勾股定理(含几何画板)
勾股定理数学优秀ppt课件
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
几何画板中的勾股定理
几何画板中的勾股定理
勾股定理是数学中非常经典的定理，在几何画板上也有很好的应用。
通过几何画板可以直观地感受勾股定理的几何意义。
我们可以使用几何画板来构造勾股定理中的三角形。
首先，我们需要在画板上画一个直角三角形，即有一个角是90度的三角形。
然后，我们可以将这个直角三角形分成两个部分，一个是以直角为顶点的小三角形，另一个是以直角边为底边的大三角形。
我们可以将大三角形的底边和直角边分别标记为a和b，斜边标记为c。
根据勾股定理，a + b = c。
我们可以使用画板中的直线工具来测量a和b的长度，并使用勾股定理计算出斜边c的长度。
然后，我们可以使用画板中的角度工具来测量三角形中的角度，并确认其中一个角度是90度。
如果在画板中测量的结果与勾股定理中的结果一致，那么我们就成功地验证了勾股定理。
除了验证勾股定理外，几何画板还可以帮助我们探索勾股定理的一些性质。
例如，我们可以将直角三角形旋转90度，得到一个新的三角形，它也是直角三角形。
这个新的三角形的斜边长度和原来的三角形一样，但是它的底边和直角边交换了位置。
根据勾股定理，它们的长度关系仍然成立。
这个简单的旋转操作就展示了勾股定理的对称性。
总之，几何画板是一个非常有用的工具，它可以帮助我们更好地理解和应用勾股定理。
通过用画板构造和验证勾股定理，我们可以更加深入地了解几何学中的基本定理和概念。
几何画板课件美丽的勾股树
02
几何画板工具介绍
几何画板功能概述
几何画板是一款专业的几何绘图 工具，适用于教学、科研等领域。
它提供了丰富的几何图形绘制功 能，包括点、线、圆、多边形等 基本图形，以及变换、测量、动
画等高级功能。
几何画板还支持自定义函数和脚 本，可以实现更复杂的几何图形
绘制和动态演示。
绘制勾股树所需工具与技巧
长度比例调整带来不同视觉效果
01
02
03
边长比例变化
通过调整三角形边长比例， 观察勾股树整体形态和视 觉效果的改变。
缩放比例的应用
将基本图形进行缩放处理， 探索大小不同的勾股树组 合在一起时的视觉效果。
黄金分割与美感
尝试将黄金分割比例应用 于勾股树的长度比例调整 中，提升整体美感。
创意组合：将多个基本型组合成复杂图案
特点
勾股树的每个节点都是一个直角三角形， 且直角三角形的两条直角边分别与相邻 的两个直角三角形的一条直角边重合， 形成层层嵌套的视觉效果。
勾股树在数学中地位
勾股定理应用
勾股树作为勾股定理的直观体现， 有助于理解和应用勾股定理，加深 对数学原理的认识。
数学美学
勾股树以其独特的几何形态和数学 内涵，展示了数学与美学的完美结 合，对于培养学生的数学兴趣和审 美能力具有积极意义。
美观和易于区分。
04
变换与拓展：多样化勾股 树形态探索
角度变换对形态影响分析
直角三角形内角变化
通过调整直角三角形内角大小，观察勾股树形态的变化规律。
旋转角度的影响
将基本图形进行不同角度的旋转，探索勾股树在不同方向上的生 长形态。
对称性与角度关系
利用对称性原理，分析角度变换对勾股树左右对称或中心对称的 影响。
几何画板课件：如何绘制勾股树精编版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯几何画板课件：怎样绘制勾股树漂亮巧妙的勾股树，又称毕达哥拉斯树，是由毕达哥拉斯依据勾股定理所画出来的一个能够无穷重复的图形，由于重复数次后的形状恰似一棵树而得名。
下边将解说利用几何画板绘制勾股树的制作方法。
几何画板制作勾股树的详细的步骤以下：1、用旋转的方法画正方形ABCD（1）绘制出线段 AB。
（2）双击点 A，把点 A 标志为旋转中心。
选中点 B，选择“变换”—“旋转”命令，将点 B 旋转 90 度，获得点 D 。
（3）双击点 D，把点 D 标志为旋转中心。
选中点 A，选择“变换”—“旋转”命令，将点 A 旋转－ 90 度，获得点 C。
（4）绘制出线段 AD 、 DC 、BC。
在几何画板顶用旋转的方法画正方形ABCD 示例2、结构 DC 的中点 E，并以点 E 为圆心， EC 为半径结构圆（ 1）选中线段 DC，选择“结构”—“中点”命令，绘制出DC 的中点 E。
（ 2）挨次选中点 E 和点 C，选择“结构”—“以圆心和圆周上点绘圆”命令。
结构 DC 的中点 E 并结构圆 E3、结构圆弧 CD，并在弧 CD 上取点 F（1）选中点 C、D 和圆 E，选择“结构”—“圆上的弧”命令。
（2）保持弧的选中状态，选择“结构”—“弧上的点”命令，随意绘制出点F。
结构圆弧 CD ，并在弧 CD 上取点 F4、建立勾股树动画按钮（1）选择点 F，单击“编写”—“操作类按钮”—“动画”，翻开“操作类按钮动画点的属性” 对话框，选择“动画” 选项卡，将“方向” 设为“双向” ；“速度”设为“慢速”。
（2）再选择“标签” 选项卡，在标签栏输入“勾股数动画按钮”，单击“确立”。
（3）把按钮的地点调整，以下列图所示。
建立勾股树动画按钮并调整到相应地点5、隐蔽部分对象隐蔽圆 E、圆弧 CD、点 E，以下列图所示。
隐蔽圆 E、圆弧 CD 、点 E6、胸怀出 FD 的长度，结构出正方形的内部（1）选择动点 F 和定点 D ，单击“胸怀”——“距离”，测出距离 FD；（2）选择点 A、B、C、 D，单击“结构”—“四边形内部”。
勾股定理(含几何画板)教学内容
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们 用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受 到了数学文化辉煌历史的教育。
作业布置
1、第45页：1 第47页：1、2、3
2、预习。
谢谢
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
毕达哥拉斯（公元 前572~前492）， 古希腊著名的哲学 家、数学家、天文 学家。
我们也来观察上图中的 地面，看看有什么发现？
毕达哥拉斯
C A
B
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
（1）观察图1-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 个单位面积。 正方形C的面积是
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证 法称为“总统”证法。
勾股定理(含几何画板)
这是一个会标， 同学们认识这是什么大会的会标吗？
这个图案是我国 汉代数学家赵爽 在证明勾股定理 时用到的，被称 为“赵爽弦图”
2002年国际数学家大会会标
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
用赵爽弦图证明
设图中直角三角形的两条直角边分别 为a、b，斜边为c，那么图中大正方 形的面积应该如何计算呢？学生会由 正方形的面积公式得出大正方形的面 积,也会从拼图活动中受到启发，将大 正方形分割为四个全等的直角三角形 与一个正方形。
勾股定理(含几何画板)
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证 法称为“总统”证法。
2002年国际数学家大会会标
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
毕达哥拉斯（公元 前572~前492）， 古希腊著名的哲学 家、数学家、天文 学家。
我们也来观察上图中的 地面，看看有什么发现？
毕达哥拉斯
C A
B
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
∟
b ac
1
1
1
(a + b)(b + a) = c2+ 2( ab)
2
2
21Biblioteka a2+ ab
+
1
b2
=
1
c2
+
ab
2
22
a2 + b2 = c2
c
b
∟
a
勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元 前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的 直角边叫做勾,较长的边叫做股,斜边叫做弦. “勾三股四弦 五”的意思是,在直角三角形中, 如果勾为3,股为4,那么弦 为5. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉 (Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希腊杰出的数学家, 天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求证明方法.
勾股定理ppt课件
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
初中数学_探索勾股定理教学课件设计
以两直角边为边的正方形面积和等于以斜边为边的 正方形的面积
225 ?
81
图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等 于最大的正方形的面积
继续生长 美丽的勾股树
回顾反思，交流体会 一个数学思想
特殊到一般
一种求面积方法
分割求和，补形作差
一个重要定理
勾股定理
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方
义务教育教科书（五·四学制） 数学 七年级 上册
第三章 勾股定理（第1课时）
《探索勾股定理》
几何画板图片ppt版
数学情景，引入新课
同学们，你能用你身边的素材来说明为什么无法求出AB的长吗？
网格探究，形成结论
探 索 1构造正方形 来自段CD构造正方形网格探究，形成结论
探 索 2
构造正方形 补形 分割
让问题更具有一般化，把网格去掉，三角形的三条 边分别为a,b,c,这时你还能求出斜边c吗？
探 索 2
隐藏网格
一般化 构造正方形 补形 分割
(a b)2 1 ab 4 c2得出a2 b2 c2 2
应用新知，解决问题
1.求出下列直角三角形中未知边的长度
2.求斜边长17，一条直角边长15的直角三角形的面积
如何利用几何画板制作动态的变色的“勾股树”？
如何利用几何画板制作动态的变色的“勾股树”？勾股定理是数学中的明珠，利用勾股定理的原理在几何画板中可以制作许多美丽奇妙的几何图案，下面我就在几何画板中借助其动画和迭代功能来制作动态的、变色的的“勾股树”图案，简单谈谈其操作步骤： 1.首先画一个正方形ABCD （见图1） ,利用旋转、平移或者作垂线截取的办法制作均可.2.构造线段AD 的中点，点选此中点和点D （或者点A ）构造一圆.（见图2）3.依次选定圆、点D 和点A 构造半圆AD .（见图3）4.构造半圆AD 上的一点M ,然后隐藏圆、线段AD 的中点和半圆AD .（见图4）5.选择点M ，单击“编辑”菜单 → 操作类按钮 → 动画 → 打开“操作类按钮动画 → 点的属性”对话框 → 选择“动画”选项卡 → 将“方向”设为“双向”（下拉菜单中有“单向”、“双向”等多个项目）→ “速度”我这里设置为“其它-1.2秒”（拉菜单中有“慢速”、“中速”、快速和“其它”等项目。
“其它”便是自定义动画间隔时间）；再选择“标签”选项卡，在标签栏输入“动态·变色”（名称随便取）→ 单击“确定”.（见图5）D AB C M 图4D A B C 图3D A B C 图2D A BC 图1图56.选择动点M 和定点A ，单击“度量”菜单 → 距离 → 测出距离.MA 436=厘米（M A = 4.36厘米）；选定A B C D 、、、 → 单击“”构造]菜单 → 四边形内部，从而构造出正方形的内部。
起始颜色随便定.（见图6）7.选定“.MA 436=厘米、正方形内部”→ 单击“显示”菜单 → 颜色 → 参数 → 打开 → 颜色参数对话框（可以改变设置）→ 单击“确定”按钮.（图7）8.新建参数：单击“数据”菜单 → 新建参数 →在“名称”框中输入“树枝” （也就是“参数”，名称随便定，不定名称也行.） …… → 单击“确定”（见图9） .则画板上有一个“树枝”的参数按钮.（树枝 = 1.00）9.选定“树枝”的参数按钮.（树枝= 1.00）→ 右键“属性”→打开新建参数对话框 → 可以在“数值” 的对话框中可以去掉“编辑框”前面的勾，来去掉框（树枝 = 1.00）→ 设置好新建动画、键盘调节等数据.（这里的“键盘调节”设置的是整数“1单位”，也就是利用“+，-”可以一个一个单位的增减.）→ 单击“确定”，新建一个“参数按钮”.（见图9）10.迭代（关键步骤）：第一步.依次选择点C B 、 、 “树枝”的参数按钮.（树枝 = 1.00）”按钮 +后按住Shift 键不放 ，同时单击“变换菜单 → 深度迭代 → 打开“迭代”对D A B C M 图7D A B C M 图6图9图8话框 → 依次单击图10中的点D M 、后，则原象到初象对应的点D M 、便自动“生成”到框里；地二步.单击“结构”按钮 → 在下拉菜单中单击“添加新的映射” → 依次单击图11中的点M A 、 → 初象对应的点D A 、便自动“生成”到映像2的框里 → 单击“迭代”按钮. 这一步骤比较关键！11.选定“树枝”的参数按钮.（树枝= 1.00）+ 按住Shift 键不放 + 按键盘上的“+”号按钮 → 数字增加，且“树枝”数自动增加；形成美丽的“勾股树” .当然选定“树枝”的参数按钮.（树枝 = 1.00），直接按键盘的“- ”号，则“树枝”则会减少.(见图12 – 图16)12.单击“勾股树”动画按钮（前面设置的“动态·变色”按钮）就可以看到运动的勾股树，将动态的呈现不同的姿态和颜色，十分美丽！ 特别要说明的是还可以手动调节“勾股树”的姿态和颜色，直接选定动画点M ,箭头横向时向左、向右拉动即可. (见图12 – 图16)图10图11郑宗平 201712.3图13图12。
勾股定理
C
议 一 议
从面积看：三个正方形A， B，C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积．
从直角三角形的三边来看：
直角三角形斜边的 平方等于两直角边 的平方和.
结 论 a c
b
a b c
2 2
2
命题1（勾股定理）： 如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
拼图法2：
用纸剪两个全等的矩形，你能用裁 剪的方法把它拼成弦图的样子吗？
b
c
c
a b
a
b
c
c a
a
b
c b
a
C
c
b
a
c
a b
b-a
c
b a
赵爽弦图的证法：
看左边的图案，这个图案是 公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出：四个全等的直角三角 形（红色）可以如图围成一个大 正方形，中间的部分是一个小正 方形 （黄色）．赵爽弦图证明
C A 4 x A B 5 10
C
x
B
6
问题2 （1）一个门框的 尺寸如图所示． ①若有一块长3米， 宽0.8米的薄木板， 问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米， 宽2.2米呢？为什么？
（2）如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖 直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米． ①求梯子的底端B距墙角 O多少米？ ②如果梯的顶端A沿墙下 滑0.5米至C，请同学们猜 一猜，底端也将滑动0.5 米吗？算一算，底端滑动 的距离近似值（结果保留 两位小数）．
勾股定理的应用课件(共26张PPT)
OB ________2_.7__5___1_._6_5_8_____.
C
在Rt△COD中， OD2 _C__D_2___O_C__2___3_2 __2_2___5___,
OD ________5_____2__.2__3_6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .
(2)、(3)两题结果精确到0.1
ac
b
C
a2 b2 c2
A
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
勾股定理的应用
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角
边a、b的平方和等于斜
B
边c的平方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
知识回忆 ：☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 3.5 ;
C
:BC
:AB=
1:1:√2 . 若AB=8则AC= 4 2 .
又若CD⊥AB于D,则CD= 4√2 .
B
D
几何画板课件美丽的勾股树
几何画板在勾股树绘 制中的应用
勾股树的构造方法和 性质
学习心得分享
通过实践操作，深入理解了勾股 定理及其逆定理
学会了利用几何画板绘制勾股树 ，提高了动手实践能力
在小组合作中，学会了与他人协 作、沟通和分享经验
对未来学习的展望
深入学习更多与勾股定理相关的 知识，如勾股数组、费马大定理
等
探索几何画板在数学教学中的更 多应用，如动态演示、交互式教
数学文数学文化的交融
勾股定理作为数学史上的重要定理，具有 悠久的历史渊源和丰富的文化内涵。
勾股树作为勾股定理的可视化表达形式， 既体现了中国传统数学文化的特点，也吸 收了西方数学文化的精髓。
数学与艺术的跨界融合
对现代数学教育的启示
勾股树不仅具有数学价值，还具有艺术价 值，是数学与艺术跨界融合的典范。
结合黄金分割比例构造的勾股树，展示数学 与美学的完美结合。
美学角度分析
01
02
03
对称美
勾股树在结构上具有对称 性，这种对称美在数学和 艺术中都有广泛应用。
简洁美
勾股树的构造简单明了， 通过基本的几何图形展示 了复杂的数学原理，体现 了数学的简洁美。
和谐美
勾股树的各个部分之间比 例协调，整体呈现出和谐 美感。
第三步
以点A为圆心，线段AB为半径，绘制一个 圆。然后在圆上任意取一点C，连接AC和 BC。
实例演示与操作
实例演示
在几何画板上展示一个已经绘制好的勾股树图形，让学生观察其结构和特点。
操作步骤
首先按照上述步骤绘制出勾股树的基本图形，然后利用几何画板的测量工具测量 各线段的长度，并计算验证勾股定理的正确性。最后可以通过改变点C的位置或 者增加更多的分支来丰富勾股树的形态。
勾股定理
“弦图”
来 探 我 讨数们 “学一 勾王起 股国进 定 入 理 ”
几何画板
①那么是不是 只有边长为3、4、5的直角三角形 才满足这种关系？ ②这种关系对任意直角三角形都成立 吗？
B
a
A
c
C c
b
几何画板
勾股定理的定义：
小结：
1、学习了勾股定理的定义； 2、学会了用面积法证明勾股定理。
§18.1 勾股定理（一）
在《爱情公寓》里面有这样一个故事，曾小贤帮一菲搬鱼 缸进电梯，结果引出了这样一段对话。 曾小贤：一菲，你有没有发现，一个直角三角形，它的斜 边比任何一条直角边都长，所以我们只要把它斜过来，就 一定有空间。 一菲：嗯，而且呢，这条斜边和两条直角边，应该还有某 种函数关系。 曾小贤：我没有想那么多，但是长是一定的，我打算给它 取名为“贤哥猜想”。 一菲打了一下他的头：这是“勾股定理”。 曾小贤：居然让勾股那家伙抢先了。
学过中较短的直角边称为勾，较长的 称为股，斜边称为弦.左图称为“弦图”，最早是由三国 时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图 19.2.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM－ 2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古 代的数学成就。
几何画板绘制美丽的勾股树
可以将勾股树与其他几何图形（如圆形、正方形、三角形等）这种组合可以强调几何形状与勾股
定理之间的内在联系。
02
与数学符号结合
使用数学符号（如π、√、∞等）作为装饰元素，可以增加勾股树的数
学氛围和深度。这些符号可以以艺术化的方式放置在图像中，作为背景
或前景元素。
03
几何画板是一种专业的几何绘图工具，具有强大的图形绘制和编辑功能，适合用于 绘制各种复杂的几何图形。
在勾股树的绘制中，几何画板可以方便地绘制出精确的直角三角形，并通过复制、 旋转等操作快速构建出整个勾股树结构。
此外，几何画板还支持多种颜色、线条样式等设置，使得绘制出的勾股树更加美观 和生动。
02
勾股树基本构造与性质
调整颜色和线条粗细
使用“显示”菜单中的“颜色”和 “线型”功能，调整直角三角形的颜 色和线条粗细，使勾股树更加美观。
注意事项与技巧分享
保持直角三角形的比例
在平移直角三角形时，要确保其大小 比例保持不变，以保证勾股树的形状 美观。
灵活运用变换功能
除了平移功能外，还可以尝试使用旋 转、缩放等变换功能来构造不同形状 的勾股树。
02
勾股定理在几何、三角学、代数学 等领域有着广泛的应用，是数学学 习和研究的重要基础。
勾股树概念及意义
勾股树是一种基于勾股定理的几何图 形，由多个相互嵌套的直角三角形构 成，呈现出树状结构。
勾股树不仅具有独特的数学美感，还有 助于加深对勾股定理的理解和应用，激 发对数学的兴趣和热爱。
几何画板在勾股树绘制中应用
注意画布大小
在绘制过程中要注意画布的大小，以 免勾股树超出画布范围。
保存和分享作品
完成绘制后，可以将作品保存为图片 或文件，并与他人分享自己的创作成 果。
《勾股定理》PPT
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直 角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理作业ppt
本作业将通过使用几何画板软件来 验证勾股定理的逆定理。
定理的概述
勾股定理是一个基本的几何定理，它表明在一个直角三角形 中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用于确定一个三角形是否是直角三角形，也可 以用于计算直角三角形的斜边长度。
作业的简介
本作业将使用几何画板软件来验证勾股定理的逆定理。
定理的拓展
勾股定理的各种变式 勾股定理在更高维度上的推广
03
勾股定理的逆定理
逆定理的证明
三角形ABC是直角三角形，其中C是直角顶点，根 据勾股定理，我们可以得到BC^2 + AC^2 = AB^2。
可以证明，因为AC^2 + BC^2 > AB^2，所以 BD^2 + BC^2 > CD^2，因此∠BDC是钝角。
逆定理的应用范围主要是在几何学和三角函数中，用于证明 一些三角形是直角三角形或者判断一些三角形的形状。
定理与逆定理的拓展关系
勾股定理可以拓展为毕达哥拉斯定理，即不仅仅局限于直 角三角形，而是适用于所有正多边形。
逆定理也可以拓展到非直角三角形中，即三个角度的正弦 值相等，则这三个角可能是直角三角形中的三个角，也可 能是非直角三角形中的三个角。
[2] 《勾股定理及其逆定理的证 明方法与技巧》
[3] 《勾股定理及其逆定理的证 明与应用实例》
参考资料简介
01
[1] 《勾股定理及其逆定理的证明与运用》本书主要介绍了勾股定理及其逆定理 的证明方法和运用实例，内容详实，注重数学思想的阐述，适合具有一定数学 基础的学生阅读。
02
[2] 《勾股定理及其逆定理的证明方法与技巧》本书重点讲解了勾股定理及其逆 定理的证明方法和技巧，对证明过程进行了深入浅出的讲解，适合数学爱好者 和研究者阅读。
勾股定理免费课件
勾股定理免费课件教材分析：这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版），八年级上册第三章第一节“勾股定理”的第一课时、勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范，它可以解决许多直角三角形中的计算问题、学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解、教学目标：1、让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，从探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程、培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体会数形结合思想、2、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题、3、在经历数学知识的形成与应用过程中培养学生学习数学的兴趣；感受勾股定理的文化价值、教学重点：探索勾股定理的过程，会利用两边长求直角三角形的另一边长、教学难点：用割、补法求面积探索勾股定理、教学方法与教学手段：采用探究发现式教学，提供适当的问题情境、给学生自主探究交流的空间，引导学生有方向地探索、教学过程：（一）创设情境提出问题1、同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你能确定第三边的长吗？你能确定第三边的长的范围吗？2、如果这两边所夹的角确定了，那么第三边的长确定吗？第三边的长是多少？3、直角三角形两边长确定了，第三边的长确定吗？如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题、板书：直角三角形三边数量关系、（这是对三角形三边的不等关系和三角形全等的判定的回顾，从学生的原有认知出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标、当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究）（二）实践探索猜想归纳1、（几何画板出示），观察图形，我们以直角三角形ABC三边为边向形外作三个正方形、若将图形①②③④⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？（同桌同学合作拼图）通过拼图，你有什么发现？（以BC为边的正方形面积与以AC为边的正方形面积的和等于以AB为边的正方形面积）（拼图活动，引发了学生的猜想，增加了研究的趣味性，锻炼了学生的空间思维能力和动手能力，体现了活动——数学）2、拼图活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想、为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中、如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出此时三个正方形的面积（SP＝9，SQ＝16）你是如何得到的？（可以数，也可以通过正方形面积公式计算得到）如何求SR？（SR的求法是这节课的难点，这时可让学生先在学案上独立分析，再通过小组交流，最后由小组代表到台前展示）学生可能提出割、补、平移、旋转四种方法（旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况，没有一般性，而且此时斜边的长还不能求出来.若有学生提出，应提醒学生）肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示、从小明、小丽的方法中你能得到什么启发？（把图形进行“割”和“补“，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形、这种思想方法，称为化归思想）3、变化直角三角形，仿照以上方法计算直角边为5和3的直角三角形中以斜边为边的正方形面积（这是“割”和“补”思想的再一次应用、让学生感受所学即所用，体验成功的乐趣）4、通过计算，你发现这三个正方形面积间有什么关系吗？（SP＋SQ＝SR，要给学生留有思考时间）5、利用方格纸，我们方便计算直角边为整数的情况，若直角边为小数时，所得到的正方形面积间也有如上关系吗？将网格线去掉，利用几何画板中的度量工具可以看到SP＋SQ＝SR（利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，让学生体会到更多一般的情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻）6、我们这节课是探索直角三角形三边数量关系、至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？（面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方）（这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结、交流、表达）7、用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，再给出勾股定理，进而给出字母表达式、一段紧张的探索过程之后，播放一段有关勾股历史的录音（这样既活跃了课堂气氛，又展现了勾股历史，激发学生热爱祖国悠久历史文化，激励学生发奋学习的情感）（三）学以致用体验成功1、完成课本第79-80页练习1、2（1）求下列直角三角形中未知边的长：（2）求下列图中未知数x、y、z的值：在学生回答的基础上，老师规范板书一题、（在对勾股定理基本应用的基础上，让学生体会知道直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边）（四）课堂小结学生可以谈本节课的收获，也可以提出本节课的疑问、教师引导学生思考特殊的三角形直角三角形三边有特殊的等量关系，一般三角形三边是否也存在一种等量关系呢？这是我们今后将要探讨的内容、（学生总结本堂课的收获，从内容、应用，到数学思想方法，获取知识的途径等方面，给学生自由的空间，鼓励学生多说、这样引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力、最后提及的问题与引入首尾呼应，激发了学生深入研究的兴趣）（五）布置作业P82习题3.1第1、2题一、教学内容分析这节课是人教版九年义务教育课程标准实验教材八年级第十八章勾股定理第一课时，是在前面学习了直角三角形一些性质的基础上学习的。
使用几何画板验证勾股定理
如何用几何画板证明勾股定理
步骤一绘制三角形
1.打开几何画板，首先需要制作一个直角三角形，单击左边侧边栏“自定义工具”按钮，在弹出的工具菜单选择“三角形”——直角三角形，如下图所示。
在自定义工具下选择直角三角形示例
2.工具选好后，在画布上面单击一下，画出直角顶点，然后再拖动鼠标，在适当的地方再次单击鼠标画出一个直角三角形，选择左边侧边栏“文字工具”依次给三条边并命名a、b、c，如下图所示
步骤二度量边长
选择侧边栏“移动箭头工具”选定直角边a，并单击上方菜单栏“度量”菜单，在其下拉菜单选择“长度”，这样就可以看到直角边a的长度已经求出来了。
用同样的方法度量出b边和c边的长，如下图所示。
度量直角三角形的三边长度示例
步骤三证明勾股定理
1. 用勾股定理来求一下c边看看求出的结果如何。
单击上方菜单栏“数据”菜单，在其下拉菜单选择“计算”，在出现的对话框中输入勾股定理并单击“确定”按钮，如图所
2.现在我们可以看到用勾股定理求出的c边值如下图所示，发现和度量的c边的值是一样的，这样就证明了勾股定理的正确性。
以上给大家讲解了用几何画板证明勾股定理的方法，主要运用了几何画板度量菜单，利用勾股定理公式计算斜边的长度，从而验证了该定理的成立性，从而更形象地让学生们掌握了该定理。
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A
15
欣赏
A
16
小结
１、本节课我们经历了怎样的学习过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实 际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定 理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的 面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
∟
b ac
1
1
1
(a + b)(b + a) = c2+ 2( ab)
2
2
2
1
a2 + ab + 1
1
b2 =
c2 + ab
2
22
a2 + b2 = c2
c
b
∟
a
A
14
勾股定理的命名
1.约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元 前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的 直角边叫做勾,较长的边叫做股,斜边叫做弦. “勾三股四弦 五”的意思是,在直角三角形中, 如果勾为3,股为4,那么弦 为5. 2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉 (Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希腊杰出的数学家, 天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求证明方法.
３、学了本节课后你有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们
用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受
到了数学文化辉煌历史的教育。
A
17
作业布置
1、第45页：1 第47页：1、2、3
2、预习。
A
18
谢谢
A
19
便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问
先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边
长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：
“如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边
长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平
方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，
2002年国际数学家大会会标
A
3
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
毕达哥拉斯（公元 前572~前492）， 古希腊著名的哲学 家、数学家、天文 学家。
我们也来观察上图中的 地面，看看有什么发现？
A
4
毕达哥拉斯
C A
B
你能发现图中直角三角形有什么性质吗?
A
5
（1）观察图1-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
6
C A
B 图1-1
C A
B 图1-2
形的面积应该如何计算呢？学生会由 正方形的面积公式得出大正方形的面 积,也会从拼图活动中受到启发，将大
正方形分割为四个全等的直角三角形 与一个正方形。
解：大正方形的面积： c 2
小正方形的面积： (b a ) 2
所以：4 1 ab (b a ) 2 c 2 2
2 ab b 2 2 ab a 2 c 2
有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时
美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近
的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而
大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两
个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩
正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德
人教版八年级（下）第十八章
勾股定理
A
1
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部
分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者
把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的
直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
A
2
这是一个会标， 同学们认识这是什么大会的会标吗？
这个图案是我国 汉代数学家赵爽 在证明勾股定理 时用到的，被称 为“赵爽弦图”
即： a 2 b 2 c 2
A
10
A
11
你知道吗？ 百牛定理
希腊的著明数学家毕达格拉斯发
现了这个定理，为“毕达格拉斯” 定因此世界上许多国家都称勾股定 理理．为了庆祝这一定理的发现， 毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢 供奉神灵，因此这个定理又有人叫 做“百牛定理”．
A
12
“总统”证法
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,
a2 +b2 =c2
A
8
证明结论
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇 感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活 实际，以致于古往今来，下至平民百姓， 上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此 不断涌现新的证法。
请你利用手中的三角形，结合前面的探 究，也来探讨证明勾股定理的方法吧！
A
9
用赵爽弦图证明
设图中直角三角形的两条直角边分别 为a、b，斜边为c，那么图中大正方
（1）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：等腰直角三角形两条直角边上的正方
形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
A
7
等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角 形也有这个性质吗？
猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么
你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释
了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜
心探讨小男孩给他留下的难题。A
13
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证 法称为“总统”证法。