的诱导公式(第1课时)（学案）一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二.教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式。
π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。
教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。
三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？（一）情境创设及问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。
【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是“回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。
即有：（二）尝试推导如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。
【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角与角α的终边关于y轴对称,有:〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?路线图：→→→。
《三角函数的诱导公式》导学案
《三角函数的诱导公式》导学案这样处理可以使诱导公式更具有系统性,两节课内学生就会记会用了三角函数的诱导公式学习目标：理解记忆三角函数的诱导公式并学会正确应用。
教学重点：诱导公式的记忆与应用。
复习案：1、同角三角函数的基本关系式是：2、正弦、余弦、正切函数在各个象限的正负是：3、角度数乘以( )=弧度数，弧度数乘以（）=角度数预习案公式一：公式二：sin（2kπ+α）=______ k∈z sin（π+α）=______cos（2kπ+α）=______ k∈z cos（π+α）=______tan（2kπ+α）=______ k∈z tan（π+α）=_____公式三：公式四：sin（－α）=______ sin（π－α）=______ cos（－α）=______ cos（π－α）=______ tan（－α）=______ tan（π－α）=______ 公式五：公式六： sin（－α）=______ sin（+α）=_______ 22cos（－α）=______ cos（+α）=____ 22归纳：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名2称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n ()2 α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
符号判断口诀：“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。
这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。
3 3 思考：sin（+α）=_______ cos（+α）=_____ 223 3 sin（－α）=_______ cos（－α）=________ 22应用诱导公式简化过程：负化正，大化小，化成锐角就行了。
三角函数的诱导公式学案
— 的终边与单位圆的交点是什么？ 3.根据三角函数的定义，写出 与 - 的各三角函数值.
观察以上结论得出：
sin( )
cos( )
tan( )
tan 5
观察得出三角函数的诱导公式四： sin( - )= cos( - )=
1.3 三角函数的诱 导公式 姓名
将下列三角函数转化为锐角三角函数
将下列三角函数转化为锐角三角函数
sin(1 ) =
自主 检测
sin( 5)=
自主 检测
sin(1 ) =
sin( 5)=
tan 6 =
5
) sin( 74
tan 6 =
5
) sin( 74
1.已知 sin( ) -0.5，则 sin =
3 应用： tan 5
tan( - )=
上述公式叫三角函数的诱导公式二。 应用：sin225° cos225°
tan 31 36
cos 150 °
，正负号的变换规律是
4
由公式一～四可知,等式左右两边的函数名称
例 1．求下列三角函数值 （1） cos （—420°） （2） sin(
sin( 2k ) sin ，
作用：将任意角转化为 0～2 求值 应用： sin 1200°=
2.由三角函数定义，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交与点 P(x,y),则 sin ＝ cos ＝ tan ＝ 观察以上结论得出： ：sin(﹣ )=
y
cos 2640°=
83
11 4
sin
cos
tan
我的 问题
灵石一中课前自主学习型导学案 2
(完整word版)《三角函数的诱导公式》教学设计完美版
《三角函数的诱导公式》教学设计一．教材分析（1）教材的地位与作用：《三角函数的诱导公式》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学必修4》（人教A版)第一章第3节第一课时，是三角函数这一章中的一个重要内容，它涉及三角函数的求值、化简、证明等应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体代换等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
（2）从知识的体系来看：《三角函数的诱导公式》是《任意角和弧度制》与《任意角的三角函数》内容的延续，不仅能加深对三角函数的理解，也为以后学三角函数的图像与性质做好铺垫。
二．学情分析（1）学生的已有的知识结构:掌握了任意角和弧度制,任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系。
（2）教学对象：高一理科试验班的学生,学习兴趣比较浓，表现欲较强,逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。
（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与任意角的三角函数的定义及诱导公式一等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是：本节公式的种类繁多,要求归纳总结的知识多，这对学生的思维是一个突破。
三．教学目标根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为：(1）知识技能目标：理解并掌握三角函数的诱导公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题.(2）过程与方法目标:通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．（3）情感，态度与价值观：培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。
四．重点、难点分析教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
三角函数的诱导公式学案
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －11＋sin (π－x )＝－3，则sin x ＝________. 三角函数的诱导公式学案(3)编制：王磊 编制时间：12月 8日 使用：高一（5,6）班学习目标: 1.能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值;2.能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程;3进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值. 一、复习1. 复习六组诱导公式及其口诀，并能够用口诀快速化简。
2. 【课堂热身】(1)____________1)cos()cos()(sin 2=+-+-+ααπαπ (2)若,54)540sin(0-=+α 则0cos(270)_____α-=(3)化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝_____(4)化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21=___________二、例题分析例题1（配角）已知416sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，求⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 3sin 65sin 2ππ的值变式1：已知31)75cos(0=+α，α是第三象限角，求)105sin()105cos(00-+-αα的值变式2：已知2cos()43πα+= ，则sin()4πα-= ____.例题2（三角形中）已知A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，求证：.2cos 2sin A C B =+变式3：若A,B,C 为ABC ∆的三个内角，下列等式中正确的有 ____个 ①A C B sin )sin(=+;②A C B cos )cos(=+ ③A C B tan )tan(=+④A C B 2tan )22tan(=+⑤A C B 2cos )22cos(=+⑥2cos )22sin(C B A =+ 变式4：在ABC∆中，若()()C B A C B A +-=-+sin sin 则ABC ∆必是 （ ）A.等腰三角形 B 直角三角形 C.等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 练习:1 若sin(π＋α)＝31-,则cos(5π＋α)=_____2. 3. 已知,4cos )(cos x x f =则)15(sin f =4. 化简:作业：200020sin 170cos 160cos 200sin 21---1.=︒600cos ( )A.21 B. 12- C.23 D.23-2.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 ( ) A ．2 B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin3.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与轴x 正半轴重合，终边在直线03=-y x 上，则)sin()2sin()cos(2)23sin(θπθπθπθπ----++等于 ( )A.23- B.23 C.0 D. 324.(sin )cos15f x x =，则(cos )f x = ( ) A.sin15x B.cos15x C.sin15x - D.cos15x -5.已知()=<=αααsin ,0tan ,51cos 则562.-+A B.126 C.562-D.126.-+D6.=-++)425tan(325cos 625sin πππ___________7.若()_cos sin ,,0,51cos sin =-∈=+ααπααα则；______tan =α8已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 9.已知,32)6cos(=-απ求)32sin(απ-的值。
1.3 三角函数的诱导公式(同步学案)
任意角的三角函数、诱导公式知识点归纳诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：sin(2)k απ+= ；cos(2)k απ+= ；，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= ； c o s (180)α+= ； 诱导公式三： sin()α-= ； cos()α-= ； 诱导公式四：sin(180)α-= ； cos(180)α-= ； 诱导公式五：sin(360)α-= ； cos(360)α-= ；例1．5cos6π= ．变式1例2．已知(0,)απ∈，，则sin()πα-=______________．例3变式1：已知tan 2α=_________．例4变式1的值为 .变式2例5、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．例6．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为（ ） A ．5B ．－5C ．6D ．－6例7．若n 为整数，则代数式sin()cos()n n παπα++的化简结果是( )A ．tan α±B ．tan α-C ．tan αD ．1tan 2α课堂练习：1．sin 585 的值为( )A ．BC ． D2．若1cos()2πα+=-，322παπ<<，则sin(2)πα+等于 ( )A ．12B ．CD ．3．已知1cos(75)3α+=，则sin(15)cos(105)αα-+- 的值是 ( )A ．13B ．23C ．13-D ．23-4．已知1sin(),(,0)32ππαα+=∈-，则sin α=__________．56．如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π-= ． 【答案】127．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则cos()πα-的值是【答案】8（α在第二象限），则9．已知角α终边上一点(4,3)P -，则_________.10cos()12πα-= .【答案】课后练习1：1．计算cos330°的值为( ) A ．﹣B ．﹣C ．D ．2.代数式sin120cos210的值为 （ ）A.34-C.32-D.143.7sin6π=B.C.12D. 12-4. 9sin()2π-的值为 （ ） A. 1 B. 1- C. 0D. 25．sin 210︒的值为 （ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．236． 若1sin(3)2πα+=-，则7cos()2πα-等于( )A ．12-B ．12CD ．7． 已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值等于 ( )A ．13- B ．13C． D8. 已知，则的值为__________。
【数学】1.3《三角函数的诱导公式》学案(1)(新人教A版必修4)
难点16 三角函数的诱导公式运用 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)故－22a－2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34 D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc)cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x xx x xx x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin 2(sin2)2sin 2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc)cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ）∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ.于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log2log82log,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y Mt t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
《三角函数的诱导公式》导学案
1.3三角函数的诱导公式学习目标1.熟记三角函数的诱导公式。
2.会运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明3.培养学生数形结合的思想。
教学重点：诱导公式的记忆与应用。
知识回顾公式一： 公式二： 公式三：sin （2k π+α）=______ k ∈z sin （π+α）=______ sin （－α）=______ cos （2k π+α）=______ k ∈z cos （π+α）=______ cos （－α）=______ tan （2k π+α）=______ k ∈z tan （π+α）=_____ tan （－α）=______ 公式四： 公式五： 公式六：sin （π－α）=______ sin （2π－α）=______ sin （2π+α）=_______ cos （π－α）=______ cos （2π－α）=______ cos （2π+α）=____ tan （π－α）=______归纳： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是2π的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，余弦变正弦。
（ “符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n ·(2π)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
注： 应用诱导公式简化过程：负化正，大化小，化成锐角就行了。
<合作探究><达标检测>1.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2.下列各式不正确的是（ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β）3.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54- 4.已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ）A. 21B. —21C. 23D. —23 5若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．23 6.)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos27.在ABC ∆中，已知512cos =+B A ，则2cos C （ ） Ａ．51- Ｂ．51 Ｃ．562 Ｄ．265-8.已知31)2sin(=+πα，)0,2(πα-∈，则αtan 等于（ ） Ａ．22- Ｂ．22 Ｃ．42- Ｄ．429.若73)2sin(=+θπ，则=-)2(cos 2θπ ．10.化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___． 11.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ．12.已知33)6sin(=+απ，则)3cos(απ-13.已知552sin =α，求)25cos()25sin()tan(απαππα-+++的值．14.若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值。
《§1.3 三角函数的诱导公式》学案
《§1.3 三角函数的诱导公式》学案
¤学习目标：1. 通过本节内容的教学，使学生掌握αααα±±±o o o 360,90-180，，
角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路.
2. 能正确地运用这些公式进行任意角的正弦值，余弦值的求解，简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明.
¤知识要点：
（1）若α是锐角，则απ-2是第四象限角；απ+是第三象限角；απ-是第二象限角； -a 是第四象限角；απ+2是第二象限角；απ
-2是第一象限角.
（2）诱导公式（1）～（6）， 可以归纳为“奇变偶不变，符号看象限”.
¤例题精讲：
【例1】求下列各式的值：
（1）)210sin()60cos(o o ---； （2）1011sin )310cos()631sin(π
ππ
----
【例2】化简：)()2cos()2sin(]
)12(sin[2])12(sin[Z n n n n n ∈--+++++αππαπαπα
【例3】已知,223)360tan(1)
720tan(1+=--++o o θθ 求)2(cos 1
)](sin 2)sin()([cos 222πθπθθπθπ--⋅-+-+-的值。
【例4】已知)32sin(,1)sin(,31
sin βαβαβ+=+=求的值。
三角函数诱导公式的导学案
1.2.3三角函数的诱导公式（1）【学习目标】1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 口诀：函数名不变，符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导与运用【自主学习】1、 利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：),(y x P 为角α的终边与单位圆的交点，则___________sin =α，___________cos =α.2、 诱导公式由三角函数定义可以知道：（1） 终边相同的角的同一三角函数值相等。
公式一（παk 2+）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.(2)当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的关系为：__________________ 公式二（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.(3)当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称时，α与β的关系为：__________________ 公式三（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.(4)当角α的终边与角β的终边关于原点对称时，α与β的关系为：_________________ 公式四（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？ 【典型例题】例1、求下列三角函数值：（1）)240sin(0-； （2）)411cos(π-； （3）)1560tan(0-．例2、化简：()()()()αααα----++180cos 180sin 360sin 180cos例3、判断下列函数的奇偶性：（1）()x x f cos 1-=； （2）()x x x g sin -=． （3）xxx x f tan sin )(-= 1cos cos 1)()4(-+-=x x x f例4、求证()()()()1tan 15tan sin 211cos sin 22---++=--+-θθπθθπθπ．【课堂练习】1、 求下列各式的的值 （1）)431sin(π-（2）)631cos(π- （3）)945tan(0-2、 判断下列函数的奇偶性：（1）|sin |)(x x f = （2）)x x x f cos sin )(=3、化简：)34cos()322sin(ππππ+⋅+n n【课堂小结】1.2.3三角函数的诱导公式（2）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。
三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式(第一课时)成都七中实验学校 韩雄 教学目标：1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。
2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生直觉猜想与抽象概括的能力。
3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和求知欲，通过小组的合作与交流，来增强学生学习数学的自信心。
教学重点：理解四组诱导公式利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。
教学难点：四组诱导公式的推导过程为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变理解确定符号的方法教学方法：自主探究式结合变式教学方法，结合多媒体课件演示教学工具：多媒体电脑，投影仪教学过程:一、 问题情景：回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？二、 学生活动：思考：（1）你能求sin390°的值吗？（2）你能求sin570°的值吗？（3）你能求sin （-30°）的值吗？教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。
（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系）三、 意义建构：教师指导：请每组推出的代表发言。
（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表） （此处引出本节课题，在运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用）第一组：由画图发现030-的角的终边和6π的终边是关于x 轴对称的，由三角函数定义可知,它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.3 三角函数的诱导公式教案 A教学目标一、知识与技能1．理解诱导公式的推导过程；2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．二、过程与方法的轴对称性以及关于原点利用三角函数线，从单位圆关于x轴、y轴、直线y xO的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．1.充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；2.强调记忆规律，加强公式的记忆；3.通过对例题的学习，完成学习目标．教学准备教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生准备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入新课1我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y 轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作交流提出问题①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为研究对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2 (-x，-y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．2提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．我们可以用下面一段话来概括公式一～四：α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．提出问题终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系？师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导．讨论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角π2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(π2-α)=y，sin(π2-α)=x．从而得到公式五：cos(π2-α)=sinα， sin(π2-α)=cosα．提出问题能否用已有公式得出π2+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？34 师生互动：教师点拨学生将π2+α转化为π- (π2-α)，从而利用公式四和公式五达到我们的目的．因为π2+α可以转化为π- (π2-α)，所以求π2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六： sin (π2+α)=cos α， cos(π2+α)=-sin α． 提出问题你能概括一下公式五、六吗？师生互动：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括． 讨论结果：2π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创新，应用提高例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225°；（2）sin 11π3；（3）sin(16π3-)；（4）cos(-2 040°)． 解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-； （2）sin 11π3=sin(4ππ3-)=-sin π3=23-； （3）sin(16π3-)=-sin 16π3=-sin(5π+π3)=-(-sin π3)=23； （4）cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-． 点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：5上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法．例2 化简 0cos(180)sin(360).sin(180)cos(180)αααα︒++︒---︒- 解：sin(180)sin[(180)]αα--︒=-+︒ sin(180)(sin )sin ααα=-+︒=--= cos(180)cos[(180)]cos(180)cos .αααα-︒-=-︒+=︒+=-所以，原式cos sin 1.sin (cos )αααα-==- 例3 证明：（1）sin(3π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=-sin α． 证明：（1）sin(3π2-α)=sin[π+(π2-α)]=-sin(π2-α)=-cos α； （2）cos(3π2-α)=cos[π+(π2-α)]=-cos(π2-α)=-sin α． 点评：由公式五及六推得3π2±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到212+k π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用．例4 化简π11πsin(2π)cos(π)cos()cos()22.9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin()2a a a a a a a a -++-----+ 解：原式=π(sin )(cos )(sin )cos[5π()]2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin[4()]2a a a a a a a a π---+----+++6 =2πsin cos [cos()]2π(cos )sin [(sin )]sin()2a a a a a a a ------+=a a cos sin -=-tan a ． 四、小结①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值；③运用诱导公式进行简单的三角化简．课堂作业1．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin 2B A +=-cos 2C B ．sin(2A +2B )=-cos2C C ．sin(A +B )=-sin CD ．sin(A +B )=sin C2．如果f (sin x )=cos x ，那么f (-cos x )等于( )A ．sin xB ．cos xC ．-sin xD ．-cos x3．计算下列各式的值：（1）sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°；（2）tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．4．化简：sin(540)tan(270)cos(270).cos(180)tan(810)sin(360)a a a a a a •---︒-+-- 参考答案：1．D 2．A3．（1）2；（2）-1．4．-tan a ．教案 B教学目标一、知识与技能1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．学法与教学用具78学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知1. 诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+呢？结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α；③公式特点：函数名不变，符号看象限；9 ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-． 用弧度制可表示如下： sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任意角α与α-的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-．用弧度制可表示如下：sin(πsin αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）． 4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系． 结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2-α的终边与10角α的终边关于直线y =x 对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ； sin(π2-α) = x ， cos(π2-α) = y ． 从而得到诱导公式五： sin(π2-α) = cos α， cos(π2-α) = sin α． 由于π2+α =π-(π2-α)，由公式四及五可得 公式六 sin(π2+α) = cos α， cos(π2+α) =- sin α． 公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式.三、例题讲解例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-=． （2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos 66=+= ππcos(π)cos 66=+=-=．11例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值. 解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ． 解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-． ②当21,n k k =+∈Z 时， 原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+ 例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值． 解：因为2πππ()33αα-=-+，所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m . 由于π2π63α<<所以2ππ032α<-< 于是2πsin()3α-21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21--12 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。
1.3.1三角函数的诱导公式4-06
玉屏民族中学高一数学新授课学案 编号4-06（1） 编写：姚沅心 审核： 班级： 姓名：1.借助单位圆，推导出正弦，余弦的诱导公式.2.正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值，化简和恒等式证明问题.2327，找出疑惑之处） 如何求sin750º，cos1080º，tan780º，sin49π，cos25π的值二、新课导学问题1：已知任意角α的终边与单位圆相交于P （x ，y ），求P 关于x 轴，y 轴，原点对称的三个点的坐标.问题2：如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？问题3：如果角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？问题4：如果角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？※ 典型例题预习课本24页例题1例1：求值（1）67sin π; （2）411cos π;（3）tan(-1560º)例2化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝ 1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角 2、若(),2,53c o s παππα<≤=+则()πα2sin -- 的值是（ ）A ．53 B ． 53- C ． 54 D ． 54- 3、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ， 则αtan = ．4、求cos （－2640°）+sin1665°的值．5、已知316sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，求 ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 65cos 67sin 2ππ的值.。
三角函数的诱导公式学案
(3) tan =_________________（4）cos(－420°)=_________
（5）sin(－ )= _____________（6）cos( )=__________________
3【解析】选A.f(sin30°)=f（sin(90°-60°)）=f( cos60°)
=cos180°=-1.
4
5【解析】|sinα|=cos( +α)=-sinα,
3.（1） （2） （3） （4） （5） （6）
4.（1） （2） （3） （4） （5） （6）
5. 6.
【预习自测】答案：1. 2.
3.- 4. 5.
综合检测答案
1【解析】选C.原式=sin(90°+5°)+cos(180°-5°) =cos5°-cos5°=0.
2【解析】选B.cos620°=cos(720°-100°)=cos100°=cos(90°+10°)=-sin10°=-k.
(1) sin 1110°=__________(2) tan= ____________
(3) cos()= ____________
2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值
(1) cos()=___________(2) tan= _____________
(3) sin=_________________
3.求下列三角函数值
(1)sin(-)=___________ (2) cos(-60°)=____________
(3)tan(-π) =__________ (4) sin(-π)=____________
三角函数的诱导公式(教、学案)
1.3.1三角函数的诱导公式一、学习目标： 1.理解正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法：与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； 四、教学过程： 研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。
ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三） 特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。
【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向： ① 化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。
2、例题分析：例1 求下列三角函数值：（1）sin960； （2）43cos()6π-．例2 化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--．方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)0,360⎡⎣内的三角函数；③化为锐角的三角函数。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一) 学案 新人教A版必修4
广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学 必修四1.3三角函数的诱导公式(一) 学案【学习目标】1. 认识诱导公式。
2. 初步运用诱导公式求三角函数值，并进行三角函数式的化简和证明。
【重点、难点】应用诱导公式进行化简、求值自主学习案【问题导学】P(x,y)关于原点对称的点为_________P(x,y)关于x 轴对称的点为_________P(x,y)关于y 轴对称的点为_________与a 角终边相同的角的集合________与a 角终边关于原点对称的角的集合________与a 角终边关于x 轴对称的角的集合________与a 角终边关于y 轴对称的角的集合________诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等sin(2k π+α)=_______ cos(2k π+α)=__________ tan(2k π+α)=_______ 诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式sin(π+α)=___________ cos(π+α)=____________ tan(π+α)=_______ 诱导公式（三） 关于x 轴对称的三角函数公式sin(－α)=____________ cos(－α)=____________ tan(－α)=______ 诱导公式（四） 关于y 轴对称的三角函数公式sin(π－α)=____________ cos(π－α)=____________tan(π－α)=______【预习自测】1.把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值。
(1) sin 1110°=__________ (2) tan 94π = ____________ (3) cos(－ 116π)= ____________ 2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值(1) cos(－ 3π5)=___________(2) tan 138π= _____________ (3) sin 197π=_________________ 3.求下列三角函数值(1)sin(- π4)=___________ (2) cos(-60°)=____________ (3)tan(-236π) =__________ (4) sin(- 103π)=____________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 在0°到360°写出下列角终边相同的角（1）1289° （2）-2040°例2 利用公式求下列三角函数值（1）cos 225° (2) sin311π (3) sin(-623π) (4) cos(-2040°)例3（1）化简)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)【当堂检测】1. 转化为锐角三角函数(1) cos210°=_____________ (2) sin 263°42′=_____________(3)cos(－7π)=____________ (4) tan 617π=_________________ 2. 化简 )sin()an(360)(cos 2αα-+︒--t a = __________3. 化成关于a 的三角函数(1) sin(360°－α)=___________ (2) cos(360°－α)=_______________(3) tan(360°－α)=___________【小结】课后练习案1. 利用公式求下列三角函数值cos(－420°)=_________ sin(－76π)= _____________ sin(－1300°)=_________ cos(679π-)=__________________ 2. 若sin20°=a ，则tan 200°=________________3. sin 34πtan(45π-)=____________ sin 210°=_____________ 4. 已知cos α=31，02<<-a π，求a a a a )tan cos(-))sin(2cos(+--ππ5. 化简(1) sin 3(－a)cos(2π+a)tan(－a －π)(2) ))tan(k -sin(k ))cos((sin 2a a a a k --+πππ。
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一、学习目标：
1. 理解正弦、余弦的诱导公式二、三、四的推导过程；
2. 掌握公式二、三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简；
3. 了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。
使用说明：
二．复习引入：
1.复习：
(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：(,)P x y 为角α的终边与单位圆的交点，则 sin y α=，cos x α=；
(2)由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．
即有sin(2)sin (),cos(2)cos (),
(tan(2)tan (),k k Z k k Z k k Z απα
απααπα
+=∈+=∈+=∈公式一） 2．引入：
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
三、新课探究：
如果角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？ 设角α，β的终边分别与单位圆交于点P ，'P ，则点P 和点'P 关于x 轴对称（如图）．又根据三角函数的定义，点P 的坐标是(c o s ,s i n α
α，点'P 的坐标是(cos ,sin )ββ．故有sin sin ,cos cos βαβα=-=． 由同角三角函数关系得sin sin tan tan cos cos βαβαβα
-===-． 特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，故有
sin()sin cos()cos (tan()tan .
αααααα-=--=-=-，，公式二） 如果角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，或是关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
*三角函数的诱导公式：
(1) 公式一：
sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan (),k k k k Z απααπααπα+=+=+=∈，
(2)公式二：sin()sin cos()cos tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+=，
， (3)公式三：sin()sin cos()cos tan()tan .αααααα-=--=-=-，
， (4)公式四：sin()sin cos()cos tan()tan .πααπααπαα-=-=--=-，
， 说明：①公式中的α指使公式两边有意义的任意一个角；
②若α是角度制，同样成立,如0sin(180)α+=sin α-，cos(180)α+=-cos α；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
四．典型例题：
例1．求下列三角函数值：
（1）sin960； （2）43cos()6
π-； （3）tan(1560)-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值。
解：（1）sin960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）
sin(18060)sin60=+=-
（诱导公式二）=． （2）4343cos()cos 66ππ-=（诱导公式三）77cos(6)cos 66
πππ=+= （诱导公式一）cos()cos 66π
π
π=+=-
（诱导公式二）=． （3）tan(1560)tan1560(tan(4360120)-=-=-⨯+公式二）
tan120(tan(18060)
tan 60(=-=--==公式一）公式三）
小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化大于360的正角的三角函数为)0,360
⎡⎣内的三角函数； ③化)0,360⎡⎣内的三角函数为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 例2．判断下列函数的奇偶性：
（1）()1cos f x x =-； （2）()sin g x x x =-．
解 （1）因为函数()f x 的定义域是R ，且()1cos()1cos ()f x x x f x -=--=-=， 所以()f x 是偶函数．
（2）因为函数()g x 的定义域是R ，且
()sin()(sin )(sin )()g x x x x x x x g x -=---=---=--=-，
所以()g x 是奇函数．
说明：公式二可直接对应三角函数的奇偶性．
例3．化简
sin()sin()()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-． 解：①当2,n k k Z =∈时， 原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα
++-==+-． ②当21,n k k Z =+∈时， 原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+． 说明：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须
把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
五．回顾小结：
1．熟练运用公式化简、求值及证明；
2．用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤；
3．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题．
六．课外作业：
1．化简：
（1）
sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-； （2）sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666
ππππππππ++++； （3）sin()cos()cos[(1)]
n n n παπαπα+-+-． 2．已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值．。