高三第三次诊断考试数学试题(文)含解析

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高三试卷数学-山东省实验中学2024届高三上学期第三次诊断考试(12月)数学试卷及参考答案

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A.13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C.{0,1,2}D.{0,1}2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）A.85B.85-C.15D.15-3.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A.29B.827C.49D.125.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.,1]3B.6[3 C.622,33D.22[,1]36.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =±B.y =±C.y =D.y =7.已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.[)1,+∞ C.12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.3B.6C.12D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）A.1012k a =B.10111012a m a << C.m k≥ D.212s s =10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）A .4ω= B.π6ϕ=-C.()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（）A.当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B.函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ⊥D.1AP PQ QB ++的取值范围是第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．15.若关于x 的不等式()221e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．19.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A.13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C.{0,1,2}D.{0,1}【答案】D 【解析】【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）A.85B.85-C.15 D.15-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，故选：D3.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A.29B.827C.49D.12【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为124279=.故选：C5.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.,1]3B.6[3 C.622,33D.22[,1]3【答案】B 【解析】【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC ======，所以1111332122cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==∠=⨯，1131322cos ,sin 33A OC A OC +-∠=-∠=.又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC ∠为钝角，所以sin α的范围为[,1]3，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =±B.y =±C.y =D.y =【答案】A 【解析】【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-，222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7.已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.[)1,+∞ C.12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，得到()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，则()g x 在R 上递增，当1x ≤时，()()22g x a x =-+，则20a +<，即2a <-成立；当1x >时，()322213112326g x x ax a x =-+-，则()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得12a ≤；当312a >，即23a >时，231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.3 B.6C.12D.6【答案】C 【解析】【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，233BG BE ==，3AG ∴=，又344ABC ABD ACD BCD S S S S ====⨯= ，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDV R S S S S -=+++，又12622333A BCD V -==，66R ∴==，362AO AG GO =-=-=，12363AO AG R r r r =--=--=-，又1AHO AFO ，可得11AO O H AO OF =即612r =，即球的最大半径为12.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）A.1012k a =B.10111012a m a << C.m k≥ D.212s s =【答案】AD 【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A 选项；举反例可判断B 选项C ；利用均值和方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因1232023a a a a <<<< ，样本数据最中间的项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,1n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024ii i i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s =，D 对.故选：AD 10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）A.4ω=B.π6ϕ=-C.()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：BCD .11.已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（）A.当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B.函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC 【解析】【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.故选：BC.12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D.1AP PQ QB ++的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，由题意，22=，化简得，212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对A ，3PA PB +==，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面的投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQAP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，所以422220AB a y y ⋅=+-=+>，解得1y >-，当AB 与a同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .故答案为：(1,9)(9,)-+∞ 14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.故答案为：2515.若关于x 的不等式()221e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2e -∞【解析】【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，即()221e x x a x+≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0x x f x x x+=>，()()()23333312211e e ex x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，其中232e 0xx x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞.故答案为：(],2e -∞16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．【答案】2【解析】【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x ya b a b +=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b--+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故2e =.故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =（2）332【解析】【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，3cos 2ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解.方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA AD CB DB==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a +-==，得c =．又2244439cos 28a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得2a =或a =当32a =时，32c =，则13222DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11333sin 2222ABC S ab C ==⨯=△．方法二因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA ADCB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有23322a a =，所以a =所以21π333sin 2322ABC S ab ===△．18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）32PA SA -=.【解析】【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则30,,02A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,0,2S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则30,,2AP y a z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，330,,22AS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得()312y a λ=-，32z a λ=，即()0,1,22P a a λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =.设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，因为()133,1,222BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=-.因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60mn mn m n ⋅〈〉==︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得32λ=，即32PA SA =.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n n a n n -=⋅∈N （2）()31212nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n nn a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴121n na a n n+=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n na n-=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n=，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k kk k k kk b b k ck -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n n n T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n n n T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********nn n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．【答案】（1）0.6（2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为X 12P0.10.9所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P MP M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||PM N P M N >21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()y x ϕ=的定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01tg t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12x x =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，所以12,12x x P +⎛⎫-⎪⎝⎭，又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MPNP FA MA==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅，∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NBNF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。

江苏省五校2024年高三第三次诊断考试数学试题

江苏省五校2024年高三第三次诊断考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（）A ．1427B ．2C ．1D ．32．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-3．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（）A ．160B ．240C ．280D ．3204．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行5．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．22D ．526．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或157．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强9．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省遂宁市2021届高三数学第三次诊断性考试题文(含解析)

四川省遂宁市2021届高三第三次诊断性考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z的模是（）A. 1B.C. 2D. 43.已知函数，则f（f（-3））的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=（）A. 1B.C. 2D.5.“x＜1”是“log2x＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知角α在第二象限，若，则tan2α=（）A. B. C. D.7.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为2丈，那么该刍甍的体积为（）A. 5立方丈B. 20立方丈C. 40立方丈D. 80立方丈8.执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b，则过定点（4，2）的直线l与圆（x-b）2+y2=16截得的最短弦长为（）A.B.C.D.9.已知点P的坐标（x，y）满足，则的最大值（）10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，sin C=2sin B，则△ABC的周长为（）A. B. C. D.11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=PA=4，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（）A. B. C. D.12.设函数有三个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．已知平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为______．14.曲线在点（4，2）处的切线的斜率为______．15.将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．16.已知函数，函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x∈[0，2]，不等式f （x-2k）＜2k恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1，且数列{a n}的公差d=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是邻边相等的矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）判断直线PA与EB的位置关系（不需证明）；（2）证明：PB⊥ED；（3）求三棱锥A-PBE的体积．19.2021年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”．如表为202X年至2021年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）年份202X 202X 202X 2021 2021 线下销售额90 170 210 280 340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人．（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关．附：，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知直线l1：x+y+1=0与直线l2：x+y+3=0的距离为a，椭圆C：的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．21.已知函数f（x）=ax lnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求f（x）在x∈[m，n]（0＜m＜n）上的最小值；（2）若存在使关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0成立，求k的取值范围．22.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，又在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，若，求此时点P的直角坐标．23.已知函数．（1）解不等式f（x）；（2）若正数a，b，c，满足a+2b+4c=f（）+2，求的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={1}．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵（1+i）z=3+i，∴z=，则|z|=．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，f（-3）=lg（32+1）=lg10=1，则f（f（-3））=f（1）=1+-3=0，故选：A．根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，即可得f（f（-3））=f（1），由解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1），∴=1，∴a=．故选：D．先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．5.【答案】B解：由log2x＜0得0＜x＜1，则“x＜1”是“log2x＜0”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6.【答案】C【解析】解：∵角α在第二象限，若，∴cosα=-=-，tanα==-，∴tan2α==-．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，如图：直三棱柱的侧棱长为8，底面三角形的底边长为6，底边上的高为2，消去的三棱锥的高为2，∴几何体的体积V=6×2×8-2×××6×2×2=40．故选：C．几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1S=1，不满足条件S＞6，执行循环体，k=2，S=2，不满足条件S＞6，执行循环体，k=3，S=6，不满足条件S＞6，执行循环体，k=4，S=15，满足条件S＞6，退出循环，输出k的值为4，由题意，b=4，由题意过圆内定点P（4，2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（4，2）是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|=2=4．弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，解三角形即可得解．本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线恒过定点是关键，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由点P的坐标（x，y）满足，作出可行域如图，A（0，2）z═的几何意义为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，∵k DA==2，∴z=的最大值是：2．故选：A．由约束条件作出可行域，由z=的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，求出DO的斜率得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵sinC=2sinB，∴由正弦定理可得：c=2b，又∵a=3，，∴由余弦定理可得：9=b2+c2-bc=b2+（2b）2-b•2b，解得：b=，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3++2=3+3．故选：C．由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc，联立解得b，c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作AE⊥BC，DF⊥BC与E，F，则BE=CF=1，可得AE=，取BC中点M，连接AM，易得AM=2，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径OA=2，故球O的体积为：=，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），由函数有三个零点，得=ax，有三个根，则必有a＞0，即=ax，则=a2，有三个根，设h（x）==，则当x≥时，h′（x）===，由h′（x）＞0得-2-3lnx＞0得lnx＜，得≤x＜，此时为增函数，由h′（x）＜0得-2-3lnx＜0得lnx＞，得x＞，此时为减函数，此时x=取得极大值，极大值为h（）===，当x→+∞，f（x）→0，h（）=0，当0＜x＜时，h（x）=-，则h′（x）=-=-=-（）=，当0＜x＜时，lnx＜-1，则2+3lnx＜2-3=-1＜0，即此时h′（x）＜0，且h（）=0，作出函数h（x）的图象如图：要使=a2，有三个根，即h（x）=，与y=a2，有三个不同的交点，则满足0＜a2＜，即0＜a＜，即实数a的取值范围是（0，）．故选：D．由题意知a＞0，x＞0，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．13.【答案】1【解析】解：两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为：==1．故答案为：1．利用平面向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影是求法，考查计算能力．14.【答案】解：曲线的导数为y′=，可得曲线在点（4，2）处的切线的斜率：k=，故答案为：．运用函数的导数运算法则，可得曲线的导数，再由导数的几何意义，代入x=4，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，可得y=2cos （2x+2t+）的图象，再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得2t+=kπ+，求得t=+，k∈Z，则t的最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出t的最小值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.【答案】（）【解析】解：令，则有y=h（x）在[-m，m上为奇函数．∴h（x）max+h（x）=0．min∴．又∵函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，∴a=1．∴，∴y=f（x）在x∈[0，2]上为增加的．又∵对任意的x∈[0，2]，不等式f（x-2k）＜2k恒成立，∴f（2-2k）＜2k，即（2-2k）2＜2k，解得．故答案为：（）．可用奇函数的几何性质，先求a的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围．本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题；判断函数的单调性来求最值，从而解答17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）因为…………（1分）所以，由题意有…………（3分）由于x∈（0，1），所以{a n}是以为首项，1为公差的等差数列…………（4分）所以…………（6分）（2）=…………（7分）…①…………（8分）…②…………（9分）则①-②得：，所以…………（12分）【解析】（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1，求出首项，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可．本题考查数列求和，数列与函数相结合，考查发现问题解决问题的能力．18.【答案】（本小题满分12分）解：（1）直线PA与EB是异面直线…………（2分）（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥BC…………（3分）∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC．∵底面ABCD是邻边相等的矩形，即四边形ABCD为正方形．∴BC⊥DC，又PD⊥BC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC…………（5分）∴BC⊥DE，又DE⊥PC，且PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC∴PB⊥ED…………（7分）（3）因为E为PC中点，所以…………（8分）又PD⊥底面ABCD，而底面ABCD是邻边相等的矩形，即底面ABCD是正方形…………（9分）故…………（12分）【解析】（1）真假判断直线PA与EB是异面直线；（2证明PD⊥DC．PD⊥BC，说明BC⊥DC，又PD⊥BC，推出BC⊥平面PDC，得到BC⊥DE，又DE⊥PC，证明DE⊥平面PBC，即可证明PB⊥ED．（3）通过转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）分别记“202X年、202X年、202X年、2021年、2021年”为“a，b，c，d，e”从以上5年中任选2年，其基本事件为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（e，f）；…………（4分）其中销售额均超过200万元的有：（c，d）（c，e）（e，f）；…………（5分）故所求的概率为；…………（6分）（2）根据题意，整理数据得如下2×2列联表；年轻市民老年市民合计支持15 10 25很支持25 30 55合计40 40 80计算K2=≈1.455＜2.072，所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关．【解析】（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离，∴a2=2，…………（2分）离心率，故c=1，b=1，…………（4分）∴椭圆C的标准方程为；…………（5分）（2）由题意，抛物线D焦点为，故其方程为．…………（7分）联立方程组，解得x=1或x=-2（舍去），∴．……（8分）设抛物线在点处的切线为，联立方程组，整理得，由△=0，解之得，∴所求的切线方程为．即是．…………（10分）令x=0，得；令y=0，得x=-1．…………（11分）故所求三角形的面积为．…………（12分）【解析】（1）求出两平行直线间的距离，得到a2=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b则椭圆C的标准方程可求；（2）由抛物线D焦点，可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程，求得Q的坐标，写出抛物线在点处的切线为，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．本题是圆锥曲线综合题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛物线、椭圆与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解（1）f'（x）=a（ln x+1），根据题意得，计算得出：…………（2分）故f'（x）=ln x+1，当f'（x）＞0，即时，f（x）递增，当f'（x）＜0，即时，f（x）递减，…………（3分）①当时，函数f（x）在[m，n]上单调递减，此时f（x）最小值为f（n）=n lnn；②当时，函数f（x）在上递减，在上递增，此时f（x）最小值为；③当时，函数f（x）在[m，n]上递增，此时f（x）最小值为f（m）=m lnm…………（6分）（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解…………（7分）设，，…………（8分）当h'（x）＞0即时，h（x）递增，当h'（x）＜0，即1＜x＜e时，h（x）递减…………（9分）又，，∵…………（10分）∴…………（12分）【解析】根据导数的几何意义以及切线方程可得a=1，b=0；（1）先用导数的符号求出f（x）在{0，+∞）上的单调性，再对n进行讨论可得f（x）在[m，n]上的单调性，根据单调性求得最小值；（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解，再构造函数求得最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题．22.【答案】解：（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．……………………（4分）（2）由题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），可设点P的直角坐标为，因为曲线C2是直线，又∴|PQ|即为点P到直线x+y-6=0的距离……………………（6分）易得点P到直线x+y-6=0的距离为，……………………（7分）所以，所以，此时点P的直角坐标为．……………………（10分）【解析】（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．（2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）因为，所以f（x）=|x-2|-|x-1|，①当x≤1时，f（x）=2-x-（1-x）=1，由，解得x≤1；②当1＜x＜2时，f（x）=3-2x，由，即，解得，又1＜x＜2，所以；③当x≥2时，f（x）=-1不满足，此时不等式无解．综上，不等式的解集为．（2）由题意得，所以=．当且仅当时等号成立．所以的最小值为．【解析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，（2）由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

2024届浙江省温州市普通高中高三第三次适应性考试(温州三模)数学试卷(含答案详解)

温州市2024届普通高中高三第三次适应性考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A ．12B．2CD ．12．平面向量()(),2,2,4a m b ==-，若()a ab - ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,A B 为同一试验中的两个随机事件，则“()()1P A P B +=”是“事件,A B 互为对立事件”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知*m ∈N ，()21mx +和()211m x ++的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ，则（）A ．a b D ．,a b 的大小关系与m 有关5．已知5πsin 4⎛⎫β+=-⎪⎝⎭()()sin 2cos cos 2sin αβαβαα---=（）A ．2425-B ．2425C ．35-D ．356．已知函数()223,02,0xx x x f x x ⎧-+>=⎨≤⎩，则关于x 方程()2f x ax =+的根个数不可能是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，C 上两点,A B 满足：222AF F B = ，14cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是（）A ．34BC ．23D8．数列{}n a 的前n 项和为()*1,n n n n S S a n a +=∈N ，则5622111i i i i a a -==-∑∑可以是（）A ．18B ．12C ．9D ．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

江西省南昌市2023届高三三模数学(文)试题(含解析)

江西省南昌市2023届高三三模数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．24．平面向量(a = A ．6二、多选题5．下列说法中正确的选项是（A ．若样本数据1x B ．若经验回归方程为．．．．．已知n *∈N ，将数列{2的公共项从小到大排列得到新数列1210111a a a +++= （ 91123D ．1225A ．,,,m ACB BCD BDC ∠∠∠C ．,,,m ACB ACD ADC∠∠∠A．1B．12P ABC的四个顶点都在球10．已知三棱锥-==，则球O的表面积为（2PA BC四、填空题直角坐标系中可得到方程22y px =且0p >，则p =________．16．已知数列{}n a 满足112,21,1,N 1,2,n n n a n k a a k a n k *+=-⎧==∈⎨+=⎩，则24620a a a a +++⋯+=_______．(1)求证：//BG 平面DCE ；(2)若BF 与CE 所成的角为6019．某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满为了调查员工的工资与工龄的情况，资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．参考答案：由题意知，AB ⊥平面因为BE AB A = ，BE AE ⊂平面ABE ，所以而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，因此在等腰ABC 中，4,2AB AC BC ===，则215sin 1cos 4ABC ABC ∠=-∠=，因为圆锥的轴截面是一个边长为故抛物线必过(1,1)代入抛物线得故答案为：1216．12224-）AD 的中点N ，则////NC AB GE ，且2NC GE ==设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，∴所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长因为223c =，24a =，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 并整理得所以8k x =，所以8k y =。

四川省自贡市2023届高三下学期第三次诊断性考试数学(文)试题

故选：D.
6．B
【分析】由等比数列及已知，要Tn 为递增数列只需 a1qn1 1 在 n ，结合 a1 的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设
Tn Tn1
an
a1qn1 且 n
2
，要Tn 为递增数列，只需
a1q n 1
2 ，显然 a1q
1，即T2
T1 ，不满足；
a1 1 ，则 a1qn1 1 在 n 2 上恒成立，满足.
所以Tn 为递增数列有 a1 1 且 q 1 .
所以，“数列Tn 为递增数列”是“ a1 0 且 q 1 ”的充分不必要条件.
故选：B.
答案第 2 页，共 18 页
7．C 【分析】对 K 、 H 、 G 、 B 四个点逐一进行分析，找出棱柱中与平面 PEF 平行的棱的条数，即可判断．【详解】解：取 AC 的中点 M ，连接 EM ， MK ， KF ， EF ，如图所示：
1在
n
2
上恒成
立，
当 q 0 ，不论 a1 取何值，总存在 a1qn1 0 ，不满足要求；
当0 q 1，
a1 0 ，则 a1qn1 0 ，不满足要求；
a1 0 ，总存在 0 a1qn1 1，不满足要求；
当q 1，
a1 0 ，则 a1qn1 0 ，不满足；
0
a1
1，若 a1
1，q= 3
1．A
参考答案：
【分析】利用复数的除法化简复数 z ，利用复数的模长公式可求得 z 的值.
【详解】由复数的四则运算可得
z
21 i
1 i
1
21 i2 1 i1 i
1
1
i2
1
1

2023届呼市高三年级质量普查调研考试—段考(文科数学)试卷真题+参考答案+详细解析

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限 3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．22C ．3D ．38．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．202米C ．153米D ．25米9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．4510．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( ) A ．20x y π---= B ．2220x y π---= C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为． 15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()3f x x +=；④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，10BD =，2CD =．（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C 的参数方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求弦长||AB 的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m ，函数()2|1||2|f x x x m =--+的最大值为4．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值．2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学参考答案及评分标准【选择题&填空题答案速查】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}【解析】{|24}{|2}x A x x x =>=>，{1,2,3,4}B =，{3,4}AB ∴=．故选：D ．【评注】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限【评注】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-【解析】因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且【评注】本题考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π (2)()1a b a b +-=，2221a a b b +-=，||2a =，||1b =，解1a b =，所2,2||||a b a b a b >==，又因为,[0,]a b π<>∈，故a 与b 的夹角为【评注】本题考查向量的数量积的求法，是基本知识的考查． 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <数列{}n a ，结合二次函数的性质可得前23项的和最大【评注】本题主要考查了等差数列的前n 项的和，解题的关键是判断出数列中正数的项．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A B ．C ．3D【解析】由题可知，双曲线渐近线为0bx ay ±=，则右焦点(,0)F c 到渐近线的距离为【评注】本题考查双曲线的简单性质的应用及焦渐距、离心率的求解，考查计算能力．8．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．C ．米D ．25米【评注】本题考查了解三角形、余弦定理的应用问题，也考查了推理能力与计算能力，属中档题． 9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．45【解析】当03i <<时，3log 0i =；39i <时，3log 1i =；927i <时，3log 2i =；27i =时，3log 3i =，所以61182345S =⨯+⨯+=．故选：D ．【评注】本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题． 10．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( )A ．20x y π---=B ．2220x y π---=C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=【解析】sin 2cos y x x =+，cos 2sin y x x ∴'=-，∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的斜率1k =-， ∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的方程2()y x π+=--，即20x y π+-+=．故选：D ．【评注】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则(1)240(3)1860f m f m =-<⎧⎨=-<⎩，解得3m >，2m >不能推出3m >，充分性不成立， 3m >能推出2m >，必要性成立，故“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件．故选：C ．【评注】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-2(2021)f ++【评注】本题考查函数的周期性与对称性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是 4 ．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立110x x y =⎧⎨++=⎩，解得(1,2)A -，由2z x y =-，得2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为21(2)4⨯--=．故答案为：4．【评注】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为22(2)(2)8x y +++= ．【解析】圆C 的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，其圆心为(,)C a b ，半径为(0)r r >，【评注】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为①③④ ．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()f x x +=④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．【评注】本题考查了三角函数的图象，重点考查了三角函数的性质，属基础题． 16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是 [1 ．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，203πθ，则1(2PA PC ⋅=-1(cos )(cos 226θ+203πθ，则，即PA PC ⋅的取值范围是，故答案为：【评注】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，BD =CD =（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．）解：122a a ++2n 时，有223a a ++两式相减得：(1)2na n =-⋅2n ， 1n =时，有2=也适合上式，）证明：由（121n =-+11113<+．【评注】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题． 19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．)1x ．设仅清洗一次，222((1)(a a a =+洗方法具有相同的效果；当【评注】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．上单调递增，)(1,)+∞．【评注】本题考查了函数的单调性、最值问题，隐零点的虚设与代换，考查导数的应用，属于难题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．【评注】本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质的应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C的参数方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，求弦长||AB的长．【评注】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，直线的参数方程的几何意义等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m，函数()2|1||2|f x x x m=--+的最大值为4．（1）求实数m的值；（2）若实数a，b，c满足2a b c m-+=，求222a b c++的最小值．||(22)x-m，()|2|f x m∴+=()2maxf x m∴=，又(f x（2）根据柯西不等式得：](2a b-+，2a b-+223c，当121a b c==-，即13a=，时取等号，22a b∴+的最小值为【评注】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学(文)试题【含答案】

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间内，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当时，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。

2022届成都市郫都区高三第三次阶段考试数学(文)试题(解析版)

2022届成都市郫都区高三第三次阶段考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA （）A ．{}1,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5【答案】C【分析】根据补集的定义可求得结果.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则2,5UA .故选：C.2．若复数z 满足()i i 2z -=，则z 的虚部为（） A ．0 B ．1C ．-1D ．i【答案】C【分析】根据除法运算求得复数z ，最后确定复数z 的虚部. 【详解】解：因为()i i 2z -=，所以22i +i +i 2i+i i i i iz ===-=-⋅，所以z 的虚部为1-，故选：C.3．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题，所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.4．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22n n S a =-，则n a 等于（） A ．2n B ．2nC ．12n -D ．12n +【答案】B【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .【详解】1n =时，11122,2a a a =-=.2n ≥时，1122n n S a --=-，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =. 故选：B5．郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm ）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．80cm 以上优质苗木所占比例增加10%B ．改进后，80cm 以上优质苗木产量实现了增加80%的目标C ．70cm-80cm 的苗木产量没有变化D ．70cm 以下次品苗木产量减少了13【答案】B【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则单位面积80cm 以上的增加量为()10.50.60.50.4a a a +⨯-=，70cm-80cm的苗木产量增加0.15a ，70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.50.2a aa-+，即可判断结果．【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则80cm 以上优质苗木所占比例增加了()10.50.60.50.4+⨯-=，即40%故A 错； 80cm 以上优质苗木产量实现了增加了()10.50.60.50.80.5a a a+⨯-=，即80%的目标，故B正确；单位面积上70cm-80cm 的苗木产量增加了()10.50.30.30.15a a a +⨯-=，故C 错； 70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.510.24a a a -+=，故D 错故选：B ．6．若实数x ，y 满足4394x y x y +≥⎧⎨-≤⎩.则3z x y =-的最大值是（）A ．9B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】画出实数x ，y 所表示的平面区域，再根据3z x y =-的意义即可求最大值.【详解】由4394x y x y +=⎧⎨-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，记为(3,1)A -.画出实数x ，y 所表示的平面区域如下：将3z x y =-，变为133z y x =-，作出13y x =的图象，将13y x =平移过点(3,1)A -时有最大值，最大值为max 33(1)6z =--=. 故选：D7．已知直线y x a =+与曲线ln y x =相切，则a 的值为（） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】C【分析】由切线斜率为1求得切点坐标，代入切线方程得a 值．【详解】解：由11y x'==，解得1x =，此时ln10y ==，又由01a =+得1a =-．故选：C8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22149x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】根据椭圆方程求得3a =，再由椭圆的定义可得126MF MF +=，利用基本不等式即可求解．【详解】由椭圆22149x y +=可得29a =，所以3a =，因为点M 在C 上，所以1226MF MF a +==，所以2212126922MF MF MF MF ⎛+⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当123MF MF ==时等号成立，12MF MF ⋅最大值为9，故选：C ． 9．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则（） A ．a c b <b a ∵，b a ∴>；又ln 5ln 22ln 55ln 2ln 25ln 320521010---=-==<c a ∵，a c ∴>，故b a c >>. 故选：D10．甲、乙两人约定在下午4：00~5：00间在某地相见，且他们在4：00~5：00之间到达的时刻是等可能的，同时他们约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率为（） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】B【分析】本题先建立直角坐标系，将所有事件及满足条件事件对应的区域画出来，根据面积之比得到概率.【详解】以4：00为时间起点，建立直角坐标系，设甲、乙分别在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为(){},060,060x y x y ≤≤≤≤，即图中正方形；能相见的条件是事件满足20x y -≤，即图中阴影部分对应区域，由几何概型知所求概率为22260405609-=.故选：B.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x '+>，且有()33f =，则()33e xf x ->的解集为（） A ．()3,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),3-∞ D ．(),1-∞【答案】A【分析】构造()()e xF x f x =⋅，应用导数及已知条件判断()F x 的单调性，而题设不等式等价于()()3F x F >即可得解.【详解】设()()e xF x f x =⋅，则()()()()()e e e 0x x x F x f x f x f x f x '''=⋅+⋅=+>⎡⎤⎣⎦，∴()F x 在R 上单调递增.又()33f =，则()()3333e 3e F f =⋅=.∵()33e x f x ->等价于()3e 3e xf x ⋅>，即()()3F x F >，∴3x >，即所求不等式的解集为()3,+∞. 故选：A. 12．已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A ．1(0,]8B ．5(0,]8C ．15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃【答案】D 【详解】(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，21111112sin sin cos sin ),2222222(241)f x a b x x x x x ωπωωωω=⋅-+-=-+--=2π2π,01T ωω=≥<≤,当(,2)x ππ∈时，(,2),444x πππωωπωπ-∈--故()ππ4π2π1π4k k ωπω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k Z ∈，解得15428k k ω+≤≤+()k Z ∈，01ω<≤， k=0时,解得1548ω≤≤，当k=-1时解得108ω<≤. 故选：D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得ω的取值范围. 二、填空题13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且952S a =，则使得0n S =时n 的值为______. 【答案】9【分析】由等差数列前n 项和公式结合等差中项可得5a ，然后可知. 【详解】199559()922a a S a a +===，50a ∴=，故9502S a ==，所以9n =. 故答案为：914．若双曲线C ：()2210y x m m-=>的一条渐近线为30x +=，则m ______.【答案】3【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据其一条渐近线为30x y =求解. 【详解】因为()2210y x m m-=>，所以其渐近线方程为y mx =±，又因为其一条渐近线为30x y =，所以3m =，故答案为：315．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB AC ⋅等于_______. 【答案】2【分析】利用平面向量数量积的几何意义求解.【详解】如图所示：由图象知：cos AB AC AB AC BAO ⋅=⋅⋅∠，因为02BAO π<∠<，所以cos AB BAO AO ⋅∠=，所以2AB AC AO AC ⋅=⋅=，故答案为：216．对于三次函数()()320f x ax bx a cx d =++≠+给出定义：设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数fx 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 【答案】2021【分析】由题设对()f x 求二阶导并确定零点，进而可得对称中心1(,1)2，利用()(1)2f x f x +-=求目标式的值即可.【详解】由题设，2()3f x x x '=-+，()21''=-f x x ，令()0f x ''=，则012x =，而1111115()3123824212f =⨯-⨯+⨯-=，所以1(,1)2是()f x 的对称中心，即()(1)2f x f x +-=，所以12021220201012...22022202220222102220102202022f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10111120222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2101012021⨯+=. 故答案为：2021.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2B A C =+ (1)若1a =，3b =sin C ； (2)若2b a c =+，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)1 (2)等边三角形【分析】（1）先求出角B ，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A ，进而可得角C ，从而可得答案；（2）利用余弦定理，结合已知条件可得a c =，则有3A CB π===，从而即可判断ABC的形状.【详解】(1)解：在ABC 中，由A B C π++=，2B A C =+，得3B π=，因为1a =，3b =所以由正弦定理，可得13sin 3A=1sin 2A =，又0AB <<，所以6A π=，所以362C ππππ=--=，所以sin 1C =；(2)解：因为2b a c =+，所以22242b a ac c =++，又由余弦定理有222b a c ac =+-. 所以22224442a c ac a ac c +-=++，即()230a c -=，所以a c =，所以A C =，又23A C π+=，所以3A CB π===，所以ABC 是等边三角形.18．2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.分数区间 (]50,60 (]60,70 (]70,80 (]80,90 (]90,100频率 0.12a0.4 0.2 a(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.【答案】(1)35(2)[)78.75,87.5，【分析】（1）先根据频率的性质求得0.1a =，再分别计算出得分位于(]80,90与得分位于(]90,100的人数，最后用列举法计算即可；（2）设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ，根据得奖率列式求解即可. 【详解】(1)由题意得0.120.40.21a a ++++=，所以0.1a =. 得分位于(]80,90的共有200.2=4⨯人，分别为A ，B ，C ，D ，得分位于(]90,100的共有200.1=2⨯人，分别为E ，F从这6人中选出2人共有{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }这15种情况，其中含有至少一人为90分以上的情况是{A ，E }，{A ，F }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }共9种情况，所以选出的两人中至少有一人在90分以上的概率93155P ==. (2)设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ；则()0.20.19015%10x +-⨯=，解出87.5x = ()0.40.10.28035%10y ++-⨯=，解出78.75x = 所以二等奖的分数区间为[)78.75,87.5. （或：一等奖的最低分数为15%0.1901090 2.587.50.2--⨯=-=二等奖的最低分数为35%0.10.2801080 1.2578.750.4---⨯=-=，从而二等奖的分数区间为[)78.75,87.5）19．如图，在四棱锥A BCDE -中，BC ⊥平面ABE ，且DE BC ∥，336DE AB BC ===，4BE =，60ABE ∠=︒.(1)求证：AE ⊥平面ABC ；(2)若点F 满足AD AF λ=，且//AB 平面CEF ，求λ. 【答案】(1)证明见解析 (2)4【分析】（1）在ABE △中，由余弦定理求得AE 23=，再根据勾股定理证得AB AE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得证；（2）连接BD 交CE 于点G ，连接FG ，根据//AB 平面CEF ，得到//AB FG ，由AF BGFD GD=求解.【详解】(1)证明：在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠，解得AE 23=. ∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥. ∵BC ⊥平面ABE ，∴BC AE ⊥，又AB ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面ABC . (2)解：如图所示：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵//AB 平面CEF ，平面ABD ⋂平面CEF FG =，∴//AB FG ，∴AF BGFD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG △△，∴13BG BC GD DE ==，所以13AF BG FD GD ==，所以4AD AF =， ∴4λ=.20．已知函数()sin f x x x =.(1)求()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设()()cos g x a x f x =-，若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最大值为π2，最小值为0(2)(],0-∞【分析】（1）由导函数得到函数单调性，进而求出函数在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值；（2）分类讨论，参变分离求解实数a 的取值范围. 【详解】(1)()sin cos f x x x x '=+因为在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，sin 0x ≤，cos 0x x ≤，所以()0f x '≤，且只有()00f '=，所以()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，最大值为ππ22f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最小值为()00f =(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 0g x a x x x =-≤当π2x =时，πππππ222cos sin 022g a ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，此时a ∈R当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，则sin cos x x a x ≤在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，所以a 小于等于sin cos x x x 的最小值，令()sin cos x x h x x =，()21sin 22cos x x h x x +'=在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒大于等于0，所以()h x 在上单调递增，所以()h x 的最小值为()00h =，即0a ≤. 综上所述：实数a 的取值范围是(],0-∞.21．设点()(),0C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到直线0y =的距离比到定点()0,1F 的距离小1，动点C 的轨迹方程为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点. ①若2AF FB =，求直线l 的方程；②分别过点A ，B 作曲线E 的切线且交于点D ，若以O 为圆心，OD 为半径的圆经过点()1,2M ，求直线l 的方程.【答案】(1)24x y =(2)2440x y -+=2440x y +-=；②10x y -+=或10x y +-= 【分析】（1）由题意可知1CF y -=，再转化为代数语言化简即可；（2）①设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线联立，再运用2AF FB =可求解. ②根据题意求出两切线方程，两方程联立得到交点坐标，再根据OD OM =建立方程可求解.【详解】(1)设点C 到直线0y =的距离为y ，由题意可知1CF y -=，因为0y ≥， ()2211x y y +-=，化简得24x y =为所求方程.(2)①由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以124x x k +=，124x x =，又因为2AF FB =，所以122x x -=，所以122x =22x =-122x =-22x 所以2k =2k =l 2440x y -+=2440x y +-=.②因为24x y =，所以211,42y x y x '==，过点A 的切线方程为()1112x y x x y =-+，即112xy x y =-①，过点B 的切线方程为()2222x y x x y =-+，即222xy x y =-②，联立①②得()()12122x x x y y -=-，所以()12121222y y x x x x x -+==-，124x xy =，所以点D 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1D k -， ∵OD OM =，()()22215k +-∴1k =±所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y +-=.22．在极坐标系中，O 为极点，已知点1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:cos 2l ρθ=上，点2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线:4cos C ρθ=上. (1)求AOB 的面积；(2)求圆心在极轴上，且经过极点和点A 的圆的极坐标方程. 【答案】(1)3(2)8cos ρθ=【分析】（1）求出1ρ、2ρ的值，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）在平面直角坐标系中，求出线段OA 的垂直平分线的方程，可求得所求圆的圆心坐标与半径，进一步可得出所求圆的标准方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】(1)解：由已知可得11cos 243πρρ=⇒=，24cos236πρ==因此，OAB 的面积为121sin 2326AOB S πρρ==△(2)解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立极坐标系中，点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以，在平面直角坐标系中，点(2,23A ，直线OA 的斜率为233OA k ==线段OA 的中点为(3M ，则线段OA 的中垂线方程为)331y x =-，即340x y -=，在直线340x +-=的方程中，令0y =，得圆心坐标()4,0，半径为4，所以所求圆方程为()22416x y -+=，即228x y x +=，所以，所求圆的极坐标方程为8cos ρθ=. 23．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞.【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥．由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

山东省实验中学2022届高三上学期第三次诊断考试数学(文)试题 Word版含答案

山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12说明：本试卷满分150分。

分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{}{}260,2A x x xB x x=--≤=≥，则集合A B⋂=A．[]2,3-B．[]2,2-C．(]0,3D．[]2,32．设向量()(),1,4,,//a xb x a b==且，则实数x的值是A．0 B．2-C．2 D．±23.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，534．设,αβ是两个不同的平面，直线mα⊂．则“//mβ”是“//αβ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知,x y满足约束条件2212y xx y z x yx⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为A．32B．52C．3 D．46．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若45624,48a a S+==，则公差d的值为：A．1 B．2 C．4 D．87．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b-=⊥-=满足且，则A．2B．2 C. 22D．48．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗仆人要求赔偿5斗粟．羊仆人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马仆人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的仆人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升；则下列推断正确的是A．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507a=B．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507c=C．,,a b c依次成公比为12的等比数列，且507a=D．,,a b c够次成公比为12的等比数列，且507c=9．如图是函数()sin,0,0,02y x x R Aπωϕωϕ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x的图象A．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B．向左平移至3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D．向左平移6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．函数()()sin ln 2x f x x =+的图象可能是11．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，为A ．5πB 2πC ．20πD ．72π12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,6423⎛-+ ⎝C ．1,623⎛-- ⎝D ．162,3⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．若点()4,tan θ在函数2log y x =的图象上，则sin cos θθ⋅=__________．14．一简洁组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．15．已知函数()()sin 01f x x x a bπ=<<≠，若，且()()f a f b =，则41a b +的最小值为_____________.16．己知数列{}111212312391:,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，则2018S =_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.) (一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知函数()23sin 22cos 1,f x x x x R=+-∈．(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(II)在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为(),,3,1,sin 2sin a b c c f C B A===，已知，求,a b 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()211,5,1n n nS a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(II)令2n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视状况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语学问的的时间y (单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对比表(如下表所示)：由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程y bx a=+，并猜测年龄为60岁观众周均学习成语学问的时间．参考数据：线性回归方程中,b a的最小二乘估量分别是()1221,ni iiniix y nxyb a y bxx n x==-==--∑∑．20．(本小题满分12分)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面相互垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD⊥===，点M是EC中点. （I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求三棱锥M－BDE的体积.21．(本小题满分12分)已知函数()()0.xf x e ax a a R a=+-∈≠且(I)若函数()0f x x=在处取得极值，求实数a的值；并求此时()[]21f x-在，上的最大值；(Ⅱ)若函数()f x不存在零点，求实数a的取值范围；(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中，点M的坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的方程为22sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l经过点M．(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数(),f x x a a R=-∈(I)当1a=时，求()11f x x≥++的解集；(II)若不等式()30f x x+≤的解集包含{}1x x≤-，求a的取值范围．山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12一、选择题 DDABC CBDAA AC二、填空题 13. 52 14. π312- 15. 9 16. 20198072三、解答题 17. 解：)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ……………2分 (1)周期为π=T …………………………3分由于)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ …………………………4分所以ππππk x k +≤≤+326所以函数的单减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ…………………………6分（2）由于1)62sin(2)(=+=πC C f ，所以3π=C …………………………7分所以3cos2)3(222πab b a -+=，322=-+ab b a (1)………………………9分又由于A B sin 2sin =，所以a b 2= (2) …………………………10分由（1），（2）可得2,1==b a …………………………12分18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+211得111=-++nS n S nn ……………………………………3分又511=S ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为5，公差为1的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知()415+=-+=n n nS n所以n n S n 42+=…………………………………5分当2≥n 时，()()321414221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n又1a 也符合上式，所以()*32N n n a n ∈+=……………………………………………6分所以()nn n b 232+= ……………………………………………………7分所以()nn n T 23229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T所以()()()22122221023211431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T…………………………12分19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种状况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种状况，其概率为54108=； ……………………4分（2）由题意可知=35， =3.5，52541=∑=ii i yx 5400412=∑=i i x ……………6分所以2021,1007==∧∧a b ……………8分所以20211007+=∧x y ． ……………10分当60=x 时， 201032021601007=+⋅=∧y =5.25小时．猜测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。

江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)

2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a 1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a 0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。

甘肃省2023届高三第三次高考诊断考试文科数学试题

动圆环 2 次，记 an (3 £ n £ 9, n Î N *) 为解下 n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且
an = an-1 + 2an-2 + m (n ³ 3, n Î N *) ，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为（
）
试卷第31 页，共33 页
A．54
B．90
C．170
D．256
甘肃省 2023 届高三第三次高考诊断考试文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集U = R ，集合 A = {x 2 £ x £ 4} ， B = {x x > 3} ，则 A I (ðU B) = （）
D． x1 + x3 = ex2
二、填空题
xy
ìx + y +3 ³ 0
z = 4x + 3y
13．已知，满足约束条件 ïí2x - 3y +1 ³ 0 ，则
的最大值为______.
ïîx - y -1 £ 0
14．已知数列{an} 满足
a1
=
1 3
，
an+1
=
an an +1
，则数列
ì1
í î
y
=
b 与曲线
y
=
f
(x)
和
y
=
g ( x) 分别
相交于点 A( x1, f ( x1 )) ， B ( x2, f ( x2 )) ， C ( x3, g ( x3 )) ，且 x1 < x2 < x3 ，则下列结论正确

安徽省部分高中(皖南八校)2021届高三第三次联考数学(文)试题 Word版含答案

安徽省部分高中（皖南八校）2021届高三第三次联考数学（文）试题一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．64．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±49．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．810．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为（填写全部真命题的序号）．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．安徽省皖南八校联考2021届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z+2=（z﹣2）•i，∴z+2=zi﹣2i，化为z（1﹣i）=﹣2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=﹣2（1+i）2，化为2z=﹣2（2i），∴z=﹣2i．则复数z 的共轭复数=2i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|0＜x＜3}，则B⊆A，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，比较基础．3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．6考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即可．解答：解：（log32﹣log318）÷81﹣=log 3÷=﹣2÷=﹣6，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质和幂的运算性质，属于基础题．4．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=6时，不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=2满足条件i＜6，s=，i=2满足条件i＜6，s=﹣1，i=3满足条件i＜6，s=2，i=4满足条件i＜6，s=，i=5满足条件i＜6，s=﹣1，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先依据三视图把平面图复原成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：解：依据三视图得知：该几何体是有一个棱长为2的正方体，在每个角上的三条棱的中点处截去一个三棱锥体，共截去8个小三棱锥．则：该几何体的体积为：V==故选：A点评：本题考查的学问要点：三视图与立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用．主要考查同学的空间想象力量和应用力量．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：先推断命题p，q的真假，再依据真值表进行推断即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＞x2；当x=﹣1时，2﹣1＜（﹣1）2，故命题p为假命题，则￢p为真命题，命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，当x=﹣1时，0＜1，故命题q为真命题，则￢q为假命题，故p∧q为假命题，p∨￢q为假命题，￢p∧q为真命题，￢p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题借助考查复合命题的真假推断，解题的关键是娴熟把握复合命题的真假规律．7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得三角形的面积和扇形的面积，由几何概型的概率公式可儿的．解答：解：由题意该几何概型的总的基本大事的区域为边长为1的正三角形的面积S==，而满足AM ＜的区域为扇形的面积S′==，∴所求概率P==故选：D点评：本题考查几何概型，涉及正三角形的面积和扇形的面积，属中档题．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．解答：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=，∴=q12==，∴q3=±；∴a6=a3•q3=16×（±）=±4．故答案为：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了同学机敏的计算力量，是基础题目．9．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．8考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题可得a=2，且a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，从而得出结论．解答：解：依据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，可得a=2，而函数的相邻的2条对称轴之间的距离为=，故由y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，可得a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，是偶数，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最值，属于中档题．10．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C化成标准方程，得圆心为C（0，2），半径r=1，依据题意可得点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于t的不等式，解之得t的范围．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，∴整理得：x2+（y﹣2）2=1，可得圆心为C（0，2），半径r=1．又∵直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，∴点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，可得≥2，解之得t≤0．故选：B．点评：本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等学问，属于中档题．二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：依据已知条件简洁求出2，从而可以求出，从而求得||．解答：解：=；∴；∴；∴．故答案为：．点评：考查向量数量积的运算，把握这种要求先求的方法，也可写成．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y 的最小值为3．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x﹣4y ，得y=2x﹣表示，平移直线y=2x﹣，当直线y=2x﹣经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即A（，），此时z min=8×﹣4×=3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，留意利用数形结合来解决．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，问题转化为∴a≤（2x2）min，求出函数y=2x2的最小值即可．解答：解：若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）=2﹣≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤（2x2）min=2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的应用，考查了转化思想，考查函数的最值问题，是一道基础题．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．解答：解：抛物线x2=2py的焦点F（0，）准线方程y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3p解得y1+y2=2p，∴线段AB的中点纵坐标为p∴线段AB的中点到x轴的距离为p．故答案为：p．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为①②④（填写全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：①利用已知可得f（﹣2）=22=4，f（4）=22=4，即可推断出正误；②利用向量共线定理即可推断出正误；③由面面垂直的判定与性质定理即可推断出正误；④若△ABC 是锐角三角形，则，可得，即可推断出正误；⑤f（x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，可得cosφ﹣sinφ=，cos（φ+）=，且φ∈（0，），解得φ=或．可得f（x）=±，分类争辩利用正弦函数的单调性即可推断出正误．解答：解：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=f（4）=22=4，因此正确；②由O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；③由平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；④若△ABC 是锐角三角形，则，∴，∴cosA＜sinB，因此正确；⑤f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）=（cosφ﹣sinφ）（sin2x﹣cos2x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，∴cosφ﹣sinφ=，∴cos（φ+）=，且φ∈（0，），∴φ=或．∴f（x）=±，由或≤，解得kπ﹣≤x≤kπ+，或≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）或（k∈Z），因此不正确．综上可得：真命题为①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了简易规律的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础学问，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC﹣cosC=0，即可求得C的值．解答：解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，故：sinBcosC=0，而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）得﹣cos（B+C）=sinBcosC﹣cosBsinC，即有：sinBsinC﹣cosBcosC=sinBcosC﹣cosBsinC，从而：（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，又由于b＜c，所以B＜C，所以（sinB+cosB）≠0，既有sinC﹣cosC=0，故解得：C=45°．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本学问的考查．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2，利用PB2+BM2=PM2，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；（ii）利用V N﹣ABD =••S△ABD即可得出．解答：（I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．∴AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，∴AE⊂平面PAB．∴MN∥平面PAB．（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，∴PM⊥AD，∴PM==2．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2=PM2+BM2﹣2PM•BMcos45°=2，∴PB2+BM2=PM2，∴PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，∴PB⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD；（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，∴点N到平面ABCD的距离h=PB．∴V N﹣ABD =••S△ABD =×=．点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得各组的频率，可得要求的人数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，列举由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知前四组的频率分别为，，，，∴分数在[80，90），[90，100]两组的频率是和，∴分数在[80，90）内的人数是×1200=240，分数在[90，100）内的人数是×1200=60；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，从中抽取2人的情形为（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3）共15种，其中两人平均分不超过60分的有（a，b），（a，c），（b，c）共3种，∴所求概率为P==．点评：本题考查列举法计算基本大事数及大事发生的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）先求导，再依据函数的单调区间，即可求出a的值；（2）依据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2，∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣3a）（x﹣a），∵函数f（x）的单调递减区间为（﹣3，﹣1），∴，即a=﹣1；（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，∴a＞0，且，解得故a3的取值范围为（，3）点评：本题考查了应用导数争辩函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的力量以及分类争辩的数学思想．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a11=1，a23=14，a32=16，可得，解得d，q．即可得出a n1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n ﹣1）=3n﹣2．可得b n ==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n．由T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，可得m2﹣7m＞（T n）max，解出即可．解答：解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．∵a11=1，a23=14，a32=16，∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n﹣1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n=8﹣．∵T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，∴m2﹣7m＞（T n）max，∴m2﹣7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点M （c ，ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；（Ⅱ）利用|FN|等于C 的长轴长的，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．解答：解：（Ⅰ）∵点M （c ，ce）在椭圆C上，∴，∴b2=2c2，∴a2=3c2，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）C 的方程可化为，设N（x1，y1），则∵|FN|等于C 的长轴长的，∴|FN|2=（x1+c）2+y12=，∴4x12+24cx1﹣45c2=0，∴x1=c，∴y1=±c，∴直线ON的方程为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查同学的计算力量，属于中档题．。

贵州省毕节市2023届高三诊断性考试(三)数学(文)试题

贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．23-B 12．已知点G 为三角形ABC 二、填空题13．某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教师中采用分层抽样的方法抽取部分教师体检.已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5：1，且被抽到参加体检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是___________.14．写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数()f x =______.①()0f x ¢£在R 上恒成立；②()f x ¢是偶函数；③()()()12120f x x f x f x +=.15．将正整数排成如图所示的数阵，其中第k 行有2k 个数，如果2023是表中第m 行的第n 个数，则n =___________.(1)在平面11AA B B 内找一点D ，使//MD 平面1C NO ，并加以证明；(2)求三棱锥1B C NO -的体积.19．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x （单位：百万元）与其月销售量y （单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.(1)通过分析散点图的特征后，计划用()ln y bx a =+作为月销售量额x 的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y 关于x (2)根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测月销售量果用数字作答，保留两位小数）参考公式及参考数据：()()11ˆˆ,nniii ii i x x y y x y nx yb==---×==åå。

新疆维吾尔自治区阿勒泰地区2023届高三三模数学(文)试题(含答案解析)

新疆维吾尔自治区阿勒泰地区2023届高三三模数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．2和3B 3．已知集合{A x x =≥A ．{}41x x -≤≤C ．{41}x x -<<4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为面体的体积为（）A ．8B ．12C ．165．已知函数则函数2,0,()()()1,0,x x f x g x f x x x⎧≥⎪==-⎨<⎪⎩，则函数g．．．．．函数e xxy =的极值点是（．0(0,1)．正方体ABCD A -1,,AA AB AD 的中点，则平面平面EFG 所成角为（．30︒60︒《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为2m 按照上述经验公式计算所得弧田面积约是A ．22m B ．9．有一个圆锥形铅锤，其底面直径为则关于下列命题：①铅锤的侧面积为周、最终又回到P 点的最短路径的长度为A ．①②都正确C ．①错误、②正确10．1F 和2F 分别是双曲线x a二、填空题13．已知平面向量,a b，满足,||1,||1a b a b ⊥== ，则||a b += _______．14．已知正AOB （O 为坐标原点）的顶点,A B 在抛物线24y x =上，则AOB 的边长等于_______．15．函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．16．正数,a b 满足2224log log a bb a -=-，则a 与2b 大小关系为______．三、解答题17．若数列{}n a 的首项为1，且136n n a a +-=．(1)求证：{}3n a -是等比数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S ．18．在ABC 中，,D E 分别为,AB AC 的中点，22AB BC CD ==，如图①，以DE 为折痕将ADE V 折起，使点A 到达点P 的位置，如图②．参考答案：从而可得()g x 图像为故选：B.6．B【分析】求导，利用函数的单调性及极值的定义求解．【详解】1ey -'=当1x <时，'>y 故当1x =时，函数取极大值，所以，函数故选：B ．7．D【分析】先证明可.因为G 、F 分别为AD 、AB 又因为AC BD ⊥，所以AC GF ⊥，又因为1AA ⊥面ABCD ，所以1AA GF ⊥.又因为1AC AA A =∩，AC 、所以GF ⊥面11ACC A ，又因为GF ⊂面EFG ，所以面EFG ⊥面11ACC A ，即：平面11ACC A 与平面EFG 故选：D.8．A【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答【详解】依题意，弦22sin=⨯则弧田面积=21(23112⨯⨯+所以弧田面积约是22m .故选：A 9．A【分析】利用圆锥的侧面积公式计算判断①；沿着过点平面图形，求出弧的两个端点的距离判断②作答【详解】依题意，圆锥的底面圆半径为显然扇形弧长为圆锥底面圆周长2π3POP '∠=，在POP '△中，由余弦定理得222PP OP OP OP ''=+-蚂蚁从P 点出发沿铅锤侧面爬行一周、②正确.故选：A 10．B【分析】运用双曲线对称性及等边三角形对称性可知求解即可.【详解】由双曲线对称性及等边三角形对称性可知，则2121π6AF F BF F ∠=∠=，又因为120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，所以在21Rt F AF △中，|AF 由双曲线定义知，2||AF -在ABD △中，3,60,AD BAD AB =∠=︒=设△AOB的边长为所以1,1PD BD ==，PE 所以22PB PE BE =+=取PB 的中点F ，连接DF 设点C 到平面PBD 的距离为P BCD C PBD V V --= ，即13即点C 到平面PBD 的距离为19．(1)35(2)45【分析】（1）首先分别给地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星编号，情况，以及满足条件的方法种数，利用古典概型，即可求解；21．(1)()x ϕ的单调递增区间是()3,+∞，单调递减区间是(2)证明见解析【分析】（1）对()x ϕ进行求导，对()x ϕ'（2）对()h x 进行求导，然后分1a ≤-，-结合零点存在定理即可求证【详解】（1）由题可知()13ln 2x x x ϕ=-+则()()()31x x x xϕ-+'=，令()0x ϕ'=，解得故可得当()0,3x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()3,x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递增；所以()x ϕ的单调递增区间是()3,+∞，单调递减区间是（2）易知()21ln 21,02h x a x x x x =-+->令22y x x a =-++，则Δ44a =+，①当1a ≤-时，()Δ0,0h x '≤≤，故()h x 又()()11110,3ln3ln3222h h a =>=+≤- 故()h x 在区间()1,3上一定有一个零点；（2）由（1）可知，在则111,a b a b +=+=当且仅当2a b ==时等号成立．故。

福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题(解析版)

南平市2024届高三第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i 2i i z z +=-，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数z 满足i 2i(i)z z +=-，则可转化为2i (2i)(12i)43i 12i (12i)(12i)55z --+===+--+，所以||1z ==.故选：A.2.已知,a b ∈R ，那么22log log a b >是1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.【详解】因为0,0a b >>，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log log 0a b a b >⇒>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,所以11,,22aba b a b ⎛⎫⎛⎫⇔∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R ,所以2211log log 33aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇒>>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，0b a <<时，不能得出22log log a b >成立.故选：A .3.已知向量a ，b 满足4a = ，2b = ，,150a b =︒ ，则a 在b上的投影向量为（）A.bB.C.b-D.【答案】D 【解析】【分析】利用||cos ,||b a a b b，计算可得a 在b上的投影向量.【详解】a 在b上的投影向量为：1||cos ,4cos1502||b a a b b b =︒=.故选：D.4.对任意非零实数α，当x 充分小时，()11x x αα+≈+⋅.如：1121 2.2524⎛⎫==≈⨯+⨯= ⎪⎝⎭的近似值为（）A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919【答案】C 【解析】化为131218⎡⎤⎛⎫⋅+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据新定义，直接计算取近似值即可．【详解】1312218⎛⎫==⋅⋅- ⎝⎭131112121 1.917838⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅+-≈+⨯-≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选：C .5.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35-B.34C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 16π2cos 6ππsin cos 166αααα⎧⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎛⎫⎪+ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππππcos 2cos 2πcos 212sin 3666αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦131255⎡⎤=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.故选：A .6.关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，若1x y a b -=，(),x y ∈R ，则2x y-的最小值为（）A.12B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可得21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，进而可得24a b =⎧⎨=⎩，可得1412222y x yyy y-+==+，可求2x y -的最小值.【详解】因为关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，所以21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，所以21(1)2(1)b a --=--⎧⎨-⨯-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，所以241x y -=，所以241x y =+，所以141222,22y x yy y y -+==+≥=当且仅当0,1y x ==时取等号.所以2x y -的最小值为2.故选：C.7.在正四面体ABCD 中，P 为棱AD 的中点，过点A 的平面α与平面PBC 平行，平面α 平面ABD m =，平面α 平面ACD n =，则m ，n 所成角的余弦值为（）A.3B.13C.23D.33【答案】B 【解析】【分析】由面面平行的性质定理可得//m BP ，//n PC ，所以m ，n 所成角即为BPC ∠，在BPC △中，由余弦定理求解即可.【详解】因为平面//α平面PBC ，α 平面ABD m =，平面PBC ⋂面ABD BP =，所以//m BP ，因为平面//α平面PBC ，α 平面ACD n =，平面PBC ⋂面ACD PC =，所以//n PC ，所以m ，n 所成角即为,BP PC 所成角，而,BP PC 所成角为BPC ∠，设正四面体ABCD 的棱长为2，所以2AB AC AD BD BC =====，所以BP CP ===所以1cos 3BPC ∠==.故选：B .8.已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y +=【答案】D 【解析】【分析】由题意设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-，由，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- 可求出54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简即可得求出25a =，即可得出答案.【详解】因为椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，所以设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-,设()00,B y ，(),A m n ，()21,0F ，则()()2201,,1,F A m n F B y =-=- ，因为2223F A F B =-，所以()0211323m n y⎧-=-⨯-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以052,33m n y ==-，所以052,33A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为11F A F B ⊥ ，所以()101082,,1,33F A y F B y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2082033y -=，所以02y =±，所以54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为A 在C 上，所以2225169911a a +=-，即42950250a a -+=，解得：25a =或259a =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以25a =.故C 的方程为22154x y +=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22，极差为：22184-=，众数为：20，平均数为：18202022204+++=，因为0.2541⨯=，所以第25百分位数为1820192+=，而原数据：16，18，20，20，22，24，极差为：24168-=，众数为：20，平均数为：161820202224206+++++=，因为0.256 1.5⨯=，所以第25百分位数为18，所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数.故选：BC.10.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()()211740m x m y m m +++--=∈R ，则（）A.直线l 过定点()3,1B.圆C 被x轴截得的弦长为C.当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 距离等于4D.直线l 被圆C 截得的弦长最短时，l 的方程为250x y --=【答案】ACD 【解析】【分析】直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令m 的系数等于零，即可判断A ；()1,2C 到x 轴的距离为2，求出圆C 被x 轴截得的弦长可判断B ；计算出当2m =-时，圆心到直线的距离即可判断C ；当PC l ⊥时，弦长最短，即可判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()3,1P ，故A 正确；对于B ，圆C 的圆心()1,2C ，半径=5r ，()1,2C到x 轴的距离为2，所以圆C 被x 轴截得的弦长为=，故B 错误；对于C ，当2m =-时，直线l ：3100x y +-=，此时圆心()1,2C 到直线l 的距离102d ==，而542r d -=-<，所以当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离等于4，故C 正确.对于D ，当PC l ⊥时，弦长最短，此时1121231l CPk k =-=-=--，因为直线l 过定点()3,1P ，所以l 的方程为：()123y x -=-，化简为：250x y --=，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.()f x 满足()()213244f x f x x ---=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，则（）A.()()202f f -=B.()11g =C.()1y f x x =+-为奇函数D.()1001100k g k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将恒等式代换变形得到()()112f x f x x +--=，再代入特殊值即可验证A ；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边求导得到()()112g x g x ++-=，再代入特殊值即可验证B ；对于C ，举出()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22xg x =+作为反例即可说明C 错误；对于D ，证明()()112g x g x -++=，再对求和式变形即可验证D.【详解】对于A ，由()()213244f x f x x ---=-可知222213244222x x x f f +++⎛⎫⎛⎫⋅---⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()112f x f x x +--=.从而()()111121f f +--=⋅，即()()202f f -=，故A 正确；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边同时求导，可得()()112f x f x ''++-=，即()()112g x g x ++-=.代入0x =即得()11g =，故B 正确；对于C ，考虑()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22x g x =+，则()()g x f x ='，且()()()()()()π21π32213221sin32sin44cos πcos π4422x x f x f x x x x x x x -----=-+---=--+=-，()()()()()ππππ11111cos 1cos 02222x x g x g x g x g x ⎛⎫-⎛⎫+----=--=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故此时()(),f x g x 满足全部条件，但()()π1π11sin 1cos22x xf x x x x ++-=++-=+并不是奇函数（因为显然不过原点），故C 错误；之前已证()()112g x g x ++-=，再由()1g x -的图象关于直线1x =对称，知()()1111g x g x +-=--，即()()g x g x =-.故()()()()()()()()11111211212g x g x g x g x g x g x g x g x -++=-++=-+--=-+--=.所以()()()()100505011143412502100k k k g k g k g k ====-+-==⨯=∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对恒等式的换元及变形，需要选取恰当的换元方式方可简化等式.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2,4A x y yx ==，(){},B x y y x ==，则A B ⋂的子集个数为______.【答案】4【解析】【分析】先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.【详解】由24y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11(0,0),(,)44A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，有两个元素，所以A B ⋂的子集个数为224=.故答案为：4.13.函数()()sin 0f x x ωω=>在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间()0,2π上恰有两个极值点，则ω的取值范围是______.【答案】3544ω<≤【解析】【分析】利用正弦型函数的单调性可得302ω<≤，利用正弦型函数的极值点可得3544ω<≤.【详解】由()()sin 0f x x ωω=>在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得ππ2π62k ω-≥-+，ππ2π32k ω≤+，k ∈Z ，即312k ω≤-，362k ω≤+，k ∈Z ，即302ω<≤，又()()sin 0f x x ωω=>在区间()0,2π上恰有两个极值点，可得3π5π2π22ω<≤，即3544ω<≤.综上，3544ω<≤.故答案为：3544ω<≤.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8π的球O 上，则平面11BCC B 截球O 所得截面的面积为______.【答案】8π7##8π7【解析】【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，结合图象列出关于,x d 的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】由球O 的表面积为8π，所以24π8πS R ==，可知球O ，设上下底面的中心分别为12,O O ，因为2AB =，从而可知球O 的球心与下底面ABCD 的中心2O 重合；分别取11B C 和BC 的中点1E E 、，连接112111212,,,,,C O EO E E E O EO O O ，则在直角梯形112C O O C 中得1262O O =，则在直角梯形112E O O E 中得12E E =，过点2O 作1E E 的垂线，垂足为F ，由于BC ⊥平面112E O O E ，2O F ⊂平面112E O O E ，所以2BC O F ⊥，由21OF EE ⊥，1EE BC E = ，1,EE BC ⊂平面11B BCC ，从而2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，则172E F x =-，则221x d +=，和22222x d ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立解得：276,77x d ==，又因为平面11B BCC 截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径287r =，所以圆面面积为28ππ7r =.【点睛】方法点睛：构建方程组利用勾股定理解截面圆半径是解决立体几何的一种重要方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()31ln 222f x ax x x x=--+，且()f x 图象在1x =处的切线斜率为0.（1）求a 的值；（2）令()()g x f x '=，求()g x 的最小值.【答案】（1）1（2）0【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得()10f '=，解方程即可得出答案；（2）由（1）知函数()31ln 222f x x x x x =--+，对()f x 求导，令()211ln (0)22g x x x x =+->，对()g x 求导，判断()g x '与0的大小得出()g x 的单调性，即可求出()g x 的最小值.【小问1详解】因为()31ln 222f x ax x x x =--+，所以()()2311ln 22f x a x x -+'=+，因为()f x 图象在1x =处的切线斜率为0,所以()10f '=，即31022a -+=，所以1a =.【小问2详解】由（1）知函数()31ln 222f x x x x x=--+，()f x 的定义域为()0,∞+，()211ln 22f x x x =+-'，则()211ln (0)22g x x x x =+->，求导得()233111x g x x x x='-=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在()0,1上递减，在()1,∞+上递增，()()min 10g x g ==.16.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率；（2）每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为X 元，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.19（2）分布列见解析，数学期望为300元【解析】【分析】（1）设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”，求得每个事件的概率，进而利用()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣可求取出的建盏是成品的概率；（2）这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式可求X 分布列及数学期望.【小问1详解】设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则()151102P A ==，()230.310P A ==，()321105P A ==.又()10.2P BA =∣，()20.2PB A =∣，()30.3P B A =∣，所以()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣0.50.20.30.10.20.30.19=⨯+⨯+⨯=【小问2详解】设这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.因为1000X Y =，X 的可能取值为0，1000，2000，3000所以()()03031972900C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()12131924310001C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2123192720002C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33319130003C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X100020003000P7291000243100027100011000所以()72924327101000200030003001000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC AD CD ==<，2π3ABC ∠=.M ，N 分别为棱CD ，PD 上的动点（与端点不重合），且CM DN CD DP=.（1）求证：AD ⊥平面APC ；（2）若3AP =，设平面AMN 与平面APC 所成的角为α，求cos α的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）解法一：由AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，推出AD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一：（2）解法一：设1AD =，建立空间直角坐标系A xyz -，令CM DNCD DPλ==，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值;解法二：不妨设1AD =，由AC ，AD ，AP 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求解平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值.【小问1详解】解法一：因为AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，所以π6CAB ∠=，2πππ362CAD ∠=-=，即AD AC ⊥又PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥因为AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一.【小问2详解】解法一：设1AD =，如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -.令CM DNCD DPλ==，()0,1λ∈，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z 则有CM CD λ=，DN DPλ=即()()111,x y z λ-=，解得))1,,0M λλ-同理可得()0,1N λ-设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由)()10,10,n AM x y n AN y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1x =，则)1y λλ-=，()221z λλ-=.得平面AMN的一个法向量为)()22111,,n λλλλ⎛⎫-- = ⎪⎝⎭又由（1）可知()0,1,0AD =是平面APC 的一个法向量，则有cos n ADn ADα⋅==⋅5==当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cosα的最大值15cos5α=解法二：不妨设1AD=，由AC，AD，AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则根据题意可得：())1,1,0AM AC ADλλλ=+-=-()()10,,AN AD APλλλ=+-=，()0,1λ∈，设平面AMN的一个法向量为(),,n x y z=，())1010n AM x yn AN y zλλλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取1x=，1yλ=-，()221zλλ=-于是()2231,,11nλλλ⎛⎫⎪=⎪--⎝⎭，cos5α=当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α的最大值15cos 5α=.18.已知()11,0A -，()21,0A ，直线1A P ，2A P 相交于点P ，且它们的斜率之积是4，记点P 的轨迹为曲线C（1）求C 的方程；（2）不过1A ，2A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线1MA 与2NA 交于点S ，点S 在直线12x =上，证明：直线l 过定点.【答案】（1）()22114y x x -=≠±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解.（2）设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，将其与椭圆方程联立，从而122841mny y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点S 在直线12x =上，可得1143A N A Mk k =-，从而结合韦达定理可得n 为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y yx x x x +=-+-，在里面代入12x =，结合韦达定理即可得出n 为定值，由此即可得证.【小问1详解】设(),P x y ，则()111PA y k x x =≠-+，()211PA y k x x =≠-，由已知，有()4111y yx x x ⋅=≠±+-，故C 的方程为()22114y x x -=≠±.【小问2详解】解法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩，得()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，由点S 在直线12x =上，设1,2S t ⎛⎫⎪⎝⎭，则121312A M t k t ==+，22112N A tk t==--，所以213A M NA k k =-，又124A N A N k k ⋅=，则()1134A N A M k k ⋅-=，即1143A N A M k k =-，21214113y y x x ⋅=-++，()()12213411y y my n my n -=++++，()()()()221212434410my y mn m y y n ++++++=，()()()222224484344104141n mn m mn m n m m --+++++=--，220n n --=，所以1n =-（舍去），或2n =，所以l 的方程为2x my =+，过定点()2,0解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩得，()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，所以()()2121212n y y mny y-+=-⋅，即()()2121212n y y my y n-+=-，又直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y y x x x x +=-+-，又点S 在直线12x =上，故()()2112131y x y x +=--，所以()()()()()()21211121212121111111y x y my n my y n y y x y my n my y n y +++++==-+-+-()()()()()()()()()()21212222121211111122111122n y y n y y n y y n nnn y y n n y y y n y nn-+-+-++-+==⋅++--+--+-()()()()2121111131111n y n y n n n n y n y n +--++=⋅==---++--，故2n =，直线l 的方程为2x my =+，过定点()2,0.19.若数列{}n c 共有()*,3m m m ∈≥N 项，对任意()*,i i i m ∈≤N 都有1i m i c c S +-=（S 为常数，且0S >），则称数列{}n c 是S 关于m 的一个积对称数列.已知数列{}n a 是S 关于m 的一个积对称数列.（1）若3m =，11a =，22a =，求3a 的值；（2）已知数列{}n b 是公差为()0d d ≠的等差数列，111b =-，若10m =，2n n nb a b +=，求d 和S 的值；（3）若数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，求证：12112153m m m m a a a a Sa a a a --++⋅⋅⋅++<.【答案】（1）4（2）1,2S d ==（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得22S a a =，从而求出3a ；（2）依题意11i ia a S -=，即可得到21311i ii ib b S b b +--⨯=，再结合等差数列通项公式得到()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可；（3）依题意可得()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】依题意224S a a ==，又13a a S =，所以314Sa a ==.【小问2详解】法一：由10m =知对任意i ()*,10i i ∈≤N 都有11i i a a S -=，即()()()()112131*********i i i i b i d b i db b S b b b i d b i d+--+++-⨯=⨯=+-+-，所以()()222112221112111310119b i i d b d S bi i db d++-+=+-+-+，所以()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，所以()22222222111111111213109d d S d d S d b b d S d b b d ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=-++⎪⎩，因为0d ≠，111b =-，所以2112240S d b d =⎧⎨+=⎩，即12S d =⎧⎨=⎩.法二：当1,2i =时由11029S a a a a ==得31241111029b b b b S b b b b =⨯=⨯，所以1111111121131098b d b d b d b d b b d b d b d++++⨯=⨯+++，即()()()()22222221111111110161211122710b b d db b d d b b d d b b d ++⨯++=++⨯+，令21110p b b d =+，22111211q b b d d =++，则()()221616p d q q d p +=+，因为0d ≠，111b =-，所以p q =，2221111101211b b d b b d d +=++，即2d =，1S =，当110i ≤≤时都有()()()()2131111112111212112111210i i i i i i i i b b a a b b i i +----++-+-=⨯=⨯-+--+-92132113292i i S i i-+-=⨯==-+-，所以2d =，1S =成立.【小问3详解】由已知1m a a S =，21m a a S -=，…，1i m i a a S +-=，所以()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，所以112222*********m m m a a a S a a a m -⎛⎫++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭1111111111114224354611S m m ⎡⎤⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦1111111111115142231142233S S S m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+++--<+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即12112153m m m m a a a a S a a a a --++⋅⋅⋅++<.【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再由裂项相消法求和.。

广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题(含解析)

广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．x A ∃∉，xB ∈C ．x B ∃∈，x A∉2．已知复数1i +是关于A ．2.26B ．10.45C ．6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段A ．14πB ．18πC ．30π7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F 直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点二、多选题9．已知α，()0,2βπ∈且sin sin αβ<，则下列命题中成立的是（）A ．若α，β是第一象限角，则cos cos αβ<B ．若α，β是第二象限角，则cos cos αβ<三、填空题DD Dd dd，其中D为显性基因，d为隐16．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为,,性基因，且这三种基因型的比为1:2:1，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那么子三代中基因型为dd的概率是______.四、解答题BB ED是矩形；(1)证明：四边形1BB E夹角的余弦值．(2)求平面1ABB和平面1参考答案：过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则因为1sin PE aPF cθ==，解得PF 由双曲线定义得12PF PF -所以l '与平面β所成的角为∠PAB ，由题意知30APB ∠=︒，所以60PAB ∠=︒，由l l '∥可知，l 与平面β所成的角为60︒，故C 正确；对D ，平移,m n 过点O ，分别与,αβ交于,C D ，平面OCD 与棱EF 交于Q ，连接,CQ DQ ，如图，由,m n 分别垂直两平面，易知棱EF 与平面OCD 垂直，可得,CQ DQ 与EF 垂直，故CQD ∠为二面角的平面角，由m 与n 所成的角为30︒，可知150CQD ∠=︒，所以平面α与β的夹角为18015030︒-︒=︒，故D 错误.故选：AC.11．BCD【分析】A.由()()242f x f x =-得到()()4f x f x =-判断；B.由()()0f x f x +-=得到()()0f x f x ''--=，再结合()()f x g x '=判断；C.由()()4f x f x =-得到()()4f x f x ''=--再结合()()f x g x '=判断；D.由()g x 为偶函数且()()40g x g x ++=得到()g x 是周期函数，且周期为8，再结合当[]2,4x ∈时，()0g x '<，可知()g x 在[]2,4x ∈单调递减，画出()g x 的大致图象，利用数形结合法求解.【详解】由()()242f x f x =-可得()()4f x f x =-，故可知()f x 的图象关于2x =对称，故A 错误，由()()0f x f x +-=得()()0f x f x ''--=，由()()f x g x '=得()()0g x g x --=，故()g x 为偶函数，故B 正确，由()()4f x f x =-可得()()4f x f x ''=--，所以()()4g x g x =--，又()g x 为偶函数，所以由性质结合图可知：当1818k x k -+≤≤+故选：BCD 12．ACD13．()ln f x x =（答案不唯一）【分析】利用对数函数的基本性质、函数奇偶性的定义结合对数的运算性质可得出结果【详解】函数()ln f x x =对任意的{0x x x ∈∈≠R20．(1)线性相关程度很强(2)ˆ 1.4415.56yx =-(3) 5.81-，变小【分析】（1）根据样本相关系数（2）由()21ˆnii y y b r=-=∑ 2.297≈设()()1122,,,M x y N x y ，则212122242,212km m x x x x k k --+=⋅=++则212||1||MN k x x =+-，点O 11。

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南充市高第三次高考适应性考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合3,2,1,2,1,0,1,2-=--=B A ,则=B A （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,2,3-C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}1,2-2.若iz 215+=,则z 的共轭复数为（） A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3.已知圆的方程是122=+y x ,则经过圆上一点()0,1M 的切线方程（） A ．1=x B ．1=y C ．1=+y x D ．1=-y x4.等差数列{}n a 满足11339,74a a a =+=,则通项公式n a =（）A ．412+-nB ．392+-n C. n n 402+- D ．n n 402--5.已知平面向量,a b 满足()3,a a b ⋅+=且2,1a b ==,则向量a 与b 夹角的正弦值为（）A ．21-B ．23- C. 21 D ．23 6.甲，乙两人可参加C B A ,,三个不同的学习小组，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个学习小组的概率为（）A ．31 B ．41 C. 51 D ．61 7.若某程序框图如图所示，则输出的p 值是（）A ． 49B ．36 C. 25 D ．168.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲，乙，丙，丁，戊五人分五钱，甲，乙两人所得与丙，丁，戊三人所得相同，且甲，乙，丙，丁，戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）A ．45钱B ．35钱 C.23钱 D ．34钱 9.若实数y x ,满足不等式组,0070⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-x y x x y 则y x z +=2的最大值是（）A ．27B ．221 C. 14 D ．21 10.如图，正方形ABCD 的边长为O ,2为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ,在旋转的过程中，记AOP ∠为[]()OP x x ,,0π∈所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()x f S =，那么对于函数()x f 有以下三个结论，其中不正确的是（） ①;233=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ②函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2上为减函数；③任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 都有()()4=-+x f x f πA ．①B ．③ C.② D ．①②③11.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积是（）A ．π661B ．π2461 C. 2D ．π66161 12.如图，过抛物线()022>=p py x 的焦点F 的直线l 交抛物线于B A ,两点，交其准线于点C ,若BF BC 2=,且224+=AF ,则p 等于（）A ． 1B ．2 C. 25 D ．3 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是．14.已知函数()()⎩⎨⎧>-≤=1,11,2x x f x x f x 则()3f f =⎡⎤⎣⎦ ． 15.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，465=⋅a a ,则数列{}n a 2log 前10项和为．16.设()x f 是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈,都有()()22+=-x f x f ,且当[]0,2-∈x 时()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f ,若关于x 的方程()()()102log >=+-a x x f a 在区间[]6,2-内恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a cos cos .c A a C -= （Ⅰ）求cb 的值（Ⅱ）若3,12=+=+αc b ,求ABC ∆的面积.S 18.为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方法从该校的B A ,两班中各抽取5名学生进行视力检测，检测的数据如下:A 班5名学生的视力检测结果：.9.4,1.4,6.4,1.5,3.4B 班5名学生的视力检测结果：.5.4,0.4,0.4,9.4,1.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生的视力较好？并计算A 班的5名学生视力的方差；（Ⅱ）现从B 班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于5.4的概率.19.如图，已知PD 垂直于以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且.22,3====AD AC PD BD（Ⅰ）求证：⊥CD 平面;PAB（Ⅱ）求点A 到平面PBC 的距离.20.已知()()1,ln ,0,f x ax g x x x R xα=-=>∈是常数. (Ⅰ)求曲线()x g y =在点()()1,1g P 处的切线方程；（Ⅱ）设()()()x g x f x F -=，讨论函数()x F 的单调性.21.已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率22=e ,其中一个焦点的坐标为().0,2- （Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；（Ⅱ）当点(),Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(2,)P v u u v -+的运动轨迹为2C 若点T 满足:,2++=其中N M ,是2C 上的点.直线ON OM ,的斜率之积为21-,试说明:是否存在两个定点21,F F ,使得21TF TF +为定值?若存在,求21,F F 的坐标；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为.sin 4cos 4,023sin 2cos 222θθρθρθρ+==++ (Ⅰ)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若P 是直线l 上的动点，Q 是椭圆C 上的动点，求PQ 的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()().4,3m x x g x x f ++-=-=(Ⅰ)已知常数2,a <解关于x 的不等式()20f x a +->；（Ⅱ）若函数()x f 的图象恒在函数()x g 图象的上方，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBAAD 6-10:ACDBC 11、12：DB二、填空题13. 01,0200≤++∈∃x x R x 14. 2 15.1016.)2 三、解答题17.解：（Ⅰ）因为,cos cos 2C A c c α=-所以.cos cos 2C A c c α+= 所以()C A C A A C C +=+=sin cos sin cos sin sin 2又B C A -=+π 故B C sin sin 2= 故2sin sin =C B ,由正弦定理可得2=c b(Ⅱ)由（Ⅰ）可得c b 2=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+cb c b 212 解得1,2==c b由222312a c b ==+=+，得ABC ∆为直角三角形所以22122121=⨯⨯==bc S18.解：(Ⅰ)A 班5名学生的视力检测结果的平均数为;6.459.41.46.41.53.4=++++=A xB 班5名学生视力检测结果的平均数为5.455.40.40.49.41.5=++++=B x 从数据结果看A 班学生的视力较好A 班5名学生视力的方差()()()()[]136.06.49.46.41.406.41.56.43.45122222=-+-++-+-⨯=A S (Ⅱ)从B 班的5名学生中随机选取2名,则这2名学生视力检测结果有 ()()()()()()()()()()5.4,0.45.4,0.40.4,0.4,5.4,9.40.4,9.40.4,9.45.4.1.50.4,1.50.4,1.5,9.4,1.5共10个基本事件.其中这2名学生中至少有1名学生视力低于5.4的基本事件有7个，所以所求的概率为.107=P 19.解：（Ⅰ）证明：由,1,3==AD BD 知,2,4==AO AB 点D 为AO 的中点，连接OC ,因为2===OC AC AO ，所以AOC ∆为等边三角形，又D 为AO 中点，所以.AO CD ⊥因为⊥PD 平面ABC ,⊂CD 平面ABC ，所以,CD PD ⊥又⊂=PD D AO PD , 平面⊂AO PAB ,平面PAB ,所以⊥CD 平面.PAB （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：323922=+=+=DC PD PC ,323922=+=+=DC BD BC ,239922=+=+=BD PD PB , 所以21532302321=⨯⨯=∆PCB S , 323222121=⨯⨯=⋅=∆BC AC S ABC , 设三棱锥ABC P -的体积为V ，点A 到平面PBC 的距离为.d由PBC A ABC P V V --=得,d S PD S PBC ABC ⋅=⋅∆∆3131， d 21533133231⨯=⨯⨯ 所以554=d 20.解：(Ⅰ) 因为()0,ln >=x x x g所以()()()11,1,01='='=g xx g g 故曲线()x g y =在点()()1,1g P 处的切线方程为1-=x y（Ⅱ）因为()()()()1ln .0F x f x g x ax x x x =-=--> 所以()2211111,24F x a a x x x ⎛⎫'=+-=+-- ⎪⎝⎭ ①当14a ≥时，()()x F x F ,0≥'在()+∞,0单调递增； ②当0a =时，()()x F xx x F ,12-='在()1,0单调递增，在()+∞,1单调递减； ③当104a <<时，由()0='x F 得120,0.x x =>=>所以，()x F 在10,2a ⎛ ⎝⎭和12a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减； ④当0a <时，由()0='x F 得12110,022x x a a+=>=<（2x 舍去）所以，()x F 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减.21.解: (Ⅰ)由题意知,c e c a ===所以 2.a =所以2222222,b a c =-=-=故椭圆1C 的方程为.12422=+y x (Ⅱ)设()()()()n m T y x P y x N y x M ,,,,,,,2211则()()12,231,3u y x x u y u x y ννν⎧=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩因为点(),Q u ν在椭圆1C 上运动，所以()()2222221112242124233u y x x y x y ν⎡⎤⎡⎤+=⇒-++=⇒+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故动点P 的轨迹2C 的方程为12222=+y x 由OM ++=2得 ()()()()(),2,2,,2,,212122111212y y x x y x y x y y x x n m ++=++--=21212,2y y n x x m +=+=设ON OM k k ,分别为直线ON OM ,的斜率，由已知条件知212121-==⋅x x y y k k ON OM 所以022121=+y y x x因为点N M ,在椭圆2C 上，所以,122,12222222121=+=+y x y x故()()21222121222122442442y y y y x x x x n m +++++=+()()()6024242212122222121=+++++=y y x x y x y x 从而知T 点是椭圆1306022=+y x 上的点，所以，存在两个定点,,21F F 且为椭圆1306022=+y x 的两个焦点，使得21TF TF +为定值.其坐标分别为()()0,30,0,30- 22.解：（Ⅰ）,0232023sin 2cos =++⇒=++y x θρθρ及直线l 的直角坐标方程为0232=++y x,444sin 4cos sin 4cos 4222222222=+⇒=+⇒+=y x θρθρθθρ 即椭圆的直角坐标方程为1422=+y x （Ⅱ）因为椭圆14:22=+y x C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数）所以可设().sin ,cos 2ααQ因此点Q 到直线l 的距离5234sin 222123sin 2cos 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=παααd 所以当z k k ∈+=,452ππα时，d 取最小值510，所以PQ 的最小值为510 23.解：（Ⅰ）由()20f x a +->得()32,2x a a ->-<所以32x a ->-或3 2.x a -<-所以5x a >-或1x a <+故不等式解集为()(),15,.a a -∞+-+∞（Ⅱ）因为函数()x f 的图像恒在函数()x g 图像的上方，所以()()x g x f >恒成立，则43++-<x x m 恒成立，因为()()74343=+--≥++-x x x x所以m 的取值范围是()7,∞-。