第五章 5.4平面向量及复数

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2024届高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及线性运算课件

2024届高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及线性运算课件
答案:A
【题后反思】向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度为 0,规定零向量与任何向量共线.
考点二 平面向量的线性运算 考向 1 向量的线性运算
m=1 的平行线,当 C 在 B 点时,经过 m=3 的平行
线,这两条线分别是最近与最远的平行线,所以 x+
3y 的取值范围是[1,3].
图 D20
答案:[1,3]
[例 1](1)如图 5-1-2 所示,已知A→B=a,A→C=b,B→C=4B→D,C→A =3C→E,则D→E=( )
A.34b-13a
图 5-1-2
B.152a-34b
C.34a-13b
D.152b-43a
解析:由题意可知D→E=D→C+C→E=43B→C-13A→C=34(A→C-A→B)- 13A→C=152A→C-34A→B=152b-43a.
【题后反思】利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意 待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B, C 三点共线⇔A→B,A→C共线. (3)若 a 与 b 不共线且 λa=μb,则 λ=μ=0. (4)O→A=λO→B+μO→C (λ,μ 为实数),若 A,B,C 三点共线, 则 λ+μ=1.
2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
求两个向量 加法 和的运算
三角形法则 平行四边形法则
交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c= a+(b+c)

高考数学复习第五章平面向量与复数.docx

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⾼考数学复习第五章平⾯向量与复数.docx第五章平⾯向量与复数考纲原件考厕1?平⽽向量⑴平⾯向量的实际背景及基⽊概念①了解向量的实际背景.②理解平⾯向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向虽的⼉何表⽰.(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算,理解其⼏何意义.②掌握向量数乘的运算及其⼉何意义,理解两个向最共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其⼉何意义.(3)平⾯向量的基⽊定理及坐标表⽰①了解平⽽向量的基本定理及其意义.②掌握平⾯向最的正交分解及其坐标表⽰.③会⽤处标表⽰平⾯向量的加法、减法与数乘运算.④理解⽤坐标表⽰的平⽽向量共线的条件.(4)平⾯向量的数量积①理解平⾎向量数量积的含义及其物理意义.链| 接I权贞展现②了解平⾯向量的数量积与向量投彫的关系.③掌握数量积的坐标表达式,会进⾏平⾯向量数量积的运算.④能运⽤数量积表⽰两个向量的夹⾓,会⽤数量积判断两个平⽽向量的乖直关系.(5)向量的应⽤①会⽤向量⽅法解决某些简单的平⾎⼉何问题”②会⽤向量⽅法解决简单的⼒学问题与其他⼀些实际问题.2.数系的扩充和复数的引⼊(1)理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表⽰法及其⼉何意义;能将代数形式的复数在复平曲上⽤点或向最表⽰,并能将复平⾎上的点或向量所対应的复数⽤代数形式表⽰.(3)能进⾏复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的⼏何意义.§5.1平⾯向量的概念及线性运算考点梳理I多脛劫笔夯实基越1.向最的有关概念(1)向量:既有____________⼜有____________的量叫做向量,向量的⼤⼩,也就是向量的___________ (或称模).祐的模记作_____________ .(2)零向量:___________ 的向量叫做零向量, 其⽅向是 _______ 的.(3)单位向罐:长度等于___________________ 的向最叫做单位向量?亩是⼀个与$同向的. _⽿是_个与a______ 的单位向I创(4)平⾏向量:⽅向__________ 或________ 的 ______ 向量叫做平⾏向最?平⾏向最⼜叫 ,任⼀组平⾏向量都可以移到同⼀直线上.规定:0与任⼀向聚____________ .(5)相等向量:长度_______________ 且⽅向___________ 的向最叫做相舍向最.⑹相反向量:长度_______________ 且⽅向____________ 的向虽叫做相反向:8.(7)向量的表⽰⽅法:⽤__________ 表⽰;⽤____________ 表⽰;⽤ _______ 表⽰.2.向量的加法和减法⑴向量的加法三⾓形法则:以笫⼀个向量⽈的终点〃为起点作笫⼆个向量⽅,则以笫⼀个向量a的起点。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》复数

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》复数

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)定义:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫做复数,其中a 叫做复数z 的实部,b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位).(2)分类:满足条件(a ,b 为实数)复数的分类a +b i 为实数⇔b =0a +b i 为虚数⇔b ≠0a +b i 为纯虚数⇔a =0且b ≠0(3)复数相等:a +b i =c +d i ⇔a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ).(4)共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭⇔a =c ,b =-d (a ,b ,c ,d ∈R ).(5)模:向量OZ →的模叫做复数z =a +b i 的模,记作|a +b i|或|z |,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2(a ,b ∈R ).2.复数的几何意义复数z =a +b i 与复平面内的点Z (a ,b )及平面向量OZ →=(a ,b )(a ,b ∈R )是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ∈R .(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ →=OZ 1→+OZ 2→,Z 1Z 2→=OZ 2→-OZ 1→.概念方法微思考1.复数a +b i 的实部为a ,虚部为b 吗?提示不一定.只有当a ,b ∈R 时,a 才是实部,b 才是虚部.2.如何理解复数的加法、减法的几何意义?提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2+x +1=0没有解.(×)(2)复数z =a +b i(a ,b ∈R )中,虚部为b i.(×)(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点.(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(√)题组二教材改编2.设z =1-i1+i +2i ,则|z |等于()A .0 B.12C .1D.2答案C 解析∵z =1-i 1+i +2i =(1-i )2(1+i )(1-i )+2i =-2i 2+2i =i ,∴|z |=1.故选C.3.在复平面内,向量AB →对应的复数是2+i ,向量CB →对应的复数是-1-3i ,则向量CA →对应的复数是()A .1-2i B .-1+2iC .3+4iD .-3-4i答案D解析CA →=CB →+BA →=-1-3i +(-2-i)=-3-4i.4.若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数,则实数x 的值为()A .-1B .0C .1D .-1或1答案A解析∵z 为纯虚数,2-1=0,-1≠0,∴x =-1.题组三易错自纠5.设a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“ab =0”是“复数a +bi 为纯虚数”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a +bi=a -b i 为纯虚数,∴a =0且-b ≠0,即a =0且b ≠0,∴“ab =0”是“复数a +bi为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.6.(2020·模拟)若复数z 满足i z =2-2i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案B解析由题意,∵z =2-2i i =(2-2i )·(-i )i·(-i )=-2-2i ,∴z =-2+2i ,则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.7.i 2014+i 2015+i 2016+i 2017+i 2018+i 2019+i 2020=________.答案-i解析原式=i 2+i 3+i 4+i 1+i 2+i 3+i 4=-i.题型一复数的概念1.(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z 满足(1+2i)z =1-i ,则复数z 的虚部为()A.35B .-35C.35i D .-35i答案B解析因为(1+2i)z =1-i ,所以z =1-i 1+2i=(1-i )(1-2i )5=-1-3i5,因此复数z 的虚部为-35,故选B.2.(2019·钦州质检)复数2+i1+i的共轭复数是()A .-32+12iB .-32-12iC.32-12iD.32+12i 答案D解析由复数2+i 1+i =(2+i )(1-i )(1+i )(1-i )=3-i 2=32-12i ,所以共轭复数为32+12i ,故选D.3.(2018·烟台模拟)已知复数a +2i2-i是纯虚数(i 是虚数单位),则实数a 等于()A .-4B .4C .1D .-1答案C解析a +2i 2-i =(a +2i )(2+i )(2-i )(2+i )=2a -2+(a +4)i5,∵复数a +2i2-i为纯虚数,∴2a -2=0且a +4≠0,解得a =1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1+i)(2-i)等于()A .-3-iB .-3+iC .3-iD .3+i答案D解析(1+i)(2-i)=2+2i -i -i 2=3+i.(2)i (2+3i )等于()A .3-2iB .3+2iC .-3-2iD .-3+2i答案D解析i(2+3i)=2i +3i 2=-3+2i ,故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1+2i1-2i等于()A .-45-35iB .-45+35iC .-35-45iD .-35+45i答案D解析1+2i 1-2i =(1+2i )2(1-2i )(1+2i )=1-4+4i1-(2i )2=-3+4i 5=-35+45i.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知i 是虚数单位,若复数z 满足z (1+i)=1-i ,则z 等于()A .iB .-iC .1+iD .1-i答案A解析由题意,复数z =1-i 1+i =(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=-i ,所以z =i ,故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018·达州模拟)已知z (1+i)=-1+7i(i 是虚数单位),z 的共轭复数为z ,则|z |等于()A.2B .3+4i C .5D .7答案C解析z =-1+7i 1+i=(-1+7i )(1-i )2=3+4i ,故z =3-4i ⇒|z |=5,故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α=1-i ,β=1+i ,有下列四个结论:①αβ=1;②αβ=-i ;③|αβ|=1;④α2+β2=0,其中正确结论的个数为()A .1B .2C .3D .4答案C解析对于两个复数α=1-i ,β=1+i ,①αβ=(1-i)·(1+i)=2,故①不正确;②αβ=1-i 1+i =(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=-2i 2=-i ,故②正确;③|αβ|=|-i |=1,故③正确;④α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i -1+1+2i -1=0,故④正确.故选C.思维升华(1)复数的乘法:复数乘法类似于多项式的四则运算.(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练1(1)已知a ∈R ,i 是虚数单位,若z =3+a i ,z ·z =4,则a 为()A .1或-1B .1C .-1D .不存在的实数答案A解析由题意得z =3-a i ,故z ·z =3+a 2=4⇒a =±1,故选A.(2)(2018·潍坊模拟)若复数z 满足z (2-i)=(2+i)·(3-4i),则|z |等于()A.5B .3C .5D .25答案C解析由题意z (2-i)=(2+i)(3-4i)=10-5i ,则z =10-5i 2-i =(10-5i )(2+i )(2-i )(2+i )=5,所以|z |=5,故选C.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位,复数1-ii在复平面上对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案C解析由题意得1-i i =(1-i )i i 2=1+i-11-i ,因为复数-1-i 在复平面上对应的点在第三象限,故选C.(2)如图所示,平行四边形OABC ,顶点O ,A ,C 分别表示0,3+2i ,-2+4i ,试求:①AO →,BC →所表示的复数;②对角线CA →所表示的复数;③B 点对应的复数.解①∵AO →=-OA →,∴AO →所表示的复数为-3-2i.∵BC →=AO →,∴BC →所表示的复数为-3-2i.②∵CA →=OA →-OC →,∴CA →所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.③OB →=OA →+AB →=OA →+OC →,∴OB →所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i ,即B 点对应的复数为1+6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可.跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z =5i 3+4i (i 是虚数单位),则z 的共轭复数z 对应的点在()A .第四象限B .第三象限C .第二象限D .第一象限答案A解析∵z =5i 3+4i =5i·(3-4i )(3+4i )·(3-4i )=45+35i ,∴z =45-35i ,则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限.故选A.(2)已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-2i ,它们所对应的点分别为A ,B ,C ,O 为坐标原点,若OC →=xOA →+yOB →,则x +y 的值是________.答案5解析由已知得A (-1,2),B (1,-1),C (3,-2),∵OC →=xOA →+yOB →,∴(3,-2)=x (-1,2)+y (1,-1)=(-x +y,2x -y ),x +y =3,x -y =-2,=1,=4,故x +y =5.1.已知复数z 1=6-8i ,z 2=-i ,则z 1z 2等于()A .-8-6iB .-8+6iC .8+6iD .8-6i答案C解析∵z 1=6-8i ,z 2=-i ,∴z 1z 2=6-8i -i =(6-8i )i -i 2=8+6i.2.(2018·聊城模拟)设复数z =(1-i )21+i,则|z |等于()A .4B .2 C.2D .1答案C解析z =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-i(1-i)=-1-i ,|-1-i|=2,故选C.3.(2018·海淀模拟)已知复数z 在复平面上对应的点为(1,-1),则()A .z +1是实数B .z +1是纯虚数C .z +i 是实数D .z +i 是纯虚数答案C解析由题意得复数z =1-i ,所以z +1=2-i ,不是实数,所以选项A 错误,也不是纯虚数,所以选项B 错误.所以z +i =1,是实数,所以选项C 正确,z +i 是纯虚数错误,所以选项D 错误.故选C.4.已知i 为虚数单位,若复数z 满足z +iz -i=1+i ,那么|z |等于()A .1 B.2C.5D .5答案C解析∵z +i z -i=1+i ,z +i =(1+i)(z -i ),i z =(2+i)i ,∴z =2+i ,∴|z |=1+4=5,故选C.5.(2018·成都七中模拟)已知i 为虚数单位,a ∈R ,若i -2a -i为纯虚数,则a 等于()A.12B .-12C .2D .-2答案B 解析由题意知i -2a -i =(i -2)(a +i )(a -i )(a +i )=(-2a -1)+(a -2)i a 2+1=-2a -1a 2+1+a -2a 2+1i ,又由i -2a -i为纯虚数,所以-2a -1=0且a -2≠0,解得a =-12,故选B.6.若复数z 满足(3+4i )z =1-i(i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 等于()A .-15-75iB .-15+75iC .-125-725iD .-125+725i 答案D解析由题意可得z =1-i 3+4i =(1-i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=-1-7i25,所以z =-125+725i ,故选D.7.(2018·济南模拟)设复数z 满足z (1-i)=2(其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是()A .|z |=2B .复数z 的虚部是i C.z =-1+iD .复数z 在复平面内所对应的点在第一象限答案D解析z =21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=1+i ,∴|z |=12+12=2,复数z 的虚部是1,z =1-i ,复数z 在复平面内所对应的点为(1,1),显然在第一象限.故选D.8.已知集合M ={1,m,3+(m 2-5m -6)i},N ={-1,3},若M ∩N ={3},则实数m 的值为________.答案3或6解析∵M ∩N ={3},∴3∈M 且-1∉M ,∴m ≠-1,3+(m 2-5m -6)i =3或m =3,∴m 2-5m -6=0且m ≠-1或m =3,解得m =6或m =3,经检验符合题意.9.(2018·江苏)若复数z 满足i·z =1+2i ,其中i 是虚数单位,则z 的实部为________.答案2解析由i·z =1+2i ,得z =1+2ii=2-i ,∴z 的实部为2.10.(2018·天津)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i=________.答案4-i解析6+7i 1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=20-5i5=4-i.11.已知复数z 满足z +3z =0,则|z |=________.答案3解析由复数z 满足z +3z=0,则z 2=-3,所以z =±3i ,所以|z |= 3.12.若复数z =1-i ,则z +1z 的虚部是________.答案-12解析z +1z =1-i +11-i =1-i +1+i 2=32-12i ,故虚部为-12.13.(2018·厦门质检)已知复数z 满足(1-i)z =i 3,则|z |=________.答案22解析由题意知z =i 31-i =-i (1+i )(1-i )(1+i )=-i +12=12-12i ,则|z |=22.14.(2019·天津调研)已知i 为虚数单位,复数z (1+i)=2-3i ,则z 的虚部为________.答案-52解析由z (1+i)=2-3i ,得z =2-3i 1+i =(2-3i )(1-i )(1+i )(1-i )=-1-5i 2=-12-52i ,则z 的虚部为-52.15.已知复数z =b i(b ∈R ),z -21+i是实数,i 是虚数单位.(1)求复数z ;(2)若复数(m +z )2所表示的点在第一象限,求实数m 的取值范围.解(1)因为z =b i(b ∈R ),所以z -21+i =b i -21+i =(b i -2)(1-i )(1+i )(1-i )=(b -2)+(b +2)i 2=b -22+b +22i.又因为z -21+i 是实数,所以b +22=0,所以b =-2,即z =-2i.(2)因为z =-2i ,m ∈R ,所以(m +z )2=(m -2i)2=m 2-4m i +4i 2=(m 2-4)-4m i ,又因为复数(m +z )2所表示的点在第一象限,2-4>0,4m >0,解得m <-2,即m ∈(-∞,-2).16.若虚数z 同时满足下列两个条件:①z +5z是实数;②z +3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z ;若不存在,请说明理由.解存在.设z =a +b i(a ,b ∈R ,b ≠0),则z +5z =a +b i +5a +b i=又z +3=a +3+b i 的实部与虚部互为相反数,z +5z是实数,0,+3=-b ,因为b ≠02+b 2=5,=-b -3,=-1,=-2=-2,=-1.所以z =-1-2i 或z =-2-i.17.(2018·威海模拟)若复数a +i 1+i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限,则实数a 的取值范围是()A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)答案C 解析由题意得z =a +i 1+i =(a +i )(1-i )(1+i )(1-i )=a +1+(1-a )i 2,因为z 在复平面内对应的点在第一象限,+1>0,-a >0,所以-1<a <1.故选C.18.已知a ∈R ,i 是虚数单位,若复数z =a +3i 3+i∈R ,则复数z =________.答案3解析∵复数z =a +3i 3+i =(a +3i )(3-i )(3+i )(3-i )=3(1+a )+(3-a )i 4=3(1+a )4+3-a 4i ∈R ,∴3-a 4=0,即a =3.则复数z =3(1+a )4=434= 3.19.复数z 1,z 2满足z 1=m +(4-m 2)i ,z 2=2cos θ+(λ+4sin θ)i(m ,λ,θ∈R ),并且z 1=z 2,则λ的取值范围是()A .[-1,8] B.-916,1C.-916,7 D.916,7答案A 解析由复数相等的充要条件可得=2cos θ,-m 2=λ+4sin θ,化简得4-4cos 2θ=λ+4sin θ,由此可得λ=-4cos 2θ-4sin θ+4=-4(1-sin 2θ)-4sin θ+4=4sin 2θ-4sin θ=θ-1,因为sin θ∈[-1,1],所以4sin 2θ-4sin θ∈[-1,8].20.给出下列命题:①若z ∈C ,则z 2≥0;②若a ,b ∈R ,且a >b ,则a +i>b +i ;③若a ∈R ,则(a +1)i 是纯虚数;④若z =-i ,则z 3+1在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知,①错误;②错误;若a =-1,则a +1=0,不满足纯虚数的条件,③错误;z 3+1=(-i)3+1=i +1,④正确.。

高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第4节 复 数

高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第4节 复 数
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
+ (+)(-) + -
④除法: =
=
+ (+)(-)
=
+
+
+
(+ )
(-)

=1-i.
等于(
D.1+i
)
(2)已知复数 z 满足(2z+3)i=3z,则等于(



A.- - i



)

B.- + i



C. - i

D. + i


解析:(2)因为(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,
i
B.2
D.-1+

i
)

解析:(2)设复数 z=x+yi(x,y∈R),因为向量 与实轴正向的夹角为

120°且复数 z 的模为 2,所以当 z 在第二象限时,x=||cos 120°=



2×(-)=-1,y=||sin 120°=2× = ,所以 z=-1+ i;当 z 在第三
所以其共轭复数为2-i.故选B.
考点二
复数的四则运算
-
[例2] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z= + ,则z- 等于(
A.-i

B.i

新课标高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.4平面向量的应用课件理

新课标高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.4平面向量的应用课件理
= 3+2 2sinθ+π4. 当 sinθ+π4=1 时,|a+b|取得最大值 3+2 2= ( 2+1)2= 2+1.
即当 θ=4π时,|a+b|的最大值为 2+1.
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【点拨】向量与函数、三角函数的综合题,多 通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、 平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的 基本概念,函数、三角函数的图象与性质,三角变 换等内容.此类题目中,向量往往是条件的载体, 题目考查的重点仍是函数、三角函数,熟练掌握向 量的概念和基本运算是解决问题的前提.
解:m·n= 3sin4xcos4x+cos24x
= 23sin2x+1+2cos2x=sin2x+π6+12, 因为 m·n=1,所以 sin2x+π6=12. 因为 cosx+π3=1-2sin22x+π6=12, 所以 cos23π-x=-cosx+π3=-12.故填-12.
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所以B→F=(1- 2,2),所以A→E·B→F= 2(1- 2)+2= 2.
| | | | 解法二:A→B·A→F=A→B·(A→D+D→F)=
2⇒
→ DF
=1,
→ CF

2-1.
所以A→E·B→F=(A→B+B→E)·(B→C+C→F)
=A→B·B→C+A→B·C→F+B→E·B→C+B→E·C→F
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解法一:以 A 为坐标原点,A→B,A→D的方向分别为 x,y 轴正方向建
立直角坐标系,则 B( 2,0),E( 2,1),D(0,2),C( 2,2).所以A→B=
( 2,0),A→E=( 2,1),
设点 F 为(x,2),则由A→B·A→F= 2,得 2x= 2,所以 x=1.

平面向量与复数全集(学生版)

平面向量与复数全集(学生版)

1第一节平面向量的线性运算及共线定理知识梳理一向量的有关概念名称内容向量既有大小又有方向的量叫做向量向量的模向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行(共线)向量方向相同或相反的非零向量;平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量平面向量有个重要特点,即可以自由平移,平移过程中不改变方向和大小,因此平行向量又叫共线向量.向量可以平移,但在几何中,具体的点、线、面相对位置固定,这是向量与几何的一个重要区别.二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律:a +b =b +a 结合律:(a+b )+c =a +(b +c )减法向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差,即a +(-b )=a -b三角形法则a -b =a +(-b )数乘实数λ与向量a 的积是一个向量记作λa(1)模:|λa |=|λ||a |;(2)方向:当λ>0时,λa 与a 的方向相同;当λ<0时,λa 与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0设λ,μ是实数.(1)λ(μa )=(λμ)a (2)(λ+μ)a =λa +μa (3)λ(a +b )=λa +λb .三平面向量共线定理向量共线定理:向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b =λa .若A ,B ,C 三点共线,则存在实数λ,使得AB =λAC (或BC =λAB等).推论:若OA =λOB +μOC(λ,μ为常数),则A ,B ,C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.2题型探究一向量的基本概念与线性运算一向量的基本概念1(多选题)(2021·临沂模拟)下列命题中的真命题是( )A.若|a|=|b|,则a=bB.若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b,b=c,则a=cD.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b2设a,b都是非零向量,下列四个条件,使用a|a |=b|b|成立的充要条件是( )A.a=bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a∥b且方向相同1(2022·湖北宜昌)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb2(2022·全国·高三专题练习)给出如下命题:①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④两个公共终点的向量,一定是共线向量;⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上.其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4名师点拨(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)平行向量就是共线向量,二者是等价的;但相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(4)非零向量a与a|a |的关系是:a|a |是a方向上的单位向量.3二零向量的特殊性1下列命题正确的是( )A.向量a ,b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b =λa B.在△ABC 中,AB +BC +CA=0C.不等式||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |中两个等号不可能同时成立D.若向量a ,b 不共线,则向量a +b 与向量a -b 必不共线名师点拨在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0 与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得到错误的判断或结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.1下列叙述正确的是( )A.若非零向量a 与b 的方向相同或相反,则a +b 与a ,b 其中之一的方向相同B.|a |+|b |=|a +b |⇔a 与b 的方向相同C.AB +BA =0D.若λ≠0,λa =λb ,则a =b 三向量的线性运算1如图,在梯形ABCD 中,BC =2AD ,DE =EC ,设BA =a ,BC =b ,则BE=( )A.12a +14b B.13a +56b C.23a +23b D.12a +34b 2如图,AB 是圆O 的一条直径,C ,D 是半圆弧的两个三等分点,则AB=( )A.AC -AD B.2AC -2ADC.AD -ACD.2AD -2AC41(滨州2020)已知在平行四边形ABCD中,点M、N分别是BC、CD的中点,如果AB=a ,AD=b,那么向量MN=()A.12a -12bB.-12a +12bC.a +12bD.-12a -12b2如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且EO=2AE,则EB=()A.16AB-56ADB.16AB+56ADC.56AB-16ADD.56AB+16AD四根据向量线性运算求参数1(2021·济南模拟)如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点,CE=-2DE,若EF=xAB+yAD,则x+y=( )A.1B.6C.16D.132在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=λAB+μBC,其中λ,μ∈R,则λ+μ等于( )A.1B.12C.13D.231(济宁2020)在平行四边形ABCD中,DE=3CE,若AE交BD于点M.且AM=λAB+μAD,则λμ=()A.23B.32C.34D.4352在△ABC 中,P 是BC 上一点,若BP =2PC ,AP =λAB +μAC,则2λ+μ=.名师点拨平面向量线性运算法则的选取原则(1)首先确定所选取基底的两个基向量,它们的公共起点是哪个点.(2)当所求的向量的起点和基底的公共起点相同时,用加法或数乘运算.(3)当所求的向量的起点和基底的公共起点不同时,用减法或数乘运算.(4)当所求向量是一整个线段的一部分时,用数乘运算.(5)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数.(6)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.二共线向量定理及其应用一共线定理的基本应用1(2022·河南·平顶山市)已知向量e 1 ,e 2 不共线,且向量λe 1 +3e 2 与2e 1 -5e 2 平行,则实数λ=()A.-35B.-65C.-103D.-42已知向量e 1,e 2不共线,如果AB =e 1+2e 2,BC =-5e 1+6e 2,CD=7e 1-2e 2,则共线的三个点是.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ,使b =λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.61设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.3引申上例中,若ka +b与a+kb反向,则k=;若ka+b与a+kb同向,则k=.2(2022·济南模拟)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为( )A.1B.-12C.1或-12D.-1或-123已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于( ) A.a B.bC.cD.0二向量共线定理的综合应用1(2022·全国·高三专题练习)在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于点G,则AG=()A.25AB-45BCB.25AB+45BCC.-25AB+45BCD.-25AB-BC72(2022·青海·海东市)已知在△ABC 中,AD =-3BD ,CD =λCE ,AE =μAB +23AC,则μ=()A.14 B.12C.34D.11(2022·河南郑州)在△ABC 中,D 是BC 上一点,BD =2DC ,M 是线段AD 上一点,BM =tBA+14BC,则t =()A.12B.23C.34D.582如图,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 满足AN =23AB,AM 与CN 交于点D ,AD =λAM ,则λ等于()A.23B.34C.45D.568跟踪测验基础巩固1P是△ABC所在平面上一点,满足P A+PB+PC=2AB,△ABC的面积是S1,△P AB的面积是S2,则( )A.S1=4S2B.S1=3S2C.S1=2S2 D.S1=S22如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为线段AD,CD的中点,AF∩CE=G,则()A.AF=AD+12ABB.EF=12(AD+AB)C.AG=23AD-13ABD.BG=3GD3(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则△MBC的面积是△ABC面积的124(2022·全国·高三专题练习)若点G是△ABC的重心,点M、N分别在AB、AC上,且满足AG=xAM+yAN,其中x+y=1.若AM=35AB,则△AMN与△ABC的面积之比为.5设a,b是平面内两个向量,“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6已知向量a和b不共线,向量AB=a+mb,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,若A,B,D三点共线,则m等于()A.3B.2C.1D.-27在边长为1的正方形ABCD中,设AB=a,AD=b,AC=c,则|a-b+c|等于()A.1B.2C.3D.48如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,且FC=λFD+μFE,则λ+μ等于()A.1B.2C.3D.499已知△ABO 中,OA =OB =1,∠AOB =π3,若OC 与线段AB 交于点P ,且满足OC =λOA+μOB ,|OC|=3,则λ+μ的最大值为()A.23B.1C.3D.210(2022·广西玉林高中模拟)设D ,E ,F 分别为△ABC 三边BC ,CA ,AB 的中点,则DA +2EB+3FC=( D )A.12ADB.32ADC.12ACD.32AC能力提升11已知平面上不共线的四点O ,A ,B ,C ,若OA -4OB +3OC =0,则|AB||CA |等于()A.13B.34C.12D.4312已知M 为△ABC 的重心,D 为BC 的中点,则下列等式成立的是()A.|MA |=|MB |=|MC |B.MA +MB +MC =0C.BM =23BA +13BDD.S △MBC =13S △ABC13设P ,Q 为△ABC 内的两点,且AP =25AB+15AC ,AQ =14AB +23AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为()A.45B.85C.43D.31014(2023·丽江模拟)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC|,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ =xAB +yAC ,则1x+1y的最小值为.15(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若BM =13BC ,则AM =13AC +23ABB.若AM =2AC -3AB ,则点M ,B ,C 三点共线C.若点M 是△ABC 的重心,则MA +MB +MC=0D.若AM =xAB +yAC 且x +y =13,则△MBC的面积是△ABC 面积的2316如图,已知正六边形ABCDEF ,M ,N 分别是对角线AC ,CE 上的点,使得AM AC=CN CE =r ,当r =时,B ,M ,N 三点共线.17(2022·全国·高三专题练习)直角三角形ABC中,P 是斜边BC 上一点,且满足BP =2PC,点M 、N 在过点P 的直线上,若AM=mAB ,AN =nAC ,m >0,n >0 ,则下列结论错误的是()A.1m+2n 为常数B.m +n 的最小值为169C.m +2n 的最小值为3D.m 、n 的值可以为m =12,n =21018如图,在△ABC 中,AQ =QC ,AR =13AB,BQ 与CR 相交于点I ,AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ;(2)如果AI =AB +λBQ =AC +μCR,求实数λ和μ的值;(3)确定点P 在边BC 上的位置.第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示知识梳理一平面向量基本定理如果e1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.若e1,e 2不共线,我们把{e 1,e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.二平面向量的坐标表示在直角坐标系内,分别取与x 轴,y 轴正方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底,对任一向量a ,有唯一一对实数x ,y ,使得:a =x i +y j ,那么(x ,y )叫做向量a 的直角坐标,记作a=(x ,y ),显然i =(1,0),j =(0,1),0 =(0,0).三平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |=x 21+y 21.2向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.四向量共线的坐标表示若a =(x1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.五常用结论1向已知P 为线段AB 的中点,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则点P 的坐标为x 1+x 22,y 1+y 22;2已知△ABC 的顶点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则△ABC 的重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33 .第二节基本定理及坐标表示题型探究一平面向量基本定理一识别一组基底1下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(2,-3),e 2=12,-34C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(-1,2),e 2=(5,7)二基本定理的应用1在△ABC 中,点D ,E 分别在边BC ,AC 上,且BD =2DC ,CE =3EA ,若AB =a ,AC=b ,则DE 等于( )A.13a +512bB.13a -1312bC.-13a -512bD.-13a +1312b 2已知在△ABC 中,点O 满足OA +OB +OC=0,点P 是线段OC 上异于端点的任意一点,且OP =mOA+nOB ,则m +n 的取值范围是.名师点拨应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量.(2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.(3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.易错提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.1如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE =2EO ,则ED等于()A.13AD -23AB B.23AD +13AB C.23AD -13AB D.13AD +23AB第五章平面向量复数2(2023·天津模拟)已知在△ABC 中,AB =a ,AC=b ,D ,F 分别为BC ,AC 的中点,P 为AD 与BF 的交点,若BP=xa +yb ,则x +y =.3(多选)下列命题中正确的是()A.若p =xa +yb ,则p 与a ,b 共面B.若p 与a ,b 共面,则存在实数x ,y 使得p =xa +ybC.若MP =xMA +yMB ,则P ,M ,A ,B 共面D.若P ,M ,A ,B 共面,则存在实数x ,y 使得MP =xMA +yMB二平面向量的坐标运算一坐标的基本运算1(1)已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB =a ,BC =b ,CA=c ,且CM =3c ,CN =-2b .①求3a +b -3c ;②求满足a =mb +nc 的实数m ,n ;③求M ,N 的坐标及向量MN的坐标.(2)设向量a ,b 满足|a |=25,b =(2,1),且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为.2(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC =()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)名师点拨平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.第二节基本定理及坐标表示1如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AD ⊥DC ,AD =DC =2AB ,E 为AD 的中点,若CA =λCE+μDB(λ,μ∈R ),则λ+μ的值为()A.65B.85C.2D.832已知向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,用基底a ,b 表示c ,则()A.c =2a -3bB.c =-2a -3bC.c =-3a +2bD.c =3a -2b二向量共线的坐标表示1(2022·海南文昌)已知a =(1,3),b =(-2,k ),且(a +2b )∥(3a -b ),则实数k =.2(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=.三利用向量共线求解综合问题1(角度1)已知向量OA=(k ,12),OB =(4,5),OC =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k =.2在△ABC 中,若AD=2DB ,CD =13CA +λCB ,则λ=( )A.-13B.-23C.13D.23名师点拨利用两向量共线解题的技巧(1)一般地,在求一个与已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其它条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(2)如果已知两个向量共线,求某些参数的值,那么利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是:x 1y 2-x 2y 1=0”比较简捷.第五章平面向量复数1如图△ABC 中,AE =EB ,CF =2FA ,BF 交CE 于G ,AG =xAE +yAF,则x +y =( )A.25 B.35C.45D.752(2022·山东曲阜模拟)如图,在△ABC 中,AN =13NC ,P 是BN 上的一点,若AP =mAB +29AC,则实数m 的值为()A.13B.19C.1D.3跟踪测验基础巩固1(2022·巴中模拟)向量AB =(2,3),AC=(4,7),则BC等于()A.(-2,-4) B.(2,4)C.(6,10) D.(-6,-10)2设向量a =(2,4)与向量b =(x ,6)共线,则实数x =()A.2 B.3 C.4 D.63(2022·陕西汉中月考)已知向a ,b 满足a -b =(1,-5),a +2b =(-2,1),则b =()A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)4(2022·山西晋中)若向量a =(1,1),b =(-1,1),c =(4,2),则c =()A.3a +b B.3a -b C.-a +3b D.a +3b5(多选)下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A.a =(1,2),b =(0,0)B.a =(1,-2),b =(3,5)C.a =(3,2),b =(9,6)D.a =-34,12,b =(-3,-2)6向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则λμ=()第二节基本定理及坐标表示A.2B.4C.12 D.147(多选)已知M (3,-2),N (-5,-1),且|MP|=12|MN|,则P 点的坐标为()A.(-8,1) B.-1,-32C.1,32D.7,-528已知梯形ABCD ,其中AB ∥CD ,且DC =2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为.9(2021·广西贺州联考)已知向量AB=(m ,n ),BD =(2,1),AD=(3,8),则mn =.10设向量a =(3,2),b =(-1,3),向量λa -2b 与a +b 平行,则实数λ=.11(2022·江西南昌模拟)已知向量a =(m ,n ),b =(1,-2),若|a |=25,a =λb (λ<0),则m -n =.12已知a =(1,0),b =(2,1).(1)当k 为何值时,ka -b 与a +2b 共线;(2)若AB =2a +3b ,BC=a +mb 且A ,B ,C 三点共线,求m 的值.13已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2).(1)若a ∥b ,求tan θ的值;(2)若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值.能力提升14如果e 1,e 2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e 1与e 1+e 2B.e 1-2e 2与e 1+2e 2C.e 1+e 2与e 1-e 2D.e 1-2e 2与-e 1+2e 215已知点P 是△ABC 所在平面内一点,且P A+PB +PC=0,则()A.P A =-13BA +23BCB.P A =23BA +13BCC.P A =-13BA -23BCD.P A =23BA -13BC第五章平面向量复数16(2023·南京模拟)设平面向量a =(1,2),b =(-2,y ),若a ∥b ,则|3a +b |等于()A.5B.6C.17D.2617(2021·豫南九校联考)如图,A ,B 分别是射线OM ,ON 上的点,给出下列向量:若这些向量均以O 为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有()A.OA+2OB B.12OA +13OBC.34OA +OB D.34OA -15OB18如图,在正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP =x AC +y BQ,则x 等于()A.1113B.65C.56D.3219在平行四边形ABCD 中,M ,N 分别是AD ,CD 的中点,BM =a ,BN =b ,则BD 等于()A.34a +23b B.23a +23b C.23a +34b D.34a +34b 20如图,扇形的半径为1,且OA⊥OB ,点C 在弧AB 上运动,若OC =xOA+yOB ,则2x +y 的最小值是.第三节平面向量的数量积运算第三节平面向量的数量积运算知识梳理一平面向量的夹角两个非零向量a 与b ,过O 点作OA=a ,OB =b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角;两个向量夹角的范围是[0,π],规定零向量0 与任意向量的夹角为0;a 与b 的夹角为π2时,则a 与b 垂直,记作a ⊥b .二平面向量的数量积1定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0 ·a =0.2几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.注意:该“投影”为老教材中的概念,但可以帮助我们理解数量积的几何意义.三平面向量数量积的性质及其坐标表示1设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为向量a ,b 的夹角.①数量积:a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.②模:|a |=a ·a =x 21+y 21.③设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离|AB |=|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.④夹角:cos θ=a ·b|a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22.⑤已知两非零向量a 与b ,a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0;a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.(或|a ·b |=|a |·|b |).⑥|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2+y 1y 2|≤x 21+y 21·x 22+y 22.2平面向量数量积的运算律①a ·b =b ·a (交换律);②λa ·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).3平面向量数量积运算的常用公式①(a +b )·(a -b )=a 2-b 2;②(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2.第五章平面向量复数四平面向量数量积的注意事项1两个向量的数量积是一个实数.∴0 ·a =0而0·a =0.2数量积不满足结合律(a ·b )·c ≠a ·(b ·c ).3a ·b 中的“·”不能省略.a ·a =a 2=|a |2.4向量a 与b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a 与b 不共线;a 与b 的夹角为钝角⇔a ·b <0,且a 与b 不共线.当a 、b 为非零向量时a 、b 同向⇔a ·b =|a ||b |;a 、b反向⇔a ·b =-|a ||b |.5a 在b 方向上的投影|a |·cos θ=a ·b|b |.(老教材中概念)五投影向量(新教材中概念)设a ,b 是两个非零向量,它们的夹角是θ,AB =a ,CD =b ,过AB 的起点A 和终点B ,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,得到A 1B 1,我们称上述变换为向量a 向向量b 投影,A 1B 1 叫做向量a 在向量b 上的投影向量(记为|a |cos θb |b |).设e 是与b 方向相同的单位向量,则投影向量记为|a |cos θe .MONM 1abθ(1)MO NM 1abθ(2)MONM 1abθ(3)如图,在平面内取一点O ,作OM =a ,ON=b .记a 与b 的夹角是θ,过点M 作直线ON 的垂线,垂足为M 1,则OM 1 就是向量a 在向量b 上的投影向量.即OM 1 =|a|cos θb|b |,又因为θcos =a ·b|a ||b |,所以OM 1 =|a |cos θb |b |=|a|⋅a ·b |a ||b |⋅b |b |=a ·b |b |⋅b |b |=a ·b ⋅b |b|2ABC DA 1B 1ab第三节平面向量的数量积运算题型探究一投影向量1(2023·广西·模拟预测)向量a=23,2 在向量b =1,3 上的投影向量为()A.32B.34,34C.3,3D.342(2023上·广东广州·白云中学校考)已知向量a =0,-2 ,b =1,t ,若向量b 在向量a上的投影向量为-12a,则a ⋅b =()A.-2B.-52C.2D.1123在等边△ABC 中,AD=2AB +3AC ,则向量AD 在向量BC 上的投影向量为()A.13BCB.12BCC.-13BCD.-12BC4已知向量a =1,3 ,b =-2,m ,若向量a在向量b 方向上的投影为-3,则m 的值为()A.3B.-3C.-233D.2331(2024·全国·模拟预测)已知向量a =1,3 ,b =-2,m ,若向量a 在向量b 上的投影向量为-34b,则实数m 的值为()A.3 B.-3C.-233D.2332已知a =1,2 ,若b =1,且a ,b =π6,则b 在a 方向上投影向量的坐标为.第五章平面向量复数3已知a ,b 为平面向量,b =2.若a 在b 方向上的投影向量为b2,则a -b ⋅b=.4(2023上·贵州贵阳·高三校考)如果平面向量a =1,-1 ,b =-6,2 ,则向量a +b 在a 上的投影向量的坐标为.5向量AB =2,1 在向量AC =0,12 上的投影向量为λAC ,则AB +λAC =()A.23B.22C.8D.12二平面向量数量积的运算1已知向量e 1,e 2,|e 1|=1,e 2=(1,3),e 1,e 2的夹角为60°,则(e 1+e 2)·e 2=()A.355B.255C.5D.52已知点A ,B ,C 满足|AB |=3,|BC |=4,|CA |=5,则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB的值是.反思感悟向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a ·b =|a ||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(3)转化法:当模和夹角都没给出时,即用已知模或夹角的向量作基底来表示所求数量积的向量求解.(4)建系用坐标法:结合图形特征适当建立坐标系,求出向量的坐标,进而求其数量积(如本例(2)).1(2021·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中,|AB +AC |=|AB -AC |,AB =2,AC =1,E ,F 为BC 的三等分点,则AE ·AF=()A.109 B.259C.269D.89第三节平面向量的数量积运算三向量的模、夹角一向量的模1若平面向量a 、b 的夹角为60°,且a =(1,-3),|b |=3,则|2a -b |的值为()A.13B.37C.13D.12(2022·黄冈调研)已知平面向量m ,n 的夹角为π6,且|m |=3,|n |=2,在△ABC 中,AB =2m +2n ,AC =2m -6n ,D 为BC 的中点,则|AD |=.3(2021·全国甲)若向量a ,b 满足|a |=3,|a -b |=5,a ·b =1,则|b |=.反思感悟平面向量的模的解题方法(1)若向量a 是以坐标(x ,y )形式出现的,求向量a 的模可直接利用|a |=x 2+y 2.(2)若向量a ,b 是非坐标形式出现的,求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ,或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.即“模的问题平方求解.”二向量的夹角1(2021·八省联考)已知单位向量a ,b 满足a ·b =0,若向量c =7a +2b ,则sin <a ,c >=()A.73B.23C.79D.292(2020·全国Ⅲ理)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos 〈a ,a +b 〉=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353(2019·全国卷Ⅰ,5分)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6第五章平面向量复数反思感悟求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式:cos θ=a ·b|a ||b |.(2)注意:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.三平面向量的垂直1(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是()A.a +2bB.2a +bC.a -2bD.2a -b2(2022·安徽宣城调研)已知在△ABC 中,∠A =120°,且AB =3,AC =4,若AP =λAB +AC ,且AP⊥BC,则实数λ的值为()A.2215B.103C.6D.1273(2021·全国乙,14,5分)已知向量a =(1,3),b =(3,4),若(a -λb )⊥b ,则λ=.反思感悟平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a ·b =0求解.1(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k =.2(2021·山西康杰中学期中)已知向量a 、b 满足|b |=2|a |=2,a 与b 的夹角为120°,则|a -2b |=()A.13B.21C.13D.213(2021·江西七校联考)已知向量a =(1,3),b =(3,m ),且b 在a 上的投影为-3,则向量a 与b 的夹角为.第三节平面向量的数量积运算四数量积的综合应用一有关数量积的最值(范围)问题1(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则P A ·(PB +PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-12(2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ·AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)反思感悟平面向量中有关最值(范围)问题的两种求解思路一是“形化”,即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.1已知向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=a ·b =2,(a -c )·(b -2c )=0,则|b -c |的最小值为()A.7-32B.3-12C.32D.722已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0,则|c |的最大值是()A.1B.2C.2D.22二用已知向量表示未知向量1(2023·六安模拟)在等边△ABC 中,AB =6,BC =3BD ,AM =2AD ,则MC ·MB=.第五章平面向量复数2已知正方形ABCD 的对角线AC =2,点P 在另一条对角线BD 上,则AP ·AC的值为()A.-2B.2C.1D.43如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,CD =2,∠BAD =π4,若AB ·AC =2AB ·AD ,则AD ·AC=.1已知△ABC 满足AB =1,AC =2,O 为∠BAC 的平分线与边BC 的垂直平分线的交点,AO=354,则AB ⋅AC =()A.32B.35C.65D.4552正三角形△ABC 中,AB =2,P 为BC 上的靠近B 的四等分点,D 为BC 的中点,则AP ⋅BD=()A.-12B.14C.34D.323如图,平行四边形ABCD 中,AB =4,AD =2且∠BAD =60°,M 为边CD 的中点,AD在AB 上投影向量是AD,则AD ⋅AM =.第三节平面向量的数量积运算跟踪测验基础巩固1已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b =()A.-1B.0C.1D.22若向量a 与b 的夹角为60°,a =(2,0),|a +2b |=23,则|b |=()A.3 B.1 C.4 D.33已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =()A.-92B.0C.3D.1524(2022·青岛调研)如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =AD =4,CD =8.若CE =-7DE ,3BF =FC ,则AF ·BE =()A.11 B.10 C.-10 D.-115(2021·甘肃兰州模拟)已知非零单位向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则a 与b -a 的夹角为()A.π6 B.π3 C.π4 D.3π46已知向量a =(-2,-1),b =(λ,1),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围可以是()A.-12,+∞ B.(2,+∞)C.-12,2 ∪(2,+∞) D.-12,0 ∪0,+∞ 7(多选)已知两个不等的平面向量a ,b 满足a=1,λ ,b=λ-1,2 ,其中λ是常数,则下列说法正确的是( )A.若a ⎳b,则λ=-1或λ=2B.若a ⊥b ,则a -b 在a +b 上的投影向量的坐标是-15,-75 C.当a +2b 取得最小值时,a =295D.若a ,b 的夹角为锐角,则λ的范围为13,+∞ 8(多选)(2021·武汉调研)如图,点A ,B 在圆C 上,则AB ·AC 的值()A.与圆C 的半径有关 B.与圆C 的半径无关C.与弦AB 的长度有关 D.与点A ,B 的位置有关9(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a =(2,2),b =(-8,6),则cos a ,b=.10已知向量a =(3,4),b =(x ,1),若(a -b )⊥a ,则实数x 等于.11(2021·新高考Ⅱ)已知向量a +b +c =0,|a |=1,|b |=|c |=2,a ·b +b ·c +c ·a =12已知b 在a上的投影向量的坐标为(4,-3),a=4,则a ⋅(a-2b )=.第五章平面向量复数13已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b)=61.(1)求a 与b 的夹角θ;(2)求|a +b |;(3)若AB =a ,BC =b ,求△ABC 的面积.14已知空间三点A 2,0,-2 ,B 1,-1,-2 ,C 3,0,-4 .(1)求向量AB 与AC夹角θ的余弦值;(2)求向量AB 在向量AC 上的投影向量a.能力提升15若向量a ,b 满足|a |=10,b =(-2,1),a ·b =5,则a 与b 的夹角为()A.90° B.60° C.45° D.30°16(2022·新乡质检)已知向量a =(0,2),b =(23,x ),且a 与b 的夹角为π3,则x =()A.-2 B.2 C.1 D.-117在△ABC 中,AP =PB ,且|CP|=23,|CA |=8,∠ACB =2π3,则CP ·CA =()A.24 B.12C.243 D.12318如图所示,在等腰直角三角形AOB 中,OA =OB =1,AB =4AC ,则OC ·(OB -OA)=.19(2020·天津,15)如图,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且AD=λBC ,AD ·AB =-32,则实数λ的值为;若M ,N 是线段BC 上的动点,且|MN |=1,则DM ·DN的最小值为.20在△ABC 中,AB =3AC =9,AC ·AB=AC 2,点P 是△ABC 所在平面内一点,则当P A 2+PB 2+PC 2取得最小值时,求P A ·BC的值.第四节平面向量的综合应用第四节平面向量的综合应用知识梳理一平面向量在几何中的应用1用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0,其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),b ≠0垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0,其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),且a ,b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ=a ·b|a ||b |(θ为向量a ,b 的夹角),其中a ,b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |=a 2=x 2+y 2,其中a =(x ,y ),a 为非零向量2向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题.二平面向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.三平面向量与其他知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.四三角形的“四心”1三角形的重心G (三角形三条中线的交点)2三角形的外心O (三角形三条垂直平分线的交点)3三角形的内心I (三角形三条角平分线的交点)4三角形的垂心H (三角形三条高线的交点)第五章平面向量复数题型探究一平面向量与平面几何名师点拨平面几何问题的向量解法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共线构造关于设定未知量的方程来求解.一判断三角形的形状名师点拨三角形形状的判断在△ABC 中,①若|AB |=|AC|,则△ABC 为等腰三角形;②若AB ·AC=0,则△ABC 为直角三角形;③若AB ·AC<0,则△ABC 为钝角三角形;④若AB ·AC >0,BA ·BC >0,且CA ·CB >0,则△ABC 为锐角三角形;⑤若|AB +AC |=|AB -AC|,则△ABC 为直角三角形;⑥若(AB +AC )·BC=0,则△ABC 为等腰三角形.1若P 为△ABC 所在平面内一点,且|P A -PB |=|P A +PB -2PC|,且△ABC 的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2(2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA)=0,则△ABC 的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形引申若条件改为“|OB -OC |=|OB +OC -2OA|”,则选()引申若条件改为“AB 2=AB ·AC +BA ·BC +CA ·CB”,则选()。

平面向量与复数

平面向量与复数

平面向量与复数平面向量是数学中的重要概念,它与复数之间存在着紧密的联系和相互转化的关系。

本文将介绍平面向量和复数的基本概念,并探讨它们之间的关联。

一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义:平面向量是具有大小和方向的有向线段,通常用有序数对表示。

设有平面上两个点A和B,用→AB表示从点A指向点B的有向线段,这条有向线段便是平面向量。

2. 平面向量的表示:平面向量的表示通常有三种方式,即坐标表示、模长与方向角表示、分解成单位向量表示。

a. 坐标表示:如果平面向量→AB的起点坐标为A(x₁, y₁),终点坐标为B(x₂, y₂),则向量的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。

b. 模长与方向角表示:平面向量→AB的模长记作|→AB|,方向角表示为θ,这样,向量的模长与方向角表示为(|→AB|,θ)。

c. 分解成单位向量表示:平面向量→AB可以表示为它在两个单位向量上的投影和,即→AB = |→AB|cosθ·→i + |→AB|sinθ·→j,其中→i和→j分别为横轴和纵轴上单位长度的向量。

二、复数的基本概念1. 复数的定义:复数是由实数和虚数构成的数,记作a+bi,其中a为实部,b为虚部,i为虚数单位,满足i²=-1。

2. 复数的表示:复数可以用代数形式和三角形式表示。

代数形式为a+bi,三角形式为r(cosθ+isinθ),其中r为模长,θ为辐角。

3. 复数的运算:复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

具体的运算规则与实数的运算类似,只是需要注意虚数单位i的运算规律。

三、平面向量与复数的关系1. 平面向量的表示与复数的表示:平面向量可以通过复数的模长与方向角表示。

设平面向量→AB的表示为(|→AB|,θ),则可以将→AB对应的复数记作z=|→AB|cosθ+|→AB|sinθ·i。

2. 复数的运算与平面向量的运算:复数的加法、减法和乘法可以直接对应到平面向量的加法、减法和数量乘法上,这是因为复数运算与平面向量的运算都遵循平行四边形法则和数量乘法的分配律。

高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第2课时 平面向量的综合应用教师

高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第2课时 平面向量的综合应用教师

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第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与三角函数命题点1 向量与三角恒等变换的结合例1 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0〈β<α<π.且a+b=(0,1),则α=________,β=________。

答案错误!错误!解析因为a+b=(0,1),所以错误!由此得cos α=cos(π-β).由0<β〈π,得0〈π-β<π,又0〈α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=错误!.又α>β,所以α=错误!,β=错误!。

命题点2 向量与三角函数的结合例2 已知向量a=(sin x,错误!),b=(cos x,-1).(1)当a∥b时,求tan 2x的值;(2)求函数f(x)=(a+b)·b在[-错误!,0]上的值域.解(1)∵a∥b,∴sin x·(-1)-错误!·cos x=0,即sin x+错误!cos x=0,tan x=-错误!,∴tan 2x=错误!=错误!。

高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件

高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件

12/11/2021
第二十九页,共四十六页。
1.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且B→P=2P→C,点 Q 是 AC 的 中点,若P→A=(4,3),P→Q=(1,5),则B→C等于( )
A.(-2,7)
B.(-6,21)
C.(2,-7)
D.(6,-21)
解析:选 B.B→C=3P→C=3(2P→Q-P→A)=6P→Q-3P→A=(6,30)- (12,9)=(-6,21).
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1.(2019·温州七校联考)如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC
=CD=1,且∠B=90°,∠BCD=135°.若向量A→B=a,A→C= b,则A→D=( )
A.
2a-1+
2
2
b
B.-
2a+1+
2
2
b
C.-
2a+1-
22b
D. 2a+1-
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(2) 因为C→P=23C→A+13C→B,
所以 3C→P=2C→A+C→B, 即 2C→P-2C→A=C→B-C→P, 所以 2A→P=P→B.
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第十三页,共四十六页。
即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近 A 点),
又因为 A,M,Q 三点共线,设A→M=λA→Q. 所以C→M=A→M-A→C=λA→Q-A→C =λ12A→B+12A→C-A→C=2λA→B+λ-2 2A→C,
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第二十七页,共四十六页。
向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都 可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密 结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量 运算.

第5章平面向量与复数第1节平面向量的概念及其线性运算课件 高考数学一轮复习

第5章平面向量与复数第1节平面向量的概念及其线性运算课件 高考数学一轮复习
内容索引
活动二 典型例题
题组一 平面向量的概念辨析 1 给出下列命题: ①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则a=b; ③若A→B=D→C,则 A,B,C,D 四点构成平行四边形; ④在平行四边形 ABCD 中,一定有A→B=D→C; ⑤若m=n,n=p,则m=p; ⑥若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中错误的命题是________.(填序号)
b),P→Q=O→Q-O→P=nb-ma,P→G=O→G-O→P=13-ma+13b.因为 P,G,Q 三点共线,所以存在实数 λ 使得P→Q=λP→G,即 nb-ma=λ13-ma+13λb,
所以-m=λ13-m, n=13λ,
消去 λ,得1n+m1 =3.
【答案】 3
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内容索引
3. (2022 新高考Ⅰ卷)在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,BD=2DA.记C→A= m,C→D=n,则 C→B=________.
【解析】 因为点 D 在边 AB 上,BD=2DA,所以B→D=2D→A,即C→D- C→B=2(C→A-C→D),所以C→B=3C→D-2C→A=3n-2m=-2m+3n.
【答案】 -2m+3n
123
内容索引
谢谢观看
Thank you for watching
3. 若a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0. 4. 直线的向量式参数方程,A,P,B 三点共线⇔O→P=(1-t)O→A+tO→B (O 为平面内任意一点,t∈R).
内容索引
内容索引
1. (多选)设 a,b 是不共线的两个平面向量, 已知P→Q=a+sinα·b,其
中 α∈(0,2π),Q→R=2a-b.若 P,Q,R 三点共线,则 α 的值可以为( )

北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 第4节 复数

北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 第4节 复数
故 z=1+i.
(2)由题意得 z=
3+2i
(1-i)
2
=
3+2i
3
=-1+ i.
2
-2i

-1+ 3i
-1+ 3i
1
3
(3) =
=
=- + i,故选
3
-1 (-1+ 3i)(-1- 3i)-1 (-1)2 +( 3)2 -1 3
C.
考点二
复数的相关概念
例 2(1)(2022
1
A.
5
1-i
山西太原三模)复数 的虚部为(
2
2
2 2
--i
=a+i,因为对应的点位于第一象限,所以
-1
a>0.
本 课 结 束
则||=(
A. 2
)
B. 5
C.2 2
(3)(2022 陕西榆林一模)若复数 z 为纯虚数,且
1
A.2
1
B.
2
C.-2
D. 10
+i
z= 1-2i ,m∈R,则
D.2
m=(
)
答案:(1)D (2)D
(3)D
解析:(1)设 z=a+bi,a,b 为实数,则=a-bi.
4 = 4,
于是 2(z+)-3(z-)=2(a+bi+a-bi)-3(a+bi-a+bi)=4a-6bi=4+6i,故
建立 平面直角坐标系 来表示复数的平面叫作复平面,
x轴
叫实轴, y轴 叫虚轴
设 对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量 的长度叫作

高三数学课件:第五章 平面向量、复数 5-4

高三数学课件:第五章 平面向量、复数 5-4
[答案] C
2.在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,则A→B·A→C=( )
A.2 3
B.2
C.-2 3
D.-2
[解析] 由余弦定理得 cosA=AB2+2AABC·A2-C BC2 =22+22×2-2×22 32=-12, 所以A→B·A→C=|A→B|·|A→C|cosA =2×2×-12=-2,故选 D.
(2)设 MN 的中点为 E,则有C→M+C→N=2C→E, 所以C→M·C→N=14[(C→M+C→N)2-(C→M-C→N)2] =|C→E|2-14|N→M|2=|C→E|2-1. 易知|C→E|的最小值等于点 C 到斜边 AB 的距离即152,所以 C→M·C→N的最小值为1522-1=12159.
当点 M(或点 N)与点 A 重合时,|C→E|最大,此时 |C→E|2=12+42-2×1×445=553,所以C→M·C→N的最大值为458. 综上,C→M·C→N的取值范围是12159,458.故选 C.
[答案] (1)12 (2)C
[解题反思] 在本例(1)解法一中,注意向量A→D与D→C的夹角 是∠ADC 的补角,而不是∠ADC,本例(2)中运用了结论“在△ ABC 中,若 D 为 BC 中点,则A→B·A→C=|A→D|-14|C→B|2,能迅速求解 具有共起点的两个向量的数量积问题.


平面向量、复数

第四节
平面向量的综合应用
高考概览 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;2.会用向量方 法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1.向量在几何中的应用 (1)证明线线平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b⇔ a=λb ⇔a1b2-a2b1=0(b≠0). (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔ a·b =0⇔a1b1+a2b2=0.

高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 复数课件 新人教B版.ppt

高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 复数课件 新人教B版.ppt

【解析】z1=-2+i,z2=1+2i, z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i. 答案:-4-3i
3.(选修2-2P94练习AT2改编)复数z=2 i (i为虚数单位)的共轭复
1i
数是________.
【解析】因为z= 2 i (2 i)(1 i) 1 3i 1 3 i,
2.复数的几何意义 复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b)
3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)= (_a_±__c__)+__(_b_±___d_)_i, z1·z2=(a+bi)(c+di)= _(a__c_-_b_d__)_+_(_a__d_+__b_c,)i
则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选A.要使复数z对应的点在第四象限,应满足
m m
1解得0 -1<m<1.
1 0,
2.(选修2-2P93例1改编 )如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是
uuur OA,
Ouu,Bu则r z1·z2=________.
第四节 复 数
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.复数的有关概念 复数:设a,b都是实数,形如a__+_b__i的数叫做复数,i叫做虚数单位. 复数相等:a+bi=c+di⇔a=__c_且___b_=__d_(a,b,c,d∈R). 共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=__c_且___b__=_-_d_(a,b,c,d∈R). 复平面:建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫做_实__轴__,y轴叫 做_虚__轴__,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的模:设复数a+bi(a,b∈R)对应的向量为OuuZur,则向量 Ouu的Zur 长度叫做复数z=a+bi 的模(或绝对值),记作|z|,|z|=|a+bi|= a2. b2
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§5.4复数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现,难度为低档.1.复数的有关概念(1)定义:我们把集合C={a+b i|a,b∈R}中的数,即形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类:满足条件(a,b为实数)复数的分类a+b i为实数⇔b=0(3)复数相等:a +b i =c +d i ⇔a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ). (4)共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭⇔a =c ,b =-d (a ,b ,c ,d ∈R ).(5)模:向量OZ →的模叫做复数z =a +b i 的模,记作|a +b i|或|z |,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2(a ,b ∈R ). 2.复数的几何意义复数z =a +b i 与复平面内的点Z (a ,b )及平面向量OZ →=(a ,b )(a ,b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算(1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ∈R .(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ →=OZ 1→+OZ 2→,Z 1Z 2→=OZ 2→-OZ 1→.概念方法微思考1.复数a+b i的实部为a,虚部为b吗?提示 不一定.只有当a ,b ∈R 时,a 才是实部,b 才是虚部. 2.如何理解复数的加法、减法的几何意义?提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )中,虚部为b i.( × )(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.( √ )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ ) 题组二 教材改编2.若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数,则实数x 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 答案 A解析 ∵z 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1=0,x -1≠0,∴x =-1.3.在复平面内,向量AB →对应的复数是2+i ,向量CB →对应的复数是-1-3i ,则向量CA →对应的复数是( )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i 答案 D解析 CA →=CB →+BA →=-1-3i +(-2-i)=-3-4i.4.若复数z 满足()3+4i z =1-i(i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 等于( ) A.-15-75iB.-15+75iC.-125-725iD.-125+725i答案 D解析 由题意可得z =1-i3+4i =(1-i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=-1-7i25,所以z =-125+725i ,故选D.题组三 易错自纠5.设a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“ab =0”是“复数a +bi 为纯虚数”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵复数a +bi =a -b i 为纯虚数,∴a =0且-b ≠0,即a =0且b ≠0,∴“ab =0”是“复数a +bi为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z 满足i z =2-2i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B解析 由题意,∵z =2-2i i =(2-2i )·(-i )i·(-i )=-2-2i ,∴z =-2+2i ,则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.复数的有关概念1.(2019·河南省百校联考)已知i 为虚数单位,则复数z =3+i(1-i )i的虚部为( ) A.i B.2 C.-1 D.-i 答案 C 解析 因为3+i(1-i )i =(3+i )(1+i )2i =1+2ii =2-i ,所以z 的虚部为-1.2.(2019·汉中模拟)已知a ,b ∈R ,(a -i)i =b -2i ,则a +b i 的共轭复数为( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i答案 A解析 由(a -i)i =1+a i =b -2i ,得⎩⎪⎨⎪⎧1=b ,a =-2,∴a +b i =-2+i ,其共轭复数为-2-i ,故选A.3.(2019·东莞模拟)已知a 为实数,若复数(a +i)(1-2i)为纯虚数,则a 等于( ) A.-12 B.2 C.12 D.-2答案 D解析 (a +i)(1-2i)=a +2+(1-2a )i , ∵复数是纯虚数,∴a +2=0且1-2a ≠0, 得a =-2且a ≠12,即a =-2.故选D.4.(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z =1+2i1+i +2i z ,则|z |等于( )A.22 B.52C. 2D. 5 答案 A 解析 由题意得z =1+2i (1+i )(1-2i )=1+2i 3-i =(1+2i )(3+i )(3-i )(3+i )=1+7i 10,故|z |=11012+72=22,故选A. 思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等,在解题过程中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.复数的运算命题点1 复数的乘法运算例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1+i)(2-i)等于( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i答案 D解析 (1+i)(2-i)=2+2i -i -i 2=3+i. (2)i(2+3i)等于( ) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 答案 D解析 i(2+3i)=2i +3i 2=-3+2i ,故选D. 命题点2 复数的除法运算例2 (1)(2018·全国Ⅱ)1+2i 1-2i等于( )A.-45-35iB.-45+35iC.-35-45iD.-35+45i答案 D解析 1+2i 1-2i =(1+2i )2(1-2i )(1+2i )=1-4+4i 1-(2i )2=-3+4i 5=-35+45i.故选D.(2)(2019·全国Ⅲ)若z (1+i)=2i ,则z 等于( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i答案 D解析 z =2i1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=2+2i 2=1+i.命题点3 复数的综合运算例3 (1)(2019·达州模拟)已知z (1+i)=-1+7i(i 是虚数单位),z 的共轭复数为z ,则||z 等于( )A. 2B.3+4iC.5D.7 答案 C解析 z =-1+7i 1+i =(-1+7i )(1-i )2=3+4i ,故z =3-4i ⇒|z |=5,故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α=1-i ,β=1+i ,有下列四个结论:①αβ=1;②αβ=-i ;③⎪⎪⎪⎪αβ=1;④α2+β2=0,其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 对于两个复数α=1-i ,β=1+i , ①αβ=(1-i)(1+i)=2,故①不正确;②αβ=1-i 1+i =(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=-2i 2=-i ,故②正确;③⎪⎪⎪⎪αβ=||-i =1,故③正确;④α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i -1+1+2i -1=0,故④正确.故选C. 思维升华 (1)复数的乘法:复数乘法类似于多项式的乘法运算. (2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练1 (1)已知a ∈R ,i 是虚数单位,若z =3+a i ,z ·z =4,则a 为( ) A.1或-1 B.1C.-1D.不存在的实数答案 A解析 由题意得z =3-a i , 故z ·z =3+a 2=4⇒a =±1,故选A.(2)(2019·晋城模拟)若5-3i 1+2i =m +n i ,其中m ,n ∈R ,则m -n 等于( )A.145B.125C.-125D.-145 答案 B解析 依题意,得5-3i 1+2i =(5-3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=5-10i -3i -65=-15-135i ,所以m =-15,n =-135,所以m -n =125.故选B.复数的几何意义例4 (1)(2019·聊城模拟)若复数z 满足z (2+3i)=i ,则z 在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 由题意得z =i 2+3i =i (2-3i )(2+3i )(2-3i )=3+2i 13,所以z =313-213i ,所以z 在复平面上对应的点为⎝⎛⎭⎫313,-213,位于第四象限. (2)(2019·上海市金山中学月考)已知集合A ={z |(a +b i)z +(a -b i)z +2=0,a ,b ∈R ,z ∈C },B ={z ||z |=1,z ∈C },若A ∩B =∅,则a ,b 之间的关系是( ) A.a +b >1 B.a +b <1 C.a 2+b 2<1 D.a 2+b 2>1答案 C解析 设z =x +y i ,x ,y ∈R ,则(a +b i)(x -y i)+(a -b i)(x +y i)+2=0,化简整理得,ax +by +1=0,即集合A 可看成复平面中直线ax +by +1=0上的点,集合B 可看成复平面中圆x 2+y 2=1上的点,若A ∩B =∅,即直线ax +by +1=0与圆x 2+y 2=1没有交点,d =1a 2+b 2>1,即a 2+b 2<1,故选C.思维升华 复数与复平面内的点、向量是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. 跟踪训练2 (1)(2019·临沂模拟)已知a1-i=-1+b i ,其中a ,b 是实数,则复数a -b i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 由a1-i=-1+b i ,得a =(-1+b i)(1-i)=(b -1)+(b +1)i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b +1=0,a =b -1,即a =-2,b =-1, ∴复数a -b i =-2+i 在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限,故选B. (2)已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-2i ,它们所对应的点分别为A ,B ,C ,O 为坐标原点,若OC →=xOA →+yOB →,则x +y 的值是________.答案 5解析 由已知得A (-1,2),B (1,-1),C (3,-2),∵OC →=xOA →+yOB →,∴(3,-2)=x (-1,2)+y (1,-1)=(-x +y ,2x -y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧ -x +y =3,2x -y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =4,故x +y =5.如图的复平面中,r =a 2+b 2,cos θ=a r ,sin θ=b r ,tan θ=b a(a ≠0).任何一个复数z =a +b i 都可以表示成z =r (cos θ+isin θ)的形式.我们把r (cos θ+isin θ)叫做复数的三角形式.对应于复数的三角形式,把z =a +b i 叫做复数的代数形式.例1 将复数3+i 表示成三角形式.解 因为a =3,b =1,所以r =(3)2+1=2,θ=π6, 即3+i =2⎝⎛⎭⎫cos π6+isin π6. 例2 将复数2⎝⎛⎭⎫cos 2π3+isin 2π3表示成代数形式. 解 2⎝⎛⎭⎫cos 2π3+isin 2π3=2⎝⎛⎭⎫-12+32i =-1+3i.例3 复数z =-2⎝⎛⎭⎫cos π4+isin π4是不是复数的三角形式,如果不是,把它表示成三角形式. 解 不是复数的三角形式.z =-2⎝⎛⎭⎫cos π4+isin π4=2⎝⎛⎭⎫-cos π4-isin π4=2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π+π4+isin ⎝⎛⎭⎫π+π4=2⎝⎛⎭⎫cos 5π4+isin 5π4.1.(2020·葫芦岛模拟)设i 是虚数单位,若复数z =1+2i ,则复数z 的模为() A.1 B.2 2 C. 3 D. 5答案 D解析 依题意,|z |=12+22=5,故选D.2.(2019·北京)已知复数z =2+i ,则z ·z 等于( ) A. 3 B. 5 C.3 D.5答案 D解析 ∵z =2+i ,∴z =2-i ,z ·z =(2+i)(2-i)=5.故选D.3.(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)设z =i 31+i +i 5,则|z |等于( )A. 2B.12C.22D.102答案 C解析 z =i 31+i+i 5=-i (1-i )2+i =-12+12i , ∴|z |=14+14=22,故选C. 4.(2019·辽阳模拟)已知复数z =i 1-i ,则z +22在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 A解析 ∵ z =i 1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i , ∴ z +22=2-12+12i , ∴z +22在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2-12,12,位于第一象限.故选A. 5.(2020·湖南省师范大学附属中学模拟)若复数z =m 2+m +(m +1)i 是纯虚数,其中m 是实数,则1z等于( ) A.i B.-i C.2i D.-2i答案 B解析 复数z =m (m +1)+(m +1)i 是纯虚数,故m (m +1)=0且(m +1)≠0,解得m =0,故z =i ,故1z =1i =1·i i·i=-i.故选B. 6.(2019·安徽江南十校联考)已知复数z 满足z 2=12+16i ,则z 的模为( )A.20B.12C.2 5D.2 3答案 C解析 设z =a +b i ,a ,b ∈R ,则由z 2=12+16i ,得a 2-b 2+2ab i =12+16i ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2-b 2=12,2ab =16,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =-2, 即|z |=a 2+b 2=16+4=2 5.故选C.7.(2019·江苏)已知复数(a +2i)(1+i)的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是________. 答案 2解析 (a +2i)(1+i)=a -2+(a +2)i ,∵实部是0,∴a -2=0,a =2.8.若复数z =1-i ,则z +1z的虚部是________. 答案 -12解析 z +1z =1-i +11-i=1-i +1+i 2=32-12i ,故虚部为-12. 9.(2019·天津市南开中学月考)已知复数z 满足1-z 1+z=-i ,则|z |=________. 答案 1解析 ∵复数z 满足1-z 1+z=-i ,∴(1-i)z =1+i , ∴(1+i)(1-i)z =(1+i)(1+i),即2z =2i ,∴z =i ,则|z |=1.10.(2020·武汉模拟)1-i 2 0211+i=________. 答案 -i解析 1-i 20211+i =1-i 1+i =(1-i )2(1-i )(1+i )=-2i 2=-i. 11.(2019·太原模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则|z 1-z 2|=________.答案 2 2解析 由图象可知z 1=i ,z 2=2-i ,故|z 1-z 2|=|-2+2i|=(-2)2+22=2 2.12.已知复数z =b i(b ∈R ),z -21+i是实数,i 是虚数单位. (1)求复数z ;(2)若复数(m +z )2所表示的点在第一象限,求实数m 的取值范围.解 (1)因为z =b i(b ∈R ),所以z -21+i =b i -21+i =(b i -2)(1-i )(1+i )(1-i )=(b -2)+(b +2)i 2=b -22+b +22i. 又因为z -21+i是实数,所以b +22=0, 所以b =-2,即z =-2i.(2)因为z =-2i ,m ∈R ,所以(m +z )2=(m -2i)2=m 2-4m i +4i 2=(m 2-4)-4m i ,又因为复数(m +z )2所表示的点在第一象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2-4>0,-4m >0,解得m <-2, 即m ∈(-∞,-2).13.若复数z =a +i 1+i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案 C解析 由题意得z =a +i 1+i =(a +i )(1-i )(1+i )(1-i )=a +1+(1-a )i 2, 因为z 在复平面内对应的点在第一象限, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,1-a >0,所以-1<a <1.故选C. 14.已知a ∈R ,i 是虚数单位,若复数z =a +3i 3+i∈R ,则复数z =________. 答案 3 解析 ∵复数z =a +3i 3+i =()a +3i ()3-i ()3+i ()3-i=3()1+a +(3-a )i 4=3()1+a 4+3-a 4i ∈R , ∴3-a 4=0,即a =3. 则复数z =3(1+a )4=434= 3.15.给出下列命题:①若z ∈C ,则z 2≥0;②若a ,b ∈R ,且a >b ,则a +i>b +i ;③若a ∈R ,则(a +1)i 是纯虚数;④若z =-i ,则z 3+1在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)答案 ④解析 由复数的概念及性质知,①错误;②错误;若a =-1,则a +1=0,不满足纯虚数的条件,③错误;z 3+1=(-i)3+1=i +1,④正确.16.(2020·张家口调研)已知复数z 满足:z 2=3+4i ,且z 在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数z ;(2)设a ∈R ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1+z 1+z 2 021+a =2,求实数a 的值. 解 (1)设z =c +d i(c <0,d <0),则z 2=(c +d i)2=c 2-d 2+2cd i =3+4i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2-d 2=3,2cd =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧ c =-2,d =-1或⎩⎪⎨⎪⎧c =2,d =1(舍去). ∴z =-2-i.(2)∵z =-2+i ,∴1+z1+z =-1-i -1+i =1+i 1-i =(1+i )22=i , ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+z 1+z 2 021=i 2 021=i 2 020+1=i 505×4+1=i , ∴|a +i|=a 2+1=2,∴a =±3.。

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