高三数学下学期综合测试试题(4)文

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(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷04 文

【步步高】（全国版）2013届高三数学名校强化模拟测试卷04 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试】设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12. 【江西省重点中学协作体2012届高三第二次联考】若Rii m ∈+2)3(，则实数m 的值为（）A. 32±B. 23± C. 3± D. 33±3. 【原创改编题】一组数据3，4，5，,s t 的平均数是4，这组数据的中位数是m,则过点P（4s t⎛+⎝）和Q （m,m ）的直线与直线4y x =-+的位置关系是（） A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合4. 【2013届浙江省第二次五校联考】过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点2F 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,A B ．若2F A AB =，则双曲线的渐近线方程为（A ）30x y ±= （B ）30x y±= （C ）230x y±= （D ）320x y±=5. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中2012届高三4月联考】设,x y满足360203x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数(0)z ax y a=+>最大值为14，则a为（）A．539B．23C．2D．16. 【改编题】执行右面的程序框图，如果输入的x是7，那么输出的y为A.2B.-2C. 3D.-3【答案】B【解析】依题意得知，当输入的x是7时，注意到7253-=>，且7223-⨯=不大于3，因此执行完题中的程序框图后，输出的()7222cos2cos 23y ππ-⨯===-.7. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. (86π+B. (826π+668. 【2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试】已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，A. 24πB. 32πC. 48π D. 192π9. 【2012年秋湖北省部分重点中学期中联考】已知函数f (x )＝Aπ)的图像如右图所示，若f (x 0)＝3，x 0∈(π3，5π6)，则sin x 0的值为（） A ．33＋410 B ．33－410 C ．3＋4310 D ．3－4310【答案】A【解析】∵()5sin()6f x x π=+，0()3f x =∴03sin()65x π+=又05(,)36x ππ∈∴0(,)62x πππ+∈，故04cos()65x π+=-， ∴00sin sin[()]66x x ππ=+-00sin()coscos()sin6666x x ππππ=+-+10=10. 【山东省济南市2012届高三二模】过双曲线2222x y ab-=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆2224ax y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（）A.242411. 【湖北钟祥一中2012高三五月适应性考试】已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤)1(log )1(551＞x x x x 则函数y=f(1—x)【答案】DDA B【解析】由题意得，当11x -≤，即0x ≥时，()1115()05x x f x --==>；当11x ->，即0x <时，()15log (1)0fx x =-<，所以图象应为D ，故选D 。

2022届陕西省西安中学高三下学期三模数学(文)试题(解析版)

2022届陕西省西安中学高三下学期三模数学（文）试题一、单选题1．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<，所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2．已知集合{}12{|20}A B x ax =-=+=，，，若A B A ⋃=，则实数a 的取值所组成的集合是（）A ．{}12-， B ．{}11-，C ．{2-，0，1}D ．{1-，0，2}【答案】D【分析】A B A ⋃=等价于B A ⊆，分0a =、0a ≠两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】A B A B A ⋃=∴⊆，.当0a =时，B 为空集，满足条件.当0a ≠时，20a -+=或220a +=，解得2a =或1a =-. 综上可得，实数a 的取值所组成的集合是{0，2，1}-. 故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.3．若a ，b 都是实数，则0”是“220a b ->”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【详解】0>0a b >≥，所以22a b >，可得220a b ->，故充分性成立，取2a =-，1b =-，满足220a b ->，但a ，b 无意义得不出0a b ->，故必要性不成立，所以0a b ->是220a b ->的充分不必要条件，故选：A.4．2022年举办北京冬奥会促进我国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（）A ．2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加B ．2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C ．2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D ．2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5% 【答案】C【分析】根据统计图，结合数据逐一判断即可.【详解】A ：由统计图可知中：2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，所以本选项结论正确；B ：由统计图可知：2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，所以本选项结论正确；C ：2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，2021年同比增长人数为：19701750220-=，2016年同比增长人数为：900800100-=，显然不相等，所以本选项结论不正确；D ：2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率为1970151030.5%1510-≈，所以本选项结论正确，故选：C5．已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 是（）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【答案】D【分析】利用诱导公式将函数()y f x =的解析式化简，即可求出该函数的周期，并判断出该函数的奇偶性. 【详解】()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =是周期为2π的偶函数.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期和奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于基础题. 6．已知F 是抛物线21:2C x y =的焦点，点(,)P m n 在抛物线C 上，且1m =，则||PF =（） A ．178B ．32C ．98D ．52【答案】A【分析】代入已知点得到相应的参数值，根据抛物线的焦半径公式得到117||88PF n =+=.【详解】由212x y =，得14p =，由1m =得2n =，由抛物线的性质，117||88PF n =+=，故选：A.7．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b =，256n a n n =++，*N n ∈，则{}n b 的前10项之和为（） A ．413B ．513C ．839D ．1039【答案】D【解析】求出{}n b 的通项，利用裂项相消法可求前10项之和.【详解】因为1n n a b =，256n a n n =++，故21115623n b n n n n ==-++++，故{}n b 的前10项之和为11111111103445121331339-+-++-=-=，故选：D.8．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0--9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（） A ．23B ．14C ．415 D ．15【答案】B【详解】解：阅读随机数表可知，满足题意的数据为：191,271,932,812,393 , 据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为51204p == . 本题选择B 选项.9．在等比数列{}n a 中，7a ，11a 是方程2520x x ++=的二根，则3915513a a a a a ⋅⋅⋅的值为（）A ．2+22-B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】B【分析】利用等比数列的性质、韦达定理列方程组求解．【详解】解：在等比数列{}n a 中，7a ，11a 是方程2520x x ++=的二根，则71171152a a a a +=-⎧⎨=⎩，∴92a =-，则3391599251392a a a a a a a a ⋅⋅===-⋅．故选：B ．10．如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形，E ，F ，G 分别为棱1111,,AA CC C D 的中点，则下列各选项正确的是（）A ．直线1BC 与平面EFG 平行，直线1BD 与平面EFG 相交B ．直线1BC 与平面EFG 相交，直线1BD 与平面EFG 平行 C ．直线1BC 、1BD 都与平面EFG 平行 D ．直线1BC 、1BD 都与平面EFG 相交【答案】A【分析】取AB 的中点H ，证明1BC HG ∥，1BC ∥平面EFG 即得证，再证明直线1BD 与平面EFG 相交即得解.【详解】解：取AB 的中点H ，则11//,=,BH C G BH C G 从而四边形1BC GH 为平行四边形，所以1BC HG ∥．易知////EH GF EH GF ，，则四边形EGFH 为平行四边形，从而GH ⊂平面EFG ．又1BC ⊄平面EFG ，所以1BC ∥平面EFG ．易知11//=BF ED BF ED ，，则四边形1BFD E 为平行四边形，从而1BD 与EF 相交，所以直线1BD 与平面EFG 相交. 故选：A ．11．我们把由半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()222210y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”（其中222a b c =+，0a b c >>>）.如图所示，设点0F 、1F 、2F 是相应椭圆的焦点，1A 、2A 和1B 、2B 是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若012F F F ∆是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为（）A 71 B 3 1 C ．5，3 D ．5，4【答案】A【详解】由题意知，222334a b -==⎝⎭，2221124b c ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， ∴221a c =-. 又222a b c =+， ∴21b =，1b =. ∴274a =，7a .故选：A.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()sin f x x π=，且满足当1x >时，()()22f x f x =-，若对任意[],x m m ∈-，()23f x ≤则m 的最大值为（） A ．236B ．103C ．256D ．133【答案】B【解析】由函数的奇偶性和题设条件，求得()[]si 1,1n ,f x x x π∈-=，再根据()()22f x f x =-，画出函数图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[1,0)x ∈-时，()()sin()sin f x f x x x ππ=--=--=，即()[]si 1,1n ,f x x x π∈-=，又由当1x >时，()()22f x f x =-，可画出函数图象，如图所示.由图知，当35x ≤≤时，()()()444sin 44sin f x f x x x πππ=-=-=；则当53x -≤≤-时，()()4sin f x f x x π=--=；当53x -≤≤-时，令4sin 23x π=，解得121011,33x x =-=-(舍去)，若对任意[],x m m ∈-，()23f x ≤成立，所以m 的最大值为103. 故选：B.二、填空题13．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=. 14．已知1sin24α=，且233ππα<<，则cos sin αα-=___.【答案】3【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可【详解】因为233ππα<<，所以sin cos αα>，因此有：222cos sin (cos sin )cos sin 2cos sin 1sin 2ααααααααα-=---+-=--把1sin24α=代入，得13cos sin 14αα-=--，故答案为：315．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是_______.【答案】325⎢⎣ 【分析】分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，则可证得平面1A MN ∥平面AEF ，由题意可得点P 必在线段MN 上，由此可判断点P 在M 或N 处时，1A P 最长，位于线段MN 的中点时最短，通过解直角三角形即可求得结果【详解】如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，1BC ，因为,,,M N E F 为分别为111,BB B C ，BC ，1CC 的中点，所以MN ∥1BC ，EF ∥1BC ，所以MN ∥EF ，因为MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以MN ∥平面AEF ，因为1AA ∥NE ，1AA NE =，所以四边形1AA NE 为平行四边形，所以1A N ∥AE ，因为1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1A N ∥平面AEF ，因为1A NMN N =，所以平面1A MN ∥平面AEF ，因为P 是侧面四边形11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，所以点P 必在线段MN 上，在11R t A B M 中，221111415A M A B B M =+=+=，同理在11R t A B N 中，求得15A N =, 所以1A MN 为等腰三角形，当点P 在MN 的中点O 时，1A P MN ⊥,此时1A P 最短，点P 在M 或N 处时，1A P 最长，因为()222211232522AO A M OM ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 115AM A N ==，因为P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，所以线段1A P 长度的取值范围是32,52⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭，故答案为：32,52⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行，线面平行的判断，考查立体几何中的动点问题，解题的关键是通过证明面面平行，找出点P 必在线段MN 上，从而可求出1A P 的最大值和最小值，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题16．若函数()ln f x x a =+与函数()22(0)g x x x x =+<的图象有公切线，则实数a 的取值范围是________. 【答案】()ln21-∞+，【分析】设出两个切点，分别表示出切线，利用两切线方程对应系数相等，解出a ，构造新函数()h t ，求导确定()h t 的值域，即是a 的取值范围.【详解】设公切线与函数()ln f x x a =+切于()11,ln x x a +，与函数()22(0)g x x x x =+<切与()2222,2x x x +，则公切线斜率12211()()22k f x g x x x ''====+，故切线方程为()1111ln ()y x a x x x -+=-，即1111ln y x x a x =-++，也可以表示为()()22222222()y x x x x x -+=+-，即()22222y x x x =+-，可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪+-=-⎩，2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=---+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212110,220,2x x x x <<∴=+∈，令11t x =，则()0,2t ∈，21ln 4a t t t =-+，令()21ln 4h t t t t =-+，则()()2213112210222t t t h t t t t t --+-++'=-+==>，则()h t 在()0,2上单调递增，当0t →时，()h t =-∞，2t =时，(2)ln 21h =+，故(,ln 21)a ∈-∞+. 故答案为：()ln21-∞+，.【点睛】本题关键点在于利用两个函数的切线相同建立关系，解出关于a 的关系式，换元后构造函数进行求解，对于公切线问题是通法，注意积累掌握. 三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，且sin 2sin c B C =. （1）若cos23cos 2sin 0A A B +-=，求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）先利用正弦定理求出cos B =6B π=，载代入已知条件可得1cos 2A =，即可求解；（2）由（1）知6B π=，结合已知条件由余弦定理可得c 的值，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC中，因为sin 2sin c B C =，由正弦定理可得：sin 2sin cos sin sin C B B B C ⋅=，因为(),0B C π∈，，sin 0B ≠，sin 0C ≠ 可得3cos 2B =，又0B π∈（，），所以6B π=，由cos23cos 2sin 0A A B +-=，可得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得：1cos 2A =或cos 2A =-，又0cos 1A A π∈<<（，），-1，得1cos 2A =，所以.3A π=（2）由（1）知，6B π=，又23a =，2b =，根据余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，可得234122232c c =+-⨯⨯⨯，即2680c c -+=，解得：12c =，24c =，当12c =时，111sin 2323222ABCS ac B ==⨯⨯⨯=；当24c =时，111sin 23423222ABCSac B ==⨯⨯⨯=；所以ABC 的面积为3或23．18．某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[)[)90,100100,110，，…，[]140,150后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:（1）求分数在[)120130,内的频数; （2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如:组区间[)100,110的中点值为1001101052+=)，作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分; （3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[)120130,内的概率. 【答案】（1）24；（2）121；（3）1415. 【分析】（1）根据频率和为1得分数在[)120130,内的频率，进而即可对于的频数；（2）利用频率分布直方图求解平均数即可；（3）结合已知数据，由分层抽样得[)110,120分数段内抽取2人，[)120130,分数段内抽取4人，再根据古典概型公式并结合对立事件的概率计算求解即可.【详解】解: ()1分数在[)120130,内的频率为 ()10.10.150.150.250.0510.70.3-++++=-=故频数为800.324⨯=()2估计平均分为950.11050.151150.151250.31350.251450.05121x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()3由题意，[)110,120分数段的人数为800.1512⨯=(人).[)120130,分数段的人数为800.324⨯=(人). 用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，所以需在[)110,120分数段内抽取2人，分别记为12,A A ﹔在[)120130,分数段内抽取4人，分别记为1234,,,B B B B ; 设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[)120130,内”为事件A ，则样本空间{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B Ω=共包含15个样本点事件A :“从样本中任取2人，2人都不在在分数段[)120130,内” {}12A A A =，只有1个样本点，所以()115p A =()()114111515p A p A =-=-= 19．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析. (2)1.【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32 又23BP DQ DA ==，所以22BP =作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =13DC ．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥Q ABP -的体积为111131332Q ABP ABPV QE S-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.20．已知点A在圆(22:16C x y +=上，()B，(P ，线段AB 的垂直平分线与AC 相交于点D . （1）求动点D 的轨迹方程;（2）若过点()0,1Q -的直线l 斜率存在，且直线l 与动点D 的轨迹相交于M ，N 两点.证明：直线PM 与PN 的斜率之积为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）32-【解析】（1）由圆的方程可得：圆心C ，半径4r =，||||DA DB =，||||DB DC +||||||4||DA DC AC r BC =+===>=，由椭圆的定义即可求解；（2）设:1l y kx =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系计算12x x +，12x x，再计算1212121212(1)(1)y y kx kx k k x x x x ==⋅即可求解.【详解】（1）由(22:16C x y +=得，圆心C ，半径4r =，点D 在线段AB 的垂直平分线上， ||||DA DB ∴=，||||||||||4||DB DC DA DC AC r BC ∴+=+===>=由椭圆的定义可得动点D的轨迹是以(B，C 为焦点，长轴长为24a =的椭圆．从而2222,2a c b a c ===-=，故所求动点D 的轨迹方程为22142x y +=．（2）设:1l y kx =-，11(,)M x y ，22(,)N x y由221142y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(21)420k x kx +--=，显然222(4)8(21)80k k k ∆=-++=+> 12122242,2121k x x x x k k ∴+==-++． 120,0x x ≠≠，∴可设直线PM 与PN 的斜率分别为12,k k 则121212k k ==222121212241)31)()321221kk k x x k x x k k x x k -⨯+-+++==+-+232k =+=-即直线PM 与PN 的斜率之积为定值．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数即可求出所求轨迹的方程.21．【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g（x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则()e 1'e x g x x=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2) 3.ρθ-= （1）求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程;（2）求2C 上的动点到1C 距离的取值范围.【答案】（1）1C 的普通方程为60x y +-=．2C 的直角坐标方程为2213x y +=；（2）⎡⎣．【解析】（1）把参数方程化为普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设2C 上的动点为,sin M αα），求出点M 到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）∵直线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），∴消去参数t ，得1C 的普通方程为60x y +-=． ∵曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)3ρθ-=，22222cos sin )3ρρθθ∴--=（，2C ∴的直角坐标方程为22222)()3x y x y +--=（，即2213x y +=．（2）曲线2C 的参数方程为sin x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设2C 上的动点为,sin M αα），则2C 上的动点到1C 距离|2sin()6|d πα+-==∵[]2sin()2,23πα+∈-，则2C 上的动点到1C 距离的最大值是∴2C 上的动点到1C 距离的取值范围是⎡⎣．【点睛】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对22221x y a b+=可设cos ,sin x a y b αθ==），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．已知函数f (x )=2|x -1|+|x +2|. （1）求不等式f (x )≥6的解集; （2）若2()f x m m≥+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞．（2）()[],01,2-∞⋃．【解析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解．【详解】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩ 解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞．（2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增，所以min()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤，所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <，所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．【点睛】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数m 的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．。

北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷(解析版)

西城区高三统一测试试卷数学2024.4本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}{}3,22A x x B x x =<=-≤≤，则U A B =I ð（）A.()2,3 B.()(),22,3-∞-⋃ C.[)2,3 D.][(),22,3-∞-⋃【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为集合{}22B x x =-≤≤，所以{2U B x x =<-ð或}2x >，又集合{}3A x x =<，所以U A B =I ð{2x x <-或}23x <<=()(),22,3∞--⋃.故选：B2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2y x x=+ B.cos y x =C.2xy = D.2log y x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，当1x =时，112y =+=，当=1x -时，110y =-=，即(1)(1)f f -≠，所以选项A 不满足题意，对于选项B ，因cos y x =在区间()0,∞+上不单调，所以选项B 不满足题意，对于选项C ，因为2x y =图象不关于y 轴对称，所以选项C 不满足题意，对于选项D ，因为2log y x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又22()log log ()f x x x f x -=-==，所以2log y x =为偶函数，当0x >时，22log log y x x ==，又2log y x =在区间()0,∞+上单调递增，所以选项D 满足题意，故选：D.3.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A.60- B.15-C.15D.60【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开通项，整理后令x 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=，得到2r =所以622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()226260C -=，故选D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.4.已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（）A.=1x - B.2x =-C.1y =- D.=2y -【答案】C【解析】【分析】由对称性可得曲线C 方程，求出准线方程即可.【详解】因为抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，所以将,x y 互换后可得抛物线C 方程为24x y =，即242p p =⇒=，所以C 的准线方程为12p y =-=-，故选：C.5.设()11,,2a t b t c t t t t =-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.b<c<aD.c b a<<【答案】C【解析】【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由10t -<<，故()1,1t ∈-∞-，故10a t t =->，由对勾函数性质可得()1112b t t =+<-+=-，()20c t t =+<，且()()2222111c t t t t t =⋅+=+=+-≥-，综上所述，有b<c<a .故选：C.6.已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.1- B.1 C.7- D.7【答案】A【解析】【分析】得出()1,3a b -=- 、()2,1c = 后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.【详解】由图可得()1,3a b -=- ，()2,1c = ，故()()12311c a b ⋅-=⨯+-⨯=- .故选：A.7.已知函数()2,20x x x f x x c ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩，若()f x 存在最小值，则c 的最大值为（）A.116 B.18 C.14 D.12【答案】A【解析】【分析】运用二次函数的性质求得20x -<<的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当20x -<<时，2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当12x =-时，()f x 有最小值为14-；0x c ≤<时，()f x =()0f x <≤，由题意()f x 存在最小值，则14≥-，解得1016c <≤，即c 的最大值为116.故选：A8.在等比数列{}n a 中，00n a >．则“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q ≠，当001n n a a +>时，即有00n n a q a >⋅，又00n a >，故1q <且0q ≠，当1q <-时，有0002311n n n a q a a +++=>，故不能得到0013n n a a ++>，即“001n n a a +>”不是“0013n n a a ++>”的充分条件；当0013n n a a ++>时，即有0002311n n n a q a a +++=<，即21q <且0q ≠，则001n n a q a +=⋅，当()1,0q ∈-时，由00n a >，故010n a +<，故001n n a a +>，当()0,1q ∈时，0001n n n a q a a +=⋅<，亦可得001n n a a +>，故“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要条件；综上所述，“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要不充分条件.故选：B.9.关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】选项①，根据条件得到()2π()f x f x +=，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出(π)()f x f x -=，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令()0f x =，直接求出x 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为()sin cos2f x x x =+，所以()2πsin(2π)cos2(2π)sin cos2()f x x x x x f x +=+++=+=，故2πT =，所以选项①正确，对于②，因为(π)sin(π)cos2(π)sin cos2()f x x x x x f x -=-+-=+=，由对称轴的定义知，π2x =为函数()f x 的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令()0f x =，得到22sin sin 10x x -++=，解得1sin 2x =-或sin 1x =，又[)0,2πx ∈，由1sin 2x =-，得到7π6x =或11π6x =，由sin 1x =，得到π2x =，所以选项③正确，故选：D.10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时【答案】C【解析】【分析】根据题设得到0.2756t =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.27110.62t =-，整理得到0.2756t =，两边取以10为底的对数，得到5lg 0.27lg 6t =，即1lg 32lg 20.27lg t --=，又lg20.30,lg30.48≈≈，所以8lg 27t =-，得到827100.5t -=≈，故选：C.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数z 满足(12i)3i z +=+，则z =______【答案】【解析】【分析】利用复数的除法公式计算1i z =-，再计算模长即可.【详解】(12i)3i z +=+，则()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，故z ==..12.已知(),0,παβ∈．使()()tan tan αβαβ+<-成立的一组,αβ的值为α=__________；β=__________．【答案】①.π3②.π3（答案不唯一）【解析】【分析】任取一组(),0,παβ∈，验证是否满足()()tan tan αβαβ+<-即可得.【详解】取π3αβ==，此时()2πtan tan 03αβ+=<，()tan tan00αβ-==，故()()tan tan αβαβ+<-，符合要求.故答案为：π3；π3（答案不唯一）.13.双曲线22:13y M x -=的渐近线方程为__________；若M 与圆222:()0O x y r r +=>交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r =__________．【答案】①.y =②.【解析】【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.【详解】由22:13y M x -=，故其渐近线方程为1y x =±=；令(),A m n ，由题意可得m n =，即有2213m m -=，解得232m =，故222232r m n m ===+，即r =.故答案为：y =14.在数列{}n a 中，122,3a a ==-.数列{}n b 满足()*1n n n b a a n +=-∈N.若{}nb 是公差为1的等差数列，则{}n b 的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.【答案】①.6n -②.13-【解析】【分析】求出等差数列{}n b 的首项，直接求出{}n b 的通项公式即可，利用数列{}n a 的单调性得最小项为6a ，利用累加法即可求解.【详解】由题意1215b a a =-=-，又等差数列{}n b 的公差为1，所以()5116n b n n =-+-⋅=-；故16n n a a n +-=-，所以当6n ≤时，10n n a a +-≤，当6n >时，10n n a a +->，所以123456789a a a a a a a a a >>>>>=<<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又16n n a a n +-=-，所以()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()25432113=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是13-.故答案为：6n -，13-15.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直．点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2,1AB AF ==，给出下列四个结论：①存在点,P Q ，使3PQ =；②存在点,P Q ，使//CQ EP ；③到直线AD 和EF 的距离相等的点P 有无数个；④若PA PE ⊥，则四面体PAQE 体积的最大值为13．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系A FBD -，则有()0,0,0A 、()1,0,0F 、()0,2,0B 、()0,0,2D 、()0,2,2C 、()1,2,0E ，设()0,,P m n ，(),,0Q s t ，其中0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，对①：(),,PQ s t m n =-- ，则()222PQ s t m n =+-+ ，当1s =，2t n ==，0m =时，有1443PQ =++=，故存在点,P Q ，使3PQ =，故①正确；对②：(),2,2CQ s t =-- ，()1,2,EP m n =-- ，若//CQ EP ，则有()()222s m t sn ⎧-=--⎨=⎩，由0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，故当2sn =时，1s =，2n =，此时有()22m t -=--，即4m t +=，即2m t ==，此时Q 与E 重合，P 与C 重合，故不存在点,P Q ，使//CQ EP ，故②错误；对③：点P 到直线AD 的距离为m ，点P 到直线EF 的距离为，即有m =221m n -=，由0,2m n ≤≤，故其轨迹为双曲线的一部分，即点P 有无数个，故③正确；对④：()0,,AP m n = ，()1,2,EP m n =-- ，由PA PE ⊥，故有()220m m n -+=，则()[]22110,1n m =--∈，又1112122AB AQE FE S S ≤=⨯⨯= 矩形，故11113313P AQE AQE V S n -⨯≤⨯⨯==⨯ ，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若1A C AB ⊥，求二面角11D AB A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3-【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是平行四边形，所以E 为1A B 的中点．因为D 为BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为1A C ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ，所以1AC 平面1AB D ．【小问2详解】因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，又1AC AC C ⋂=，1AC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因1AA ⊂平面11A ACC ，所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以AB ，AC ，1AA 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()1,1,0D ，()0,2,0C ．所以()12,0,2AB = ，()1,1,0AD = ．设平面1AB D 的法间量为(),,m x y z = ，则100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2200x z x y +=⎧⎨+=⎩，令=1x -，则1y =，1z =于是()1,1,1m =- ．因为AC ⊥平面11A ABB ，所以()0,2,0AC = 是平面11A ABB 的一个法向量．所以cos ,3m AC m AC m AC⋅== ．由题设，二面角11D AB A --的平面角为钝角，所以二面角11D AB A --的余弦值为3-．17.在ABC 中，tan 2sin a B b A =．（1）求B ∠的大小；（2）若8a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：BC ；条件②：2cos 3A =-；条件③：7b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3B ∠=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的ABC .【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =，因为sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =，又0πB <∠<，所以π3B ∠=；【小问2详解】选条件①：BC ：设BC 边中点为M ，连接AM，则4AM BM ==，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅，即2π21168cos 3AB AB =+-⋅，整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍），所以ABC的面积为11πsin 58sin 223ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯=，选条件③：7b =：在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅，整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，ABC的面积为11πsin 83sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= ．当5c =时，ABC的面积为11πsin 85sin 223ABCS ac B ==⨯⨯=△．不可选条件②，理由如下：若2cos 3A =-，故A为钝角，则5sin 3A ==，则38sin 12152sin 53a Bb A ⨯===，224325b a =>，即b a >，其与A 为钝角矛盾，故不存在这样的ABC .18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频数11102424乙的射出频数32103015丙的射出频数24101826假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲､乙､丙各射击10次，用()1,2,3i X i =分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于a 环的次数，其中{}6,7,8,9a ∈．写出一个a 的值，使()()()321D X D X D X >>．（结论不要求证明）【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析（2）13100（3）7a =或8【解析】【分析】（1）分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.（2）先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率；再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.（3）根据题意可知()1,2,3i X i =服从二项分布，利用二项分布求出每一个a 对应的()()()321,,D X D X D X 即可解答.【小问1详解】甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为549542>，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．【小问2详解】根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为242605=；“甲命中10环”的概率可估计为242605=；“乙命中9环”的概率可估计为301602=；“乙命中10环”的概率可估计为156041=．所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222221122212121113.5452524100C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】7a =或8．根据题中数据：当6a =时，在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为5960p =；在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为5760p =；在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为5860p =；由题意可知：15910,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25710,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()15915901060603600D X =⨯⨯=，()257317101060603600D X =⨯⨯=，()358211601060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.当7a =时，在每次射击中，甲击中大于7环的的概率为5860p =；在每次射击中，乙击中大于7环的的概率为5560p =；在每次射击中，丙击中大于7环的的概率为5460p =；由题意可知：15810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()158211601060603600D X =⨯⨯=，()255527501060603600D X =⨯⨯=，()354632401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当8a =时，在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为4860p =；在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为4560p =；在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为4460p =；由题意可知：14810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，24510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，34410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1481257601060603600D X =⨯⨯=，()2451567501060603600D X =⨯⨯=，()3441670401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当9a =时，在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为2460p =；在每次射击中，乙击中大于9环的的概率为1560p =；在每次射击中，丙击中大于9环的的概率为2660p =；由题意可知：12410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，21510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，32610,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1243686401060603600D X =⨯⨯=，()2154567501060603600D X =⨯⨯=，()3263488401060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.所以7a =或8．19.已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A -，离心率为12．（1）求椭圆G 的方程；（2）设O 为原点．直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E ，直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N ．求证：=OM ON ．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；（2）设直线l 为y kx m =+，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助C 、D 两点坐标可表示出M x 、N x ，计算可得0M N x x +=，即可得解.【小问1详解】由题意可得222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆G 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则()2,2E k m +，直线OE 的方程为2m y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()22Δ48430k m =-+>，得2243m k <+，设()()1122,,,C x y D x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，直线AC 的方程为()1122y y x x =++，联立直线AC 和OE 得()11222y m x k x x ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，解得()()11111114244422M kx m y y x m mx k mx k k x y +===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，同理可得()2244N kx m x mx k +=+，所以()()()()()()12211244444M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++，因为()()()()122144kx m mx k kx m mx k +++++()()221212248kmx x k m x x km =++++()()()22222222412848430434343km m km k m km k k k k -++=-+=+++，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称，所以OM ON =．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数()()1ln e x f x x ax x a=++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；（2）当1a =-时，讨论()f x 的单调性；（3）若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．【答案】（1）2e 2+（2）单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-（3）1a e =-【解析】【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．【小问2详解】当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0x x -<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．【小问3详解】因为()()1ln e x f x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又12111e 0a f a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e 0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x =-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e =-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21.对正整数3,6m n ≥≥，设数列{}()12:,,,,0,11,2,,n i A a a a a i n ∈= .B 是m 行n 列的数阵，ij b 表示B 中第i 行第j 列的数，{}()0,11,2,,;1,2,,ij b i m j n ∈== ，且B 同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合{11220i i n in i a b a b a b +++= 或}3,1,2,,i m = 中元素的个数为K ．（1）若111000:1,1,1,0,0,0,101100000111A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求K 的值；（2）若对任意{},1,2,,(),p q n p q B ∈< 中都恰有r 行满足第p 列和第q 列的数均为1．①B 能否满足3m r =？说明理由；②证明：()21424K n n ≥-．【答案】（1）2K =（2）①不满足，理由见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，计算出1t 、2t 、3t 即可得；（2）①由题意可得B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，亦可得其为2n rC 个，当3m r =时，可得2C 9n=，此方程无解，故不满足；②满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，亦可得其为()rx n x -，即有()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，借助该等式表示出K 后放缩即可得.【小问1详解】记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，则11112123134145156163t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，21212223234245256262t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，31312323334345356360t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，故2K =；【小问2详解】①B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =，因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得这两列的数均为1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有2n rC 个，所以23C n m r =，当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解，所以B 不满足3m r =；②由①可得23C nm r =，即2C 3n r m =，下面考虑满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数：对B 中满足0i t ≠和3的m K -行，每行恰有两组(),p q 使1ip iq b b ==且p q a a ≠，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()2C 223n r m K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设数列A 中有x 项为1,n x -项为0，满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),p q 的个数为()x n x -，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()rx n x -，所以()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()222C 33326n rx n x r r K x nx n n -=-=-+-()2222233146426424r n n r n n n n n n ⎛⎫⎛⎫≥-+-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭且为()rx n x -.。

福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题(解析版)

南平市2024届高三第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i 2i i z z +=-，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数z 满足i 2i(i)z z +=-，则可转化为2i (2i)(12i)43i 12i (12i)(12i)55z --+===+--+，所以||1z ==.故选：A.2.已知,a b ∈R ，那么22log log a b >是1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.【详解】因为0,0a b >>，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log log 0a b a b >⇒>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,所以11,,22aba b a b ⎛⎫⎛⎫⇔∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R ,所以2211log log 33aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇒>>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，0b a <<时，不能得出22log log a b >成立.故选：A .3.已知向量a ，b 满足4a = ，2b = ，,150a b =︒ ，则a 在b上的投影向量为（）A.bB.C.b-D.【答案】D 【解析】【分析】利用||cos ,||b a a b b，计算可得a 在b上的投影向量.【详解】a 在b上的投影向量为：1||cos ,4cos1502||b a a b b b =︒=.故选：D.4.对任意非零实数α，当x 充分小时，()11x x αα+≈+⋅.如：1121 2.2524⎛⎫==≈⨯+⨯= ⎪⎝⎭的近似值为（）A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919【答案】C 【解析】化为131218⎡⎤⎛⎫⋅+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据新定义，直接计算取近似值即可．【详解】1312218⎛⎫==⋅⋅- ⎝⎭131112121 1.917838⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅+-≈+⨯-≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选：C .5.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35-B.34C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 16π2cos 6ππsin cos 166αααα⎧⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎛⎫⎪+ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππππcos 2cos 2πcos 212sin 3666αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦131255⎡⎤=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.故选：A .6.关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，若1x y a b -=，(),x y ∈R ，则2x y-的最小值为（）A.12B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可得21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，进而可得24a b =⎧⎨=⎩，可得1412222y x yyy y-+==+，可求2x y -的最小值.【详解】因为关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，所以21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，所以21(1)2(1)b a --=--⎧⎨-⨯-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，所以241x y -=，所以241x y =+，所以141222,22y x yy y y -+==+≥=当且仅当0,1y x ==时取等号.所以2x y -的最小值为2.故选：C.7.在正四面体ABCD 中，P 为棱AD 的中点，过点A 的平面α与平面PBC 平行，平面α 平面ABD m =，平面α 平面ACD n =，则m ，n 所成角的余弦值为（）A.3B.13C.23D.33【答案】B 【解析】【分析】由面面平行的性质定理可得//m BP ，//n PC ，所以m ，n 所成角即为BPC ∠，在BPC △中，由余弦定理求解即可.【详解】因为平面//α平面PBC ，α 平面ABD m =，平面PBC ⋂面ABD BP =，所以//m BP ，因为平面//α平面PBC ，α 平面ACD n =，平面PBC ⋂面ACD PC =，所以//n PC ，所以m ，n 所成角即为,BP PC 所成角，而,BP PC 所成角为BPC ∠，设正四面体ABCD 的棱长为2，所以2AB AC AD BD BC =====，所以BP CP ===所以1cos 3BPC ∠==.故选：B .8.已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y +=【答案】D 【解析】【分析】由题意设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-，由，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- 可求出54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简即可得求出25a =，即可得出答案.【详解】因为椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，所以设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-,设()00,B y ，(),A m n ，()21,0F ，则()()2201,,1,F A m n F B y =-=- ，因为2223F A F B =-，所以()0211323m n y⎧-=-⨯-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以052,33m n y ==-，所以052,33A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为11F A F B ⊥ ，所以()101082,,1,33F A y F B y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2082033y -=，所以02y =±，所以54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为A 在C 上，所以2225169911a a +=-，即42950250a a -+=，解得：25a =或259a =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以25a =.故C 的方程为22154x y +=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22，极差为：22184-=，众数为：20，平均数为：18202022204+++=，因为0.2541⨯=，所以第25百分位数为1820192+=，而原数据：16，18，20，20，22，24，极差为：24168-=，众数为：20，平均数为：161820202224206+++++=，因为0.256 1.5⨯=，所以第25百分位数为18，所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数.故选：BC.10.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()()211740m x m y m m +++--=∈R ，则（）A.直线l 过定点()3,1B.圆C 被x轴截得的弦长为C.当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 距离等于4D.直线l 被圆C 截得的弦长最短时，l 的方程为250x y --=【答案】ACD 【解析】【分析】直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令m 的系数等于零，即可判断A ；()1,2C 到x 轴的距离为2，求出圆C 被x 轴截得的弦长可判断B ；计算出当2m =-时，圆心到直线的距离即可判断C ；当PC l ⊥时，弦长最短，即可判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()3,1P ，故A 正确；对于B ，圆C 的圆心()1,2C ，半径=5r ，()1,2C到x 轴的距离为2，所以圆C 被x 轴截得的弦长为=，故B 错误；对于C ，当2m =-时，直线l ：3100x y +-=，此时圆心()1,2C 到直线l 的距离102d ==，而542r d -=-<，所以当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离等于4，故C 正确.对于D ，当PC l ⊥时，弦长最短，此时1121231l CPk k =-=-=--，因为直线l 过定点()3,1P ，所以l 的方程为：()123y x -=-，化简为：250x y --=，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.()f x 满足()()213244f x f x x ---=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，则（）A.()()202f f -=B.()11g =C.()1y f x x =+-为奇函数D.()1001100k g k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将恒等式代换变形得到()()112f x f x x +--=，再代入特殊值即可验证A ；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边求导得到()()112g x g x ++-=，再代入特殊值即可验证B ；对于C ，举出()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22xg x =+作为反例即可说明C 错误；对于D ，证明()()112g x g x -++=，再对求和式变形即可验证D.【详解】对于A ，由()()213244f x f x x ---=-可知222213244222x x x f f +++⎛⎫⎛⎫⋅---⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()112f x f x x +--=.从而()()111121f f +--=⋅，即()()202f f -=，故A 正确；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边同时求导，可得()()112f x f x ''++-=，即()()112g x g x ++-=.代入0x =即得()11g =，故B 正确；对于C ，考虑()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22x g x =+，则()()g x f x ='，且()()()()()()π21π32213221sin32sin44cos πcos π4422x x f x f x x x x x x x -----=-+---=--+=-，()()()()()ππππ11111cos 1cos 02222x x g x g x g x g x ⎛⎫-⎛⎫+----=--=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故此时()(),f x g x 满足全部条件，但()()π1π11sin 1cos22x xf x x x x ++-=++-=+并不是奇函数（因为显然不过原点），故C 错误；之前已证()()112g x g x ++-=，再由()1g x -的图象关于直线1x =对称，知()()1111g x g x +-=--，即()()g x g x =-.故()()()()()()()()11111211212g x g x g x g x g x g x g x g x -++=-++=-+--=-+--=.所以()()()()100505011143412502100k k k g k g k g k ====-+-==⨯=∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对恒等式的换元及变形，需要选取恰当的换元方式方可简化等式.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2,4A x y yx ==，(){},B x y y x ==，则A B ⋂的子集个数为______.【答案】4【解析】【分析】先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.【详解】由24y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11(0,0),(,)44A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，有两个元素，所以A B ⋂的子集个数为224=.故答案为：4.13.函数()()sin 0f x x ωω=>在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间()0,2π上恰有两个极值点，则ω的取值范围是______.【答案】3544ω<≤【解析】【分析】利用正弦型函数的单调性可得302ω<≤，利用正弦型函数的极值点可得3544ω<≤.【详解】由()()sin 0f x x ωω=>在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得ππ2π62k ω-≥-+，ππ2π32k ω≤+，k ∈Z ，即312k ω≤-，362k ω≤+，k ∈Z ，即302ω<≤，又()()sin 0f x x ωω=>在区间()0,2π上恰有两个极值点，可得3π5π2π22ω<≤，即3544ω<≤.综上，3544ω<≤.故答案为：3544ω<≤.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8π的球O 上，则平面11BCC B 截球O 所得截面的面积为______.【答案】8π7##8π7【解析】【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，结合图象列出关于,x d 的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】由球O 的表面积为8π，所以24π8πS R ==，可知球O ，设上下底面的中心分别为12,O O ，因为2AB =，从而可知球O 的球心与下底面ABCD 的中心2O 重合；分别取11B C 和BC 的中点1E E 、，连接112111212,,,,,C O EO E E E O EO O O ，则在直角梯形112C O O C 中得1262O O =，则在直角梯形112E O O E 中得12E E =，过点2O 作1E E 的垂线，垂足为F ，由于BC ⊥平面112E O O E ，2O F ⊂平面112E O O E ，所以2BC O F ⊥，由21OF EE ⊥，1EE BC E = ，1,EE BC ⊂平面11B BCC ，从而2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，则172E F x =-，则221x d +=，和22222x d ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立解得：276,77x d ==，又因为平面11B BCC 截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径287r =，所以圆面面积为28ππ7r =.【点睛】方法点睛：构建方程组利用勾股定理解截面圆半径是解决立体几何的一种重要方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()31ln 222f x ax x x x=--+，且()f x 图象在1x =处的切线斜率为0.（1）求a 的值；（2）令()()g x f x '=，求()g x 的最小值.【答案】（1）1（2）0【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得()10f '=，解方程即可得出答案；（2）由（1）知函数()31ln 222f x x x x x =--+，对()f x 求导，令()211ln (0)22g x x x x =+->，对()g x 求导，判断()g x '与0的大小得出()g x 的单调性，即可求出()g x 的最小值.【小问1详解】因为()31ln 222f x ax x x x =--+，所以()()2311ln 22f x a x x -+'=+，因为()f x 图象在1x =处的切线斜率为0,所以()10f '=，即31022a -+=，所以1a =.【小问2详解】由（1）知函数()31ln 222f x x x x x=--+，()f x 的定义域为()0,∞+，()211ln 22f x x x =+-'，则()211ln (0)22g x x x x =+->，求导得()233111x g x x x x='-=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在()0,1上递减，在()1,∞+上递增，()()min 10g x g ==.16.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率；（2）每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为X 元，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.19（2）分布列见解析，数学期望为300元【解析】【分析】（1）设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”，求得每个事件的概率，进而利用()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣可求取出的建盏是成品的概率；（2）这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式可求X 分布列及数学期望.【小问1详解】设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则()151102P A ==，()230.310P A ==，()321105P A ==.又()10.2P BA =∣，()20.2PB A =∣，()30.3P B A =∣，所以()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣0.50.20.30.10.20.30.19=⨯+⨯+⨯=【小问2详解】设这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.因为1000X Y =，X 的可能取值为0，1000，2000，3000所以()()03031972900C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()12131924310001C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2123192720002C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33319130003C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X100020003000P7291000243100027100011000所以()72924327101000200030003001000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC AD CD ==<，2π3ABC ∠=.M ，N 分别为棱CD ，PD 上的动点（与端点不重合），且CM DN CD DP=.（1）求证：AD ⊥平面APC ；（2）若3AP =，设平面AMN 与平面APC 所成的角为α，求cos α的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）解法一：由AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，推出AD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一：（2）解法一：设1AD =，建立空间直角坐标系A xyz -，令CM DNCD DPλ==，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值;解法二：不妨设1AD =，由AC ，AD ，AP 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求解平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值.【小问1详解】解法一：因为AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，所以π6CAB ∠=，2πππ362CAD ∠=-=，即AD AC ⊥又PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥因为AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一.【小问2详解】解法一：设1AD =，如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -.令CM DNCD DPλ==，()0,1λ∈，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z 则有CM CD λ=，DN DPλ=即()()111,x y z λ-=，解得))1,,0M λλ-同理可得()0,1N λ-设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由)()10,10,n AM x y n AN y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1x =，则)1y λλ-=，()221z λλ-=.得平面AMN的一个法向量为)()22111,,n λλλλ⎛⎫-- = ⎪⎝⎭又由（1）可知()0,1,0AD =是平面APC 的一个法向量，则有cos n ADn ADα⋅==⋅5==当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cosα的最大值15cos5α=解法二：不妨设1AD=，由AC，AD，AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则根据题意可得：())1,1,0AM AC ADλλλ=+-=-()()10,,AN AD APλλλ=+-=，()0,1λ∈，设平面AMN的一个法向量为(),,n x y z=，())1010n AM x yn AN y zλλλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取1x=，1yλ=-，()221zλλ=-于是()2231,,11nλλλ⎛⎫⎪=⎪--⎝⎭，cos5α=当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α的最大值15cos 5α=.18.已知()11,0A -，()21,0A ，直线1A P ，2A P 相交于点P ，且它们的斜率之积是4，记点P 的轨迹为曲线C（1）求C 的方程；（2）不过1A ，2A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线1MA 与2NA 交于点S ，点S 在直线12x =上，证明：直线l 过定点.【答案】（1）()22114y x x -=≠±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解.（2）设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，将其与椭圆方程联立，从而122841mny y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点S 在直线12x =上，可得1143A N A Mk k =-，从而结合韦达定理可得n 为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y yx x x x +=-+-，在里面代入12x =，结合韦达定理即可得出n 为定值，由此即可得证.【小问1详解】设(),P x y ，则()111PA y k x x =≠-+，()211PA y k x x =≠-，由已知，有()4111y yx x x ⋅=≠±+-，故C 的方程为()22114y x x -=≠±.【小问2详解】解法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩，得()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，由点S 在直线12x =上，设1,2S t ⎛⎫⎪⎝⎭，则121312A M t k t ==+，22112N A tk t==--，所以213A M NA k k =-，又124A N A N k k ⋅=，则()1134A N A M k k ⋅-=，即1143A N A M k k =-，21214113y y x x ⋅=-++，()()12213411y y my n my n -=++++，()()()()221212434410my y mn m y y n ++++++=，()()()222224484344104141n mn m mn m n m m --+++++=--，220n n --=，所以1n =-（舍去），或2n =，所以l 的方程为2x my =+，过定点()2,0解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩得，()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，所以()()2121212n y y mny y-+=-⋅，即()()2121212n y y my y n-+=-，又直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y y x x x x +=-+-，又点S 在直线12x =上，故()()2112131y x y x +=--，所以()()()()()()21211121212121111111y x y my n my y n y y x y my n my y n y +++++==-+-+-()()()()()()()()()()21212222121211111122111122n y y n y y n y y n nnn y y n n y y y n y nn-+-+-++-+==⋅++--+--+-()()()()2121111131111n y n y n n n n y n y n +--++=⋅==---++--，故2n =，直线l 的方程为2x my =+，过定点()2,0.19.若数列{}n c 共有()*,3m m m ∈≥N 项，对任意()*,i i i m ∈≤N 都有1i m i c c S +-=（S 为常数，且0S >），则称数列{}n c 是S 关于m 的一个积对称数列.已知数列{}n a 是S 关于m 的一个积对称数列.（1）若3m =，11a =，22a =，求3a 的值；（2）已知数列{}n b 是公差为()0d d ≠的等差数列，111b =-，若10m =，2n n nb a b +=，求d 和S 的值；（3）若数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，求证：12112153m m m m a a a a Sa a a a --++⋅⋅⋅++<.【答案】（1）4（2）1,2S d ==（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得22S a a =，从而求出3a ；（2）依题意11i ia a S -=，即可得到21311i ii ib b S b b +--⨯=，再结合等差数列通项公式得到()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可；（3）依题意可得()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】依题意224S a a ==，又13a a S =，所以314Sa a ==.【小问2详解】法一：由10m =知对任意i ()*,10i i ∈≤N 都有11i i a a S -=，即()()()()112131*********i i i i b i d b i db b S b b b i d b i d+--+++-⨯=⨯=+-+-，所以()()222112221112111310119b i i d b d S bi i db d++-+=+-+-+，所以()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，所以()22222222111111111213109d d S d d S d b b d S d b b d ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=-++⎪⎩，因为0d ≠，111b =-，所以2112240S d b d =⎧⎨+=⎩，即12S d =⎧⎨=⎩.法二：当1,2i =时由11029S a a a a ==得31241111029b b b b S b b b b =⨯=⨯，所以1111111121131098b d b d b d b d b b d b d b d++++⨯=⨯+++，即()()()()22222221111111110161211122710b b d db b d d b b d d b b d ++⨯++=++⨯+，令21110p b b d =+，22111211q b b d d =++，则()()221616p d q q d p +=+，因为0d ≠，111b =-，所以p q =，2221111101211b b d b b d d +=++，即2d =，1S =，当110i ≤≤时都有()()()()2131111112111212112111210i i i i i i i i b b a a b b i i +----++-+-=⨯=⨯-+--+-92132113292i i S i i-+-=⨯==-+-，所以2d =，1S =成立.【小问3详解】由已知1m a a S =，21m a a S -=，…，1i m i a a S +-=，所以()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，所以112222*********m m m a a a S a a a m -⎛⎫++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭1111111111114224354611S m m ⎡⎤⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦1111111111115142231142233S S S m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+++--<+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即12112153m m m m a a a a S a a a a --++⋅⋅⋅++<.【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再由裂项相消法求和.。

2024届湖北省长阳县一中高三下学期阶段性测试(四)数学试题

2024届湖北省长阳县一中高三下学期阶段性测试（四）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（） A ．i -B ．iC ．1-D ．14．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D5．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（） A．B．C．D．26．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．37．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（）A ．()4,6B ．()4,6--C ．213313,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±11．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝12．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习

2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度2．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（）A ．B ．C ．D ．23．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N5．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．16．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，7．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，8．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（）AB ．C ．D ．10．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学(文)卷·2014届湖南省雅礼中学高三月考试卷(四)(2013.12)

雅礼中学2014届高三数学月考（四）（文科）高三数学备课组组稿（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共21题，时量120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi +-的值是（ B ）.2A .2B i - .4C - .2D i 2.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =- 的集合B 个数是（ C ）.2A .3B .4C .8D3.1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（ A ）.A 充分不必要条件 B.必要不充分条件.C 充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若向量,,a b c满足a //b ，且0b c ⋅= ，则a b c +⋅= （）（ D ） .4A .3B .2C .0D5．函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x x f += （ D ）1.2A .2B .2C .1D6. 已知下列四个命题，其中真命题的序号是（ D ）① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直； ④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直； .A ①② .B ②③ .C ②④ .D ③④7.函数 2()4xf x x e =- 零点的个数（ D ）.A 不存在 .B 有一个 .C 有两个 .D 有三个8.设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k 的取值范围为（ C ）.(,2)A -∞ 13.(,]8B -∞ 7.(,)4C -∞ 13.[28D ，） 9. 函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(2014)y f x =-的图象关于点(2014,0)对称．若实数,x y 满足不等式22(6)(824)0f x x f y y -+-+<，则22x y +的取值范围是（ C ）.A (0,16) .B (0,36) .C (16,36) .D (0,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

2022-2023学年河南省高三下学期阶段性测试(四)文科数学试题 Word版含答案

2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =≠，则A B ⋂=（） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x >C ．{}011x x x ≤<>或D ．{}01x x ≤<2．若()12i 112i z +=+，则z =（） A ．34i +B ．34i -C ．43i +D ．43i -3．已知函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，则“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的（） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件4．已知向量a ，b 的夹角为56π，且3a =，1b =，则2a b +=（）A ．1B C ．2D5．已知函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()f x x =，则()4f -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．46．若1cos 2cos sin sin 2cos θθθθθ--=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．2C D ．17．已知A 为抛物线C ：24y x =上在第一象限内的一个动点，()1,0M -，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，若tan 3AMO ∠=，则直线AF 斜率的绝对值为（）A ．2B ．C ．13D ．438．若棱长均相等的正三棱柱的体积为O 的表面上，则球O 的表面积为（） A ．283π B ．1129π C ．6πD ．1123π 9．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y （单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型()1aty ea +=∈R 对y 与t 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（）第t 个月 1 2 3繁殖数量y1.4e2.2e2.4eA ．3e 百只 B ． 3.5e百只 C ．4e 百只D ． 4.5e百只10．函数()31123f x x x=+-的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则3a cb-的取值范围为（） A ．(]3,4B ．712,35⎛⎤⎥⎝⎦ C ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]2,512．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左顶点为A ，点0,2b B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 与双曲线的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若线段PQ 的垂直平分线经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．3C ．52D ．233二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区间[]2,3-上随机取一个数x ，则1x >的概率为______．14．已知实数x ，y 满足约束条件10,10,240,x y x x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为______．15．已知函数()()cos ,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移4T（T 为()f x 的最小正周期）个单位长度得到()g x 的图象，则()0g =______．16．已知圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的底面在圆锥的底面内，当圆柱与圆锥体积之比最大时，圆柱与圆锥的底面半径之比为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和252n n nS -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10,10,2,10,n n n a n b b n -≤⎧=⎨>⎩求数列{}n b 的前30项和．18．（12分）某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值x ；（同一区间数据以中点值作代表）（Ⅱ）该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.050 0.025 0.010 0k3.8415.0246.63519．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC BC ⊥，PA PB =，APC BPC ∠=∠．（Ⅰ）证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）若AB CD ∥，PD AD ⊥，3PC =，且点C 到平面P AB 的距离为62，求AD 的长．20．（12分）已知函数()32213f x x x ax =-+-，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为4-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在唯一的()00,2x ∈，满足()()01f x f =-，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为23，且3⎫⎪⎪⎭为C 上一点．（Ⅰ）求C 的标准方程；（Ⅱ）点A ，B 分别为C 的左、右顶点，M ，N 为C 上异于A ，B 的两点，直线MN 不与坐标轴平行且不过坐标原点O ，点M 关于原点O 的对称点为M '，若直线AM '与直线BN 相交于点P ，直线OP 与直线MN 相交于点Q ，证明：点Q 位于定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224,4824t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若P 为C 上一动点，求P 到l 的距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()112222f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设()f x 的最小值为M ，若正实数a ，b 满足221a b M a b +=++，证明：32a b +≥．2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案 C命题意图本题考查集合的交运算．解析 {}011A B x x x ⋂=≤<>或． 2．答案 A命题意图本题考查复数的四则运算．解析 ()()()()112i 12i 112i 1520i34i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，则34i z =+．3．答案 D命题意图本题考查极值点的概念以及充分必要条件的判断．解析由极值点的定义，若0x 为()f x 的极值点，则有()00f x '=，而由()00f x '=不一定推得0x 为()f x 的极值点，例如()3f x x =，故“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的必要不充分条件． 4．答案 A命题意图本题考查平面向量的运算．解析 ()22222443431ab a ba ab b +=+=+⋅+=+⨯=． 5．答案 C命题意图本题考查奇函数的概念．解析因为()f x 是奇函数，所以()()44f f -=-，又()442f ==-，所以()42f -=． 6．答案 A命题意图本题考查三角恒等变换．解析由题意()2112sin 1tan 2sin cos θθθθ--=-，即1tan 2θ=，1tantan 142tan 3141tan tan 142πθπθπθ++⎛⎫+===⎪⎝⎭--． 7．答案B命题意图本题考查抛物线的性质．解析设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1210tan 314AMy AMO k y -∠===+，解得1y 或1y =12A ⎛ ⎝或(2,A ，又()1,0F ，所以0112AF k ==--AF k ==AF k =． 8．答案 D命题意图本题考查三棱柱的外接球．解析设该正三棱柱棱长为x ，底面三角形的外接圆半径为r ，则21sin 602x x ︒⋅⋅=，∴4x =，则r =O 半径为R ，则22216284233x R r ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，228112=4=4=33S R πππ⨯表． 9．答案 C命题意图本题考查回归分析．解析由题意，1aty e+=两边取自然对数得ln 1y at =+，令ln u y =，则1u at =+．()1231ln ln ln 23u y y y =++⨯=，()123123t t t t =++⨯=，∵回归直线必过样本点的中心，∴221a =+，得12a =，∴12tu =+，则12t y e +=．当6t =时，4y e =．10．答案 B命题意图本题考查函数零点问题．解析易知()f x 的定义域为{}0x x ≠，()422211x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，解得10x -<<或01x <<，∴()f x 在()1,0-和()0,1上单调递减，令()0f x '>，解得1x <-或1x >，∴()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增．当1x =-时，()f x 取得极大值()10103f -=-<，易知()f x 在(),0-∞上没有零点；当1x =时，()f x 取得极小值()2103f =-<，且1820381f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()7206f =>，可知()f x 在()0,+∞上有2个零点．综上所述，()f x 的零点个数为2． 11．答案 C命题意图本题考查解三角形．解析 ∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==且0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin sin sin33sin 4sin C A B B B B =+==-，由正弦定理可得333sin sin 6sin cos 3sin 4sin sin sin a c A C B B B Bb B B---+==()226cos 41cos 34cos 6cos 1B B B B =+--=-++，令1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则23461a c t t b -=-++，由二次函数性质知2134613,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦，∴3133,4a c b -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 12．答案 B命题意图本题考查双曲线的性质和离心率的求法．解析不妨设点P 在直线b y x a =上，由题可知(),0A a -，∴2AB b k a =，∴:22AB b bl y x a =+，由,22,b by x a b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得,,P P x a y b =⎧⎨=⎩∴(),P a b ，同理,33a b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴PQ 的中点为2,33a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PQ 的垂直平分线方程为2233b a a y x b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，将0,y x a=⎧⎨=⎩代入整理得222b a =，则e ==二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案35命题意图本题考查几何概型的计算．解析在区间[]2,3-上随机取一个数x ，若1x >，则[)(]2,11,3x ∈--⋃，所以1x >的概率为()()12313325-++-=+．14．答案 9命题意图本题考查线性规划．解析根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数表示的直线经过点()2,3时，3z x y =+取得最大值9．15．答案 3命题意图本题考查三角函数的图象和性质．解析由图可知2A =，22362T πππ=-=，∴T π=，22πωπ==．由()226k K πϕπ⨯+=∈Z ，及2πϕ≤，得3πϕ=-，∴()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴()52cos 22cos 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()502cos36g π==- 16．答案23命题意图本题考查导数的应用．解析设圆锥的底面半径为R ，圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长为2R ，设其底角为α，则圆锥的高为tan R α，圆锥的体积为3tan 3R πα．设圆锥内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，则tan tan r R hR R αα-=，即()tan h R r α=-，则圆柱的体积为()()2223tan tan r h r R r Rr r ππαπα=-=-，()0,r R ∈．圆柱与圆锥体积之比为23233r r R R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()01r t t R =<<，()23f t t t =-，则()()22323f t t t t t '=-=-．由()0f t '=，得23t =，当203t <<时，()0f t '>，当213t <<时，()0f t '<，所以当23t =时，()f t 取得最大值，即圆柱与圆锥体积之比最大，此时23r R =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．命题意图本题考查数列求通项和数列求和．解析（Ⅰ）111522a S -===-，当2n ≥时，有252n n n S -=，()()211512n n n S ----=，两式相减得()()()2215151322n a n n n n n n ⎡⎤=---+-=-≥⎣⎦，当1n =时，12a =-符合上式，故3n a n =-．（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()()()301210111220212230T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+．由题意得1210121010b b b a a a S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，()11122012101022b b b b b b S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，()21223011122010102224b b b b b b S S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯=，∴()230107710501752T S ==-=． 18．命题意图本题考查频率分布直方图和独立性检验．解析（Ⅰ）依题意有()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，得 3.0a =．0.350.150.450.250.550.300.650.200.750.080.850.020.537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）依题意作2×2列联表：()221001858121218.36730707030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．因为18.367 5.024>，所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关． 19．命题意图本题考查线线垂直的证明，以及点到面距离的求法．解析（Ⅰ）如图，连接AC ，∵PA PB =，APC PBC ∠=∠，PC PC =，∴PAC PBC ≌△△， ∴90PCA PCB ∠=∠=︒，即PC AC ⊥．∵PC BC ⊥，AC BC C ⋂=，PC ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，∴PC AD ⊥．（Ⅱ）取AB 的中点E ，连接PE ，CE ．∵PA PB =，∴PE AB ⊥，由（Ⅰ）知AC BC =，∴CE AB ⊥， ∵PE CE E ⋂=，∴AB ⊥平面PCE ，又AB ⊂平面P AB ，∴平面PAB ⊥平面PCE ．过C 作CH PE ⊥于H ，则CH ⊥平面P AB ，由条件知6CH =．易知PC CE ⊥，设CE m =，则23PE m + 由1122PC CE PE CH ⋅=⋅2633m m =+，得3m =，∴3CE = ∵PD AD ⊥，AD PC ⊥，PC PD P ⋂=，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD CD ⊥，又∵AB CD ∥，∴AD AB ⊥，∴四边形AECD 为矩形，∴3AD CE ==20．命题意图本题考查导数的几何意义，以及函数与方程的综合问题．解析（Ⅰ）()222f x x x a '=-+，由题意知()04f a '==-．所以()()()2224212f x x x x x '=--=+-，则当1x <-或2x >时，()0f x '>，当12x -<<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()2,+∞，单调递减区间为()1,2-．（Ⅱ）由()()01f x f =-，得()()010f x f --=，即()()()323200021113x x a x ⎡⎤⎡⎤-----+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()20000002111113x x x x x a x =+-+--+++ ()()200011253503x x x a =+-++=．根据已知，可得方程20025350x x a -++=在区间()0,2内仅有一个实根，设函数()22535g x x x a =-++，其图象的对称轴为()50,24x =∈，所以只需()()()258350,00,20,a g g ∆=-+>⎧⎪>⎨⎪<⎩或0∆=，解得513a -<<-或58a =-，即a 的取值范围是55,138⎛⎫⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．21．命题意图本题考查椭圆方程和定直线的证明．解析（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意得222222,371019,c a a ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得229,5,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴C 的标准方程为22195x y +=．（Ⅱ）由题可知()3,0A -，()3,0B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,M x y '--，设:MN l x my n =+．联立22,1,95x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()()2225910590m y mny n +++-=，∴1221059mn y y m -+=+，()21225959n y y m -=+，1122,3,3AM BN y k x y k x '⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩∴()11:33AM y l y x x '=+-，()22:33BN yl y x x =--，又∵点P 为直线AM '和BN 的交点，∴112233,33,P P P P x y y y x y x y -⎧⋅=+⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪⎩故可得1212332P P x x x y y y ⎛⎫--=+⎪⎝⎭121233P my n my n y y y ⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭()121223P y y m n y y y ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦()()2102359P mn m n y n ⎡⎤-⎢⎥=+-⋅-⎢⎥⎣⎦， ∴33P P m x y n =+，故3:3OP m l x y n =+．联立3:,3:,OP MN m l x y n l x my n ⎧=⎪+⎨⎪=+⎩消去y 得3Q x =-，因此，点Q 位于定直线3x =-上．22．命题意图本题考查极坐标与参数方程．解析（Ⅰ）()2222164t x t =+，()()22222444t y t -=+， ∴()()()()2222222222216441444t t t y x t t +-++===++，又22282162244t y t t -==-+>-++， ∴曲线C 的普通方程为()22124y x y +=≠-．（Ⅱ）设P 到l 的距离为d ．令cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，设()cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈且32πα≠，则d ==1tan 2ϕ=， ∴d的取值范围是22⎡⎢⎣⎦． 23．命题意图本题考查不等式的证明．解析（Ⅰ）由题意知()14,,4111,,4414,.4x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩令()3f x =，得34x =-或34，结合图象可知()3f x <的解集为3344x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）由题意可知2121a b a b +=++，∴4121121a b -+-=++， ∴41221a b +=++．令2m a =+，1n b =+，则412m n +=，()()141141333535432222n m a b m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+-=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当23m n ==，即1a =，12b =时等号成立．。

2024年4月高三数学(文)全国卷模拟考试卷附答案解析

2024年4月高三数学（文）全国卷模拟考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟。

2024.4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设21ii i z +=+，则z =（）A ．12B ．1CD2．设集合{}{}20,4A x x B x x =≥=≤，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]0,2D ．[)2,0-3．函数()2ln 1f x x x =-的大致图象为（）A．B．C．D ．4．若关于,x y 的不等式组1020x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域是直角三角形区域，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．1-或0D ．0或15．已知命题“[]21,4,e 0xx m x∀∈--≥”为真命题，则实数m 的取值范围为（）A ．(],e 2-∞-B ．41,e 2⎛⎤-∞- ⎝⎦C ．[)e 2,-+∞D ．41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（）A ．这8个月月销售量的极差是3258B ．这8个月月销售量的中位数是3194C ．这8个月中2月份的销量最低D ．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份7．已知向量()1,1a =- ，()3,4b =-，则cos ,a a b -= （）A ．52626B ．52626-C ．2613D ．26138．已知角π3α+的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点13,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12-C ．12D ．329．某导航通讯的信号可以用函数()23sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭近似模拟，若函数()f x 在[]0,m 上有3个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．211π,π312⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．211π,π312⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．117π,π126⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．117π,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知231ln ,,e 23a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A ．12B ．13C ．40D ．12112．在三棱锥D APM -中，524,,,π6AD MP MP AP MP DP APD ==⊥⊥∠=，则三棱锥D APM -的外接球的表面积为（）A ．17πB ．28πC ．68πD ．72π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在区间[]3,4-上随机取一个数x ，若x a ≤的概率为47，则=a .14．已知函数()f x 的导函数()()()214f x x x x a '=+++，若1-不是()f x 的极值点，则实数=a .15．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的面积为6π，点P 在椭圆C 上，且P 与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为49-．记椭圆C 的左、右两个焦点分别为12,F F ，则12PF F △的面积可能为．（横线上写出满足条件的一个值）16．如图，在ABC 中，π6DAC ∠=，2,AC CD D ==为边BC 上的一点，且AD AB ⊥，则AB =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17．某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中,,a b c 成等差数列，时长落在区间[)80,90内的人数为200．(1)求出直方图中,,a b c 的值；(2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)从参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90恰好各一人的概率．18．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形CDEF 为等腰梯形，EF CD ，且平面ABCD ⊥平面,224CDEF AD DE EF ===．(1)证明：AE CE ⊥；(2)求三棱锥E BDF -的体积．19．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，13a =且2111322n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1(1)1n nn a b n n +=-+，求{}n b 的前10项和10T ．20．已知抛物线2:2(04)C x py p =<<的焦点为F ．点()4,P m 在抛物线C 上，且5PF =．(1)求p ；(2)过焦点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，原点为O ，若直线,OA OB 分别交直线2l ：332y x =-于,M N 两点，求线段MN 长度的最小值．21．已知函数()()()211e 12x f x a x a =+-+∈R ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)设()1212,x x x x <是函数()y f x '=的两个零点，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 2ρθρθ+=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)已知点()0,1T ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求TA TB -的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知,,a b c 均为正实数，且满足9444a b c ++=．(1)求114100c a b+-的最小值；(2)求证：22216941a b c ++≥.1．B【分析】利用分母实数化对z 进行化简，从而得到答案.【详解】由题意可得()()221i 1i (1i)2ii i i i 1i 1i 12z +++=====-+--+-，所以1z =．故选：B ．2．C【分析】先化简集合B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为{}0,A x x =≥{}[]242,2B xx =≤=-∣，所以[]0,2A B = ，故选：C 3．B【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项.【详解】因为()f x 的定义域为()(),11,∞∞-⋃+，故排除C ；又()36ln20f =>，故排除A ；13ln 022f ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，故排除D ．故选：B ．4．C【分析】由已知，关于,x y 的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=或直线20kx y +-=垂直于直线1x =，从而得到k 值.【详解】由题意，当直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以1k =-.当直线20kx y +-=垂直于直线1x =时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以0k =.故选:C ．5．A【分析】分离参数2e xm x ≤-，求函数()[]2e ,1,4xf x x x=-∈的最小值即可求解.【详解】因为命题“[]21,4,e 0xx m x ∀∈--≥”为真命题，所以[]21,4,e x x m x∀∈≤-．令()[]2e ,1,4,e xx f x x y x =-∈=与2y x=-在[]1,4上均为增函数，故()f x 为增函数，当1x =时，()f x 有最小值，即()1e 2m f ≤=-，故选：A ．6．B【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据极差，中位数的定义可判断A 和B ；根据折线图可判断C 和D.【详解】将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，对于A ，极差是39657073258-=，故A 正确；对于B ，因为850%4⨯=，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，即3152343632942+=，故B 错误；对于C ，这8个月中2月份的销量最低，故C 正确；对于D ，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D 正确．故选：B ．7．B【分析】根据向量的坐标运算，先求()a ab ⋅- ，再分别求a r 和a b - ，利用()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-求解.【详解】因为()1,1a =- ，()3,4b =-，所以()2,3a b -=-，a =-= a b ，所以()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-==．故选：B 8．D【分析】利用三角函数的定义可求出πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据诱导公式求解即可.【详解】因为角π3α+的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，所以πsin 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππππcos cos sin 63232ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.9．A【分析】先求出函数的零点，然后根据()f x 在[]0,m 上有3个零点，则即可求出实数m 的取值范围.【详解】令2π4π,3x k k -=∈Z ，得ππ,64k x k =+∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ,64k x k =+∈Z ，可知()f x 在[)0,∞+上的零点依次为π5π2π11π,,,,612312x =，若()f x 在[]0,m 上有3个零点，则211π,π312m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故选：A ．10．A【分析】利用当0x >时，ln 1x x ≤-判断a b >，通过函数1y x=在是减函数判断b c >.【详解】当0x >时，设()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()10f x f ≤=，也就是说当0x >时，ln 1x x ≤-，用1x 代替x ，可得11ln 1x x≤-，即1ln 1x x ≥-，所以321ln1233>-=，即a b >．又知2211e 3e->=，所以b c >，所以a b c >>．故选：A 11．C【分析】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.【详解】设题图②中第n 行白心圈的个数为n a ，黑心圈的个数为n b ，依题意可得13n n n a b -+=，且有111,0a b ==，所以{}n n a b +是以111a b +=为首项，3为公比的等比数列，13n n n a b -∴+=①；又12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，故有11n n n n a b a b ++=--，∴{}n n a b -为常数数列，且111a b -=，所以{}n n a b -是以111a b -=为首项，1为公比的等比数列，1n n a b ∴-=②；由①②相加减得：1312n n a -+∴=，1312n n b --=；所以4531402b -==．故选：C ．12．C【分析】根据线面垂直判定定理，证明线面垂直并作图，明确外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外接圆的半径，结合图中的几何性质，求得外接球的半径，可得答案.【详解】由题意可知，,MP PA MP PD ⊥⊥．且,PA PD P PA ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD ．设ADP △的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠，即42sin150r ︒=，所以4r =．设三棱锥D APM -的外接球的半径为R ，则222(2)(2)R PM r =+，即2(2)46468R =+=，所以217R =，所以外接球的表面积为24π68πR =．故选：C ．13．2【分析】根据几何概型的概率公式，根据长度之比即可求解.【详解】显然0a ≥．区间[]3,4-长度是7，区间[]3,4-上随机取一个数,x x a ≤的解集为[],a a -，区间长度为2a ，所以x a ≤的概率为2477a =，所以2a =．故答案为：214．3【分析】设()24h x x x a =++，依题意有()10h -=，解出a 的值并检验即可.【详解】由()()()214f x x x x a '=+++，设()24h x x x a =++，若1-不是函数()f x 的极值点，则必有()10h -=，即140a -+=，所以3a =．当3a =时，()()()()22143(1)3f x x x x x x =+++=++'，故当3x >-时，()0f x '≥，当3x <-时，()0f x '<，因此3x =-是()f x 的极值点，1-不是极值点，满足题意，故3a =．故答案为：315．2（答案不唯一，在内的任何数都可以）【分析】根据给定条件，求出ab ，结合斜率坐标公式求出,,a b c ，再求出焦点三角形面积的范围即得.【详解】由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为6π，得π6πab =，解得6ab =，设点00(,)P x y ，显然00x ≠，由2200221x y a b+=，得2222002b y b x a -=，椭圆C 的上、下顶点坐标分别为(0,),(0,)b b -，则2220002200049y b y b y b b x x x a -+-⋅==-=-，即2249b a =，解得3,2a b ==，半焦距c =12PF F △的面积12001|2|2||PF F S c y y =⨯⨯= ，而0(2,2)y ∈-且00y ≠，因此12(0,PF F S ∈ ，所以12PF F △的面积可能为2.故答案为：216【分析】在ACD 中由正弦定理求出ADC ∠，即可求出ACD ∠，再代入求出AB ，最后由ABD △为等腰直角三角形得解.【详解】由题可知，在ACD 中，由正弦定理得sin sin sin CD AD ACDAC ACD ADC==∠∠∠，即2πsin sin sin6AD ACD ADC ==∠∠，得2sin 2ADC ∠=，又AC CD >，由图可得ADC ∠为钝角，所以3π4ADC ∠=，所以π4ADB =∠，则πππ4612ACD ∠=-=，则π2sinππππππ124sin 4sin cos cos sin π464646sin 6AD ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AD AB ⊥，所以ABD △为等腰直角三角形，则AB AD ==．17．(1)0.04,0.03,0.02a b c ===(2)71.7，73(3)815【分析】（1）先求出c ,再利用面积和为1求出0.07a b +=，再结合等差数列求解a ，b ;（2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数；（3）由分层抽样确定[)60,70和[)80,90的人数，再利用列举法求解概率.【详解】（1）由已知可得2001000100.02c =÷÷=，则()0.0050.020.005101a b ++++⨯=，即0.07a b +=，又,,a b c 成等差数列，20.02b a ∴=+，解得0.04,0.03a b ==．（2）()()0.0050.04100.450.5,0.0050.040.03100.750.5+⨯=++⨯= ，设中位数为x ，且[)70,80x ∈，()()0.0050.0410700.030.5x ∴+⨯+-⨯=，解得71.7x ≈，即中位数为71.7;平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=;（3）由（1）知:2:1a c =，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在[)60,70内的有2643⨯=人，记为,,,A B C D ，参加课外兴趣班的时长在[)80,90内的有1623⨯=人，记为,x y ．从,,,,,x y A B C D 中随机抽取2人的所有基本事件有:()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,x y x A x B x C x D y A y B ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,y C y D A B A C A D B C B D C D ，共15种，其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的事件有:()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,x A x B x C x D y A y B y C y D ，共8种．所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的概率为815.18．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直，利用勾股定理求出线段长度，最后利用线段长度符合勾股定理证明线线垂直；（2）转换顶点，以B 为顶点，以DEF 为底面，从而13--==⨯⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC 即可得到体积.【详解】（1）连接AC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面,CDEF CD AD CD =⊥，AD ⊂面ABCD ，AD ∴⊥平面CDEF ，又DE ⊂平面CDEF ，则AD DE ⊥，ADE ∴V 是直角三角形，即AE =．在梯形CDEF 中，作EH CD ⊥于H ，则1,DH EH ==CE ==．又AC =222AC CE AE =+，AE CE ∴⊥．（2）BC CD ⊥ ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面CDEF CD =，BC ⊂面ABCD ，BC ∴⊥平面CDEF ．由（1）知11222DEF S EF EH =⨯⨯=⨯=△，11433--==⨯⨯=⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC .19．(1)21n a n =+(2)1011【分析】（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对1n =时进行检验，得到数列{}n a 是等差数列，从而写出通项公式；（2）根据n a 得到n b ，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和10T .【详解】（1）由题意知：2111322n n n S S a +++=-，即()21123n n n S S a +++=-，当2n ≥时，()2123n n n S S a -+=-，两式相减，可得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为0n a >，可得()122n n a a n +-=≥．又因为13a =，当1n =时，()212223S S a +=-，即2222150a a --=，解得25a =或23a =-（舍去），所以212a a -=（符合），从而12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+．（2）由题意得()()1112111(1)(1)(1)111n n n n n a n b n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，所以10123910T b b b b b =+++++ 111111111110112233491010111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以101011T =.20．(1)2p =【分析】（1）根据点P 在抛物线C 上符合抛物线的方程和抛物线的定义得到两个方程，联立可解得p ；（2）联立直线1l 方程与抛物线方程得到,A B 两点坐标关系，表示出直线,OA OB ，分别与直线2l 方程联立得到,M N 两点横坐标，再由距离公式表示出线段MN 长度，整理后转换成二次函数求最值问题，进而得到线段MN 长度的最小值.【详解】（1）因为点()4,P m 在C 上，所以162pm =，因为5PF =，所以由抛物线定义得52p PF m ==+，解得4,2m p ==或1,8m p ==（舍）．所以2p =．（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F ．若直线AB 的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，从而有21x x -==由2114x y =得直线OA 的方程1114y x y x x x ==，联立143260x y x x y ⎧=⎪⎨⎪--=⎩解得1126M x x =-，同理2126N x x =-．所以1126N M N M MN x x x =-=-=-=-322443k k==--令()430k t t -=≠，则43tk -=，所以5MN ==，当且仅当1425,254t t==即34k =-时等号成立，所以线段MN 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.21．(1)230x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）由导函数的两个零点得()()12121e e x x x x a +=++和()()21211e e x xx x a -=+-，得到21211e e x x x x a -+=-，转化为证明()212121e e 2e e x x x xx x +->-，换元21t x x =-，证明()()2e 20th t t t =-++>即可.【详解】（1）当1a =时，()()212e 1,2e 2x xf x x f x x =-+=-'，则()()03,02f f '==，则切线方程为32y x -=，因此曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为230x y -+=．（2）证明：函数()()121e ,,xf x a x x x =+-'是()y f x '=的两个零点，所以()()12121e ,1e x xx a x a =+=+，则有()()12121e e x x x x a +=++，且()()21211e e x xx x a -=+-，由12x x <，得21211e e x x x x a -+=-．要证122x x +>，只要证明()()121e e2x x a ++>，即证()212121e e 2e e x x x x x x +->-．记21t x x =-，则0,e 1t t >>，因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-，即()2e 20tt t -++>．记()()2e 2(0)t h t t t t =-++>，则()()1e 1th t t '=-+，令()()1e 1t t t ϕ=-+，则()e tt t ϕ'=，当0t >时，()e 0tt t ϕ'=>，所以函数()()1e 1tt t ϕ=-+在()0,∞+上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00h t h ''>=，则()h t 在()0,∞+上单调递增，()()00h t h ∴>=，即()2e 20tt t -++>成立.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得21211e e x x x x a -+=-，进而换元求解函数最值即可证明.22．(1)220x y +-=，22(2)9x y +-=【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直线l 的直角坐标方程，利用消参法可得曲线C 的普通方程；（2）求出直线l的参数方程515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），联立曲线C 的普通方程，可得根与系数的关系式，利用t 的几何意义，即可求得答案.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入cos 2sin 2ρθρθ+=，得220x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为220x y +-=；由曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数），化为3cos 23sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加得曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=；（2）由（1）可得点()0,1T 在直线l 上，由此可得直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），将其代入曲线C的普通方程中得280t -=，设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t，则12128t t t t +==-，所以12,t t 一正一负，所以12125TA TB t t t t -=-=+=.23．(1)125(2)证明见解析【分析】（1）结合已知等式，将114100c a b +-化为11944100a b a b ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得答案；（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】（1）因为,,a b c 均为正实数，9444a b c ++=，所以1111114944944100100100c a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+++-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1245≥=，当且仅当1914100a a b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即111,,3205a b c ===时等号成立．（2）证明：根据柯西不等式有()()22222229344(944)16a b ca b c ++++≥++=，所以22216941a b c ++≥．当且仅当3344a b c ==，即416,4141a b c ===时等号成立，即原命题得证.。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题文含解析

(2）若圆的半径为2，点，满足 ,求直线被圆截得弦长的最大值。
【答案】（1)
（2）
【解析】
【分析】
（1)根据题意先计算出点坐标,然后得到直线的方程,根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；(2）先计算斜率不存在时,被圆截得弦长，斜率存在时设为，与椭圆联立，得到和，代入到得到的关系，表示出直线被圆截得的弦长，代入的关系，从而得到弦长的最大值.
7.在中,角的对边分别为，若， ,则（ )
A。 1B。 2C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件利用正弦定理化简即可得到答案。
【详解】因为，由正弦定理,得，所以 ,
故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题。
8.在区间上随机取一个数x,则的值介于0到之间的概率为
∴ ,∴ 或，解得 ,∴实数的取值范围是，故选B。
11.已知过球面上三点， , 的截面到球心距离等于球半径的一半,且，，则球面面积为（）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积．
【详解】如图,设球的半径为R，O′是△ABC的外心,外接圆半径为r，
【解析】
【分析】
全称命题的否定为，对结论进行否定,即可得到结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题,
可得命题的否定是“ ”，
故选:C
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.
4。已知向量且，则
A。 1B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ,根据，列出关于的方程，即可求解．

2024学年成都市双流区高三下学期5月月考数学试题文试题

2024学年成都市双流区高三下学期5月月考数学试题文试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 2．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（） A ．211- B ．525- C ．25 D ．251-3．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（）A ．112πB ．512πC ．712πD ．11π124．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A ．22B ．23C ．4D ．266．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．1B ．43C ．3D ．4 7．2-31i i=+（） A ．15-22i B ．15--22i C ．15+22i D ．15-+22i 8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 10．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．11．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．复数1i i +=（）A ．2i -B ．12iC ．0D ．2i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷(4)

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷（4）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数()3sin ,f x xa x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -3．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．22D ．64．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 5．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．96．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-8．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,29．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-10．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（） A ．12B ．35C ．25D ．31011．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A B C ．52D ．512．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年云南省宣威市第十中学高三下学期期终学习质量调研测试数学试题

2024学年云南省宣威市第十中学高三下学期期终学习质量调研测试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（） A ．1i +B ．1i -+C ．12i -D ．12i +2．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC5．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．726．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（）A ．74B ．94C ．52D ．27．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±8．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．1109．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件10．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（） A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-11．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <12．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B 的面积为（）A ．22B ．23C ．42D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研数学试题(解析版)

武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷2023.4.111．已知集合一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2{|60}A x x x =--<，{|230}B x x =+>，则A B = （）A ．32,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,32⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫-⎪⎝⎭1．【答案】C【解析】(2,3)A =-，3,2B ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭，则3,32A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，选：C ． 2．若复数3i2i a ++是纯虚数，则实数a =（）A ．32-B ．32C ．23-D ．232．【答案】A【解析】3i (3i)(2i)23(6)i 2i 55a a a a ++-++-==+，则230a +=，有32a =-，选：A ． 3．已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．2425 B ．2425- C ．725 D ．725-3．【答案】D【解析】2227sin 2sin 2cos 22sin 16323325πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选：D ． 4．正六边形ABCDEF 中，用AC 和AE表示CD ，则CD = （）A ．2133AC AE -+B ．1233AC AE -+ C ．2233AC AE -+D ．1133AC AE -+4．【答案】B【解析】设AD CE O = ，设边长为2，有1OD =，3AO =，则1112()()2633CD CO OD CA AE AC AE AC AE =+=+++=-+，选：B ．AB CDEFO5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则10a =（） A ．55B ．49C ．43D ．375．【答案】A【解析】65n a n =-，有1055a =，选：A ．6．设抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为120︒，则PF = （）A ．3B ．6C ．9D ．126．【答案】B【解析】依题意3QFH π∠=，3HF =，QH =，6QF =，又PF QP =，3PQF π∠=，则PQF△为等边三角形，有6PF =，选：B ．7a b ==，使得b a 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A．B．C ．存在无理数a ，b ，使得ba 为有理数 D ．对任意无理数a ，b ，都有ba 为无理数7．【答案】C【解析】若a b ==，使得b a 为有理数，此时选项C 是正确的；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数，此时选项C 也是正确的；综上可知，C 正确．8．已知直线y kx t =+与函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为1k 和2k ，且12k k >，则（）A ．1273k k > B ．125733k k << C ．127553k k << D ．1275k k < 8．【答案】B【解析】考虑sin y x =的情况，设1k 对应切点为11,si (n )x x ，11,si ()n x x ''，11x x <'，设2k 对应切点为22,si (n )x x ，22,si ()n x x ''，22x x <'．则由题意可得11cos cos x x '=，22cos cos x x '=．所以1x 与1x '，2x 与2x '关于直线x k π=对称，只考虑112x x π'+=，224x x π'+=的情况，则1111112sin sin cos 22x x k x x x ππ=-=-=--，2222222sin sin cos 422x x k x x x ππ=-=-=--，其中2102x x π-<<<，所以112221sin 2sin k x x k x x ππ-=⋅-，其中有111sin ()cos x x x π=-，222sin (2)cos x x x π=-，12sin (0,1)sin x x ∈，易得13x π<-（通过构造()tan x x x ϕπ=-+得到），由1212sin sin x x x x ππ>--，可得1122sin sin x x x x ππ->-，则112222122sin 2252sin 32k x x x k x x x ππππππππ+--=⋅>>=--+，则下列结论中正确的是（）A ．招商引资后，工资性收入较前一年增加B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 9．【答案】AD【解析】设招商引资前的总收入为a ，则招商引资后的总收入为2a ，选项A ，招商引资前的工资性收入为0.6a ，招商引资后的工资性收入为20.370.74a a ⨯=，所以招商引资后，工资性收入较前一年增加，A 正确；选项B ，招商引资前的转移净收入为0.04a ，招商引资后的转移净收入为20.050.1a a ⨯=，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，B 错误；招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占该年经济收入的33%，所以C 错误招商引资后，经营净收入由0.3a 增加到0.6a ，较前一年增加了一倍，D 正确．10．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点在圆225440x y x y +--+=上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A ．12B ．14C D 10．【答案】BCD【解析】22525(2)24x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，上顶点(0,2)，焦点(1,0)或(4,0)，则e =(1,0)，右顶点(4,0)，则14e =，选：BCD ．11．函数2(1)e xy kx =+的图象可能是（）11．【答案】ABC【解析】2()(1)e x f x kx =+，有2()(21)e x f x kx kx '=++，①当0k =时，为图象A ；当0k ≠时，设2(1)2g kx x x k +=+，则对称轴为1x =-，244k k ∆=-；②当0k >时，若2440k k ∆=->，即1k >时，()f x 有两个极值点12,x x ，且122x x +=-，1210x x k=>，所以12,0x x <，()f x 在1(,)x -∞上递增，在12(,)x x 上递减，在2(,)x +∞上递增，显然C 对，D 错；③当0k <时，二次函数()g x 过点(0,1)且开口向下，有两个零点10x <，20x >，()f x 在1(,)x -∞上递减，在12(,)x x 上递增，在2(,)x +∞上递减，B 正确．12．三棱锥P ABC -中，AB =，1BC =，AB BC ⊥，直线PA 与平面ABC 所成的角为30︒，直线PB 与平面ABC 所成的角为60︒，则下列说法中正确的有（）A ．三棱锥P ABC -B ．三棱锥P ABC - C ．直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P BC A --的平面角为锐角D ．直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P AB C --的平面角为钝角 12．【答案】ACD 【解析】作PH ⊥平面ABC ，则tan 603tan 30AH BH =︒︒=．设(,)H x y，A ，(B，(C ，则由3AH BH =，可得222222229(]9[(208x y x y x y x x y ⎛-++⇒+++=⇒+= ⎝⎭=．表示圆心为M ⎛⎫⎪⎝⎭BH ∈⎣，PH =，所以PH ∈⎣，则max 13V ==，min 13V ==A 正确，B 错误．直线PC 与平面ABC 所成的角为PCH ∠，tan PH PCH CH ∠==，所以要使PCH ∠最小，即BH CH最小，由221BH CH ==+，当BHCH最小时，0y <，有H 在ABC △外部，如图，此时，二面角P BC A --为锐角，P AB C --为钝角，D 正确．选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．6(1)(21)x x -+的展开式中含2x 项的系数为______． 13．【答案】48-【解析】4252266C (2)C (2)(1260)48x x x x x ⋅+⋅=-=-，系数为48-．14．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______． 14．【答案】56【解析】设棱长为2，则3112028323V '=-⨯⨯=，所以205246V V '==． 15．直线1:2l y x =和2:1l y kx =+与x 轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k 的两个可能取值：______和______．（写对一个得3分，写对两个得5分） 15．【答案】2-，43-【解析】设直线1l 的倾斜角为α，设直线2l 的倾斜角为β，则tan 2α=，tan k β=，如图1，若OA AB =，则βπα=-，所以tan tan()tan 2k βπαα==-=-=-，如图2，若OB AB =，则2βα=，所以22tan 4tan tan 21tan 3k αβαα====--；如图3，若OA OB =，则2()2αππββπ=--=-，222tan 2tan tan 221tan 1kkβαββ====--， 210k k ∴++=，解得k =或k =（舍去）．如图4，若OA OB =，则2αβ=，222tan 2tan tan 221tan 1kk βαββ====--，210k k ∴++=，解得k =（舍去）或k =．综上，满足条件的k 的值可能为：－2，43-l 1l 2l 1l 2l 1l2l 1l 2图1图2图3图4A BAB16．在同一平面直角坐标系中，P ，Q 分别是函数()e ln()xf x ax ax =-和2ln(1)()x g x x-=图象上的动点，若对任意0a >，有PQ m ≥恒成立，则实数m 的最大值为______．16．【解析】ln()()e ln()e ln()x ax x f x ax ax ax +=-=-，由经典不等式e 1tt +≥，可得()ln()1ln()1f x ax x ax x ++-=+≥，当且仅当1ax =，即1x a=时，等号成立．2ln(1)()x g x x -=，222ln(1)1()xx x g x x---'=，令()1g x '=，得2x =，又(2)0g =，所以函数()g x 在点(2,0)处的切线方程为2y x =-，且()g x 的图象在2y x =-的下方，所以PQ 的最小值即为直线1y x =+与直线2y x =-之间的距离，故min PQ ==，即m．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，有(1)n n S n a n =+-．（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若当且仅当7n =时，n S 取得最大值，求1a 的取值范围． 17．【解析】（1）因为(1)n n S na n n =+- ①，则当2n ≥时，11(1)(1)(2)n n S n a n n --=-+-- ②-①②可得111(1)22(1)(1)2(1)2(2)n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=--+-⇔-=--+-⇔=-≥，故{}n a 为等差数列．··································································································5分（2）若当且仅当7n =时，n S 取得最大值，则有767117881012012140140S S a a a S S a a ⎧⎧>>->⎧⎪⎪⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨><-<⎪⎩⎪⎩⎩，故1a 的取值范围为(12,14)．························································································10分18．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有2sin 6b cB aπ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）若BC边上的高h =，求cos cos B C ． 18．【解析】（1）由正弦定理得：sin sin 2sin 6sin B C B A π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos )sin sin sin cos sin cos B B A B A B B A +=++，sin sin cos sin A B B A B =+，又sin 0B ≠1cos A A =+，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,)A π∈，所以3A π=．························································6分（2）由11sin 22ABC S ah bc A ==△2a =，所以22a bc =，又由正弦定理得：2sin 2sin sin A B C =，则3sin sin 8B C =，又1cos cos()sin sin cos cos 2A B C B C B C =-+=-=，则1cos cos 8B C =-．···················12分19．（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点．将AEF △沿EF 翻折至1A EF △，得到四棱锥1A EFCB -，P 为1AC 的中点．F A 1BCFEA（1）证明：//FP 平面1A BE ；（2）若平面1A EF ⊥平面EFCB ，求直线1A F 与平面BFP 所成的角的正弦值． 19．【解析】（1）取1A B 的中点Q ，连接PQ ，EQ ，则有//PQ BC ，且12PQ BC =，同理//EF BC ，且12EF BC =，故//PQ EF ，且PQ EF =，则四边形PQEF 为平行四边形，所以//FP EQ ，又EQ ⊂平面1A BE ，FP ⊄平面1A BE ，所以//FP 平面1A BE ．··················································6分（2）取EF 中点O ，BC 中点G ，由平面1A EF ⊥平面EFCB ，且交线为EF ，故1AO ⊥平面EFCB ．此时，1OA ，OE ，OG 两两垂直，以O 为原点，OE ，OG ，1OA 分别为x 轴、y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B，1A ，(1,0,0)F -，(C -，1AC中点P ⎛-⎭，FP ⎛= ⎝⎭，FB =．设平面BFP 的法向量(,,)n x y z = ，由00n FP n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得030y z x +=⎪=⎩，取(1,n = ．又1(1,0,A F =- ，故所求角的正弦值为11n A F n A F⋅==⋅ ．所以直线1A F 与平面BFP ．························································12分 20．（12分）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为12，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为12．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．（1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；（2）若甲抛掷(1)n +次，乙抛掷n 次，*n ∈N ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．20．【解析】（1）甲乙正面朝上次数相等的概率为：222201233333333311115C C C C 222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由对称性，甲正面朝上次数大于乙和小于乙的概率相等．故甲正面朝上次数大于乙的概率为1511121632⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭．······················································6分（2）设甲正面朝上次数大于乙为事件A ．方法一：设甲乙均抛掷n 次时，两人正面朝上次数相等的概率为p ．若此时甲正面朝上次数小于乙，则事件A 不会发生；若此时甲正面朝上次数等于乙，则甲第(1)n +次抛掷结果为正面朝上才会有事件A 发生；若此时甲正面朝上次数大于乙，则无论甲第(1)n +次抛掷结果如何，都有事件A 发生，由对称性此时甲正面朝上次数大于乙和小于乙的概率相等，均为1(1)2p -．所以111()(1)1222P A p p =⋅+-⋅=．············································································12分方法二：设甲正面朝上次数为X ，乙正面朝上次数为Y ．F因为A X Y =>“”，所以A 表示甲正面朝上次数不大于乙．有11A X Y X Y n X n Y ==-<=+->-“”“”“”≤．此时A 也表示甲反面朝上次数大于乙．根据对称性，甲正面朝上次数大于乙的概率和甲反面朝上次数大于乙的概率相等．故()(P A P A =，由()(1P A P A +=，得1()2P A =．·····················································12分 21．（12分）过点(4,2)的动直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>交于M ，N 两点，当l 与x轴平行时，MN =l 与y轴平行时，MN =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）点P 是直线1y x =+上一定点，设直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．21．【解析】（1）根据双曲线的对称性，双曲线E过点(2)±和(4,±．所以222284116121a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2244a b ⎧=⎨=⎩．故双曲线E 的标准方程为22144x y -=．·······················4分（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(4)2y k x =-+，与双曲线方程联立，得2222(1)(84)161680k x k k x k k ---+-+=．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，有2122841k k x x k -+=-，2122161681k k x x k -+=-．设(,1)P t t +．则1212121212(1)(1)(41)(41)()()()()y t y t kx k t kx k t k k x t x t x t x t ------+--+==---- 22121221212(41)()(41)()k x x k k t x x k t x x t x x t-+-+++-=-++ 22222222216168(41)(84)(41)116168(84)1()()()k k k k k t k k k t k k k t k k t k -+-+--++--=-+--+-222222(211)8(1)(1)(4)4(4)(8)t t k t k t t k t k t +-----=-+---．当4t =时，不满足12k k 为定值．当4t ≠时，若12k k 为定值，则22222118(1)(1)(4)4(4)(8)t t t t t t t +-----==----，解得3t =，此时124k k =．经检验，当直线l 斜率不存在时，对(3,4)P ，也满足124k k =．所以点P 坐标为(3,4)．······························································································12分22．（12分）已知函数()ln kf x x x x=-，其中0k >．（1）证明：()f x 恒有唯一零点；（2）记（1）中的零点为0x ，当e02k <<时，证明：()f x 图象上存在关于点0(,0)x 对称的两点． 22．【解析】（1）令()0f x =，得2ln k x x =．由0k >得：1x >．又函数2ln y x x =是(1,)+∞上的增函数，且值域为(0,)+∞．故对任意0k >，在(1,)+∞上恒存在唯一0x ，使得200ln k x x =．所以函数()f x 恒有唯一零点．·····················································································4分（2）当e 2k =时，0x =，故e02k <<时，01x <<．由题意，要求存在0(0,)t x ∈，使得00()()0f x t f x t ++-=．令000()()()(0)F t f x t f x t t x =++-<<，下面证明()F t 在0(0,)t x ∈有零点：00()()()F t f x t f x t '''=+--，记()()G t F t '=，()()g x f x '=． 00()()()G t g x t g x t =+--，00()()()G t g x t g x t '''=++-．2()1ln k f x x x '=++，233122()k x kg x x x x-'=-=．当0x <<时，()0g x '<；当x >时，()0g x '>．由e 02k <<时，01x <<，222200000022ln 12(0)ln x k x x x x x -=-=->．故0x >当00t x <<-时，00x t x t +>->0()0g x t '+>，0()0g x t '->．此时()0G t '>，有()F t '在00,(x -单调递增，故00t x <<-时，00()(0)()()0F t F f x f x ''''>=-=．故()F t 在00,(x 单调递增，00((0)2()0F x F f x >==．又0x →时，()f x →-∞，故0t x →时，()F t →-∞．故()F t 在00()t x x ∈有零点，即()F t 在0(0,)t x ∈有零点，问题得证．······················12分。

浙江省越崎中学2024届高三下学期期末调研测试数学试题文试题

浙江省越崎中学2024届高三下学期期末调研测试数学试题文试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（） A ．23B ．25C ．28D ．292．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（） A ．20B ．50C ．40D ．604．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433x f x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．3C ．3-D ．25．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（） A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种7．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（） A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-9．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（） A ．4B ．5C ．6D ．710．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -11．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．112．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省庆阳市宁县第二中学2024学年高三下学期期末调研测试数学试题文试卷

甘肃省庆阳市宁县第二中学2024学年高三下学期期末调研测试数学试题文试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（） A ．8B ．12C ．14D ．102．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．23B ．1C ．43D ．833． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．85．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（）A ．4B ．289 C ．329D ．3277．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥8．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 9． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 10．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1911．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-12．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（）A ．max3a c-=B ．max3a c+=C ．min3a c-= D ．min3a c+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省高考数学模拟试卷(四)文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2016年某某省高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．22．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．185．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．20167．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值X围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2016年某某省高考数学模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1﹣z）i，可得z=，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1﹣z）i，∴z====i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．2．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或 x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的X围，根据对数的运算性质得到b，c的X围，比较即可．【解答】解： ==＞2，＜0，0＜＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．2016【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2016，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得cosθ，进而可得θ【解答】解：设与的夹角为θ，∵，，，∴=||||cosθ=1×2×cosθ=，∴cosθ=﹣，∴θ=故选：D【点评】本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x2﹣4x=0，解得x=0或x=4，则AB=4﹣0=4，半径R=2，∵CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象；再把所得图象象左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得 x=﹣，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为 x=﹣，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为 2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣e﹣x，则f′（0）=﹣1，则切线方程为y﹣2=﹣x，即y=﹣x+2，切线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则= 9 ．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解出a3，分别可得q2，而=q4，代入可得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解得a3=2，或a3=﹣2，当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）∴=q4=32=9故答案为：9【点评】本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为 1 ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍）．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值X围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x≤0时，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的X围，综合可得结论．【解答】解：由于函数，且|f（x）|≥ax，①当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，不等式即log2（x+1）≥ax，则此时应有a≤0．②当x≤0时，由于﹣x2+2x 的取值为（﹣∞，0]，故不等式即|f（x）|=x2﹣2x≥ax．若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．若x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合X围可求B，由sinB=cosA及A的X围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；数形结合；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值X围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得： cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2025届高三数学天一大联考阶段性测试试题四文

2025届高三数学天一大联考阶段性测试试题（四）文考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ＝{x|log 2x<0}，N ＝{x|x ≥－1}，则M ∪N ＝A.{x|－1≤x<1}B.{x|x ≥－1}C.{x|x<1}D.{x|0≤x<1}2.若复数z 满意i ·z ＝1－i ，则|z|＝23.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A.y ＝±2x C.y ＝±3x D.y x5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何?”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子(大小忽视不计)，则豆子落在其内切圆外的概率是 A.310π B.320π C.3110π- D.3120π- 6.函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移6π个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的一个可能取值是 A.12 B.32C.3D.67.若向量a ，b 满意|a|＝1，|b|＝2，|2a ＋b|＝23，则a 与b 的夹角为 A.4π B.2π C.6π D.3π 8.已知正实数a ，b ，c 满意(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b9.函数f(x)＝333x xx --+的图象大致是10.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(1＋a n )2(n ∈N *)，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝A.24B.48C.64D.72 11.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2相切，若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|＝2312.已知正数x ，y 满意(x －2y)(x －y)≤0，则P ＝222x y xy+的取值范围是 2，＋∞) B.(0，32] C.[1，322，32] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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高三数学（文科）综合测试卷（四）
班级______ 姓名____________
1．已知集合S ＝{1,2}，集合T ＝{a }，∅表示空集，如果S ∪T ＝S ，那么a 的值是( )
A ．∅
B ．1
C ．2
D ．1或2
2．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为( )
A.
ma n
B ．
na m
C ．
ma 2n
D ．
na 2m
3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )
A ．2
B ．3
C ．12
D ．1
3
4．已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是( )
A.π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π
6
5．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2 的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于( )
A.4π3 B ．8π3 C ．16π3 D ．32π3
6．已知常数a ，b ，c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )
A ．－8122
B ．1
3
C ．2
D ．5
7．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，如果|z |＋z ＝8－4i ，那么z 等于( )
A ．－3－4i
B ．－3＋4i
C ．4＋3i
D ．3＋4i
8．已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线y 2＝8x 的焦点，经过点M (1，－2)的直线l 将⊙
P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为( )
A ．x ＋2y ＋3＝0
B ．x －2y －5＝0
C ．2x ＋y ＝0
D ．2x －y －5＝0
9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( )
A.15n 3－25n ＋6
5 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2 D ．2n 2－5n ＋4 10．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则
f x 2－f x 1
x 2－x 1
＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34
，4f (log 1
8x )＞3，那么x 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，2 11．已知函数①f (x )＝x 2；②f (x )＝e x ；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝cos x ．其中对于f (x )定义域内的任意一个x 1都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)＝1成立的函数是( )
A ．①
B ．②
C ．②③
D ．③④
12．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n ＋T ＝a n 成立，则称数列{a n }
为周期数列，周期为T .已知数列{a n }满足a 1＝m (m ＞0)，a n ＋1
＝⎩⎪⎨⎪⎧
a n －1，a n ＞1，
1
a n
，0＜a n ≤1，则下
列结论中错误的是( )
A ．若m ＝4
5，则a 5＝3 B ．若a 3＝2，则m 可以取3个不同的值
C ．若m ＝
2，则数列{a n }是周期为3的数列
D ．∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列 13．如果执行右上图程序框图，那么输出的S ＝________.
14．一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人数情况见右表：那么x ＝________.
环数(环) 8 9 人数(人)
7
8
15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，
若a 2＝b 2＋c 2－bc ，c b ＝1
2
＋
3，则tan B 的值等于________．
16．已知F 1，F 2是双曲线x 2
a
2－y 2＝1的两个焦点，点P 在此双曲线上，PF 1→·PF 2→
＝0，如果
点P 到x 轴的距离等于
55
，那么该双曲线的离心率等于________．
17．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =．（1）求角
C 的大小；
（2）求3sin cos()4
A B π
-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.
23．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋5cos θ，
y ＝5sin θ
(θ是
参数)，P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程．
18．某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，……，第八组[265,275)．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)从这2 000名学生中，任取1人，求这个人的分数在255～265之间的概率约是多少？ (2)求这2 000名学生的平均分数；
(3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？
19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点
E、F分别为棱PC，CD的中点．
(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．
20．已知f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数F (x )＝f (x )－x 2＋3x ＋a
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，2上只有一个零点，求实数a 的取值范围．
21．过椭圆Γ：x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，F 1为其左焦点，
已知△AF 1B 的周长为8，椭圆的离心率为3
2
. (1)求椭圆Γ的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ，Q ，且OP →
⊥OQ →
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．。