广东省广州市增城第一中学2014-2015学年高二上学期期末综合训练数学试题(二)含答案
2014广州增城区中考数学一模试卷(含答案)-已排版
2014年广州增城区中考数学一模试卷数 学第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．比0小的数是（ ＊ ）A ．8-B ． 8C ．8±D ．812．如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是（ ＊ ）3．如图，将面积为5的ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ＊ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 （第3题图） 4．计算：()32b a 的结果是 ( ＊ )A ．b a 6B ．36b aC ．35b aD ． 32b a5．下列说法正确的是( ＊ ) A ．一个游戏中奖的概率是1001，则做100次这样的游戏一定会中奖． B ．为了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式． C ．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1．D ．若甲组数据的方差2.02=甲S ，乙组数据的方差5.02=乙S ，则乙组数据比甲组数据稳定． 6．不等式组⎩⎨⎧≤-≥+0102x x 的解集是（ ＊ ）A ．12≤≤-xB ．12<<-xC ．1≤xD ．2-≥x 7．若1<a ，则()=--112a （ ＊ ）A ．2-aB ．a -2C ．aD ．a -8．若代数式2-x x有意义，则实数x 的取值范围是（ ＊ ） A ．2≠x B ．0≥x C ．0>x D ．20≠≥x x 且9．若α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为（ ＊ ）A ．1-B ．9C ．23D ．2710．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则=GT （ ＊ ） A ． 2B ． 22C ．2D ．1第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式：=-x x 42＊ ．12．增城区城市副中心核心区规划面积是64000000平方米，将64000000用科学记数法表示为 ＊ ． 13．反比例函数xm y 2+=，若0>x 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ＊ ．14．点P 在线段AB 的垂直平分线上，10=PB ，则=PA ＊ ． 15. 如图，在等边ABC ∆中，10=AB ，D 是BC 的中点，将ABD ∆绕点A 旋转后得到ACE ∆，则线段DE 的长度为 ＊ ． （第15题图）16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，︒=∠30CDB ， 过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则E sin 的值为 ＊ ．（第16题图）B三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．（本题满分9分）先化简，再求值：yx y y x x +-+22 ，其中32,32-=+=y x18．（本题满分9分）解方程组⎩⎨⎧=+=-1238y x y x19．（本题满分10分）在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，20=AC ，15=BC ， （1）求AB的长； （2）求CD 的长．20．（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 是BA 延长线上一点，E 是AC 的中点. （1）利用尺规作出DAC ∠的平分线AM ，连接BE 并延长交AM 于点F ， （要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断AF 与BC 有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．（第20题图）21．（本题满分12分）小明调查了九()1班50名学生平均每周参加课外活动的时间，把调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题： （1）求m 的值；（2）从参加课外活动时间在6～10小时的学生中随机选取2人，请用列表法或画树形图求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．22．（本题满分12分）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径作⊙O 交AC 于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ，且BF BD =． （1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）若6=BC ，12=AB ，求⊙O 的面积（结果保留π）.623．（本题满分12分）如图，制作某金属工具先将材料煅烧6分钟温度升到C ︒800，再停止煅烧进行锻造，8分钟温度降为C ︒600；煅烧时温度y （C ︒）与时间x （min ）成一次函数关系；锻造时温度 y （C ︒）与时间x （min ）成反比例函数关系；该材料初始温度是C ︒32．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料温度低于C ︒480时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？24．（本题满分14分） 如图，抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交点C ，点A 的坐标为()0,2A ， 点C 的坐标为()3,0C ，它的对称轴是直线21-=x ； （1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的任意一点，当MBC ∆为等腰三角形时，求点M 的坐标．25．（本题满分14分） 如图，矩形纸片ABCD （AB AD >）中，将它折叠，使点A 与C 重合，折痕EF 交AD 于E ，交BC 于F ，交AC 于O ，连结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）过E 作AD EP ⊥交AC 于P ，求证：AP AO AE ⋅=2；（3）若8=AE ，ABF ∆的面积为9，求BF AB +的值．AE DCFBPO增城市2014年初中毕业班综合测试数学评分标准一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．（本题满分9分）解：原式()()y x yx y x y x y x y x -=+-+=+-=22……………………………………5分 当32,32-=+=y x 时 ………………………………………………6分 原式()()3232323232=+-+=--+=……………………………9分18．（本题满分9分） 解：①+②得：204=x …………………………………………………………………2分 解得5=x …………………………………………………………………4分 把5=x 代入①得：85=-y …………………………………………………6分 解得3-=y …………………………………………………………………8分 ∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==35y x ． …………………………………………………9分19．（本题满分10分） 解：（1）在Rt△ABC 中 由勾股定理得：2515202222=+=+=BC AC AB ………………………………………4分CABD（2）由ABC ∆面积公式得：CD AB BC AC S ABC ⋅=⋅=∆2121 ………………………………8分 ∴CD AB BC AC ⋅=⋅∴CD 251520=⨯ ………………………………………………9分 ∴12=CD ． ………………………………………………10分 20．（本题满分10分）解：（1）作图正确，并有清晰的作图痕迹…………………………3分 （2）BC AF // 且BC AF = …………………………………5分 证明：∵AC AB =∴C ABC ∠=∠ …………………………………6分 ∵C ABC DAC ∠+∠=∠∴C DAC ∠=∠2 …………………………………7分 由作图可知FAC DAC ∠=∠2∴FAC C ∠=∠∴BC AF // …………………………………8分 ∵E 是AC 的中点 ∴CE AE = ∵CEB AEF ∠=∠∴AEF ∆≌CEB ∆ …………………………………9分 ∴BC AF = …………………………………10分21．（本题满分12分）解：（1）142325650=----=m …………………………………………………………………4分 （2）记6～8小时的3名学生为1A ，2A ，3A ，8～10小时的两名学生为1B ，2B …………6分…………………………10分P （至少有1人课外活动时间在8～10小时）1072014==…………………………………………12分 22. （本题满分12分）证明：（1）连接OE …………………………………………………………………1分 ∵OE OD =∴OED ODE ∠=∠………………………………………………………………2分∵BF BD =∴F ODE ∠=∠ …………………………………………………………………3分 ∴F OED ∠=∠∴BF OE // …………………………………………………………………4分 ∴︒=∠=∠90ACB AEO∴AC OE ⊥ …………………………………………………………………5分 ∴AC 与⊙O 相切…………………………………………………………………6分 （2）解：由（1）得BF OE //∴AOE ∆∽ABC ∆……………………………………………………………7分 ∴ABAOBC OE = …………………………………………………………………8分 设⊙O 的半径为r ，则12126rr -=……………………………………………9分 解得：4=r …………………………………………………………………10分 ∴⊙O 的面积πππ16422=⨯==r S ． …………………………………12分 23. （本题满分12分）解：（1）材料煅烧时，设32+=kx y …………………………………………………2分 当6=x 时，800=y6∴326800+=k∴128=k …………………………………………………4分 ∴材料煅烧时，32128+=x y ．………………………………………………………5分 材料锻造时，设6分∴材料锻造时9分 11分 ∴锻造的时间为：4610=-（min ）……………………………………………………12分 答：锻造的操作时间为4分钟．24．（本题满分14分）解：（1）设抛物线的解析式k x a y +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221…………………………………………1分把()0,2A ，()3,0C 代入得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅3210021222k a k a ……………………………………3分 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=82521k a ……………………………………………………………5分 ∴82521212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x y ……………………………………………………………6分 即321212+--=x x y （2）由0=y 得 082521212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ………………………………………………7分 ∴21=x 32-=x∴B （3-，0） ……………………………………………………………8分 ①当BM CM =时，则M 在BC 的中垂线与AB 的交点………………………………9分 ∴当M 点在原点O 上，MBC ∆是等腰三角形∴M 点坐标()0,01M ……………………………………………………………10分 ②当BM BC =时 ……………………………………………………………11分 在BOC Rt ∆中，3==CO BO ， 由勾股定理得233322=+=BC ………………………………………………………12分 ∴23=BM∴M 点坐标()0,3232-M ……………………………………………………………13分 ∴当M 点坐标为()0,01M 或()0,3232-M 时，MBC ∆为等腰三角形． ……………14分25．（本题满分14分）解：（1）当顶点A 与C 重合时，折痕EF 垂直平分AC ，∴OC OA = ︒=∠=∠90COF AOE …………………………………………1分 在矩形ABCD 中，BC AD //，∴FCO EAO ∠=∠…………………………………………………………………2分∴AOE ∆≌COF ∆∴OF OE = …………………………………………………………………3分 ∴四边形AFCE 是菱形． ………………………………………………………4分（2）证明：∵AD EP ⊥∴90AEP ∠=，∵90AOE ∠=，∴AOE AEP ∠=∠ ……………………………………………………………5分 ∵EAP EAO ∠=∠∴AOE ∆∽AEP ∆…………………………………………………………………7分 ∴AEAO AP AE = ∴AP AO AE ⋅=2…………………………………………………………………9分（3）四边形AFCE 是菱形∴8==AE AF …………………………………………………………………10分 在ABF Rt ∆中，222AF BFAB =+ …………………………………………11分∴2228=+BF AB∴()6422=⋅-+BF AB BF AB ①……………………………………12分 ∵ABF ∆的面积为9 ∴921=⋅BF AB ∴18=⋅BF AB ②……………………………………………………13分 由①、②得：()1002=+BF AB ∵0>+BF AB∴10=+BF AB …………………………………………14分（第25题图） A E D C FB PO。
增城中学学年度第一学期高三年级综合测试(二).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作增城中学2015--2016学年度第一学期高三年级综合测试（二）数学(理科)命题人：钟康生 审题人：李勋说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．1. 已知b 是实数，若12bii+-是纯虚数，则b ＝（ ）A ．2B ．2-C ．21D ．21-2. 设cos(α＋ππ<α<23π)，那么sin(2)πα-的值为（ ）A ．12-B. 12C ．2-D ．23. 由直线6x π=-，曲线cos y x =，x 轴和y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A.2πC. 2D. 124. 已知两向量a 、b 满足1a =，2b =，3a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A. 45oB. 60oC. 120oD. 90o5. 执行右边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．36. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设已知数列{}n a 对任意的N n m ∈,，满足n m n m a a a +=+，且12=a ，那么10a 等于（ ）A.3B.5C.7D.98. 设变量x ，y 满足约束条件：4,,20,x y x x ⎧⎪⎨⎪+≥⎩＋y ≤≥则21z x y =-+的最大值为（ ）A ．2B ．1-C ．4D ．39．某几何体的三视图如下图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（ ）A ．96B ．80 C．80 D．9210．函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的大致图象是（ ）Ox O yx O yx.Ox .C D11．球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，O 为球心，ABC ∆是边长为2的正三角形，S 不在ABC ∆所在的平面上，则棱锥S ABC -的体积的最大值为（ ）A .23B .43CD . 12．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（ ）A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省东莞市2014-2015学年高二上期末教学质量自查数学理科数学试题(含答案)
2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查高二理科数学（A 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11. ()0,1- 12. 31 13． [1,3]- 14．②三、解答题15.解：（1）∵3cos ,(0,)5B B π=∈且， ∴4sin5B ==，又35ac =，…………………………………3分 ∴114sin 3514225ABC S ac B ∆==⨯⨯=.……………………………………6分 （2）由35ac =，a =7， 得c =5，…………………………………………………………………7分∴22232cos 4925275325b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴b =9分∴222cos 22a b c C ab +-===……………………………10分 又(0,)C π∈…………………………………………………………………11分∴4C π=.……………………………………………………………………12分16. 解：(1)由22540x ax a -+<得(4)()0x a x a -⋅-<.……………………1分又0a >，所以4a x a <<，………2分当1a =时，14x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是14x <<……3分 由2430x x -+≤得13x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是13x ≤≤.…………………………5分若p q ∧为真，则13x <≤，所以实数x 的取值范围是(]1,3．……6分(2) 设{}|4A x a x a =<<，{}|13B x x =≤≤………………………8分 q 是p 的充分不必要条件，则B A ≠⊂…………………………………10分 所以0131434a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭．………12分 17.解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x ，y 亩，农场的总收益为z 万元，则……1分 300,0.060.029,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩………① …………5分 目标函数为0.30.2z x y =+， ……………6分不等式组①等价于300,3450,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩可行域如图所示，……………………………9分当目标函数对应的直线经过点M 时，目标函数z 取最小值. ……………………………………………………10分解方程组300,3450,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标 75x =，225y =，……………………………………12分所以max 0.3750.222567.5z =⨯+⨯=.………………………………13分答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元. ………………………………………………………………………………14分18. 解：（1）连接1AD 1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD = 又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =11//D C AM ∴,11D C AM =11D AMC ∴为平行四边形11//MC AD ∴………………4分又111ADD A M C 平面⊄ 111ADD A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面∴………………6分（2）方法一：11//B A AB 1111//D C B A共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1则NC D 1∠即为所求二面角………………8分在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2151=∴N D 5515321523cos 11====∠∴N D NC CN D ………………14分 方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴ )3,23,21(),0,0,1(111-==∴D D C 设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 21==<∴n n 显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为55………………14分 19. 解：(1)当1n =时，211112a S a =+=+=； ……1分当2n ≥时，11()n n S a n N *++=∈11()n n S a n N *-+=∈，两式相减得，12(2)n n a a n +=≥， ……2分又212a a =，……3分所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列，……4分所以12n n a -=. ……6分(2)证明： ①由(1)知12n n a -=，所以n n 1n+1n n n n b ==4a 422-=⋅，......７分 所以n 234n+1123n T =...2222++++, n 345n+1n+21123n 1n T = (222222)-+++++，…８分 两式相减得，n 234n+1n+211111n T =...222222++++-2n n+2n+211(1)n 1n +222=122212--=-- 所以n n+1n +2T 12=-(或写成n n n 1T 1(1)22=-+⋅或n n n+11n T 122=--…１０分 12112232231(1)(1)022222n n n n n n n n n n n n T T +++++++++++-=---=-=>…１１分 1n n T T +∴>n T ∴是递增的，又114T =114n T ∴≤< …１４分 ② k k k k k+1k+1k +2k +21k +21S (T +k +1)(21)(1+k +1)(21)(1)22==⋅-⋅--⋅-k+1k k+1k k+12112()(21)(21)2121==--⋅---， ……11分 所以n n k k+1k+1k=1k=1k k k +2111=2()2(1)2S (T +k +1)212121-=-<⋅---∑∑， 若不等式n k=1k k k +2<m S (T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立，则m≥2，所以存在最小正整数m=2，使不等式n k=1k k k +2<m S (T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立. …14分20．解：（1）法一：由椭圆的定义可知1232||||42a MF MF =+== 2a ∴= ……1分由1c =得b =2分 故椭圆的方程是22143x y +=； ……3分 法二：由已知得，222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩，……1分 得2243a b ⎧=⎨=⎩，……2分 故椭圆的方程是22143x y +=； ……3分 （2）椭圆的右焦点为2(1,0)F ，分两种情况讨论如下：1°当直线AB 的斜率不存在时，AB:1x =，则 CD:0y =．此时||3AB =，||4CD =,117||||12AB CD +=； ……5分 2°当直线AB 的斜率存在时，设AB : (1)(0)y k x k =-≠，则 CD ：1(1)y x k =--． 又设点1122(,),(,)A x y B x y ．联立方程组22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 所以 2122843k x x k +=+， 212241243k x x k -⋅=+ ……7分12|||AB x x ==-==2212(1)43k k +=+ ……8分 由题知，直线CD 的斜率为1k -，同理可得2212(1)||43k CD k+=+ ……9分 所以2211777||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值. ……10分 (3)解：由（II ）知117||||12AB CD +=， 所以 912911||||(||||)()16716||||AB CD AB CD AB CD +=++ ……11分 9||1225||16()716||||CD AB AB CD =++122521(7164≥+=， ……12分 当且仅当9||||16||||CD AB AB CD =，即3||||4AB CD =，即||3,||4AB CD ==时取等号 …13分 所以9||||16AB CD +的最小值为214. ……14分。
广东省广州市增城中学、花都中学、第八十六中学等五校高二上学期期末联考数学(理)试题Word版含答案
2015—2016学年度第一学期期末模块考试五校联考高二年级数学（理科）试题 2016年1月命题学校： 命题人： 审题人：试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
2、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。
第一部分 选择题（共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．函数()lg(31)f x x =+的定义域是( ) 第1题图 A ．1(,)3-+∞ B ．1(,1)3- C ．1(,1]3- D ．1(,1)33．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥b a c ，则λ= ( )A ．311-B ．113- C ．12 D ．354．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题 “若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．线性回归直线方程y bx a =+恒过样本中心(,)x y ，且至少经过一个样本点．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 6．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．65B ．70C ．130D ．1407．函数y ＝sin (2x ＋π4)的图像可由函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到8．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 9．如图，若程序框图输出的S 是126，则判断框①中应为( ) A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤ 10．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S 等于( ) A.314B. 8C. 31D. 32 11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ）A.5B.52 C.32 D.178第9题图 12．若函数()M f x 的定义域为实数集R,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++的值域为( )A . 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. {}1 C. 12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．14．设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最大值是________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是_________． 16．设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为(,0]-∞，则19c a+的最大值为_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若m u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n r＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且∙m n u r r ＝12. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝23且4b c +=，求此三角形的面积．18．（本小题满分12分）某校学生利用元旦节进行社会实践，在[25,55]岁的人群随机抽取n 人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取6人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄都在[40,45)岁的概率.19．（本小题满分12分）已知二次函数2()f x x =，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 均在函数()y f x =上的图像上。
增城区2015学年第二学期期末质量检测高一数学试题与答案
增城区2015学年第二学期期末质量检测高一数学试题考试时间：120分钟，满分150分第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.圆06422=-++y x y x 的圆心坐标是A （2,3）B （-2,3）C （-2，-3）D （2，-3）2.化简=⋅+αααα2cos cos 2cos 12sin 22 A α2t a nB α2sinC 1D 213.已知在ABC ∆中，125tan -=A ，则=A cos A 1312 B 135 C 135- D 1312-4.为了得到函数)32sin(π-=x y 的图像，只要把2sin xy =的图像上所有的点A 向右平移3π个单位；B 向左平移3π个单位；C 向右平移32π个单位；D 向左平移32π个单位.5.已知),20(81cos sin πααα<<=则ααcos sin +的值是A23 B 41 C 23- D 256.已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则=2a A -4 B -6 C -8 D -107.函数)32sin(3π--=x y 的单调递增区间是 A )](22,22[Z k k k ∈+-ππππ B )](232,22[Z k k k ∈++ππππ C )](1211,125[Z k k k ∈++ππππ D )](125,12[Z k k k ∈+-ππππ8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知)3,1(),1,3(-B A ，若点C 满足βα+=,1,,=+∈βαβαR 则点C 的轨迹方程是A 01123=-+y xB 5)2()1(22=-+-y xC 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且151062=++a a a ，则=11S A255B 50C 55D 110 10.在ABC ∆，若B C bc b a sin 32sin ,322==-，则=A A ︒30 B ︒60 C ︒120 D ︒15011.在数列}{n a 中，已知)(,5,11221*++∈-===N n a a a a a n n n ，则=2016a A -4 B 4 C 1 D 512.定义：)0,0(),(>>=y x y y x F x ,已知数列}{n a 满足：)(),2()2,(*∈=N n n F n F a n ，若对任意正整数n 都有)(,*∈≥N K a a K n 成立，则K a 的值为 A 21 B 2 C 98 D 89第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共有4小题，每题5分，共20分.13.=︒︒-︒︒36sin 24sin 36cos 24cos .14.,53==且12-=∙，则在方向上的投影为15.圆021422=-++y y x 被直线032=+-y x 截得的弦的长度是 .16.某市某通讯设备厂为了适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各项费用是12万元，从第二年起，所需费用比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元。
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试理科数学试卷(解析版)
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则()U AC B =( )A.{5}B.{2,4}C.{2,4,5}D.{2,4,6} 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，{}2,4,6U C B =，所以(){}2,4U A C B =.考点：集合间的基本运算2．下列函数中与函数f(x )=x 相同的是( )A.()2f x =B.()f x =C.()f x =D.()2x f x x=【答案】C 【解析】试题分析：选项A ，()2(0)f x x x ==≥；选项B ，()()f x x x R =∈；选项C ，()()f x x x R ==∈；选项D ，()()20x f x x x x==≠.所以只有选项C 的函数与函数()f x x =是相同的. 考点：函数的定义域及其求法 3．复平面内复数11i-对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：()()11111111222i i i i i i ++===+--+，所以复数11i -对应的点是11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.考点：复数代数形式的混合运算4( )A. 6B.【答案】D 【解析】3====.考点：指数与指数幂的运算5．已知两个平面垂直，下列命题中：(1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 【解析】试题分析：(1)根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，所以(1)的说法错误；(2)根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，所以(2)的说法正确；(3)根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，所以(3)的说法错误；(4) 如果这一点在交线上，那么过这点的交线的垂线有无数条，其中有的可能在另一个平面内，所以(4)的说法错误.所以正确的命题是(2)，1个.考点：1.平面与平面垂直的性质定理；2.直线与平面垂直的性质定理 6．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在( )A. 一个椭圆上B. 一支双曲线上C. 一条抛物线上D. 一个圆上【答案】B 【解析】试题分析：圆221x y +=221x y +=的圆心是()0,0，半径1r =；圆228120x y x +-+=的圆心是()4,0，半径是2R =.根据题意可知，所求的圆的圆心到定点()4,0与()0,0的距离之差是1，由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹是双曲线的一支，即圆心在一支双曲线上.考点：双曲线的定义及性质7．已知函数()()22log 1f x x ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A. （0,2）B. （-2,2）C. [-2,2]D.()()22,-∞-+∞【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，210x ax ++>恒成立，所以240a ∆=-<，解得22a -<<.考点：二次函数的图像与性质8．已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=- ( ) A. 2875-B. 2875C. 21100-D. 21100 【答案】A 【解析】试题分析：由3cos 45πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据三角函数的和角公式可知，cos sin x x -=①.因为177124ππx <<，所以5234πππx <+<，所以4sin 45πx ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由三角函数的和角公式得，sin cos 5x x +=-②.由①②解得sin 10cos 10x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2sin 22sin 2sin cos 2sin sin sin 1tan 1cos x x x x x xx x x++==--()2sin cos cos sin cos sin x x x x x x +=-，22875⎛⎛⎛⨯⨯⨯ ==-.考点：1.三角函数的和角公式；2.同角三角函数的基本关系二、填空题9．已知()()4,2,6,a b y ==，且a 与b 共线，则y= . 【答案】3 【解析】试题分析：因为a 与b 共线，所以642y=，解得3y =. 考点：平面向量共线的坐标运算10．如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是 .【答案】1717 【解析】 试题分析：根据流程图可知它的作用是求147......97100+++++的值，由等差数列的前n 项和公式可知，()34110017172S ⨯+==.考点：1.程序框图及其应用；2.等差数列的前n 项和11．二项式81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 .【答案】70【解析】试题分析：根据二项式定理可知所求的常数项为：4448170C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.考点：二项式定理 12．设函数()f x =12,x x R ∈，恒有()()1212f x f x M x x -<-，其中M 是常数，则M 的最小值是 . 【答案】1 【解析】试题分析：根据导数的定义，对已知函数求导得，()1f x '==<，所以M 的最小值是1.考点：导数的定义及其应用 13．要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A,B,C 三种规格的成品分别是15,18,27块，至少需要这两种钢板共是 张. 【答案】12 【解析】试题分析：设需要第一种钢板x 块，第二种钢板y 块，根据题意知x ，y 满足不等式组215218327x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩， 求z x y =+的最小值，不等式组表示的可行域如图所示，红线表示x y +取不同值时的直线，可知z x y =+在直线327x y +=与直线215x y +=的交点1839,55⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值，因为x ，y 都是正整数，所以3x =时，y 最小值是9y =；4x =时，y 最小值是8y =.所以z的最小值是12.考点：简单的线性规划14．如图，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .【答案】83【解析】试题分析：设BF x =，则8CF x =-，由//DF AC 得，8BD BF xAD CF x==-，又因为//DE BC ，所以24BD CE AD AE ==，则有284x x =-，解得83x =.考点：平行线分线段成比例15．（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为2cos ρθθ=-，则圆的圆心的极坐标是 ()02θπ≤<. 【答案】52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：圆的圆心为()(),0βa a >，半径为a 的圆的极坐标方程为()2cos ρθβa =-.因为52cos 4cos 4cos 24cos 333πππρθθθθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以此圆的圆心坐标为52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：圆的极坐标方程三、解答题16．已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-(1)当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；(2)利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.【答案】(1) max 1f ，8x π=； (2)见解析.【解析】试题分析：(1)先根据二倍角公式和三角函数的和角公式化简()f x 得到()s i n 214πfx x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图像和性质求解函数()f x 的最大值以及取得最大值时对应的x 的值；(2)根据三角函数图像的平移变换的法则，先把函数sin y x =的图象向左平移4π个单位，再把图象上的点横坐标变为原的12倍，然后把图象上的点纵坐1个单位即可.试题解析：(1)()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- .. 3分214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ..5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<， 6分 所以当242x ππ+=时，即8x π=时 7分()f x 1所以()f x 1，相应的x 的值8x π=. 8分(2)函数sin y x =的图象向左平移4π个单位， 9分 再把图象上的点横坐标变为原的12倍， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到214πy x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象. 12分.考点：1.三角函数的和角公式；2.三角函数的图像与性质；3.二倍角公式；4.三角函数图像的平移变换17．在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. (1)从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；(2)从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，()32ξE =. 【解析】试题分析：(1)先求出从6枝圆珠笔中任取3支的事件的总数A ，再求出恰有1枝是三等品的事件的总数B ，用B 除以A 即是所求的概率；(2)先判断ξ的所有可能的取值，再求出ξ取每个值时对应的概率，根据分布列的列法将所求的概率与对应的ξ的值分别填入表格，列出分布列，根据分布列中的ξ的值及其对应的概率以及公式()()3ξξξiii E P ==∑求数学期望.试题解析：(1)2536C P C = ..2分541212321⨯⨯==⨯⨯ 4分 (2) 0,1,2,3ξ= 5分()33361020ξC P C ===， ()1ξP =123336920C C C ⨯==，()3ξP =213336920C C C ⨯==， ()4ξP =3336120C C ==. .9分所以ξ的分布列是：10分()199130123202020202ξE =⨯+⨯+⨯+⨯=. 12分 考点：1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及其应用；3.离散型随机变量的分布列与数学期望 18．如图，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于A '.(1)求证：DA '⊥EF;(2)求二面角A EF D '--的平面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2)13. 【解析】试题分析：(1)先根据正方形的特征得到DA AE ⊥，DC CF ⊥ ，再根据点的重合得到DA A E ''⊥，DA A F ''⊥ ，由直线与平面垂直的判定定理可知，DA A EF ''⊥平面 ，再由直线与平面垂直的性质定理得到DA EF '⊥ ；(2)先取EF 的中点M ，连A M '，DM ，由等腰三角形底边上的三线合一以及勾股定理证明A M EF '⊥，DM EF ⊥，所以A MD'∠是二面角A EF D '--的平面角，再根据已知的边的长度 试题解析：(1)证明：∵ABCD 是正方形， ∴DA AE ⊥，DC CF ⊥， ..2分 ∴DA A E ''⊥，DA A F ''⊥， .3分 又A E A F A '''=， . 4分 ∴DA A EF ''⊥平面， 5分 又A EF '⊂EF 平面， .6分∴DA EF '⊥. 7分(2)取EF 的中点M ，连A M '，DM ，如图所示：则在AEF 中，∵1A E AE '==，1A F CF '==， ∴A M EF '⊥， .8分∴DE DF ===，∴DM EF ⊥， .. 9分所以A MD '∠是二面角A EF D '--的平面角， 10分 在BEF 中，1BE BF ==，BE BF ⊥，∴EF =2A M '=， ..11分 ∵DA A EF ''⊥平面，∴A D A ''⊥，又2A D '=，∴/2D A D =2= .12分∴/1cos 3A M A MD DM '∠==， .13分 所以二面角A EF D '--的平面角的余弦值是13. 14分 考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质定理；3.解三角形；4.二面角及求法；5.勾股定理 19．已知数列{}n a 满足111,2 1.2n n a a a +=-= (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：12...1na a a n+++<.【答案】(1) 112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)根据所给的121n n a a +-=将1拆为21-，化简得到关系11112n n a a +-=-，构造数列{}1n a -，证明此数列是以12-为首项，12为公比的等比数列，求得111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即得112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)根据所求的通项公式以及等比数列的前n项和公式求得12...n a a a +++112n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，那么就有12...n a a a n +++1121nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，由n 是整数以及指数函数的性质可知1120nn⎛⎫- ⎪⎝⎭>，所以12...1n a a a n +++<得证.试题解析：(1)由12121n n a a +-==-可得，1221n n a a +-=-，即()1211n n a a +-=- 2分 ∴11112n n a a +-=- ， 4分由112a =得，1111122a -=-=- ， . 5分 ∴数列{}1n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列， 6分∴111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. .7分（2）证明：∵212111......222nn a a a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.9分111222112nn ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-- ..10分112nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 11分∴1211 (2)1nn a a a n n⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=-， .12分 ∵n 是正整数，∴1012n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1112011,02nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<-<> ⎪⎝⎭， ..13分 ∴12...1na a a n+++<. . 14分考点：1.等比数列的定义；2.等比数列的前n 项和公式；3.指数函数的性质 20．已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q两点，且2PQ =，求直线PQ 的方程. 【答案】(1) 2212y x +=()1x ≠±；(2) 1y =+. 【解析】试题分析：(1)先设出点M 的坐标，根据两点间的斜率公式求出1MA y k x =+和1Mb y k x =-，代入已知条件2MA MB k k ⨯=-中，化简整理得2212y x +=()1x ≠±，限制条件一定要有；(2)分直线PQ 的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程及与曲线的交点坐标，联立方程由方程的根与系数的关系求得12222kx x k +=-+，12212x x k =-+，代入P 、Q两点间的距离公式并化简，结合已知条件2PQ =求得k 的值，代入所设的直线方程即可.试题解析：(1)解：设(),M x y ， ..1分则1MA y k x =+，()11Mb yk x x =≠±-， .3分 ∴211y y x x ⨯=-+-， .4分 ∴2212y x +=()1x ≠±. .6分 (条件1分) (2)当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ是椭圆的长轴，其长为 所以直线PQ 的斜率存在， 7分 设直线PQ 的方程是1y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则1212()y y k x x -=-， .8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-=， 9分 ∵()()()222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈， ..10分∴12222k x x k +=-+，12212x x k =-+， .11分 ∴PQ ===， ..12分∴PQ ==，∴22k =，即k = .13分所以直线PQ 的方程是1y =+. ..14分考点：1.直线的斜率；2.方程的根与系数的关系；3.分类讨论思想；4.两点间的距离公式；5.直线方程；6.轨迹方程 21．设()2ln .a f x x x=+(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数.【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】试题分析：(1)先由对数函数的定义求得函数的定义域，然后对函数求导，对a 的取值进行分类讨论，根据函数的单调性与导数的关系求得每种情况下的函数的单调区间；(2) 对a 的取值进行分类讨论，当0a ≤时分0a =和0a <两种情况，由()0af e <， ()0a f e ->，结合零点存在性定理可知()f x 在()0,+∞上有一个零点；当0a >时，根据函数的单调性求得函数的极小值()1ln 12fa =+，对极小值与0的关系分三种情况进行分类讨论，结合零点存在性定理求得每种情况下的函数的零点个数. 试题解析：(1) ()f x 的定义域是()0,+∞， 1分∵()2331a x af x x x x -'=-= ， 2分当0a ≤时，()0f x '>，()0,+∞是()f x 的增区间， 3分当0a >时，令()0f x '=，x =（负值舍去）当0x <<()0f x '<；当x >()0f x '> 5分所以(是()f x 的减区间，)+∞是()f x 的增区间. 6分综合：当0a ≤时，()f x 的增区间是()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间是(，()f x 的增区间是)+∞. 7分(2)由(1)知道当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上是增函数，当0a =时有零点1x =， 8分当0a <时，()()210a a f e a e =+<， ()()210aa f ea e --=->， .9分 (或当0x →+时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞)， 所以()f x 在()0,+∞上有一个零点， 10分当0a >时，由(1)知，()f x 在(上是减函数，()f x 在)+∞上是增函数，所以当x =()f x 有极小值，其最小值为()1ln 12fa =+. 11分 当()1ln 102a +>，即1a e>时，()f x 无零点，当()1ln 102a +=，即1a e =时，()f x 有一个零点， 当()1ln 102a +<，即10a e<<时，()f x 有2个零点. 13分 综合：当1a e >时，()f x 无零点；当1a e =时，()f x 有一个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零. 14分考点：1.函数求导；2.函数的单调性与导数的关系；3.分类讨论思想；4.对数函数的定义；5.解不等式；6.利用导数研究函数的极值；7.零点存在性定理。
2014-2015年广东省广州市高一上学期数学期末试卷(解析版)
2014-2015学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2，3}B．{2}C．{1，3，4}D．{4}2．（5.00分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=03．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞3}C．{x|x≥0}D．{x|x≥3}4．（5.00分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B． C． D．385．（5.00分）函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5.00分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．2+D．4+7．（5.00分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切8．（5.00分）函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值为（）A．5 B．9 C．21 D．69．（5.00分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=010．（5.00分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）①l⊥m⇒a∥β②l∥m⇒α⊥β③α⊥β⇒l∥m④α∥β⇒l⊥m．A．①②B．③④C．②④D．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5.00分）计算：lg50﹣lg5=．12．（5.00分）已知点A（5，2），B（4，1），则直线AB的倾斜角是．13．（5.00分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于．14．（5.00分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，则满足f（x+1）＜0的x的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15．（12.00分）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．16．（12.00分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．17．（14.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18．（14.00分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份用气量（立方米）支付费用（元）一48二2038三2650该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y元．求y关于x的函数解析式．19．（14.00分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2．（1）求圆C的方程；（2）若圆E与圆C关于直线2x﹣4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象经过点（，0），求m的值；（2）试判断函数f（x）的单调性，并予以说明；（3）试确定函数f（x）的零点个数．2014-2015学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2，3}B．{2}C．{1，3，4}D．{4}【解答】解：∵M={1，2}，N={2，3}，∴M∩N={2}，又∵U={1，2，3，4}，∴∁U（M∩N）={1，3，4}，故选：C．2．（5.00分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=0【解答】解：由直线3x+4y+2=0，得，则直线的斜率为﹣，且直线在y轴上的截距为．直线3x+4y﹣6=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴3x+4y﹣6=0与3x+4y+2=0平行；直线6x+8y+4=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴6x+8y+4=0与3x+4y+2=0重合；直线4x﹣3y+5=0、4x﹣3y﹣5=0的斜率均为，与直线3x+4y+2=0垂直．故选：A．3．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞3}C．{x|x≥0}D．{x|x≥3}【解答】解：要使函数有意义，x应满足：x﹣3≥0，即x≥3，故函数y=的定义域是{x|x≥3}故选：D．4．（5.00分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B． C． D．38【解答】解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选：A．5．（5.00分）函数的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，只有D满足条件，故选：D．6．（5.00分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．2+D．4+【解答】解：∵r=1，l=2，∴圆锥的高为，∴组合体的侧视图的面积为2×2+=4+，故选：D．7．（5.00分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切【解答】解：（x+1）2+（y﹣2）2=1的圆心A（﹣1，2），半径R=1，x2+y2=9的圆心O（0，0），半径r=3，则|AB|=，∵3﹣1＜|AB|＜3+1，∴圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是相交，故选：A．8．（5.00分）函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值为（）A．5 B．9 C．21 D．6【解答】解：∵函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]，∴对称轴为x=2，∴函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]单调递减，∵最小值为g（0）=9，故选：B．9．（5.00分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=0【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），∵直线和圆相切于点P（1，），∴CP的斜率k==﹣，则切线斜率k=，故切线方程为y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0，故选：D．10．（5.00分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）①l⊥m⇒a∥β②l∥m⇒α⊥β③α⊥β⇒l∥m④α∥β⇒l⊥m．A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，若l⊥m，直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故①不正确；若l∥m，直线l⊥平面α，则直线m⊥平面α，又∵直线m⊂平面β，则α⊥β，故②正确；若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故③不正确；若α∥β，直线l⊥平面α，⇒l⊥β，④正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5.00分）计算：lg50﹣lg5=1．【解答】解：lg50﹣lg5=lg=lg10=1故答案为：112．（5.00分）已知点A（5，2），B（4，1），则直线AB的倾斜角是45°．【解答】解：由A（5，2），B（4，1），可得直线AB的斜率k=．设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，α=45°．故答案为：45°．13．（5.00分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于3．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2解得r=3，故答案为：3．14．（5.00分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，则满足f（x+1）＜0的x的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|），∴满足f（x+1）＜0可转化为|x+1|．即：x，或x，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15．（12.00分）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．【解答】解：（1）因为，所以，所以a=3；（2）由（1）得，所以f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），，所以f（x）=f（﹣x），所以f（x）为偶函数；（3）因为g（x）=f（x）﹣5，g（a）=8，所以f（x）=g（x）+5，所以f（a）=g（a）+5=13因为f（x）为偶函数，所以f（﹣a）=g（﹣a）+5=13，所以g（﹣a）=8．16．（12.00分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．【解答】解：（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，∵k AB•k AC=﹣1，∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形；（2）解方程组，得，即A（2，6），设点A到直线BC的距离为d，则，依题意有d=1，即，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．17．（14.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．18．（14.00分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y元．求y关于x的函数解析式．【解答】解：根据题意，因为0＜c≤5，所以6+c≤11．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a，于是有解得b=2，2a=8+c．③因为0＜c≤5，所以．所以6+c=8，c=2．因此，a=5，b=2，c=2．所以，．19．（14.00分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2．（1）求圆C的方程；（2）若圆E与圆C关于直线2x﹣4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求的取值范围．【解答】解：（1）由题意设圆心坐标（a，﹣2a）﹣﹣﹣（1分），则圆方程为（x ﹣a）2+（y+2a）2=9﹣﹣﹣﹣（2分）作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=，∴CA=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以|﹣2a|=2，解得a=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为点C在x轴的下方，所以a=1，即C（1，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以圆方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设圆心E（m，n），由题意可知点E与点C是关于直线2x﹣4y+5=0对称，所以有﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）可解得m=﹣2，n=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以点E（﹣2，4）且圆E的半径为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以圆E的方程为（x+2）2+（y﹣4）2=9，表示圆E上的点与（1，﹣2）的距离．因为（1，﹣2）与点E（﹣2，4）的距离为=3，所以的取值范围为[3﹣3，3+3]．20．（14.00分）已知函数f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象经过点（，0），求m的值；（2）试判断函数f（x）的单调性，并予以说明；（3）试确定函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象经过点，所以，所以m=e；（2）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），设0＜x1＜x2，所以f（x1）=lnx1+mx1，f（x2）=lnx2+mx2，所以，因为0＜x1＜x2，m＞0，所以，所以，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在定义域上单调递增．（3）函数f（x）的零点只有一个①当m∈（0，e）时，f（1）=ln1+m=m＞0，且函数f（x）在上的图象是连续不间断曲线，所以由零点定理可得函数f（x）在（e﹣1，1）上存在一个零点，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．②当m=e时，，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．方法一：③当m∈（e，+∞）时，设x0=m﹣e＞0则f（1）=ln1+m=m＞0，因为x0＞0，所以，所以，即，且函数f（x）在上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得函数f（x）在上存在一个零点，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．方法二：③当m∈（e，+∞）时，设则，且函数g（x）在[1，m]上的图象是连续不间断曲线所以存在x0∈（1，m），使得g（x0）=0，即，从而有，且函数f （x ）在（0，+∞）上的图象是连续不间断曲线 又由（2）得f （x ）在定义域上单调递增，所以当m ∈（e ，+∞）时，函数f （x ）的零点只有一个．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
广东省广州市增城一中高二数学上学期月考试卷(二)(含解析)
广东省广州市增城一中2014-2015学年高二上学期月考数学试卷（二）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形2．（5分）命题p：x＞5，命题q：x＞3，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）抛物线x=ay2的准线方程是x=2，则a的值为（）A．﹣8 B．﹣C．D．84．（5分）过点M（2，4）作直线l，与抛物线y2=8x只有一个公共点，满足条件的直线有（）条．A．0条B．1条C．2条D．3条5．（5分）命题p：∀x∈Z，则x2﹣4＞0；与命题q：∃x∈Z，使x2﹣4＞0，下列结论正确的是（）A．p真q假B．p假q真C．p∧q为真D．p∨q为假6．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）7．（5分）对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0] B．（﹣8，0）C．（﹣8，0] D．[0，8）8．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=19．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．10．（5分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1，右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴的端点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）11．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是．12．（5分）已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是．13．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|=．14．（5分）已知，，且，则=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．16．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（3）从抽出的6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．17．（14分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣1，等差数列{b n}满足b1=a1，b4=7．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设C n=，数列{C n}的前n项和为T n，求证．19．（14分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．20．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．广东省广州市增城一中2014-2015学年高二上学期月考数学试卷（二）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由三角形的三边判断出b为最大边，根据大边对大角可得B为最大角，利用余弦定理表示出cosB，将已知的三边长代入求出cosB的值，由cosB的值小于0及B为三角形的内角，可得B为钝角，即三角形为钝角三角形．解答：解：∵AB=c=5，BC=a=6，AC=b=8，∴B为最大角，∴由余弦定理得：cosB===﹣＜0，又B为三角形的内角，∴B为钝角，则△ABC的形状是钝角三角形．故选C点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：余弦定理，三角形的边角关系，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．（5分）命题p：x＞5，命题q：x＞3，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若x＞5，则x＞3一定成立，若x=4，满足x＞3，但x＞5不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．（5分）抛物线x=ay2的准线方程是x=2，则a的值为（）A．﹣8 B．﹣C．D．8考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．解答：解：抛物线x=ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=2，所以a=﹣，故选：B．点评：本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．4．（5分）过点M（2，4）作直线l，与抛物线y2=8x只有一个公共点，满足条件的直线有（）条．A．0条B．1条C．2条D．3条考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先验证点（2，4）在抛物线y2=8x上，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．解答：解：由题意可知点（2，4）在抛物线y2=8x上，故过点（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是：i）过点（2，4）且与抛物线y2=8x相切，ii）过点（2，4）且平行于对称轴．∴过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有2条．故选：C．点评：本题主要考查抛物线的方程和基本性质，属基础题和易错题．解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）命题p：∀x∈Z，则x2﹣4＞0；与命题q：∃x∈Z，使x2﹣4＞0，下列结论正确的是（）A．p真q假B．p假q真C．p∧q为真D．p∨q为假考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判断命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．解答：解：命题p：∀x∈Z，则x2﹣4＞0，是假命题，例如取x=0，则不成立；命题q：∃x∈Z，使x2﹣4＞0，是真命题，例如取x=3．∴p假q真．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．6．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义求解．解答：解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．7．（5分）对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0] B．（﹣8，0）C．（﹣8，0] D．[0，8）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：当a=0时对于任意实数x不等式显然成立；当a≠0时，由二次不等式对应的二次函数的图象开口向下且判别式小于0列不等式组求解a的范围．解答：解：当a=0时，不等式ax2﹣ax﹣2＜0化为﹣2＜0，此式显然成立；当a≠0时，要使对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立，则，解得：﹣8＜a＜0．综上，对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立的实数a的取值范围是（﹣8，0]．故选：C．点评：本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了由二次不等式成立求解参数的取值范围问题，是中档题．8．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出λ的值即可．解答：解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．点评：本题考查渐近线相同的双曲线方程设法，以及椭圆、双曲线的基本量的关系，属于中档题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．10．（5分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1，右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴的端点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图形，设椭圆方程为，求出P，F2，A，B四点的坐标，从而根据PF2∥AB 即可得，从而可得到b=2c，根据a2=b2+c2即可得出，从而得到该椭圆的离心率．解答：解：如图，设椭圆方程为：；∴x=﹣c时，，∴，F2（c，0）；又A（a，0），B（0，b），PF2∥AB；∴；∴；∴b=2c；；∴；即椭圆的离心力为：．故选D．点评：考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念及计算．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）11．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．解答：解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．12．（5分）已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设另一个焦点为F，根据椭圆的定义可知|AB|+|BF|=2a，|AC|+|FC|=2a最后把这四段线段相加求得△ABC的周长．解答：解：椭圆+y2=1的a=．设另一个焦点为F，则根据椭圆的定义可知|AB|+|BF|=2a=2 ，|AC|+|FC|=2a=2 ．∴三角形的周长为：|AB|+|BF|+|AC|+|FC|=4．故答案为：4．点评：本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，解题的关键是利用椭圆的第一定义．13．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|=8．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解答：解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故答案为8．点评：本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．14．（5分）已知，，且，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标，由模长公式可得．解答：解：∵，，且，∴=2×（﹣4）+1×2+3x=0，解得x=2，故=（2，1，3）﹣（﹣4，2，2）=（6，﹣1，1），∴==，故答案为：点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；（2）分别把x=3α+和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×﹣）=2sin=；（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）﹣]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]=2sin（β+）=2cosβ= sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．点评：此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．16．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（3）从抽出的6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）由茎叶图能求出样本均值．（2）由抽取的6名工人中有2名为优秀工人，得到12名工人中有4名优秀工人．（3）设“从该车间6名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，由等可能事件概率计算公式能求出恰有1名优秀工人的概率．解答：解：（1）样本均值为=22．（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人．（3）设“从该车间6名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以P（A）==．点评：本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（14分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；用向量证明平行．分析：方法一：（1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到MN∥平面OCD；（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的对角相等得到∠ABC=∠ADC=，利用菱形边长等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函数定义求出即可．（3）AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求出距离可得．方法二：（1）分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示出A，B，O，M，N的坐标，求出，，的坐标表示．设平面OCD的法向量为=（x，y，z），则，解得，∴MN∥平面OCD（2）设AB与MD所成的角为θ，表示出和，利用a•b=|a||b|cosα求出叫即可．（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由，得．所以点B到平面OCD的距离为．解答：解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP∵，∴，，∴所以AB与MD所成角的大小为．（3）∵AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，∵，，∴，所以点B到平面OCD的距离为．方法二（向量法）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，，O（0，0，2），M（0，0，1），（1），，设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0即取，解得∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，∴MN∥平面OCD．（2）设AB与MD所成的角为θ，∵∴，∴，AB与MD所成角的大小为．（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，由，得d==所以点B到平面OCD的距离为．点评：培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣1，等差数列{b n}满足b1=a1，b4=7．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设C n=，数列{C n}的前n项和为T n，求证．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出a1=1，=2，由此能求出数列{a n}的通项公式；设{b n}的公差为d，由b 1=a1=1，=1+3d=7，解得d=2，由此能求出数列{b n}的通项公式．（2）由b n=2n﹣1，得=（），由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴=2，∴数列{a n}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，∴，设{b n}的公差为d，b 1=a1=1，=1+3d=7，解得d=2，∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2）证明：∵b n=2n﹣1，∴==（），∴（1﹣+…+）=（1﹣）．∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19．（14分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x﹣2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．解答：解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则由得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，由根与系数的关系，得，且判别式△=4a2b2（a2+b2﹣1）＞0，即a2+b2﹣1＞0（*）；∴线段AB的中点坐标为（）．由已知得，∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），设F（b，0）关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则且，解得．由已知得 x02+y02=4，∴，∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件故所求的椭圆方程为．点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力；解题时应细心解答．20．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．。
广东省广州市2014至2015学年高二下学期期末五校联考数学文科试题
2014—2015学年度第二学期期末模块考试五校联考高二年级数学（文）科试题 2015年7月第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
1．已知集合1(,]2A =-∞，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则AB =A ．11,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知i 为虚数单位，复数12z a i =+，22z =-i ，且12z z =，则实数a 的值为A ． 1B ．1-C ．1或1-D ．±1或03．已知1a =，2b =，且a 与b 夹角为60，则()b b a ⋅-等于A ．1B ．3 C．2-D ．4-4．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点, 则a 的值为 A B. C. 4 D ．105．函数cos()12y x π=+的图象的一条对称轴的方程是( )A ． 125π=x B ．6x π=C ．12x π=D ．12x π=-6．各项都为正数的等比数列{}n a 中，1091=a a ，则5a 的值为A ．5B ．10±C ． 10D ．5-7．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y y t +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为1 ，则实数t 的值为A ．0B ．1C ．3D ．1-8. 阅读右图的程序框图. 若输入1n =, 则输出k 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．69. 如下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积．．．为A ．12B ．16C ．4334+ D ．434+ 10．定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，若1()f x =2(1)x -,2()f x =12x +, 若()f x a =有两个解，则a 的取值范围是A ．]2,23(B ．]2,1[C ．]2,23(}1{⋃ D ． ]23,1(第二部分 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）．12．已知函数523+--=x x x y ，该函数在区间[]3,0上的最大值是 ．13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π==2a b =,则b 的值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．(几何证明选讲选做题)如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，ODCBA P俯视图2正(主)视图 222 侧(左)视图222B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为_____________. 15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :x y C θθ=+=+，则C 上各点到l 的距离的最小值为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共80分，要写出详细的解答过程或证明过程） 16. （本小题满分12分）已知函数()cos 1f x x =++．（1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若α为第三象限角，且1()63f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值． 17．（本题满分13分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如右图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？ 18.（本小题满分13分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，CD AB //， 90=∠BAD ，1==AD AB ，2=CD .（1）求证：//PCD AB 平面； （2）求证：⊥BC 平面PBD ；19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且1a ，7a ，37a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中xOy ，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点，且椭圆E 的离心率为（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在以(0,)A b -为直角顶点且内接于椭圆E 的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知函数()1xf x e mx =--.（1）当1m =时，试判断函数)(x f 的单调性；（2）对于任意的),0[+∞∈x ，0)(≥x f 恒成立，求m 的取值范围；2014—2015学年度第二学期期末模块考试五校联考高二年级数学（文）科参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBCDCBBAD二、填空题（每小题5分，共20分．14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做者，以14题为准。
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2014-2015学年增城一中第一学期高二数学综合训练（二）数学（理科）试题一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
)1. ABC 中，AB ＝5,BC ＝6,AC ＝8,则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 2. 命题5:>x p ，命题3:>x q ，则p 是q 的 ( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 抛物线x =ay 2的准线方程是x =2，则a 的值是（ ）A ．18-B ． 18C ．-8D ．84. 过点(2,4)M 作直线l ，与抛物线28y x =只有一个公共点，满足条件的直线有( )条. A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5. 命题p ：,x Z ∀∈则240x ->；与命题q ：,x Z ∃∈使240x ->，下列结论正确的是（ ） A ．p q 真假B ．p q 假真C ．p q ∧为真D ．p q ∨为假6. 如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,07. 对一切实数x ，不等式022<--ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,8-B ．)0,8(-C ．]0,8(-D ．[)8,08. 与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x9. 已知x , y 满足约束条件,11⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤y y x x y y x z +=2则的最大值为 （ ）1 7 92 0 1 53 0A ．3B ．－3C ．1D ．23 10. 已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于 A ．12B．2C ．13D．5二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．） 11. 命题“0123,0>+-∈∃x x R x ”的否定为12. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是13. 已知直线l 经过抛物线24x y =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中点G 的纵坐标为3，则AB =14. 已知(2,1,3)a =，(4,2,)b x =-，且a b ⊥，则||a b -= .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）已知函数1()2sin(.36f x x x R π=-∈（1）求5()4f π的值； （2）设106,0,,(3)(32),22135f a f ππαββπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．16. （本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间随机抽取6名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率。
17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC （Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。
18. ( 本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，47b =． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <19. (本小题满分14分)已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上. （1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.20. (本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1) (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点,求|MN|的最小值.2014-2015学年第一学期期末高二数学综合训练（二）数学（理科）参考答案1－5、CBACB ；6－10、DCABA11.0123,0≤+-∈∀x x R x 12. 13. 8 ；;15、解：（1）515()2sin()4346f πππ=⨯-2sin 4π=-=； （2）10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭53sin ,cos ,135αβ∴==12cos ,13α∴===4sin ,5β===故3125456cos()cos cos sin sin .51313565αβαβαβ+=+=⨯-⨯= 16、解：（1）由题意可知，样本均值 171920212530226x +++++==（2）样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名，∴可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为：21246⨯=（3）从该车间12名工人中，任取2人有2615C =种方法，而恰有1名优秀工人有11428C C = ∴所求的概率为：114226815C C P C == 17、解：（1）取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =，MD == 1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离2OP ====∵，2AP DP ==2223OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 18、解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即12nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=设{}n b 的公差为,d 111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=- （2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ 11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭19、解：（1）设1122(x ,y ),B(x ,y )A ，则有222211x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得2222222()20a b x a x a a b +-+-=，则2122222212222a x x a b a a b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，0∆> 又因12121211()2y y x x x x +=-+-+=-++，从而线段AB 的中点G 坐标为222222(,1)a a a b a b -+++，又点G 在直线02:=-y x l 上 故有222222210a a a b a b ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭解得222a b =，经检验有0∆>又222a b c =+，∴222,c a c e a ===（2）设椭圆的右焦点关于直线l 的对称点坐标为(),m n ，则过右焦点(c,0)F 且垂直直线l 的直线为y x c =-,由1y x y x c =-+⎧⎨=-⎩得1212c x c y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，从而有122122c m c n c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴1,1m n c ==-，由题得()22114c +-=，解得1c ==±0c >1c =(222222184a c b ===+=+221+=20、解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122p p =⇒=,所以抛物线方程是: 24xy =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =,由118442Mx y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442N x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x -=-=-=---++① 设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩,且12||x x -==代入①得到:|||16164MN k ==--设34304t k t k +-=≠∴=, ① 当0t >时||MN ==≥所以此时||MN 的最小值是② 当0t<时,4||5MN ====,所以此时||MN 的最小值是5,此时253t =-,43k =-;综上所述:||MN 的最小值是5;。