人教A版数学必修一1.2.1《函数的概念》教案2
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的概念》教案2
1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时作者：高建勇导入新课问题：已知函数y＝1,,0,,xx∈⎧⎨∈⎩RQQð请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用示例例题 题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝⎛⎭⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值．(3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝⎛⎭⎫23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义．则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________. 解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )．令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)，∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30. 答案：302．若f (x )＝1x的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( ) A ．A ∪B ＝B B ．A B C ．A ⊆B D ．A ∩B ＝解析：由题意得A ＝{x |x ≠0}，B ＝{x |x ≠0，且x ≠－1}．则A ∪B ＝A ，则A 错；A ∩B ＝B ，则D 错；由于B A ，则C 错，B 正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f (x )－f (－x )的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (－x )．证明如下：由题意得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )．∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f (x )的理解．作业课本习题1.2A 组 1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念．2．函数的定义域的求法．导入新课思路1．当实数a ，b 的符号相同，绝对值相等时，实数a ＝b ；当集合A ，B 中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究提出问题①指出函数y ＝x ＋1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的定义域和对应关系，并比较异同.④函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y ＝x ＋1的构成要素为：定义域R ，对应关系x →x ＋1，值域是R . ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同．④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题 题下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x. 活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y ＝x 的定义域是R ，对应关系是x →x .(1)∵函数y ＝(x )2的定义域是[0，＋∞)，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 的定义域不相同，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 不相等．(2)∵函数y ＝3x 3的定义域是R ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝3x 3＝x ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的对应关系也相同．∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 相等．(3)∵函数y ＝x 2的定义域是R ，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同．∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 的定义域不相同， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等． 点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2 A ．① B ．①③④C ．①②③D ．③④答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 答案：[1,2]3．下列各组函数是同一个函数的有________．①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x 0； ③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u . 答案：②③④拓展提升问题：函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有几个交点？探究：设函数y ＝f (x )定义域是D ，当m ∈D 时，根据函数的定义知f (m )唯一，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点仅有一个(m ，f (m ))，即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 仅有一个交点；当m D 时，根据函数的定义知f (m )不存在，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点不存在，即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 没有交点．综上所得，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )图3答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加 函数3．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的． 设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】已知函数f (x )＝11＋x，则函数f [f (x )]的定义域是________． 解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝⎛⎭⎫11＋x ＝11＋11＋x. ∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－2，且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2，且x ≠－1}【例2】已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1， x >0，x ＝0，x <0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．。
高中数学 1.2.1 函数的概念教案精讲 新人教A版必修1
1．2.1 函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b){x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.其它区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1] 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答]图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②√同时满足任意性与唯一性．③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性．④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.[答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a >1或a <－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2] 求下列函数的定义域．(1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－23. (2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}．——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋10|x |－x；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2).相等函数的判定[例3] 试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．。
高中数学人教版必修1 1.2.1函数的概念 教案(系列二)
1.2.1 函数的概念课前预习·预习案【学习目标】1．通过实例,体会函数是描绘变量之间对应关系的重要数学模型.2．体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3．了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域.4．理解函数的三要素及函数符号的深刻含义.5．会求一些简单函数的定义域和值域.6．能够正确使用区间表示数集.【学习重点】1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
2．理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
【学习难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示【自主学习】1．函数的概念(1)前提：A,B是非空的.(2)对应：集合A中的一个数,在集合B中都有的数和它对应.(3)结论：f:A称为的一个函数.(4)表示：.(5)相关概念：①自变量；②定义域：的取值范围A;③函数值：与的值相对应的；④值域：函数值的集合；⑤函数的三要素：定义域、对应关系和.2．函数相等由于函数的值域是由和决定的,所以,如果两个函数的相同,并且完全一致,就称这两个函数相等.3．区间的有关概念根据提示完成下表( 为实数，且).4．无穷大的概念(1)实数集R用区间表示为.“ ”读作，“ ”读作，“ ”读作.(2)无穷区间的几种表示：【预习评价】1．下列式子中不能表示函数的是A. B.C. D.2．函数的值域为A. B. C. D.R3．已知,,则 .4．集合用区间可表示为 .5．与函为相同函数的是(填序号).①；②；③.知识拓展·探究案【合作探究】1．函数的概念根据给出的两个对应,回答下面的问题：①,这里②,这里(1)判断当取某一值时,是否都有唯一的值与其对应？(2)根据函数的概念,判断这两个对应是否为的函数？并说明理由. 2．构成函数的要素若将函数的定义域改为,所得的函数与函数相同吗？3．区间的概念观察集合的区间表示法如,思考下面的问题：区间是不是一个集合？区间与区间之间可不可以用集合的运算符号连接？4．函数的值域根据函数的概念“当A,B是非空数集时，对应f:A称为从集合A到集合B的函数”，探究下面的问题：(1)给定一个函数，函数的值域是函数值的集合吗？(2)集合B与函数的值域存在怎样的关系？【教师点拨】1．对函数相等的三点说明(1当两函数的定义域和值域分别相同时,若对应关系不同,两函数不相等。
高中数学1.2.1函数的概念教案新人教A版必修1
化情况 .
用心 爱心 专心
1
示例 3 国际上常用恩格尔系数 ②反映
一个国家人民生活质量的高低，恩格尔
系数越低，生活质量越高，下表中恩格
尔系数随时间（年）变化的情况表明，
“八五”计划以来，我国城镇居民的生
活质量发生了显著变化 .
“八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况
时间 1991 1992 1993 1994 1995 1996
例 5 向高为 H的水瓶中注水， 注满为止， 如果注水量 V 与水深 h 的函
数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（
B）
【解析】取水深 h H ，注水量 V′＞ V ，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水
2
2
量的一半， A 中 V′＜ V ， C、D中 V′ = V ，故排除 A、C、 D.
2
函数的概念 .
定义 .( 师生共同完善、
就说 y 是 x 的函数，其中 x 叫做自变量 .
概念 )
示例分析
示例 1：一枚炮弹发射后，经过 26s 落 到地面击中目 标. 炮 弹的射高①为
845m，且炮弹距地面的高度 h ( 单位：
m)随时间 t ( 单位： s) 变化的规律是
h = 130 t
–
5
t
∞ ).
存水量
例 2 的对应法则一个表
Q( 立方 ) 0 20 40 90 160 275 格 h→ Q，定义域 h∈ {0, 5,
10, 15, 20, 25}. 例 3 设时间为 t ，气温为 T( ℃ ) ，
例 3 的对应法则 f ：一 自动测温仪测得某地某日从凌晨 0 点到
半夜 24 点的温度曲线如下图 .
高中数学1.2.1函数的概念教案新人教A版必修1
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示，在图中，用实
心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
④ 实数集 R 也可以用区间表示为 （ - ∞，+∞），“∞” 读作“无穷大”，“ - ∞”读作“负
无穷大”，“+∞”读作“正无穷大” ，还可以把满足 x a, x>a, x b, x<b 的实数 x 的集合
说明： ① 对于 a, b ， a, b ， a，b ， a,b 都称数 a 和数 b 为区间的端点，其中 a 为左
端点， b 为右端点，称 b-a 为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
不等式表示法： 3<x<7（一般不用） ；集合表示法： x 3 x 7 ；区间表示法： 3，7 ；
例子（ 2）中数集 A { t 1979 t 2001} ， B { S 0 S 26} ，并且对于数集 A 中
的任意一个时间 t ，按图中曲线，在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 S 和 它对应。
例子（ 3）中数集 A {1991,1992, ,2001}, B {53.8,52.9, ,37.9(%)} ，且对于数
注意： f(a) 是常量， f (x) 是变量， f(a) 是函数 f(x) 中当自变量 x=a 时的函数值。
（2）定义域是自变量 x 的取值范围；
注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不
同函数；
如： y=x 2(x R )与 y=x 2以特别说明，函数的定义域就是指使这个
记作 f : A B 。
（IV) 理性认识函数的定义
设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
高中数学 1.2.1 函数的概念教案精讲 新人教A版必修1
1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.其它区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)函数概念的应用[例1] 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答]图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②√同时满足任意性与唯一性．③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性．④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.[答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a >1或a <－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)求函数定义域[例2] 求下列函数的定义域．(1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－23. (2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}．——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋10|x |－x；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2).相等函数的判定[例3] 试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． ——————————————————判断两个函数f x 和g x 是否是相等函数的步骤是：①先求函数f x 和g x 的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等. ————————————————————————————————————————3．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC．f(x)＝x与g(x)＝3x3D．f(x)＝x2－4x－2与g(x)＝x＋2解析：A选项中，f(x)与g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B，D选项中，f(x)与g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数．答案：C解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！求函数y＝x－2x＋1x－2x＋3的定义域．[错解] 要使函数y＝x－2x＋1x－2x＋3＝x＋1x＋3有意义，则x≠－3.故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y＝x＋1x＋3，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝x－2x＋1 x－2x＋3与函数y＝x＋1x＋3不相等．[正解] 要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，故所求函数的定义域为{x|x≠2且x≠－3}．1．下列说法错误的是( )A．函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素解析：函数的定义域是无限集，值域不一定是无限集，如函数f (x )＝x|x |定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．值域为{－1,1}．答案：B2．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1，或x >1} C ．{x |0<x <1}D ．{x |x ＝－1，或x ＝1}解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0解得x ＝±1.答案：D3．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x ＋1x －1B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝x 4x与g (t )＝(t t)2解析：A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥1，或x ≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为{x |x ≥52}，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不相等． D 中，f (x )＝x4x＝x (x >0)与g (x )＝(t t)2＝t (t >0)的定义域和对应关系都相同，它们相等．答案：D 4．函数y ＝x ＋1x的定义域为________．解析：要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，所以函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}．答案：{x |x ≥－1且x ≠0}5．下列式子中能确定y 是x 的函数的是________． ①x 2＋y 2＝1；②y ＝x －2＋1－x ； ③y ＝12gx 2(g ＝9.8 m/s 2)；④y ＝x .解析：①中每一个x 对应两个y ，故①不是函数． ②中满足式子有意义的x 取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0即x ≤1且x ≥2，∴为∅，故②也不是，而③④可以确定y 是x 的函数． 答案：③④ 6．已知f (x )＝1x ＋2(x ≠－2且x ∈R )，g (x )＝x 2＋1(x ∈R )． (1)求f (2)，g (1)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域． 解：(1)∵f (x )＝1x ＋2，∴f (2)＝12＋2＝14； 又∵g (x )＝x 2＋1，∴g (1)＝12＋1＝2. (2)f (g (2))＝f (22＋1)＝f (5)＝15＋2＝17.(3)f (x )＝1x ＋2的定义域为{x |x ≠－2}， 由函数图象知y ≠0，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．g (x )＝x 2＋1的定义域是R ，由二次函数图象知最小值为1.∴值域是[1，＋∞)．一、选择题1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0⇒0≤x ≤1.答案：D2．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z解析：A 中y ＝x 2－9x －3可化为y ＝x ＋3(x ≠3)，∴定义域不同；B 中y ＝x 2－1＝|x |－1，∴定义域相同，但对应关系不同；D 中定义域相同，但对应关系不同；C 正确．答案：C3．设函数f (x )＝x 2－3x ＋1，则f (a )－f (－a )等于( ) A ．0 B ．－6a C ．2a 2＋2D ．2a 2－6a ＋2解析：f (x )＝x 2－3x ＋1，f (a )＝a 2－3a ＋1，f (－a )＝a 2＋3a ＋1，∴f (a )－f (－a )＝－6a . 答案：B4．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：∵f (x )＝ax 2－1. ∴f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.∴a (a －1)2＝0.又∵a 为正常数，∴a ＝1. 答案：A 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________．解析：由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.答案：(1,2)6．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：g (1)＝3，f (g (1))＝f (3)＝1；f (g (1))＝1，f (g (2))＝3，f (g (3))＝1， g (f (1))＝3，g (f (2))＝1，g (f (3))＝3，∴满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 值为x ＝2. 答案：1 27．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝1＋|1－2|＝2. 答案：28．集合{x |－12≤x <10，或x >11}用区间表示为________． 答案：[－12,10)∪(11，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值． 解：(1)要使函数有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. 10．若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3,5]，得φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]．x 1 2 3 g (x )321。
1.2.1 函数的概念 教案(人教A版必修1)
1．2函数及其表示1．2.1 函数的概念●三维目标1．知识与技能(1)通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；(2)用集合与对应的语言刻画函数；理解函数的三要素及函数符号f(x)的深刻含义；(3)会求一些简单函数的定义域及值域．2．过程与方法让学生通过合作探究，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思想，培养学生的抽象概括能力，体会数学形成和发展的一般规律，强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想．3．情感、态度与价值观(1)树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识；(2)渗透数学思想，强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度；同时感受数学的抽象性和简洁美，激发学生学习数学的热情．●重点难点重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．难点：函数概念及函数符号y＝f(x)的理解(1)重点的突破：以学生熟知的函数及初中函数的定义为切入点，引导学生结合具体实例，分组交流讨论，归纳概括出实例的共同特点，在此基础上，结合集合知识，利用对应的观点形成函数概念的教学，整个过程通过学生的“观察→分析→比较→归纳→概括”，最终由特殊到一般，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，在培养学生抽象概括能力的同时重难点得以突破；(2)难点的解决：理解函数符号y＝f(x)是本节课的另一个难点，为此，应采用分层推进的方式化解难点．首先，从实例出发，引出数学符号f(x)的抽象含义，通过用“加工厂”(如下图所示)的类比，突破难点，让学生对函数的理解上升一个台阶．x⇒f加工⇒f x原料库) (加工厂) (成品库)(函数的概念一枚炮弹发射后，经过26s 落在地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度为h (单位：m)，随时间t (单位：s)变化的规律是h ＝130t －5t 2.1．炮弹飞行时间t 的变化范围的集合A 是什么？ 【提示】 A ＝{t |0≤t ≤26}．2．炮弹距地面的高度h 的变化范围的集合B 是什么？ 【提示】 B ＝{h |0≤h ≤845}，3．对任一时刻t ，高度h 是否唯一确定？ 【提示】 唯一确定．【问题导思】能否计算：[1,2]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4？结果是什么？【提示】 区间只是集合的一种表示形式，对于集合的“并、交、补”运算仍然成立，故可以计算[1,2]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4；结果是[1,4]．区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：函数概念的理解判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(3)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．【思路探究】判断一个对应关系是不是函数，首先看A，B是否是非空数集；其次要看A中的任意一个元素在B中是否有唯一的元素与之对应．【自主解答】(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数；(2)对于A 中的元素±1，在f 的作用下与B 中的1对应，A 中的元素±2，在f 的作用下与B 中的4对应，所以满足A 中的任一元素与B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数；(3)集合A 不是数集，故不是函数．判断一个对应关系是否是函数的两个条件判断下列对应是否为函数． (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x2；(2)A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4. 【解】 (1)因为A ＝R ，B ＝R ，对于A 中的元素x ＝0，在对应关系f ：x →y ＝1x2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．(2)对于A 中的元素，如x ＝9，y 的值为y ＝±9＝±3，即在对应关系f 之下，B 中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．(3)对于A 中的元素x ＝2，在f 的作用下，|2－2|＝0∉B ，从而不能构成函数． (4)依题意，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4，即A 中的每一个元素在对应关系f 之下，在B 中都有唯一的元素与之对应，虽然B 中有很多元素在A 中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x2，g(x)＝3x3；(2)f(x)＝(x)2，g(x)＝x2；(3)y＝x0与y＝1(x≠0)；(4)y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z.【思路探究】分别求解各组中函数的定义域，并化简有关对应关系，根据函数相等的定义，即可得结论．【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数；(2)由于函数f(x)＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数；(3)由于y＝x0要求x≠0，且x≠0时，y＝x0＝1，故y＝x0与y＝1(x≠0)的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数；(4)y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数．1．判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．2．如果要判断的函数较为复杂，在定义域相同的条件下，可先化简再比较．下列函数中，与函数y＝x相同的是( )A．y＝(x)2B．y＝3x3相等函数的判定C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2x【解析】 A 选项y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}与函数y ＝x 的定义域不同； C 选项y ＝x 2的值域为{y |y ≥0}与函数y ＝x 的值域不同；D 选项y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}与函数y ＝x 的定义域不同；B 选项y ＝3x 3＝x ，其定义域，对应关系与函数y ＝x 相同． 【答案】 B求下列函数的定义域．(1)y ＝ x ＋2 0|x |－x ；(2)f (x )＝x 2－1x －1－4－x .【思路探究】 观察函数解析式的特点→列不等式 组 →求范围 【自主解答】 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≠0|x |－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－2|x |≠x ，∴x <0且x ≠－2，∴原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4x ≠1，∴原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．求函数的定义域1．要使函数有意义应有 (1)分式的分母不为0； (2)偶次根下非负； (3)y ＝x 0中要求x ≠0；(4)实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义；(5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．2．函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)【解析】 要使函数f (x )有意义，只需2－x ≥0，即x ≤2. 即函数f (x )的定义域为{x |x ≤2}． 【答案】 C因代数式变形不等价致误求函数y ＝x 2－x －2x 2＋x －6的定义域．【错解】 因为y ＝ x －2 x ＋1 x －2 x ＋3 ＝x ＋1x ＋3，所以x ≠－3.故函数的定义域为{x |x ≠－3}．【错因分析】 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了分式函数中分子与分母的公因式x －2，使原函数变形为y ＝x ＋1x ＋3，从而改变了原函数自变量x 的取值范围而出错．【防范措施】 1.求函数的定义域时，不可对原表达式化简变形． 2．注意思维的全面性，定义域常从被开方数是否有意义，分母是否为零等角度列不等式(组)求解．【正解】 要使函数有意义，必须使x 2＋x －6≠0，即(x －2)(x ＋3)≠0， 所以x －2≠0且x ＋3≠0，即x ≠2且x ≠－3. 故所求函数的定义域为{x |x ≠2且x ≠－3}．1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．对于函数y＝f(x)，以下说法中正确的个数为( )①y是x的函数；②对于不同的x，y值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体式子表示出来．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①③正确；②不正确；如f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)；④不正确，如某地一天中每时刻的气温同时间的关系，就无法用一个具体的式子表示出来．【答案】 B2．已知f(x)＝x＋1，则f(3)＝( )A．2 B．4 C．±6D．10【解析】∵f(x)＝x＋1，∴f(3)＝3＋1＝2.【答案】 A3．用区间表示下列集合：(1){x|2<x≤4}用区间表示为________．(2){x|x>1且x≠2}用区间表示为________．【解析】(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4]．(2){x|x>1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．【答案】(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2，＋∞)4．求下列函数的定义域：(1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝1x＋1；(3)y＝x－1＋1－x；(4)y＝x＋1x2－1.【解】 (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R}．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0，即{ x ≥1 x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}.一、选择题1．下列对应关系中是从A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝R ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如图(1)所示； (6)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如图(2)所示．(1) (2)图1－2－1A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数．(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系：f ：x →y ＝x 2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)A 中的负整数没有平方根，故在B 中没有对应的元素，故此对应不是A 到B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0，在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．(5)集合B 不是数集，故不是A 到B 的函数．(6)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数．综上可知，对应关系(2)、(4)是A 到B 的函数，故选B. 【答案】 B2．已知区间[－a,2a ＋1)，则实数的a 的取值范围是( )A ．R B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.（－∞，－13）【解析】 结合区间的定义可知－a <2a ＋1，∴a >－13.【答案】 C 3．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞)【解析】 使函数f (x )＝x －1x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．【答案】 D4．与函数y ＝x ＋1相等的函数是( )A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)2【解析】 A 选项中函数y ＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}与y ＝x ＋1的定义域不同，故A 不正确；C 选项中函数y ＝x 2＋2x ＋1≥0其值域与y ＝x ＋1的值域不同，故C 不正确；D 中y ＝(x ＋1)2的定义域、值域与y ＝x ＋1均不相同，故D 不正确；B 中尽管变量不一样，但定义域和对应法则均相同，故B 正确．【答案】 B5．(2014·福建四地六校高一联考)若函数f (x )满足f (2x －1)＝x ＋1，则f (3)等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 令2x －1＝3则x ＝2∴x ＋1＝3，即f (3)＝3 【答案】 A 二、填空题6．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为________． 【解析】 由函数的定义可知，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－4＝0；当x ＝3时，y ＝9－6＝3，∴值域为{－1,0,3}． 【答案】 {－1,0,3}7．函数f (x )＝－x 2－2x ＋5的值域是________． 【解析】 ∵f (x )＝－x 2－2x ＋5＝－(x ＋1)2＋6， ∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值6，∴函数f (x )＝－x 2－2x ＋5的值域是(－∞，6]．【答案】 (－∞，6]8．已知集合A ＝{x |x ≥4}，g (x )＝11－x ＋a 的定义域为B ，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 g (x )的定义域B ＝{x |x <a ＋1}，由于A ∩B ＝∅， 画数轴：易得a ＋1≤4，即a ≤3. 【答案】 (－∞，3] 三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋1＋3－4x ； (2)y ＝1|x ＋2|－1.【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－123－4x ≥0⇒x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34.(2)由已知得：∵|x ＋2|－1≠0，∴|x ＋2|≠1，∴函数的定义域(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．【解】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0，∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.11．已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R.(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．【解】 (1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0； f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )－f (－x )＝0. 证明如下：∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴对任意x ∈R ，总有f (x )－f (－x )＝0.。
人教版高中数学必修1学案：1.2.1函数的概念(2)
1．2.1函数的概念(2)一、三维目标：知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
掌握判别两个函数是否相等的方法。
情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。
二、学习重、难点：重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。
四、知识链接：1. 写出函数的定义：注：（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。
（2）定义域是自变量x 的取值范围；（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
2.集合的表示方法有： 。
五、学习过程：A 问题1. 区间的概念 （1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 ,表示为 ；（3）满足不等式b x a <≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（4）满足不等式b x a ≤<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点；实数集R 也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为 。
人教A版高中数学必修一 1.2.1函数的概念 教案
1.2.1函数的概念一、教学目标：知识与技能认识和理解函数的概念,认识和理解它们的三要素.具有一定的把函数应用于实际的能力.过程与方法通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法. 情感、态度与价值观教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.二．重点难点重点：理解函数的概念．难点：函数的概念理解的深化．三、教学方法问题引导 自主探究 合作交流四、教学过程（1）情景导入北京时间2013年6月11日17时38分,万众瞩目的“神舟”十号飞船胜利发射升空,15天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”十号飞行期间,我们时刻关注“神舟”十号离我们的距离y 随时间是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.（2）探究新知；1.函数的有关概念：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A ，其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；{}A x x f ∈|)(：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ，y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f1. 对函数概念的理解例1 判断下列对应或式子能否确定y 是x 的函数：（1）x →x 2，x ≠0，x ∈R ； （2）x →y ，这里y 2=x ，x ∈N ，y ∈R ;(3)221x y +=; (4)()f x =;(5){|x x ∈学生}→{|y y ∈学校} 【思路分析】从函数的定义出发,进行判断.【解析】【点评】判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一.理解函数的定义，应该注意:①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“f :A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.跟踪训练11. 下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（ ）【答案】D【解析】根据函数的定义可知，对于任意一个自变量x ，只有一个函数值y 和它对应，故D正确。
【人教A版高一数学必修1教学设计】§1.2.1函数的概念(二)
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：略
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
④f(x) =
⑤
（3）课本P241、2
教
学
小
结
（1）简单函数的定义域和值域及其区间表示
（2）判断集合相等.
教后
反思
3
（1）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
①f(x) = (x－1)0；g(x) = 1
②f(x) =x；g(x) =
③f(x) =x2；f(x) = (x+ 1)2
④f(x) = |x|；g(x) =
（2）求下列函数的定义域
①
②
③f(x) = +
分析：由题意知，另一边长为 ，且边长为正数，所以0＜x＜40.
所以s= =（40－x）x（0＜x＜40）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
分析：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
高中数学必修一教案§1.2.1函数的概念
课题：函数的概念一．课题：1.2.1函数的概念.（人教版必修一）.二．教学目标1.知识目标：理解函数的概念，明确函数是两个变量之间的一种依赖关系；掌握求定义域、函数值的方法；理解函数的三要素及符号)y .f(x2.能力目标：会求分式型和偶次根式型函数的定义域；通过给定的自变量x值，能求出函数值；能利用函数的思想辩证法考虑实际问题.3.情感目标：通过学习函数概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；通过课堂活动培养学生团队意识，明确团队的力量依赖于每一个人的智慧，揭示函数之间的依赖关系；在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律，由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.三．教材分析1.教学重点：正确理解函数的概念.2.教学难点：函数定义域和值域的求法以及用区间表示.3.关键：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终.四．课型与教法1.课型：讲授课.2.教法：通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构. 五．教学过程1.创设情景，揭示课题.在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系.初中学过的函数的传统定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值范围的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过的函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 2.互动交流，研讨新知.（1）一枚炮弹发射后，经过s 26落到地面击中目标.炮弹的射高（指斜抛运动中物 体飞行轨迹最高点的高度）为m 845，且炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t （单位s ）变化的规律是25130t t h -=.提出问题：你能得出炮弹飞行s 5、s 10、s 20时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？s 5时距地面高度为m 525，s 10时距地面高度为m 800，s 20时距地面高度为m 600，根据题意可知炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系25130t t h -=,在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应，满足函数定义，应为函数，发现解析式可以用来刻画函数.1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分20 25 5 10 15 30 图126 25 tS O1979 1981 19831985 1987198919911993 1995 19971999 2001析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A 中的每一个时刻t 在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s 与之对应，满足函数定义，也应为函数，发现图像也可以来刻画函数.（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额/总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表11-中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001城镇居民家庭 恩格尔系数(%)表11-提出问题：恩格尔系数与时间（年）之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ，恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B .引导学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t 都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A 中的任意一个时间t 在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数，发现表格也可以用来刻画函数. 3．问题探讨，归纳概括.（1）以上三个实例有什么不同点和共同点？归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作B A f →:.引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？ （2）函数的概念.一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集. （3）我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R ； ②．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ； ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R ，值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.（4）设a ，b 是两个实数，而且b a <.我们规定：①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； ②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点.用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.实数集R 可以用区间表示为),(+∞-∞，“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”.我们可以把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞.定义域和值域可以用集合表示，也可以用区间表示. 4.质疑答辩，排难解惑.213)(+++=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)(a f ，)1(-a f 的值. 解：（1）定义域：能使函数式有意义的实数x 3+x 有意义的实数x 的集合是}{3-≥x x ，使分式21+x 有意义的实数x 的集合是}{2-≠x x .所以，这个函数的定义域就是 }{}{23-≠-≥x x x x {3-≥=x x ，且}2-≠x . （2）123133)3(-=+-++-=-f ； 333832321332)32(+=+++=f . （3）因为0>a ，所以)(a f ，)1(-a f 有意义. 213)(+++=a a a f ；11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f . 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，我们就称两个函数相等.x y =相等？（1）2)(x y =； （2）33x y =；（3）2x y =； （4）xx y 2=.解：（1）)0()(2≥==x x x y ，这个函数与函数)(R x x y ∈=虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（2）)(33R x x x y ∈==，这个函数与函数)(R x x y ∈=不仅对应关系相同，而且定义域相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=相等.（3）⎩⎨⎧<-≥===.0,,0,2x x x x x x y 这个函数与函数)(R x x y ∈=的定义域都是实数集R ，但是当0<x 时，它的对应关系与函数)(R x x y ∈=不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（4）xx y 2=的定义域是}{0≠x x ，与函数)(R x x y ∈=)(R x x y ∈=不相等.小结：函数的概念是一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.定义域和值域是x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.区间是①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ；②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .5.布置作业.（1）举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.P习题1、2、3（2）课本19六．板书设计。
人教新课标版数学高一-高中数学人教版必修一 1-2-1函数的概念教案
1、2、1、1 函数的概念一、【学习目标】1、理解函数的定义，及定义域、值域等有关概念；能熟练的运用区间符号；2、能利用所学知识求定义域问题；通过作业要会求一般的函数的值域.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第15、16页的材料<1>、<2>、<3>，回答问题（课程引入）<1>若材料一可以得到结论：时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}；则有对应：f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.阅读完材料二、三之后，你能总结出类似的结论吗？<2>你能找出这三个对应有什么共同点吗？结论：<1>i：根据图像可知：时间t的变化范围是数集，空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集,则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B；ii：根据图标可知时间t 的变化范围是数集，恩格尔系数y的变化范围是数集 .则有对应：f:t→y,t∈A,y∈B；<2>共同特点是：集合A、B都是集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系下，在数集B中都有定的元素y与之对应.2、结合上述自学内容，阅读16页函数定义，回答问题（函数的定义）<3>你是怎样理解函数的定义的？你能准确的给出函数的定义吗？通过学习，总结出函数的三要素是什么.结论：<3>一般地,设A、B都是,如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作,x∈A,其中x叫,x的取值范围A叫做函数的 ,函数值的集合 叫做函数的 ；函数的三要素是： 、 、 .需要注意的是：i ：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii ：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等.3、阅读教材第17页内容，回答问题（区间） <4>你能理解区间的含义吗？给你一个取值范式吗？我们以后围，你能马上写出它的区间形的学习过程中，写值域和定义域，都是用区间形式的，除非是特殊形式，不能用区间表示，所以要求学生能适应区间书写形式.请同学们记住右边区间的形式.三、【练习与巩固】练习一： <1>说说你对17页例1的理解 <2>仿照完成教材第19页练习1、2.练习二：已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是_______； 思考：已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则我闷试求一下下题：)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________ 四、【作业】1、必做题：24页习题1.1A 组第1题（4）、第3题（4）、第4题；2、选做题：教材第25页习题1.1B 组第1、2题1、2、1、1 函数的概念一、【学习目标】1、理解函数的定义，及定义域、值域等有关概念；能熟练的运用区间符号；2、能利用所学知识求定义域问题；通过作业要会求一般的函数的值域.【教学效果】：教学目标给出来之后，学生都表现出了极其浓厚的兴趣.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第15、16页的材料<1>、<2>、<3>，回答问题（课程引入）<1>若材料一可以得到结论：时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}；则有对应：f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.阅读完材料二、三之后，你能总结出类似的结论吗？<2>你能找出这三个对应有什么共同点吗？结论：<1>i：根据图像可知：时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001}，空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B；ii：根据图标可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应：f:t→y,t∈A,y∈B；<2>共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f:A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.【教学效果】：这部分的重点是领学和老师的暗示提示，经过老师的暗示提示之后，学生基本上都能理解其中的含义，都能够完成学习目标.2、结合上述自学内容，阅读16页函数定义，回答问题（函数的定义）<3>你是怎样理解函数的定义的？你能准确的给出函数的定义吗？通过学习，总结出函数的三要素是什么.（引申解释：此处教师要有例子的类比：譬如举一个二次函数的例子，，找出它的定义域、值域、对应法则）结论：<3>一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x),x ∈A,其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域；函数的三要素是：定义域、对应法则、值域.需要注意的是：i ：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii ：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等；【教学效果】：学生能够根据具体的函数说出函数的三要素，会知道函数的基本的概念，但是理解，不是一朝一夕的事情，需要学生有耐心的.3、阅读教材第17页内容，回答问题（区间）<4>你能理解区间的含义吗？给你一个取值范围，你能马上写出它的区间形式吗？我们以后的学习过程中，写值域和定义域，都是用区间形式的，除非是特殊形式，不能用区间表示，所以要求学生能适应区间书写形式.请同学们记住右边区间的形式.【教学效果】：通过自学，学生是可以理解区间的含义和接受区间的写法的.值得我们老师们注意的是，以后做题中，凡是能用区间来描述的，一定要用区间.要让同学们熟悉和熟练区间的写法；特别是函数的定义域和值域，若是能用区间，要用区间描述，最起码要写为集合的形式.三、【练习与巩固】练习一： <1>说说你对17页例1的理解 <2>仿照完成教材第19页练习1、2.【教学效果】：只有在函数的定义域内，才能代入自变量.练习二：已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是_______；【教学效果】：这类题目是必讲题目，可以把这类题目放到习题课上去讲.思考：已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则我闷试求一下下题：)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________ 结论：令a=x,b=1(x ∈N *)，则f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x)，即有)(/)1(x f x f +=2(x ∈N *).所以，原式=4012.【教学效果】：这个题目是一个思考题目，只有极少数的同学可以做出来，所以要有针对性，不能要求全体学生都会，注意分层教学.四、【作业】1、必做题：24页习题1.1A组第1题（4）、第3题（4）、第4题；2、选做题：教材第25页习题1.1B组第1、2题五、【小结】今天这节课主要讲的是函数的含义.其中涉及到函数的定义域值域等有关的知识.通过这节课的学习，要知道函数的三要素，理解函数的三要素各自在函数体系中的作用.通过学习，要求学生掌握住函数定义域和值域的求法.六、【教学反思】这节课遗憾之处是对于函数的值域的遗珠.内容多，时间短，只能把值域部分放在了作业上，让学生们自学.感到欣慰的是学生们经过一星期的锻炼，完全接受了老师的上课方式：先学后教，当堂训练.。
1.2.1《函数的概念》教案(新人教A必修1)
《函数的概念》教学目的：使学生掌握函数、定义域、值域、开区间、闭区间等概念，会求一个函数的定义域和值域，会根据定义域和值域判定函数的相等关系教学重点：理解函数的概念，会求某些简单函数的定义域和值域。
教学难点：函数概念的理解，y＝f（x）符号的正确认识。
教学过程：一、新课引入课本P17，炮弹距地面的高度h随时间t变化规律：h＝130t－5t2（＊）t 变化的数集A＝{t∣0≤t≤26},h变化的数集B＝{h∣0≤h≤845}对于数集A中的任意一个时间t，按照对关系（＊），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。
继续观察（2）和（3）也有这样的共同点吗？二、新课1、函数、定义域、值域的概念设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。
记作y＝f（x），x∈A。
（结合例题来讲函数的概念，列表见课本P18）。
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）∣x∈A}叫函数的值域（range）。
例1、一次函数y＝ax＋b（a≠0）的定义域和值域是什么？（R，R）例2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域和值域是什么？(定义域是R)当a ＞0时，值域B ＝{y ∣y ≥a b ac 442-},当a ＜0时，值域B ＝{y ∣y ≤ab ac 442-} 对于R 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一的数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和它对应。
思考：反比例函数xk y =的定义域、值域是什么？ 2、开区间与闭区间设a ，b 是两个实数，且a ＜b ，我们规定：实数a 与b 都叫相应区间的端点。
定义 名称 符号 数轴表示{x ∣a ≤x ≤b} 闭区间 ［a ，b ］{x ∣a ＜x ＜b} 开区间 （a ，b ）{x ∣a ≤x ＜b} 半开半闭区间 ［a ，b){x ∣a ＜x ≤b} 半开半闭区间 (a ，b ］实数集R 用区间表示为：（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无 穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”。
高中数学 函数的概念教案2 新人教A版必修1高一
2.1.1 函数的概念教学目标（一）基础目标：1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性（二）提高目标：通过概念教学，让学生从对应的角度理解函数，认识函数。
（三）体验目标理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性，通过对学生进行数学和生活的结合的教学，让学生体会到数学得魅力，激发学生学习数学的热情。
教学重点：理解函数的概念；教学难点：函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教法分析：利用从特殊到一般，再从一般到特殊概念形成过程的教学。
从熟悉的模型过度到特殊模型通过问题的启发式教学引导学生形成新概念，体验认识。
学法分析：比较归纳发现问题，解决问题，合作互助，认识问题本质，形成概念。
授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、课堂引入：我们在生活中有很多的变化关系，例如：我国即将发射的“嫦娥”卫星运行速度与时间的变化关系（函数）,我们在初中学习过哪些函数？初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题思考 . 先请同学们观察对应：二、讲解新课：（一）函数的概念)0(,:≠+=k b kx y 一次函数)0(,:2≠++=a c bx ax y 二次函数)0(,:≠=k kx y 正比例函数)0(,:≠=k x k y 反比例函数是函数吗？：)(,11R x y ∈=是函数吗？：)0(,22≥=x x y 是否是同一个函数？与：2)(3x y x y ==设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .例如我们初中学过的一些函数：如果对应法则f 是从集合A 到集合B 的函数记作：)(x f y =， x ∈A则 其中x 叫自变量，与x 的值相对应的y 叫函数值，x 的取值构成的集合叫定义域；y 的取值构成的集合叫值域练习：请同学们根据定义思考：下列对应中是函数的是： 开平方14A1-12-23B 乘以0145 6A 0B 取倒数12A 11/2B 学生分组研究回答，老师点评1是；2是；3不是（A中不是数）；4不是（一对多）；5是；6不是（A 中每一个元素在B 中都应有数与之对应）。
人教A版数学必修一教案：函数的概念
§1.2.1函數的概念一、教學目標1、知識與技能：函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型．高中階段不僅把函數看成變數之間的依賴關係，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，高中階段更注重函數模型化的思想與意識．2、過程與方法：（1）通過實例，進一步體會函數是描述變數之間的依賴關係的重要數學模型，在此基礎上學慣用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關係在刻畫函數概念中的作用；（2）瞭解構成函數的要素；（3）會求一些簡單函數的定義域和值域；（4）能夠正確使用“區間”的符號表示某些函數的定義域；3、情態與價值，使學生感受到學習函數的必要性的重要性，激發學習的積極性。
二、教學重點與難點：重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數；難點：符號“y=f(x)”的含義，函數定義域和值域的區間表示；三、學法與教學用具1、學法：學生通過自學、思考、交流、討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標 .2、教學用具：投影儀 .四、教學思路（一）創設情景，揭示課題1、復習初中所學函數的概念，強調函數的模型化思想；2、閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想：（1）炮彈的射高與時間的變化關係問題；（2）南極臭氧空洞面積與時間的變化關係問題；（3）“八五”計畫以來我國城鎮居民的恩格爾係數與時間的變化關係問題3、分析、歸納以上三個實例，它們有什麼共同點。
4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變數間的依賴關係；5、根據初中所學函數的概念，判斷各個實例中的兩個變數間的關係是否是函數關係．（二）研探新知1、函數的有關概念（1）函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B 中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做引數，x的取值範圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域（range）．注意：①“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函數符號“y =f (x )”中的f (x )表示與x 對應的函數值，一個數，而不是f 乘x ．（2）構成函數的三要素是什麼？定義域、對應關係和值域（3）區間的概念①區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；②無窮區間； ③區間的數軸表示．（4）初中學過哪些函數？它們的定義域、值域、對應法則分別是什麼？ 通過三個已知的函數：y =ax +b (a ≠0)y =ax 2+b x +c (a ≠0)y =xk (k ≠0) 比較描述性定義和集合，與對應語言刻畫的定義，談談體會。
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一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .
2、教学用具：投影仪 .
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：
①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y =ax +b (a ≠0)
y =ax 2+b x +c (a ≠0)
y =x
k (k ≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y =f (x )，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：略
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域. 分析：由题意知，另一边长为
2280x -，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以s=8022
x x -⋅ = （40－x ）x （0＜x ＜40） 引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P 22第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x 相等？
（1）y = (x )2 ; （2）y = (33x )
; （3）y =2x
; （4）y =x x 2
分析：
○
1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
○
2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：（略）
课本P 21例2
（四）巩固深化，反馈矫正：
（1）课本P 22第2题
（2）判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x
③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x
（3）求下列函数的定义域
① 1()||
f x x x =- ② 1
()11f x x =+
③ f (x ) = 1+x +x
-21 ④ f (x ) = 2
4++x x ⑤
()1f x =。